2016年度秋学期　応用数学（解析）　第６回　変数分離形の変形 (2016. 11. 10)

2016年度秋学期　応用数学（解析）

浅野　晃関西大学総合情報学部

第２部・基本的な微分方程式変数分離形の変形

第６回

変数分離形（復習）

変数分離形一般には

両辺それぞれを積分すると

g(x)x′ = f(t)

とするとx′ =dx

g(x)dx = f(t)dt

∫g(x)dx =

∫f(t)dt+ C

一般解に含まれる積分定数 C は，初期値を代入して定まり，特殊解が得られる

今日は，変形によって変数分離形に持ち込める方程式です

１．同次形

同次形一般には

dt= f(

x/t の式になっている

dt= f(

とおくと

x = ut

dt= f(

とおくと

x = ut

　この両辺を微分

dt= f(

とおくと

x = ut

この両辺を微分

dt= f(

とおくと

x = ut

積の微分

dt= f(

とおくと

x = ut

積の微分

dt= f(

とおくと

x = ut

積の微分

dt= f(

とおくと

x = ut

よって

積の微分

dt= f(

とおくと

x = ut

よって

dt+ u = f(u)

積の微分

dt= f(

とおくと

x = ut

よって

dt+ u = f(u)

f(u)− udu =

積の微分

変数分離形になった

dt= f(

とおくと

x = ut

よって

dt+ u = f(u)

f(u)− udu =

積の微分

同次関数

M(x, t)

M(ut, t) = tkM(u, 1)

関数が k 次の同次関数であるとは

の形になっていること

同次関数

M(x, t)

の形になっていることtk をくくり出せる

同次関数

M(x, t)

微分方程式が

M, N がどちらも k 次の同次関数なら，x = ut とおいて

( , )dx

M(x, t)

N(x, t)

の形で

tk をくくり出せる

同次関数

M(x, t)

微分方程式が

( , )dx

M(x, t)

N(x, t)

の形で

M(x, t)

N(x, t)

=tkM(u, 1)

tkN(u, 1)=

M(u, 1)

N(u, 1)=

M(xt , 1)

N(xt , 1)

同次関数

前ページの形になる

M(x, t)

微分方程式が

( , )dx

M(x, t)

N(x, t)

の形で

M(x, t)

N(x, t)

=tkM(u, 1)

tkN(u, 1)=

M(u, 1)

N(u, 1)=

M(xt , 1)

N(xt , 1)

例題を解いて，一般解を求めよ。

x′ =t− x

分母分子を t でわると

1− xt

1 + xt

x′ =t− x

1− xt

1 + xt

同次形

x′ =t− x

1− xt

1 + xt

同次形

とおくと

x = ut

より

x′ =t− x

1− xt

1 + xt

同次形

とおくと

x = ut

より

よって

dt+ u =

1− u

x′ =t− x

1− xt

1 + xt

同次形

とおくと

x = ut

より

よって

dt+ u =

1− u

11−u1+u − u

x′ =t− x

1− xt

1 + xt

同次形

とおくと

x = ut

より

よって

dt+ u =

1− u

11−u1+u − u

t と u を分離

x′ =t− x

1− xt

1 + xt

同次形

とおくと

x = ut

より

よって

dt+ u =

1− u

11−u1+u − u

u2 + 2u− 1du = −1

t と u を分離

x′ =t− x

u2 + 2u− 1du = −1

x′ =t− x

u2 + 2u− 1du = −1

x′ =t− x

u2 + 2u− 1du = −1

x′ =t− x

u2 + 2u− 1du = −1

微分の関係になっている

x′ =t− x

u2 + 2u− 1du = −1

　　　ここで(u2 + 2u − 1

の微分が 2(u + 1)

になるから，

x′ =t− x

上の式の両辺を積分すると

u2 + 2u− 1du = −1

　　　ここで(u2 + 2u − 1

の微分が 2(u + 1)

になるから，

x′ =t− x

u2 + 2u− 1du = −1

　　　ここで(u2 + 2u − 1

の微分が 2(u + 1)

になるから，

2log(|u2 + 2u− 1|) = − log |t|+ C

x′ =t− x

u2 + 2u− 1du = −1

　　　ここで(u2 + 2u − 1

の微分が 2(u + 1)

になるから，

2log(|u2 + 2u− 1|) = − log |t|+ C

log(|u2 + 2u− 1|) = log(A|t|−2)

t2(u2 + 2u− 1) = A

x′ =t− x

u2 + 2u− 1du = −1

　　　ここで(u2 + 2u − 1

の微分が 2(u + 1)

になるから，

2log(|u2 + 2u− 1|) = − log |t|+ C

log(|u2 + 2u− 1|) = log(A|t|−2)

t2(u2 + 2u− 1) = A

x′ =t− x

u2 + 2u− 1du = −1

　　　ここで(u2 + 2u − 1

の微分が 2(u + 1)

になるから，

2log(|u2 + 2u− 1|) = − log |t|+ C

log(|u2 + 2u− 1|) = log(A|t|−2)

t2(u2 + 2u− 1) = A

x′ =t− x

u2 + 2u− 1du = −1

　　　ここで(u2 + 2u − 1

の微分が 2(u + 1)

になるから，

2log(|u2 + 2u− 1|) = − log |t|+ C

log(|u2 + 2u− 1|) = log(A|t|−2)

t2(u2 + 2u− 1) = A

x′ =t− x

u2 + 2u− 1du = −1

　　　ここで(u2 + 2u − 1

の微分が 2(u + 1)

になるから，

2log(|u2 + 2u− 1|) = − log |t|+ C

log(|u2 + 2u− 1|) = log(A|t|−2)

t2(u2 + 2u− 1) = A

対数の和→ 真数の積

x′ =t− x

u2 + 2u− 1du = −1

　　　ここで(u2 + 2u − 1

の微分が 2(u + 1)

になるから，

2log(|u2 + 2u− 1|) = − log |t|+ C

log(|u2 + 2u− 1|) = log(A|t|−2)

t2(u2 + 2u− 1) = A

対数の◯倍→ 真数の◯乗

x′ =t− x

u2 + 2u− 1du = −1

　　　ここで(u2 + 2u − 1

の微分が 2(u + 1)

になるから，

2log(|u2 + 2u− 1|) = − log |t|+ C

log(|u2 + 2u− 1|) = log(A|t|−2)

t2(u2 + 2u− 1) = A

定数は任意なので，絶対値が外れる

x′ =t− x

u2 + 2u− 1du = −1

　　　ここで(u2 + 2u − 1

の微分が 2(u + 1)

になるから，

2log(|u2 + 2u− 1|) = − log |t|+ C

log(|u2 + 2u− 1|) = log(A|t|−2)

t2(u2 + 2u− 1) = A

定数は任意なので，絶対値が外れる

に戻すと x2 + 2tx− t2 = A

２．１階線形

１階線形微分方程式一般にはの形になっているもの

dt+ P (t)x = Q(t)

と置くと，一般解は

p(t) = exp(∫

P (t)dt)

(∫p(t)Q(t)dt+ C

dt+ P (t)x = Q(t)

p(t) = exp(∫

P (t)dt)

(∫p(t)Q(t)dt+ C

なぜならば(p(t)x)′ = (p(t))′x+ p(t)x′

(∫P (t)dt

)]′x+ p(t)x′

= p(t)P (t)x+ p(t)x′

= p(t){P (t)x+ x′

}= p(t)Q(t)

dt+ P (t)x = Q(t)

p(t) = exp(∫

P (t)dt)

(∫p(t)Q(t)dt+ C

(∫P (t)dt

)]′x+ p(t)x′

= p(t){P (t)x+ x′

}= p(t)Q(t)

積の微分

dt+ P (t)x = Q(t)

p(t) = exp(∫

P (t)dt)

(∫p(t)Q(t)dt+ C

(∫P (t)dt

)]′x+ p(t)x′

= p(t){P (t)x+ x′

}= p(t)Q(t)

積の微分

指数の合成関数の微分

dt+ P (t)x = Q(t)

p(t) = exp(∫

P (t)dt)

(∫p(t)Q(t)dt+ C

(∫P (t)dt

)]′x+ p(t)x′

= p(t){P (t)x+ x′

}= p(t)Q(t)

積の微分

指数の合成関数の微分

p(t)x =

∫p(t)Q(t)dt+ C

よって，両辺を積分して

例題を解いて，一般解を求めよ。x′ + x = t

dt+ P (t)x = Q(t)

にあてはめると

dt+ P (t)x = Q(t)

にあてはめると P (t) ≡ 1, Q(t) = t

dt+ P (t)x = Q(t)

よって p(t) = exp(∫

P (t)dt)

とすると

dt+ P (t)x = Q(t)

P (t)dt)

とすると p(t) = exp(∫

dt+ P (t)x = Q(t)

P (t)dt)

とすると= et+C1 = eC1et

p(t) = exp(∫

dt+ P (t)x = Q(t)

P (t)dt)

= C2et

p(t) = exp(∫

dt+ P (t)x = Q(t)

前ページの式から p(t)x =

∫p(t)Q(t)dt+ C

P (t)dt)

= C2et

p(t) = exp(∫

dt+ P (t)x = Q(t)

∫p(t)Q(t)dt+ C

P (t)dt)

= C2et

p(t) = exp(∫

dt+ P (t)x = Q(t)

∫p(t)Q(t)dt+ C

P (t)dt)

= C2et

p(t) = exp(∫

dt+ P (t)x = Q(t)

∫p(t)Q(t)dt+ C

P (t)dt)

= C2et

p(t) = exp(∫

dt+ P (t)x = Q(t)

∫p(t)Q(t)dt+ C

P (t)dt)

= C2et

p(t) = exp(∫

dt+ P (t)x = Q(t)

∫p(t)Q(t)dt+ C

P (t)dt)

= C2et

p(t) = exp(∫

dt+ P (t)x = Q(t)

∫p(t)Q(t)dt+ C

P (t)dt)

= C2et

C2etx =

∫C2e

ttdt+ C3

p(t) = exp(∫

dt+ P (t)x = Q(t)

∫p(t)Q(t)dt+ C

P (t)dt)

= C2et

C2etx =

∫C2e

ttdt+ C3

p(t) = exp(∫

dt+ P (t)x = Q(t)

∫p(t)Q(t)dt+ C

P (t)dt)

= C2et

C2etx =

∫C2e

ttdt+ C3

p(t) = exp(∫

dt+ P (t)x = Q(t)

∫p(t)Q(t)dt+ C

P (t)dt)

= C2et

C2etx =

∫C2e

ttdt+ C3

∫ettdt+ C

= ett−∫

etdt+ C

= ett− et + C

p(t) = exp(∫

dt+ P (t)x = Q(t)

∫p(t)Q(t)dt+ C

P (t)dt)

= C2et

C2etx =

∫C2e

ttdt+ C3

∫ettdt+ C

= ett−∫

etdt+ C

= ett− et + C

p(t) = exp(∫

dt+ P (t)x = Q(t)

∫p(t)Q(t)dt+ C

P (t)dt)

= C2et

C2etx =

∫C2e

ttdt+ C3

∫ettdt+ C

= ett−∫

etdt+ C

= ett− et + C

p(t) = exp(∫

dt+ P (t)x = Q(t)

∫p(t)Q(t)dt+ C

P (t)dt)

とすると

部分積分

= et+C1 = eC1et

= C2et

C2etx =

∫C2e

ttdt+ C3

∫ettdt+ C

= ett−∫

etdt+ C

= ett− et + C

p(t) = exp(∫

dt+ P (t)x = Q(t)

