8.2 MA

– –1 3 6 +

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA

Método DE LOS PUNTOSMétodo DE LOS PUNTOS CRÍTICOSCRÍTICOS

Es utilizado para analizar la variación de los signos de

los factores lineales (de coeficientes reales) en una

multiplicación indicada (polinomio factorizado).

Para un polinomio P(x) = ax2 + bx + c 0 y ( 0 )

este método es el más indicado

Ejemplo:

Sea P(x) = (x – 3) (x + 1) (x – 6), las raíces son: –1, 3, 6.

Ubiquemos estos valores en la recta real.

Las raíces del polinomio particiona a la recta en 4 zonas

(intervalos).

Analicemos las variaciones.

Factor

Zona

x – 3 x + 1 x – 6 P(x)

x < –1

–1 < x < 3

3 < x < 6

x > 6

Si tratará de resolver P(x) > 0, tendríamos que el

C.S. =

Nota. Cuando formamos la inecuación polinomial los

valores de las raíces del polinomio toman el nombre de

puntos críticos.

Teoremas del trinomio (+/–)Teoremas del trinomio (+/–)Si el polinomio P(x) = ax2 + bx + c; {a, b, c}

tiene discriminante: ( 0 )

A. (a 0) P(x) 0; x

B. (a 0) P(x) 0; x

INECUACIONES EXPONENCIALESINECUACIONES EXPONENCIALESSon de la forma:

af(x) > ag(x) af(x) < ag(x) a 1

1° caso: Si: a > 1 , entonces se cumple:

af(x) > ag(x) f(x) > g(x)

af(x) < ag(x) f(x) < g(x)

2° caso: Si: 0 < a < 1 , entonces se cumple:

af(x) > ag(x) f(x) < g(x)

af(x) < ag(x) f(x) > g(x)

1. La solución de la inecuación:– x2 + 8x – 7 > 0

A) C) 0 < x < 7 E) N.A.B) –1 < x < 7 D) 1 < x < 7

2. Resolver: 0

A) [–5,2[ [6, 7] D) B) ] –, –5] ]–2, 6] [7, +[ E) N.A.C) [–5,6] – {2}

3. Resolver: < 2

A) ]0, 3/2[ D) ]–, 0[ ]3/2, + [B) ]0, 3/2] E) N.A.C) ]–, 0[ [3/2, + [

4. Resolver: 0

A) ]–6, 0[ D) B) ]–, –6] ]–4, 0[ E) N.A.C) [–6, –4[ ]0, +[

5. Resolver:

A) ]–1, –1/2] D) [–3, –1] [–1/2, +[B) [–1, –1/2] E) ]–3, –1[C) –3, –1 [–1/2, +[

6. Resolver: (x + 4) (x + 2) > 0. Dar como respuesta un intervalo

Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730

A) –, –4 C) [4, + [ E) N.A.B) D)

7. Resolver: (x + 2) (x + 2) > 0

A) ]–2, + ] C) [2, + [ E) ]2, + [

B) D) – {–2}

8. Resolver: (x – 1) (x – 1) < 0

A) ]–1, + ] C) ]1, + [ E) N.A.

B) D)

9. Resolver: (x + 6) (x + 6) 0

A) [–6, + [ C) {–6} E) ]–, –6]

B) D)

10. Resolver: x2 + 1 > 0

A) [–1, + [ C) {–1} E) ]–, –1]

B) D)

11. Resolver: x2 + 6x + 12 0

A) [–3, + [ C) {–3} E) N.A.

B) D)

12. Resolver: x2 + 2x + 2 < 0

A) [–2, + [ C) {–2} E) ]–, –2]

B) D)

13. Resolver:

A) 2, C) 3, 10 E) B) 3, D)

14. Resolver:

A) x –, 1] 3, +B) x –, 1 3, +C) x [1, 3]

D) x [–1, 3E) N.A.

15. Si x –2, 3, además:a < x2 + 10x – 3 < b

hallar b – aA) 55 B) –55 C) 36 D) 19 E) N.A.

1. Resolver: (x + 3) (x – 5) (x – 1) < 0A) –, –3 1, 5B) –, –3] [1, 5C) –, 1 3, 5D) –, 1 [3, 5E) N.A.

2. Resolver: (x – 1) (x – 4) (x + 7) > 0A) –7, 1 [4, +B) –1, 0] [4, +C) –7, 1 4, +D) –1, 4 [7, +E) N.A.

3. Resolver: (x + 2) (x – 1) (x – 3) (x + 5) 0A) –5, –2 1, 3B) –, –5] –2, 1C) –, –5 –2, 1 1, +D) [–5, –2] [1, 3]E) N.A.

4. Resolver:

A) –2, –1] 2, 3 [5, +B) –, –2] [–1, 2] [ 3, 5 ]C) –, –2 [–1, 2 [ 3, 5 ]D) [–2, –1] [2, 3]E) N.A.

5. Resolver: x2 – 7x + 10 0

A) x –, 2 5, +B) x [2, 5]

C) x [5, +D) x , 2E) N.A.

6. Resolver: x2 + 4x – 45 > 0

A) x –, –9 5, +B) x –, –15 3, +C) x [–9, 5]

D) x [–15, 3E) N.A.

