Las cónicas

LAS CÓNICAS• LA PARABOLA• LA HIPERBOLE• LA ELIPSE• LA CIRCUNFERENCIA

INTRODUCCIÓN

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en tres tipos: elipse, parábola e hipérbola.

Un cono circular recto de dos hojas con un plano que no pasa por su vértice.

INTRODUCCIÓN Se estudiar las cónicas en términos de

intersecciones del cono con planos. Se pueden estudiar como casos

particulares de ecuaciones de segundo grado con variables x e y.

Es más adecuado estudiarlas como lugares geométricos de puntos que cumplen con cierta propiedad geométrica.

LA CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia es el lugar geométrico de los P(x,y) que equidista de un punto fijo C llamado (centro).

d(P,C)=cte = Radio

Sea P(x,y) un punto cualquiera verificando d (P,C)= r, siendo r el radio de C()el centro. De fórmula de la distancia de 2 puntos se tiene.

LA CIRCUNFERENCIA Esta representa la ecuación de la

circunferencia fuera del origen.

La circunferencia que tiene centro en el origen esta dada por:

LA CIRCUNFERENCIA

Luego el centro es C(2,3) y el radio r=5.Ejercicios:Hallar el centro y el radio de las circunferencias.

LA CIRCUNFERENCIA Escribir la ecuación de las cirunferencias

De centro C(1,1) y radio r=3 De centro C (0, 0) y radio r=2

Recta Tangente a una circunferenciaSi desde un punto P(x,y) trazamos una recta t, será tangente a una circunferencia cuando la distancia del centro de la recta coincida con el radio.

LA CIRCUNFERENCIA La recta es tangente si: d(C,t)=radio La recta se llama exterior si:

d(C,r)>radio La recta se llama secante si: d(C,s)<

radio la intersecan dos puntos A y B.

LA CIRCUNFERENCIA - ejercicios Comprobar que la recta s= , es tangente

a la circunferencia:

Distancia entre un punto y una recta. D(C;s)= D(C;s)=

(𝑥−2)2+(𝑦−3)3=1

LA ELIPSE Una elipse es el lugar geométrico de los puntos P

(x,y), cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (focos)es constante.

Para su construcción manual, se toma un segmento de longitud 2a y se sujetan sus extremos en F y F’, los datos, si se mantienen el segmento tirante y se va girando se obtiene el gráfico de la elipse.

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE. La Ecuación de una Elipse cuando los focos

están situados en el eje Ox y =2a corresponde a:

a corresponde al semieje mayor. B corresponde al semieje menor. Focos (c,0)F’(-c,0) Vértices A, A’, B, B’

En el gráfico se tiene:BF=aOB=b OF=cLuego por pitágoras

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE.

Elipse - ejemplos Halla el eje mayor, el eje menor, los

vértices y los focos de la Elipse.

Eje mayor 2a=2*5=10 Eje menor 2b= 2*4=8 Vértices A(5,0), A’(-5,0), B(0,4)y

B’(0,-4) Los focos. Como c= Los focos son F(3,0) F’(-3,0)

o Hallar los ejes mayor, los vértices, los focos y la excentricidad de la elipse.

Elipse - excentricidad Llamamos excentricidad de una elipse al

cociente entre la distancia focal y el eje real.

Elipse - excentricidad

Mide el grado de achatamiento de la elipse:

Elipse – cambio de centro La ecuación de la Elipse cuando el

centro esta fuera del origen viene definida por O(u,v) así:

La Hiperbole Una hiperbole es el lugar geométrico de

los P(x,y), cuya diferencias de distancia a dos puntos fijos F y F’ (focos ) es constante.

Ecuación reducida de la Hipérbole La ecuación reducida de una hipérbole cuando

los focos están situados en el Ox y =±2a corresponde a:

a corresponde al semieje mayor. b corresponde al semieje menor. Focos (c,0)F’(-c,0) Vértices A, A’, B, B’

B y B’ son los cortes de la circunferencia con centro en A y radio c.

Obteniéndose la relación

Ecuación reducida de la Hipérbole

La Hipérbole - ejemploHallar el eje mayor, el eje menor, los vértices, y los focos de la hipérbola.

Eje mayor 2a=2*5=10 Eje menor 2b= 2*4=8 Vértices A(5,0), A’(-5,0), B(0,4)y

B’(0,-4) Los focos. Como c= Los focos son F(,0) F’(-,0)

La hipérbole - excentricidad Llamamos excentricidad de una

hipérbole al cociente entre la distancia focal y el eje real.

En estas hipérboles se ha dejado fijo el foco y cambiado el valor del semieje real a, el valor de la excentricidad e aumenta.

La hipérbole cambio de centro La ecuación de la hipérbole cuando el

centro esta definido por el punto O (u,v)

(𝑥−𝑢)2

𝑎2−

(𝑦−𝑣)2

𝑏2=1

La Parábola Una parábola es el lugar geométrico de

los P(x,y) que equidistan de una recta fija δ (directriz)y de un punto fijo F (foco).

Ecuación reducida de una parábola. La ecuación reducida de una parábola

cuando el foco esta en el eje Ox y Directriz δ=x=- corresponde a:

Ecuación de la Parábola fuera del origen Si trasladamos una parábola al vértice

V(u,v) su ecuación es: