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LAS CÓNICAS• LA PARABOLA• LA HIPERBOLE• LA ELIPSE• LA CIRCUNFERENCIA
INTRODUCCIÓN
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en tres tipos: elipse, parábola e hipérbola.
Un cono circular recto de dos hojas con un plano que no pasa por su vértice.
INTRODUCCIÓN Se estudiar las cónicas en términos de
intersecciones del cono con planos. Se pueden estudiar como casos
particulares de ecuaciones de segundo grado con variables x e y.
Es más adecuado estudiarlas como lugares geométricos de puntos que cumplen con cierta propiedad geométrica.
LA CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia es el lugar geométrico de los P(x,y) que equidista de un punto fijo C llamado (centro).
d(P,C)=cte = Radio
Sea P(x,y) un punto cualquiera verificando d (P,C)= r, siendo r el radio de C()el centro. De fórmula de la distancia de 2 puntos se tiene.
LA CIRCUNFERENCIA Esta representa la ecuación de la
circunferencia fuera del origen.
La circunferencia que tiene centro en el origen esta dada por:
LA CIRCUNFERENCIA
Luego el centro es C(2,3) y el radio r=5.Ejercicios:Hallar el centro y el radio de las circunferencias.
LA CIRCUNFERENCIA Escribir la ecuación de las cirunferencias
De centro C(1,1) y radio r=3 De centro C (0, 0) y radio r=2
Recta Tangente a una circunferenciaSi desde un punto P(x,y) trazamos una recta t, será tangente a una circunferencia cuando la distancia del centro de la recta coincida con el radio.
LA CIRCUNFERENCIA La recta es tangente si: d(C,t)=radio La recta se llama exterior si:
d(C,r)>radio La recta se llama secante si: d(C,s)<
radio la intersecan dos puntos A y B.
LA CIRCUNFERENCIA - ejercicios Comprobar que la recta s= , es tangente
a la circunferencia:
Distancia entre un punto y una recta. D(C;s)= D(C;s)=
(𝑥−2)2+(𝑦−3)3=1
LA ELIPSE Una elipse es el lugar geométrico de los puntos P
(x,y), cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (focos)es constante.
Para su construcción manual, se toma un segmento de longitud 2a y se sujetan sus extremos en F y F’, los datos, si se mantienen el segmento tirante y se va girando se obtiene el gráfico de la elipse.
ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE. La Ecuación de una Elipse cuando los focos
están situados en el eje Ox y =2a corresponde a:
a corresponde al semieje mayor. B corresponde al semieje menor. Focos (c,0)F’(-c,0) Vértices A, A’, B, B’
En el gráfico se tiene:BF=aOB=b OF=cLuego por pitágoras
ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE.
Elipse - ejemplos Halla el eje mayor, el eje menor, los
vértices y los focos de la Elipse.
Eje mayor 2a=2*5=10 Eje menor 2b= 2*4=8 Vértices A(5,0), A’(-5,0), B(0,4)y
B’(0,-4) Los focos. Como c= Los focos son F(3,0) F’(-3,0)
o Hallar los ejes mayor, los vértices, los focos y la excentricidad de la elipse.
Elipse - excentricidad Llamamos excentricidad de una elipse al
cociente entre la distancia focal y el eje real.
Elipse - excentricidad
Mide el grado de achatamiento de la elipse:
Elipse – cambio de centro La ecuación de la Elipse cuando el
centro esta fuera del origen viene definida por O(u,v) así:
La Hiperbole Una hiperbole es el lugar geométrico de
los P(x,y), cuya diferencias de distancia a dos puntos fijos F y F’ (focos ) es constante.
Ecuación reducida de la Hipérbole La ecuación reducida de una hipérbole cuando
los focos están situados en el Ox y =±2a corresponde a:
a corresponde al semieje mayor. b corresponde al semieje menor. Focos (c,0)F’(-c,0) Vértices A, A’, B, B’
B y B’ son los cortes de la circunferencia con centro en A y radio c.
Obteniéndose la relación
Ecuación reducida de la Hipérbole
La Hipérbole - ejemploHallar el eje mayor, el eje menor, los vértices, y los focos de la hipérbola.
Eje mayor 2a=2*5=10 Eje menor 2b= 2*4=8 Vértices A(5,0), A’(-5,0), B(0,4)y
B’(0,-4) Los focos. Como c= Los focos son F(,0) F’(-,0)
La hipérbole - excentricidad Llamamos excentricidad de una
hipérbole al cociente entre la distancia focal y el eje real.
En estas hipérboles se ha dejado fijo el foco y cambiado el valor del semieje real a, el valor de la excentricidad e aumenta.
La hipérbole cambio de centro La ecuación de la hipérbole cuando el
centro esta definido por el punto O (u,v)
(𝑥−𝑢)2
𝑎2−
(𝑦−𝑣)2
𝑏2=1
La Parábola Una parábola es el lugar geométrico de
los P(x,y) que equidistan de una recta fija δ (directriz)y de un punto fijo F (foco).
Ecuación reducida de una parábola. La ecuación reducida de una parábola
cuando el foco esta en el eje Ox y Directriz δ=x=- corresponde a:
Ecuación de la Parábola fuera del origen Si trasladamos una parábola al vértice
V(u,v) su ecuación es:
