Regolazione e controllo 2

Valter

SISTEMI DI REGOLAZIONE E CONTROLLO (II PARTE)

Questa presentazione descrive come costruire il modello matematico per il sistema massa – molla,

considera il sistema elettrico R-C, introduce la variabile s e indica la procedura per la costruzione

della funzione di trasferimento.

Valter

Modello matematico

Insieme dei valori che può assumere la variabile di ingresso

Insieme dei valori che può assumere la variabile di uscita

f

f associa ad ogni valore dell'insieme input un valore dell'insieme output.Tale corrispondenza è espressa mediante una relazione matematica che

prende il nome di MODELLO MATEMATICOMODELLO MATEMATICO

INPUTINPUTOUTPUTOUTPUT

Valter

Modello matematico

individuare le grandezze fisiche coinvolte (input/output)

stabilire le leggi fisiche che regolano il processo

scrivere la relazione matematica

Costruiamo il modello matematico di un sistema in tre fasi:

INPUTINPUT OUTPUTOUTPUT

f

Output = f f (Input)

Valter

Sistema massa molla

come si muove la massa m quando è applicata la forza F?

In altre parole qual'è la relazione tra l'input F e l'output X?

Per rispondere dobbiamo definire il

modello matematico

mF

X

K

Valter

Sistema massa molla

input: Finput: F (la forza applicata)

output: Xoutput: X (la posizione assunta da m)

mF

X

K

Valter

La massa

Se applichiamo alla massa m una forza F la massa accelera. In termini matematici si dice

F= m aF= m a

mF

X

Valter

La molla

Tutti sappiamo che tanto più la forza F è grande tanto maggiore è la forza con la quale la molla reagisce. In termine matematici questo si dice così:

F= - K XF= - K X

FK

X

Valter

Sistema massa molla

mF

X

K

INPUTINPUT OUTPUTOUTPUT

fValori dellaForza FF

Valori dello

Spostamento XX

FF – K– KXX = m a = m af:

Valter

Sistema massa molla

Ricordiamo che l'accelerazione è la derivata seconda dello spostamento e scriviamo:

F – K X = m d2 X

FF – K– KXX = m a = m a

d t2

Valter

Modello matematico del sistema massa molla

F – K X = m d2 Xd t2

Valter

Sistema R-C

Consideriamo il circuito elettrico composto da una resistenza elettrica R e un condensatore di capacità C, alimentato dalla tensione v(t) e attraversato dalla corrente i.

R

v(t)C

i(t)

Valter

Sistema R-C

Saltiamo tutte le fasi e scriviamo la relazione del modello matematico che lega la tensione v

alla corrente i.

R

v(t)C

i(t)

VV = R i + 1/C = R i + 1/C ∫∫ i dt i dt

Valter

Cosa abbiamo trovato

Però, quanto è difficile

risolvere queste

equazioni!?

R

v(t) C i(t)

VV = R i + 1/C = R i + 1/C ∫∫ i dt i dt

m

X

K

F – K X = m d2 X

d t2

Valter

Cosa vogliamo?

Cerchiamo una relazione che leghi in modo semplice l'input con l'output. Una relazione fatta così:

output = GG input

dove G G è una relazione semplice, ad esempio un polinomio o rapporto di polinomi

Valter

Come procediamo

Il modello matematico è complesso perché presenta integrali e

equazioni differenziali. Introduciamo l' operatore matematico

che li trasforma in polinomi:

∫∫00

tt f(t) dt f(t) dt

F(s)

s

d f(t) d t

S F(s)

Valter

Trasformata di Laplace

L'operatore esegue un azione complessa alla quale solamente accenniamo.

Trasforma funzioni a variabile reale (il tempo) in funzioni di variabile complessa (S: numero immaginario).

Sono definite regole per applicare la trasformata di Laplace ed esistono tabelle molto semplici per eseguire il passaggio nel dominio dei numeri complessi.

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Tabella dellaTrasformata di Lapalce

Dominio tempo Dominio s1 1/s

e-Kt 1/(s+K)sen ω t 1

s2+ω2

cos ω t ss2+ω2

δ 1

Valter

Applicazione

Applichiamo quanto visto sino ad ora al sistema massa molla quando è applicata una forza impulsiva

m

X

K

Valter

Procedura 1)Analisi del sistema da studiare

2)Definizione del modello matematico

3)Definizione della funzione di trasferimento G (s)

4)Trasformazione del segnale di input in s

5)Calcolo della risposta in s

6)Antitrasformazione della risposta nel tempo

Applichiamo la procedura al sistema massa molla. Possiamo partire dalla fase 3

Valter

Applicazione al sistema massa molla

F – K X = m d2 Xd t2

F(s) = ms2 x(s) + K x(s)

Dominio del tempoDominio del tempo Dominio di sDominio di s

Fase 3

Valter

La funzione di trasferimento del sistema massa molla

F(s) = ms2 x(s) + K x(s)

X = 1 F

ms2 + K

Output Output

input input

Funzione di trasferimento

Fase 3

Valter

La funzione di trasferimento

massa mollamF

X

K

G (s)G (s) = 1

ms2 + K

La funzione di trasferimento La funzione di trasferimento nel dominio di snel dominio di s

Fase 3

Valter

Applicazione al sistema massa molla

Input: forza impulsiva (colpo secco sulla massa)

mF

X

K

δ (t)F(t) = F(s)=1

Dominio tDominio t Dominio sDominio s

Fase 4

Valter

Applicazione al sistema massa molla

mF

X

K

X(s)X(s) = 1 F

ms2 + K

la risposta del sistema la risposta del sistema

Nel dominio sF(s) = 1

Fase 5

Valter

Applicazione al sistema massa molla

mF

X

K

X(s)X(s) = 1

ms2 + K

la risposta del sistema nel dominio s la risposta del sistema nel dominio s

Fase 5

Utilizzo le tabelle per antitrasformare

Valter

Applicazione al sistema massa molla

mF

X

K

X(t)X(t) = 1 sen ω t

mK

Antitrasformo per la risposta nel Antitrasformo per la risposta nel dominio del tempodominio del tempo

Fase 6

Se la massa viene colpita essa inizia ad oscillare con andamento sinusoidale

Valter

Applicazione al sistema massa molla

m

Fase 6

Se la massa viene colpita essa inizia ad oscillare con andamento sinusoidale

X

K mm

Valter

Funzione di trasferimentonel dominio dei numeri complessi

Per ogni sistema è possibile definire una funzione di trasferimento scritta in termini semplici, cioè sotto forma di polinomi.

G(s)= μ (s-z1)(s-z

2)...(s-z

n)

(s-p1)(s-p

2)...(s-p

n)

Valter

La funzione di trasferimento è la sintesi di un processo complesso. Sono richieste specifiche conoscenze di fisica e competenze nell'uso di strumenti matematici avanzati.

In questa presentazione sono stati trascurati approfondimenti matematici che sarebbero indispensabili

per una corretta e piena comprensione del tema, si è invece cercato di semplificare le questioni per individuare

un percorso logico e preciso con l'intento introdurre gradualmente gli allievi allo studio dei sistemi di controllo.

Conclusioni