∫p(t)Q(t)dt+ C

P (t)dt)

とすると

部分積分

= et+C1 = eC1et

= C2et

C2etx =

∫C2e

ttdt+ C3

∫ettdt+ C

= ett−∫

etdt+ C

= ett− et + C

x = t− 1 + Ce−t

よって

p(t) = exp(∫

２′．ベルヌーイの微分方程式

ベルヌーイの微分方程式一般にはの形dx

dt+ P (t)x = Q(t)xn

(n ≠ 1)

dt+ P (t)x = Q(t)xn

(n ≠ 1)

dt+ P (t)x = Q(t)xn

(n ≠ 1)

とおくと１階線形微分方程式に変形できるu = x1−n

ベルヌーイの微分方程式一般には

なぜならば

の形dx

dt+ P (t)x = Q(t)xn

(n ≠ 1)

なぜならば

の形dx

dt+ P (t)x = Q(t)xn

(n ≠ 1)

xx′ + P (t) = Q(t)xn−1

なぜならば

の形dx

dt+ P (t)x = Q(t)xn

(n ≠ 1)

xx′ + P (t) = Q(t)xn−1

なぜならば

の形dx

dt+ P (t)x = Q(t)xn

(n ≠ 1)

xx′ + P (t) = Q(t)xn−1

log u = (1− n) log x

なぜならば

の形

両辺を微分する

dt+ P (t)x = Q(t)xn

(n ≠ 1)

xx′ + P (t) = Q(t)xn−1

なぜならば

の形

dt+ P (t)x = Q(t)xn

(n ≠ 1)

xx′ + P (t) = Q(t)xn−1

u= (1− n)

なぜならば

の形

dt+ P (t)x = Q(t)xn

(n ≠ 1)

xx′ + P (t) = Q(t)xn−1

u= (1− n)

代入

なぜならば

の形

dt+ P (t)x = Q(t)xn

(n ≠ 1)

xx′ + P (t) = Q(t)xn−1

u= (1− n)

1− n

u+ P (t) = Q(t)

u′ + (1− n)P (t)u = (1− n)Q(t)

代入

なぜならば

の形

dt+ P (t)x = Q(t)xn

(n ≠ 1)

xx′ + P (t) = Q(t)xn−1

u= (1− n)

1− n

u+ P (t) = Q(t)

u′ + (1− n)P (t)u = (1− n)Q(t)

代入

なぜならば

の形

dt+ P (t)x = Q(t)xn

(n ≠ 1)

xx′ + P (t) = Q(t)xn−1

u= (1− n)

1− n

u+ P (t) = Q(t)

u′ + (1− n)P (t)u = (1− n)Q(t)

代入

１階線形

例題が1階線形微分方程式で　表せることを示せ。

x′ + tx = tx2

とおくu = x−1

x′ + tx = tx2

とおくu = x−1

両辺の対数をとると log u = − log x

x′ + tx = tx2

とおくu = x−1

両辺をtで微分すると u′

u= −x′

x′ + tx = tx2

とおくu = x−1

u= −x′

両辺をxで割ると x′

x+ t = tx

x′ + tx = tx2

とおくu = x−1

u= −x′

x+ t = tx

x′ + tx = tx2

とおくu = x−1

u= −x′

x+ t = tx

　　　−u′

u+ t =

x′ + tx = tx2

とおくu = x−1

u= −x′

x+ t = tx

　　　−u′

u+ t =

x′ + tx = tx2

とおくu = x−1

u= −x′

x+ t = tx

　　　−u′

u+ t =

u′ − tu = −t

x′ + tx = tx2

とおくu = x−1

u= −x′

x+ t = tx

　　　−u′

u+ t =

u′ − tu = −t

-u倍1階線形

今日のまとめ

同次形１階線形ベルヌーイ

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