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Física
CICLO 2007-II Prohibida su Reproducción y Venta Página 138
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
CENTRO PREUNIVERSITARIO
SEMANA 1
ANÁLISIS DIMENSIONAL
ANÁLISIS VECTORIAL
1. Calcule las dimensiones de A y B
respectivamente, en la siguiente ecuación dimensionalmente correcta
d = A t + 0,5 B t2
Donde d es distancia y t es tiempo.
A) L T 1 ; L T 2
B) L T 2 ; L 2 T 2
C) L T 2 ; L T 3
D) L 2 T 1 ; L 2 T 2
E) L 2 T 3 ; L T 2
RESOLUCIÓN
Si la ecuación es dimensionalmente correcta, entonces cada uno de los
términos de la ecuación debe tener las mismas dimensiones. Luego, la
ecuación dimensional se expresa:
[ e ] = [A] [t] = [0,5] [ B ] [ t ]2
Nótese que todos los términos han
sido igualados y ahora se reemplaza las dimensiones de las cantidades físicas conocidas.
L = [ A ] T = (1) [ B ] T 2
Recuerde: [0,5 ] = (1).
Finalmente se deduce:
[ A ] = L T 1 ; [ B ] = = L T 2
RPTA.: A
2. La energía en el S.I., se mide en joules (J). Si la energía cinética (Ec) de un cuerpo está definida
mediante:
EC = 0,5 mv 2
Donde m es masa y v es el módulo de la velocidad.
¿Cuál de los siguientes grupos de
unidades equivale al Joule?
A) kg m2 s1
B) kg m 1 s 2
C) kg m 2 s 2
D) kg m2 s 2
E) kg m3 s 2
RESOLUCIÓN Escribimos la ecuación dimensional de la energía cinética y reemplazamos las dimensiones de
las cantidades físicas conocidas.
[ EC ] = [ 0,5 ] [ m ] [ v ] 2
[ EC ] = (1) M ( LT 2 ) 2
[ EC ] = M L 2 T 2
Reemplazamos las unidades de cada magnitud fundamental y
encontramos el joule (J) expresado en términos de las
unidades fundamentales.
Joule = J = kgm 2 s 2
RPTA.: D
3. Un grupo de unidades que
representa la medición de la potencia es:
A) lb pie3 s 3 B) lb pie2 s2
C) kg m3 s 2
D) lb pie2 s 3
E) kg m3 s 2
RESOLUCIÓN: lb pie 2 s 3
RPTA.: D
Física
CICLO 2007-II Prohibida su Reproducción y Venta Página 139
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4. El número de Reynolds es un valor
adimensional el cual nos indica si
un flujo es turbulento o laminar,
dentro de un tubo. El número de
Reynolds “R”, se calcula mediante
la siguiente ecuación:
R = V d /
Donde es la densidad, V la
rapidez promedio y d el diámetro
del tubo. Determinar las
dimensiones de la viscosidad .
A) M2 L1 T 1
B) M3 L1 T 1
C) M L1 T 1
D) M L2 T 1
E) M L1 T 2
RESOLUCIÓN
Escribimos la ecuación dimensional:
[R] [] = [] [V] [d]
Como R es adimensional lo
reemplazamos por la unidad
(1) [] = ML3 LT 1 L
[] = ML1T 1
RPTA.: C
5. La densidad (D) de un sólido según
la temperatura, está dada por la
siguiente ecuación :
Donde M es la masa y ∆T la
variación de la temperatura.
Determinar las dimensiones de B.
A) L3 1 B) L3 1
C) L 3 D) M3 1 T 1
E) M L1 1
RESOLUCIÓN
[D] ( [A] + [B][∆T] ) = [M]
[D] [A] = [D] [B] [∆T] = [M]
ML 3 [A] = ML 3 [B] = M
[B] = L3 1 RPTA.: B
6. Un objeto que realiza un
movimiento periódico tiene la siguiente ecuación:
X =A e t cos ( t + )
Donde X es la posición, t el tiempo
y e 2,82. Determine la dimensión
de [A ].
A) L T 2 B) L T 1 C) L2 T 2
D) L 2 T 2 E) L 2 T 1
RESOLUCIÓN
Escribimos la ecuación dimensional
y resolvemos:
[X] = [A] [e ] t [cos (t + )]
[X] = [A] (1) (1)
L = [A]
Los exponentes son adimensionales,
por lo tanto dimensionalmente se
igualan a la unidad:
[exponente] = 1
[t ] = 1 [1] [] [t] = 1
(1) [] T = 1
[] = T 1
Los ángulos son adimensionales:
[ángulo] = 1
[(t + )] = 1 [] [t] = [] = 1
[]T = [] = 1
[] = T 1 ; [] = 1
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CICLO 2007-II Prohibida su Reproducción y Venta Página 140
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Reemplazando las dimensiones
encontradas, tenemos:
[A ] = (L)( T 1 )(T 1) = L T 2
RPTA.: A
7. En cierto experimento, se mide el
tiempo que demora un péndulo
simple en dar una oscilación. Se
observa que este tiempo depende
de la aceleración de la gravedad y
de la longitud de la cuerda. La
ecuación empírica del periodo en
función de estas dos últimas
cantidades es:
A) 6,28 g1/2 L1/2
B) 4,22 g1/3 L1/2
C) 3,12 g1/5 L1/3
D) 1,24 g1/3 L1/3
E) 3,14 g2 L1/2
RESOLUCIÓN: Las tres cantidades relacionadas son:
t = tiempo g = aceleración de la gravedad.
L = longitud de la cuerda.
Se elabora una relación entre las cantidades físicas:
t = k g x L y
Donde: k: es un número adimensional, denominado constante de
proporcionalidad.
x e y: son exponentes de valor desconocido, que determinaremos para que la ecuación empírica
quede determinada.
Se escribe la ecuación dimensional y se reemplaza las dimensiones de
las cantidades conocidas.
[ t ] = [ k ] [ g ] x [ L ] y
T = (1) ( LT 2 ) x ( L ) y
T = L x + y T 2 x
Comparando los exponentes de las dimensiones a cada lado de la
ecuación, deducimos:
2x = 1 x = 1/2
x + y = 0 y = +1/2
Finalmente la ecuación empírica es:
t = kg 1/2 L1/2 =
RPTA.: A
8. Con respecto a la gráfica,
determine la dimensión del área
sombreada.
A) M 2 L T 1
B) M L T 1
C) M L2 T 1
D) M L2 T 1
E) L2 T 2
RESOLUCIÓN: La dimensión del área comprendida por la gráfica F – t es:
[área (F–t)] = [F] [t]/2=(MLT2 )(T)/1
[área (F–t)] = ML T 1
RPTA.: B
9. Con respecto a la gráfica A vs B
mostrada en la figura, determine la
dimensión de la pendiente de la
recta. Donde A es masa y B es
volumen.
t(s)
F(N)
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CICLO 2007-II Prohibida su Reproducción y Venta Página 141
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A) M L1
B) M L2
C) M 1 L1
D) M T 3
E) M L3
RESOLUCIÓN: La dimensión de la pendiente de la
recta es:
[pendiente (A – B) ] =
A
B
[pendiente (A–B)] =
3
masa M
volumen L
[pendiente (A–B)] 3ML RPTA.: E
10. La diferencia de potencial eléctrico
“ V ” entre dos puntos de un
material está dada por:
WV
q
Donde W es el trabajo necesario
para trasladar las cargas entre
dichos puntos y q es la cantidad de
carga neta que se traslada.
Determine las dimensiones de la
diferencia de potencial eléctrico.
A) M L 1 T 3 I 1
B) M L 2 T 3 I 1
C) M1 L1 T 3 I 1
D) M T 3 I 1
E) M L 3 I 1
RESOLUCIÓN: Escribimos la ecuación dimensional y reemplazamos las dimensiones
del trabajo y la carga eléctrica:
2 2W M L TV
q I T
2 3 1V M L T I
RPTA.: B
La unidad de la
diferencia de
potencial o
voltaje es el
voltio (V).
11. La capacitancia (C) de un capacitor
es la división entre el valor de la
carga (Q) que almacena una de sus
armaduras y la diferencia de
potencial (V) entre las armaduras
del capacitor. Determine las
dimensiones de la capacitancia.
A) M1 L2 T 4 I1
B) M L 2 T 3 I1
C) M1 L1 T 3 I1
D) M T 3 I 1
E) M 1 L2 T4 I2
RESOLUCIÓN: Escribimos la ecuación dimensional
y reemplazamos las dimensiones de la carga eléctrica y de la diferencia
de potencial:
2 3 1
q I TC
V M L T I
1 2 4 2C M L T I
RPTA.: E
La unidad de la
capacidad eléctrica
es el faradio (F).
2s
B
x
40m
1s
A
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12. Determine el módulo de la
resultante de los vectores
A ,
B y
C .
A) 12 u B) 14 u C) 24 u D) 13 u E) 15 u
RESOLUCIÓN
Sumamos los vectores B y C
,
usando el método del
paralelogramo:
Calculamos el modulo de
CB
usando la fórmula:
Un análisis geométrico adicional nos
lleva a la conclusión de que el
vector
CB biseca al ángulo de
60°, esto es por que los vectores
que se han sumado tienen igual módulo. Por lo tanto el ángulo que
forman entre si el vector
A y
CB es 90°.
Sumamos ahora
A y
CB con el
método del paralelogramo.
Calculamos el modulo de
R A B C
usando la fórmula:
12R u
RPTA.: A
13. Dos vectores
A y
B tienen
módulos de 10 u y 6 u
respectivamente. Determinar en
que intervalo se encuentra el
módulo de la resultante que se
pueden obtener con estos dos
vectores.
A) uBAu 160
B) uBAu 40
C) uBAu 166
D) uBAu 106
E) uBAu 164
60°
60°
4 6
A u B
= 4u
C
= 4u
A = 46 u u34CB
u12CBA
90°
2 24 4 2 4 4 60 4 3B C ( )( ) Cos u
2 24 6 4 3 2 4 6 4 3 90R ( ) ( ) ( )( ) Cos
B = 4u
C = 4u 60°
60°
4 3B C u
4 6A u
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CICLO 2007-II Prohibida su Reproducción y Venta Página 143
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RESOLUCIÓN Calculamos el módulo de la
resultante máxima y mínima de estos dos vectores, cuando formen
0° y 180° entre sí respectivamente.
u16BA
; u4BA
El intervalo entre los cuales se encontrará la resultante de estos
vectores de acuerdo al ángulo que formen entre si será:
4 16u A B u
RPTA.: E
14. Dos vectores tienen una resultante
máxima cuyo módulo es 14 u y una
resultante mínima cuyo módulo es
2u. Determine el módulo de la
resultante de los vectores cuando
son perpendiculares entre si.
A) 12 u B) 14 u C) 20 u
D) 10 u E) 15 u
RESOLUCIÓN Supongamos que sean dos vectores
A y
B , entonces según lo afirmado
en el problema.
BAu14 ;
BAu2
Resolvemos y encontramos los
módulos de los vectores
A y
B .
u8A
u6B
Calculamos el módulo de los
vectores
A y
B usando la fórmula
[1], cuando los vectores son
perpendiculares ( = 90°).
90Cos)6)(8(268BA22
u10BA
RPTA.: D
15. Sea el vector A
de módulo 5 u que
forma 63° con respecto al eje +x, y
las rectas L1 y L2 que forman
ángulos de 137° y 10° con
respecto al eje +x. Determine los
módulos de las componentes del
vector A
sobre L1 y L2.
A) 4 u y 6 u B) 8 u y 5 u
C) 5 u y 6 u D) 4 u y 5 u
E) 4 u y 3 u
RESOLUCIÓN
Dibujamos el vector
A y las rectas
L1 y L2, Construimos un paralelogramo y trazamos los
componentes de
A .
Calculamos el módulo de las componentes usando ley de senos y
obtenemos: A1 = 5cm Y A2 = 6cm
RPTA.: C
A
L2
L1
2A
1A 63° 10°
137°
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16. Los vectores A,B y C
están
ubicados en el sistema ortogonal,
tal como se muestra en la figura.
Determine la resultante de los
vectores.
A) R 0,8 i 0,3 j
B) R 0,8 i 0,3 j
C) R 0,8 i 0,3 j
D) R 0,8 i 0,3 j
E) R 0,3 i 0,8 j
RESOLUCIÓN Descomponemos rectangularmente
los vectores y calculamos los módulos de las componentes.
Calculamos la resultante en cada eje usando vectores unitarios.
xR 1,2 i 2 i 2,4 i 0,8 i
yR 1,6 j 2 j 0,7 j 0,3 j
R 0,8 i 0,3 j
RPTA.: A
17. Los vectores A,B y C
están
ubicados en el sistema ortogonal,
tal como se muestra en la figura. Determine la resultante de los
vectores.
A) 4 u 7º
B) 1 u 8 º
C) 4 u 0 º
D) 1 u 0 º
E) 1 u 10 º
RESOLUCIÓN Los ángulos mostrados no corresponden a triángulos notables.
Si los vectores son girados 7° en sentido horario, obtenemos que los
vectores forman ángulos notables con respecto a los ejes ortogonales.
A
= 2
cm
B
= 2 2 cm
C
= 2,5 cm
16° 53°
45°
A
= 10u
B
= 82 u
u
83°
30°
38°
C
= 10u
AI
BJ
CJ
16° 53°
45°
CI
AJ
BI
A = 2cm
C = 2,5cm
B = 2 2 cm
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Descomponemos los vectores y calculamos los componentes de
cada vector.
Calculamos la resultante
i4i10i8i6R x
j0j0j8j8R y
i4R
El módulo de la resultante es:
u4R
, girando el vector 7° en
sentido antihorario (para restituir el
ángulo anteriormente girado), la dirección y el sentido del vector resultante será: 7° con respecto al
eje +x. RPTA.: A
18. Sean los vectores A 6 i 8 j 2k
y
B 2 i 12 j 6k
. Determine el
módulo de R 6 A 5 B
A) 42 u B) 12 u C) 63 u D) 26 u E) 98 u
RESOLUCIÓN
Calculamos
R :
B5A6R
)k6j12i2(5)k2j8i6(6R
k42j36i30R
Calculemos el módulo de la resultante.
63)42()36()30(R222
RPTA.: C
A = 10u
B = 82 u
37°
45°
C = 10u
7°
7°
7°
90°
AI
B = 82 u
53°
45°
C = 10u
AJ A = 10 u
BI
BJ
u65
31037Sen10AI
u85
41037Cos10AJ
u82
12845Cos28B I
u82
12845Sen28BJ
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19. Calcule el módulo de la
resultante de los vectores que se muestran en la figura.
A) 8 u
B) 10 u
C) 6 u
D) 5 u
E) 9 u
RESOLUCIÓN Rx = 8 u Ry = 6 u
Calculamos la resultante aplicando Pitágoras:
R = 10 u RPTA.: B
20. Determine el módulo del vector
A tal que la resultante de los vectores mostrados en la figura sea vertical.
(B = 25u)
A) 40 u
B) 20 u
C) 60 u
D) 30 u
E) 90 u
RESOLUCIÓN Descomponemos y sumamos:
x x xR B i A i 0
25cos53 i Acos60 i 0
A 30u
RPTA.: D
1u
1u
B
53°
A
60°
B
53°
A
y
60° x
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SEMANA 2
CINEMÁTICA (I PARTE)
1. Halle el espacio recorrido (e), el
desplazamiento (
d ) y su módulo
d , desarrollado por un móvil al
ir desde “A” hacia “B” por la
trayectoria mostrada en la figura.
A) 10 m; (6
i + 8
j ) m ; 10 m
B) 14 m; (-6
i + 8
j ) m ; 14 m
C) 14 m ; (6
i + 8
j ) m ; 10 m
D) 10 m ; (6
i + 8
j ) m ; 14 m
E) 14 m ; (-8
i + 6
j ) m ; 10 m
RESOLUCIÓN
* e = 6m + 8m
e = 14m
* f 0d r r
d
= (7; 5)m (1; 3)m
d
= (6; 8)m = (6
i + 8
j )m
*
d = 6² 8²
d = 10m
RPTA.: C
2. Si un móvil empleó 5 s en ir desde
la posición A (4
i - 2
j + 1
k ) m
hasta la posición B (19
i +18
j+26
k )
m. Determine la velocidad media y
su módulo.
A) ( 4
i +3
j+5
k ) m/s ; 11m/s
B) (5
i +3
j+4
k ) m/s ; 5 2 m/s
C) (3
i +4
j+5
k ) m/s ; 5 2 m/s
RESOLUCIÓN
M
f oM
dV
t
r rV
t
M
19 i 18 j 26k 4 i 2 j k
V5
M
15 i 20 j 25k
V5
MV 3 i 4 j 5k m/s
MV
3² 4² 5² 5 2 m/s
RPTA.: C
x(m)
A(1; -3)
y(m)
Trayectoria
B(7; 5)
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3. La posición de un móvil en función del tiempo está dada por la
ecuación
X = (t - 2t2)
i m, donde
X está en metros y t en
segundos. Determine la velocidad media en el intervalo de tiempo
[1 s ; 3 s]
A) 7
i m/s B) -7
i m/s
C) 14
i m/s D) -14
i m/s
E) -3,5
i m/s
RESOLUCIÓN
2t 1ox x 1 2 1 1i
2t 3fx x 3 2 3 15i
f o
M
M
d x xV
t t
15 i i
V 7 i m / s2
RPTA.: B
4. Una partícula se desplaza
desde la posición 0r
= (7
i +2
j )m,
con una velocidad constante
V =(-5
i +2
j ) m/s. Calcule su
posición luego de 10 s.
A) (-43
i -22
j ) m B) (-43
i +22
j ) m
C) (57
i +18
j ) m D) (57
i -18
j ) m
E) (57
i +16
j ) m
RESOLUCIÓN
f or r v t
f
f
f
r 7 i 2 j 5 i 2 j 10
r 7 i 2 j 50 i 20 j
r 43i 22 j m
RPTA.: B
5. La ecuación de la posición de dos
partículas “A” y “B” que se mueven a lo largo del eje X
están dadas por: xA = 3t-10 y xB = -2t+5, donde x está en metros y t en segundos.
Determine los instantes de tiempo en que las partículas están
separadas 5 m.
A) 1 s ; 2 s B) 2 s ; 3 s C) 3 s ; 5 s D) 4 s ; 6 s E) 2 s ; 4 s
RESOLUCIÓN
* xA xB = 5
(3t 10) (2t + 5) = 5
5t 15 = 5 t = 4 s
* xB xA = 5
(2t + 5) (3t 10) = 5
5t + 10 = 0 t = 2 s
RPTA.: E
6. Indicar la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. Si la trayectoria es rectilínea,
necesariamente la velocidad es constante.
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II. Si la velocidad es constante; entonces necesariamente la
trayectoria es rectilínea III. Cuando la rapidez de un móvil es
constante necesariamente experimenta un M.R.U.
A) VVV B) VFV C) FVF D) FFF E) FVV
RESOLUCIÓN
I. Falso
La velocidad no necesariamente es constante en una trayectoria
rectilínea.
II. Verdadero
Si la velocidad (rapidez y
dirección) es constante necesariamente la trayectoria es rectilínea.
III. Falso
Cuando la rapidez del móvil es constante no necesariamente
experimenta un M.R.U.; su trayectoria puede ser curvilínea.
RPTA.: C
7. A partir del instante mostrado,
determine cuántos segundos transcurren hasta que el auto A
pase completamente al auto B. Considere que los autos se mueven en vías paralelas
realizando un M.R.U.
A) 1 s B) 2 s C) 3 s
D) 4 s E) 5 s
RESOLUCIÓN
El auto “A” pasa al auto “B”
cuando la partícula posterior del auto “A” alcanza a la partícula delantera del auto “B”.
AL
A B
AL
dt
V V
16t 2s
12 4
RPTA.: B
(A) (B)12 m/s 4 m/s
3m 10 m 3 m
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8. Sobre las aguas de un río de orillas
paralelas se desplaza una lancha con
una rapidez constante. Si en ir de un
punto a otro del río tarda 100 s
(cuando viaja en la dirección de la
corriente) y cuando regresa al punto
de partida tarda 200 s. Determine la
rapidez de la lancha en aguas
tranquilas y la distancia entre los dos
puntos, si las aguas del río tienen una
rapidez de 5 m/s.
A) 10 m/s ; 2 000 m B) 15 m/s ; 2 000 m C) 20 m/s ; 2 000 m
D) 11 m/s ; 1 600 m E) 15 m/s ; 1 500 m
RESOLUCIÓN
V = rapidez de la lancha
La figura muestra la velocidad resultante de la lancha con
respecto a un observador ubicado en tierra.
Por M.R.U.: d = vt
L = (v+5) (100) = (v5) (200)
V + 5 = (v5)2
V + 5 = 2v 10
V = 15 m/s
L = (15 + 5) (100)
L = 2000 m RPTA.: B
9. Desde el poste se emite un sonido
durante 0,7 s. Determine durante que intervalo de tiempo el atleta
que experimenta un M.R.U. escuchará el sonido.
(Vsonido = 340 m/s)
A) 0,17 s B) 0,34 s C) 0,68 s D) 1 s
E) 1,02 s
RESOLUCIÓN
El joven oye el sonido hasta el instante en que se encuentra con al última molécula del sonido a
partir de la posición mostrada.
oye el Esonido A B
dt t
V V
oye elsonido
340(0,7)t
340 10
oye elsonido
34(7) 34t
350 50
oye elsonido
t 0,68 s
RPTA.: C
POSTE
10 m/s
10 m/s
m340
s
L = 340 (0,7) m
ÚLTIMA MOLÉCULA
SONIDO
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10. Se tiene dos velas (1) y (2) de tamaños iguales, las cuales tienen
una duración de T1 = 4 horas y T2 = 3 horas, emitiendo energía
luminosa. Si las velas empiezan a emitir luz al mismo instante, ¿Después de cuanto tiempo el
tamaño de una de ellas es el doble de la otra?
A) 2 horas B) 2,4 horas
C) 3,6 horas D) 4,8 horas E) 0,4 horas
RESOLUCIÓN
1
LV
4 2
LV
3
* Luego de cierto tiempo tenemos:
Se cumple: L = V1t + 2h = V2t + h
L L
L t 2h t h......(1)4 3
L 1
2h h t t3 4
L
h t12
Lt = 12 h .............(2)
* Reemplazo en (1)
12h
L 2h4
L = 5h
* Reemplazo en (2)
5ht = 12h
12
t5
t = 2,4 horas
RPTA.: B
4h 3h
(1) (2)
L
2h
h
(1) (2)
t
t
Física
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11. Un auto que se desplaza rectilíneamente con rapidez
constante de 10 m/s, aplica los frenos y se detiene después de
recorrer 50 m. Si en dicho proceso experimenta MRUV, determine el tiempo que demoró en detenerse.
A) 5 s B) 7 s C) 10 s
D) 20 s E) 30 s
RESOLUCIÓN
o fV Vd t
2
10 050 t
2
t = 10 s RPTA.: C
12. Un móvil desarrolla un MRUV recorriendo 81 m en 3 s y
luego cesa su aceleración recorriendo 90 m en los siguientes 3 s. Determine el módulo de su
aceleración cuando desarrollaba el MRUV si este era acelerado.
A) 2m/s2 B) 3m/s2 C) 4m/s2 D) 5m/s2
E) 6m/s2
RESOLUCIÓN
En el M.R.U.V.
d = 81 m; t = 3 s; Vf = 30m/s
*
o fV Vd t
2
oV 3081 3
2
Vo = 24 m/s
* Vf = Vo + at
30 = 24 + a(3) a = 2 m/s²
RPTA.: A
13. Un móvil se mueve en una pista
horizontal con una aceleración
constante de 2
i m/s2. Después de 5 s de pasar por un punto “P”,
posee una velocidad de 72
i km/h ¿Qué velocidad tenía el móvil cuando le faltaba 9 m para llegar
al punto “P”?
A) 4
i m/s B) 6
i m/s
C) 8
i m/s D) 10
i m/s
E) 12
i m/s
Física
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RESOLUCIÓN
km 1h 1000m m72 20
h 3600s 1km s
* Tramo PQ
Vf = VO + at 20 = VP + 2(5)
VP = 10 m/s * Tramo AP
2 2f 0
2 20
V V 2ad
10 V 2(2)(9)
100 = 20V + 36 VO = 8 m/s
RPTA.: C
14. Una partícula con MRUV tiene una
velocidad 1V
= 10
i m/s en el
instante t1 = 2 s y una
velocidad 2V
= 30
i m/s en el
instante t2 = 7 s. Determine el desplazamiento de la partícula desde el instante t = 0 hasta el
instante t = 10 s.
A) 20
i m B) 110
i m
C) 130
i m D) 220
i m
E) 330
i m
RESOLUCIÓN
t v
2 10
7 30
* Vf = Vo + at 30 = 10 +a(5)
a = 4 m/s²
* t [0,2]s
Vf = Vo + at 10 = Vt = 0 + 4(2) V(t = 0) = 2 m/s
* t [0,10] s
d = Vot + 1
2at²
d = 2(10) +1
2(4)(10)²
d = 20 + 200
d = 220 i m
RPTA.: D
15. Un automóvil parte del reposo y durante 4 s se desplaza con una
aceleración constante de 4
i m/s2,
luego con la velocidad adquirida se desplaza durante 10 s a velocidad constante y finalmente
aplica los frenos y se detiene en 2s. Halle el desplazamiento
realizado por el automóvil.
A) 208
i m B) 215
i m
C) 258
i m D) 320
i m
E) 351
i m
RESOLUCIÓN
Física
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1 2 3
M.R.U.V. M.R.U. M.R.U.V.
d d d d
o f o fV V V Vd t vt t
2 2
0 16 16 0d 4 16(10) 2
2 2
d = 32 + 160 + 16
d = 208 i m
RPTA.: A
16. Un móvil parte del reposo con
aceleración constante de 2 m/s2, acercándose perpendicularmente a una gran pared. Cuando el móvil
inicia su movimiento, una persona que está sobre el móvil emite un
sonido. Cuando ha avanzado 16 m escucha el eco. Halle la distancia entre la pared y el punto de
partida. (V sonido = 340 m/s)
A) 340 m B) 688 m C) 690 m D) 696 m
E) 700 m
RESOLUCIÓN
* Móvil
d = Vot + 1
2 at²
1
16 (2)t²2
t = 4 s * Se observa:
esonido + emovil = 2x Vsonido t + 16 = 2x
340(4) + 16 = 2x 680 + 8 = x
x = 688 m RPTA.: B
17. Un tren de 75 m de longitud se
desplaza con aceleración constante. Si la parte delantera
del tren ingresa a un túnel de gran longitud con 10 m/s y la parte posterior lo hace con
20 m/s. Halle la rapidez del tren 4 s después de haber ingresado
completamente en el túnel. A) 20 m/s B) 22 m/s
C) 24 m/s D) 26 m/s E) 28 m/s
RESOLUCIÓN
* Cuando el tren ingresa al túnel,
para la partícula posterior del tren, se tiene:
V0 = 10 m/s Vf = 20 m/s
d = 75 m 2 2f 0V V 2ad
(20)² = (10)² + 2a(75) 300 = 2a(75)
a = 2 m/s²
4 s20 m/s10 m/s
75 m 75 m
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* Luego de 4 s de haber ingresado al túnel.
Vf = VO + at Vf = 20 + 2(4)
Vf = 28 m/s RPTA.: E
18. Un auto que parte del reposo con aceleración constante se
encuentra a las 10 a.m. en el km 9 ; a las 11 a.m. en el km 16 y a las 12 del meridiano en el Km
25 ¿A qué hora inició su movimiento?
A) 6:30 a.m. B) 7:00 a.m.
C) 7:30 a.m. D) 8:00 a.m. E) 8:30 am.
RESOLUCIÓN
* Tramo AB : d = O fV Vt
2
V V a
7 12
2V + a = 14 ..........(1)
* Tramo BC: d = O fV Vt
2
V a V 2a9 (1)
2
2V + 3a = 18 ....................(2)
De (1) y (2) V = 6 m/s
a = 2 m/s²
* En los primeros “t” segundos de su movimiento:
Vf = VO + at 6 = 0 + 2t
t = 3h
Inicia su movimiento a las:
10 am 3h = 7 am
RPTA.: B
19. Cuando una pelota choca
frontalmente contra una pared, su rapidez disminuye en un 10%. Si el choque dura 0,2 s y la rapidez
inicial fue de 20 m/s; determine el módulo de la aceleración media de
la pelota durante el choque. A) 90 m/s2 B) 150 m/s2
C) 160 m/s2 D) 190 m/s2 E) 120 m/s2
RESOLUCIÓN
2t s
10
f OV Va
t
18 20a 38(5)
2
10
a = 190 m/s²
RPTA.: D
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20. El móvil que se muestra en la
figura se desplaza desarrollando un MRUV acelerado con módulo
a = 4 m/s2, pasando por “B” con 20 m/s. ¿Cuál es la ecuación de su posición en función del tiempo
respecto al observador mostrado? (en t = 0 s el móvil pasa por
“A”).
A) x
= (-20 + 2 10 t +4t2) i
m
B) x
= (-20 - 4 10 t +2t2) i
m
C) x
= (-10 - 4 10 t +4t2) i
m
D) x
= (-10 + 2 10 t +2t2) i
m
E) x
= (-10 + 4 10 t +2t2) i
m
RESOLUCIÓN
* Tramo AB 2 2f 0V V 2ad
(20)² = 2AV +2(4)(30)
2AV = 160
VA = 4 10 m/s
* Luego tenemos:
o
o
x 10m
V 4 10m /s
a 4m /s²
La ecuación de su posición es:
0 0
1x x v t a t²
2
1x 10 4 10 t 4 t²
2
x 10 4 10t 2t² m
RPTA.: E
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SEMANA 3
CINEMÁTICA (II PARTE)
1. La figura mostrada representa el movimiento de los autos A y B.
Halle la distancia (en m) que los separa en el instante t = 9 s.
A) 100
B) 85
C) 95
D) 90
E) 80
RESOLUCIÓN
De la figura:
10
03
2010
Am
Ax 10t 20 m …................. (1)
3
10
06
200
Bm
B
10x t 20 m
3
…..............(2)
Si:
t = 9 s 70Ax m
Bx 10m
BA xxx
mx 80
RPTA.: E
2. Una partícula se mueve en trayectoria rectilínea a lo largo del eje x. Su velocidad varía con el
tiempo como se ve en la figura. Si en t = 0 s su posición es
oˆx 2 i m. ¿Cuáles de las
siguientes proposiciones son
correctas?
I. En t = 6 s el móvil invierte la dirección de su movimiento.
II. En t =8 s el móvil se ha desplazado
i6 m.
III. En t = 10 s la posición del móvil es
ix ˆ4
m.
A) VVV
B) VFF
C) FFF
D) VVF
E) VFV
RESOLUCIÓN
I) (V)
II) x = 321
AAA
x = 8 + 8 10
x 6i m
(v)
III) F 0x x x
Donde:
0x 2 i m
x 8 8 20 i m
Luego:
Fx 2 i 4 i 2 im
(F)
RPTA.: D
3. Halle la ecuación de la posición “y”
en función del tiempo “t” para un
móvil cuyo movimiento se describe
en la figura:
-20
x
( )m 20
10
3 6 t (s)
A
B
( / )V m s
4
2
4 6
10
t (s)
-5
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A) y = (– t2 + 8 t + 2) m
B) y = (t2 + 4 t + 16) m
C) y = (t2 + 2 t + 16) m
D) y = (– t2 + 4 t)m
E) y = (t2 – 4 t + 8) m
RESOLUCIÓN
)ky(cht 2
2
t 2 1(y 4)
2
t 2 1(y 4)
2y t 4t m
RPTA.: D
4. Un móvil desarrolla un MRUV cuya
gráfica posición vs. tiempo, se
muestra en la figura. Halle la
rapidez (en m/s) del móvil
correspondiente al punto P.
A) 1,0 B) 2,0 C) 3,0
D) 3,8 E) 4,2
RESOLUCIÓN
2
t 1 1(x 2)
Si: 1x m 21t s
Derivando:
dxdtt 12
)t(dt
dx12
t = 2 s s/mV 2
RPTA.: B
5. El movimiento de una partícula que se mueve en el eje “x” está descrito por la gráfica posición vs tiempo,
mostrada en la figura. Calcule su
velocidad media en el intervalo t
0 ; 10 s
x(m)
A) – 1,8 i
m/s B) + 0,2 i
m/s
C) + 1,8 i
m/s D) – 0,2 i
m/s
E) + 1,0 i
m/s
RESOLUCIÓN
m
0 2m ixV
t 10s
mv 0,2 i
m/s
RPTA.: D
y (m)
t (s) 2 3
3
4
Parábola
10
2
4 8
12
10 t (s)
( )x m
t (s) 1
2
1 P
PARÁBOLA
Física
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6. La gráfica x
vs t corresponde al
MRUV de un móvil. Indique la
verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes:
I. La aceleración es 0,5 i m/s2.
II. Su posición y velocidad iniciales son
10 i m y – 2 i m/s.
III. Su rapidez media en el tramo AC es 1 m/s.
A) FVV B) VFV C) VVF D) FVF E) VVV
RESOLUCIÓN
)x(t 8222
2
2
1210 ttx
2F 0 0
1x x V t a t
2
I) 2a 0,5 i m/s
(F)
II) 0x 10 i m/s
oV 2i m/s (V)
III) Velocidad media
C Ax x x 0
m A CV 0
Rapidez media
m
e 4mR 1m/ s
t 4s
RPTA.: E
7. En la gráfica x
vs t mostrada en la
figura; si en uno de los tramos la
rapidez es el triple que en el otro. Halle el instante de tiempo en que
el móvil pasa por x = 0.
A) 16 s
B) 12 s
C) 18 s
D) 24 s
E) 40/3 s
RESOLUCIÓN
tVm AA
600 .............…(1)
t
Vm BB
24
060............…(2)
AB VV 3 ..............…(3)
(1) y (2) en (3):
t 18s
RPTA.: C
8. De la llave de un caño malogrado
que está a 7,2
j m de altura cae
una gota de agua cada 0,1 s. Cuando está por caer la tercera
gota, se termina de malograr el caño y sale un chorro grande de
agua. ¿Cuál deberá ser la velocidad con la que sale el chorro para que alcance a la primera gota, en el
preciso momento que esta choque con el piso?
(g = – 10 j
m/s²)
A) –1,8 j
m/s B) –2 j
m/s
C) –2,2 j
m/s D) –2,4 j
m/s
E) –3 j
m/s
( )x m
t (s)
60
24
( )x m
10
8
2 t (s)
C
Parábola
A
Física
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RESOLUCIÓN GotaChorro hh
220527 ),t(,
t = 1 s
Chorro:
20
1h V t gt
2
2
015127 )()(v,
oV 2,2 j m/s
RPTA.: C
9. Desde el piso se lanzan dos
pelotitas, la primera con una
velocidad de +30 j
m/s y la
segunda 2 s después pero a
+40 j
m/s. ¿Qué distancia las
separa cuando la primera llega a su
altura máxima?
(g = – 10 j
m/s²)
A) 80 m B) 25 m C) 10 m
D) 15 m E) 45 m
RESOLUCIÓN
2F o o
1h h V t gt
2
2
fh 0 40(1) 5(1)
mhf 35
m)(
hmax 45102
302
mh 10
RPTA.: C
10. Una partícula en caída libre,
aumenta su velocidad en –20 j
m/s, en 4 s; a la vez que se
desplaza –80 j
m. Halle la
aceleración de la gravedad en ese lugar.
A) –10 j
m/s² B) –8 j
m/s²
C) –7 j
m/s² D) –6 j
m/s²
E) –5 j
m/s²
RESOLUCIÓN
F 0V V gt
F 0V V g(4)
20 j g(4)
RPTA.: E
11. Una pelota cae verticalmente al piso
y rebota en él. La velocidad justo
antes del choque es – V j
m/s y
justo después del choque es +0,9
V j
m/s. Si la pelota se deja caer
desde 1 j
m de altura, ¿a qué
altura llegará después del primer
bote? (g = – 9,8 j
m/s²)
0,1
0,1
t
v
t
3s
0Fv
3-2=1 s
h
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A) 0,90 j
m B) 1,00 j
m
C) 0,95 j
m D) 0,85 j
m
E) 0,81 j
m
RESOLUCIÓN
2
02
1t.gtVh
2941 t,
7
10t
t.gVVF 0
10417
1089 ,V,V FF
2
22 máx
VV 0,9(1,4 10) h
2g
máx
h 0,81 j m
RPTA.: E
12. Un cuerpo cae libremente desde el reposo. La mitad de su recorrido
lo realiza en el último segundo de su movimiento. Hallar el tiempo total de la caída. (g = 10 m/s²)
A) 3,41 s B) 1,41 s C) 4,0 s
D) 2,0 s E) 3,0 s
RESOLUCIÓN
1H gt² 5t²
2 …..............(1)
2H 1g(t 1)
2 2
H = 10 (t 1)² ..............(2)
De (1) y (2) se obtiene
t = 2 + 2 = 3,41 s
RPTA.: A
13. Un cuerpo es soltado desde una
altura “H” y la recorre en 12 s.
¿Cuánto tiempo tardó en recorrer
la primera mitad de “H”?
A) 3 2 s B) 4 2 s
C) 5 2 s D) 6 2 s
E) 5 s
RESOLUCIÓN
25tH
mH)(H 7201252
ºtH 2
53602
st 26
RPTA.: D
14. Desde una altura de 100 m se
deja caer una partícula y al mismo
tiempo desde el piso es
proyectada otra partícula
verticalmente hacia arriba. Si las
dos partículas tienen la misma
rapidez cuando se encuentran.
¿Qué altura ha recorrido la
partícula lanzada desde el piso?
(g = 10 m/s²)
A) 60 m B) 35 m C) 50 m
D) 20 m E) 75 m
RESOLUCIÓN
H/2
H/2
00v
t
1’’v
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2
15th ….......................(1)
2
2 Ah V t 5t ...............…(2)
gtV
gtVV A
Igualando: gt = VA gt
En (2) gtVA 2
2
h = 15t ….....................(3)
(1) +(3)
s/mVt A 5205
mh 752
RPTA.: E
15. Hallar la rapidez con la que se
debe lanzar una pelotita
verticalmente hacia abajo para
que se desplace -100 j
m durante
el cuarto segundo de su
movimiento. (g = – 10 j
m/s²)
A) 25 m/s B) 35 m/s
C) 45 m/s D) 65 m/s
E) 55 m/s
RESOLUCIÓN
2454100 )()(Vx .............(1)
2353 vx ........................(2)
(1) – (2)
s/mV 65
RPTA.: D
16. Se lanza un proyectil con una rapidez VO = 50 m/s, perpendicular al plano inclinado
como se muestra en la figura. Halle el tiempo de vuelo.
(g = 10 m/s²)
A) 8,5 s
B) 10,5 s
C) 12,5 s
D) 7,5 s
E) 3,5 s
RESOLUCIÓN
37º
VO
B
A
B
A
00v
t 1h
2h
v
Av
v
t
100m
v
''3 x
''1
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oy
2F 0
1h h V0 t gt
2
20 3k 40t 5t
ktt 34052 ...................(1)
tk 304
tk2
15 ..........................(2)
(2) en (1)
ttt2
153405
2
t=12,5 s
RPTA.: C
17. En la figura se muestra la
trayectoria parabólica de un
proyectil. Halle el ángulo
A) 30º B) 27º C) 45º D) 53º E) 60º
RESOLUCIÓN
t.VCosx t
VCos10
210 VSen t 5t
210 5t
VSent
Vsen 4
tg 53ºVcos 3
RPTA.: D
18. Un proyectil sigue la trayectoria
mostrada en la figura; calcule la altura H (en m).
(g = –10 j
m/s²)
A) 5,50 B) 7,25 C) 8,75 D) 12,40 E) 15,00
RESOLUCIÓN
ghVVF 22
0
2
h20201522
m,h 758
RPTA.: C
0V
10 m 30 m
10 m
H
0V
53º 15 15BV i j
B
53º
3k
4k
5k
37º
50m/s
30m/s
40 m /s
C
10
t
t t
t
DB
A E
SenV
CosV
10
20m/s
s/mVx 15
s/mXy 15
s/mVx 15
Física
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19. Sobre el techo de un tren que se
mueve en línea recta y a velocidad constante está parado un pasajero.
Este deja caer una piedra desde lo alto de su mano. ¿Cuál es la trayectoria de la piedra para una
persona parada en tierra que está justo frente al pasajero cuando deja
caer la piedra? (g = 10 m/s²)
A) Horizontal opuesta al
movimiento del tren.
B) Vertical hacia abajo. C) Horizontal en la dirección del
movimiento del tren. D) Describe una curva hacia abajo
opuesta al movimiento del
tren.
E) Describe una curva hacia abajo
y en la dirección del movimiento del tren.
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
20. Desde la parte superior de la azotea
de un edificio de 5 m de altura, se lanza horizontalmente una pelotita y cae al suelo en un punto situado a
una distancia de 1,5 m del borde de
la azotea. Calcule Tg , donde es
el ángulo que forma la velocidad de la pelotita con la horizontal en el instante en que esta llega al suelo.
(g = 10 m/s²)
A) 20/7 B) 20/9 C) 20/19 D) 19/20 E) 20/3
RESOLUCIÓN
t.Vx x
t.V, x51
2
5ttVh y
2505 t
t = 1 s
xV 1,5 m/s
tVVy 100
10yV m/s
10 m/s 20
tg1,5 m/s 3
RPTA.: E
V
5m
1,5m
yv
xv
Física
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SEMANA 4
ESTÁTICA
1. ¿Cuál es la gráfica que mejor representa el diagrama de cuerpo libre de la barra homogénea en
equilibrio, mostrada en la figura?
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
2. En el sistema que se muestra en la figura, el cuerpo de masa
m = 0,5 kg está sobre el plato de una balanza, en esta situación la
balanza indica 0,2 kg. ¿Cuál es la masa del bloque P (en kg) si el sistema se encuentra en
equilibrio?
RESOLUCIÓN
D.C.L de la masa “m”
Para el equilibrio se cumple que:
yF 0
02
mgP
N
P
mg N2
m g
(0,5)kg (0,2)kg2
m = 0,6 kg. RPTA.: B
3. Los bloques A y B se encuentran en equilibrio en la forma
mostrada en la figura. Halle la relación de sus masas, si las
poleas son ingrávidas.
.
A) B) C)
D) E)
30°
P
m
Polea liso A) 0,8
B) 0,6
C) 0,5
D) 0,3
E) 0,2
g
53° B
A
g
A) 3/5
B) 3/10
C) 1/4
D) 2/5
E) 1/2
= 0
30º
P/2T=P=m’g
mg
N
Física
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RESOLUCIÓN
D. C. L para c/u de los bloques
Aplicando equilibrio de fuerzas
(F = 0) se cumple que:
Para 2T =5
4gmA
Para T = gmB
Luego:
5
42 gmgm AB
5
2
A
B
m
m
RPTA.: D
4. Si las esferas idénticas de masa m = 27 kg se mantienen en
equilibrio en la posición mostrada en la figura. Calcule la deformación que experimenta
el resorte de constante de rigidez k = 1800N/m que se
encuentra en posición vertical. (g = 10 m/s2)
RESOLUCIÓN
Para el equilibrio se cumple:
0 yF
540kx
1800x = 540
x = 0,3 m = 30 cm
RPTA.: C
5. Un cable flexible y homogéneo, de
masa M y 13 m de longitud, se encuentra en equilibrio en la
posición mostrada en la figura. Si no hay rozamiento, calcule la longitud “x “(en metros).
RESOLUCIÓN
D.C.L. del cable
= 0
A) 10 cm
B) 20 cm
C) 30 cm
D) 40 cm
E) 50 cm
30° 53°
X
A) 2
B) 5
C) 8
D) 7
E) 6
A
B
T
gmB
2t
A
4m g
5
gmA
N
N N
N
270N
kx
270N
´
1N
2N
1P
2P
2P Sen53º1P Sen30º
13 xMg
13
xMg
13
Física
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Para que el cable permanezca en
equilibrio (F = 0) se cumple que:
5
4
132
1
13
13.Mg
x.Mg
x
65 5x = 8x
13x = 65
x = 5m RPTA.: B
6. Un joven de masa m = 60 kg se
encuentra sujeto de una cuerda
inextensible de 5 m de longitud,
a través de una argolla lisa, tal
como se muestra en la figura. Si
las paredes están separadas 4 m
entre si, halle la magnitud de la
tensión en la cuerda.
(g = 10 m/s2)
RESOLUCIÓN
D.C.L. de la argolla
0 xF
TCos=TCos =
yF 0
TSen+TSen=600
2TSen = 600 N TSen = 300N
Donde: º37
3005
3
T
T = 500N RPTA.: E
7. Calcule la magnitud de las
tensiones (en N) en las cuerdas A
y B respectivamente, si el bloque
de masa m = 6 kg se
encuentra en equilibrio, en la
figura mostrada.
(g = 10 m/s2)
RESOLUCIÓN
D.C.L. nodo “O”
53° 37°
m
A B
A) 40; 30
B) 48; 36
C) 36; 16
D) 35; 50
E) 60; 30
A) 375 N
B) 600 N
C) 300 N
D) 450 N
E) 500 N
TCos TCos
TSenTSen
T
600N
T
53º37º
N60
BTAT
Física
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Método del triángulo
Por ser un triángulo notable
37º 53º se cumple que: TA = 4k; TB = 3k;
w = 60 N = 5 k
Donde: 60N
k 12N5
Luego:
NTA 48
NTB 36
RPTA.: B
8. Si el coeficiente de rozamiento
estático entre la superficie
inclinada y la caja de masa
M = 10 kg es = 0,1. ¿En qué
intervalo de valores debe variar
la magnitud de la fuerza F
(en N)
para mantener la caja en
equilibrio? F
es paralela al plano
inclinado. (g = 10 m/s2)
RESOLUCIÓN
1º caso: Cuando la caja trata de
siderlizar hacia abajo (F es mínima)
0 xF
minF 8N 60N 0
NFmin 52
2º caso: cuando la caja trata de
siderlizar hacia arriba
0 xF
0608 MaxF
NFMax 68
6852 F
RPTA.: D
4u
3u
M
g
A) 26 F 45
B) 52 F 68
C) 86 F 104
D) 45 F 52
E) 68 F 86
F
37º
53º
AT
AT
60N
sf 0,1 (80) 8N
=8N
N
80N
100
60N
minF
xy
sf µN 0,1 (80) 8N
N
80N
100
60N
máxF
xy
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9. Mediante una fuerza horizontal F
, se
lleva hacia arriba un bloque de 50N con velocidad constante sobre el plano inclinado que se muestra en la figura. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el plano y el bloque es 0,5. Determine la magnitud de dicha fuerza (g = 10 m/s2)
RESOLUCIÓN
Si el bloque lleva velocidad constante, se halla en equilibrio,
luego:
0 xF
0 yF
NFFx
2
140
5
30
NFFy 305
40
Reemplazando N (fza. normal):
30
5
4
2
140
5
3FF
155
240
5
3 FF
555
F
F = 275N
10. En la figura se muestra una barra
de masa m = 3 kg en posición
vertical y apoyada sobre una cuña de masa “M”. Halle la magnitud de
la fuerza F (en N) para mantener el sistema en equilibrio. Despreciar todo tipo de
rozamiento. (g = 10 m/s2)
RESOLUCIÓN D.C.L. de la cuña:
D.C.L. de la barra
NSen60º= 310 N
3102
3N
N=20
53°
A) 25N
B) 5N
C) 65N
D) 105N
E) 275N
F
F
m
30°
A) 20
B) 10
C) 0
D) 7,5
E) 15
60
mg 10 3 N
60NCos
60NSenN
Nfr cc
50
F
4F
5
3F
553º
x
N
V = cte
N
60NSen
60º
NCos60º
30
N
F
Mg
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Luego
F= NCos60º
NF 102
120
RPTA.: B
11. Calcular el momento resultante (en N.m) respecto del punto O en
la barra homogénea y horizontal de 3m de longitud y masa m = 5 kg, (g = 10 m/s2)
..
RESOLUCIÓN
10205040 MMMMMR
RM 40 75 40 0
.m.NMR75
RPTA.: E
12. Una barra homogénea en posición
horizontal de masa m = 3 kg se encuentra en equilibrio, como se
muestra en la figura. Hallar la magnitud de la diferencia de las
fuerzasTF
RESOLUCIÓN
Fy = 0 80 FT
00RM
53505230 F,
15+30=F
F=45 N
T=35 N
(F T) = 10 N
RPTA.: E
13. El sistema mostrado en la figura
está en equilibrio. Determine la magnitud de la fuerza de reacción
en el apoyo O sobre la varilla. El peso de las poleas y varilla se desprecia.
T F
3m 2m
50N
A) 50 N
B) 40 N
C) 30 N
D) 20 N
E) 10 N
A) +155 B) +75 C) -25
D)-155 E) -75
1m
2m
40N
20N
10N
g
O
80N
2m 4m
O
g
A) 20 N
B) 10 N C) 30 N D) 40 N
E) 100 N
20N
10 N
2m
1.5m
40N1m
o
50 N
FT
2m
50 N
02,5 m
3m
30 N
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RESOLUCIÓN
Sobre la varilla se cumple:
R= F + 20 ............................(1) Hallamos F
Aplicando 2da. Cond. de equilibrio:
F
0M 0
(20)(2)=F(4)
F=10N R=30N
RPTA.: C
14. Para el sistema en equilibrio que
se muestra en la figura, hallar la deformación del resorte que está
en posición vertical. La constante elástica es K = 300 N/m. La masa de la esfera homogénea y
de las barras es m = 6 kg, (g = 10 m/s2)
RESOLUCIÓN
µF = 0 R(2L) 60Cos60º L
2R=602
1
R=15N
0 yF
kx 60 15
kx 75
320x=75
75
x300
1
x m4
cmx 25
RPTA.: C
15. Calcule la magnitud de la fuerza de reacción en la articulación
sobre la varilla en equilibrio y de peso despreciable. Desprecie el
rozamiento. (g = 10 m/s2)
= 30° A) 15cm B) 20cm
C) 25cm D) 30cm
E) 35cm
L
L
R
R
30 30
60
60
kx
30
15
15Sen3015Sen30
1530
F20 N
R
0
40
40 N
80 N
2 m
20 N20 N
4 m
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RESOLUCIÓN
5
32(20)R
NR 24 RPTA.: D
16. En la figura se muestra dos barras
homogéneas en equilibrio. Si la barra de masa M está a punto de
deslizar sobre las superficies de contacto Halle el coeficiente de
rozamiento estático “ “ entre las
barras.
RESOLUCIÓN
Para 2M
00 FM
),(Mg)('N 5221
Mg'N 5
Para M
0 yF
MgN 62
3 …
0 xF
MgN 5 …
en
2
5 MgMg 65
62
252
u
025
122 u
5
7112
5
32 ),(u
680,u
RPTA.: D
2M
M
1m 4m
5/2
A) 0,72
B) 0,82
C) 0,68
D) 0,52 E) 0,40
2 kg
74°
liso A) 40 N
B) 42 N
C) 36 N
D) 24 N
E) 20 N
2TCos53
R
N
2Mg
Mg
'N1m
'
smáx Nr'f
'N
'
smáx Nfr 2
3
2,5m
Mg
MgN'5
Mg5
'N2
3
Ny
x
1
2
2 1
R
53º
53º
T = 20 N
T = 20 N
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17. Una barra homogénea de masa m = 3kg se mantiene en la
posición que se muestra en la figura. Hallar la magnitud de la
fuerza horizontal mínima F para mantener el equilibrio.
(g = 10 m/s2)
RESOLUCIÓN
0 yF
N=30N
Hallamos N´
00FM
30(1,5)=N’(1) N’=45N
0 xF
F + (0,4) (N)=N’ F + (0,4)(30)=45
F + 12 =45º
F=33 N RPTA.: D
18. En la figura se muestra un cilindro homogéneo de masa m = 6kg a
punto de deslizar sobre la superficie horizontal. Hallar el
coeficiente de rozamiento estático y la magnitud de la tensión en la cuerda AB. (g = 10 m/s2)
RESOLUCIÓN
D.C.L. del cilindro
0 yF
00FM ; N = 90 N
50.R=fs . R
fr = 50= N
95/
40 N
50 N
0 yF
T = 90N
RPTA.: C
F = 50N A B
37°
F
3m
= 0
s = 0,4
1m
A) 45 N
B) 12 N
C) 33 N
D) 57 N
E) 51 N
A) 2/3; 45 N B) 3/4; 90 N
C) 5/9; 90 N D) 5/6; 45 N
E) 4/9; 50 N
30N
N
)N)(,(fr 40G
F
N
40
5030
60N
T0
N
fs
T
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19. En la figura se muestra una viga homogénea AB sobre un plano
inclinado. Halle el coeficiente de rozamiento estático entre la viga
y el plano, si la viga está a punto de deslizar y girar sobre su extremo A
RESOLUCIÓN
00FM
LFLMg 225
24
MgF25
12
MgN25
12
0 xF
Mgfsmax25
7
MgMg25
7
25
12
12
7
580,
RPTA.: D
20. Para el sistema en equilibrio que
se muestra en la figura, halle la magnitud de la fuerza de reacción
en el punto de apoyo O, si los pesos de los bloques A y B se diferencian en 15N y la barra de
peso despreciable se mantiene horizontal.
B
2m 1m
o
A
g
M
A
B
16
°
A) 0,29
B) 0,58
C) 0,62
D) 0,75
E) 0,28
A) 2 N B) 6 N C) 5 N
D) 3 N E) 9 N
F
MgCos º Mg24
1625
Mg
MgS
en16
º:
N Mg F 24
25s sf µ N
0
F
y
Mg
7
25
x
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RESOLUCIÓN
Para A
mgTN
Para B
''Tg'mT
mg''Tg'mN
''T..g'mmgN
N ''T 15
RPTA.: D
R=3
B
Amg
m'g
T
T’
T’’
T’’
N
N
T=T’
T T
T´
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SEMANA 5
DINÁMICA
1. Al lanzarse un disco sólido sobre la superficie de un lago congelado,
este adquiere una rapidez inicial de 25 m/s. Determine la distancia
que recorre el disco hasta detenerse, si el coeficiente de
fricción cinética entre el disco y el hielo es 0,25. (g = 10 m/s²)
A) 120 m B) 125 m C) 130 m D) 625 m
E) 250 m
RESOLUCIÓN
Por 2da Ley Newton:
kf ma
kN ma
k mg ma
, a a , m/s 20 25 10 2 5
Por Cinemática:
2
fV º 2
0V 2ad
v
da
2
0
2
( )
d,
225
2 2 5
d m 125
RPTA.: B
2. El bloque mostrado en la figura tiene una masa de 20 kg y posee
una aceleración de magnitud a = 10 m/s². Calcule la magnitud
de la fuerza F1. (µk=0,2)(g=10 m/s)
A) 206N B) 106N C) 306N D) 180N E) 80N
RESOLUCIÓN
Por 2da. Ley Newton: RF ma
1 kF N 90 20 10
Donde: N 120 200
N N 80
Luego:
F1 0,2 . 80 90 = 200
F1 = 306 N RPTA.: C
3. Se tienen dos bloques unidos por una cuerda inextensible, como se observa en la figura. Si los
coeficientes de rozamiento entre los bloques m1 y m2 con el plano
inclinado son 0,20 y 0,25 respectivamente, hallar la magnitud de la aceleración del
sistema. (m1 = 2 kg; m2 = 1 kg)
(g = 10 m/s²)
a
53º
F2 = 150N
F1 µk
m1
37º
m2
fV 0cV 25m/s
N
fk
d=?
mgk
2F 150N
fk
90 N
120 N
200N
F1
a
N
53º
k
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A) 4,26 m/s² B) 3,26 m/s² C) 2 m/s² D) 1 m/s²
E) 6 m/s²
RESOLUCIÓN
Para "m "1
Eje “x”
RF ma
f T a 1
12 2 ; f1 = µ1 . N1
Eje “y”: yF 0
N 1
16 N
Luego:
, T a 12 0 20 16 2
, T a... 8 8 2 ........................(I)
Para"m "2
Eje “x”:
T f a 2
6 1 ; f2 = µ2.N2
Eje “y”: N N2
8
Luego:
T , a 6 0 25 8
T , a 6 2 0
T a 4 .............................(II)
Sumando (I) y (II) 12,8 =3a
2a= 4,26 m/s
RPTA.: A
4. En el sistema mostrado en la figura, determine la magnitud de la fuerza “F”, para que la masa
“m” ascienda con una aceleración de magnitud “a”. (Las poleas
tienen peso despreciable)
A) ag/2
B) mg/2 C) m(2a+g)
D) m(a-g)/2 E) m(a+g)/2
RESOLUCIÓN
DCL de la masa “m”
Por 2da Ley de Newton: FR = m.a
2F – mg = ma
m a gF
2
RPTA.: E
g F
m
37º
m 1
m 2
m
2F
m.g
a
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5. En el sistema mostrado en la figura, se tienen los bloques “1” y
“2” inicialmente en reposo. Si cortamos la cuerda que une al
bloque “1” con el piso, hallar la magnitud de la aceleración que adquiere el sistema y la rapidez
con la cual llega el bloque “2” al piso. (m1 = 2 kg; m2 = 3 kg)
A) 2 m/s²; 3m/s
B) 2 m/s²; 6m/s
C) 3 m/s²; 3m/s
D) 4 m/s²; 6m/s
E) 5 m/s²; 6m/s
RESOLUCIÓN
Por 2da ley de Newton: F2 = m.a
Para m2:
30 T 3a .................(I)
Para m1:
T 20 2a ................(II)
Sumando (I) y (II)
a m/s 22
Por Cinemática:
fV V2 2
0ad 2
fV ( )( )2
2 2 9
fV m/s 6
RPTA.: B
6. Determine la magnitud de la fuerza entre los bloques “A” y “B” de masas 30 kg y 20 kg
respectivamente, mostrados en la figura. Considere que las
superficies son lisas
A) 420N B) 380N C) 480N
D) 500N E) 600N
RESOLUCIÓN
Se sabe: FR = mtotal . a
A B(m m )a 600 400
a200 50
a m/s 24
Analizo el bloque A:
1
2
9m
A B
F1=600
N
F2=400
N
A BF N2
400F N1
600
a
2
20N
a
T
30N
Corte
T
V 0
0
9m
fV ?
a
1
A600 N
wA
NA
R
a
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FR = m.a
600 R 30a
600 R 30 4
R N 480
RPTA.: C
7. En la figura mostrada, determine
la magnitud de la tensión en la
cuerda que une los bloques (1) y
(2). Considere que las superficies
son lisas.
(m1 = 5 kg; m2 = 15 kg)
A) 3,25 N B) 12,5 N C) 6,25 N
D) 5 N E) 20,5 N
RESOLUCIÓN
Para el sistema:
F (m m )a 1 2
25 20a
a , m/s 212 5
Tomando "m "1
T m a
T , 5 12 5
T 6,25N
RPTA.: C
8. El sistema mostrado en la figura,
tiene una aceleración de
magnitud a = 30 m/s². Si la masa
de la esfera es 10 kg, determine
la magnitud de la fuerza entre la
superficie vertical lisa y la esfera.
A) 125 N
B) 100 N
C) 75 N
D) 225 N
E) 80 N
RESOLUCIÓN
Eje Horizontal:
R T ma 3
5
R T 3
10 305
R T ...(I) 3
3005
Eje vertical:
T 4
1005
T N...(I) 125
(II) en (I)
R ( ) 3125 300
5
R N 225
RPTA.: D
37º
a
1 2 F = 25 N
Cuerda
21T T F = 25 N
T
37º
T3
5
R
T4
5
100N
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9. Hallar la magnitud de la
aceleración del sistema mostrado
en la figura, para que el bloque de
masa “m” permanezca en reposo
respecto del carro de masa M.
A) 13,3 m/s²
B) 5,3 m/s²
C) 2 m/s²
D) 7 m/s²
E) 15 m/s²
RESOLUCIÓN
Eje Horizontal:
FR = m.a N ma...4
5.........(I)
Eje vertical:
F F N mg...
3
5....(II)
(I) (II)
a
a gg
4 4
3 3
4
103
a , m/s 213 3
RPTA.: A
10. Calcule la magnitud de la
aceleración (en m/s2) que tiene un
cuerpo de masa 10 kg, si se
encuentra sometido a la acción de
las fuerzas 1F 5 i 3 j
y 2F 7 i 2 j
A) 1,3 B) 2,3 C) 13
D) 2,0 E) 7,0
RESOLUCIÓN Según el enunciado:
1 2F 5i 3j, F 7i 2j
RF F F 1 2
RF 12i 5j
R RF F 2 2
12 5
RF N 13
Por 2da. Ley Newton:
RF ma
Ra F /m
a 13
10
a , m/s 21 3
RPTA.: A
11. La figura muestra dos fuerzas de
magnitudes F1 = 12 N y F2 = 5 N,
que actúan sobre el cuerpo de
masa 5 kg. Calcule las magnitudes
de la fuerza neta sobre el cuerpo
(en N) y de su aceleración (en
m/s²).
A) 13; 1,6
B) 13; 2,6
C) 15; 2,6
D) 10; 2,6
E) 2,6; 16
m
g
M F
53º
F1
y
m
F2
x
N
53º
4N
5
3N
5
mg
53º
a
x
Física
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RESOLUCIÓN
Por Pitágoras
F F F 2 2
1 2
F ( ) 2 2
12 5
F N 13
Además: F ma
a F /m
a / 13 5
a , m/s 22 6
RPTA.: B
12. Calcule la magnitud de la
aceleración angular que tiene un
disco, sabiendo que es capaz de
triplicar su velocidad angular
luego de dar 400 vueltas en 20 s
A) 2 rad/s² B) 1 rad/s²
C) 3 rad/s² D) 4 rad/s²
E) 5 rad/s²
RESOLUCIÓN Dinámica Curvilínea y
Circunferencial
Sabemos que:
f t 0
1
2
0
1400 4 20
2
rad/s 0
10
Además: f
t t
0
t
0
2 2 10
20
rad/s 21
RPTA.: B
13. Un cuerpo parte del reposo desde
un punto “A” describiendo un
movimiento circular, acelerando a
razón de 2 rad/s². En cierto
instante pasa por un punto “B”, y
1 segundo después pasa por otro
punto “C”. Si el ángulo girado
entre los puntos B y C es /2 rad,
calcular la rapidez angular al
pasar por el punto “C” y el tiempo
transcurrido desde “A” hasta “B”.
A) 2
1(+2) rad/s;
4
1 ( -2) s
B) 2
1(-2) rad/s;
2
1 (+ 2) s
C) 4
1(+2) rad/s;
3
1 ( - 2) s
D) rad/s;2
1s
E) 2
1(3+1) rad/s;
3
1 ( - 2) s
x
y
m
FF2
F1
? 0
0
3
700
t s 20
Física
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RESOLUCIÓN
Tramo BC:
BC Bt t 21
2
B( ) ( ) 21
1 2 12 2
B rad / s
12
Además:
C B t
c ( )
1 2 12
c
12 rad/ s
2
Tramo AB:
B A t
B t
ABt
1 2
2
AB
1t 2 s
4
RPTA.: A
14. Una partícula se mueve
describiendo una circunferencia
con movimiento uniformemente
variado de acuerdo a la siguiente
ley: = 7 + 3t² - 5t, donde “”
está en radianes y “t” en
segundos. Calcule su rapidez
angular al cabo de 5 s de iniciado
su movimiento
A) 6 rad/s B) 10 rad/s
C) 25 rad/s D) 8 rad/s
E) 7 rad/s
RESOLUCIÓN
t t...(I) 27 3 5
Sabemos que:
fx x v t at ...MRUV 2
0 0
1
2
f t t ...MCUV 2
0 0
1
2
De (I)
t t 27 5 3
Donde:
rad 0
7
rad/s 0
5
rad/s 26
Hallo “” luego de 5 s
f t 0
f 5 6 5
f rad/s 25
RPTA.: C
15. La figura muestra un cuerpo de
masa 5 kg unido a una cuerda
inextensible e ingrávida y de 8m
longitud, girando sobre un plano
vertical. En el instante mostrado
en la figura, calcule las
magnitudes de la tensión de la
cuerda y de la aceleración
angular.
A) 390 N;2rad/s² B) 290 N; 1 rad/s² C) 200 N; 1 rad/s²
V = 16m/s
37º
Horizontal
8 m
o
B C ?
BC
2
BCt 1s
rad/s 22
ABt
A 0
B CA
Física
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D) 100 N; 2 rad/s² E) 80 N; 3 rad/s²
RESOLUCIÓN
Datos:
v 16m/s
R m 8
De la figura:
rad cF ma
V
T mR
2
30
T
2
10 1630
8
T N 290
Además:
T TF ma
T Ta a m/s 240 5 8
Ta R
Ta /R rad/s 281
8
RPTA.: B
16. Para el instante mostrado en la figura, el radio de curvatura es
(50/3) m. La esfera tiene una masa 0,2 kg. Si la resistencia
ejercida por el aire tiene una magnitud de 0,4N y es contraria a la velocidad, determine el módulo
de la aceleración tangencial (en m/s²) para dicho instante.
A) 8
B) 10
C) 7
D) 9
E) 6
10 m/s = V
g
50 N
40 N
RADIAL
37º
53º
30 N
Tangencial
T
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RESOLUCIÓN
Datos:
TV m/s 10
R 50
3
Eje radial:
RAD cF ma
V
CosR
2
22
10
Cos/
2
1022
10 50 3
Cos / 3 5
º 53
Eje tangencial
aire TF Sen º ma 2 53
T, a 4 2
0 4 25 10
Ta2
210
Ta m/s 210
RPTA.: B
17. Una esfera de 2 kg se lanza bajo cierto ángulo con la horizontal. Si
el aire ejerce una resistencia
constante de -5
i N, determine la
magnitud de la aceleración tangencial y el radio de curvatura
para el instante en que su
velocidad es V 6 i 8 j m/s.
A) 6,5 m/s²; 12,5m B) 7,5m/s²; 12,5 m
C) 3,5 m/s²; 12,5m D) 1,5 m/s²; 2,0 m E) 7,0 m/s²; 4,0 m
RESOLUCIÓN
V i j 6 8
V V m/s 10
Tg 8
6
Tg 4
3
º 53
Eje Tangencial
T TF ma
16 3 = 2 aT
T = 6,5 m/s²
Eje Radial
RAD CF ma
RAD
vF m
2
2
1012 4 2
= 12,5 m RPTA.: A
20 N
16N
HORIZ.
VERTICAL
4N
5N
3N
12N
º53
TANGENCIA
L
RADIAL
6 m/s
8 m/s
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18. Una esfera de masa 1,5 kg describe la trayectoria curvilínea
mostrada en la figura. Si para un instante dado su velocidad es
V 8 i 6 j m/s.
y el aire ejerce
una fuerza de resistencia
F 5 iN
, determine para dicho
instante la magnitud de la
aceleración (en m/s2) de la esfera.
A) (10/3) 2
B) (10/3) 3
C) (10/3) 5
D) 5 3
E) 4 3
RESOLUCIÓN
V i J 8 6
V V m/s 10
Tg 6
8
Tg 3
4
º 37
Eje tangencial:
r TF ma
T, a 9 4 1 5
Ta / m/s 210 3
Eje radial:
RAD CF ma
c, a 12 3 1 5
ca m/s 210
j ca a a 2 2
2
210a 10
3
210a 3m/s
3
RPTA.: B
19. Para el instante que se muestra en la figura, el aire ejerce una
fuerza de resistencia opuesta al movimiento de magnitud 16N sobre la esfera de masa 4 kg. Si el
dinamómetro “D” indica 40 N, determine las magnitudes de la
fuerza centrípeta y de la fuerza tangencial respectivamente.
A) 16N;18N
B) 16N;14N
C) 16N;16N
D) 18N;17N
E) 13N;12N
V
g
g 53º
D
Ta
a
a
Circunferencia
Imaginaria
RADIAL
TANGENCIAL
HORIZ
VERTICAL
15N
37º
9N 37º
3N
4N
5N
12N
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RESOLUCIÓN
Eje Radial:
RADF 40 24
RAD cpF F N 16
Eje Tangencial:
TF 32 16
TF N 16
RPTA.: C
20. Tres bloques mostrados en la figura, de masas iguales a 100 g,
se encuentran sobre una superficie horizontal lisa unidos
por cuerdas livianas, inextensibles y de longitudes iguales a 1m. Si el
sistema se hace girar alrededor del eje vertical con rapidez
angular constante = 2 rad/s,
hallar la magnitud de las tensiones (en Newton) T1, T2 y T3 respectivamente.
A) 2.4; 2; 1.2 B) 3; 2.4; 5
C) 1; 2; 4.2 D) 2; 1; 0.5 E) 4; 3; 5
RESOLUCIÓN
RAD cF ma
Para “m1”
T T mw .R 2
1 2 1
T T ( ) .( ) 1 2
1 210 2 1
T T ...(I) 1
1 240 10
Para“m2”
T T mw .R 2
2 3 2
T T 1
2 310 4 2
T T ...(II) 1
2 38 10
Para“m3”
T T mw .R 2
2 3 3
T 1
310 4 3
T , N3
1 2
T N2
2
T , N1
2 4
m m m T1 T2 T3
w
0
g
40N
53º
16 N
40NN
32
TANGENCIAL
RADIAL
53º 1m 2m 3m1m 1m
1m
m1
T1
T2
m2
T2
T3
m3
T3
Física
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SEMANA 6
TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA
MECÁNICA
1. Un automóvil de 1 500 kg de masa
acelera desde el reposo hasta alcanzar
una rapidez de 20 m/s, recorriendo una
distancia de 200 m a lo largo de una
carretera horizontal. Durante este
período, actúa una fuerza de
rozamiento de 1 000 N de magnitud. Si
la fuerza que mueve al automóvil es
constante, ¿Cuál es el trabajo que ella
realiza?
A) 100 kJ B) 200 kJ C) 300 kJ
D) 500 kJ E) 800 kJ
RESOLUCIÓN
Cálculo de FW (Trabajo
realizado por la fuerza F)
Se sabe: WF = F . d
WF = F . (200 m) ...............(1)
Hallo “F” aplicando 2da. ley de
Newton.
Es decir: FR = ma
2 2
0
2
fk
V VF f m
d
220 0F 100N 1500 N
2 200
F = 2500 N
Reemplazando “F” en (1):
WF = 2500 N . 200 m = 500 kJ
RPTA.: D
2. Una fuerza F (300 i)N
arrastra un
bloque de 200 kg de masa, una distancia de 25 m sobre una
superficie horizontal. Si la fuerza de
fricción es Kf ( 200 i) N
, ¿cuál es
el trabajo neto realizado sobre el bloque?, ¿cuál es la magnitud de la
aceleración del bloque?
A) 2 500 J ; 0,1 m/s2 B) 2 500 J ; 0,5 m/s2 C) 7 500 J ; 0,5 m/s2
D) 6 000 J ; 1,5 m/s2 E) 250 J ; 0,5 m/s2
RESOLUCIÓN
Cálculo de WNeto(Trabajo Neto)
Se cumple: WNeto = FR . d
Donde: RF N N N 300 200 100
Luego:
NetoW 100N 25m 2500J
Cálculo de “a” (magnitud de la aceleración)
R
2
F 100N ma a 0,5
m 200kg s
RPTA.: B
mF
mg0V 0a
N
kf 1000N
fV 20m/s
d = 200 m m
mg
m
N
300N a
d = 25 m
200N
Física
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3. ¿Qué trabajo neto se realiza sobre el bloque, para desplazarlo 50 m
sobre el piso horizontal liso?
A) 1000 J B) 0 C) 400 J
D) 500 J E) 2000 J
RESOLUCIÓN
Neto RW F d
De la figura:
50 37 30RF NCos º N
RF 10N
Luego:
WNeto = 10 N . 50 m = 500 J
RPTA.: D
4. Calcule el trabajo neto realizado
sobre un esquiador de 70 kg de
masa que desciende 50 m por una
pendiente de 16º sin rozamiento.
(g = 10 m/s²)
A) 8 400 J B) 5 600 J
C) 2 000 J D) 4 900 J
E) 9 800 J
RESOLUCIÓN
Neto RW F d
De la figura:
RF 700 Sen16º 196N
Dato: d = 50 m Luego:
WNeto = 196 N . 50 m
= 9800 J RPTA.: E
5. Una caja de masa m se suelta
desde la parte más alta de un plano
inclinado, de altura h y longitud L,
¿Qué trabajo realiza la fuerza
gravitatoria sobre la caja cuando
recorre todo el plano inclinado?
(g = aceleración de la gravedad)
A) mgh B) mgL C) 2 mgh
D) 2 mgL E) mgh/L
RESOLUCIÓN
30 N
50 N
37°
mg
37º30N
d=50mN
50N
mg = 700 N
16º
movim.
16ºN
movim.Nh
mg
Física
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Se sabe: FW F d
Luego:
PesoW mgSen L
Peso
hW mg L
L
PesoW mgh
RPTA.: A
6. Un motor tiene que elevar un
ascensor de 1 000 kg de masa, que
se halla en reposo sobre el suelo,
hasta que alcanza una rapidez de 3
m/s a una altura de 12 m. ¿Cuánto
trabajo tendrá que realizar el
motor?
Asumir que la fuerza sobre el
ascensor es constante en todo
momento y que g = 10 m/s².
A) 36 000 J B) 124 500 J
C) 4 600 J D) 72 000 J
E) 9 200 J
RESOLUCIÓN El DCL del ascensor será:
Para calcular el trabajo realizado
por F, primero hallo F aplicando la 2da. Ley de Newton.
f oR
V VF ma ; a m/s²
d
2 23
2 8
3F 10000 1000
8
F = 10375 N
Calcule de “ FW ”
(Trabajo realizado por F)
FW F.d
WF = 10375 N . 12 m
WF = 124500 J RPTA.: B
7. Una fuerza F (30 i 40 j) N
actúa
sobre partícula que experimenta
un desplazamiento d 6 i 2 j
m.
Encuentre el trabajo realizado por la
fuerza F
sobre la partícula y el
ángulo entre F
y d
.
E) 100 J ; 10 10arc cos( / )
RESOLUCIÓN
Se sabe: FW F d
Luego:
WF = (30;40).(6;2)
WF = 180+(80)
WF = 100 J
Cálculo de “ ”
(Ángulo entre F y d )
Si cumple que:
FW F d Fd cos
100 = (50) ( 40 ) Cos
10cos
10
10arco cos
10
RPTA.: E
a
W = 10000 N
F
Física
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8. Un arquero jala la cuerda de su arco 0,5 m ejerciendo una fuerza
que aumenta de manera uniforme de cero a 250 N ¿Cuánto trabajo
desarrolla el arquero?
A) 75 J B) 62,5 J C) 100 J
D) 57,5 J E) 125 J
RESOLUCIÓN Si la fuerza varía de manera
uniforme, entonces el trabajo realizado por esta fuerza es igual al
trabajo realizado por una fuerza elástica. Es decir:
21W kx
2 ; donde:
F 250Nk
x 0,5m
21 250 N
W 0,5 m 62,5J2 0,5m
Otro método: Construya la gráfica “F vs X” y halle el área.
RPTA.: B
9. Una fuerza F (4x i 3y j) N
actúa
sobre una partícula conforme ella se
mueve en la dirección x, desde el
origen hasta x 5m . Encuentre el
trabajo efectuado sobre la partícula
por la fuerza F
A) 60 J B) 90 J C) 50 J D) 50 J E) 100 J
RESOLUCIÓN
Nota: La fuerza “3y” no realiza
trabajo porque es perpendicular al desplazamiento.
Gráfica de FX vs X
W = Área
5 20W = 50J
2
RPTA.: C
10. La fuerza F paralela al eje x, que
actúa sobre una partícula, varía
como la muestra la figura “F vs. x”.
Si el trabajo realizado por la fuerza
cuando la partícula se mueve en la
dirección x, desde x0 = 0 hasta “xf”
es 70 J, ¿cuál es el valor de xf?
A) 12 m B) 16 m C) 20 m D) 15 m E) 18 m
RESOLUCIÓN
F (N)
x (m) 5 10
20
xf
-10
4x
3y
x
movimiento
5 m
Física
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En una gráfica “F vs X”, se cumple que:
W = Área ….....................(1)
Por condición: W = 70 J De la figura dada:
Área = x 10 1010 20
2 2
En (1):
x 10 1010 2070
2 2
x = 16 m RPTA.: B
11. Un ascensor tiene una masa de 1 000 kg y transporta una carga
de 800 kg. Una fuerza de fricción constante de 4 000 N retarda su
movimiento hacia arriba, ¿cuál debe ser la potencia entregada por el
motor para levantar el ascensor a una rapidez constante de 3 m/s?
A) 36,4 kW B) 59,3 kW C) 64,9 Kw D) 24,6 kW
E) 47,2 kW
RESOLUCIÓN
Si V= cte., se cumple:
F F
Total kF W f
F = 21640 N
Cálculo de “P” (Potencia)
P = F . V
P = 21640 N . 3 m/s
P = 64920 watts
P = 64,92 kW RPTA.: C
12. Un auto de 1500 kg de masa acelera uniformemente desde el
reposo hasta alcanzar una rapidez de 10 m/s en 3 s. Encuentre la potencia media (en kW) entregada
por el motor en los primeros 3 s y la potencia instantánea (en kW)
entregada por el motor en t = 2 s.
A) 25 ; 30 B) 25 ; 33,33
C) 15 ; 20 D) 15 ; 30 E) 25 ; 27,5
RESOLUCIÓN Hallo Potencia media
WP
t
2
fm VF d 2P 25kW
t t
Hallo Potencia instantánea en: t = 2s
P = F . V
15000F m a N
3
20V m / s V en t 2s
3
1500 20
P 33,33 kW3 3
V 3m / s cte.
fk = 4000 N
Wtotal = (1800 kg) . g
F
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RPTA.: B
13. ¿Cuál es la eficiencia de un motor
que pierde una potencia equivalente a la tercera parte de la potencia útil?
A) 25% B) 30% C) 50%
D) 75% E) 80%
RESOLUCIÓN
Se sabe = útil%
ABS
Pn %
P 100
Donde:
PABS = Pútil + Ppérdidas = útil
útil útil
P 4P P
3 3
Luego:
útil%
útil
Pn 100% 75%
4P
3
RPTA.: D
14. Una esfera de 200 g de masa se lanza verticalmente hacia arriba con
una rapidez de 30 m/s ¿Cuál es la relación entre su energía cinética y
su energía potencial luego de 2s de haberse lanzado? (g = 10 m/s2)
A) 1
2 B)
1
4 C)
1
3
D) 1
6 E)
1
8
RESOLUCIÓN
c(f)
PG(f)
1mE 2
E
2
fV
m
21(10)
1210(40) 8gh
* f o
mV V gt 10
s
* o
1h V t gt² 40m
2
RPTA.: E
15. Un bloque de 10 kg de masa se une
a un resorte, de constante de
rigidez K = 10³ N
m, como se ve en
la figura. El resorte se comprime
una distancia de 9 cm e
inmediatamente se suelta desde el
reposo. Calcule la rapidez máxima
que alcanza el bloque durante su
movimiento. Considere que las
superficies son lisas.
A) 0,9 m/s B) 0,3 m/s C) 0,5 m/s D) 0,7 m/s
E) 1,3 m/s
RESOLUCIÓN Por conservación de la energía se
cumple que:
PE(o) k(f)E E
Reemplazando:
2 2
máx
1 1kx m V
2 2
Vmáx = 0,9 m/s
P.E. = Posición de
equilibrio
9 cm
k
Física
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RPTA.: A
16. Un cuerpo comienza a caer desde el reposo por acción de la gravedad.
Cuando está a una altura H sobre el suelo se verifica que su energía cinética es igual a su energía
potencial, la rapidez del cuerpo en este punto es Vo; el cuerpo sigue
bajando y llega a una altura sobre el suelo igual a H/2, en ese instante determine la rapidez del cuerpo en
función de Vo.
A) 0
2V
3 B) 0
3V
2 C)
0
3V
2
D) 0
2V
3 E) 03V
RESOLUCIÓN Por condición:
H
2
k PG(H) 0
1E E mV mgH
2
V
gH 2
0
2
Por conservación de la energía:
M(H/ )M HE E
2
2 2
0 f
1 1 HmV mgH mV mg
2 2 2
f 0
3V V
2
RPTA.: B
17. Una fuerza resultante de 200 N de
magnitud actúa sobre una masa de
80 kg. Si la masa parte del reposo,
¿cuáles son su energía cinética y su
rapidez respectivamente, al haberse
desplazado 5 m?
A) 1 000 J ; 5 m/s
B) 2 000 J ; 5 m/s
C) 1 000 J ; 25 m/s
D) 4 000 J ; 5 m/s
E) 2 000 J ; 10 m/s
RESOLUCIÓN Por teorema del trabajo y la
energía cinética:
RF k k(O)k fW E E E
(200)(5) J = K F
E 0
EK(f) = 1000 J
Halle “ fV ”
2
k(f) f
1E mV
2
1000 = 2
f
180 V
2
Vf = 5 m/s
RPTA.: A
18. Un bloque de 5 kg de masa se lanza
sobre un plano inclinado con una rapidez inicial V0 = 8 m/s, según
muestra la figura. El bloque se detiene después de recorrer 3 m a lo largo del plano, el cual está
inclinado 30º respecto de la horizontal. Calcule el coeficiente de
fricción cinético. (g = 10 m/s2)
A) 0,25
B) 0,46
C) 0,58
D) 0,68
E) 0,75
RESOLUCIÓN
37o
0V
V0
Física
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Se cumple:
kf MW E
kf kM f MW E E f d mgh mV 2
00
1
2
2
k 0
1mg cos37º mgh mV
2
µk = 0,58
RPTA.: C
19. A partir del reposo en el punto A de
la figura, una cuenta de 0,5 kg se desliza sobre un alambre curvo. El
segmento de A a B no tiene fricción y el segmento de B a C es rugoso. Si la cuenta se detiene en C,
encuentre la energía perdida debido a la fricción. (g = 10 m/s²).
A) 15 J B) 20 J C) 30 J
D) 25 J E) 50 J
RESOLUCIÓN La energía “perdida” es igual a:
M(c) M(A)E E = 10 J 25 J = 15 J
* El signo menos indica que se trata
de energía perdida.
RPTA.: A
20. El carro que se mueve sobre la
montaña rusa mostrada en la figura
pasa por el punto A con una rapidez
de 3 m/s. La magnitud de la fuerza
de fricción es igual a la quinta parte
del peso del carro. ¿Qué rapidez
tendrá el carro al pasar por el punto
B? La longitud de A a B es 60 m.
(g =10 m/s2)
C) 13 m/s D) 16 m/s
E) 30 m/s
RESOLUCIÓN Se cumple:
fk M M(B) M(A)W E E E
2 2
k B A
1 1f d mV mgH mV
2 2
Por condición: fk = mg/5
Resolviendo se obtiene:
VB = 13 m/s
RPTA.: C
5 m
B
C
A
2 m
20 m
VB
VA
A
B
Física
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SEMANA 7
CANTIDAD DE MOVIMIENTO,
IMPULSO DE UNA FUERZA Y
CHOQUES
1. Una bala de masa 5 g impacta horizontalmente en una tabla con una rapidez de 500 m/s. Producto
de las irregularidades de la tabla, la bala se desvía de la horizontal un
ángulo “”, emergiendo con una rapidez de 100 m/s. Si el espesor de la tabla es de 80 cm y la
pérdida de energía es de 599,97 J, ¿cuál es el ángulo de desviación
producido?
A) 45º B) 53º C) 60º
D) 37º E) 30º RESOLUCIÓN
Se debe asumir que la tabla con la
que impacta la bala permanece en
reposo. Por el principio de conservación de
la energía, se establece la siguiente ecuación:
A BM M ABE E Q
2 2
A A AB
1 1mV mU mgh Q
2 2
23
23 3
15 10 500
2
15 10 100 5 10 10 h 599,97
2
Resolviendo: h = 0,6 m
= 1 0,6tg 37º
0,8
RPTA. D
2. Una esfera de masa 100 g es abandonada desde una altura de 20
m respecto al piso. Si al impactar contra el piso, éste ejerce un
impulso de 3 N.s, ¿con qué rapidez (en m/s) rebota la esfera?
A) 5 B) 6 C) 10 D) 12 E) 15
RESOLUCIÓN
Aplicando C. L. al movimiento de
la esfera, se calcula 1V :
1 0V V gt
1V 20 j m/s
Además:
1 1I p mu mV
13 0,1 u 0,1 20 j
1u 10 Jm/s
1u 10 m/s
RPTA. C
3. Una pelota elástica de masa 250 g que se mueve a una rapidez de 20
m/s, tal como se muestra en la figura, impacta con una pared vertical y rebota con una rapidez de
14 m/s. Determine el impulso (en N.s) y la fuerza (en N) que le da la
pared a la pelota, si la interacción duró 1/100 s.
M
V = 500 m/s
5g = m
80 cm
500 m/s
A
h
B
100 m/s
20 m 1V 1u
0V 0
I 3N.S
Física
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A) 8,5() N.s; 8 500 N
B) 8,5 ()N.s; 850 N
C) 8,5() N.s; 8 500 N
D) 8,5() N.s; 850 N
E) 85 () N.s; 8 500 N
RESOLUCIÓN
Se cumple: I P F t
1 1I m u v
I 0,25 14 i 20 i
I 8,5 i
N.S
I=8,5 N.S
Además:
IF 850 i N
t
RPTA. D
4. Un niño de masa 30 kg que está parado sobre una pista de hielo lanza una pelota de 600 g con una
velocidad de V = 10() (m/s). Despreciando la fricción entre el
niño y el hielo, encuentre la velocidad del niño (en m/s) luego que lanza la pelota.
A) 0,5() B) 0,2()
C) 0,5() D) 2,0()
E) 0,2()
RESOLUCIÓN
Reposo
Se cumple: 0 FP P
P N PN N P N Pm V m V m u m u
N PN Pm u m u
N30 u 0,6 10 i
Nu 0,2 i m/s
Nu 0,2 m/s
RPTA. B
5. Un bloque de masa 10 kg es soltado
desde una altura de 20 m respecto
de una balanza de resorte,
impactando sobre ella. Si el impacto
dura 0,5 s, ¿cuál es la lectura media
de la balanza?
A) 400 N B) 300 N
C) 500 N D) 200 N
E) 250 N
RESOLUCIÓN
114m/s u
1V 20m/s1u
2u
1V
2V 0
M=10 kg
V = 020 m
0,5 s
mg
R
Física
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Se cumple que al impactar con el plato de la balanza:
1 0V V at 20m/s
y 2V 0
Rp F t R mg t
fm V
0V R mg t
Reemplazando valores: R= 500 N RPTA. C
6. Un hombre de masa “m” está
parado sobre un carrito de masa
“M = 9m” que se mueve con una
rapidez de 15 m/s, en la dirección
mostrada en la figura. Si el hombre
comienza a moverse a 5 m/s,
respecto al carrito, en dirección
contraria, ¿cuál es la nueva
velocidad (en m/s) del carrito?
A) 17,2 ()
B) 17,2()
C) 15,5()
D) 15,5 ()
E) 14,5 ()
RESOLUCIÓN
M m V m u M
10 m 15i m
u 5i 9m
u
150 î u 5 î 9u
u 15,5 îm/s
()
RPTA. D
7. Desde el extremo de una
plataforma móvil de masa 80 kg,
inicialmente en reposo, un niño de
40 kg corre hacia el otro extremo
con una rapidez constante de 1m/s,
respecto de la plataforma, tal como
se muestra en la figura. Determinar
la velocidad de la plataforma y el
desplazamiento del niño, si la
plataforma mide 6 m.
A) 1/3 m/s (); 2 m
B) 1/3 m/s (); 4 m
C) 3 m/s (); 4 m
D) 3 m/s (); 2 m
E) 1/3 m/s (); 4 m
m
Mm
6 m
m
V
V=15 m/s
M= 9m
P
Antes = P
u
5 m/s
Despues
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RESOLUCIÓN
Por conservación P
:
0 FP P
0 m u Mu
0 40 1 u 80 u
80 u 40
1 u i
2u 1 u
1
u m/s3
* Se cumple:
d x 6 xt
1 2v
3 3
x = 2m
Niñod 4m
RPTA. E
8. Una pelota de masa 150 g impacta
sobre una superficie horizontal
rugosa con una rapidez de 48 m/s
formando un ángulo de 53º con la
horizontal. Si la rapidez con la que
rebota es de 14 m/s y forma un
ángulo de 53º con la vertical.
Determine la magnitud de la fuerza
media que recibió la pelota durante
el impacto, si éste duró 0,05 s.
A) 51 N B) 102 N
C) 150 N D) 75 N
E) 93 N
RESOLUCIÓN
Se cumple:
I F t p
f oF t m V V
f 0
m 0,15F V V 14 37º 48 53º
t 0,05
M= 80kg
u
m=40 kg
0V 0
1m/s
x6-x
6m
14 m/s
48 m/s
53º
53º
53º
fV 48m/s
37º
V
fV 14m/s
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0,15
F 500,05
F = 150 N RPTA. C
9. Dos cuerpos de masas M1 = 7 kg y
M2 = 3 kg se encuentran separados
inicialmente 50 m, y se mueven en sentidos contrarios a la largo de
una superficie horizontal. Si luego de un tiempo de 2 s chocan entre sí, quedándose unidos, determine la
rapidez luego del impacto, sabiendo que la rapidez inicial de M1 es de
15 m/s.
A) 7,5 m/s B) 13,5 m/s C) 15 m/s D) 12 m/s
E) 10 m/s
RESOLUCIÓN
M1 = 7 kg M2 = 3 kg
De la condición inicial:
1 2
dtenc
V V
2
50a
15 V
2V 10m/s
Además:
0 F 1 21 2 1 2P P M V M V M M u
RPTA. A
10. En el instante mostrado en la
figura, la rapidez de la esfera, de masa 100 g, es de 30 m/s. Si la pérdida de energía producida
hasta que impacta con la pared es de 25 J, ¿cuál es la rapidez con la
que rebota de la pared instantes después de impactarla, si el coeficiente de restitución es de 0,6?
A) 18 m/s
B) 25 m/s
C) 12 m/s
D) 20 m/s
E) 15 m/s
V
ANTES DEL
CHOQUE
DESPUÉS DEL
CHOQUE
10 m/s 15 m/s 7 m/s 8m/s
(7) (15 i ) + (3) (-10 i) = (7+3) u
u 7,5i m/s
1 2
2V1V 15m/s
50 m
1 2
uu
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RESOLUCIÓN
En el impacto con la pared se cumple:
rel.alej 1
1rel.acerc
V ue
vV
1 1u ev ……………………………….…..(1)
Además: 2 2
1
1E m V V
2
2 2
1
125 0,1 V 30
2
1V 20m/s …………………..…….en(1)
1u 0,6 20 12m/s
RPTA. C
11. De los gráficos a continuación se
puede afirmar que:
I. La velocidad relativa de alejamiento tiene una
magnitud de 15 m/s II. La velocidad relativa de
acercamiento tiene una
magnitud de 25 m/s. III. El coeficiente de restitución es
0,04
A) Sólo I B) Sólo II
C) Sólo III D) I y III E) II y III
RESOLUCIÓN
Antes del choque
rel.acer 1 2V u u
rel.acer 1 2V u u
rel.acerV 25 m/s
Después del choque
rel.alej 2 1V u u
rel.alej 2 1V u u
rel.alejV 8i 7i
rel.alejV 1m/s
rel.alej
rel.acerc
V 1e 0,04
V 25
RPTA. E
1V
1uM= 100g
V= 30 m/s
E 25J
rel.acerV 10 i 15 i
10 m/s 15 m/s
7 m/s 8 m/s
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12. Se lanza horizontalmente, tal como
se muestra en la figura, una masa
M1 = 4 kg con una rapidez de 15
m/s y aceleración de 5 m/s2, sobre
otra masa M2 = 16 kg, la cual se
encontraba en reposo. Si al cabo de
2 s, M1 impacta con M2, determine
la distancia que recorrerán ambas
masas, si luego del impacto M1 se
incrusta en M2.
A) 1,8 m
B) 2,5 m
C) 5,0 m
D) 7,5 m
E) 10 m
RESOLUCIÓN
Determinamos la rapidez de impacto de M1
1 0V V at 15 5 2 25 m/s
En el impacto se cumple: p 0
0 F 1 21 2 1 2P P M V M V M M u
11
1 2
M 4u V 25 5m/s
M M 4 16
Además: sM f sE w f d
2 2
f 0
1m V V uNd umgd
2
2
0
1V µgd
2
21 1
5 10 d2 4
d = 5 m
RPTA. C
13. De los enunciados, es falso que:
I. El área bajo la gráfica “fuerza vs
tiempo” representa la variación
de la cantidad de movimiento.
II. En un choque plástico, los
cuerpos no se deforman
permanentemente.
III. El coeficiente de restitución igual
a la unidad representa un
choque de naturaleza inelástico.
A) Sólo I B) Sólo II
C) Sólo III D) II y III
E) I y II
RESOLUCIÓN
I.
Área= f dt = impulso= p
(V)
II. Choque plástico deformación
máxima (F)
III. e = 1 choque elástico (F)
RPTA. D
14. En la figura se muestra una esfera
de 300 g de masa que es lanzada
horizontalmente con una rapidez de
40 m/s sobre una cuña de masa
400 g, la cual se encontraba
inicialmente en reposo. Si la cuña
se desliza sin fricción, y la esfera
rebota verticalmente, determine la
altura máxima que alcanzaría la
esfera desde el impacto.
=1/4 M2 M1
sf n
NF
mg
2M 2M
fV 0
u 1/4
u
M
a= m/s
1M
0V 15m/s
Inicial ÁREA
NF
st
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A) 40 m
B) 30 m
C) 20 m
D) 50 m
E) 15 m
RESOLUCIÓN
m = 300g ; M = 400 g
Antes
Después Analizando la cantidad de
movimiento en
x xo F 1 2P P mV MV
2300 40 400 u
2u 30m/s
Además, al no existir rozamiento:
ME cte
Instantes después del impacto:
0 F
2 2 2
k k 1 1 2
1 1 1E E mV mu Mu
2 2 2
2 22
10,3 40 0,3 u 0,4 30
1u 20 m/s
La altura máxima alcanzada es:
2 21
max
u 20H 20m
2g 2(10)
RPTA. C
15. Marcar la alternativa incorrecta:
A) La energía mecánica no se
conserva siempre en todos los choques.
B) La cantidad de movimiento es
una cantidad vectorial. C) El impulso es nulo si la cantidad
de movimiento permanece constante.
D) Si el cuerpo realiza un M.C.U., la
cantidad de movimiento es constante.
E) Si la variación de energía cinética es nula, entonces el coeficiente de restitución es
igual a la unidad.
RESOLUCIÓN
ctechoque elástico
a) ME
Máx. pérdida choque plástico
(V)
b) P mv
………………………………. (V)
c) I F t p 0
……………… (V)
d)
M.C.U. V (rapidez constante)
p 0
………………………………. (F)
e) k ME 0 E cte e 1
(elástico) ……………………. (V)
RPTA. D
M
2V 0
m
1V 40m/s
2u
1u
1u
V
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16. En el sistema que se muestra en la
figura, el ángulo “” que forma la rapidez con el piso al momento del
impacto es 37º. Si al rebotar, la rapidez forma un ángulo de 45º, determine el coeficiente de
rozamiento, sabiendo que el coeficiente de restitución es igual a
5/9.
A) 0,25
B) 0,80 C) 0,50
D) 0,60 E) 0,30
RESOLUCIÓN
Se cumple que:
tg µe
tg µ
tg 35º µ 5e
tg45º u 9
4µ
5 3
9 r u
Resolviendo: µ = 0,5 RPTA. C
17. Una pelota es lanzada
horizontalmente contra un plano
inclinado, el cual forma un ángulo
“” con la horizontal. Si el
coeficiente de rozamiento de la
pared es de 1/3, y el coeficiente de
restitución equivale a 12/13,
determinar el valor del ángulo “”.
A) 53º
B) 45º
C) 30º
D) 60º
E) 37º
RESOLUCIÓN
Se cumple:
1tg 90
12 3113
tg3
1ctg
12 3cgt 13113 3tg 1
tg3
1
12 3tg 1 13 3 1tg
Desarrollando: 236tg 25tg 39 0
9 tg + 13
4 tg - 3
9tg 13 4tg 3 0
13
tg9
3
tg4
37º
x
RPTA. E
45º
45º
37º
5e
9
tgi ue
tgr u
N
r
90 i
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18. Un cuerpo de masa m1 = 2 kg se
desliza sobre una mesa horizontal
sin fricción con una rapidez inicial
de 10 m/s, tal como se muestra en
la figura. Frente a él moviéndose en
la misma dirección se encuentra el
cuerpo de masa m2 = 5 kg cuya
rapidez inicial es de 3 m/s. Éste
tiene adosado un resorte en su
parte posterior, cuya constante de
rigidez es K = 1 120 N/m, ¿Cuál
será la máxima compresión del
resorte cuando los cuerpos
choquen?
A) 0,014 m B) 2,8 m
C) 0,14 m D) 0,28 m
E) 1,4 m
RESOLUCIÓN
Se cumple: p = 0
1 21 2 1 2m V m V m m u
2 10 î 5 3 îu
2 5
u 5 î m/s
Del sistema se comprueba:
Fe k x y 2
C S
1E M V
2
Energía cinética en la máxima deformación
2
FeW k x
Igualando condiciones de energía:
2 2
1 2
1m m u k x
2
1 2m m 2 5x u 5 0,28 m
2k 2(1 120)
RPTA. D
19. Una partícula A de masa mA se
encuentra sujeta por medio de un
resorte comprimido a la partícula B
de masa 2.mA, si la energía
almacenada en el resorte es de 60 J
¿qué energía cinética adquirirá cada
partícula luego de liberarlas?
A) 20 J y 38 J B) 28 J y 40 J
C) 20 J y 40 J D) 18 J y 40 J
E) 20 J y 50 J
5 kg
2 kg
10 m/s
3 m/s
5 kg2 kg
3 m/s10 m/s
5 kg2 kg
uu
xmax
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RESOLUCIÓN
CE 60J
Se cumple: p 0
0 F A BA BP P 0 m u m u
A A A B A B0 m u 2m u u 2u
B A
1u V
2 …………………………………..(1)
Además: O fEc cte Ec Ec
2 2
0 A A B B
1 1Ec m u m u
2 2
A
2
2
o A A A A
2
o A A f
1 1 1Ec m u 2m u
2 2 2
3 3 1 3Ec m u malla² Ec
4 2 2 2
Af o
3Ec Ec 60
2
AfEc 40J
Bf
Ec 20J
RPTA. C
20. Se rocía una pared con agua
empleando una manguera, la
velocidad del chorro de agua es de
5 m/s, su caudal es de 300 cm³/s,
si la densidad del agua es de
1 g/cm³ y se supone que el agua
no rebota hacia atrás, ¿cuál es la
fuerza promedio que el chorro de
agua ejerce sobre la pared?
A) 1,8 N B) 1,2 N C) 1,5 N
D) 2,5 N e) 0,5 N
RESOLUCIÓN
3Q =300cm /s 31g/cm
Determinemos la cantidad de masa en función de “t”:
3
3
cm gm Q 300 1 300g/s
s cm
Considerando “1s”: M=300 g=0,3 kg
Además:
fI F t p M V
0V
0
m 0,3F V 5î 1,5 îN
t 1
F =, 1,5 N RPTA. C
BA
Am A2mBuAu Vf 0
No rebota
V = 5 m/s
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SEMANA 8
M. A. S.
PÉNDULO SIMPLE
ONDAS MECÁNICAS
GRAVITACIÓN UNIVERSAL
1. La ecuación del movimiento de un
oscilador armónico tiene la forma
(t)
tx 2sen i m
2 4
. Luego, su
posición inicial y cuando t = 0,5 s
(en m) respectivamente son:
A) 2 i ; 2 i
B) i
; 2 i
C) i
; 3 i
D) - i
; 2 i
E) - i
, 2 i
RESOLUCIÓN Ecuación del movimiento:
t 2senx t i m2 4
a) Posición inicial
En t = 0s
0x 2sen 0 i m2 4
0 0x 2sen im x 2 i m4
b) Posición cuando t = 0,5 s
0,51
x 2sen i m2 2 4
0,5 0,5x 2sen im x 2 im2
RPTA.: A
2. La velocidad de una partícula que
realiza un M.A.S. está dada por:
V 18cos(3t 0,5) i (m/s)
Determine la amplitud (en m) y la
frecuencia de oscilación (en Hz).
A) 18 y B) 18 y 3/(2)
C) 6 y 2/3 D) 6 y 3/(2)
E) 9 y
RESOLUCIÓN Por condición del problema:
tV 18cos 3t 0,5 i (m/s)
Recordar que:
tV A cos t i (m/s)
Comparando las ecuaciones de tV
tenemos:
rad
3 A 18 A 6ms
Se sabe:
= 2 f f2
13 3f s f Hz
2 2
RPTA.: D
3. La ecuación de la aceleración de
un M.A.S. está dada por:
2a 18sen(3t 1) j (m/s )
Determine la amplitud de
oscilación.
A) 18 m B) 6 m C) 9 m
D) 2 m E) 1 m
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RESOLUCIÓN Por condición:
ta 18sen 3t 1 j m/s²
Recordar que:
ta w²A sen wt j m/ s²
Comparando ambas ecuaciones tenemos:
radw 3 w²A 18
s
A = 2m RPTA.: D
4. En un M.A.S. puede observarse que
cuando la partícula está a 1 cm de la posición de equilibrio su rapidez es 4 cm/s, y cuando se encuentra
a 2 cm del punto de equilibrio su
rapidez es 3 cm/s. Halle su
frecuencia cíclica en rad/s.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 5 E) 7
RESOLUCIÓN Recordar que en el M.A.S.:
V(t) = wA cos (wt + ) ó
V = w A² x²
Luego:
i) x1 = 1 cm V1 = 4 cm/s
4 = w A² 1 .........................(1)
ii) x2 = 2 cm V2 = 3 cm/s
3 = w A² 2 .........................(2)
(1) (2): 4 A² 1
3 A² 2
23
A²7
En (1) : 23
4 w 17
w = 7 rad/s RPTA.: E
5. Una partícula de 0,1 kg realiza un
M.A.S. La posición en función del tiempo está dada por:
(t)x 0,5sen 4t i m
3
Entonces, es correcto afirmar:
A) La magnitud de la aceleración
máxima es 16 m/s2. B) Su rapidez máxima es 3 m/s. C) Su energía cinética máxima es
0,4 J D) Su energía potencial máxima es
0,2 J E) Su período de oscilación es
4
s.
RESOLUCIÓN m = 0,1 kg
Ecuación del M.A.S.
tx 0,5sen 4t i m3
, que se
compara con:
tx Asen wt im
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A) Aceleración máxima:
w²A = 4²(0,5) = 8 m/s² B) Máxima rapidez = wA = 4(0,5) =
2 m/s C) Energía cinética máxima =
2
máx
1 1m V 0,1 2 ² 0,2 J
2 2
D) Energía potencial máxima =
Energía Cinética Máxima = 0,2 J E) Período de oscilación =
2 2
T sw 4 2
RPTA.: D
6. Una masa m tiene una oscilación
armónica dependiente del siguiente arreglo de resortes idénticos de
constante de rigidez k. Halle el período del M.A.S.
A) 5m
2k
B) 2m
k
C) 2m
23k
D) m
2k
E) 3m
22k
RESOLUCIÓN En una asociación de resortes se cumple que:
eq
mT 2
k ............................(1)
En (1): m 3m
T 2 T 22 2k
k3
RPTA.: E
7. La gráfica tvsX
representa el
M.A.S. de una partícula. Halle la ecuación de la posición en
función del tiempo para este movimiento.
m
)(mX
t(s)
4
-4
0 0,6
1,2
1,8 3
m
k k
k
m
k + k = 2k
k
1
eq
1 1 2k k
2k k 3
m
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A) x 2sen 3 t i m2
B) x 4sen 3 t i m2
C) 5 t
x 4sen i m6 2
RESOLUCIÓN
Del gráfico:
i) T = 2,4 s
12T s
5
2 2 5 rad
w w wT 12 /5 6 s
ii) A = 4 m Luego:
t
5x 4sen t i m
6.........(1)
Para:
t = 0 s; 0x 4 im
(ver gráfica)
Entonces:
05
x 4sen 0 i m6
4 = 4sen
sen = 1 = rad2
En (1):
t5
x 4sen t i m6 2
RPTA.: C
8. Indicar si es verdadero (V) o falso
(F), según corresponda, respecto al
período de un péndulo simple:
I. Es directamente proporcional a la
raíz cuadrada de su longitud.
II. Es Inversamente proporcional a la
raíz cuadrada de la magnitud de la
aceleración de la gravedad
efectiva.
III. Es dependiente de la masa del
péndulo.
IV. Es dependiente de la amplitud.
A) VFVF B) VVFF C) FFVV D) VFVV E) FVVF
RESOLUCIÓN Péndulo simple:
ef
LT 2
g ; para “” pequeño
I. T L ..........................(V)
II. T ef
1g
.........................(V)
III. T = T(m) ......................(F) No depende de la masa del
péndulo IV. T = T(A) ........................(F)
No depende de la amplitud. RPTA.: B
X(m)
t(s)
4
-4
0 0,6
1,2
1,8 3 2,4
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9. Un péndulo oscila en un plano
vertical con período de 2 segundos.
Al aumentar la longitud de la
cuerda en 25 cm, el nuevo período
es 3 segundos. ¿Cuál es la longitud
inicial de la cuerda?
A) 20 cm B) 18 cm
C) 17 cm D) 15 cm
E) 11 cm
RESOLUCIÓN
T0 = 2 s T0 = oL2
g
Tf = 3 s Tf = fL2
g
o o
f f
T L
T L ; dato: Lf = Lo + 25 cm
o
o
L2
3 L 25
o
o
L4
9 L 25
Lo = 20 cm
RPTA.: A
10. Un péndulo simple de longitud
6,25 m, que oscila en un plano
vertical, se encuentra suspendido
del techo de un carro. Si el carro
acelera horizontalmente con
2a 10 3 i (m/s )
. Determine el
período de oscilación.
(g = 10 ms-2)
A) No existe B) 5
T s2
C) /2 s D) 2 s
E) s4
RESOLUCIÓN
mg 10
s²
ma 10 3 i
s²
ef
ef
LT 2 ; g g² a²
g
2
2
6,25T 2
10 10 3
6,25T 2
20
5T s
2
RPTA.: B
11. Un péndulo de longitud L tiene un
período de oscilación T cuando se
encuentra dentro de un ascensor
en reposo. Si el ascensor sube
con una aceleración constante a
,
su período cambia. ¿Cuál debería
ser la nueva longitud del péndulo
si queremos que su período de
oscilación siga siendo T?
A) a
1 Lg
B)
a1 L
g
C) a
Lg
D) g
La
E) L
L = 6,25 m
P.E.
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RESOLUCIÓN
ef
L LT 2 T 2
g g a
A) En reposo (Ascensor): To = L
2g
B) Cuando sube acelerado:
ff
LT 2
g a
Condición:
período no varía Tf = To = T
2 fL2
g a
L
g
f
g aL L
g
f
aL 1 L
g
RPTA.: A
12. Dos péndulos iguales son colocados
uno en la Tierra, y el otro en un
planeta donde la magnitud de la
aceleración de la gravedad es 9
veces el valor de la misma en la
Tierra. Determine la relación entre
los períodos de ambos péndulos.
A) 1/2 B) 1/4 C) 2
D) 3 E) 9
RESOLUCIÓN En la tierra:
T
LT 2
g
En el planeta:
P
LT 2
9g ; porque: gP = 9g
Dividiendo:
P
T
2T
T
L
9g
2
P
T
T 1
T 9L
g
T
P
T3
T
RPTA.: D
13. La ecuación de una onda
transversal viajera está dada por
y
= 6sen (4t + 0,02x) j
, donde
x e y están en cm y t en segundos.
Determine la rapidez y dirección de
propagación de la onda.
A) 2m/s B) 2m/s
C) 3m/s D) 3m/s
E) 5m/s
RESOLUCIÓN
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60 cm
m
40 cm
Sentido de propagación ()
y
= 6sen (4t + 0,02x) j
cm
Comparando con:
t2 2
y Asen t x jcmT
2 2
A 6cm; 4 ; 0,02T
1
T s2
100cm
a) 100cm cm
V 2001T s
s2
m
V 2s
RPTA.: A
14. En una cuerda fija en ambos
extremos se aplica una tensión de 36 N y las ondas transversales que
se producen viajan con una rapidez de 20 m/s. ¿Qué tensión se requiere para producir ondas
transversales que se propaguen con una rapidez de 30 m/s en la
misma cuerda?
A) 81 N B) 18 N C) 16 N
D) 36 N E) 72 N
RESOLUCIÓN
Para una cuerda fija en ambos
extremos, tenemos: T
Vu
i) 36
20u
..............................(1)
ii) 30 = 1T
u..............................(2)
(2) (1):
1
1
TT30 3u
20 2 636
u
T1 = 81 N RPTA.: A
15. Un bloque de 10 kg está
suspendido por una cuerda de
masa 40 g, en la cual se producen ondas estacionarias, tal como se muestra en la figura. Hallar la
frecuencia de oscilación de las ondas (en Hz). (g = 10 m/s²)
A) 6,25 B) 125 C) 25 D) 20,5 E) 25,5
RESOLUCIÓN
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f = ??
* 3m 40 10 kg
u uL 100 cm
2u 4 10 kg/m
* 2
T 10(10) 100 mV V
u 2 s4 10
V = 50 m/s
* V = f;
De la figura: = 40 cm 2
m5
Luego: 2
50 f5
f = 125 Hz RPTA.: B
16. Una cuerda de 4 m de longitud y
8 g de masa, está sometida a una
tensión de 20 N. Determine la
frecuencia de la onda estacionaria
que se forma en la cuerda, si ésta
vibra en su modo fundamental.
A) 12,5 Hz B) 25 Hz
C) 50 Hz D) 15,5 Hz
E) 35,5 Hz
RESOLUCIÓN
Para onda estacionaria: n T
f2L µ
Modo fundamental
3
1 20f
2(4) 8 10 / 4
f = 12,5 Hz RPTA.: A
17. Un péndulo simple en la Tierra tiene un período
de 2 s . Determine su nuevo período al ser
llevado a un planeta cuya densidad promedio es
el doble de la densidad promedio terrestre, y
cuyo radio es la cuarta parte del radio terrestre.
A) 0,5 s B) 1 s C) 2 s
D) 4 s E) 8 s
RESOLUCIÓN
Para el planeta:
PP 2
P
Mg G
R ..............................(1)
Además:
TP T P
R2 R
4
PM
4
3
T
P
M2
4R ³
3
P
TP P
2 2
TP T
R ³
M RM2
RR R
En (1):
T PP 2
TT
P TP 2
T T
g
M Rg G 2
RR
R Mg 2 G
R R
T
P
T
R
4g 2 gR
P
gg
2
En la tierra:
LT 2 2 s
g
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En el planeta:
P
P
2 s
L LT 2 2
gg
2
L L2 2 2 2
g g
Reemplazando:
TP = 2 . 2 s
TP = 2 s
RPTA.: C
18. Suponga que la trayectoria elíptica
mostrada en la figura representa la
órbita de la Tierra alrededor del
Sol. Si el trayecto de A a B dura
2,4 meses, ¿qué parte del área
total, limitada por la elipse, es el
área sombreada?
A) ½ B) 1/3 C) 2/3
D) 1/5 E) 1/4
RESOLUCIÓN Por la 2da Ley de Kepler:
TOTAL TOTALAB
AB
TOTALAB
AB
TOTAL
A AA
t T 12meses
AA
2,4 12
12A 15
A 12 5
RPTA.: D
19. Un planeta tiene dos satélites que
giran concéntricamente en
trayectorias circulares. Uno de ellos
tiene periodo de 27 días, el otro
emplea 6 días en barrer el 75% del
área total de su círculo. Determine
la relación de sus radios.
A) 1/2 B) 3 C) 4
D) 7/3 E) 9/4
RESOLUCIÓN Para el satélite “1” = T1 = 27 días
Para el satélite “2” = 1 2
1 2
A A
t t
T75%A TA
6 días 2
2
T 8díasT
Por la 3ra Ley de Kepler:
32
1 1
2 2
32
1 1
2 2
T R
T R
R R27 9
8 R R 4
RPTA.: E
20. Halle el módulo de la fuerza de
atracción gravitacional entre dos
esferas uniformes de radios R1 y
R2, y densidades 1 y 2, cuando
están en contacto (G: Constante de
Gravitación Universal).
A) 2 2
1 2 1 2GR R
B) 3 3
1 2 1 2GR R ( )
C) 2 3 3
1 2 1 216 R R ( ) G
D) 2 3 3
1 2 1 2
16R R G
9
E)
2 3 3
1 2 1 2
2
1 2
16 R RG
9 (R R )
A
B
Sol Tierra
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RESOLUCIÓN
1 2
g 2
G M MF
d
Como están en contacto
d = R1 + R2
1 2 112
31 2
1
M M MFg G
4R R R3
3
1 1 1
3
2 2 2
4M R
3
4M R
3
En ():
3 3
1 1 2 2
2
1 2
4 4G R R
3 3FgR R
3 3
1 2 1 2
2
1 2
² R R16Fg G
9 R R
RPTA.: E
R1R2
2 2M ;
1 1M ;
Fg Fg
d
....()
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SEMANA 9
HIDROSTÁTICA
1. Un ladrillo de plomo de dimensiones 5 cm, 10 cm y 20 cm, descansa en un piso horizontal sobre su cara más
pequeña, ¿Cuál es la magnitud de la presión que ejerce el ladrillo sobre el
piso? (ρPb = 2,7 g/cm3 ; g = 10 m/s2)
A) 1,5 kPa B) 2,3 kPa C) 5,4 kPa D) 3,5 kPa E) 4,2 kPa
RESOLUCIÓN
6
Pb
4
V gmg 2 700 5 10 20 10 10P
A A 5 10 10
P 5400 Pa
P 5,4 kPa
RPTA.: C
2. En la figura se muestra un recipiente conteniendo tres líquidos no
miscibles. Determine la presión hidrostática que soporta el fondo del recipiente. (g = 9,8 m/s²)
agua = 1, 0 g/cm3
aceite = 0,8 g/cm3
mercurio = 13,6 g/cm3
A) 33,712 KPa
B) 44, 820 KPa
C) 30, 220 KPa
D) 25,220 KPa
E) 33,720 KPa
RESOLUCIÓN
2 2Fondo Hg Hg H O H O Ac AcP h h h g
FondoP 13,600 0,2 1000 0,4 800 0,4 98
2
FondoP 33 712N/m
RPTA.: A
3. Un buzo que se encuentra sumergido
en un lago soporta una presión total
de 3,5 atm. Determine la profundidad a la que se encuentra dicho buzo.
(ρLago= ρAgua ; Patm= 105 Pa ; g = 10 m/s2)
A) 15 m B) 20 m C) 25 m D) 30 m E) 35 m
RESOLUCIÓN
T Atm H H LagoP P P ; P g H
5 53,5 10 10 1000 10 H 5 42,5 10 10 H
H = 25 m
RPTA.: C
20 cm
Aceite
Agua 40 cm
40cm
Mercurio
A
5Pb
10
20
CA
2H O
Hg
0,4 m
0,4 m
0,2 m
H
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4. Se tiene un tubo en U parcialmente lleno con un líquido de densidad
relativa . Por una de sus ramas se
añade aceite de densidad relativa 0,8 hasta una altura de 12 cm. Cuando el sistema se equilibra la interfase
aire/aceite está a 6 cm sobre la interfase líquido/aire. Halle .
A) 0,4 B) 0,8 C) 1,6 D) 4,8 E) 9,6
RESOLUCIÓN
T(1) T(2)P P
2 2
atm ac atm LiquidoP g 12 10 P g 6 10
ac ac12 6 2 2(0,8)
= 31,6g/cm
RPTA.: C
5. En la figura se muestra un ascensor
que sube con una aceleración de
magnitud 2 m/s2. Dentro del ascensor hay un recipiente que contiene agua
hasta una altura h = 30 cm. Determine la presión hidrostática en el fondo del recipiente. (g = 10 m/s²)
A) 450 Pa
B) 900 Pa
C) 1800 Pa
D) 3600 Pa
E) 7200 Pa
RESOLUCIÓN
LiqH FondoP g a H
H FP 1 000 10 2 0,3
H FP 3600Pa
RPTA.: D
6. El tubo en forma de “U” mostrado en la
figura, contiene tres líquidos no miscibles A, B y C. Si las densidades de
A y C son 500 y 300 kg/m3
respectivamente. Determine la
densidad del líquido B.
A) 800 kg/m3
B) 200 kg/m3
C) 1600 kg/m3
D) 2200 kg/m3
E) 2400 kg/m3
A C
B
25cm
5cm
15cm
a
h
Líquido Líquido
Isóbara
Isóbara
6(2)(1)
6
6
A
C
E
I
T
E
2a 2m/s
H 0,3m
fondo
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RESOLUCIÓN
T 1 T 2P P
atm A A atm B B C cP g H P gH g H
B500 10 0,25 10 0,05 300 10 0,15
B
55 25 45
100
3
B 1 600 kg/m
RPTA.: C
7. Un tubo en forma de U, el cual tiene
brazos de secciones transversales A y
2A, contiene cierta cantidad de agua (ver figura). Halle la altura que sube
el nivel derecho del agua cuando por la rama izquierda ingresa aceite, que no se mezcla con el agua, y ocupa un
volumen de 12 cm de altura.
agua = 1, 0 g/cm3
aceite = 0,8 g/cm3
A) 3,1 cm
B) 3,2 cm
C) 3,3 cm
D) 3,4 cm
E) 3,5 cm
RESOLUCIÓN
Volumen Volumen
de 2H O = de 2H O
que baja que sube
2x A = x 2A
T 1 T 2P P
2ac H O12 g 3x g
0,8 12 1 3x
x = 3,2 cm RPTA.: B
8. El barómetro que se muestra en la figura contiene mercurio
(ρ = 13,6 g/cm3) hasta una altura de 26 cm (Patm = 76 cm de Hg). Calcule la presión (en kPa) ejercida por el
vapor de agua en el balón. (g = 10 m/s2)
A) 68
B) 42
C) 24
D) 12
E) 5
Vapor de Agua
26cm
Hg
A 2A
20cm
10cm
AGUA
C
(2)
A
(1)
0,15m
Isóbara
0,25 m
B
0,05 m
(1)
Isóbara
12 cm
(2)
x
2 AA
2x
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RESOLUCIÓN
T 1 T 2P P
2atm H O HgP PV P
2 2Hg H O H O76cm PV 26cmHg PV 50cmHg 0,5mHg
ó 2VH O Hg HgP g H 13 600 10 0,50 68000Pa
2H OPv 68KPa
RPTA.: A
9. ¿En qué punto de la varilla “MN”, a
partir de “M” será necesario aplicar la fuerza vertical “F” para que la varilla
de longitud L = 9m, articulada a émbolos de masa despreciables
permanezca horizontal? (A2 = 2A1).
A) 4 m
B) 5 m
C) 6 m
D) 8 m
E) 1 m
RESOLUCIÓN
F = F1 + F2
F = 3F1
1. 1 2
1 2
F F
A A
1 2
1 1
F F
A 2A 2 1F 2F
1 2F F F
1F 3F
2.
Tomando momento en
“N”
1F F
N NM M
1F 9 F x
1F 9 3 F 1 x
x = 3m
9 – x = 6 m
A 6 m de “M” RPTA.: C
A2
M N
F
A1
Agua
Vapor de
gH
atmP
(2)(1)
26 cm
2H O
Isóbara
x9-xM
“O”
N
1F 2F
F
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Líquido
10. Un cuerpo de masa 8 kg, pesa 60 N en el agua y 50 N en un líquido
desconocido, cuando está sumergido completamente. Determine la
densidad (en g/cm3) del líquido desconocido. (g = 10 m/s2)
A) 1,7 B) 1,8 C) 1,3
D) 1,5 E) 1,6
RESOLUCIÓN En Agua: E= 80- 60
2H O V g 20 ………………………….(1)
En líquido desconocido: E= 80- 50
x g V 30 …………………..…..…..(2)
(2) (1):
2
x
H O
g V 30
g V 20
2x H O
31,5
2 3g/cm
RPTA.: D
11. La esfera de densidad “” está sumergida entre dos líquidos no
miscibles A y B, de densidades 3/2,12 cmgy respectivamente, tal
como se muestra en la figura. ¿Cuál es la densidad de la esfera para que
la mitad de ella se encuentre en el líquido más denso?
A) 0,8 g/cm3
B) 1,6 g/cm3
C) 1,8 g/cm3
D) 3,2 g/cm3
E) 2,4 g/cm3
RESOLUCIÓN
1 2mg E E
esf esfesf 1 L
V VV g g g
2 2 ;Vesf =V
1 2
2
32 1,21,6 g/cm
2
RPTA.: B
12. La figura muestra un cubo flotante del
cual sobresale las (2/5) partes de su volumen. Encuentre la relación DS/DL.
(DS = densidad del sólido, DL = densidad del líquido)
A) 5/2
B) 2/5
C) 5/3
D) 3/5
E) 2/3
B
A
2E
mg
1E1
2
Física
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RESOLUCIÓN
W = E
L smg g V
S V g L g 3
V5
S
L
3
5
RPTA.: D
13. ¿Qué porcentaje de un cubo de
madera flotará en un recipiente que contiene aceite, sabiendo que la densidad de la madera es de
0,6 g/cm3 y la densidad del aceite 0,8 g/cm3.
A) 10% B) 25% C) 50% D) 75% E) 80%
RESOLUCIÓN
E =mg
ac Mg a a a x g a a a
0,8 (a-x)=0,6 a
0,2 a = 0,8 x
1x
4 a
Flota (por encima) = 25% RPTA.: B
14. Dos bloques de 20 N y 80 N de peso e
igual volumen, flotan tal como se
muestra en la figura. Determine la
deformación del resorte.
(K=10 N/cm)
A) 3 cm
B) 3,5 cm
C) 1 cm
D) 7 cm
E) 5 cm
W2V
5
3V
5E
L
aa
x
a-x
E
mg
Física
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RESOLUCIÓN 1º
L2 g v 100
L V 5 ……………………………….…..(1)
* 10N 100cm N
K 1000cm 1m m
2º
120 kx E
L20 1000x V g
20 + 1 000 x = 5 x 10
30x m 3 cm
1 000
RPTA.: A
15. Un cilindro de radio “R” y longitud “L”
es colocado longitudinalmente sobre
un líquido de densidad “ρ”. Se
observa que el cilindro queda
sumergido hasta una altura h=R/2, en
equilibrio. Determina la masa del
cilindro.
A) ρLR2
4
3
3
B) ρLR2
4
3
3
C) ρLR2
3
3
4
D) ρLR2
2
3
3
E) ρLR2
2
3
3
2
RESOLUCIÓN
Equilibrio mg = E; m =??
mg g sumV …………….…………..
* sumV A L ; 2
RR 3
120 2A R360 2
2 3A R
3 4
2
sum
3V R L
3 4
En : 2 3m L R
3 4
RPTA.: A
16. Sobre un cubo de madera que se
encuentra flotando en agua se
coloca un bloque de 2 N de peso. Al
retirar lentamente el bloque, el cubo
asciende 2 cm, hasta lograr
nuevamente el equilibrio. Calcule la
arista del cubo (en cm)
A) 40 B) 30 C) 10
D) 80 E) 60
20
1 LE g V
2 LE g V
80
20
kx
1 LE g V
RR R
2
A
L
Liquido
R
2
30º
Física
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RESOLUCIÓN Inicialmente
a = ??
E = mg
21 000 10 x a mg ……….…..(1)
Finalmente
E= mg +2
221 000 10 x a mg 2
100
……(2)
(2)-(1): 221 000 10 a 2
100
2 1 1a a m a 10cm
100 10
RPTA.: C
17. ¿Qué tiempo empleará un cuerpo de
masa 8 kg y densidad 800 kg/m3 en
llegar a la superficie libre del agua, si
se deja en libertad en el punto A
mostrado en la figura?
(g =10 m/s2).
A) 0,8s
B) 2s
C) 3s
D) 4s
E) 5s
RESOLUCIÓN
1° RF m a
E-80=m a
81 000 10 80 8 a
800
2a 2,5 m/s
Luego: 2
0
1H V t at
2
21 520 t t 4s
2 2
RPTA.: D
18. El cubo mostrado en la figura tiene 40 cm de arista y está flotando en
agua ( = 1000 kg/m3). Si se le
aplica una fuerza vertical
F hasta que se sumerja completamente.
¿Cuánto trabajo desarrolló la fuerza de empuje?
(Considere que: cubo=500 kg/m3 y
g = 10m/s2)
A) –32J
B) –36J
C) –46J
D) –48J
E) –96J
F
mg
a-x
x
E
mg
E
2N
2x
100
Física
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RESOLUCIÓN Inicialmente:
OE mg
2 CH O sum cg V g V
1 000 10 0,4 0,4 x 500 10 0,4 0,4 0,4
2x = 0,4 x= 0,2 m = 20 cm
3
0E 500 10 0,4 320 N
Finalmente: Sumergido completamente.
2
3
f H O sumE g V 1 000 10 0,4
fE 640N
El empuje varía linealmente con la
profundidad
EW Área
E 320 640W 0,2
2
EW 96 J
RPTA.: E
19. Determine la rapidez angular con la que debe girar el eje de rotación
(AB),mostrado en la figura, de tal forma que la cuerda que sostiene a la
esfera forme un ángulo de 16º
respecto de la vertical cuerpo=7líquido; a= 3 m, L=25 m, g=10 m/s2.
A) 1 rad/s
B) 0,8 rad/s
C) 0,5 rad/s
D) 0,4 rad/s
E) 0,1 rad/s
fE
0,4 m
mg
F
E
x0,2 0,4
0E 320
fE 640
E
( )W
mg
0,4 mCUBO
OE2H O
x
Física
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RESOLUCIÓN
C L7
= ??
i) 2
C
7 7T ma T m R
25 25 …...(1)
ii) 24
T E mg25
L sum C C
24T g V V g
25
L C
C C
24 m mT g g
25
L
C
24T mg 1
25
………..….……(2)
1 2 :
2
C
C
7 R
241 g
22 27 10 10 7 6
24 6 10 2411 10
7
1
2
rad0,5
S
RPTA.: C
20. Determine la magnitud de la fuerza elástica del resorte, si la esfera de
1kg de masa y 800 kg/m3 de densidad se encuentra en equilibrio
tal como se muestra en la figura. (g = 10 m/s2)
A) 0,83 N
B) 0,90 N
C) 72,91 N
D) 0,80 N
E) 2,08 N
RESOLUCIÓN
H2O
3
R=10m
a=3
T24
16º 25
E7T
25
7
24T
2516º
mg
16º37º
N
E-mg
kx
37º
53º
mg
kx
16º
N
E
Física
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Esfera:
e L e
m; E g V
V
1 11800 ; E 1 000 10 12,5 N
V 800
31 1m ; mg 1(10) 10N
v 800
EE
F5F 2,08 N
3 1,25
RPTA.: E
2,5
53º
53º
kx F
N
Física
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SEMANA 10
TEMPERATURA, DILATACIÓN
Y CALORIMETRÍA
1. Determine la temperatura a la cual la lectura de un termómetro
Fahrenheit, es exactamente el doble que la obtenida con un termómetro Celsius.
A) 300 ºF B) 320 ºF
C) 320 ºC D) 400 ºC E) 160 ºF
SOLUCIÓN Por dato:
ºF 2 ºC
Además sabemos que:
ºC F 32
5 9
9F ºC 32
5
Sustituyendo
92ºC ºC 32
5
ºC 160º
Por la condición de partida: ºF 320
RPTA.: B
2. Un termómetro de mercurio tiene
una escala que marca 0 ºX cuando la temperatura es de -10
ºC y marca 220 ºX para 100 ºC. ¿Cuántos grados X corresponden a la temperatura promedio del
cuerpo humano de 37 ºC?
A) 94º B) 100º C) 114º D) 120º E) 125º
SOLUCIÓN Comparando la escala x con la
escala Celsius.
37 10 x 0
100 10 220 0
47 x
110 220
x 94º
RPTA.: A
3. Una varilla de vidrio y otra de
acero tienen la misma longitud a
0 ºC, y a 100 ºC sus longitudes se diferencian en 0,2 mm. Determine
la longitud de cada varilla a 0 ºC. (Los coeficientes de dilatación lineal para ambos materiales son:
acero=410-6 ºC-1,vidrio=510-6 ºC-1)
A) 1 m B) 2 m C) 3 m
D) 4 m E) 5 m
SOLUCIÓN Como: vidrio acero
Entonces: F vidrio F aceroL L
Por dato: 3
F vidrio F aceroL L 0,2 10 m
4
F vidrio F aceroL L 2 10 m
4
vidrio aceroL 1 T L 1 T 2 10 m
4
vidrio aceroT.L 2 10
6 4100.L 10 2 10
L 2m
RPTA.: B
4. Se tienen dos varillas “A” y “B”
cuyos coeficientes de dilatación
ºC ºx
100º
37º
- 10
220
x
0
Física
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lineal son A = 1,210-6 ºC-1 y
B = 1,810-6 ºC-1. La longitud en
función de la temperatura para ambas varillas, se muestra en la figura. Determine la relación de
las longitudes iniciales “LOA / LOB”.
A) 1/4 B) 1/3 C) 1/2 D) 3 E) 4
SOLUCIÓN
De la figura:
L
TgT
Pero:
0L L T
0
LL
T
0Tg L
Entonces:
0A ATg30º L
0B BTg60º L
Dividiendo:
0A
0B
L 1
L 2
RPTA.: C
5. En la figura se muestra la
variación relativa de la longitud de dos barras de materiales A y B en
función de la variación de sus
temperaturas T con respecto a la temperatura ambiente. Si las dos
barras tienen la misma longitud inicial L0 a la temperatura ambiente, ¿para qué incremento
de temperatura la diferencia de sus longitudes será de 0,07 % de
la longitud inicial L0?
A) 50ºC B) 60ºC C) 70ºC
D) 80ºC E) 90ºC
SOLUCIÓN Por dato: 0A 0B 0L L L
FA FB 0L L 0,0007L ……........(1)
De la figura:
3
A 0 0 AL 2 10 L L T …..(2)
3
B 0 0 BL 1 10 L L T ……(3)
Dividiendo (2) y (3)
A B2
De (1):
O A 0 B 0L 1 T L 1 T 0,0007 L
4
A B T 7 10 ……...(4)
20 40 60 80 100
1
2
3
0
10
L
L
T(ºC)
B
A
T(ºC)
LOB
LOA 30º
A
B
60º
L (cm)
0
T(ºC)
LOB
LOA 30º
A
B
60º
L (cm)
0
Física
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Además de la figura: 0
L
L T
5 1
A 2 10 ºC , 5 1
B 1 10 ºC
Reemplazando en (4):
T 70ºC
RPTA.: C
6. La base de una plancha eléctrica es una placa de aluminio que tiene un área de 200 cm² a la
temperatura de 20 ºC. Calcule el aumento del área de dicha base
(en cm²) cuando la plancha está funcionando a 170 ºC.
(aluminio = 2,3 10-5 ºC-1)
A) 0,23 B) 0,46 C) 1,15
D) 1,38 E) 2,12
SOLUCIÓN Sabemos que:
0 f 0A A T T
0 f 0A A 2 T T
6A 200 2 23 10 170 20
2A 1,38cm
RPTA.: D
7. Se desea insertar un anillo de 2 cm de radio interno en un tubo
de 2,1 cm de radio externo. El anillo inicialmente está a 15 ºC.
¿Hasta que temperatura se deberá calentar el anillo para lograr el
objetivo? El coeficiente de dilatación lineal del anillo es 10-3 ºC-1.
A) 45 ºC B) 50 ºC
C) 55 ºC D) 60 ºC E) 65 ºC
SOLUCIÓN Por dato tenemos:
Trabajando con los radios:
r = ro T
r r = ro T
0,1 = 2 . 103 (Tf 15ºC)
Tf = 65ºC RPTA.: E
8. Una placa metálica de 100 g y coeficiente de dilatación lineal
10-4 ºC-1 recibe 400 calorías de energía calorífica incrementando su área en 1%. Halle el calor
específico (en cal/gºC) de la placa.
A) 0,04 B) 0,08 C) 0,016 D) 0,02 E) 0,30
SOLUCIÓN Sabemos que:
0A A T
0
AT
A
40,01 2 10 T
T 50ºC
Además: eQ=mC T
Calculando el calor especifico.
Anillo
OT 25ºC
r 2cm
fT ?
Tubo
1r 2,1cm
Física
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e
QC
m T
e
400 calC
100g 50ºC
eC 0,08 cal /gºC
RPTA.: B
9. Un recipiente de vidrio de
capacidad 2 000 cm³ está lleno de mercurio. Si la temperatura se
incrementa en 100ºC, el recipiente alcanza un volumen de 2010 cm³. Calcule el volumen
de mercurio que se derrama. (Coeficiente de dilatación
volumétrica del mercurio es
Hg = 1,810-4 ºC-1)
A) 10 cm³ B) 12 cm³ C) 15 cm³ D) 26 cm³
E) 28 cm³
SOLUCIÓN Calculamos el volumen final del
mercurio:
FHg HgV V 1 T
Hg
4
FV 2000 1 1,8 10 100
Hg
3
FV 2036cm
Además sabemos que el recipiente alcanza un volumen de:
3
FRecipienteV 2010 cm
Entonces el volumen de mercurio derramado será:
DerramadoHg FHg FrecipienteV v V
3
DerramadoHgV 26cm
RPTA.: D
10. Un motorcito desarrolla una potencia 1kW al accionar unas
paletas que agitan el agua contenida en un recipiente. ¿Qué
cantidad de energía (en kcal) se le habrá proporcionado al agua de 1 minuto? Considere que toda la
energía suministrada por el motor es absorbida por el agua.
1J 0,24cal
A) 10,2 B) 12,2 C) 14,4 D) 14,4 E) 18,6
SOLUCIÓN Por dato:
P 1kW
Además:
Q
P Q Ptt
Q 1kW 60s
Q 60k J
Q 60 0,24cal
Q 14,4 Kcal
RPTA.: C
11. Una masa de 300 g de vapor de agua a 100 ºC se enfría hasta
obtener hielo a 0 ºC. ¿Cuántas kilocalorías se le sustrajo en el proceso? (El calor latente de
vaporización del agua es 540 cal/g y el calor latente de fusión del
hielo es 80 cal/g)
A) 180 B) 196 C) 216 D) 226 E) 230
SOLUCIÓN
Física
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El calor liberado será:
total 1 2 3Q Q Q Q
Donde:
1 condQ L m 540 300 162000 cal
2 EQ C m T 1 300 100 30000 cal
3 solidifQ L m 80 300 24000 cal
totalQ 216kcal
RPTA.: C
12. Un recipiente de capacidad
calorífica despreciable contiene
40 gramos de hielo a -20 ºC. ¿Cuántos gramos de agua a
100 ºC se debe verter en el recipiente, para obtener finalmente agua líquida a 0ºC?
A) 18 B) 20 C) 30
D) 36 E) 42
SOLUCIÓN
Qganado hielo = Qperdido agua
2 3 1Q Q Q
HIELO AGUA
'
E F EmC T L m MC T
40 0,5 20 80 40 M 1 100
M 36g
RPTA.: D
13. Un estudiante mezcla dos
cantidades de un mismo líquido que están a diferentes
temperaturas. La masa y la temperatura del líquido más caliente son tres veces la masa y
la temperatura del líquido más frío, respectivamente. La
temperatura inicial del líquido frío es 25 ºC, entonces la temperatura
de equilibrio de la mezcla es:
A) 32,5ºC B) 42,5ºC
C) 53,5ºC D) 62,5ºC E) 65,0ºC
SOLUCIÓN Por dato:
m 3 m
Qganado = Qperdido
2 1Q Q
e e e emC T 25 3mC 75 t
e eT 25 225 3T
eT 62,5ºC
RPTA.: D
14. El comportamiento de La temperatura
de un cuerpo de masa 0,5 kg en
función del calor recibido, es tal como
se muestra en la figura. Determine
los calores específicos (en cal/gºC) en
las fases sólido y líquido
respectivamente.
-10
40
120
100 200 320 Q (Kcal)
T (ºC)
1Q3Q
2Q
0 ºC 100 ºC
3Q
- 20 ºC 0 º C 100 º C
2Q
1Q
25 ºC 75 ºC
2Q 1Q
eT
Física
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A) 2 ; 3 B) 4 ; 3 C) 5 ; 3 D) 6 ; 4 E) 6 ; 5
SOLUCIÓN
De la figura:
Q
TgT
e
QmC
T
e
QC
T m
Para el estado sólido:
1e
100C
50 0,5
1eC 4cal /gºC
Para el estado líquido:
2e
120C
80 0,5
2eC 3cal /g ºC
RPTA.: B
15. Determine la cantidad de calor que se le debe suministrar a 20 g
de hielo a -20 ºC para llevarlo hasta vapor a 120 ºC.
A) 14 400 cal B) 14 800 cal C) 15 000 cal
D) 15 200 cal E) 15 900 cal
SOLUCIÓN
Calor suministrado será:
T 1 2 3 4 5Q Q Q Q Q Q
Donde:
1Q 20 0,5 20 200cal
2Q 80 20 1600cal
3Q 20 1 100 2000cal
4Q 540 20 10800cal
5Q 20 0,5 20 200cal
TQ 14800cal
RPTA.: B
16. En un calorímetro cuyo
equivalente en agua es 20 g se tiene 40 g de agua a 20 ºC. Si se introduce en el agua un cuerpo de
80 g a 50 ºC, la temperatura final de equilibrio es de 40ºC. Halle el
calor específico del cuerpo (en cal/gºC).
A) 0,5 B) 1,0 C) 1,5 D) 2,0 E) 2,5
SOLUCIÓN
Qganado = Qperdido
2Ocalorimetro H cuerpoQ Q Q
e20 1 20 40 1 20 80 C 10
e400 800 800 C
eC 1,5cal /g ºC
-10
40
120
100 200 320 Q (Kcal)
T (ºC)
Liqu
ido
sólid
o
20 ºC 50 ºC
2calorimetro H OQ Q cuerpoQ
40 ºC
-20 ºC 100 ºC0 ºC
1Q
2Q
3Q
4Q
5Q
120 ºC
Física
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RPTA.: C
17. Un recipiente térmicamente aislado contiene 200 g de agua a una temperatura de 25 ºC. Si se
añade 20 g de hielo a una temperatura de -5 ºC. Determine
la temperatura de equilibrio (en ºC) de la mezcla.
A) 6,2 B) 8,2 C) 9,6
D) 15,2 E) 16,4
SOLUCIÓN
2 3 4 1Q Q Q Q
e20 0,5 5 20 80 20 1 T
e200 1 25 T
e e50 1600 20T 5000 200T
eT 15,2 ºC
RPTA.: D
18. Un calentador eléctrico de 350 W
se emplea para hacer hervir 500g de agua. Si inicialmente la
temperatura del agua es 18 ºC, ¿cuánto tiempo (en minutos) se emplea en hervir el agua?
(1cal = 4,2J)
A) 6,2 B) 8,2 C) 8,4
D) 8,6 E) 9,2
SOLUCIÓN Calculando la cantidad de calor
para hacer hervir el agua:
eQ mC T
Q 500 1 82 = 41000 cal
Q 172200J
Además sabemos que: Q
Pt
Q
tP
172200J
t350 W
t 492s
t 8,2min
RPTA.: B
19. Un proyectil penetra en una pared
con rapidez de 200 m/s. Sí el 20% de su energía cinética se transforma en energía calorífica,
halle el aumento de temperatura que experimenta el proyectil de
calor específico 400 J/kg ºC.
A) 5 ºC B) 6 ºC C) 9 ºC D) 10 ºC E) 11 ºC
SOLUCIÓN Por dato:
kQ 20% E
21Q 0,2 mV
2
2Q 0,1 mV
Calculando el incremento de temperatura:
eQ mC T
2
e0,1mV mC T
2
0,1 200 400 T
T 10ºC
RPTA.: D
- 5 ºC 0 ºC
2Q
3Q
4Q 1Q
25 ºCeT
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20. En la figura se muestra un bloque
de masa 2 kg que es lanzado desde la base de una rampa, con
una rapidez de 2 m/s. Si la rampa es de superficie rugosa, calcule la cantidad de energía que se
transforma en calor. (1J = 0,24cal)
A) 0,160 cal B) 0,384 cal
C) 0,768 cal D) 0,867 cal
E) 1,600 cal
SOLUCIÓN * La energía que se desprende en
forma de calor es el trabajo realizado por la fuerza de
rozamiento: Q = Wfroz
= froz . d
Q = µ FN . d
Q = 0,5 . 16 . d ..............(I)
* Calculamos “d”: por teorema del
trabajo y energía mecánica
Wfroz = EM
µmgCos37ºd = mg Sen 37ºd 1
2 m 2
0V
d = 1
m5
* Reemplazamos “d” en (I)
Q = 1,6 J Q = 0,384 cal
RPTA.: B
37º
V0=2m/s
k = 0.5
Física
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SEMANA 11
TERMODINÁMICA
Constantes y equivalencias usadas en este capítulo: R = 8,31 J/mol K ; 1 atm = 105 Pa ;
1 cal = 4,2 J
1. Un tanque cilíndrico de acero, lleno de helio, tiene un pistón que puede moverse libremente. Cuando se
altera la temperatura del gas el volumen varía, manteniendo la
presión a 1 atm, se tomaron lecturas de varios valores del volumen del gas para diferentes temperaturas, los
resultados se muestran en la gráfica, a partir de estos datos
experimentales, estime el número de moles de helio en el cilindro.
A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5
RESOLUCIÓN
Del gráfico, pendiente de la recta:
3 36 4,8 10 mV
T 80 10 k
3
3V 1,2 m10
T 70 k
PV = m R T
P v
mR T
5 3 310 Pa 1,2 10 cm
mJ 70 k
8,31mol k
m = 0,2 mol
RPTA.: B
2. Se calienta un gas monoatómico de
modo que se dilata a presión
constante. ¿Qué porcentaje del calor suministrado al gas pasa a
incrementar su energía interna? A) 10 % B) 20 % C) 30 %
D) 40 % E) 60 %
RESOLUCIÓN
3
v P v2
5
Q P v2
3P v
V 2% 100%5Q
P v2
V
% 60%Q
RPTA.: E
3. Se tiene 4 moles de gas helio
contenidos en un cilindro de acero inoxidable a una temperatura de 27 ºC, el sistema se calienta a
volumen constante hasta una temperatura de 227 ºC. ¿Qué
cantidad de calor ha transferido al gas para incrementar su temperatura? ( CV = 12,5 J/mol )
0 10 20 30 40 50 60 70 80
4,6
4,8 0,46
5,0
5,2
5,4
5,6 0,54
5,8
6,0
V (litros)
T (ºC)
Física
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A) 3 5 00 J B) 5 000 J C) 7 500 J
D) 9 500 J E) 10 000 J
RESOLUCIÓN
Q m Cv T
J
Q 4mol 12,5 227 27 kmol k
Q = 10 000 J RPTA.: E
4. Calcular el trabajo realizado por 1
moles de un gas ideal que se mantiene a 27,0 ºC durante una expansión de 3,0 litros a 12,0 litros.
(Ln 2 = 0,7)
A) 1 446 J B) 1 745 J C) 2 700 J D) 3 490 J E) 5 235 J
RESOLUCIÓN
2
1
vW m R T Ln
v
12
W 1mol 8,31 J/mol k 300Ln3
W = 3 490 J
RPTA.: D
5. Un gas monoatómico ideal con
volumen inicial de 2 m3 y una
presión de 500 Pa se expande isobáricamente y alcanza un volumen
de 4 m3 y una temperatura de 120 K. Luego se enfría a volumen constante hasta que su temperatura
es de 60 K. Finalmente se expande a presión constante hasta un volumen
de 8 m3. Calcule el calor total realizado por el gas en este proceso.
A) 1 000 J B) 1 500 J C) 2 000 J D) 2 500 J E) 5 000 J
RESOLUCIÓN
12 1 2 1
5Q P V V
2
1
5Q 500 4 2
2
1Q 2500J
Isobárico
Isócoro
Isobárico
3 323
2 3
P PP 500P 250Pa
T T 120 60
3 3 4 3 3
5 5Q P V V Q 250 8 4
2 2
3 ABSQ 2500J Q 5 000 J
RPTA.: E
6. Un recipiente provisto de un émbolo
liso, contiene un gas ideal que ocupa un volumen igual a 5 x 10–3 m3, a una presión de 100 kPa, ¿qué
cantidad de trabajo realiza el gas sobre el émbolo cuando se expande
isobáricamente de 27 ºC hasta 87 ºC?
A) 1 J B) 10 J C) 50 J D) 100 J E) 1 000 J
RESOLUCIÓN
500
250
P(Pa)12Q
23Q
34Q
2 4 8 3v m
12
34
1 2
2 3
43
Física
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1 2
1 2
V V
T T Proceso Isobárico
3 32V5 10 m
27 273 k 273 87 k
3 3
2V 6 10 m
3 3
2 1W P V V 100 10 6 5 10
W= 100 J RPTA.: D
7. En un motor diesel, el aire contenido dentro del cilindro de 810 cm3 se encuentra a 27 ºC, se comprime
hasta un volumen final de 40 cm3. El sistema es adiabático y reversible, el
aire se comporta como un gas ideal. Halle la temperatura final del aire.
( = 1,5 )
A) 1 700 ºC B) 1 077 ºC C) 1 500 ºC
D) 1 550 ºC E) 1 800 ºC
RESOLUCIÓN
1 1
1 1 2 2T V T V
1,5 1 1,5 1
2300 810 T 40
2T 1 350k
2T 1077ºC
RPTA.: B
8. Se tiene nitrógeno en un cilindro de
acero y se le proporciona 560 J de calor, el nitrógeno se expande isobáricamente. Halle el trabajo
realizado por el gas.
A) 100 J B) 140 J C) 160 C D) 180 J E) 200 J
RESOLUCIÓN
Gas Diatómico
7
Q P v2
7
560 P V P V 160J2
W P v 160J
RPTA.: C
9. En un reactor adiabático, se
tiene un gramo de agua, que ocupa un volumen de 1 cm3 a presión de
1 atm. Cuando esta cantidad de agua hierve, se convierte en 1 671 cm3 de vapor. Calcule el cambio en la
energía interna de este proceso. ( LV
= 2,3 x 106 J/kg )
A) 169 J B) 2 090 J C) 2 133 J
D) 2 259 J E) 4 280 J
RESOLUCIÓN
Calor necesario para vaporizar
VQ mLv
3 6
VQ 1 10 2,3 10 2 300J
W P v
5 6W 10 1 671 1 10 167J
Q W V
v 2 133
RPTA.: C
10.En un recipiente cilíndrico se tiene
2 kg de oxígeno a una presión de 100 kPa y a una temperatura de 300 K. El gas es calentado manteniendo su
volumen constante hasta que su presión se duplica, luego se expande
isobáricamente hasta duplicar su volumen. Calcule el calor absorbido por el gas. isobáricamente duplicando
su volumen. (CV = 0,7 kJ / kg.K ; CP = 1 kJ/kg. K)
A) 420 kJ B) 1 200 kJ C) 1 620 kJ D) 1 840 kJ
E) 1 860 Kj
Física
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RESOLUCIÓN
32
2 3
VV
T T
3
v 2v1 200k
600 T
1 2
1 2
P P
T T
2
100 200
300 T
2T 600k
1 V 2 1Q mC T T
1Q 2 0,7 600 300
1Q 420kJ
2 P 3 2Q mC T T
2Q 2 1 1 200 600
2Q 1200kJ
TQ 1 620kJ
RPTA.: C
11.Un gas ideal realiza un ciclo de
Carnot. La expansión isotérmica ocurre a 250 ºC y la compresión isotérmica tiene lugar a 50 ºC. Si el
gas absorbe 1200 J de calor neto un ciclo, halle el trabajo realizado
durante un ciclo.
A) 369 J B) 459 J C) 489 J D) 539 J E) 629 J
RESOLUCIÓN
1 1
2 2
T Q
T Q
2
523 1 200
323 Q
2Q 741 J
w 459J 2 1w Q Q
w 1200 741
RPTA.: B
12.Una máquina térmica ideal opera entre dos fuentes de calor, cuyas
temperaturas son respectivamente 127 ºC y 27 ºC. La eficiencia de la
máquina podría ser: A) 26% B) 10% C) 42%
D) 50% E) 78%
RESOLUCIÓN
300
n 1 0,25400
%n 25% (Teórica)
Real%n 25%
%n 10%
RPTA.: B
13.Un congelador conserva los alimentos
a – 12 ºC en una habitación que está a 20 ºC. Calcule el mínimo
trabajo para extraer 50 calorías del congelador.
A) 15 J B) 20 J C) 22 J D) 23,7 J E) 25,7 J
1 2
1Q
2
1
3
V 2V
600 k1 200 k
2QP(k Pa)
300 k
3V m
100
300
2 3
w
1Q
1T 523k
2T 323k
2Q
P
V
Física
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RESOLUCIÓN
C C C
F F
T Q Q293
T Q 261 50
CQ 56,1cal = 235,7 J
C FQ Q w
235,7 210 w
w 25,7 J
RPTA.: E
14.En la figura se muestra un recipiente
y un resorte de rigidez 50 N/m que
está sin deformar, unido a un pistón de 1 kg, El recipiente tiene una
capacidad calorífica 5 J/ ºC y contiene 3 kg de un gas combustible cuyo poder calorífico es 50 J/kg, Si el
gas explosiona y los residuos de la combustión incrementan su energía
interna en 30 J y la temperatura del sistema se eleva en 10ºC, calcule la deformación del resorte. El pistón
tiene una sección de 0,5 cm2. Desprecie la fricción.
A) 0,2 m B) 0,5 m
C) 0,6 m D) 0,8 m
E) 1,0 m
RESOLUCIÓN
Recipiente:
R R
JQ 5 10ºC Q 50J
ºC
Gases: T Gas RQ Q Q
Gas50J/kg 3kg Q 50
GasQ 100J
GasQ w v
100 = w + 30
E Pesow F F x
70 = (50x + 1 10) x
25x x 7 0
x = 1,087 m RPTA.: E
15.La eficiencia teórica más alta de un motor de gasolina, basado en el ciclo de Carnot, es de 25 %. Si este motor
expulsa los gases a la atmósfera a una temperatura de 27 ºC, ¿cuál es
la temperatura en el cilindro inmediatamente después de la combustión de la gasolina?
A) 127 ºC B) 135 º C C) 140 ºC D) 180 ºC E) 200 ºC
RESOLUCIÓN
F
C
Tn 1
T
C
C
1 3001 T 400k
4 T
CT 127ºC
RPTA.: A
20 º C
-12ºC
CQ
FQ 210J
Alta
Baja
Congelador
Ambiente
W=70J
Física
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16 Un gas ideal se comprime lentamente a una presión constante de 2 atm, de
10 litros hasta 2 litros. En este proceso, algo de calor sale y la
temperatura desciende. A continuación se agrega calor al gas, manteniendo constante el volumen, y
se dejan aumentar la presión y la temperatura. Calcule el flujo de calor
total hacia el gas. El proceso se muestra en la figura como el trayecto
ABC. (Ln 5 = 1,6)
A) – 1 000 J B) – 1 200 J
C) – 1 600 J D) + 1 200 J E) + 1 600 J
RESOLUCIÓN
Proceso ; Isobárico
AB C A
5Q P V V
2
5 3
AB
5Q 2 10 (2 10) 10
2
ABQ 4 000J
En la isoterma AC y en AB (Isób.)
C A B
B A B A A
V V T2 10 1
T T T T T 5
C C A AP V P V
5
CP 2 2 10 10
Isócoro
BC C B
3Q v P P
2
3 5
BC
3Q 2 10 10 2 10
2
BCQ 2 400J
.
Isotérmico
AA A
B
VW P V Ln
V
5 3 10w 2 10 10 10 Ln
2
CAw 3 200J Q w
T AB BC CAQ Q Q Q
TQ 1 600J
RPTA.: E
17 . Una máquina de vapor tiene una
caldera que opera a 227 ºC. El calor suministrado transforma el agua en
vapor, el cual mueve el émbolo de los pistones. La temperatura de escape es de 57 ºC. ¿Cuál es la
eficiencia térmica máxima de esta máquina de vapor?
A) 20 % B) 25 % C) 34 % D) 66 % E) 75 %
RESOLUCIÓN
P (atm)
>((atm)
V (ℓ)
C
A B
CP CP
AP
CV AV
A B
5
CP 10 10 Pa
B C
C A
Física
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330
n 1 0,34500
%n 34%
RPTA.: B
18 Un refrigerador ideal o bomba de
calor ideal es equivalente a una máquina de Carnot que funciona a la inversa. Es decir, se absorbe calor QF
de un depósito frío y se libera calor QC hacia el depósito caliente. Un
refrigerador tiene un coeficiente de rendimiento igual a 5. Si en cada ciclo el refrigerador absorbe 120 J de
energía térmica de un depósito frío, encuentre el trabajo hecho en cada
ciclo y la energía térmica liberada hacia el depósito caliente.
A) 24 J ; 144 J B) 24 J ; 96 J C) 26 J ; 144 J D) 42 J ; 98 J
E) 24 J ; 164 J
RESOLUCIÓN
HQn
w
120
5 w 24Jw
HQ w V
120 24 V
V 96J
(w; v )= 24 J; 96J
RPTA.: B
19.Dos moles de argón contenidos en un cilindro provisto de un pistón, se
expanden adiabáticamente desde una temperatura de 127 ºC hasta una temperatura de 27 ºC. Halle el
trabajo realizado en este proceso.
( = 5/3 )
A) 2 493 J B) 2 833 J C) 2 180 J D) 2 943 J E) 2 690 J
RESOLUCIÓN
2 1nR T T
w1
2 8,31 127 27 k
w5
13
w 2 493J
RPTA.: A
20.Se coloca 3 litros de agua a 10 ºC en bandejas para obtener cubitos de hielo y se colocan en el congelador.
¿Qué tiempo es necesario para obtener los cubitos de hielo? El
refrigerador tiene un coeficiente de eficiencia de 5,5 y una potencia de 550 W, se estima que sólo el 10% de
la potencia se emplea para fabricar los cubitos de hielo.
Calor específico del agua: 4,18 kJ/kg.K Calor latente de fusión del agua:
LF= 333,5 kJ/kg
A) 6,2 min B) 12,4 min C) 30,0 min D) 41,4 min E) 62,0 min
RESOLUCIÓN
Potencia real = P= 550 x 10% P= 55 w Calor extraído para fusión hielo.
FQ mC(0 10) mL
3Q 3 4,18 10 10 3 333,5
Q 1125900J
Q Qn n
P.t w
11259005,5
55t
t = 3 721 s’
t = 62 min. RPTA.: E
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SEMANA 12
ELECTROSTÁTICA
1. Después de frotar suficientemente dos cuerpos
inicialmente neutros en un ambiente seco ocurre que
I) Ambos cuerpos quedan
cargados eléctricamente,
II) Uno de los cuerpos queda
con exceso de carga
negativa,
III) Ambos cuerpos quedan
electrizados con cargas
iguales.
A) VVV B) VVF C) FVV
D) FFV E) VFF
RESOLUCIÓN RPTA.: B
2. Cuatro esferas idénticas con cargas
q1 = 10 µC, q2= -15 µC, q3 = 17 µC y q4 = 20 µC, se ponen
simultáneamente en contacto físico. Inmediatamente después del contacto la carga de cada
esfera será.
A) 8 µC B) -8 µC
C) 4 µC D) – 4 µC
E) -2 µC
RESOLUCIÓN Por el principio de conservación de la carga.
Qinicial = Qfinal
10µC+(15µC)+17µC+20µC = 4q 32µC = 4q q = 8µC
RPTA.: A
3. Dos cuerpos cargados con
q1 = 1µC y q2 = -1µC, tal como se muestra en la figura se
encuentran en equilibrio. Determine la masa del cuerpo 2
(g = 10 m/ s2, K= 9x109 Nm2/C2)
A) 75 g B) 0,75 kg
C) 7,5 g D) 75 kg
E) 7,5 kg
RESOLUCIÓN
1 2kq q
d²mg
4k 3k
m = 0,75 kg
RPTA.: B
4. La figura muestra dos esferas
idénticas de peso 10 N cada uno y carga q = 20 µC cada uno. Hallar la magnitud de la tensión
en las cuerdas aislantes e ingrávidas 1 y 2.
A) 20N; 50N
B) 20N; 40N
C) 50N; 60N
D) 35N; 30N
E) 30N; 60N
q1 q2
4cm
37O
(2) 0,3m
(1)
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45o
F(N)
q(C)
q(C)
RESOLUCIÓN Para (1)
T1 + Fe = 10 + T2
Para (2) T2 = 10 + Fe
2
9 6
2
9 10 20 10Fe
9 10
= 40 N
T1 = 20 N
T2 = 50 N
RPTA.: A
5. Se tienen dos cargas Q y q separadas en el vacío por 3 m. A
medida que la magnitud de q se incrementa, la magnitud de la
fuerza eléctrica de interacción varía de acuerdo a la siguiente
gráfica. hallar la magnitud de la carga Q (en C).
RESOLUCIÓN De la gráfica:
tg 45º = Fe
1q
9 Qq9 10
91
q
Q = 109C
RPTA.: E
6. En la figura mostrada, Hallar la magnitud de la fuerza resultante
sobre la partícula de carga q o. (q o = Q/2 = q)
RESOLUCIÓN
FR = F1 + F2 FR = 5KQ² / 8a²
RPTA.: E
7. En la figura se muestran
dos partículas electrizadas. Si Q1 = 4Q2. ¿A qué distancia respecto a Q1 se debe colocar una
carga q tal que la fuerza resultante en esta sea nula?
A) 2 m B) 1 m C) 3/5 m
D) 2/3 m E) 5/2 m
RESOLUCIÓN
A) 8,85x10-19
B) 10-12
C) 10-10
D) 3,14x10-12
E) 10-9
A) 3KQ2/a2 B) 2KQ2/a2
C) 3KQ2/4a2 D) 4KQ2/a2
E) 5KQ2/8a2
+2q +Q +qo
a a
+Q1 +Q2
3 m
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F1 = F2
2kqQ
2
2
k4qQ
3 x
2x
1 2
3 x x
x = 6 2x 3x = 6
x = 2m RPTA.: A
8. En la figura mostrada, determinar la magnitud de la carga Q para
que la intensidad del campo eléctrico en el punto P sea
horizontal ( q = 36 µC).
A) 4,5 µC B) -4,5 µC
C) 9 µC D) -9 µC
E) 18 µC
RESOLUCIÓN
Para que sea horizontal: EQ = Eq sen30º
kQ kq 1
d² 4d² 2
8
Q = 4,5µC Su magnitud:
Q 4,5 µC
RPTA.: A
9. Calcular la magnitud de la intensidad de campo eléctrico
resultante en el punto P asociado al sistema de cargas que se
muestran en la figura. (Q1 = 5x10-7C , Q2 = 8x10-7C )
A) 1 800N/C B) 2 700N/C
C) 3 600N/C D) 4500N/C
E) 0
RESOLUCIÓN
1 2 1 2
1 2
E E E E E
kQ kQ
1² 2²
E = 2700 N/C
RPTA.: B
3 m4Q2 Q2
F2
x F1
q
P
30o
q Q
30º P
Q
Eq
La carga
debe ser (-)
30º
- q
Eq cos 30
EQ
Eq
Eq sen 30
1m 2m
P Q1 Q
2
•
1 m 2 m
Q2Q1E2 E1
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10. En una región donde hay un campo eléctrico uniforme se
colocan tres partículas, tal como se muestra en la figura. La
partícula ubicada en el punto B es eléctricamente neutra. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las
siguientes proposiciones.
I. Cada partícula experimenta la
misma fuerza eléctrica,
II. La fuerza eléctrica sobre el
protón es diferente que sobre
el electrón,
III. La fuerza eléctrica sobre el
protón es mayor que sobre el
electrón.
A) VVV B) VVF C) FVF D) FFV D) VFF
RESOLUCIÓN FVF
RPTA.: C
11. Una partícula con carga q1=-4 µC
se encuentra en una región donde existe un campo eléctrico
uniforme
iEE 0 el cual ejerce
una fuerza eléctrica de magnitud
12 µN. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones: I. La magnitud de la intensidad
de campo eléctrico es 12 µN/C.
II. La dirección de la intensidad de
campo eléctrico es opuesta a la
dirección de la fuerza eléctrica
sobre la carga.
III. La intensidad de campo
eléctrico es negativa.
A) VVV B) VVF C) FVF D) FFV E) VFF
RESOLUCIÓN FVF
RPTA.: C
12. Tres partículas con cargas q1=+1µC, q2 = +2µC y q3 = +3µC están ubicadas en los vértices de
un triangulo rectángulo isósceles, como se muestra en la figura. La
magnitud de la intensidad de campo eléctrico resultante, en el punto medio de la hipotenusa, es:
A ) 4,50x103N/C B) 12,72x103N/C
C) 13,50 x 103N/C D) 9,00x103N/C
E) 6,36x103 N/C
A B C
e+
e-
E
q3
2m
q2
q1
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RESOLUCIÓN
11
kQE
x² 2
2
kQE
x²
33
kQE
x²
3 1
2kE E
x²
T
2kE 2
x²
2
99 10
2
92 1,4142 9 10
ET = Eresall = 12,7278 10³ N/C
RPTA.: B
13. Una esferita pendular electrizada de masa m= 2g se encuentra
en equilibrio en una región donde hay un campo eléctrico uniforme
de magnitud E = 100N/C, como se muestra en la figura. Calcule la carga eléctrica de la esferita.
A) + 5 µC B) - 200 µC
C) - 5µC D) 0,2 µC
E) + 200 µC
RESOLUCIÓN
Entonces:
qE1
mg
qE = mg
q = 200µC RPTA.: B
14. En la figura se muestra un
bloque de masa m = 0,5 kg y carga eléctrica q = 50 C, en equilibrio sobre el plano inclinado
liso. Determine la magnitud de la intensidad de campo eléctrico
uniforme (g = 10 m/s2).
E1
E3
E2
x
x
x
1
2 3
ET
2k
x²
2k
x²
q
45o
m
E
37º
Física
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A) 1,90 N/C B) 3,70 N/C
C) 7,50 N/C D) 0,75 N/C
E) 19,50 N/C
RESOLUCIÓN
5 qE
4k 3k
E = 0,075 N/C
RPTA.: D
15. En la figura se muestra las líneas
de fuerza del campo eléctrico y las líneas sobre las superficies
equipotenciales asociados a una partícula aislada y electrizada. Indique la relación correcta
respecto a la magnitud del potencial en los puntos que se
indican.
RESOLUCIÓN RPTA.: C
16. En la figura mostrada, ¿a qué distancia de la carga Q1 el
potencial eléctrico es cero? (Q2 = 4Q1)
A) 9 cm B) 6 cm C) 2 cm
C) 5 cm E) 3 cm
RESOLUCIÓN
Sea “P”
Vp = 0
k 1Q k
x 2Q
018 x
Q1
4Q
x 1
18 x
x = 6 cm
RPTA.: B
17. Calcule el potencial eléctrico
asociado a las cargas Q1=4x19-9C y Q2 = -5x10-9C en el punto P según se muestra en la figura.
A) 20 V B) 25 V C) 2,5 V
d) 3,5 V E) 4,5 V
Q2
Q1
6m
3m
•P
Q1 -Q2
18 m
qE
mg = 5 N
37º
NN
qE
5 N
53º
37º
.2 .3
.5
.1
.4
A) V1 = V2
B) V3 = V4
C) V1 > V2 >V5
D) V3 =V5
E) V4 = V2
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RESOLUCIÓN
1p
kQ kQV
3 6
Vp 9 94 10 5 10
k3 6
Vp = 9 9 4 59 10 10
3 6
VP = 4,5 V
RPTA.: E
18. Calcule el trabajo necesario para
trasladar una partícula con carga q = -8 µC desde la posición A
hasta la posición B en presencia del campo eléctrico creado por la carga Q = 2x10-8 C.
A) -80 µJ B) 80 µJ
C) -409 µJ D) 40 µJ
E) -20 µJ
RESOLUCIÓN
extF
AB B AW q V V
= (8 106) (VB VA) extF
ABW + 80µJ
RPTA.: A
19. Calcule el trabajo realizado por un agente externo para llevar una
partícula electrizada con una carga q = 10 C, desde la
posición A hasta la posición B a velocidad constante.
A) 300 J B) -300 J C) 500 J
D) 100 J E) 200 J
RESOLUCIÓN extFW = q(VB VA)
= (10) (40 10) = 300 J
RPTA.: A
20. En las figura se muestra un campo eléctrico uniforme. Si la diferencia de potencial entre los puntos A y
B es 80 V, ¿cuál es la diferencia de potencial entre los puntos C y
D?
Como:
V = Ed
a) (VB VA) = E(2d) = 80
b) |VD VC| = Ed
Entonces:
|VD VC| = 40 V RPTA.: A
+Q 9m
18m B
A Trayectoria descrita por la partícula
A
30V 10V 20V
B
40V
A.
C.
.B
.D
2d
E
d
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21. Se desea llevar una carga q = 2 µC desde la posición A
hasta la posición B, tal como se muestra en la figura. Determine
el trabajo realizado por el agente externo al trasladar la carga q.
Q1 = 2 C y Q2 = -1 C
A) -210 J B) 2 100 J
C) 1 500 J D) -1 500 J
E) 600 J
RESOLUCIÓN
ext
9
BF
AB B A
9
A
6 9
9V 10 v
5W q V V
9V 10 v
6
9 92 10 10
5 6
600 J
RPTA.: E
22. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones. I. La carga almacenada en cada
placa de un capacitor es de
igual magnitud pero de signos
opuestos,
II. Cuanto mayor es la carga
almacenada, mayor es la
capacitancia del capacitor.
III. La superficie de las placas de
un capacitor es una superficie
equipotencial.
A) VVV B) FVV C) VFV
D) VFF E) FFF
RESOLUCIÓN
VVV RPTA.: A
23. En el sistema de capacitores
mostrados en la figura, halle la capacitancia equivalente entre los terminales a y b, si la
capacitancia de cada uno de los capacitores es 2 µF.
A) 1 µF B) 2 µF C) 3 µF
D) 4µF E) 5 µF
RESOLUCIÓN
Reduciendo:
Ceq = 5 µF
RPTA.: E
Q1
A
B
5m
-Q2
6m
6m 5m
a
b
a a a c
bbbbb
c
cc
b
a
c
b
a
6µF
6µF
2µFc
b
a2µF 3µF
b
a5 µF
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24. En la figura se muestra un sistema de capacitores. Si la
diferencia de potencial Va b es 12 V, halle la energía acumulada
en el capacitor de 3 µF.
A) 92 µJ B) 94 µJ C) 96 µJ
D) 98 µJ E) 90 µJ
RESOLUCIÓN La energía:
21 1 1QU C V² Q V
2 2 2C
qC
AV
q2µF
12 V
q 24µC
U =
2241
2 3µF
2µ C²
6124 24 10 J
6
= 96 µJ
RPTA.: C
25. Un capacitor de capacitancia 2 000 µF tiene una carga de 900
µC y se halla inicialmente desconectado. Si se conecta en
paralelo con otro capacitor inicialmente descargado, cuya capacitancia es el doble del
anterior, la carga final almacenada en este último es:
A) 600 µC B) 200 µC
C) 1 600 µC D) 1 400 µC
E) 800 µC
RESOLUCIÓN
La diferencia de potencias es la
misma para ambos.
V1 = VC
1 2q q
C 2C
q2 = 2q1
q1 + q2 = 900µC
q1 = 300 µC q2 = 600 µC
RPTA.: A
a
2µF 2µF
2µF
b 3µF
222
3
a
b
q
3µF
a
bq
6µF
q
12 v
a
b
2µF
C = 2000 µF
q = 900 µC
2 C
V
CQ1
Q2
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SEMANA 13
ELECTRODINÁMICA
1. Si por un alambre conductor circula una corriente de intensidad 16 mA, determine el número de electrones
que atraviesan la sección transversal del conductor en 0,1s.
A) 1014 B) 1015 C) 1016 D) 1017 E) 1018
RESOLUCIÓN
Q
It
en q
It
e
Itn
q
3 1
19
16 10 10n
1,6 10
n = 1016 Rpta. C
2. Si 100 m de alambre, de sección transversal 5 mm2 tiene una
resistencia eléctrica de 0,34 Ω. Determine de que material está hecho el alambre, si se conoce la
siguiente tabla.
A) plata B) cobre C) aluminio D) hierro E) plomo
RESOLUCIÓN Ley de Poulliet
6
8
LR
A
R A
L
0,34 5 10
100
1,7 10
De la tabla se observa que se trata de cobre
Rpta. B
3. En la figura se muestra una pastilla
de grafito. Si lo conectamos a través de un circuito a través de los terminales 1 y 2, se determina una
resistencia de 72 , ¿Cuánto será su resistencia eléctrica al
conectarlo entre los terminales 3 y 4?
A) 1 Ω B) 2 Ω C) 3Ω D) 5 Ω E)10 Ω
RESOLUCIÓN * Terminales 1 y 2
LR
A
6a72
2a a
= 24 a
Material (Ω.m) a 20 ºC
Plata 1,6x10-8
Cobre 1,7x10-8
Aluminio 2,8x10-8
Hierro 10x10-8
Plomo 22x10-8
1
2
3
4
2a
a
6a
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* Terminales 3 y 4
LR
A
aR 24a
2a 6a
R = 2
Rpta. B
4. En la gráfica se describe el voltaje
en función de la intensidad de
corriente que afecta a los resistores óhmicos. Además, en el circuito
mostrado la batería es ideal y tiene una diferencia de potencial de 12 V entre sus terminales. Determine la
intensidad de corriente que circula por “R2”?
A) 9 A B) 12 A C) 16 A D) 24 A E) 32 A
RESOLUCIÓN
* R1 = tg
1
1
6 12R
4,5 9
4R
3
* = 53º
Como: = + 16º
53º= + 16
= 37º
* R2 = tg R2 = tg37º
R2 = 3
4
Ley de Ohm Vab = I2R2
2
312V I
4
I2 = 16A Rpta. C
16º I (A)
Vab (V)
4,5
6
0
1
2
R2 R1 Vab
16º
o 4,5
6
I(A)
Vab(V) 1
2
1
4R
3
-
+ +
-
2
3R
4
I1I1
I2
12V-
+
Física
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5. En el circuito resistivo mostrado en la figura, “RV” es una resistencia
variable. Determine las resistencias fijas R1 y R2. La gráfica muestra la
variación de la intensidad de corriente en función de la resistencia variable RV.
A) 1 Ω, 1 Ω B) 2 Ω, 2 Ω
C) 1 Ω, 2 Ω D) 2 Ω, 1 Ω E) 4 Ω, 1 Ω
RESOLUCIÓN Del gráfico:
I1 = 5A cuando RV = 0
I1 = 3A cuando RV =
* 2da. Regla de Kirchoff (malla ABEFA)
voltajes = 0 V(1) + V(0) +
2RV +V(15V) = 0
5(1) 5(0) 5(R2) + 15 = 0
5 0 5 R2 + 15 = 0
5R2 = 10
R2 = 2
* 2da Regla de Kirchoff (Malla ABCDEFA)
voltajes = 0 V(1) +
1 2R RV V +V(15V) = 0
3(1) 3(R1) 3(R2) + 15 = 0
3 3(R1) 3(2) + 15 = 0
3 6 + 15 = 3R1
R1 = 2 Rpta. B
6. Un alambre de 1000 m de longitud
y resistividad 5.10–6 Ω.m está conectado a un voltaje de 100 V ¿Cuál debe ser el área de su
sección recta transversal si queremos que circule una
corriente de 2A por el alambre?
A) 0,2 cm2 B) 0,5 cm2 C) 1 cm2
D) 2 cm2 E) 5 cm2
RESOLUCIÓN
I 1 (A)
RV (
5
0
3
1
R1 RV
15V
R2
I 1
-15V
+
1
0 R1
R2
5A
B 0AC
DE
5A- +
-
F
A5A + -
+
-15V
+
1
R1
R2
0A
B 3AC
DE
3A
- +
-
F
A3A
+ -
+ +
-
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Ley de Ohm: Vab = IR
Ley de Poulliet: R = L
A
Luego:
ab
LV I
A
A = ab
I L
V
6 3
4 6
2
2
4 2
2
2 5 10 10A
100
10 10A
10
100cmA 10 m
1m
A = 1 cm² Rpta. C
7. Cuando el cursor se coloca en “P”,
el amperímetro ideal indica 3 A y
cuando se coloca en “M” indica 1 A. Determine cuánto indicará el
amperímetro al colocar el cursor en “Q”.
A) 0,5 A B) 1 A C) 1,5 A
D) 3 A E) 4,5 A
RESOLUCIÓN
ab
2L LV 3 R 1 R x R
A A
* 2L
3 R 1 RA
2R = 2L
A
R = L
A
* 2L L
1 R x RA A
R + 2R = x(R + R) 3R = x(2R)
x = 1,5A Rpta. C
8. En la asociación de resistores, mostrados en la figura, calcule la
resistencia equivalente entre “A” y “B”.
A) 2 Ω B) 5 Ω C) 6 Ω D) 8 Ω E) 10 Ω
RESOLUCIÓN
A
R
P Q M
L L
Cursor
R 3A
Vab
R 1A
Vab
1
2LR
A
R
x
Vab
2
LR
A
2BA
2
2
22
4
1
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* La resistencia de 1 esta en cortocircuito porque sale y regresa
al mismo punto.
ReqAB = 2 + 1 + 2
ReqAB = 5
Rpta. B
9. En la figura se muestra una rama que es parte de un circuito
eléctrico. El potencial en el punto “A” es 10V, determine el potencial en el punto “B”.
A) 25 V B) -25 V C) 15 V D) -15 V E) 10 V
RESOLUCIÓN
Vo + (voltajes) = Vf
VA + V(2)+V(20V)+V(3)+V(5V) = VB
VA + 2(2)+202(3)5 = VB
10 + 4 + 20 6 5 = VB 10 + 5 = VB
VB = 15V Rpta. C
10. La figura nos muestra una rama
de un circuito complejo. Determine
la diferencia de potencial (VX – VY), si se sabe que la diferencia de
potencial (VA – VB) = 3 V.
A) 38 V B) 50 V C) 67 V D) 87 V E) 100 V
RESOLUCIÓN
Y x
10 4 17V
I
12 V 5 20 V
A B
BA
32
20V 5V
I = 2A
I = 2A 2 3
A20V 5V
B+ -+-+ -
2BA
2
2
22
4
1
A
A
C
C
C
C
C
C D
D
4
2
2
2
2
D
B
2
PARALELO 1
SERIE 4A
C
1
41
D
B
2
PARALELO 2
A
C
4
A
B
C D
22
1
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* En la Rama AB
f
A (17V) (5 ) B
A B
Vo voltajes V
V V V V
V 17 I 5 V
VA VB + 17I(5) = 0
3 + 17 I(5) = 0 I = 4A
* En la Rama xy
o f
x y4 12V 10 17V 5 20V
V voltajes V
V V V V V V V V
Vx + 4(4)+124(10)+174(5) 20=Vy
Vx + 16+1240+172020 = Vy
Vx + 67= Vy
Vx Vy = 67
Rpta. C
11. En el circuito eléctrico mostrado en
la figura, determine las intensidades de corriente que
circula por la fuente de voltaje y por la resistencia de 4 .
A) 5 A, 15A B) 15 A, 5A C) 5 A, 5 A D) 15 A, 15A
E) 10 A, 10A
RESOLUCIÓN
* Ley de Ohm Vab = 20 = I1(2) = I2(4)
I1 = 10A I2 = 5A
* 1ra. Regla de Kirchoff I = I1 + I2
I = 10 + 5 I = 15A
* Por la fuente de voltaje circula
I = 15 A
* Por la resistencia de 4 circula I2 = 5A
Rpta. B
12. En el circuito eléctrico mostrado
en la figura, calcule la lectura del amperímetro ideal y la corriente
que pasa por la resistencia de 3 .
A) 2 A , 4/3 A B) 2 A , 2/3 A C) 2 A, 2 A D) 4/3 A , 2 A
E) 2/3 A, 2A
2
2V
A
3 6
6V
20V
I
2 4
I 4 10
xA B+-+-+ -
12V 17V5
20V
+ - - y+ -+
I
aa a
I1 I2
4
+++
-
--
b b b
220V
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RESOLUCIÓN
* Vbe = Vcd
I1(3) = I2(6)
I1 = 2I2
* 1ra. Regla de Kirchoff
“En el nudo b” I = I1 + I2 I = 2I2 + I2
2 1
I II I 2
3 3
* 2da. Regla de Kirchoff
voltajes = 0 malla abefa
V(6V) + V(3) + V(2V) + V(2) = 0
6 + I1(3) 2 + I(2) = 0
2I6
3 3 2 I 2 0
8 + 4 I = 0
I = 2A
1 2
4 2I A I A
3 3
* La lectura del amperímetro ideal es 2A
* La corriente que pasa por la
resistencia de 3 es 1
4I A
3
Rpta. A
13. En el circuito eléctrico mostrado en la figura, ¿Cuál es la lectura del voltímetro ideal?
A) 0 V B) 0,5 V C) 1 V D) 2 V E) 3 V
RESOLUCIÓN
Vab = I1(2+4) = I2(3) 3 = I1(6) = I2(3) I1 = 0,5 A I2 = 1A
3V V
34
2
I
ab c
I1I2
6
-
+
+
-
-
+
f e d
2
I
3
6V
+-2V
+ -
I
I
I
aa a
I1 I2
3
+
+
+
-
-
-
b b b
2
+
-
4
3V
aa a
0,5A IA
3
+
-
b b b
2
c
4
3V V a
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* El voltímetro ideal (Ri = ) me indica la diferencia de potencial entre a y c.
Vac = (0,5)(2) Vac = 1V
Rpta. C 14. En el circuito eléctrico que se
muestra en la figura, se conoce que el voltímetro ideal indica 20 V. Determine la lectura del
amperímetro ideal.
A) 3 A B) 5 A C) 7 A
D) 9 A E) 11 A RESOLUCIÓN
* El voltímetro ideal me indica la
diferencia de potencial entre a y b
Vab = I1(20) = I2(5) 20 = I1(20) = I2(5)
I1 = 1 A I2 = 4A
* El amperímetro ideal me indica:
2A + 4A + 1A = 7A Rpta. C
15. En la figura se muestra parte de un circuito. Si el voltímetro ideal
marca 41 voltios, determine la resistencia interna del
amperímetro, si este indica 2 amperios.
A) 0,25 Ω B) 0,5 Ω C) 1 Ω D) 1,5 Ω
E) 2 Ω
RESOLUCIÓN
Condición: Vab = 2(20 + Ri)
41 = 2(20 + Ri)
Ri = 0,5 Rpta. B
16. El circuito mostrado en la figura se
denomina puente Wheastone. Determine la lectura del voltímetro ideal.
A) 8 V B) 16 V C) 24 V
6
4 12
8
24 V
V
2
20
V
A
I
4
6
V
A
5
V
I
aa a
I1 2A
6++
-
+
-
b b2A
-V
2A
I2
+
-
b
20
a
5
4- +
2A2A
20 Ri
a b
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D) 32 V E) 48 V
RESOLUCIÓN Los puntos A y B se pueden
cortocircuitar o unir en uno solo. Pero también la rama AB puede quedar abierta (I = 0)
Cuando el puente esta equilibrado
eléctricamente se cumple:
(6) (4) = (2) (12)
VPQ = IR 24 = I(18)
4I A
3
* El voltímetro ideal (Ri = ) me indica la diferencia de potencial entre los puntos “B” y “Q”
Ley de Ohm VBQ = (3I)(4)
VBQ = 3
3 44
VBQ = 16V Rpta. B
17. En el circuito mostrado en la
figura, determine la potencia que entrega la fuente de 30 V, y la
potencia y el calor disipado por la
resistencia de 4 durante 5 minutos.
A) 200 W, 420 W, 30 kJ B) 420 W, 200 W, 60 kJ C) 100 W, 210 W, 30 kJ
D) 210 W, 100 W, 30 kJ E) 105 W, 50 W, 30 kJ
RESOLUCIÓN
10V30V
4
15
+
- 24V A B
PP
3II
26
412
3I
B
Q
4
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* Para la fuente de 30 V P = IV
P = (7)(30) Pentrega la fuente de 30V = 210 watt
* Para la resistencia de 4 P = I²R P = (5)²(4)
P = 100 watt La potencia disipada por la
resistencia de 4 es 100 watt * Q = I²Rt
Q = (5)²(4)(300) Q = 100(300)
Q = 30 kJ El calor disipado por la resistencia de
4 durante 5 minutos es 30 kJ. Rpta. D
18. Un hervidor eléctrico cuya
resistencia es 800 , se conecta a una fuente de 200 V. Determine el tiempo que se necesita para que
0,5 litros de agua eleve su temperatura en 24 ºC.
(1J=0,24cal) A) 10 s B) 50s C) 100 s
D) 200 s E) 1 000 s
RESOLUCIÓN
* Ley de OHM Vab = IR
200V = I(800)
I = 0,25 A
* Q = Cemt
I²Rt = CemT
2
1 1kcal800 t
4 kg
0,5kg
ºC
1J24ºC
0,24cal
500 24800t
2416
100
5000t
16
8001000s
Rpta. E
19. Una bombilla eléctrica presenta la
siguiente especificación técnica:
50 W – 100 V. Determine la potencia eléctrica que disipará la
bombilla cuando la conectemos a una fuente de 20V.
A) 1 W B) 2 W C) 3 W D) 4 W E) 5 W
RESOLUCIÓN
15
30V
7A
5A 4
+
-2A
+
-
+ -
10A+
-
0,5 kg H2O
I800
200V
t = 24ºC
Física
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* 500w 100 V
P = V²
R
R = V²
P
2
100R
50
R = 200 * Luego:
P = I²R
P = 2
1200
10
P = 2 watt
Rpta. B
20. ¿Cuál es el costo mensual de
energía que origina un televisor a
color de 150 W al tenerlo encendido durante 5 h diarias?
(cada kw.h cuesta S/. 0,30)
A) S/. 7,25 B) S/. 5,75
C) S/. 4,75 D) S/. 6,75 E) S/. 7,50
RESOLUCIÓN
Recuerde:
EnergíaP
t
Energía = Pt * En 1 día
Energía = (150W)(5h) Energía = 750 wh
* En 1 mes (de 30 días)
Energía = 30 (750 wh) Energía = 22,5 kwh
Energía = 22,5kwhS /.0,3
1k w
h
Energia = S/. 6,75
200
20V
1I A
10
Física
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SEMANA Nº 14
ELECTROMAGNETISMO
(I PARTE)
1. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético (en teslas) debido a una
corriente de 10 A de intensidad, que circula a través de un alambre muy largo, a una distancia
de 50 cm de dicho alambre?
A) 4.10-6 T B) 4.10-5 T C) 4.10-7 T D) 2.10-5 T E) 2.10-6 T
RESOLUCIÓN
La magnitud de B
, a una distancia
r, debido a una corriente I que circula por un alambre muy largo,
viene dada por:
0µ IB
2 r
; µ0 = 4 107 H/m
Luego:
7
64 10 10
B T 4 10 T2 0,5
RPTA.: A
2. Dos alambres muy largos,
separados 1 m, conducen corrientes de 5 A cada uno en
direcciones contrarias. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético (en teslas) en el punto medio de la
distancia de separación entre dichos alambres?
A) Cero B) 2.10-6 T
C) 2.10-5 T D) 4.10-5 T
E) 4.10-6 T
RESOLUCIÓN
El punto medio M los vectores 1B
y 2B
están en la misma dirección
(entrante al plano de la hoja), por
lo tanto la magnitud de RB
viene
dada por:
R 1 2B B B ……………….…………….(1)
donde:
7
60 11
1
4 10 5IB 2 10 T
12 r2
2
7
60 22
2
4 10 5IB 2 10 T
12 r2
2
Reemplazamos en (1): 6 6 6
RB 2 10 T 2 10 T 410 T
RPTA.: E
1 m
1m
2
M2B
x
x
1B
1I 5A
2I 5A
Física
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3. La figura muestra dos pares de
conductores muy largos por los cuales circulan intensidades de
corriente de la misma magnitud. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es correcta? Considere que cada
par de conductores es un sistema aislado.
Sistema 1 Sistema 2
A) El campo magnético en el punto
P es mas intenso que en el
punto Q. B) El campo magnético en el punto
Q es mas intenso que en el punto P.
C) El campo magnético en el punto
P es de la misma intensidad que en el punto Q.
D) El campo magnético en el punto P y en el punto Q son iguales a cero.
E) El campo magnético en el punto Q es igual a cero y en el punto P
es mayor que cero.
RESOLUCIÓN
En el primer par de conductores el
campo magnético resultante es igual a la resta de los campos creados por las corrientes. En
cambio, en el segundo par de conductores es igual a la suma.
Por lo tanto la afirmación correcta es la (b)
RPTA.: B
4. La figura muestra las secciones
transversales de dos conductores rectilíneos infinitos que transportan
corrientes eléctricas I1=10 A e I2=5A. ¿A qué distancia del conductor izquierdo (I1)la
intensidad del campo magnético es nula? La separación entre los
conductores es 90 cm.
A) 30 cm B) 60 cm C) 90 cm D) 120 cm E) 150 cm
RESOLUCIÓN En la figura se muestra los vectores
1B
y 2B
, debido a las corrientes 1I
e 2I . Para que RB
sea nulo, a una
distancia x del conductor izquierdo,
las magnitudes de 1B
y 2B
tienen
que se iguales.
Por condición= 1 2B B (para que RB 0 )
0 1 0 2I I 10A 5A
2 x 2 90cm x x 90cm x
x = 60 cm RPTA.: B
I1 I2
90 cm
P
.
Q
I I I
I
.
.
.
.
1B
2I 5A1I 10A
2B
90 cm - xx
Física
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5. En la figura se muestra las
secciones transversales de dos conductores rectilíneos muy largos.
Si la intensidad de corriente I1 es 9 A, ¿cuál es la intensidad I2 para que la inducción magnética en el punto
P sea vertical?
A) 15 A B) 20 A C) 25 A
D) 30 A E) 35 A
RESOLUCIÓN
En el punto P los vectores 1B
y
2B
, debido a las corrientes 1I e
2I ,tienen las direcciones
mostradas en la figura. Además, como el enunciado nos dicen que
el campo resultante es vertical, entonces la componente
horizontal de este campo debe ser igual a cero.
Por condición del problema se cumple:
2 1B cos53º B
0 2 0 1I I3
2 L 5 2 L sen37º
2
3 9AI
35
5
2I 25A
RPTA.: C
6. Un conductor horizontal muy largo
lleva una corriente I1 = 48 A. Un segundo conductor, fabricado con
alambre de cobre de 2,5 cm de diámetro y paralelo al primero, pero 15 cm debajo de él, se sujeta en
suspensión magnética como se muestra en la figura, ¿cuál es la
magnitud y dirección de la corriente en el segundo conductor?
(ρCu = 8,9 x 103 kg/m3)
A) 6,7x104 A, en la misma dirección
B) 6,7x104 A, en dirección contraria C) 6,7x103 A, en la misma dirección D) 6,7x103 A, en dirección contraria
E) 3,2x103 A, en la misma dirección
RESOLUCIÓN
I1=48 A
1,5 cm
I1 I2
P .
37º
53º1B
L
1I 37ºx
Recta Horizontal
2B
P
2I
Física
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Para que el conductor inferior permanezca en suspensión
magnética, la fuerza magnética debe ser de atracción para que se
equilibre con el peso de este conductor. En la fuerza siguiente se muestran
las fuerzas que actúan sobre una longitud “L” del alambre inferior.
Nótese que la corriente 2I debe ser
de la misma dirección que 1I .
F = m.g
0 1 2I I Lm g
2 d
…………………….(1)
donde:
2
cu cum V r L
En (1):
20 1 2cu
I I Lr L g
2 d
Reemplazando los datos y
despejando 2I se obtiene: 4
2I 6,7 10 A
RPTA.: A
7. Una espira circular de 10 cm de
radio conduce una corriente de 0,4 A. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético (en teslas) en el centro
de la espira?
A) 8 .10-7 T B) 4 .10-7 T
C) 2 .10-7 T D) (8/ ).10-7 T
E) (4/ ).10-7 T
RESOLUCIÓN
En el centro de una espira, la
magnitud de B
viene dada por:
0IB2R
Luego:
77
1
4 10 0,4B T 8 10 T
2 10
RPTA.: A
8. Un anillo conductor de forma circular y radio R está conectado a
dos alambres rectos y exteriores que terminan en ambos extremos
de un diámetro (ver la figura). La corriente I es divide en dos partes desiguales mientras pasa a través
del anillo como se indica. ¿Cuál es
la magnitud y dirección de
B en el
centro del anillo?
A) R
I
8
0 , hacia la página
B) R
I
4
0 , fuera de la página
C) R
I
8
0 , fuera de la página
D) R
I
4
0 , hacia la página
E) R
I
2
0 , fuera de la página
RESOLUCIÓN
I I
I/4
3I/4
R
F
2I
L
w m g
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En el centro del anillo el campo magnético resultante es igual a la
resta de dos campos (compruébelo aplicando la regla
de la manos derecha). La dirección del campo resultante es hacia fuera de la página.
R 2 1B B B ………………………………(1)
donde:
0
0 2 02 2
3I
I 3 I4B B
4 R 4 R 16R
0
0 1 01 1
I
I I4B B
4 R 4 R 16R
Reemplazando en (1):
0 0 0R
3 I I IB
16R 16R 8R
RPTA.: C 9. Un alambre adquiere la forma de
dos mitades de un círculo que están conectadas por secciones rectas de
igual longitud como se indica en la figura. La corriente I fluye en sentido contrario al giro de las
manecillas del reloj en el circuito. Determine la magnitud y dirección
del campo magnético en el centro C.
A) 21
210
4
)(
RR
RRI , fuera de la página
B) 21
210
8
)(
RR
RRI , hacia la página
C) 21
210
8
)(
RR
RRI , fuera de la página
D) 21
210
2
)(
RR
RRI , hacia la página
E) 21
210
4
)(
RR
RRI , hacia la página
RESOLUCIÓN En este caso el campo magnético resultante, en el centro “C”, es
igual a la suma de los campos creados por los semicírculos con
corrientes I
4 e
3I
4. Además, su
dirección es hacia fuera de la
página. R 1 2B B B
Donde:
0 11
1
IB
4 R
0
1
1
IB
4R
0 22
2
IB
4 R
0
2
2
IB
4R
Luego:
0 1 20 0R
1 2 1 2
I R RI IB
4R 4R 4R R
RPTA.: A
10. Un solenoide de 20 cm de longitud y 100 vueltas conduce una
corriente de 0,2 A. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético (en
teslas) en el centro del solenoide?
A) 8 .10-7 T B) 4 .10-7 T
C) 4 .10-6 T E) 8 .10-5 T
E) 4 .10-5 T
RESOLUCIÓN
I
I C
R1
R2
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En el centro de una solución la
magnitud de B
viene dada por:
0 NIB
L
Reemplazando los datos tenemos: 7
54 10 100 0,2B 4 10 T
0,2
RPTA.: E
11. Un solenoide anular tiene una
circunferencia media de 250 mm de diámetro y consta de 800 espiras.
Se pide determinar la intensidad de la corriente necesaria para tener un campo magnético de 1,2 x 10-3 T.
A) 0,075 A B) 0,937 A
C) 1,7x104 A D) 3,8x104 A E) 2,4x103 A
RESOLUCIÓN En el interior de un solenoide
anular (o toroide) se cumple que:
0 NIB
2 R
; R= radio medio
Reemplazamos datos: 7
3
3
4 10 800I1,2 10
2 125 10
I = 0,937 A RPTA.: B
12. Un electrón que lleva una velocidad
V = 2.104 m/s (en la dirección + x)
ingresa perpendicularmente a una región donde existe un campo
B = 0,5 Teslas (en la dirección + y). ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza magnética
que actúa sobre dicho electrón?
A) 1,6.10-15 N ; en la dirección +z B) 1,6.10-15 N ; en la dirección –z
C) 1,6.10-15 N ; en la dirección +y D) 1,6.10-15 N ; en la dirección +x E) 1,6.10-15 N ; en la dirección –x
RESOLUCIÓN
La magnitud de la fuerza magnética sobre una carga móvil viene dada
por: F q V B (cuando V
y B
son
perpendiculares) Luego:
19 4F 1,6 10 2 10 0,5N 15F 1,6 10 N
La dirección de F
se determina aplicando la regla de la mano derecha. En este caso, la dirección
de F
sería: “-z”. RPTA.: B
13. En la figura se muestra un alambre
muy largo por el cual circula una corriente I. En el punto P se lanza una partícula, cargada
positivamente, con una velocidad V y según la dirección del eje + y.
¿Cuál es la dirección de la fuerza magnética en P?
A) + y
B) + x C) – x
D) + z
E) – z
RESOLUCIÓN Aplicando la regla de la mano derecha, la dirección de la fuerza
magnética en el punto P, sería: + Z.
RPTA.: D
14. Indicar si es verdadero (V) o falso
(F) las siguientes proposiciones:
I. Si en una región existe sólo un
campo magnético uniforme y en
ella colocamos un electrón con
velocidad nula, entonces el
electrón se acelera.
I
P V
x
y
z
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II. Si se acerca un imán a una
pantalla de televisión que se
halla funcionando normalmente,
entonces la imagen de televisión
se distorsiona.
III. Toda carga eléctrica en
movimiento genera a su
alrededor sólo un campo
magnético.
A) VVV B) FFF C) VFV
D) FVV E) FVF
RESOLUCIÓN De acuerdo con la teoría
electromagnética tenemos que: I. Falso
II. Verdadero III. Falso
RPTA.: E
15. Si usted se halla sosteniendo una
espira y repentinamente introduce
un imán, empezando por su polo
sur, hacia el centro de la espira,
indicar si es verdadero (V) o falso
(F) las siguientes proposiciones:
I. En la espira se induce una
corriente eléctrica.
II. En la espira se sigue induciendo
una corriente eléctrica cuando el
imán se mantiene de manera
estable dentro de la espira.
III. En la espira se sigue induciendo
una corriente eléctrica cuando el
imán se retira del centro de la
espira.
A) VVV B) FFF C) VFV
D) FVV E) FVF
RESOLUCIÓN
De acuerdo con la teoría electromagnética:
I. Verdadera II. Falsa
III. Verdadera RPTA.: C
16. En determinada zona del espacio
hay un campo magnético uniforme
B , fuera de esa zona,
B = 0.
¿Puede usted inyectar un electrón
en el campo de modo que se mueva
en una trayectoria circular cerrada
en el campo?
A) No, no es posible
B) Si, haciéndolo ingresar en
dirección perpendicular al
campo.
C) Si, haciéndolo ingresar en
dirección oblicua al campo.
D) Si, haciéndolo ingresar en
dirección paralela al campo.
E) No, porque el electrón mantiene
su dirección inicial de
lanzamiento.
RESOLUCIÓN Se sabe que un electrón describe
una trayectoria circular cuando ingresa perpendicularmente a un campo magnético.
RPTA.: B
17. Una partícula cargada con
q = + 10 µC y masa m = 2.10-6 kg,
gira en el interior de un campo
magnético de magnitud 4T, con una
rapidez de 100 m/s. Determine
el radio de la trayectoria circular
que describe.
A) 2 m B) 3 m C) 4 m
D) 6 m E) 5 m
RESOLUCIÓN
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Por 2da Ley de Newton, aplicada a un movimiento circular, se cumple
que:
C CF m a ; donde: 2
C
Va
R
Además la fuerza centrípeta será igual a la fuerza magnética F= qVB. Por lo tanto, la ecuación
inicial queda: 2V
qVB mR
mV
RqB
Reemplazado datos tenemos:
6
6
2 10 100R m 5m
10 10 4
RPTA.: B
18. En la figura se muestra las
trayectorias hechas por dos
partículas de igual masa e igual
carga eléctrica moviéndose en un
campo magnético uniforme
perpendicular al plano del dibujo.
¿Cuál de las afirmaciones siguientes
es correcta?
A) El trabajo hecho por la fuerza
magnética sobre la partícula 1
es mayor que el hecho sobre la
2.
B) El trabajo hecho por la fuerza
magnética sobre la partícula 2
es mayor que el hecho sobre la
1.
C) La energía cinética de la
partícula 1 es mayor.
D) La energía cinética de la
partícula 2 es mayor.
E) Ambas tienen igual energía
cinética.
RESOLUCIÓN La afirmación correcta es la (d).
De la resolución de la pregunta
(17) se obtiene que: qBR
Vm
Por lo tanto, a mayor Radio “R”, mayor será la velocidad “V” y
mayor será la energía cinética.
RPTA.: D
19. Una partícula de masa m y carga
+q se lanza horizontalmente hacia
la derecha con una velocidad
V
(ver la figura) en una región donde
existe un campo magnético
uniforme perpendicular a la
velocidad de la partícula. Si la
partícula se mueve en línea recta
horizontalmente hacia la derecha,
significa que la magnitud y la
dirección del campo magnético,
respectivamente, son:
A) mq/Vg , tiene la misma dirección
que V.
B) mg/Vq, tiene dirección opuesta a
V
C) mg/qV, apunta entrando al
papel en forma perpendicular.
D) mg/qV, apunta saliendo del
papel en forma perpendicular.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
B
1
2 m
V
q
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E) mV/qg, apunta verticalmente
hacia abajo.
RESOLUCIÓN Para que la partícula se mueva en línea recta, se debe cumplir que
su peso y la fuerza magnética, debida al campo, se deben
equilibrar. Es decir: F w qVB mg
m g
Bqv
Por regla de la mano derecha el campo magnético debe ser
perpendicular entrante.
RPTA.: C
20. Si un electrón ingresa
perpendicularmente a un campo
magnético homogéneo B y lleva un
momentum p (p = m.V),
experimentalmente se demuestra
que gira describiendo una
circunferencia de radio R. Halle R, si
m = masa del electrón, e = carga
del electrón, V = velocidad lineal
del electrón.
A) p /e.m B) p/e
C) p/B D) p/e.B
E) p.B/m.e
RESOLUCIÓN De la relación de la pregunta (17)
tenemos 2mV mv v
qV B qV BR R
pe B
R
p
Re B
RPTA.: B
F
+ q
mg
V
x x
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
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SEMANA 16
ÓPTICA Y FÍSICA MODERNA
1. Una radiación luminosa que se propaga en el aire tiene una frecuencia de 6x108 MHz. ¿Cuál es
la longitud de onda de esta radiación?
A) 5 m B) 5.10-5 m
C) 0,5 m D) 5.10-7 m
E) 5.10-6 m
RESOLUCIÓN
8
6
14
c 3 100,5 10
f 6 10
75 10 m
RPTA.: D
2. Si una estación de radio FM emite
sus señales a una frecuencia de 100 MHz, ¿cuál es la longitud de onda
de las ondas que emite dicha radio?
A) 0,3 m B) 30 m
C) 3 m D) 0,03 m E) 300 m
RESOLUCIÓN
8
8
c 3 10 m/s3m
f 10 Hz
RPTA.: C
3. ¿Cuál es la frecuencia en MHz de un color monocromático cuya
longitud de onda en el vacío es de
6.10-7 m?
A) 5.1014 B) 5.109
C) 5.108 D) 5.107
E) 2.109
RESOLUCIÓN
8
15
7
c 3 10 m/s 1f 10
26 10 m
14f 5 10 Hz
RPTA.: C
4. Un rayo de luz incide sobre un espejo
convexo cilíndrico de radio 25 cm, como muestra la figura, calcula el ángulo que forma el rayo incidente
con el rayo reflejado?
A) 15°
B) 32°
C) 53°
D) 74°
E) 148°
RESOLUCIÓN
2i 2(16 )
32
RPTA.: B
5. ¿A qué distancia de un espejo
cóncavo, de 40 cm de distancia focal, se debe ubicar un objeto para
que su imagen sea real y se ubique a 80 cm del espejo?
A) 40 cm B) 80 cm C) 8 cm D) 20 cm
E) 60 cm
7cm
Rayo incidente
Superficie reflectora
7 cm
16º
25 cm
i
i
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RESOLUCIÓN
1 1 1
S S' f
1 1 1
S 80 40
1 1 1
S 40 80
1 1
S 80
S= 80 cm
RPTA.: B
6. ¿A qué distancia de un espejo
cóncavo, de 2m de radio, debe
ubicarse un objeto para que su imagen real se forme a 2 m del
espejo? ¿Cómo es el tamaño de la imagen?
A) 2 m ; de mayor tamaño que el objeto
B) 2 m ; del mismo tamaño del objeto
C) 2 m ; de menor tamaño del
objeto D) 1 m ; del mismo tamaño del
objeto E) 1 m ; de mayor tamaño del
objeto
RESOLUCIÓN
1 1 2
S' S R
1 1 2 1 1
2 S 2 S 2
S = 2 m
y' S' y' 2
Ay S y 2
y' y
RPTA.: B
7. Un objeto se halla a 20 cm de un
espejo convexo, de 10 cm de distancia focal. Luego, su imagen será:
A) La mitad del tamaño del objeto B) La cuarta parte del tamaño del
objeto C) Del mismo tamaño del objeto
D) Del doble del tamaño del objeto E) La tercera parte del tamaño del
objeto.
RESOLUCIÓN
1 1 1
S' S f
1 1 1
S' 20 10
1 1 1
S' 10 20
1 3 20S'
S' 20 3
Luego:
y s 20 / 3
y yy s 20
1
y y3
RPTA.: E
8. Un objeto se ubica a 2 m de distancia de un espejo convexo de
1 m de distancia focal, ¿a qué distancia del espejo se forma la
imagen y cuáles son sus características?
A) 0,67 m ; virtual, derecha, de mayor tamaño
B) 0,67 m ; virtual, derecha, de menor tamaño
C) 0,67 m ; virtual, derecha, de
igual tamaño D) 1,5 m ; virtual, derecha, de
mayor tamaño E) 1,5 m ; virtual, derecha, de
menor tamaño
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RESOLUCIÓN
1 1 1
S' S f
1 1 1 1 11
S 2 1 S 2
1 3 2S' 0,67 m
S' 2 3
Luego:
y' S' y' 2 /3
y S y 2
y' 1 1
y' yy 3 3
RPTA.: B
9. Un objeto se ubica a 2 m de distancia de un espejo convexo y su imagen virtual se forma a 0,5 m
del espejo, ¿cuál es la distancia focal de dicho espejo?
A) -1,5 m B) -2 m C) -1 m D) (-1/3) m
E) (-2/3) m
RESOLUCIÓN
1 1 1
S S' f
1 1 1 1 12
2 0,5 f 2 f
3 1 2
f2 f 3
RPTA.: E
10. Si una onda electromagnética pasa del aire al agua, es cierto que:
A) Su longitud de onda aumenta B) Su longitud de onda disminuye
C) Su longitud de onda permanece constante.
D) Su velocidad aumenta E) Su frecuencia disminuye.
RESOLUCIÓN
1 2f f
aguaaire
aire agua
VV
Como:
aire aguaV V
Entonces:
aire agua
RPTA.: B
11. Las figuras representan bloques de
vidrio de sección semicirculares, sobre los cuales incide un rayo de luz en el centro del semicírculo. Indique lo que no puede suceder (el medio es el aire)
A) B)
C) D)
E)
RESOLUCIÓN
La respuesta es D RPTA.: B
12. Un objeto se ubica a 3 m de un
lente convergente de 1 m de distancia focal ¿A qué distancia de la lente se forma la imagen y cuáles
son sus características?
A) 0,67 m ; virtual, derecha, de mayor tamaño
B) 0,67 m ; virtual, derecha, de
menor tamaño
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C) 0,67 m ; virtual, derecha, de igual tamaño
D) 1,5 m ; real, invertida, de mayor tamaño
E) 1,5 m ; real, invertida, de menor tamaño
RESOLUCIÓN
1 1 1
S S' f
1 1 1
3 S' 1
1 11
S' 3
1 2
S' 3
3
S'2
Luego:
3y' S' y ' 2y S y 3
y' 1 yy'
y 2 2
RPTA.: E
13. Un objeto de 10 cm de tamaño se
ubica a 21 cm delante de un lente convergente de 14 cm de distancia
focal. ¿Cuál es el tamaño de la imagen?
A) 20 cm B) 5 cm C) 1 cm D) 40 cm E) 2,5 cm
RESOLUCIÓN
1 1 1
S S' f
1 1 1
21 S' 14
1 1 1
S' 14 21
1 7
S' 14 21
S' 42 cm
Luego:
y' S' y' 42cm
y S 10cm 21cm
y’ = - 20 cm
RPTA.: A
14. Un objeto de 10 cm. de tamaño esta ubicado a 1m de un lente
convergente de 2 m de distancia focal. Señalar que tipo de imagen forma el lente y que tamaño tiene.
A) Real ; 20 cm
B) Virtual; 20 cm C) Real ; 10 cm
D) Virtual; 30 cm E) Virtual; 10 cm
RESOLUCIÓN
1 1 1
S S' f
1 1 1
1 S' 2
1 1S' 2cm
S' 2
Luego:
2y' S'y ' (10)
y S 1 cm
y’ = 20 cm
RPTA.: B
Física
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15. Un lente divergente de -2 dioptrías de potencia, forma una imagen
virtual a 25 cm del lente, ¿a qué distancia se halla ubicado el objeto?
A) 25 cm B) 20 cm C) 5 cm D) 50 cm E) 75 cm
RESOLUCIÓN
1 1 1
S S' f
1 12
S 1/4
14 2
S
12
S
1S m 50cm
2
RPTA.: D
16. ¿Cuál es la distancia focal de un lente divergente para que un objeto
colocado a 2 m frente al lente, forme una imagen virtual a 0,5 m de dicho lente?
A) – 0,75 m B) + 0,75 m
C) – 3m D) – 0,67 m E) + 1,33 m
RESOLUCIÓN
1 1 1
S' S f
1 1 1
1/2 2 f
1 12
2 f
3 1
2 f
2
f m 0,67m3
RPTA.: D
17. Un objeto de 5 cm de altura se ubica a 30 cm de un lente
convergente de 50 cm de distancia focal. Calcular el tamaño de su
imagen.
A) 5 cm B) 10 cm C) 12,5 cm
D) 15 cm E) 7,5 cm
RESOLUCIÓN
1 1 1
S' S f
1 1 1
S' 30 50
1 1 1
S' 50 30
1 2
S' 150
S’ = 75 cm Luego:
y s y 75 cm
y s 5 cm 30 cm
y 12,5 cm
RPTA.: C
18. Un objeto, de 10 cm de tamaño, se
ubica a 3 m de un lente divergente
de 1 m de distancia focal ¿Cuál es la posición de la imagen?¿Cuál es el
tamaño de la imagen?
A) - 0,75 m ; 2,5 cm
B) - 0,75 m ; 5,0 cm C) – 7,5 m ; 2,5 cm
D) – 7,5 m ; 5,0 cm E) - 1,33 m ; 2,5 cm
RESOLUCIÓN
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1 1 1
S S' f
1 1 1
3 S' 1
1 11
S' 3
1 4
S' 3
3S' 0,75
4
m
Luego:
y s
y s
0,75y' ( 10) 2,5 cm
3
RPTA.: A
19. La miopía se corrige utilizando
lentes …………, y la hipermetropía, utilizando lentes ……………….
A) convergentes – divergentes B) divergentes – convergentes
C) cóncavos – convexos D) divergentes – divergentes
E) convergentes – convergentes
RESOLUCIÓN
Respuesta B
RPTA.: B
20. Una persona miope no puede ver con nitidez a una distancia superior
a 50 cm. Calcular la potencia que deben tener sus anteojos para que pueda ver con claridad los objetos
lejanos.
A) – 2 dioptrías B) – 3 dioptrías C) – 4 dioptrías D) – 5 dioptrías E) – 2,5 dioptrías
RESOLUCIÓN
1 1
P1f
2
= 2 dioptrías
P = -2 RPTA.: A
21. ¿Cuál es la energía (en eV) de un fotón de luz de frecuencia
3,2.1016Hz?
h = 4,1.1015 eVs
A) 133,1 D) 132,6 B) 213,2 E) 523,3
C) 231,2
RESOLUCIÓN
E= hf
15 15E 4,1 10 eVs 32 10 Hz
E= 132, 6 eV
RPTA.: D
22. Una emisora de radio de 10kW de
potencia emite una onda de radio de frecuencia 1,5 MHz ¿Cuál es la cantidad de fotones emitidos por
segundo?
h = 6,63.1034 J.s
A) 1031 D) 1034
B) 1029 E) 1033 C) 1019
RESOLUCIÓN
E = Pt nhf = Pt
34 6 4n 6,63 10 1,5 10 10
31n 10
RPTA.: A
23. ¿Cuál es la frecuencia umbral (en Hz) para el efecto fotoeléctrico, sobre una placa de Wolframio, si el
trabajo de extracción es de 4,52 eV?
A) 11∙1014 D) 26∙1014 B) 20∙1014 E) 19∙1014
C) 42∙1014
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RESOLUCIÓN
hfo 4,51ev
15
4,52evfo
4,1 10 ev s
15fo 1,1 10 = 11.1014
RPTA.: A
24. En el efecto Compton, un fotón de 600 keV choca con un electrón en
reposo y este adquiere una energía de 500 keV ¿Cuál es la energía del fotón después del choque?
A) 100 eV D) 200 eV
B) 300 eV E) 400 eV C) 500 eV
RESOLUCIÓN
Eantes = Edespués
foton600keV 500keV E
100 ke V = Efoton
RPTA.: A
25. Calcular la longitud de onda (en m) asociada de una pelota de
10 g cuando se mueve a 6,63 m/s.
A) 1031 D) 1034
B) 1032 E) 1033
C) 1019
RESOLUCIÓN
34 2
3
h 6,63 10 m/s
p 10 10 6,63 m/s
3210 m
RPTA.: B
26. ¿Cuál es la longitud de onda (en Å)
asociada a una partícula de masa
igual a la del electrón pero del doble de su carga, acelerado bajo
una diferencia de potencial de 91 voltios?
A) 0,3 D) 0,2 B) 0,4 E) 0,9
C) 0,6
RESOLUCIÓN
K
h h
p 2mE
h
2m q v
0
0,9A
RPTA.: E
27. ¿Cuál es la menor incertidumbre en
la velocidad de un electrón
confinado en una caja de 1000Å?
A) 6.102 D) 6.104
B) 6.103 E) 6.106
C) 6.105
RESOLUCIÓN
34
7
h hv 6,63 10
4 x 4 10
28v 5,3 10
2v 580 m/s 6 10
RPTA.: A
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28. El segundo postulado de la relatividad de Einstein nos dice:
A) La masa se puede convertir
totalmente en energía. B) Todos los fenómenos de la física
son iguales en cualquier sistema
de referencia. C) La velocidad de la luz es
independiente de la velocidad de la fuente y del observador.
D) El tiempo es absoluto y no depende del sistema de referencia.
E) La masa aumenta si viaja a la velocidad de la luz.
RESOLUCIÓN
RPTA.: C
29. Un astronauta se dirige hacia
un planeta que está a 3.1010 m
(medido desde el observador en
Tierra), con una rapidez de 0,8 c. ¿Cuál es el tiempo de viaje medido
por el observador en Tierra y el tiempo medido por el astronauta?
A) 125 s y 208 s B) 125 s y 75 s
C) 166 s y 133 s D) 143 s y 123 s E) 75 s y 125 s
RESOLUCIÓN
e = vt
et 125s
v
t =
o
2
t
1 v / c
t 2
o1 v / c t
o125 0,6 t
75 s= ot
RPTA.: B
30. ¿Cuánta energía tiene contenida 10 gramos de tiza cuando se encuentra
en reposo?
A) 9,0∙1014 J D) 19∙1014 J B) 4,5∙1014 J E) 9,1∙1014 J C) 18∙1014 J
RESOLUCIÓN
E = mc²
3 16E 10 10 9 10
14E 9 10 J
RPTA.: A
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SEMANA Nº 15
ELECTROMAGNETISMO
(II PARTE)
1. Calcule la magnitud de la fuerza magnética sobre un tramo de cable
de 100 m de longitud tendido entre dos torres y conduciendo 250 A de corriente. Se sabe que el campo
magnético terrestre tiene una magnitud de 5x10-5 T y hace un
ángulo de 53º con el cable.
A) 1,00 N B) 2,75 N
C) 0,75 N D) 1,25 N E) 1,75 N
RESOLUCIÓN Se sabe: F = I L B sen
Reemplazando datos:
5F 250 100m 5 10 T sen53
F = 1N RPTA.: A
2. ¿Qué intensidad de corriente circula
por un alambre de 3 m de longitud, si al colocarlo en el interior de un campo magnético uniforme de 0,08
T se ejerce sobre él una fuerza de 0,9 N?
A) 0,25 A B) 3,75 A C) 1,75 A D) 2,5 A
E) 5 A
RESOLUCIÓN
F = I L B
F 0,9NI
LB 3m 0,08T
I = 3,75 A
RPTA.: B
3. Un cubo de arista 1 m se encuentra situado en un lugar donde existe un
campo magnético
B uniforme de
(0,5 T) i
, según el dibujo. Sobre el
cubo se coloca un alambre abcd a través del cual circula una corriente eléctrica de 2 A de intensidad. La
fuerza que actúa sobre el tramo bc es:
A) 0,5
i N B) -1,0
j N
C) 2,0
k N D) 2
j2 N
E) )(2
ki N
RESOLUCIÓN
Sabemos: F I L B
donde: I = 2 A
Reemplazando:
RPTA.: B
a
b
c
d
B
I
I
I
z
x
y
bcL L k i m
B 0,5 i T
F 2A k i m 0,5 i T
F 1,0 j N
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4. Para la misma figura del problema anterior, calcule la fuerza que actúa
sobre el tramo cd del alambre
debido al campo magnético
B .
A) 1,0
k N B) -1,0
j N
C) -1,0
k N D) 2
j2 N
E) )(2
ki N
RESOLUCIÓN En este caso: Luego:
RPTA.: A 5. Un imán de herradura se coloca
verticalmente con el polo norte a la
izquierda y el polo sur a la derecha. Un
alambre que pasa perpendicularmente
entre los polos lleva una corriente que
se aleja directamente de usted. ¿En
qué dirección está la fuerza sobre el
alambre?
A) Verticalmente hacia arriba
B) Verticalmente hacia abajo
C) No actúa ninguna fuerza sobre el
alambre.
D) Horizontalmente hacia la derecha
E) Horizontalmente hacia la izquierda
RESOLUCIÓN
RPTA.: B
6. Dos conductoras muy largos y paralelos están situados
perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 4x10-7 T.
Una corriente de 1 A de intensidad circula en direcciones opuestas a lo largo de los conductores (ver la
figura). ¿Para qué valor de la distancia “d” la fuerza que actúa
sobre cada uno de los conductores es nula?
No tome en cuenta la fuerza gravitatoria.
A) 0,5 m B) 1 m C) 1,5 m D) 2 m E) 2,5 m
RESOLUCIÓN Analizando el conductor superior notamos que las fuerzas que
actúan están en direcciones contrarias (ver la figura).
Por condición: RF 0
Es decir:
F = 1F
0 I I L
I L B2 d
d = 0,5 m
RPTA.: A
B
d
cdL L j m
F 2A j m 0,5 i T
F 1,0kN
B
F
xISN x
I
I
F
1F
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7. El plano del cuadro rectangular de alambre abcd es perpendicular
a un campo magnético homogéneo cuya inducción
magnética es B = 10-3 T. El lado bc del cuadro, cuya longitud es L = 1 cm, puede deslizarse sin
interrumpir el contacto, a velocidad constante V = 10 cm/s, por los
lados ab y dc. Entre los puntos a y d está conectado un foco de
resistencia R = 5 Ω. Calcule la magnitud de la fuerza, en N, que hay que aplicar al lado bc para
efectuar el movimiento indicado. Se desprecia la resistencia eléctrica de
la parte restante del cuadrado.
A) 5x10-13 B) 2x10-12 C) 2x10-13 D) 5x10-11
E) 1x10-12
RESOLUCIÓN Se sabe: F = I L B…............... (1)
donde:VLB
IR R
Reemplazo en (1): 2 2VLB VL B
F LBR R
2 2
2 3
120,1 10 10
F N 2 10 N5
RPTA.: -
8. En el arreglo mostrado en la figura, la barra conductora, de
longitud L = 1 m, se mueve con una rapidez V = 5 m/s. Si en la
región existe un campo magnético dirigido hacia la página de magnitud B=0,8 T, ¿cuál es la potencia
disipada por la resistencia R = 4 ?
A) 1 W B) 2 W C) 3 W
D) 4 W E) 5 W
RESOLUCIÓN La potencia disipada por una resistencia viene dada por:
2P I R ……………………..……….…..(1)
donde: VLB
IR R
En (1):
2 2 2 2VLB V L BP R
R RP=4 watts
RPTA.: D
9. Una bobina que tiene 10 espiras
apretadas y 10 cm2 de área está ubicada perpendicularmente a un
campo magnético uniforme de magnitud 0,1 T. Si el campo
magnético se anula en un tiempo de 1 ms, ¿cuál es la fuerza electromotriz inducida en la bobina?
A) -1 V B) +1 V
C) +0,1 V D) -10 V E) +10 V
RESOLUCIÓN
V
a b
d c
R
B
L V
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Por Ley de Faraday: Nt
donde: B A
Luego:
3
3
0,1 10B AN 10 V
t 10
= + 1 V RPTA.: B
10. El campo magnético que atraviesa
una espira de área 2 m2 varía de 0,5 T a cero en un tiempo de 0,25
segundos, ¿cuál es la fuerza electromotriz inducida en dicha espira?
A) + 4 V B) – 4 V
C) + 2 V D) + 40 V E) – 40 V
RESOLUCIÓN
Sabemos:t
;donde: B A
Luego:
0,5 2B AV 4V
t 0,25
RPTA.: B
11. Se tiene una espira cuadrada de 5 cm de lado dentro de un campo
perpendicular de 4 T. Si la espira gira 90º en 20 ms, ¿cuál es la fuerza electromotriz inducida en la
espira?
A) + 0,5 V B) + 5 V C) – 0,5 V D) – 5 V E) + 0,05 V
RESOLUCIÓN
Se cumple: B A
t t
4
3
4 25 10V ,05V
20 10
RPTA.: A
12. Se tiene una bobina cuya
resistencia es de 2 a través de la
cual el flujo magnético varía de 180 a 60 Weber en 2 s, ¿cuál es el valor
medio de la corriente inducida en la bobina durante esos 2 s?
A) 10 A B) 20 A C) 30 A D) 0,3 A
E) 3 A
RESOLUCIÓN
Por Ley de Ohm:V
IR R
donde: 120W b
60 Voltt 2s
Reemplazando:
60VoltI 30A
2
RPTA.: C
13. Si el imán se acerca a la espira, es cierto que: I. En la espira no se induce una
corriente eléctrica. II. En la espira aparece una
corriente en la dirección indicada en la figura.
III. La magnitud del flujo que atraviesa la espira aumenta.
A) VFV
B) VVV
C) FVF
D) FFV
E) FVV
V
I
S
N
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RESOLUCIÓN De acuerdo con la teoría electromagnética:
I. Falso II. Falso III. Verdadero
RPTA.: D
14. Si la espira rectangular de la figura
se mueve con una velocidad
V ,
alejándose del alambre muy largo,
¿cuál es la dirección de la corriente inducida en la espira?
A) No se induce ninguna corriente
en la espira. B) Igual al giro de las manecillas de
un reloj. C) Contrario al giro de las
manecillas de un reloj.
D) Depende de la distancia d. E) Falta información para decidir.
RESOLUCIÓN Cuando la espira se aleja del
alambre, el flujo magnético que la atraviesa disminuye (porque el campo disminuye), por lo tanto la
corriente inducida en la espira tiene sentido horario.
RPTA.: B
15. Una barra conductora de longitud L = 30 cm se mueve
perpendicularmente al campo magnético saliente de magnitud
20 T, mostrado en la figura, con una rapidez de 40 cm/s. Calcular la fuerza electromotriz inducida en la
barra.
A) 1,2 V B) 2,4 V C) 3,6 V D) 12 V e) 24 V
RESOLUCIÓN Se sabe: VLB
m
0,4 0,3m 20T 2,4Vs
RPTA.: B
16. Una barra metálica se desplaza con velocidad de 50 cm/s a través de un campo magnético de magnitud
0,8 T, perpendicular al plano del papel. La fuerza magnética produce
una separación de cargas hasta que se equilibra con la fuerza eléctrica; esto produce una fuerza
electromotriz de 120 mV. Hallar L.
A) 30 cm B) 10 cm
C) 20 cm D) 26 cm
I
d
V
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
V
B
L
Campo magnético Perpendicular y entrante
V L
x
B
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E) 40 cm
RESOLUCIÓN 3120 10 V
V L B LmV B
0,5 0,8Ts
L= 0,3 m = 30 cm RPTA.: A
17. Indicar si es verdadero (V) o falso
(F) las siguientes proposiciones: I. El transformador es un
dispositivo eléctrico cuyo funcionamiento se basa en la ley de Faraday.
II. El transformador funciona igual con voltajes alternos y
continuos. III. El generador es una máquina
eléctrica que convierte energía
eléctrica en energía mecánica. IV. El motor es una máquina
eléctrica que convierte energía mecánica en energía eléctrica.
A) VVVV B) VFFF C) FVFV E) FVVF
E) VVFF
RESOLUCIÓN Por teoría:
I. Verdadero
II. Falso III. Falso IV. Falso
RPTA.: B
18. Calcule el número de espiras del
primario de un transformador en el cual ingresan 2 kW a 100 A, y del
secundario, que tiene 2000 espiras, salen 5A.
A) 50 B) 20 C) 40 D) 10 E) 100
RESOLUCIÓN
Se cumple: p s
s p
N I
N I
Reemplazando datos:
pN 5A
2000 100A pN 100
RPTA.: E
19. Un transformador recibe una tensión de
220 V. Si tiene una eficiencia del 90%,
halle la potencia eléctrica en el
secundario cuando la corriente en el
primario es de 1000 mA.
A) 220 W B) 198 W
C) 188 W D) 1000 W
E) 90 W RESOLUCIÓN
Por condición:
s pP 90% P
Es decir:
s p pP 0,9 V I
sP 0,9 200V 1A
sP = 198 Watts
20. ¿Qué potencia tiene un transformador,
si se sabe que la corriente en el
primario es 4 A, el número de vueltas
en el primario 2000, el número de
vueltas en el secundario 1000, y el
voltaje en el secundario 110 V?
(Desprecie todo tipo de pérdidas)
A) 960 W B) 660 W
C) 360 W D) 440 W
E) 880 W
RESOLUCIÓN Se sabe:
p p p p pP V I P V 4A ……..……(1)
Hallo: “ pV ”:
p p p
s s
N V V2000
N V 1000 110V
pV 220V
En (1)
pP 220V 4A 880watts
SOLUCIONARIO UPT FASE CERO 2016-I Página de Facebook: Delta Academias
RAZONAMIENTO LÓGICO
PREGUNTA 01
En una hilera hay 12 vasos. Los seis primeros
están llenos de vino y los siguientes vacíos.
¿Cuántos vasos como mínimo se deben mover
para que los vasos llenos y los vasos vacíos se
alternen uno a uno?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Resolución Planteando:
LLenos Vacios
Se deben mover 3 vasos como mínimo. Respuesta: b) 3
PREGUNTA 02 Balbina va al mercado y por una manzana paga 28
céntimos, por una papaya 24 céntimos y por una
piña 16 céntimos. ¿Cuánto gastará al comprar un
mango, lúcuma y una pera?
a) 52 b) 56 c) 60 d) 64 e) 68
Resolución
Contamos el número de letras que forman las
palabras y multiplicamos por 4.
Manzana 28 7 4
Papaya 24 6 4
Piña 16 4 4
Mango + Lucuma Pera
5 4 6 4 4 4 20 24 16 60
Respuesta: c) 60
PREGUNTA 03 Si en los círculos de la figura escribimos los
números naturales del 3 al 11, de manera que los
números en cada lado del triángulo sumen 25.
¿Cuál es la suma de los números que se escriben
en los círculos de los vértices?
x
yz
a) 15 b) 12 c) 18 d) 13 e) 21
Resolución
x
yz
25x
25
25 z
25 y
Sumando todos los números que están en los circulos.
3 4 5 6 7 8 9 10 11 63
También podemos sumarlos con las ecuaciones.
63 25 25 25
12
x z y
x y z
Respuesta: b) 12
PREGUNTA 04 Completa las casillas en blanco con números de
un dígito, de manera que al sumar los valores de
cada fila o columna, resulte 34. Luego responda.
¿Cuántas veces aparece el dígito nueve en ambas
diagonales?
8 9
8
8 8
9
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
Resolución
Dato:
Al sumar los valores de cada fila o columna resulte 34.
Obsevanos que en las casillas de cada fila y columna
van los números 8, 8, 9 y 9. Completando:
9 8 8 9
8 9 8 9
8 9 9 8
9 8 9
3
8
4
34
El número de veces que aparece el dígito nueve en
ambas diagonales es 6
Respuesta: c) 6
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PREGUNTA 05 Un vendedor ofrece sus productos a precios
establecidos por kilo con un extraño criterio, así
por ejemplo: Papa S/.10, ají S/.6, camote
S/. 21 y arroz S/.15. ¿Cuál es el precio del
kilo de pescado en dicha tienda?
a) S/.8 b) 24 c) 25 d) 28 e) 30
Resolución
Contamos el número de letras que forman las
palabras y formanos una relación con el precio.
5Papa 10 4
2
4Aji 6 3
2
7Camote 21 6
2
8Pescado 7 28
2
Respuesta: d) 28
PREGUNTA 06 ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es
la hija de la esposa del único vástago de mi
madre?
a) Esposa b) Sobrina c) Madre d) Abuela e) Hija
Resolución
yo
mi esposa
mi hija
Leyendo desde atrás hasta llegar al principio.
...la hija de la esposa del único hijo(a) de mi madre
Respuesta: e) hija
PREGUNTA 07 ¿Qué es para mí, el primo del abuelo paterno del
único hijo del hijo de mi hermano?
a) mi hermano b) mi primo c) mi padre
d) mi hijo e) mi abuelo
Resolución
mi primo mi hermano nieto-sobrino
mi sobrino
Leyendo desde atrás hasta llegar al principio.
...el primo del abuelo paterno del único hijo del
hijo de mi hermano.
Respuesta: b) mi primo
PREGUNTA 08 Juan es el hijo de la esposa del hijo de Pedro; y el
hijo de la esposa del yerno de Pedro se llama
Carlos. ¿Qué relación familiar existe entre Juan y
Carlos?
a) Hermanos b) primos c) cuñados
d) padre – hijo e) sobrino tío
Resolución Graficando:
Respuesta: b) primos
PREGUNTA 09 Juan Carlos se jactaba de tratar muy bien a la
suegra de la esposa de su hermano. ¿Por qué?
a) Es su hermana b) Es su hija c) Es su Tía
d) Es su Mamá e) Es su abuela
Resolución
mi madre mi cuñada
Leyendo desde atrás hasta llegar al principio.
...la suegra de la esposa de su hermano.
Respuesta: d) es su mamá
PREGUNTA 10 Un caballero se encuentra con una dama y le dice
“creo conocerla”. La dama le responde “quizás
porque su madre fue la única hija de mi madre”.
¿Quién es la dama?
a) Su Tía b) Su hermana c) Su abuela
d) Su madre e) Su prima
Resolución
mi madre yo
Leyendo desde atrás hasta llegar al principio.
...su madre fue la única hija de mi madre.
Respuesta: d) su madre
PREGUNTA 11
Si hoy es martes. ¿Qué día será el ayer del pasado
mañana de hace dos días?
a) Lunes b) Martes c) Miércoles
d) Viernes e) Sábado
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Resolución Hoy es martes.
Piden: 1 2 2 1
ayer
Lunes
Respuesta: a) lunes
PREGUNTA 12 Si el ayer del anteayer de mañana es jueves. ¿Qué
día será el pasado mañana del mañana de
anteayer?
a) Lunes b) Martes c) Jueves
d) Viernes e) Domingo
Resolución
1 2 1 es jueves
2 es jueves
Piden: 2 1 2 1
Poniendo los datos en una recta.
2 1 0 1
Jue Vie Sab Dom
Respuesta: e) Domingo
PREGUNTA 13 ¿Cuál es el día que precede al ayer del anterior del
posterior día que subsigue al que sigue a
miércoles?
a) Lunes b) Martes c) Jueves
d) Sábado e) Domingo
Resolución
1 1 1 1 2 1 a Miércoles
1 a Miércoles
Jueves
Respuesta: c) jueves
PREGUNTA 14 Siendo viernes el mañana del mañana de hace 5
días. ¿Qué día será el anteayer del anteayer de
dentro de 4 días?
a) Lunes b) Martes c) Jueves
d) Viernes e) Sábado
Resolución
Viernes es 1 1 5
Viernes es 3
Piden: 2 2 4 0
Graficando los datos en una recta.
3 2 1 0
Vie Sab Dom Lun
Respuesta: a) lunes
PREGUNTA 15 Si el domingo 13 de marzo del 2005 nació Jessica.
¿Qué día de la semana celebrará sus 15 años?
a) Miércoles b) Jueves c) Viernes
d) Sábado e) Domingo
Resolución Transcurren 15 años y entre ellos hay 4 años
bisiestos.
Sumamos: 15 4 19, es equivalente a decir que
transcurrieron 19 días. o
15 4 7 5
Bisiestos 2008 2012 2016 2020
13 de Marzo
Domingo Viernes
2005
13 de Marzo2020
Respuesta: c) viernes
PREGUNTA 16 Si el día de mañana fuese como pasado mañana,
entonces faltaría 2 días a partir de hoy para ser
domingo. ¿Qué día de la semana será dentro de
100 días?
a) Lunes b) Miércoles c) Viernes
d) Domingo e) Sábado Resolución
Jueves viernes Sábado domingo
hoy Caso rea ml: añana
Suposición: pasadomañana
o
Hoy es jueves.
100 7 2
Piden: jueves 100 jueves 2 sábado
Respuesta: e) Sábado
PREGUNTA 17 Al tener una caja azul con 8 cajas rojas dentro y 3
cajas verdes dentro de cada una de las rojas. ¿Cuál
es el total de cajas?
a) 25 b) 29 c) 33 d) 36 e) 41
Resolución
3 8 1 8 1 1 33
Verdes Rojas Azules
Respuesta: c) 33
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PREGUNTA 18 De 5 lapiceros rojos, 4 azules y 9 negros. ¿Cuál es
el mínimo número de lapiceros que deben extraer
para tener la certeza de haber obtenido un grupo
por completo?
a) 14 b) 16 c) 17 d) 18 e) 20
Resolución
Se quiere un grupo completo.
En el peor de los casos:
Se extrae: 4 3 8 1 16R A N
Uno mas de cualquier color y se completa un grupo.
Respuesta: b) 16
PREGUNTA 19 En una caja se tiene 8 dados blancos, 8 dados
negros, 8 esferas blancas y 8 esferas negras. ¿Cuál
es el menor número de objetos que se extraer, al
azar y como mínimo, para tener la seguridad de
que entre los extraídos haya un par de dados y un
par de esferas, todos del mismo color?
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19
Resolución
Se quiere un par de dados y un par
En el peor de los casos:
Primer extramos todos los dados
Una esfera más de cualquier color y se completa un par del mismo color.
8 N 8 N
8 B 8 B
de esferas, todos del mismo color.
para tener un par del mimo color.
Se extrae: 8 8 1 1 1 19DN DB EN EB
Respuesta: e) 19
PREGUNTA 20 Se tiene 4 candados: A, B, C y D y dos llaves X e
Y. si cada llave abre un solo candado. ¿Cuál es el
número de veces que las llaves deben insertarse en
los candados para saber con certeza cuál es la
llave que abre cada candado?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Resolución
En el peor de los casos.
Candados:
Primera llave:
Observamos que la llave abre el candado .
.
Candados:
Segunda llave:
Observamos que la llave abre el candado .
A B C D
x
x D
Luego
A B C
y
y C
Las llaves se insertan 5 veces. Respuesta: a) 5
PREGUNTA 21 Para salir de un pozo de 9m de altura, un caracol
hace de la siguiente manera: durante el día sube
4m y durante la noche baja 3m. ¿En cuántos días
saldrá del pozo?
a) 9 b) 8 c) 6 d) 5 e) 4
Resolución Durante el día y noche sube: 4 3 1m
5 5díasm
4 1día m
9m
El sexto día sube pero ya no baja porque ya llego.
aldrá del pozo en 6 días.S
Respuesta: c) 6
PREGUNTA 22 Cuatro hermanos viven en un edificio de 4 pisos,
Arturo vive en el primer piso, Mario vive más
abajo que Jorge y Willy vive inmediato superior a
Mario. ¿En qué piso vive Willy?
a) primer piso
b) segundo piso
c) tercer piso
d) cuarto piso
e) Falta información
Resolución
4º Jorge
3º Willy
2º Mario
1º Arturo
Vecinos
Respuesta: c) tercer piso
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PREGUNTA 23 Cuatro amigos Ricardo, Manuel, Alejandro y
Roberto, practican cada uno un deporte diferente.
I. Ricardo quisiera jugar básquet en lugar de fútbol
II. Manuel le pide prestadas las paletas a Roberto
III. Alejandro nunca fue un gran nadador.
¿Qué deporte práctica Alejandro?
a) Fútbol b) Natación c) Básquet
d) Frontón e) N.A. Resolución
Ricardo Si
Básquet Fú
Manue
tbol Frontón Nat
l Si
Aleja
a
ndro Si
Roberto S
ción
i
Respuesta: c) básquet
PREGUNTA 24 Alejo, Tito y Carlos son tres personas Uno de
ellos tiene M soles, otros N soles y otro P soles. Si
Tito le dice a la persona que tiene N soles que la
otra tiene M soles y Carlos le dice a la que tiene N
soles que tiene sed, se puede decir que:
a) Alejo tiene P soles
b) Alejo tiene N soles
c) Tito tiene N soles
d) Carlos tiene P soles
e) Carlos tiene N soles
Resolución
M N P
Alejo Si
Tito Si
Carlos Si
Respuesta: b) Alejo tiene N soles
PREGUNTA 25 Tres amigas Ana, Beatriz y Carmen que viven en
diferentes lugares: Ica, Lima y Cuzco, practican
un deporte diferente Sabiendo que:
- Ana no vive en Ica, Beatriz no vive en Lima.
- La que vive en Lima practica el vóley.
- La que vive en Ica no practica canotaje.
- Beatriz no practica natación.
Se puede afirmar:
a) Ana practica canotaje.
b) Beatriz practica vóley
c) Carmen vive en Cuzco
d) Ana vive en el Cuzco y practica canotaje
e) Carmen vive en Ica y practica natación
Resolución
.
Ica Lima Cuzco
Ana Si
Beatriz Si
Ca
Natación vóley Cano
rmen
taje
Si
Respuesta: e) Carmen vive en Ica y practica natación
Resuelto por: Edwin L.
Razonamiento matemático ACADEMIA DELTA
SOLUCIONARIO CEPU VERANO-UNJBG 2016-I Página de Facebook: Delta Academias
EJERCICIOS TIPO EXAMEN
PRACTICA Nº. 1: LÓGICA PROPOSICIONAL
PREGUNTA 01
Son enunciados abiertos:
1) X es profesor del CEPU VERANO.
2) 5 2 10x y cuando 3, 2x y
3) 3 8x y
4) El es un abogado egresado de la UNJBG.
Son ciertas:
a) 1,2 y 3 b) 2,3 y 4 c) 1,3 y 4
d) sólo 3 e) sólo 1
Resolución 1. E.A.
2. Prop
3. E.A.
4. E.A. Respuesta: c) 1,3 y 4
PREGUNTA 02
Si la proposición p q q r es
verdadera. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones
son ciertas?
1. p q es verdadera.
2. r q es falsa.
3. p r es falsa.
a) sólo 1 b) sólo 2 c) 1 y 2
d) 2 y 3 e) Todas
Resolución
;
F V F F V
V F F
p q q r F p F
q
r
Reemplazando:
1. F F V
2. V F F
3. V V V
Respuesta: c) 1 y 2
PREGUNTA 03 Al simplificar el siguiente circuito:
p
q
p
pp r
q
Su esquema equivalente es:
q)a
p)b p
)c
)d p
)e
Resolución
Formalizando:
; por absorción
; por absorción
; por absorción
p q p p r q p
p p r q p
p q p
p
Respuesta: d) p PREGUNTA 04 De las premisas: Aun cuando “todo tacneño es
peruano”, “ningún tarapaqueño es peruano”, se
infiere:
a) Quien quiera que es no tarapaqueño es no
tacneño.
b) No Hay tacneño que sea tarapaqueño.
c) Bastante tarapaqueño no es tacneño.
d) Nunca tanto tacneño no es tarapaqueño.
e) Jamás cualquier tarapaqueño no es no tacneño.
Resolución
Tacneño
Peruano
Tarapaqueño
Respuesta: b) No Hay tacneño que sea tarapaqueño.
PREGUNTA 05 Si “ningún católico tiene fe” es falso, entonces
señale la conclusión verdadera.
a) Todo católico tiene fe.
b) Algunos católicos tienen fe.
c) Algunos católicos no tienen fe.
d) Nadie que tenga fe es católico.
e) No se puede determinar conclusión alguna.
Resolución
ningún católico tiene fe
Formalizando: :
Pide: :
:
x px F
x px F
x Px V
Respuesta: b) Algunos católicos tienen
fe. PRACTICA Nº. 2: RAZ LÓGICO Y ORDEN
DE INFORMACIÓN
PREGUNTA 06 Una familia está integrada por un abuelo, una
abuela, 2 padres, 2 madres, 3 hijos varones, 3
hijas, 2 parejas de esposos, un suegro y una
Razonamiento matemático ACADEMIA DELTA
SOLUCIONARIO CEPU VERANO-UNJBG 2016-II Página de Facebook: Delta Academias
suegra, 2 nueras y 2 yernos. ¿Cuántas personas
como mínimo conforman dicha familia?
a) más de 10 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7
Resolución
H H
H
Respuesta: d) 8
PREGUNTA 07 Construyendo tu árbol genealógico, ¿Cuántos
bisabuelos tuvieron tus bisabuelos?
a) 32 b) 64 c) 256 d) 1024 e) 16
Resolución
3 3
Cuántos bisabuelos tuvieron tus bisabuelos?
2 2 64
Respuesta: b) 64
PREGUNTA 08 ¿Qué día será el mañana del pasado mañana del
ayer del pasado mañana del ayer y asi
sucesivamente tantas veces el pasado mañana del
ayer como el número de semanas exactas que hay
en un año si se sabe que hoy es lunes
a) miércoles b) viernes c) jueves
d) martes e) lunes
Resolución
o
Dato: hoy es lunes
Planteando: 1 2 1 52 53 7 4
Lunes 4 viernes
Respuesta: b) viernes PREGUNTA 9 Se sabe que el mes pasado tuvo más martes,
miércoles y jueves que otros días de la semana, y
el próximo mes tendrá solo 30 días. ¿Qué día de la
semana será el 16 del subsiguiente mes?
a) lunes b) miércoles c) jueves
d) sábado e) domingo
Resolución
L M M J V S D1 2 3
29 30 31
mes pasado: Julio mes actual:
31
próximo mes:
30
Agosto setiembre
subsiguiente
16
mes: octubre
o
Observamos que el 31 de julio es jueves.
Piden: Jueves 31 30 16
Jueves 77
Jueves 7 Jueves
Respuesta: c) jueves PREGUNTA 10
Están en una sala de conferencia: un ingeniero, un
contador, un abogado y un médico. Los nombres,
aunque no necesariamente en ese orden, de los
profesionales, son Pedro, Diego, Juan y Luis, si se
sabe que:
Pedro y el contador no se llevan bien.
Juan se lleva muy bien con el médico.
Diego es pariente del abogado y éste es
amigo de Luis.
El ingeniero es muy amigo de Luis y del
médico.
¿Quién es el médico?
a) Pedro b) Diego c) Juan
d) Luis e) Pablo
Resolución Completando:
Ing. contador abogado medicina
Pedro
Diego
Juan
Luis
Dato:
Pedro y el contador (Luis) no se llevan bien.
Abogado es amigo de Luis.
Ingeniero es amigo de luis.
Pedro no puede ser abogado
x
x x
x x
x si x x
ni ingeniero.
Ing. contador abogado medicina
Pedro
Diego
Juan
Luis
x x x si
si x x x
x x si x
x si x x
Respuesta: a) Pedro
Edwin L.
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SOLUCIONARIO CPU-UPT 2015 Página de Facebook: Delta Academias
PRACTICA Nº. 2: SUCESIONES Y SERIES
PREGUNTA 01
Hallar el trigésimo quinto término de la siguiente
progresión aritmética:
47; 51; 55;…
a) 169 b) 179 c) 158 d) 183 e) 148
Resolución
1
35
Sabemos que: en un P.A. 1
47 34 4 183
nt t n r
t
Respuesta: d) 183
PREGUNTA 02 Halle el segundo término negativo de la siguiente
sucesión.
213, 207, 201, 195,…
a) -11 b) -9 c) -3 d) -12 e) -8
Resolución
213 6
3 35
Continuando con la sucesión:
3, 3, 9
6 6 Respuesta: b) -9
PREGUNTA 03 Dada la siguiente sucesión alfanumérica
A, A, B, F, …
Indique la letra que continúa en la sucesión.
a) X b) W c) Y d) Z e) Q
Resolución Considerando la posición de las letras en el
abecedario se tiene:
1, 1, 2, 6, 241 2 3 4
A, A, B, F, W
Respuesta: b) W
PREGUNTA 04 Encontrar “x” en: 1, 1, 3, 15, 105, x
a) 945 b) 954 c) 935 d) 955 e) 953
Resolución De la sucesión:
3
1, 1, 3, 15, 105, 945
51 97
Respuesta: a) 945
PREGUNTA 05 Dada la siguiente sucesión alfanumérica
U, T, C, S, N, …
Indique la letra que continúa en la sucesión.
a) C b) O c) D d) T e) Q
Resolución Son las letras iniciales de los números.
U, T, C, S, N, O
3 51 97 11
Respuesta: b) O
PREGUNTA 06 Indica la letra que sigue en la sucesión mostrada
W, L, F, …
a) A b) B c) C d) D e) E
Resolución
12 624 3
W, L, F, C
2 22 Respuesta: c) C
PREGUNTA 07 En la secuencia: 3, 15, 35, 63, 98,… halar la suma
de las cifras del decimo termino.
a) 22 b) 25 c) 21 d) 24 e) 20
Resolución De la sucesión: 1, 3, 5, 7, 9,…
10
2 1
2 10 1 19
nt n
t
3 5 5 71 3 7 9
3, 15, 35, 63, 99, ... 399
19 219 11
1 2 3 n n n 10n
Suma de cifras de 399 es 21.
Respuesta: c) 21
PREGUNTA 08 Daniel le hace una proposición a su hermana
Sandy: “si obtienes el valor de x de la sucesión” 0,
0, 2, 8, 21, 45, x,…” tendrás de propina la suma
de cifras de dicho valor. ¿Cuánto será la propina
de Sandy?
a) S/. 12 b) S/. 16 c) S/. 15
d) S/. 13 e) S/. 10
Resolución
0 20 8
2 60
45 8521
24 4013
4 72 1611
3 42 5
Suma de cifras de 85 es 13
Respuesta: d) S/. 13
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PREGUNTA 09 Se muestra una secuencia de figuras formadas por
cerillos. ¿Cuántos cerillos formaran la figura Nº
20?
1F 2F 3F
a) 510 b) 720 c) 630 d) 660 e) 570
Resolución Con el # de cerillos se construye una sucesión:
3, 9, 18,…
Por inducción matemática.
1 21 3 3
2
2 32 9 3
2
3 43 9 3
2
20 2120 3 630
2
n
n
n
n
Respuesta: c) 630
PREGUNTA 10 En la siguiente sucesión, hallar el vigésimo
término.
-6, 0, 8, 18, 30,…
a) 260 b) 480 c) 450 d) 294 e) 980
Resolución Tenemos una sucesión cuadrática.
Completamos con el término cero.
6 010 8
6 84
3018
1210
2 22 2
a b
c
2a
2
2
2
20
2 2 1
4 3
10
Fórmula: ; reemplazando.
3 10
20 3 20 10 450
n
n
a a
a b b
c
t an bn c
t n n
t
Respuesta: c) 450
PREGUNTA 11
En la siguiente secuencia, hallar “x”
3, 5, 9, 15, 24, 38, x,…
a) 58 b) 72 c) 60 d) 64 e) 56
Resolución De la sucesión:
5 93 15
4 62
38 6024
14 229
2 32 85
1 20 3
Respuesta: c) 60
PREGUNTA 12 ¿Qué termino sigue?
1, 6, 30, 120, 360,…
a) 720 b) 360 c) 340 d) 420 e) 930
Resolución De la sucesión:
6 301 120
5 46
720360
23
Respuesta: a) 720
PREGUNTA 13 Halla termino de lugar 50 en: 2, 9, 16, 23,…
a) 330 b) 360 c) 345 d) 379 e) 399
Resolución
1
50
P.A. 1
2 49 7 345
nt t n r
t
Respuesta: c) 345
PREGUNTA 14 ¿Qué termino sigue?
2 15 7; 1; ; ;...
4 18 11
a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3 d) 4/5 e) 3/7
Resolución
1 3 5 7 9; ; ; ;
2 3 6 11 18
Simplificando: 1/2
Respuesta: a) 1/2
PREGUNTA 15 En la siguiente secuencia:
8; 7; 9; 9; 9; 13; 17; 29; 49; a; b;…
Halle la suma de las cifras de 1
3a b
a) 17 b) 7 c) 12 d) 9 e) 14
Resolución
7 98 9
8 322
1713
128
29 a49 b
4 44
4 161 64
4 44
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93; 177
Pide: 343
Suma de cifras 7
a b
ba
Respuesta: b) 7
PREGUNTA 16 Calcular el valor de “E”
1 3 5 7...
2 4 8 16S
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolución Multiplicando por 2 a la serie y restando las 2 ec.
2 3 4
2 3 4
3 5 7 92 1 ...
2 2 2 2
1 3 5 7...
2 2 2 2
S
S
2 3 4
1
2 2 2 21 ...
2 2 2 2
Serie geométrica decreciente al infinito: 1
11
11
2
1 2 3
S
ts
r
S
S
Respuesta: c) 3
PREGUNTA 17
Siendo: 2 16 54 ... 2000S determinar el
valor de “S”.
a) 5950 b) 6000 c) 6050 d) 5900 e) 5850
Resolución
3 3 3
2
Factorizando.
2 1 2 3 ... 10
10 112
2
6050
S
S
S
Respuesta: c) 6050 PREGUNTA 18 Calcular el valor de “F” siendo:
1 1 1 1 1...
4 28 70 130 1720F
a) 14/43 b) 13/43 c) 18/45
d) 21/43 e) 23/45
Resolución
1 1 1 1...
1.4 4.7 7.10 40.43F
1 1 1 1 1 1 1 1 1...
3 1 4 4 7 7 10 40 43
Simplificando.
1 11
3 43
1 42 14
3 13 43
F
F
F
Respuesta: a) 14/43
PREGUNTA 19 Calcular las 3 últimas cifras del resultado de
sumar los 24 primeros términos de la sucesión:
Siendo:
3, 53, 353, 5353,…
a) 622 b) 632 c) 822 d) 842 e) 642
Resolución Escribiendo la sumatoria en forma vertical.
3
5 3
3 5 324#
5 3 5 3
3 5 3 5 3
7
12
7
3 24 72
5 23 7 122
3 22 12 78
...8 2 2
+
Respuesta: c) 822
PREGUNTA 20 Hallar el valor de “E”
1 99 2 98 3 97 ... 50 50E
a) 84375 b) 84225 c) 84125
d) 84575 e) 84755
Resolución
1 100 1 2 100 2 3 100 3 ... 50 100 50E
2 2 2 2100 1 2 3 .. 50 1 2 3 ... 50
50 51 50 51 101100
2 6
127500 42925
84575
E
E
E
E
Respuesta: d) 84575
PREGUNTA 21 Del triangulo numérico:
1
2 4
3 6 9
4 8 12 16
Calcule la suma de los elementos de la fila 30.
a) 13950 b) 13850 c) 13750
d) 14350 e) 14250
Razonamiento matemático ACADEMIA DELTA
Página de Facebook: Delta Academias
Resolución
2
2
30
2 3 4 ...
1 2 3 4 ...
1
2
1
2
30 3113950
2
n
n
n
n
t n n n n nn
t n n
n nt n
n nt
t
Respuesta: a) 13950
PREGUNTA 22 Dar la suma de todas las filas en:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
1 1 2 3 4 5 ... 10
2 2 3 4 5 ... 10
3 3 4 5 ... 10
10 10
F
F
F
F
a) 3025 b) 3075 c) 3050 d) 1225 e) 2450
Resolución
384 380385 371
4 91
355
16
5 73
22
a
b
c
d
100 1F 2F 3F 4F 5F
1 2 3 4
10 10 10 10
1 2 3 4
Fórmula: ...
385 1 3 2
10.9 10.9.8 10.9.8.7385.10 3. 2.
2.1 3.2.1 4.3.2.1
3025
n n n nS aC bC cC dC
S C C C C
S
S
Respuesta: a) 3025
PREGUNTA 23 Efectuar:
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 ...
1 2 3 ... 80
S
a) 88560 b) 88660 c) 88760
d) 88360 e) 88460
Resolución
3 61 10
3 42
15
5
1 11
a
b
c
1 2 3 4Fórmula: ...n n n nS aC bC cC dC
80 80 80
1 2 31 2 1
80.79 80.79.7880 2.
2.1 3.2.1
80 6320 82160
88560
S C C C
S
S
S
Respuesta: a) 88560
PREGUNTA 24 Hallar el valor de “S”
1 4 2 5 3 6 4 7 ... 20 23S
a) 2870 b) 3600 c) 3530 d) 3500 e) 3830
Resolución
10 184 28
8 106
22
a
b
c
20 20 20
1 2 34 6 2
20.19 20.19.184.20 6. 2.
2.1 3.2.1
3500
S C C C
S
S
Respuesta: d) 3500
PREGUNTA 25 He repartido un total de 1900 caramelos los 25
sobrinos que tengo, dándole a cada uno 3
caramelos más que el anterior. ¿Cuántos
caramelos les di a los 10 primeros?
a) 427 b) 535 c) 510 d) 430 e) 490
Resolución
1
1 2 3 4 25
, 3 1 , 3 2 , 3 3 , ... , 3 24
Fórmula de S.A. 2
7225 1960
2
2 72 152
40
Reemplazando.
n
n n n n n
x x x x x
t tS n
x x
x
x
33
40 43 46 ....S
10 10
1 240 3
10.940.10 3.
2
535
S C C
S
S
Respuesta: b) 535
PREGUNTA 26 Calcular “S”
2 3 4 5 6
1 2 1 2 1 2...
5 5 5 5 5 5S
a) 1/12 b) 5/12 c) 7/24 d) 5/24 e) 11/12
Resolución
(5)(5)
(5)
Es un número decimal periódico puro en base 5.
12 70,12
44 24S
Respuesta: c) 7/24
Razonamiento matemático ACADEMIA DELTA
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PREGUNTA 27 Determinar el valor de:
2 3 4 5
1 2 3 4 5...
8 8 8 8 8S
a) 7/8 b) 5/8 c) 3/25 d) 8/49 e) 7/16
Resolución Multiplicando por 8 a la serie y restando las 2 ec.
2 3 4 5
2 3 4
1 2 3 4 5...
8 8 8 8 8
2 3 4 58 1 ...
8 8 8 8
S
S
2 3 4
1 1 1 17 1 ...
8 8 8 8
17
11
8
87
7
8
49
S
S
S
S
Respuesta: d) 8/49
PREGUNTA 28 Se contrata un obrero para cavar en busca de
fósiles prometiéndole pagar una sema por el
primer fósil que encuentre y que se le irá
duplicando dicha suma por cada nuevo fósil
encontrado. Su encuentra 12 fósiles y recibe S/.
12284. ¿Cuánto le pagaran por el quinto fósil?
a) S/. 84 b) S/. 48 c) S/. 58
d) S/. 64 e) S/. 36
Resolución
1 2 3 4 11
1 2 3 11
12
4
2 2 2 2 ... 2
Factorizando.
1 2 2 2 ... 2 12284
2 112284
2 1
12284
4095
12284Pide: 2 16. 48
4095
S x x x x x x
x
x
x
x
Respuesta: b) S/. 48
Edwin L.
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PLANTEO DE ECUACIONES
1. En una reunión se encuentran tantos hombres
como tres veces el número de mujeres. Después se
retiran 8 parejas y el número de hombres que aún
quedan es igual a 4 veces más que el número de
mujeres. ¿Cuántas personas en total habían al
inicio de la fiesta?
a) 64 b) 16 c) 48 d) 58 e) 72
Solución:
# de hombre 3
# de mujeres
Después se retiran 8 parejas.
3 8 5 8
32 2
16
# de personas en total al inicio 4 4 16 64
x
x
x x
x
x
x
Respuesta: a) 64
2. Anteayer tuve el triple de lo que tengo hoy, y lo
que tengo hoy es el doble de lo que tenía ayer, que
fue S/. 50 menos que anteayer. ¿Cuántos soles me
falta para comprarme un pantalón que cuesta S/.
60?
a) S/. 30 b) S/. 40 c) S/. 50 d) S/. 20 e) S/. 35
Solución:
Lo que tenía anteayer: 6
Lo que tenía ayer:
Lo que tengo hoy: 2
6 50
50 5
10
Piden: 60 2 10 =40
x
x
x
x x
x
x
Respuesta: b) S/. 40
3. Caperucita Roja va por el bosque llevando una
cesta de manzanas para su abuelita. Si en el
camino la detiene el lobo y le pregunta. ¿Cuántas
manzanas llevas en tu canasta? Caperucita para
confundirlo y escapar le dice: “llevo tantas
decenas como el número de docenas más uno.
¿Cuántas manzanas llevaba Caperucita Roja?
a) 30 b) 6 c) 60 d) 120 e) 180
Solución:
Sea :#de manzanas
Planteando:
1 ; multiplicando a la ec. por 6010 12
6 5 60
60
x
x x
x x
x
Respuesta: c) 60
4. Si uno de los catetos de un triángulo mide 10 cm.
¿Cuál es el mayor valor entero que puede tomar la
hipotenusa? Si el otro cateto tiene una longitud
entera de centímetros?
a) 21 b) 12 c) 25 d) 26 e) 20
Solución:
Respuesta: d) 26
5. Con dos números enteros positivos fueron
realizadas las cuatro operaciones siguientes: los
sumaron, restaron el menor del mayor, los
multiplicaron y dividieron el mayor del menor. Si
la suma de los cuatro resultados fue 243. ¿Cuál es
el mayor de dichos números?
a) 27 b) 24 c) 54 d) b o c e) 8
Solución:
2
2
Creando un cuadrado perfecto con 243 y Compara
Sean los números: y
243
2 243 ; multiplicando por .
2 243 ; factorizando .
2 1 243 ; obsevamos binomio cuadrado.
b
a b
aa b a b ab
b
aa ab b
b
ab ab a b a
a b b b
2 2
ndo.
1 9 3 8 3 24a b b b a b
ACADEMIA DELTA MATEMÁTICA
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2 21 3 27 2 27 54a b b b a b
Respuesta: d) b o c
6. Los pasajes en combi valen S/. 0,50 y S/. 1 para
universitarios y adultos respectivamente. Luego de
una vuelta, en la que viajaron 90 personas, se
recaudó S/. 60. ¿Cuántos universitarios viajaron?
a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70
Solución:
Respuesta: d) 60
7. En una granja donde hay cerdos, conejos y pavos;
se observa que el número de patas de pavos es el
triple de la cantidad de cerdos y la cantidad de
patas de conejos es 5/2 de la cantidad de patas de
cerdos. Si la diferencia entre el número patas y el
número de cabezas es 96. ¿Cuántos pavos hay en
total?
a) 11 b) 12 c) 10 d) 13 e) 14
Solución:
#cerdos:
#conejos: b
#pavos: c
2 3 2 ; 3
54 4 2 5 5
2
Dato: #patas #cabezas 96
4 4 2 96
3 3 96
3 2 3 5 3 96
24 96
4
Piden: #pavos 3 4 12
a
c a a k c k
b a b a b k
a b c a b c
a b c
k k k
k
k
c
Respuesta: b) 12
8. Un comerciante gasta diariamente S/. 15 000 para
el pago de los jornales de 40 administrativos y 75
operarios, pero con el mismo gasto puede duplicar
el número de administrativos y reducir 50
operarios. ¿Cuánto gana un operario?
a) S/.12 b) S/. 90 c) S/. 94 d) S/.120 e)S/.24
Solución:
Respuesta: d) S/. 120
9. Con S/.195 se compraron libros de 7, 8 y 13 soles
respectivamente. ¿Cuántos libros se compraron, si
en total se adquirió el máximo número libros y por
lo menos se compró uno de cada precio?
a) 23 b) 30 c) 24 d) 26 e) 25
Solución:
o o o o
Sea # de libros: a, b y c
Si se compra el maximo # de libros
max"a", min"b" y min"c"
7 8 13 195 ; min 1
7 8 13 1 195
7 8 182 ; por propiedad de multiplicidad:
7 7 7 ; se observa 8b 7 min 7
Reemp
a b c c
a b
a b
b
lazando:
7 8 7 182
18
Piden: 26
a
a
a b c
Respuesta: d) 26
10. Se compra 30 metros de tela fina por cierta
cantidad de dinero, si el metro hubiera costado
S/.10 menos hubiera podido comprar con la
misma cantidad de dinero 10 metros más. ¿Cuál es
el precio de un metro de tela?
a) S/.100 b) S/.120 c) S/.30 d) S/.40 e) S/.50
Solución:
Sea : el precio de un metro de tela
Costo total 30 40 10
3 4 40
40
x
x x
x x
x
Respuesta: d) S/. 40
11. A Valentina le preguntaron cuántos hermanos
tenía y ella respondió: mis hermanos no son
muchos, ¾ de todos ellos más 3 de ellos son todos
mis hermanos. ¿Cuántos hermanos son en total?
a) 6 b) 8 c) 12 d) 13 e) 16
Solución:
Sea : #hermanos de Valentina
Valentina no se cuenta.
33 ; multiplicando a la ec. por 4
4
x
x x
ACADEMIA DELTA MATEMÁTICA
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3 12 4
12
#de hermanos en total 12 1 13
x x
x
Respuesta: d) 13
12. Un número excede al cuadrado más próximo en
29 unidades y es excedido por el siguiente
cuadrado en 18 unidades. Halle la suma de cifras
del número.
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19
Solución:
Sea :el númerox
2
2
29
1 18
x a
a x
2 2
2 2
2
1 47
2 1 47
2 46
23
Reemplazando:
23 29
558
uma de cifras de " " es 18
a a
a a a
a
a
x
x
S x
Respuesta: d) 18
13. Se reparten 3 000 soles entre cuatro hermanos, de
modo que el mayor recibe 400 soles más que el
segundo y éste los 3/5 de lo que recibe el tercero,
quién recibió 600 soles menos que el último.
¿Cuánto recibió el segundo hijo?
a) S/. 225 b) S/.275 c) S/.325
d) S/.375 e) S/.496
Solución:
1º hermano recibe 3 400
2º hermano recibe 3
3º hermano recibe 5
4º hermano recibe 5 600
Total: 3000 16 1000
16 2000
125
2º hermano recibe 3 125 375
x
x
x
x
x
x
x
Respuesta: d) S/.375
14. Se tiene un número impar, se le añade el par de
números impares que le anteceden y los tres
números pares que son inmediatamente anteriores
a dicho número, dando un resultado de 939
unidades. Halle la suma de cifras del número
impar mencionado.
a) 26 b) 15 c) 13 d) 19 e) 20
Solución:
par impar par impar par
Sea : el número impar
5 4 3 2 1 939
6 15 939
6 954
159
uma de cifras de " " es 15
x
x x x x x x
x
x
x
S x
Respuesta: b) 15
15. Con billetes de 100 soles y de 50 soles se pagó
una deuda de 2 800. El número de billetes de 50
soles excede en 8 al número de billetes de 100
soles. Si los billetes que tenemos de 100 soles, los
contáramos como billetes de 50 soles y viceversa,
¿qué cantidad de dinero tendríamos?
a) S/.4 500 b) S/.2 900 c) S/.3 200
d) S/. 3 800 e) S/. 4 200
Solución:
#de billetes de S/. 100
#de billetes de S/. 50 8
Total: 2800 100 50 8
2400 150
16
Piden: 100 8 50 ; reemplazando
100 24 50 16 3200
x
x
x x
x
x
x x
Respuesta: c) S/.3200
16. Un maestro y su ayudante trabajan juntos. El
primero gana 25 soles por día más que el segundo.
Si después de trabajar cada uno el mismo número
de días, el primero recibe 1 050 soles y el segundo
875 soles. ¿Cuál es el jornal del ayudante?
a) S/.120 b) S/.115 c) S/.152 d) S/.125 e) S/.130
Solución:
Jornal del maestro 25
Jornal del ayudante
Trabajando despues de "n" días reciben:
25 1050
875
Dividiendo ambas ecuaciones.
25 1050
875
25 6
5
5 125 6
125
x
x
n x
nx
n x
nx
x
x
x x
x
Respuesta: d) S/.125
ACADEMIA DELTA MATEMÁTICA
SOLUCIONARIO CPU-UPT 2015 Pagina de Facebook: Delta Academias
17. En una granja, por cada gallina hay tres pavos y
por cada pavo hay 4 patos. Si en total se han
contado 160 patas de animales ¿Cuántos pavos
hay?
a) 14 b) 10 c) 15 d) 20 e) 8
Solución:
# de gallinas
# de pavos 3
# de patos 12
Total de patas: 160 2 16 5
# de pavos 3 5 15
x
x
x
x x
Respuesta: c) 15
18. Si tú me dieras 2 de tus canicas, tendríamos la
misma cantidad; en cambio, si yo te diera 3 de las
mías, tú tendrías el doble de lo que a mí me
quedaría. ¿Cuántas canicas tenemos entre los dos?
a) 40 b) 30 c) 35 d) 60 e) 42
Solución:
Sea : # de canicas que tu tienes
: # de canicas que yo tengo
Planteando:
1º ) 2 2 4
2º ) 3 2 3 2 9
Igualando las ec.
4 2 9
13 17
Piden: 30
a
b
a b a b
a b a b
b b
b a
a b
Respuesta: b) 30
19. Se lanza 3 dados simultáneamente. El triple del
resultado del primer dado, más el doble del
resultado del segundo dado, más el resultado del
tercer dado suman diez ¿Cuántos posibles
resultados pudieron darse?
a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Solución:
En una dado tenemos números del 1 al 6
Planteando:
3 2 10
1 1 5
1 2 3
1 3 1
2 1 2
Tenemos 4 posibles resultados.
a b c
Respuesta: d) 4
20. Mariela gasta cada día la mitad de lo que tiene
más 2 soles. Si después de 3 días le quedan 30
soles. ¿Cuánto tenía al inicio?
a) 234 b) 300 c) 268 d) 240 e) 215
Solución:
Método de Cangrejo
Tenía al inicio:
2 2 2 2 2 2 268
2 2 2 2 2 2 132
2 2 2 2 2 2 64
30
x
Gasta Queda inversa
Final queda
Respuesta: c) 268
21. Se dispone de S/.100 para comprar 40 sellos de
correo de S/.1, S/.4 y S/.12. ¿Cuántos sellos de
S/.12 deberán comprarse? Si por lo menos se debe
comprar un sello de cada uno?
a) 10 b) 6 c) 8 d) 3 e) 9
Solución: Sea # de sellos: a, b y c
Planteando:
1 4 12 100
40
a b c
a b c
3 11 60
Cumplen: 9 3
El # de sellos de S/.12 es 3
b c
b c
Respuesta: d) 3
22. Se tiene cierta cantidad de maletines por S/. 400.
Si cada maletín hubiera costado S/. 20 menos, se
hubiera comprado 10 maletines más en la misma
cantidad de dinero. ¿Cuántos, maletines se
compraron?
a) 10 b) 5 c) 20 d) 25 e) 30
Solución:
Sea : # de maletines
400 400Precio de c/u 20
10
Resolviendo: 10
x
x x
x
Respuesta: a) 10
Resuelto por: Edwin L.
Razonamiento matemático ACADEMIA DELTA
SOLUCIONARIO CEPU-UNJBG 2016-I Página de Facebook: Delta Academias
PRÁCTICA Nº. 5: PLANTEO DE ECUACIONES
PREGUNTA 01
Al preguntar el padre a su hijo, cuánto había
gastado de los 700 soles que le dio; éste
respondió: “he gastado las 3/4 partes de lo que no
gasté. ¿Cuánto gastó?
a) S/. 190 b) S/. 200 c) S/. 310
d) S/. 300 e) S/. 350
Resolución
3
4
700 3 4
100
3 100
Gasto x
No gasto x
Tenía x x
x
Gasto
Respuesta: d) 300
PREGUNTA 02 Se toma un número impar, se le suma los 3
números pares que le preceden y el cuádruplo del
número impar que le sigue, obteniéndose en total
199 unidades. El menor de los sumandos es:
a) 10 b) 20 c) 12 d) 22 e) 24
Resolución
Sea : #impar
1 3 5 4 2 199
8 1 199
8 200
25
Pide menor sumando 5 20
x
x x x x x
x
x
x
x
Respuesta: b) 20
PREGUNTA 03 Semanalmente cada niño de un orfanato recibía 30
caramelos, pero como llegaron 6 niños más, ahora
cada uno recibe 27 caramelos. ¿Cuántos niños
tienen el orfanato?
a) 60 b) 54 c) 52 d) 70 e) 42
Resolución
Sea : #niños
#de caramelos 30 27 6 ; simplificando.
10 9 6
54
Pide: 6 60
x
x x
x x
x
x
Respuesta: a) 60
PREGUNTA 04 De un juego de 36 cartas se sacan primero x/2
cartas, luego seis más, además se saca la mitad de
las que restan, si todavía quedan 8 cartas.
¿Cuántas cartas de sacó la primero vez?
a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 14
Resolución
1Queda al final: 36 6 36 6 8
2 2 2
130 8
2 2
30 162
142
x x
x
x
x
Respuesta: e) 14
PREGUNTA 05 Si se forman filas de 7 niños sobran 5: pero
faltarían 7 niños para formar 3 filas más de 6
niños. ¿Cuántos niños son?
a) 46 b) 47 c) 48 d) 58 e) 88
Resolución
Sea : #filas
#de niños 7 5 6 3 7
6
#de niños 7 6 5 47
x
x x
x
Respuesta: b) 47
PREGUNTA 06
Toca " "x
dólares a cada hermano en una herencia
pero como uno de ellos falleció a cada uno le tocó
11 /10 x dólares. ¿Cuántos hijos fueron?
a) 10 x b) /10x c) 11 d) 11 /5x e) 2 /11x
Resolución
Sea : #de hermanos
11Herencia 1 ; simplificando.
10
10 11 11
11
a
xxa a
a a
a
Respuesta: c) 11
PREGUNTA 07 En el aula los alumnos están agrupados en un
número de bancas de 6 alumnos cada una, si se les
coloca en bancas de 4 alumnos se necesitarán 3
bancas más. ¿Cuántos alumnos hay presentes?
a) 35 b) 36 c) 48 d) 70 e) 80
Resolución
Sea : #de bancas
#de alumnos 6 4 3 ; simplificando.
3 2 3
6
#de alumnos 6 6 36
x
x x
x x
x
Respuesta: b) 36
Razonamiento matemático ACADEMIA DELTA
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PREGUNTA 08 Juan da a Raúl tantas veces 5 centavos como soles
tiene en su bolsillo, sabiendo que aún le quedan
S/. 57. ¿Cuánto tenía al encontrarse con Raúl?
a) S/. 80 b) S/. 60 c) S/. 100
d) S/. 90 e) S/. 120
Resolución Sea : #de soles que tiene Juan.
Queda: S/. 5 cent. S/. 57 ;llevando a centavos.
100 5 5700
95 5700
60
x
x x
x x
x
x
Respuesta: b) S/. 60
PREGUNTA 09 Entre doce personas deben pagar cierta cantidad
de dinero, pero resulta que 4 de ellos sólo pueden
pagar la mitad de los que le corresponde,
obligando de esta manera a que cada una de las
restantes de 100 soles más. Averiguar cuánto es el
gasto.
a) 4800 b) 2400 c) 3600 d) 3460 e) 4880
Resolución
Sea : Lo que les coresponde pagar cada uno.
Cantidad total 12 8 100 42
12 8 800 2
2 800
400
Cantidad total 12 400 4800
x
xx x
x x x
x
x
Respuesta: a) 4800
PREGUNTA 10 La diferencia de dos números más 80 unidades es
igual al cuádruplo del número menor, menos 60
unidades. Hallar la suma de ambos números, si el
mayor es el triple del menor.
a) 180 b) 210 c) 240 d) 270 e) 280
Resolución #mayor 3
#menor
3 80 4 60
140 2
70
Suma de números 4 280
x
x
x x x
x
x
x
Respuesta: e) 280
PREGUNTA 11
Se contrata un empleado por 9 meses acordando
pagarle $ 2500 más un televisor, pero al cumplir 5
meses se le despide pagándole $ 1300 más el
televisor. El precio del televisor es:
a) $ 200 b) $ 250 c) $ 300
d) $ 350 e) $ 400
Resolución Sea : Lo que le pagan por un mes.x
9 2500
5 1300
x T
x T
4 1200
300
x
x
Reemplazando: 5 300 1300
200
T
T
Respuesta: a) $ 200
PREGUNTA 12 José dice a Carlos: “Dame 4 de tus libros y
tendremos tanto el uno como el otro”, a lo que
Carlos responde: “mejor dame 8 de los tuyos y
tendré el triple de las que te quedan”. ¿Cuántos
libros tienen entre José y Carlos?
a) 45 b) 50 c) 48 d) 40 e) 32
Resolución
Sea : #libros que tiene Jose.
: #libros que tiene Carlos.
a
b
12 3 28
40 2
20
28
a a
a
a
b
4 4
8 3 8
a b
b a
Pide: 48a b
Respuesta: c) 48
PREGUNTA 13 5 400 soles debe de cancelarse entre 18 personas,
pagando partes iguales, pero como algunos de
ellos no pueden hacerlo, las otras tendrán que
pagar 150 soles más. ¿Cuántas personas no
pueden pagar?
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
Resolución
5400Lo que tenían que pagar cada uno 300
18
Total 5400 450 18
12 18
6
x
x
x
Respuesta: b) 6
Razonamiento matemático ACADEMIA DELTA
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PREGUNTA 14
Una sala tiene 3 metros más de largo que de
ancho. Si el largo fuese 3 metros más de lo
que es y el ancho fuese 2 metros menos. La
superficie sería la misma. ¿Cuál es el área de
dicha superficie?
a) 180 2m b) 200 2m c) 240 2m
d) 120 2m e) 150 2m
Resolución
Planteando.
x
3x 2x
6x
2 2
Dato: La superficie es la misma.
3 2 6
3 4 12
12
Reemplazando: 12 15 180
A x x x x
x x x x
x
A
Respuesta: a) 180 2m
PREGUNTA 15 Un padre ofrece obsequiar a cada uno de sus hijos
9 000 soles, pero como uno de ellos prefiere no
aceptar, se reparten el dinero entre los hermanos
restantes, recibiendo entonces cada uno 12 000
soles. ¿Cuál fue el total de dinero repartido?
a) S/. 27000 b) S/. 72000 c) S/. 36000
d) S/. 180000 e) S/. 108000
Resolución
Sea : # de hijos.
Total de dinero 9000 12000 1
3 4 1
4
Total de dinero 9000 4 36000
x
x x
x x
x
Respuesta: c) S/. 36000
PREGUNTA 16 María afirma que dentro de 18 años su edad será 3
veces más de los que tenía hace 12 años. Si esta
afirmación es cierta ¿Qué edad tiene María?
a) 20 años b) 21 años c) 22 años
d) 27 años e) 28 años
Resolución
Sea : Edad actual de Maria.
18 4 12
66 3
22
x
x x
x
x
Respuesta: c) 22 años
PREGUNTA 17 Hace 2 años tenía la cuarta parte de la edad que
tendré dentro de 22 años. ¿Dentro de cuántos años
tendré el doble de la edad de que tenía hace 4
años?
a) 4 b) 2 c) 6 d) 5 e) 7
Resolución
Sea : Edad actual.
222
4
4 8 22
10
Pide: 2 10 4 10 2
x
xx
x x
x
Respuesta: b) 2 PREGUNTA 18 Si al doble de mi edad se le quitan 13 años se
obtendrá lo que me falta para tener 50 años.
¿Cuántos años me falta para cumplir el doble de lo
que tenía hace 5 años? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
Resolución
Sea : Edad actual.
2 13 50
3 63
21
Pide: 2 21 5 21 11
x
x x
x
x
Respuesta: b) 11
PREGUNTA 19 Hace 7 años tenía “x” años y dentro de 5 años
tendré lo que tenía hace 9 años más la edad que
tenía hace 5 años. Halla el valor de “x”. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
Resolución Sea : Edad actual.
Planteando: 5 9 5
19
Dato: 7
Reemplazando: 19 7 12
E
E E E
E
E x
x
Respuesta: c) 12
PREGUNTA 20 La edad de una persona será dentro de 8 años un
cuadrado perfecto. Hace 12 años su edad era la
raíz cuadrada de ese cuadrado. ¿Qué edad tuvo
hace 8 años?
a) 5 años b) 8 años c) 17 años
d) 9 años e) 25 años
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Resolución
2
2
2
2
Sea : Edad actual.
8
12 8
12 8
24 144 8
25 136 0
17 8 0
Cumple: 17
Pide: 8 9
x
x a
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x
Respuesta: d) 9 años
PREGUNTA 21 Juana tiene su hija a los 20 años y a su nieta 24
años después; cuando la nieta tiene 10 años la
abuela dice tener 45 años y la hija 30 años. ¿Cuál
es la suma de los años que ocultan ambas? a) 10 b) 13 c) 15 d) 17 e) 20
Resolución
Juana 20 44 54
1era hija 0 24 34
Nieta 0 10
24 10
La abuela oculta: 54 45 9
La hija oculta: 34 30 4
Pide: 9 4 13
Respuesta: b) 13
PREGUNTA 22 La señora Ángela tuvo a los 17 años 2 hijos
mellizos; hoy las edades de los tres suman 53
años. ¿Qué edad tendrán los mellizos dentro de 3
años?
a) 12 años b) 24 años c) 18 años
d) 15 años e) 21 años
Resolución
Angela 17 17
1er hijo 0
2do hijo 0
x
x
x
17 Hoy
Dato: 3 17 53
3 36
12
Pide: 3 15
x
x
x
x
Respuesta: d) 15
PREGUNTA 23 Si al doble de tu edad se le quita 27 años se
obtiene lo que le falta para tener 48 años. ¿Qué
edad tendrías actualmente si hubieras nacido 10
años antes?
a) 25 años b) 15 años c) 20 años
d) 45 años e) 35 años
Resolución Sea : Edad actual.
2 27 48
3 75
25
Pide: 25 10 35
x
x x
x
x
Respuesta: e) 35 años
PREGUNTA 24 Anita cuenta que cuando cumplió años en 1994,
descubrió que su edad era igual a la suma de cifras
del año de su nacimiento. ¿Cuántos años tiene
actualmente (2004)?
a) 33 b) 34 c) 35 d) 36 e) 37
Resolución Cuando ya cumplio años.
Año de nacimiento Edad actual Año actual
19 10 1994
1900 10 10 1994
11 2 84
Cumple: 6 9
Pide: 2004 1969 35
ab a b
a b a b
a b
a b
Respuesta: c) 35 años
PREGUNTA 25 Adolfo le dice a Enrique. “Dentro de 15 años
nuestras edades estarán en la relación de 4 a 3,
pero hace 10 años mi edad era el triple de la tuya”.
¿Qué edad tiene Enrique?
a) 30 años b) 15 años c) 27 años
d) 28 años e) 32 años
Resolución
Hace Despues de Hoy
10 años 15 años
Adolfo 3 3 10 3 25
Enrique 10 25
3 25 4Dato:
25 3
9 75 4 100
5 25
5
Pide edad de Enrique: 10 15
x x x
x x x
x
x
x x
x
x
x
Respuesta: b) 15 años
Razonamiento matemático ACADEMIA DELTA
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PREGUNTA 26 Enrique le pregunta su edad a Norma y ella para
ocultarlo le contesta: “Yo tengo el doble de edad
que tu tenías cuando yo tenía la edad que tú
tienes”. Pero, cuando tengas la edad que tengo, la
suma de nuestras edades será 54 años. ¿Cuál es la
edad de Norma?
a) 20 años b) 21 años c) 23 años
d) 24 años e) 25 años
Resolución Sabemos que la suma en aspa de cuadros es igual.
x
Pasado Hoy Futuro
Enrique 2 3
Norma 3 4 5
4x x
x x
x
x
Dato: 4 5 54
6
Edad de Norma: 4 24
x x
x
x
Respuesta: d) 24 años PREGUNTA 27 .”Yo tengo el doble de tu edad ; pero él tiene el
triple de la mía, si dentro de 6 años tu edad
sumada a la mía será 18 años menos que la edad
de él ” ¿Qué edad tengo?
a) 12 años b) 14 años c) 18 años
d) 25 años e) 16 años
Resolución
Edad que yo tengo 2
Edad que tu tienes
Edad que el tienes 6
2 6 6 6 6 18
24 3
8
Edad que yo tengo 2 8 16
x
x
x
x x x
x
x
Respuesta: e) 16 años
PREGUNTA 28 María le dice a Janina. “La suma de nuestras
edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad
que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que
tuviste cuando yo nací”. ¿Qué edad tiene Janina?
a) 21 años b) 24 años c) 26 años
d) 18 años e) 48 años
Resolución Planteando y completando los cuadros.
8x
Pasado Pasado Hoy
Maria 0 3
Janina 4
11
12
x
x x
x
x
Dato: 23 46
2
Edad de Janina 12 24
x
x
x
Respuesta: b) 24 años
PREGUNTA 29 Cuando tu tengas la edad que yo tengo, tendrás lo
que el tenia, cuando tenías la tercera parte de lo
que tienes y yo tenía la tercera parte de lo que él
tiene, que es 5 años más de lo que tendré, cuando
tengas lo que te dije y él tenga lo que tú y yo
tenemos. ¿Cuántos años tengo?
a) 15 años b) 20 años c) 25 años
d) 30 años e) 18 años
Resolución Planteando y completando los cuadros.
x
Pasado Hoy Futur
5
o
yo 2 4
tu 3 4
el 4 6 7
x
x x x
x
xx
x x
Dato: 6 5 5
5
Mi edad: 4 20
x x
x
x
Respuesta: b) 20 años
Edwin L.
MATEMÁTICA ACADEMIA DELTA
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PRÁCTICA Nº. 7: OPERADORES MATEMÁTICOS
PREGUNTA 01
Si 1,yx x y calcular el valor de
3 5 62 4 1E
a) 24 b) 26 c) 22 d) 33 e) 42
Resolución
3 5 62 4 1
6 10 8 24
E
E
Respuesta: a) 24
PREGUNTA 02
Se sabe que 3 31
3 y .4
aa m n mn
Calcular: 2a
a) 6 b) 10 c) 14 d) 18 e) 22
Resolución
3 33 3 3
33 3
333
3 3 3 3
1 1Pide: 3 2 3 2 3 8 6
4 4
aa a
Respuesta: a) 6
PREGUNTA 03 Dada las definiciones de los operadores
3 2 y 2 1x x x x
Hallar n
en 2 3 3 1n n
a) 7 b) 9 c) 11 d) 15 e) 13
Resolución
2 3 3 1 ; aplicando las definiciones.
3 2 2 2 3 1 7 1
3 8
11
n n
n n
n
n
Respuesta: c) 11
PREGUNTA 04
Se define el operador " " por la ley de
correspondencia: 3
,2 5
a ba b
entonces
calcular: , si 10 6 y 7 6x y x y
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
Resolución
;10 6 7 6
3 10 7 36 6
2 5 2 5
x y
x y
314
52
5 5
Pide: 10
yx
x y
x y
Respuesta: b) 10
PREGUNTA 05
Se define 2 1 y 3 2.x x x x hallar " "n en:
2 3 4n n
a) 7 b) 5 c) 11 d) 15 e) 3
Resolución
2 3 4 ; aplicando las definiciones
3 2 2 2 3 1 4
1 4
3
n n
n n
n
n
Respuesta: e) 3
PREGUNTA 06
Si 3 1 14x x hallar “a” en: 2 1 42a
a) 6 b) 4 c) 2 d) 8 e) 10
Resolución
3
3
Comparando y dando la forma de la definición.
2 1 42 14 3
2 1 3 1 28 14 2
2 1 2 1
4
a
a
a
a
Respuesta: b) 4
PREGUNTA 07
Tenemos que 2
3 2
3 y
a ba b b a
b a
Hallar 6 2 6 4R x y y x
a) 10
8
x
y b)
8
6
x
y c)
6
4
x
y d)
4
2
x
y e)
2x
y
Resolución
3 3 22 2 2 2
4
2 2 102
62 8
6
Dando la forma de la definición.
R x y y x
x
x y xyR
yy x y
x
Respuesta: a) 10
8
x
y
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PREGUNTA 08 Se definen:
2 1 y 1 2 5 3x x x x x x
Calcular 12 .
a) -1 b) 1 c) 3 d) 5 e) 7
Resolución
Si 6 12 6 6 1
Si 7 6 212 7 3
x
x
12 212 1
12 1
Respuesta: a) -1
PREGUNTA 09
Si: 2 3
2 1 , calcular " " en 2 2 .2
xx n n
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolución
2Cambio de variable: sea 2 1
2
2 2Si 2 2 2 2
2
Dato.
2 2 ; reemplazando.
2 22
2
1
ax a a
n
n
n
Respuesta: a) 1
PREGUNTA 10
Se define 3 21 3 2x x calcular 26 .
a) 19 b) 23 c) 27 d) 29 e) 31
Resolución
2
De la definición.
Si 3 26 3 3 2 29x
Respuesta: d) 29
PREGUNTA 11
Si 21 2 3,f x x x calcule 3g
Si 4 15.f g y y
a) 9 b) 7 c) 12 d) 11 e) 10
Resolución
2
2
2
4
1 2 1 1 3
1 1 4 ; Cambio de variable
4
Dato: 15 ; aplicando definición
f x x x
f x x
f a a
f g y y
2 4
4
4 15
19
Pide: 3 81 19 10
g y y
g y y
g
Respuesta: e) 10
PREGUNTA 12 Se define los operadores
% 2 ,a a
a b a b a ba b
calcular 6%2.
a) -3/4 b) 4/3 c) 1/3 d) 2/3 e) 3/2
Resolución
6 2 66 6 6 36%2
8 8 8 4
Respuesta: a) -3/4
PREGUNTA 13
Si
1
32 ,*
,a
a b si a ba b
b si a b
Calcular 6* 2*3 9*9 .
a) 13625 b) 15625 c) 14625 d) 15262 e) 15562
Resolución
3 3
6
6* 2*3 9*9
6* 2 2 3 9 2 9
6* 2 3
6*5 5 15625
Respuesta: b) 15625
PREGUNTA 14
Calcular 5 32, si 2x y yE x y x y x
a) 51 b) 61 c) 71 d) 81 e) 91
Resolución
5 2 2
Dando la forma y aplicando la regla de definición
5 2 2 5 2 5 46 25 71E
Respuesta: c) 71
PREGUNTA 15
Se define 2
.2
x xx
El valor de " "n en:
3 1 21n
a) 4 b) 2 c) 3 d) 1 e) 5
Resolución De la regla de definición se observa:
1
2
x xx
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Comparando el operador y su resultando.
6 73 1 21
2
3 43 1 6
2
2 33 1 3
2
3 1 2
1
n
n
n
n
n
Respuesta: d) 1
PREGUNTA 16
Si det ,a c
ad bcb d
hallar " "y en:
4 1 3 5 1det det det
6 5 1
x
y x y
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
Resolución
4 1 3 5 1Dato: det det det
6 5 1
Aplicando la regla de definición.
20 6 3 5
14 2
7
x
y x y
y x y x
y
y
Respuesta: d) 7
PREGUNTA 17 Dada las siguientes operaciones:
3x x
1 2x x ,
2 5x x
Calcular:
3
2008 operadores
a) 4016 b) 4009 c) 4043 d) 4150 e) 4019
Resolución
Primero aplicando definición de operador cuadrado.
Despejando el operador triángulo y luego el círculo.
2 1
2
1 2x x
1 3 2x x
1 2 3x x
2 5x x
1 2 5x x
2 2 4x x
2x x
2
3
2008 operadores
Pide: 3 2 2008 4019
Respuesta: e) 4019
PREGUNTA 18 Si:
2 3a b a b ; 3a a
3 2x 9 x 3
Entonces el valor de x será:
a) 100 b) 91 c) 90 d) 89 e) 88
Resolución
3 2 2 3 3 2 12
12 3 12 36
Reemplazando.
36x 9 x 3
2 108x 27 3x 3
3 2 108 2 27 3 3 3
270 3 3
267 3
89
x x
x
x
x
Respuesta: d) 89
PREGUNTA 19
Si: 1 2E n E n n y 1 2E
Calcular: 98 99K E
a) 100 b) 91 c) 190 d) 99 e) 98
Resolución
Si 2 1 2 2 2
Si 3 2 3 2 3
Si 4 3 4 2 4
n E E
n E E
n E E
Si 98 97 98 2 98n E E
1 98 2 2 3 4 ... 98
98 992 98 2 1
2
2 98 2 4850
98 9702
E E
E
E
E
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Pide: 9702 99 9801 99K
Respuesta: d) 99
PREGUNTA 20 Se define los siguientes operadores
33 5x x ; 8 2x x
4Hallar
a) -4 b) 1 c) 4 d) -6 e) 6
Resolución De la regla de definición se observa:
33 5x x
9
5
8 2x x
9 5 8 2x x
Dato: ; aplicando definición.
9 9Cambio de variable: 5 5x a x a
98 5 2a x
94 8 4 5 2 6 Pide:
Respuesta: e) 6
PREGUNTA 21
Si 4 22 13 y 5 ,
2
a ba b m n m n
Calcular " "x en 2 44 2.x
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
Resolución
4 2
2
2
Dato: 2 44 2
2 44 13 25 2
2
80 31
49
7
x
x
x
x
x
Respuesta: c) 7
PREGUNTA 22 Se define los operadores
3 y 3 2 9yy e x x
346Entonces calcular
a) 21e b) 22e c) 23e d) 2e e) 11e
Resolución
346Si 7x 232 7 9 23 e
Respuesta: c) 23e
PREGUNTA 23
Si 5 2 1x y xx y xy y
Calcular 768 3
3 12
a) -101 b) 121 c) -133 d) 402 e) 261
Resolución
24
4
Simplificando y dando la forma.
768 3 1256 4 2
3 12 4
5 4 2 2 2 1
5 24 1
121
Respuesta: b) 121
PREGUNTA 24
Se define 22x x x ; calcular 22 3 1I n n
Si 6 1540n
a) 169 b) 144 c) 196 d) 225 e) 121
Resolución De la regla de definición se observa:
2 1x x x
Comparando el operador y su resultando.
6 1540 28 55 28 2 28 1
6 28 4 7 4 2 4 1
6 4
10
n
n
n
n
Dato:
2
Pide: 2 10 3 10 1 169I
Respuesta: a) 169
PREGUNTA 25 Se define
9 2
4
xx
2Calcular 53E
a) 15,7 b) 17,3 c) 16,4 d) 13,9 e) 14,8
Resolución
x ax b Si
9 2
4
xx
Dato:
9 2
4
xax b
9 2
4 4
xa ax b b
ACADEMIA DELTA MATEMÁTICA
SOLUCIONARIO CEPU-UNJBG 2016-I Página de Facebook: Delta Academias
2
2
9 1
4 2
Comparando los coeficientes.
9 31,5
4 2
3 1 5 1 10,2
2 2 2 2 5
Reemplazando.
xa x ab b
a a
b bb b
1,5 0,2x x
Pide: 2 53E
3 3,2 7,7
17,3
E
E
Respuesta: b) 17,3
PREGUNTA 26
Se define
,
@
,
a csi a c
ba b c
c asi c a
b
Calcular 2 4 1@3 @ 2 .
a) 2 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1
Resolución
3 4Por la 2da condición: 4 1@3 1
1
Reemplazando en: 2 4 1@3 @ 2
2 2Por la 1era condición: 2 1 @ 2 0
1
Respuesta: d) 0
PREGUNTA 27
ySea 2 1a a 2
1x x x
Calcule 1
a) 3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1
Resolución
; aplicando la definición 2
1x x x
22 1 2 1
2
x x x x
x x x
1 1 Pide: 1
Respuesta: c) -1
PREGUNTA 28
Sea 2
5 , es positivo
7 , es negativo
n nn
n n
Calcular 4 .
a) -1 b) 1 c) -3 d) 4 e) 2
Resolución
4 3 16 1
Respuesta: a) -1
Edwin L.
SOLUCIONARIO CEPU INVIERNO 2016-I Página de Facebook: Delta Academias
PRACTICA Nº. 5: FRACCIONES Y RAZONES PROPORCIONES
PREGUNTA 01
Hallar la diferencia entre el producto de las cifras
iguales y la suma de las cifras diferentes de la
parte decimal del número generado por
7777.
3 41 271
a) 21 b) 25 c) 32 d) 24 e) 18
Resolución
Multiplicando por 3 para que sea decimal
periodico puro.
7777 3 233310.23331
3 41 271 3 99999
Piden: 3.3.3 1 2 3 21
E
Respuesta: a) 21
PREGUNTA 02
Si la fracción 7
920
2 3 5n m genera un número
decimal periódico mixto con 3 cifras en la parte no
periódica, Hallar el mayor valor de " "m n
a) 6 b) 7 c) 10 d) 8 e) 9
Resolución
3
7
3 1 7 3 3
Descomponiendo en sus factores primos.
2 .5.23
2 5 3 99...9000 1000 99...9
23
2 5 3 2 5 99...9
Comparando exponentes de 2 y 5.
3 3 6
1 3 4
Piden: 10
n m
n m
N N
N
n n
m m
m n
Respuesta: c) 10
PREGUNTA 03 Calcule la suma de las cifras del periodo generado
por la fracción:
2015 cifras
25
270270270...27027027f
a) 14 b) 16 c) 18 d) 17 e) 15
Resolución Multiplicando por 37 para que sea decimal periodico puro.
25 37 9250,0...0925
270...027 37 99...99
Suma de cifras 9 2 5 16
f
Respuesta: b) 16 PREGUNTA 04 Hallar el número de cifras de la parte no periódica
del número decimal que genera la fracción:
1024000
64! 32!
a) 25 b) 18 c) 31 d) 19 e) 27
Resolución Para descomponer en sus factores primos el
factorial de un número, dividimos entre 2 para
determinar el exponente del factor primo 2. 64 2 32 2 32 2 16 2 16 2 8 2 4 2 2 2
1 Suma de cocientes 63
8 2 4 2 2 2
1 S 31
Reemplazando, factorizando y simplificando
10 3 3 13 3
63 31 31 32 18 31
1024000 2 .2 .5 2 .5 5
64! 32! 2 2 2 2 2 2
#de cifras no peridicas exponente de #2 es 18
p q p q p q
Respuesta: b) 18
PREGUNTA 05
La fracción propia ab
ba genera un número decimal
periódico mixto con una cifra periódica y con una
cifra no periódica. Calcule el máximo común
divisor de los términos de la fracción mencionada.
a) 3 b) 18 c) 9 d) 9 e) 27
Resolución
o
o
o
Fracción propia
90
Comparando el denominador.
2 es par
Es posible: 9
9
Cumple: 4 5
Piden: 45;54 9
b a
ab N
ba
ba a
ba
a b
a b
MCD
Respuesta: c) 9
ACADEMIA DELTA Aritmética y Álgebra
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PREGUNTA 06 Se tiene una proporción geométrica de términos
enteros positivos, donde la suma de los dos
primeros términos es igual a dos veces la suma de
los siguientes términos, y cuya constante de
proporcionalidad es igual a la inversa del tercer
término. Halle la razón armónica de los términos
extremos si los cuatro términos de la proporción
suman 60.
a) 1/8 b) 1/32 c) 1/64 d) 1/4 e) 1/16
Resolución
2
Prop. geométria discreta.
1
Dato: 2
d ca c
b d c b ac
a b c d
2
Dato: 60 ;Reemplazando.
2 60
3 60 ; Simplificando y reemplazando.
20
Cumple: 4 16
Dato: 2
Reemplazando:
4 2 20
5 40
8
1 1 1Piden:
8 16 16H
a b c d
c d c d
c d
c c
c d
a b c d
a a
a
a
R
Respuesta: e) 1/16
PREGUNTA 07 En una proporción geométrica de términos enteros
positivos, cuya constante de proporcionalidad es
el mayor posible, se sabe que la suma de los
cuadrados de sus términos es 2925 y la diferencia
de los términos de una razón es el doble de la
diferencia de los términos de la otra razón. Calcule
la suma de los consecuentes de dicha proporción.
a) 4 b) 13 c) 12 d) 9 e) 8
Resolución
2 2 2 2
Prop. geométria discreta.
Dato: 2 ;reemplazando
2 ;factorizando.
1 2 1 ;simplificando.
2
2
Dato: 2925
a bka ck
c dkb d
a b c d
bk b dk d
b k d k
b d
a c
a b c d
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
Reemplazando.
2 2 2925
5 2925 ;Reemplazando .
5 2925 ;factorizando y simplificando.
1 585
1 3 .65
Comparando: 3; 8
Reemplazando. 6; c 24; 48
Piden: 9
c d c d
c d c dk
d k d
d k
d k
d k
b a
b d
Respuesta: d) 9
PREGUNTA 08
Si: 2 2 2y 2 900a b
a b cb c
Halle la suma de los cuatro términos de la
proporción, sabiendo que es múltiplo de 9. a) 54 b) 40 c) 70 d) 27 e) 50
Resolución
2
2 2 2
2 4 2 2 2
2 4 2
22 2
2
Dato: 2 900
Reemplazando.
2 900 ;factorizando.
2 1 900
1 900 ;extraendo raiz cuadrada.
1 30 6 5
Comparando: 6; 2
Reemplazando: 12; 24
Piden
b cka bk
b c a bk ck
a b c
c k c k c
c k k
c k
c k
c k
b a
: 2 54a b c
Respuesta: a) 54
PREGUNTA 09 Tres números A, B y C están en la relación directa
a 7; 11 y 13. Si sumamos a dichos números
respectivamente 200; 400 y n; la nueva relación
directa es como 13; 17 y 15. Determinar “n”
a) 400 b) -400 c) 800 d) -600 e) 600
Resolución
Planteando:
7 200 13 / 11
11 400 17 / 7
13 15
sistema de ecuaciones en la primera y segunda ec.
77 2200 143
77 2800 119
600 24
25
a b
a b
a n b
a b
a b
b
b
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SOLUCIONARIO CEPU INVIERNO 2016-I Página de Facebook: Delta Academias
Reemplazando : 75
Reemplazando en la tercera ec.
13 75 15 25
600
a
n
n
Respuesta: e) 600
PREGUNTA 10
Si: A B C
ka b c
Además: 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 212 y 384
a b c A B C
A B C a b c
Luego el valor de k es: a) 1 b) 4 c) 2 d) 5 e) 3
Resolución
2 2 2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 33 3
3 3 3 3 3 3
Elevando al cuadrado y al cubo las razones,
y aplicando propiedad de proporciones.
Invirtiendo una de las co
Si :
ndicio
A B Ck
a b c
A B C A B Ck k
a b c a b c
A B C A B Ck k
a b c a b c
3 3 3 2 2 2
2 2 2 3 3 3
3 3 3 2 2 2
3 3 3 2 2 2
3 2
5
nes y multiplicandolos.
1384
12
Dando la forma.
32
Reemplazando: 32
32
2
A B C A B C
a b c a b c
A B C A B C
a b c a b c
k k
k
k
Respuesta: c) 2
PREGUNTA 11
Hallar la cantidad de cifras no periódicas del
número decimal generado por la fracción:
6!.
15! 10!
a) 5 b) 4 c) 2 d) 6 e) 3
Resolución Para descomponer en sus factores primos el
factorial de un número, dividimos entre 2 para
determinar el exponente del factor primo 2.
15 2 10 2
6 2 7 2 5 2
3 2 3 2 2 2 1 1 Suma de cocientes 11 S 8
1 S 4
4 4
11 8 8 3 4 31
Reemplazando, factorizando y simplificando.
6! 2 2.
15! 10! 2 2 2 2 2 2
#de cifras no peridicas exponente de #2 es 4
r r r
p q p q p q
Respuesta: b) 4
PREGUNTA 12 En una proporción geométrica continua, la suma
de los cuatro términos naturales es 700 y la
diferencia entre los extremos es 280. Halle la
suma de los extremos.
a) 200 b) 280 c) 406 d) 500 e) 296
Resolución
2
Dividiendo las 2 condiciones que nos dan:
2 700 ;reemplazando y simplificando.
280
a bb ac
b c
a b c
a c
2 2
2 2
2
2 5
2
Dando la forma de binomio al cuadrado.
2 5
2
Aplicando binomio al cuadrado y dif. de cuadrados
5 ;simplificando.
2
5
2
2 2 5 5
7 3 ;elevando al cuadrado.
49
a ac c
a c
a ac c
a c
a c
a c a c
a c
a c
a c a c
c a
c
9
Comparando: 9 ; 49
Reemplazando en: 280
49 9 280
7
Piden: 58 406
a
c k a k
a c
k k
k
a c k
Respuesta: c) 406 PREGUNTA 13
Si: 1
45 cifras
400, ...
2 5ab abmn xy
Hallar .a b y
a) 11 b) 15 c) 13 d) 14 e) 12
Resolución
3
451
Descomponiendo.
2 5 ... ;dando la forma.
102 5ab ab
mn xy
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45 452 2
45 45 45 45
2 .......
2 52 5
Comparando.
2 45 47 4; 7
Reemplazando.
2 .......2
2 5 2 2
Piden: 13
ab ab
y
ab ab a b
yy
a b y
Respuesta: c) 13
PREGUNTA 14 Si a cada uno de los tres términos diferentes de
una proporción geometría continua se le suma una
misma cantidad, se obtiene: 15; 21 y 30. Halle la
tercera proporcional de dicha proporción.
a) 9 b) 15 c) 18 d) 27 e) 36
Resolución
2
2
2 2
Prop. geométria continua.
15;
21
30
Reemplazando.
21 15 30
441 42 450 15 30
3 9
3
Reemplazando: 27
a xa b
b xb c
c x
b ac
x x x
x x x x x
x
x
c
Respuesta: d) 27
PREGUNTA 15
Al dividir el numero pnpnpn entre ababab se
obtuvo 0,62. Calcule .pn ab
a) 60 b) 120 c) 81 d) 76 e) 78
Resolución
10000 100
10000
0,62
Descomponiendo en bloques.
62
10
10101 31 ;simplificando.
5010101
31
50
Pide
100
31 50 8n 1:
pnpnpn
ababab
pn pn pn
ab ab ab
pn
ab
pn
ab
pn ab
Respuesta: c) 81
PREGUNTA 16 En dos casas se celebran un matrimonio y un
quinceañero respectivamente, y curiosamente hay
la misma cantidad de personas en cada casa. Por
cada 5 personas que se retirar del matrimonio, de
la otra casa salen 3 para entrar al matrimonio y
uno para irse a su casa. Cuando quedan 50
personas en el matrimonio, resulta que hay 20 en
el quinceañero. ¿Cuántas personas había en total
al inicio?
a) 90 b) 120 c) 160 d) 80 e) 95
Resolución Planteando.
Matrimonio: 5 3 50
Quinceañero: 3 20 / 1
2 50
4 20
2 30
15
x n n
x n n
x n
x n
n
n
Reemplazando: 80
#de personas 2 160
x
x
Respuesta: c) 160
PREGUNTA 17
Halle la fracción equivale a 10166
25415, de tal manera
que la suma de sus términos sea lo menor posible
y o
11. De como respuesta la diferencia de su
términos.
a) 11 b) 22 c) 44 d) 33 e) 55
Resolución
o
o
Simplificado.
10166 2
25415 5
Dato: 7 11
11
11 (menor)
Piden: 3 33
kf
k
k
k
k
k
Respuesta: d) 33
PREGUNTA 18
Si:5 3
3 10 4
x y x y
y x x y
Halle 2 2y x
a) 289 b) 161 c) 194 d) 64 e) 225
Resolución
5 3
3 10 4
x y x yk
y x x y
Por propiedad de proporcionalidad, sumando
antecedentes y consecuentes de las dos primeras
razones.
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5 3
7 4
y yk
x y x y
Por propiedad de proporcionalidad, restando
antecedentes y consecuentes.
22 2 2
5 3 2
7 4 3
Reemplazando.
5 3 2
3 10 4 3
Creando ecuaciones.
3 3 2 4
2 1
3 2 3 ; reemplazando.
3 2 2 1 3
8 ; 15
Pid 15 8e 1n: 61
y yk k
x y x y
x y x y
y x x y
y x y
y x
x y
x x
x y
y x
Respuesta: b) 161 PREGUNTA 19
Si: 1 4
ab
a b genera el número decimal
0,481481481….
¿Cuál es la suma de las cifras del periodo de
2
4
b af
b a
?
a) 9 b) 7 c) 10 d) 8 e) 6
Resolución
481 130,481
999 271 4
Comparando: 1; 3
5 9Reemplazando: 0,45
11 9
Piden: suma de cifras 4 5 9
ab
a b
a b
f
Respuesta: a) 9
PREGUNTA 20
Si: a b c d
b c d e entonces la razón
2
2 2 2 2
ab bc cd de
b c d e
es igual a:
Resolución
2 2 2 2 2 2 2 2
:
Multiplicando por el consecuente, a los dos
términos de cada razon, luego aplicando propiedad.
a b c dSi k
b c d e
ab bc cd de ab bc cd dek k
b c d e b c d e
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
Multiplicando por el antecente, a los dos
términos de cada razon, luego aplicando propiedad.
Piden.
a b c d a b c dk k
ba cb dc ed ba cb dc ed
a b c d k ba cb dc ed
ab bc cd deE
b c d
2
2 2 2 2
2 2 2 2
Reemplazando:
e
ab bc cd deE ab bc cd de
b c d e
E k ab bc cd de
E a b c d
Respuesta: d) 2 2 2 2a b c d
a) a b c d
b) 2 2 2 2a b c d
c) ab bc cd de
d) 2 2 2 2a b c d
e) 2 2 2b c d
Resuelto por: Edwin L.
PRE-U DELTA PRACTICA Nº 03 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
SOLUCIONARIO CEPU 2014-I
DIVISIBILIDAD, NÚMEROS PRIMOS Y
MCD-MCM
1. ¿Cuál es el menor valor entero positivo que puede
tomar el cociente al dividir un número de la forma o
29 27 entre otro de la forma o
29 4
obteniéndose resto 2?
a) 2 b) 18 c) 25 d) 26 e) 28
Solución
o o
o o
o o
o
o
o
29 27 29 4 2
29 27 29 4 2
29 2 29 4 2
29 4 4
29 4 1
29 1
Cumple: 28
. e
x
x
x
x
x
x
x
Rpta
o o o o
o o
o o
o o
o o
o 0
1
0 0
1
Propiedades de multiplicidad
1 1
p
pp
p
n
nn
N N N N
N k N kN N
N NN p N
P N P N xyz n x y z
abcd n d xyz n x y z
o
o
División inexacta:
I. inexacta por defecto:
II. inexacta por exceso:
Donde:
residuo por exceso.
d
e
d e
e
D d r
D d r
r r d
r
2. Dos números enteros positivos a y b cumplen con
el enunciado: “ 2 24a b es un número primo”.
Hallar la suma de dichos números.
a) la suma es o
2 b) la suma es o
3
c) la suma es o
2 1 d) la suma es o
3 1
e) la suma es o
5
Solución
2 2
o
Sea : número primo
4 ; Por diferencia de cuadrados
1 2 2
Comparando:
2 1 2 2 1
Pide: 2 1 3 1 3 1
. d
p
p a b
p a b a b
p a b a b a b
b a b b b
Rpta
3. Hallar el menor de dos números primos entre sí,
sabiendo que su mínimo común múltiplo es 330 y
su diferencia es 7.
a) 12 b) 13 c) 15 d) 17 e) 18
Solución
; 300 ; 7
Por Propiedad: 330
22 15
Cumple: 22 15
. c
MCM A B A B
A B
A B
A B
Rpta
Propiedad
Si: y son PESI
MCD ; 1
MCM ;
A B
A B
A B A B
4. Si se cumple que la suma de los números 13 5x y
513x , del sistema de base ocho, es múltiplo de
ocho, entonces el valor de " "x es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Solución o
(8) (8)
o o o
o
13 5 513 8 ; Por propiedad
8 5 8 8
5 8
Cumple: 3
. c
x x
x
x
x
Rpta
0
Propiedad
nabcd n d
5. ¿Cuántos divisores de 1080 son primos entre sí
con 27?
a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 15
PRE-U DELTA PRACTICA Nº 03 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
SOLUCIONARIO CEPU 2014-I
Solución
o
3 3
o
3 3 1
Divisores 3
Descomponiendo en sus factores primos:
1080 3 2 5
Si y 27 son PESI. Buscamos divisores de 3.
3 2 5
4 2 8
. b
N
N
N N
N
CD
Rpta
Divisores de un número entero
Sea: N . .
Donde: , , son números primos y PESI
Cantidad de Divisores: 1 1 1N
a b c
a b c
CD
6. Hallar la suma de dos números cuya suma de
cuadrados es 1476 y el máximo común divisor es
6.
a) 36 b) 42 c) 48 d) 54 e) 60
Solución
2 2
2 2
2 2
; 6
6
6
Dato: 1476
Reemplazando:
36 36 1476 / 36
41
Cumple: 4 ; 5
24 30 54
. d
MCD A B
A p
B q
A B
p q
p q
p q
A B
Rpta
o o
y
Si: ;
;
Donde: y son PESI
d d
MCD MCM
MCD A B d
A dp
B dq
MCM A B dpq
p q
A B
7. Si el números 12 03N x y es múltiplo de 33,
entonces la suma de todos los valores de " "x es:
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19
Solución o
10 1 10 1 10 1
o
o
o o
o
o
1 2 0 3 33
por criterio de divisibilidad de 33:
10 2 30 10 33
42 33
33 9 33
9 33
9 33 24 57 90
Suma de valores de " ": 2 5 9 16
. b
x y
x y
xy
xy
xy
xy
x
Rpta
8. Si: 16 4P a b c , ¿Cuántos valores puede
tomar P , de tal manera que se convierta en un
número primo absoluto? Siendo , y a b c y
menores que 4.
a) 6 b) 11 c) 10 d) 14 e) 20
Solución
Si: , y y menores que 4.
, y pueden tomar los valores numericos 1, 2 ó 3
16 4
Dando menores valores: 1 21
Dando mayores valores: 3 63
21 63
#primos: 23;29;31;37;41;43;4
a b c
a b c
P a b c
a b c p
a b c p
P
P
7;53;59;61
#de valores que toma P es 10.
. cRpta
9. El mínimo común de cuatro números consecutivos
es 42504. Calcular la suma de los cuatro números,
si el menor de dichos números es múltiplo de 3
a) 85 b) 88 c) 90 d) 92 e) 95
Solución
o
; 1; 2; 3 42504
Descomponiendo:
42504 2.2.2.3.7.11.23 21.22.23.4
Menor número: 21 3
21 22 23 24 90
. c
MCM x x x x
x
Rpta
PRE-U DELTA PRACTICA Nº 03 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
SOLUCIONARIO CEPU 2014-I
10. Si M tiene 9 cifras distintas (ninguna es cero)
siempre es múltiplo de " "n , cualquiera sea el
orden de las cifras. El mayor valor de " "n es:
a) 7 b) 3 c) 9 d) 11 e) 17
Solución o
o
o
123456789
Criterio de divisibilidad de 9.
Suma de cifras 9
9 101 2 3 ... 9 45 9
2
. c
M n
Rpta
11. ¿El número:
10 000 000 000 000 000 001 es primo?
a) Si
b) No, es divisible por 9
c) No, es divisible por 11
d) No, es divisible por 17
e) No, es divisible por 19
Solución
Propiedad Todo número capicúa cuyo número de cifras sea
múltiplo de 2, es divisible por 11.
. cRpta
12. Hallar la suma de los divisores comunes a los
números y ,p q donde
(7)66...6 (213 cifras)p
(7)66...6 (216 cifras)q
a) 325 b) 520 c) 780 d) 1287 e) 1716
Solución
(7 )
(7 )
213
213 cifras
216
216 cifras
213;216213 216 3
2
2 3 2
66...6 7 1
66...6 7 1
7 1;7 1 7 1 7 1 342
342 2.3 .19
2 1 3 1 19 13.13.20 780
2 1 3 1 19 1
. c
MCD
p
q
MCD
MCD
S
Rpta
13. El productos de los 70 primeros números impares
al dividirlo entre 4 da como residuo:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
Solución
o o o o
35 35o o o o o o
1.3.5.7..... (70 números)
0 1 4 1 4 1 8 1 ...
4 1 4 1 4 1 4 1 ...(70 números)
4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 3
. b
P
P
P
P
Rpta
14. Indicar si 46367 4 es primo o no. Dar el residuo
de dividir: 46367 4
4
a) Es primo, residuo 1.
b) No es primo, residuo 1.
c) Es primo, residuo 2.
d) No es primo, residuo 2.
e) No es primo, residuo 3.
Solución 4
o4
o4
4o o
o o4
o o
Obsevamos: 7 2401, termina en cifra 1.
6367 4 ....1 4 ....5 5
No es primo, porque es múltilpo de 5
Luego
6367 4 4
4 3 4
4 3 4
4 81 4 1
. b
r
Rpta
o
6367 4 1591 3
6367 4 3
o
81 4 20 1
81 4 1
15. Sean los números (7) (7)N ab ba , calcular el
máximo común divisores de todos los posibles
valores de .N
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 12
Solución
(7) (7)
o
1 2
; Descomponiendo
7 7
6 6
6 6
; ;..; 6
. d
k
N ab ba
N a b b a
N a b
N a b
MCD N N N
Rpta
16. La cantidad de números de la forma : 4 0 1n n n que
son divisibilidad por 13 es:
a) 3 b) 5 c) 7 d) 10 e) 13
PRE-U DELTA PRACTICA Nº 03 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
SOLUCIONARIO CEPU 2014-I
Solución
o
o
16 3 4 3 13 13
4 0 1 13 , "n" es de una cifra.
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
. d
n n n
n n n
n
Rpta
143
43
1
Criterio de divisibilidad de 13:
4 0 1n n n
17. ¿Cuántas números menores que 1000 existen que
tengan con 54, un máximo común divisores igual
a 6?
a) 108 b) 111 c) 115 d) 117 e) 121
Solución
o
54; 6 ; Si 1000
54 6 9
6
6 1000 ; y 9 son PESI 3
166.6
1;2;3...;166 excepto 3;6;9;...;165
165#de valores de :166 166 55 111
3
. b
MCD N N
N p
p p p
p
p
p
Rpta
18. Calcular el número primo abc de tal modo que el
número siguiente sea igual al número cb . Dé
como respuesta .a b c
a) 7 b) 9 c) 10 d) 11 e) 17
Solución
7
#primo:
1 127 2
Cumple: 2; 7; 1
10
. c
c
abc
abc b
b c a
a b c
Rpta
19. Sabemos que: o
7 3.aabbc ¿Cuál es el resto que
se obtiene al dividir 2acb entre 7?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Solución o
12 3 1 2 3
o
o
2 7 3
5 3 2 7 3
3 5 1 7 0 6 1
2 2106 7 6
. e
o
a abbc
a b c
c b a
acb
Rpta
20. Si se divide el producto de los 150 primeros
números primos entre 4, luego el residuo es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Solución
149 números
o o o
149 veces
149o o o
2.3.5.7.11.... (150 números)
2. 2 1 4 1 6 1 ...
2. 2 1 2 1 2 1 ...
2. 2 1 2. 2 1 4 2
. b
P
P
P
P
Rpta
21. Sabiendo que:
o
; 108 ; 99MCD abc cab acb bca
Calcular la suma de los divisores impares de
.a b c
a) 5 b) 10 c) 12 d) 13 e) 22
Solución
o
o
; 108
y son par y 4
99 ; descomponiendo.
99 99 99
1
Cumple: 3 ; 2
ademas: 108 ; Si 3 324
Remplazando: a 3 2 4 18
Los divisores impares de 18 son 1,3 y 9
MCD abc cab
c b ab
acb bca
a b
a b
a b
abc k k abc
b c
R
. dpta
o
4o
9
PRE-U DELTA PRACTICA Nº 03 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
SOLUCIONARIO CEPU 2014-I
22. ¿En qué cifras termina el número: 4932
32586
convertido a la base 7?
a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Solución
o
32586 7 4655 1
32586 7 1
o
4932(7)
4932o o
32586 .... 7
7 1 7 1
. a
ab x x
Rpta
23. La suma de las cifras de la suma de los enteros
positivos primos entre sí con 10710 y menores a
10710 es:
a) 18 b) 26 c) 27 d) 37 e) 42
Solución
2
0 1 0 0 0
10710
2.3 .5.7.17
Indicador de Euler:
2 .3 .5 .7 .17 . 2 1 3 1 5 1 7 1 17 1
3.2.4.6.16 2304
10710 2304Pide: 12337920
2 2
Suma de cifras 27
. c
N
N
N
N
N
NS
Rpta
Resuelto por: E.L.
“No cedas a tus miedos. Si lo haces, no
serás capaz de hablar a tu corazón.”
Paulo Coelho
SOLUCIONARIO CPU-UPT 2015 Pagina de Facebook: Delta Academias
PRODUCTOS NOTABLES
1. Si se cumple que:
22
2
x y
y x Calcula:
4y
x
a) 16 b) -16 c) 42 d) 8 e) -8
Solución:
2 2
2 2
2 2
2
42
2
4 4
4 4 0
2 0
2
x y
xy
x y xy
x y xy
x y
x y
44
4
Reemplazando:
12
2 16
. c
y y
x y
Rpta
2. Si: 3 3; a b a b
Halla el valor de:
2
abM
a b
a) 3 b) 13 c) 13 d) 03 e) -1
Solución:
3 3
2 2
2 2
2 2
2
1
2
0 ; Diferencia de cubos
0 ;
0 ; Dando la forma de binomio
2 3 0
3
Reemplazando:
13
3 3
. b
a b
a b a ab b a b
a ab b
a ab b ab
a b ab
ab abM
aba b
Rpta
3. Reduce:
3 3 3
9
x y y z z xM
x y y z z x
a) 12 b) 2 c) 3 d) 1 e) 13
Solución:
Cambio de variable:
0
x y a
y z b
z x c
a b c
3 3 3
3 3 3
Por identidades condicionales:
: 0 3
Reemplazando:
3 1
9 9 3
. e
Si a b c a b c abc
a b c abcM
abc abc
Rpta
4. Si: 2m n n p Halle el valor de:
2 2 2
6
m n n p m pP
a) 1 b) 2 c) 12 d) 1/ 22 e) 4
Solución:
2
2
4
m n
n p
m p
2 2 2
Reemplazando:
2 2 4 244
6 6
. e
P
Rpta
5. Si se cumple que: 2 2 2 2
4
4 y 2
Hallar:
m m n m m n
n
a) 16 b) 64 c) 8 d) 24 e) 32
Solución:
2 2
2 2
4
2
2 6
3
m m n
m m n
m
m
2 2
2
2
2
4 2
Reemplazando:
3 3 4
9 1
9 1
8
8 64
. b
n
n
n
n
n
Rpta
ACADEMIA DELTA MATEMÁTICA
SOLUCIONARIO CPU-UPT 2015 Pagina de Facebook: Delta Academias
6. Si: 2 2 2
0x y x z y z
2 2
552
Calcular: 2 2
x y x yM
x y xz
Donde , , x y z
a) 1 b) 5 5 c) 2 d) 3 e) 51 3
Solución:
2 2 2
2
552
Si: 0
Entonces cumple para:
Reemplazando:
3 21 1 2
3 2
. c
x y x z y z
x y z
x xM
x x
Rpta
7. Dadas las condiciones:
2 2 2 2
1 108
Calcular:
a b c
a b c ab bc ac
a b c
a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Solución:
2 2 2
2 2 2
2
3 3
1 108
Multiplicando por 2 a la Ec.
2 2 216
Reemplazando 2 :
2 216
Obsevamos un trinomio al cuadrado:
216
6
6
. a
a b c ab bc ac
a b c ab bc ac
a b c
a b c a b c ab bc ac
a b c a b c
a b c
a b c
Rpta
8. Si: 3
1 27x x
Calcular: 4 4A x x
a) 9 b) 30 c) 47 d) 72 e) 81
Solución:
31 3
1
21 2
2 2 1
2 2
22 2 2
4 4 2 2
4 4
3
3 ; Elevando al cuadrado
3
2 . 9
7 ; Elevando al cuadrado
7
2 49
47
x x
x x
x x
x x x x
x x
x x
x x x x
x x
9. Siendo 1abc Efectuar
1 1 1
a b cE
ab a bc b ac c
a) 1 b) a b c c) ab ac bc
d) 1
a b c e)
1
abc
Solución:
Multiplicando a las fracciones por y .
1 1 1
1
Reemplazando 1.
a ab
a b a c abE
ab a bc b a ac c ab
a ab abcE
ab a abc ab a abac abc ab
abc
1
1 1 1
Son fracciones homogenes, sumando:
11
1
. a
a abE
ab a ab a a ab
a abE
ab a
Rpta
10. Si: 1 1 1 1
; 0xyzxy yz zx xyz
Calcule:
1 1 1
x y z z y x y x zf
x z y
a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) -2
Solución:
1
1
1 1
1
Reemplazando:
1 1 1
1 1 1
1 1
. c
z x y
xyz xyz
y z x
x y z x y z
x z y
x x z z y yf
x z y
f x y z
f x y z
Rpta
11. Si se sabe que:
2 2
8 8
22 2
3
4Calcular:
a ba b
b a
a bN
a b
a) 5 b) -4 c) 8 d) -3 e) 6
. cRpta
ACADEMIA DELTA MATEMÁTICA
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Solución:
3 3
2 2
2 2
2 2
2
8
24
3 ; diferncia de cubos
3 ; simplificando
3
2 0
0
Reemplazando:
4 28
. c
a ba b
ab
a b a ab b a b ab
a ab b ab
a ab b
a b
a b
aN
a
Rpta
12. Si: 2 6
1 2 25 Hallar: x x x x
a) 5 b) 25 c) 125 d) 15 e) 1
Solución:
2
1
2 2 1
2 2
4 4 2 2
4 4
4 4
5 ; aplicando binomio cuadrado
2 . 5 ; simplificando
3 ; elevando al cuadrado
2 . 9
7 ; agregando 2 a la ecuación.
2 7 2 ; se forma binomio al cuadra
x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
22 2
32
2 2 3
do.
5
Piden: 5 125
. c
x x
x x
Rpta
13. Indique el valor de: 3
3
3 3
15 18
15 2
Si: 1 3 14 1 3 14
x xM
x x
x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Solución:
33 3 3 3 3
33 33
3 3
23 23
3 3
3
Recuerda: 3
1 3 14 1 3 14 ; elevando al cubo.
1 3 14 1 3 14 3 1 3 14 1 3 14
Aplicando diferencia de cuadrados:
2 3 1 3 14
2 3 125
2 3 5
a b a b ab a b
x
x x
x x
x x
x x
3
3
2 15
15 2
2 18Piden: 5
2 2
. e
x x
x x
M
Rpta
14. Si: 4 4 2 26 ; 3x y x y
Calcular: 2 2
R x y x y
a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6
Solución:
4 4
2 2 2 2
2 2
2 2
6 ; diferencia de cuadrados
6
Reeplanzando =3.
3 6
x y
x y x y
x y
x y
2 2
2 2
2 2
2
Piden:
; por identidad de Legendre.
2 2 2 4
. a
x y
R x y x y
R x y
Rpta
15. Si: 12
2
2 6
1 12 Halle:
3
mm
m m
a) 1/2 b) 4 c) 2/3 d) 2 e) 3/2
Solución:
3
2 3
2
3 3 3
6 2 2
6 2 2
6
6
6
6
126
6 6
12 ;elevando al cubo la ec.
Recuerda: 3
1 1 13 . 8
Reemplazando y simplificando:
13 2 8
12
1 1 1 1 1 2Piden: 2
3 3 3 3
. c
mm
a b a b ab a b
m m mm m m
mm
mm
mm
m m
Rpta
16. Si se sabe que: 2 2 2x y z xy xz yz
Calcule el valor de: 910 10 10
x y zM
x y z
a) 4 b) 3 c) 1 d) 5 e) 1x
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Solución: 2 2 2
9 9910 10 10 10 9
Si: cumple:
3 1 1Piden:
3
. e
x y z xy xz yz x y z
x y z xM
x y z x x x
Rpta
17. Efectúa: 6
2 3 2 3
a) 9 b) 4 c) 10 d) 6 e) 8
Solución:
32
3
Recuerda: 2
2 3 2 3
2 3 2 3 2 2 3 2 3
a b a b ab
32
2
33
4 2 2 3
4 2 1 2 8
. eRpta
18. Si: 0 y 5a b c abc
Hallar el valor de:
4 4 4
E ab a b bc b c ac a c
a) 60 b) 25 c) 70 d) 91 e) 75
Solución:
3 3 3
4 4 4
4 4 4
3 3 3
0
Identidades condicionales:
si: 0 3
Piden:
Reemplazando:
5 3 5.3.5 75
. e
a b c
a b c b c a
a c b
a b c a b c abc
E ab c bc a ac b
E abc bca acb
E abc a b c
E abc
Rpta
19. Si: 7a b
b a
8 8Calcular: a b
Mb a
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
Solución:
2
28 8
28 84 4
24 4
2
22
4 4
Elevando al cuadrado:
; Resolviendo el binomio.
2 ; simplificando.
2 ; Elevando al cuadrado.
2
a bM
b a
a b a bM
b a b a
a bM
b a
a bM
b a
22
2 2 4 4
22
2 2
22
22
2 2
2 2 ; Reemplazando.
2 7 2
2 9
1
. b
a b a bM
b a b a
a bM
b a
M
M
M
Rpta
20. Si: 15 2x y
y x
9Hallar:
4
x yP
y
a) 2 b) 1 c) 4 d) 3 e) 0
Solución:
Si: 5 25
Cumple con la condición:
115 2 5 15 2
5
9 16Piden: 2
4 4
. a
xx y
y
x y
y x
x y yP
y y
Rpta
21. Si: 3
3
1 11 Calcular: x K x
x x
a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 4
Solución:
3
3
3
3
3
3
11 ; elevando al cubo la ec.
1 1 13 . 1
13 1 1
xx
x x xx x x
xx
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3
3
14
. e
xx
Rpta
22. Calcular: 2
4x x x xP a a a a
a) 1 b) 2 c) 0 d) a e) x
Solución:
2 2
2 2
2
2
Resolviendo el binomio cuadrado:
2 . 4
2 ; se forma un binomio
1
. a
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
P a a a a a a
P a a a a
P a a a a
P a a a a
P
Rpta
23. Siendo: 3 3 3 8, 2, 4a b c a b c abc
1 1 1Hallar:
a b c
a) 1/2 b) 1 c) 1/4 d) 2 e) 0
Solución:
3 3 3 3
3
Recuerda cubo de un trinomio:
3 3
Reemplazando datos:
2 8 3 2 3 4
12 6
2
1 1 1 2 1Piden:
4 2
. a
a b c a b c a b c ab bc ac abc
ab bc ac
ab bc ac
ab bc ac
bc ac ab
a b c abc
Rpta
24. Sabiendo que: 2 2 , 0b a a b a
3 3Halle: 6E a b ab
a) 4 b) 1 c) -8 d) 7 e) -7
Solución:
2
2
3 3
3 3
3 3
3 3
2 2 ; resolviendo
2 2 2
0 2 ; Dividiendo entre .
2 0
2 ; elevando la cubo
3 8 ; reemplazando.
3 2 8
6 8
b a a b
b a ab a b
a ab a a
a b
a b
a b ab a b
a b ab
a b ab
25. Si: 1 1 1 1a b c d
Simplifique: 4bd ad c
Ead ac b
a) 4 b) -4 c) 1 d) -1 e) 3
Solución:
1 1 1 1
1
; factorizando
1
Piden: 4 4 1 4
. b
a b c d
bc ac ab
abc d
dbc dac dab abc
dbc dac abc dab
c bd ad b ad ac
c bd ad
b ad ac
bd ad cE
ad ac b
Rpta
26. Si la diferencia de las cuartas potencias de dos
números es 369 y el cuadrado de la suma de
cuadrados es 1681. ¿Cuál es la suma de los
números?
a) 10 b) 11 c) 8 d) 10 e) 13
Solución:
24 4 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
Planteando:
369 ; 1681 41
369 ; reemplazando.
41 369
9
Cumplen: 5 ; 4
Piden: 9
. a
a b a b a b
a b a b
a b
a b
a b
a b
Rpta
27. Si: 2a b
b a
2006 17
Calcular: a b
Pb a
a) 1 b) 4 c) 3 d) 6 e) 2
Solución:
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2 0
0
a b
ab
a b ab
a b ab
a b
a b
. cRpta
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2006 17
2006 17Piden: 1 1 2
. e
a bP
b a
Rpta
28. Si: 4 5 y 5x y xy 2 2Calcular: S x y
a) 1 b) 7 c) 5 d) 8 e) 3
Solución:
22 4
2 2
2 2
2 2
4 4 2 2
4 4 2 2 2 2
2
5 ; elevando al cuadrado la ec.
2 5 ; reemplazando.
2 5 5
3 5 ; elevando al cuadrado la ec.
2 9 5 ; dando forma de binomio.
2 4 45 ; es un binomio.
x y
x y xy
x y
x y
x y x y
x y x y x y
x
222
22 2
2 2
4 5 45 ; reemplazando 5
25
5
. c
y xy
x y
x y
Rpta
29. Si: 2 3 2x x
Calcular: 1 2 3 2 2x x x x
a) 3 b) 1 c) 0 d) 2 e) 5
Solución:
2 2
3 1 2 2 2
3 3 2 2 2 ; reemplazando.
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
. d
x x x x
x x x x
Rpta
30. Si: , y a b c son números que cumplen: 2 2 220 y 300a b c a b c
Calcular: 2 2 2
E a b a c b c
a) 700 b) 900 c) 500 d) 600 e) 800
Solución:
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
20 ; elevando al cuadrado
2 400 ; reemplazndo.
300 2 400
2 100
Piden:
2 2 ;reemplazando
a b c
a b c ab ac bc
ab ac bc
ab ac bc
E a b a c b c
E a b c ab ac bc
2 300 100
700
. a
E
E
Rpta
Resuelto por: Edwin L.
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PRODUCTOS NOTABLES Y COCIENTES NOTABLES
PREGUNTA 01
Si se sabe que: 2 1
1
x xy
y xy
Calcular el valor de:
2 22 2 2 24
2 2 2 2
x y x y x y x yE x y
x y x y x y x y
a) 16 b) 17 c) 18 d) 15 e) 14
Resolución
2
2
2 3 2 3
2 2 3 3
2 2 2 2
Elevando al cuadrado la condición inicial.
4 1
1
4 4
4 4 ; factorizando
4 4
x xy
y xy
x x y y xy
x y x y xy
x y xy x y
2 2 2 2
2 22 2 2 2
42 2 2 2
x y x y x y x yE x y
x y x y x y x y
2 2
2 2 2 2
Aplicando la identidad de Legendre y dif. de cuadrados:
2 4 4 2
4 4
x y x yE
x y x y
2 24x y
2 2
2 2
2 2
2 2
Simplificando:
16 4 ; reemplazando
4
16 4E 16
4
xy x yE
x y
x y
x y
Respuesta: a) 16
2 2 2 2
2 2
Identidad de Legendre
+ 2
Diferencia de cuadrados
a b a b a b
a b a b a b
PREGUNTA 02
Si: 1,ab Calcular: 2 2
2 2
1 1
1 1
b aE a b
a b
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolución
1 11
Reemplazando:
ab b aa b
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 11 1
1 1
1 1
; simplificando.1 1
1 1
1 1
1 1 2
a bE a ba b
a b
a bE a ba b
E a ba b
E a ba b
E
Respuesta: b) 2
PREGUNTA 03
Sabiendo que: 2 2
1.x y
y x Indicar el equivalente
de: 9 9 4 43 3E x y x y
a) x b) x y c) xy d) 3x e) N.A.
Resolución
3 33 3
3 33 3
9 9 3 3 3 3 3 3
9 9 3 3 3 3
9 9 4 4 3 3
9 9 4 4 3 33 3
1
; elevando al cubo.
3 ; reemplazando
3
3
Reemplazando en
3
x yx y xy
xy
x y xy
x y x y x y x y
x y x y xy x y
x y x y x y
E
E x y x y x y xy
Respuesta: c) xy
PREGUNTA 04
Sabiendo que: 9
97
a x
x a el valor de la expresión
9
449
a x
x a es:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 5 e) 2
Resolución 2
92 44
9 ; elevando al cuadrado.
a xE
x a
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9 92
9 9
29
22
9
92
2
9
22
2 ; simplificando.
Aplicando binomio al cuadrado.
2 ; elevando al cuadrado.
2 2 ; reemplazando.
2 7 2
5
a x a xE
x a x a
a xE
x a
a xE
x a
E
E
Respuesta: c) 5
PREGUNTA 05 Simplificar:
4 2 6 3 6 3
9
1 1 1 1 1
1
a a a a a a a a
a
a) 1a b) 3 1a c) 9a
d) 9 1a e) 8 1a
Resolución
2 4 2 12 6
9
32 12 6
9
6 12 6
9
36 9 918
9
9 9 9
Aplicando diferencia de cuadrados y Argand.
1 1 1
1
Por diferencia de cubos.
1 1
1
1 1 ;Dif. de cubos
1
1 1 111
1 1 1
a a a a a
a
a a a
a
a a a
a
a a aaa
a a a
Respuesta: D) 9 1a
PREGUNTA 06
Sí: 2 2
5
5
ab
a b
Proporcionar el valor de:
8 8a b
b a
a) 45 b) 5 21 c) 47 d) 47 5 e) 5
47
Resolución
2 2
Invirtiendo la fracción y racionalizando.
5 5
5 5
5 ; elevando al cuadrado.
a b
ab
a b
b a
2 2
2 2
4 4
2
4 4
8 8
2
8
2 5
3 ; elevando al cuadrado.
2 3
7 ; elevando al cuadrado.
2 7
a b a b
b a b a
a b
b a
a b
b a
a b
b a
a b
b a
a b
b a
8
47
Respuesta: c) 47
PREGUNTA 07 Hallar el valor numérico de:
3 3 3 2 2 2a b c a b cE
abc ab ac bc
Si: 5 3 2a
2 3 2 5b
5 2 3c
a) 6 b) -6 c) 3 d) -3 e) N.A.
Resolución
3 3 3
2 2 2
3 3 3 2 2 2
5 3 2
2 3 2 5
5 2 3
0
Por identidades condicionales:
3: 0
2
; reemplazando.
3 2 ; simplificando.
a
b
c
a b c
a b c abcSi a b c
a b c ab ac bc
a b c a b cE
abc ab ac bc
abc ab ac bcE
abc ab ac bc
E
6Respuesta: b) -6
PREGUNTA 08
Si: 1
3;xx
hallar 3
3
1x
x
a) 6 b) 9 c) 18 d) 27 e) 36
Resolución
13 ; elevando al cubo.x
x
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3
3
3
3
3
3
3
3
13
1 1 13 . 27
Simplificando y reemplazando.
13 3 27
118
xx
x x xx x x
xx
xx
Respuesta: c) 18
PREGUNTA 09
Si: 3;x y z 3 3 3 9x y z
Hallar S x y x z y z
a) 3 b) 6 c) 4 d) 15 e) 17
Resolución
3 3 3 3
3
Trinomio al cubo:
3
Reemplazando:
3 9 3
6
x y z x y z x y x z y z
S
S
Respuesta: b) 6
PREGUNTA 10 Reducir:
2 2
2x x x x x x x xS x x x x x x x x
a) xx b) 2xx c) 22 xx d) 24x e) 24 xx
Resolución
2 2
2 2 2 2
2
22
Cambio de variable:
2
Por Iden. de Legendre y dif. de cuadrados.
2 2
4
4 4
x x
x x
x a x b
S a b a b a b a b
S a b a b
S a
S x x
Respuesta: e) 24 xx
PREGUNTA 11
Si: 2; 3a b ab
Calcular el valor de: 3 3
2 2
a bM
a b
a) 6 b) 5 c) 3 d) 7 e) 4
Resolución
2 2
2 2
De la condición: 2
2 ; elevando al cuadrado.
2 4 ; reemplazando.
a b
a b
a b ab
2 2
2 2
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
2 2
2 3 4
2
2 ; elevando al cubo.
3 8 ; reemplazando.
3 3 2 8
10
Reemplazando.
105
2
a b
a b
a b
a b ab a b
a b
a b
a bM
a b
Respuesta: b) 5
PREGUNTA 12
Al reducir: 3 2 3 2
3 2 3 2E
se obtiene:
a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7
Resolución
2 2
2 2
2 2
Multiplicando en cruz para sumar la ecuación.
3 2 3 2
3 2 3 2
Id. Legendre y dif. de cuadrados
2 3 2
3 2
2 510
1
E
E
E
Respuesta: b) 10
PREGUNTA 13
Si: 0a b c
Reducir: 2 2 2 2 2
2 2
a b c a ab bA
bc ac ab b bc c
a) 4 b) 3 c) 0 d) 2 e) 1
Resolución Dando valores para que cumplan la condición.
0 1, 2, 3
Reemplazando en .
1 4 9 1 2 4
6 3 2 4 6 9
1 8 27 7 181
6 7 6
a b c a b c
A
A
A
Respuesta: e) 1
PREGUNTA 14
Hallar “n”, si el cociente es notable 5 65 3
1 2
nn
n n
x a
x a
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A.
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Resolución
2 2
5 3 5 30#términos
1 2
5 3 10 6 5 30 5 30
36 12
3
n n
n n
n n n n n n
n
n
Respuesta: b) 3
PREGUNTA 15
Suponiendo que 143 32x y se encuentra contenido en
el desarrollo del cociente notable 21 13 20n p
n p
x y
x y
Hallar .n p
a) 3 b) 14 c) 6 d) 11 e) 9
Resolución
20 2013
13
20 113 143 32
21 13 20#términos 20
21 13 20
13
Reemplazando.
Dando la forma de CN
Dato:
Comparando:
13 20 143 20 11 9
1 32 8 32 4
Piden: 9
p
p
k kp
k
n p
n p
n n
n
x y
x y
t x y x y
k k k
p k p p
n p
Respuesta: e) 9
PREGUNTA 16 Sabiendo que uno de los términos del cociente
notables: 2
,a bx y
x y
es 4 10x y calcular: /b a
a) 6 b) 3 c) 2 d) 4 e) N.A.
Resolución
1 1
12 4 10
Sabemos que: es CN cuando es par.
Ademas cuando el divisor es de la forma
1
#términos1 2
Dato:
; es par
Comparando:
n n
k n k k
k
ka k
k
x yn
x y
x y
t x y
a bpar
t x y x y k
2 1 10 6
4 6 4 10
Reemplazando: 20
Piden: 2
k k
a k a a
b
b
a
Respuesta: c) 2
PREGUNTA 17
Hallar ,m n si el 25t del desarrollo de:
129 86
3 2,
m n
m n
x a
x a
es 270 288x a
a) 17 b) 11 c) 15 d) 18 e) 5
Resolución
43 433 2
3 2
43 25 25 13 2 270 288
25
Dando la forma de CN , #térm 43
Dato:
3 18 270 5
2 24 288 6
Piden: 11
m n
m n
m n
x a
x a
t x a x a
m m
n n
m n
Respuesta: b) 11
PREGUNTA 18
Sabiendo que el 5t del cociente notable:
4 4
5 9 5 9
x x
x x
a b
a b
es 176 64 ,a b calcular el número de
términos. a) 16 b) 21 c) 14 d) 4 e) 18
Resolución
45 5 1
5 9 5 9 176 645 95
4#términos
5 9
Dato:
Comparando:
4 5 9 64 5 9 16
4 5 5 9 176 4 5 16 176 4 256
Reemplazando:
4 256#términos 16
5 9 16
x
x xx
x
x
x x
x x x x
x
x
t a b a b
Respuesta: a) 16
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PREGUNTA 19 Si: En el siguiente cociente notable:
6 3 6 22
6 8,
n n
n n
x a
x a
hallar el número de términos.
a) 19 b) 22 c) 23 d) 25 e) N.A.
Resolución 6 3 6 22
6 8
2 2
2 2
Dando la forma de CN
6 3 6 22#términos ; simplificando.
6 8
2 2
6 3 6 22
6 8
6 3 48 24 6 22 36 132
13 156
12
Reemplazando.
50#términos 25
2
n n
n n
x a
x a
n n
n n
n n
n n
n n n n n n
n
n
Respuesta: d) 25
PREGUNTA 20 Si al efectuar la siguiente división
2 3 26 5 2 12
5 3,
a b a bx y
x y
se obtiene un cociente
notable cuyo número de términos es 11. Hallar
.a b
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
Resolución
2 3 26 5 2 12#términos =11
5 3
2 3 29 / 2
5 2 45 / 3
Luego por sistema de ecuaciones.
4 6 58
15 6 135
11 77
7
5
Piden: 12
a b a b
a b
a b
a b
a b
a
a
b
a b
Respuesta: c) 12
PREGUNTA 21 El grado absoluto del término de lugar “6” del
siguiente cociente notable 3 9 3
3 2,
n nx y
x y
es:
a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21
Resolución
9 6 6 13 2 9 10
6
6
3 3 3#términos
3 2
2 6 3
6
9 10 19
n n
n n
n
t x y x y
GA t
Respuesta: c) 19
Resuelto por: Edwin L.
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