7. Resolver: x2 – 13x + 30 < 0A) 2, 15 C) 3, 10 E) 7, 10B) 3, 12 D) 2, 7

8. Resolver: x2 – 3x + 2 0A) –, 1 C) [2, + E) 3, +

- 2 -

B) 2, + D) –, 1] [2, +

9. Resolver: x2 + 4x + 11 < 0A) 1, 3 C) –, 1 E) B) D) 2, +

10. Resolver: 2x2 + x – 1 < 0

A) –1, C) –2, E) 1, 7

B) –1, 5 D) –1,

11. Resolver: 0

A) [–1, 0] [2, +[ C) ]–1, 0] [2, +[ E) N.A.B) ]–1, 0[ ]2, +[ D)

12. Resolver: < 0

A) x –3, 4]

B) x –2, 8C) x –, 2 8, +D) x –, 3 5, +E) N.A.

13. Resolver: 0

A) x –, 6] 1, +B) x –, –6 2, +C) x –, –9] 1, +D) x –9, 1E) N.A.

14. Resolver: 0*

A) ]–, –3] [5, +[B) ]–, –3] ]–2, 0[ ]5, +[C) ]–, –3[ ]–2, 0[ ]5, +[D) ]–, –3] ]–2, 0[ [5, +[E) ]–2, 0[ ]5, +[

15. Resolver: > 0

A) ]–, –1[ ]0, 2[ ]3, +[B) ]–, –1] [0, 2] [3, +[C) ]–, –1[ ]0, 2[ [3, +[D) ]–, –1[ ]3, +[E) N.A.

16. Resolver:

A) ]4, + [ C) ]1, + [ E) ]–, 4[B) ]–, 1[ D) ]–, 1[ ]4, + [

17. Resolver:

A) ]–2, 3[ D) ]3, +[B) ]–, –2[ E) ]–, –2[ ]3, +[C) ]–, 3[

18. Resolver: 3x2 – 10x – 3 A) 1/3, 3 C) E) N.A.B) [1/3, 3] D) –, 3

19. Resolver: x (6x + 17) > 3A) –, –3 1/6, +B) –, –3] [1/6, +C) –, –1/6 3, +D) –, 1/6 [3, +E) N.A.

20. Resolver: 8 + 2x – x2 0A) [–2, 4] C) ] –2, 4[ E) N.A.B) [–2, 4[ D) ] –2, 4]

21. Resolver: x2 + 4x + 4 < 0A) ]–, –2[ C) ]–, 2[ E) B) ]–, –2] D) ]–2, +[

22. Resolver: x2 + x + 1 > 0A) B) C) –1 D) +1 E) N.A.

23. Resolver: x2 – 4x > 12 y dar como respuesta un intervaloA) ]– , –2[ C) ] –, 6[ E) N.A.B) [2, +] D) [–6, +]

24. Resolver: x (x + 5) – 4A) –, –4 C) –1, + E) [–4, –1]B) –4, + D)

25. Resolver: < 0

A) 0, –1 C) –1, 0 E) N.A.B) –1, 0] D) [–1, 0]

- 3 -

26. Resolver: 0

A) –, –2] –1, +B) –, –2] –1, + – {5}C) [–2,– 1]D) [–1, + – {5}E) –, –2 –1, + – {5}

27. Resolver:

A) [–3, –1] [3, + D) B) [–3, –1] 3, + E) N.A.C) – {3, 1}

28. Resolver:

A) –3, –2 2, + D) –, –1B) 2, + E) C) 3, +

29. Resolver:

A) –7, –1 D) –7, –1 1, 2B) 1, 2 E) [–7, –1 1, 2]C)

30. ¿Entre qué limites debe estar comprendido “n” para

que la inecuación: x2 + 2n x + n > 3/16, se verifique

para todo valor real de “x”?

A) 4 < n < 5 D) 1/4 < n < 5/4

B) 1/4 < n < 1/2 E) –1/4 < n < 3/4

C) 1/4 < n < 3/4

31. Resolver: (x – 3)3 (x2 – 1)2 (x – 1)5 x > 0

A) x –, 1

B) x –, –1 5, 12C) x 0, 1 3, +D) x –1, 0 1, 3E) N.A.

32. Resolver:

A) x 5, 6 8, +B) x –, 4 6, +C) x –, 3 7, 9]

D) x –, –6 , 4

E) N.A.

33. Resolver: 2

A) x –, 3 4, +B) x [–4, –1C) x –, 2 5, +D) x 5, 7E) N.A.

34. Resolver: <

A) x –, –3 2, +B) x –, 3 5, +C) x 3, 4 5, +

35. Resolver: 10 +

A) 7, 10 C) 7, 12 E) 7, 14B) 7, 11 D) 7, 13

36. Se tiene que:–1 < x – 1 < 1, entonces se cumple que:a < x2 – 1 < b donde:A) a + b = 2 C) a + b = –7 E) a + b = –9B) a + b = 12 D) a + b = 8

37. Resolver: >

A) x 5, +

B) x –62, –3 4, +C) x –15, –6 3, +

D) x 5, +

E) N.A.

38. Resolver la siguiente inecuación exponencial:

5x+6 <

A) – , –2 3 , D) 2 , 3B) – , –3 2 , E) –3 , –2C) – , 3 6 ,

39. Resolver: (0,1)2x–1 (0,01)5x+1 A) – , –3/8 C) 3/8 , 2] E) B) [3/8 , D) – , –3/8]

40. Resolver:

0

A) 1 , – {2} D) 2 , B) [1 , E) –2 , C) 1 ,

- 4 -