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8.2 MA
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ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
Método DE LOS PUNTOSMétodo DE LOS PUNTOS CRÍTICOSCRÍTICOS
Es utilizado para analizar la variación de los signos de
los factores lineales (de coeficientes reales) en una
multiplicación indicada (polinomio factorizado).
Para un polinomio P(x) = ax2 + bx + c 0 y ( 0 )
este método es el más indicado
Ejemplo:
Sea P(x) = (x – 3) (x + 1) (x – 6), las raíces son: –1, 3, 6.
Ubiquemos estos valores en la recta real.
Las raíces del polinomio particiona a la recta en 4 zonas
(intervalos).
Analicemos las variaciones.
Factor
Zona
x – 3 x + 1 x – 6 P(x)
x < –1
–1 < x < 3
3 < x < 6
x > 6
Si tratará de resolver P(x) > 0, tendríamos que el
C.S. =
Nota. Cuando formamos la inecuación polinomial los
valores de las raíces del polinomio toman el nombre de
puntos críticos.
Teoremas del trinomio (+/–)Teoremas del trinomio (+/–)Si el polinomio P(x) = ax2 + bx + c; {a, b, c}
tiene discriminante: ( 0 )
A. (a 0) P(x) 0; x
B. (a 0) P(x) 0; x
INECUACIONES EXPONENCIALESINECUACIONES EXPONENCIALESSon de la forma:
af(x) > ag(x) af(x) < ag(x) a 1
1° caso: Si: a > 1 , entonces se cumple:
af(x) > ag(x) f(x) > g(x)
af(x) < ag(x) f(x) < g(x)
2° caso: Si: 0 < a < 1 , entonces se cumple:
af(x) > ag(x) f(x) < g(x)
af(x) < ag(x) f(x) > g(x)
1. La solución de la inecuación:– x2 + 8x – 7 > 0
A) C) 0 < x < 7 E) N.A.B) –1 < x < 7 D) 1 < x < 7
2. Resolver: 0
A) [–5,2[ [6, 7] D) B) ] –, –5] ]–2, 6] [7, +[ E) N.A.C) [–5,6] – {2}
3. Resolver: < 2
A) ]0, 3/2[ D) ]–, 0[ ]3/2, + [B) ]0, 3/2] E) N.A.C) ]–, 0[ [3/2, + [
4. Resolver: 0
A) ]–6, 0[ D) B) ]–, –6] ]–4, 0[ E) N.A.C) [–6, –4[ ]0, +[
5. Resolver:
A) ]–1, –1/2] D) [–3, –1] [–1/2, +[B) [–1, –1/2] E) ]–3, –1[C) –3, –1 [–1/2, +[
6. Resolver: (x + 4) (x + 2) > 0. Dar como respuesta un intervalo
Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730
A) –, –4 C) [4, + [ E) N.A.B) D)
7. Resolver: (x + 2) (x + 2) > 0
A) ]–2, + ] C) [2, + [ E) ]2, + [
B) D) – {–2}
8. Resolver: (x – 1) (x – 1) < 0
A) ]–1, + ] C) ]1, + [ E) N.A.
B) D)
9. Resolver: (x + 6) (x + 6) 0
A) [–6, + [ C) {–6} E) ]–, –6]
B) D)
10. Resolver: x2 + 1 > 0
A) [–1, + [ C) {–1} E) ]–, –1]
B) D)
11. Resolver: x2 + 6x + 12 0
A) [–3, + [ C) {–3} E) N.A.
B) D)
12. Resolver: x2 + 2x + 2 < 0
A) [–2, + [ C) {–2} E) ]–, –2]
B) D)
13. Resolver:
A) 2, C) 3, 10 E) B) 3, D)
14. Resolver:
A) x –, 1] 3, +B) x –, 1 3, +C) x [1, 3]
D) x [–1, 3E) N.A.
15. Si x –2, 3, además:a < x2 + 10x – 3 < b
hallar b – aA) 55 B) –55 C) 36 D) 19 E) N.A.
1. Resolver: (x + 3) (x – 5) (x – 1) < 0A) –, –3 1, 5B) –, –3] [1, 5C) –, 1 3, 5D) –, 1 [3, 5E) N.A.
2. Resolver: (x – 1) (x – 4) (x + 7) > 0A) –7, 1 [4, +B) –1, 0] [4, +C) –7, 1 4, +D) –1, 4 [7, +E) N.A.
3. Resolver: (x + 2) (x – 1) (x – 3) (x + 5) 0A) –5, –2 1, 3B) –, –5] –2, 1C) –, –5 –2, 1 1, +D) [–5, –2] [1, 3]E) N.A.
4. Resolver:
A) –2, –1] 2, 3 [5, +B) –, –2] [–1, 2] [ 3, 5 ]C) –, –2 [–1, 2 [ 3, 5 ]D) [–2, –1] [2, 3]E) N.A.
5. Resolver: x2 – 7x + 10 0
A) x –, 2 5, +B) x [2, 5]
C) x [5, +D) x , 2E) N.A.
6. Resolver: x2 + 4x – 45 > 0
A) x –, –9 5, +B) x –, –15 3, +C) x [–9, 5]
D) x [–15, 3E) N.A.
7. Resolver: x2 – 13x + 30 < 0A) 2, 15 C) 3, 10 E) 7, 10B) 3, 12 D) 2, 7
8. Resolver: x2 – 3x + 2 0A) –, 1 C) [2, + E) 3, +
- 2 -
B) 2, + D) –, 1] [2, +
9. Resolver: x2 + 4x + 11 < 0A) 1, 3 C) –, 1 E) B) D) 2, +
10. Resolver: 2x2 + x – 1 < 0
A) –1, C) –2, E) 1, 7
B) –1, 5 D) –1,
11. Resolver: 0
A) [–1, 0] [2, +[ C) ]–1, 0] [2, +[ E) N.A.B) ]–1, 0[ ]2, +[ D)
12. Resolver: < 0
A) x –3, 4]
B) x –2, 8C) x –, 2 8, +D) x –, 3 5, +E) N.A.
13. Resolver: 0
A) x –, 6] 1, +B) x –, –6 2, +C) x –, –9] 1, +D) x –9, 1E) N.A.
14. Resolver: 0*
A) ]–, –3] [5, +[B) ]–, –3] ]–2, 0[ ]5, +[C) ]–, –3[ ]–2, 0[ ]5, +[D) ]–, –3] ]–2, 0[ [5, +[E) ]–2, 0[ ]5, +[
15. Resolver: > 0
A) ]–, –1[ ]0, 2[ ]3, +[B) ]–, –1] [0, 2] [3, +[C) ]–, –1[ ]0, 2[ [3, +[D) ]–, –1[ ]3, +[E) N.A.
16. Resolver:
A) ]4, + [ C) ]1, + [ E) ]–, 4[B) ]–, 1[ D) ]–, 1[ ]4, + [
17. Resolver:
A) ]–2, 3[ D) ]3, +[B) ]–, –2[ E) ]–, –2[ ]3, +[C) ]–, 3[
18. Resolver: 3x2 – 10x – 3 A) 1/3, 3 C) E) N.A.B) [1/3, 3] D) –, 3
19. Resolver: x (6x + 17) > 3A) –, –3 1/6, +B) –, –3] [1/6, +C) –, –1/6 3, +D) –, 1/6 [3, +E) N.A.
20. Resolver: 8 + 2x – x2 0A) [–2, 4] C) ] –2, 4[ E) N.A.B) [–2, 4[ D) ] –2, 4]
21. Resolver: x2 + 4x + 4 < 0A) ]–, –2[ C) ]–, 2[ E) B) ]–, –2] D) ]–2, +[
22. Resolver: x2 + x + 1 > 0A) B) C) –1 D) +1 E) N.A.
23. Resolver: x2 – 4x > 12 y dar como respuesta un intervaloA) ]– , –2[ C) ] –, 6[ E) N.A.B) [2, +] D) [–6, +]
24. Resolver: x (x + 5) – 4A) –, –4 C) –1, + E) [–4, –1]B) –4, + D)
25. Resolver: < 0
A) 0, –1 C) –1, 0 E) N.A.B) –1, 0] D) [–1, 0]
- 3 -
26. Resolver: 0
A) –, –2] –1, +B) –, –2] –1, + – {5}C) [–2,– 1]D) [–1, + – {5}E) –, –2 –1, + – {5}
27. Resolver:
A) [–3, –1] [3, + D) B) [–3, –1] 3, + E) N.A.C) – {3, 1}
28. Resolver:
A) –3, –2 2, + D) –, –1B) 2, + E) C) 3, +
29. Resolver:
A) –7, –1 D) –7, –1 1, 2B) 1, 2 E) [–7, –1 1, 2]C)
30. ¿Entre qué limites debe estar comprendido “n” para
que la inecuación: x2 + 2n x + n > 3/16, se verifique
para todo valor real de “x”?
A) 4 < n < 5 D) 1/4 < n < 5/4
B) 1/4 < n < 1/2 E) –1/4 < n < 3/4
C) 1/4 < n < 3/4
31. Resolver: (x – 3)3 (x2 – 1)2 (x – 1)5 x > 0
A) x –, 1
B) x –, –1 5, 12C) x 0, 1 3, +D) x –1, 0 1, 3E) N.A.
32. Resolver:
A) x 5, 6 8, +B) x –, 4 6, +C) x –, 3 7, 9]
D) x –, –6 , 4
E) N.A.
33. Resolver: 2
A) x –, 3 4, +B) x [–4, –1C) x –, 2 5, +D) x 5, 7E) N.A.
34. Resolver: <
A) x –, –3 2, +B) x –, 3 5, +C) x 3, 4 5, +
35. Resolver: 10 +
A) 7, 10 C) 7, 12 E) 7, 14B) 7, 11 D) 7, 13
36. Se tiene que:–1 < x – 1 < 1, entonces se cumple que:a < x2 – 1 < b donde:A) a + b = 2 C) a + b = –7 E) a + b = –9B) a + b = 12 D) a + b = 8
37. Resolver: >
A) x 5, +
B) x –62, –3 4, +C) x –15, –6 3, +
D) x 5, +
E) N.A.
38. Resolver la siguiente inecuación exponencial:
5x+6 <
A) – , –2 3 , D) 2 , 3B) – , –3 2 , E) –3 , –2C) – , 3 6 ,
39. Resolver: (0,1)2x–1 (0,01)5x+1 A) – , –3/8 C) 3/8 , 2] E) B) [3/8 , D) – , –3/8]
40. Resolver:
0
A) 1 , – {2} D) 2 , B) [1 , E) –2 , C) 1 ,
- 4 -
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