Lopta, povrsina i zapremina lopte

Лопта

У оквиру наставне теме лопта изучаваћемо:

елементе лопте

површину лопте

запремину лопте

Геометријско тело које представља приближни облик планете на којој живимо назива се лопта.

Иако је данас прецизним мерењима утврђено да наша планета није у облику лопте у математичком смислу, у многим разматрањима се то претпостави.

Сфера је скуп свих тачака у простору које су једнако удаљене од неке фиксиране тачке. Фиксирана тачка назива се центар сфере (О). Дуж која спаја центар са било којом тачком сфере назива се полупречник сфере (r).

Сферу са центром у тачки О и полупречником r обележавамо са S(O,r).

Лопта је тело у простору ограничено сфером.

Центар и полупречник сфере уједно су центар и полупречник лопте коју она одређује.

Пречник лопте састоји сеиз два полупречника лопте, па се обележава са 2r.

Лопта је ротационо тело које настаје ротацијом полукруга (или круга) око пречника.

Шта је пресек равни и сфере, односно лопте, зависи од растојања центра од те равни.Уколико је растојање центра од неке равни веће од r, онда је пресек те равни и сфере празан скуп. У овом случају, празан је и пресек равни и лопте.

Уколико је растојање центра од неке равни мање од r, онда је пресек те равни и сфере кружница, док је пресек те равни и одговарајуће лопте круг одређен овом кружницом.

једина заједничка тачка те равни и одговарајуће лопте. У овом случају, раван зовемо тангентном равни сфере, односно лопте, а ту заједничку тачку тачком додира.

Уколико је растојање центра од неке равни једнако r, онда је пресек те равни и сфере само једна тачка, која је и

Специјално, пресек лопте и равни која садржи њен центар је круг који називамо велики круг лопте.

Полупречник великог круга лопте једнак је полупречнику лопте.

Део лопте који одсеца нека раван назива се лоптин одсечак. Круг по коме раван сече лопту назива се основа лоптиног одсечка. Део сфере који заједно са основом лоптиног одсечка ограничава тај одсечак назива се калота.

Калота чији је гранични круг велики круг сфере назива се полусфера.

Лоптин одсечак чија је основа велики круг лопте је полулопта.

Површина и запремина лопте

Површина лопте (сфере) четири пута је већа од површине њеног великог круга.

Дакле, образац за израчунавање површине лопте је

где је r дужина полупречника лопте.

Сферу можемо поделити кружницама на мале делове као што је на слици. Ако су B1, B2, ..., Bn површине тих делова онда је њихов збир једнак површини сфере.

Што већи број делова на које је сфера подељена, то су ти делови „равнији”, па их посматрамо као базе пирамида са врхом у центру сфере. Збир запремина ових пирамида даће нам запремину лопте која је ограничена овом сфером.

rBrBrBV nL 31...

31

31

21

nBBBr ...31

21

LPr 31

2431 rr

334 r

Дакле, образац за израчунавање запремине лопте је

где је r дужина полупречника лопте.

Презентацију је израдила Мирјана Митић,наставник математике

Хвала на пажњи!