Elasticidad priemera clase

Así como los electrones están unidos a sus núcleos por fuerzas electromagnéticas, los átomos en un sólido también están ligados unos a otros por fuerzas electromagnéticas. ESTA FUERZA ELECTROMAGNETICA ES LA QUE SE REFIERE A LA FUERZA ELASTICA.

ESFUERZO Y DEFORMACION

Un sólido puede ser deformando en diferentes formas. Estas pueden ser divididas en tres categorías:

Cambios en longitud Cambios en orientación angular.

Tensión, compresión corte

Cambios en volumen

ESFUERZO.- Se lo define como la razón entre la fuerza y el área. Sus unidades son N/m2

A

F

F F

ESFUERZO DE TENSION

Area

larperpendicu Fuerza

A

F

A

definiciones

l

PROBLEMAPROBLEMA

Para que se cumplan las condiciones de seguridad necesarias, determinado cable de elevador ha de tener un esfuerzo máximo de 68.9X106 N/m2. Si tiene que sostener un elevador cargado con una masa total de 8820 kg, con una aceleración máxima hacia arriba de 1.524 m/s2. ¿Cuál debe se el diámetro del cable?

SOLUCION

F

mg

a

maFy mamgF

agmF

+

42d

agm

A

F

agmd

4

D=43mm

DEFORMACION UNITARIA

Si un cuerpo tiene una longitud inicial L y se estira o comprime una cantidad L cuando se aplica un esfuerzo, entonces la deformación unitaria es:

l

l Es una cantidad adimensional

Experimentalmente se encuentra que Es proporcional

a la fuerza deformadora pero inversamente proporcional a la sección transversal.

El

lE

A

F

CURVA MATERIAL DUCTIL

CURVA ESFUERZO - DEFORMACION UNITARIA

El límite de proporcionalidad es el esfuerzo hasta el que se puede aplicar la ley de Hooke.

Cuando se aplica un esfuerzo igual al límite elástico el material no se deforma permanentemente cuando se suprime el esfuerzo pero ya no se puede aplicar la ley de Hooke.

EJEMPLO

El hueso humano tiene un módulo elástico de aproximadamente E = 1.5x1010 N/m2 en compresión. El valor del límite elástico es σ = 1.7x108 N/m2. La sección transversal total de los huesos de la pierna es 1x10-3 m2 y su longitud 0.5m. ¿Cuánto decrece esta longitud cuando el hombre levanta un peso de 100 Kg.?

23

2

m 101

8.9.100

smkg

A

mg

A

F

25108.9m

N

210

25

105.1

108.9

mNm

N

E

5105.6

mll 5.0105.6 5 mml 033.0

continuación

¿Cuál es el máximo peso que puede levantar antes de que sus piernas queden deformadas permanentemente?

28107.1m

Nc AF c

232

8 101107.1 mm

NF

NF 5107.1

ESFUERZOS CORTANTES

Se producen esfuerzos cortantes cuando planos adyacentes dentro de un sólido se desplazan uno con respecto al otro.

L

AX

F

El esfuerzo cortante se define como la fuerza aplicada dividida para el área del plano paralelo a la dirección de la fuerza.

c

A

Fc

Deformación unitaria (cortante)

L

X

L

Xc

tan pero

tanc

pequeña. es si

continuación

L

AX

F

Donde G es el mòdulo de rigidez (cortante) el cual es una constante de proporcionalidad.

O equivalentemente:

En analogía al módulo Young:

aquí:

E

cG

LXA

FG

unitarian deformació

esfuerzo

El valor del Módulo G es usualmente alrededor de 1/3 a ½ del valor del módulo elástico.

EJEMPLO

Se transporta en un camión una gran pieza de maquinaria la cual va sobre un bloque de caucho para reducir vibraciones.

El bloque tiene 0.4 m de lado por 0.015 m de espesor. La pieza de maquinaria tiene una masa de 5000 kg.

El camión se mueve a 10 m/s cuando toma una curva con radio de curvatura de 50 m ¿Cuál es el desplazamiento horizontal de la carga?

26105m

NG

Necesito x: 224.0 donde mA

A

F

y F es la fuerza es la fuerza centrípeta.

L

XGG

rA

mvc

2

r

vmF

2

L

xG

rA

mv

2

2

622

2

22

1054.050

015.010.5000

mN

mm

msm

kgX

mmX 19.0

0.4m

0.4m

0.015m

rAG

LmvX

2

SOLUCION

EJEMPLO (casa)Una barra de sección transversal A está sometida en sus extremos a fuerzas tensoras F iguales y opuestas. Considere a un plano que corta a la barra y que forma un ángulo con un plano perpendicular a la misma.

a) ¿Cuál es el esfuerzo de tensión en este plano, en función de F, A y

FF

Ft

FA

A’

θ

F

FN

cos

cos

' AF

A

FN

SOLUCION

2cosA

F

b) ¿Cuál es el esfuerzo cortante en el plano, en función de F, A y ?

cos

' AFsen

A

Ft cossenA

F

c) ¿Para qué valor de es máximo el esfuerzo tensor?

0cos2

senA

F

d

d02 sen

A

F 00d) ¿Para qué valor de es máximo el esfuerzo cortante?

0cos22

senA

F

d

d cossen 045

EJEMPLO

Una barra cuadrada de acero, y otra similar de aluminio tienen las dimensiones indicadas en la figura, Calcúlese la magnitud de la fuerza P que hará que la longitud total de las dos barras disminuya 0.025 cm.

2626 107.0 ;102 cmkgcmkg Alacero

40 cm

30 cm

P

Barra de Acero

5 x 5 cm.

Barra de Aluminio

10 x 10 cm.

Acero30 cm.

40 cm.

P

P

P

P

Aluminio

ac

acac

ac L

L

A

P

PPA

LL

acac

acac

66

105

3

10225

30

PPA

LL

alal

alal

66

107

4

107.0100

40

.025.0 cmLL alac

continuación

.025.0 cmLL alac

025.0107

410

5

3 66

P

610025.07

4

5

3

P

610025.035

2021

P .5.2134110025.0

41

35 6 kgP

tan3.211000

tan1.5.21341

kgkgP tonP 3.21

continuación

Determinar la deformación en el extremo libre A de la barra AB causada por su propio peso. Dicha barra tiene un área transversal constante A y un peso por unidad de longitud de p0.

dx

dl dxl

dxE

l

dxExAxP

l

xpxP 0 AxA dxAE

xpl 0

Ll xdx

AE

pdl 0

00

Lx

AE

pl

0

20

2

AE

Lpl

2

20

AE

LLpl

2

)( 0 AE

WLl

2

Donde W es el peso de la barra.

L

A

Bx

dx

P(x)=p0x

a) Determinar el esfuerzo cortante medio en los pernos.

EJEMPLO

P=20KN

d=10mm200mm

5mm

25

5

2210

2

1

102

4

4cm

NN

d

P

d

P

281037.6m

N4P

4P

4P

2P

continuación

b) Determinar el esfuerzo normal máximo en la placa A

291105.0125.020 cmneta

25

5

109

2

9

102cm

Nmáx

20.0 cm.2

5max 10222.0

cm

Nx

ESFUERZO Y DEFORMACIÓN DE VOLUMEN

COEFICIENTE DE POISSON

La elongación producida por una fuerza F de tensión en dirección de la fuerza va acompañada por una contracción en la dirección transversal. Sin embargo, es incorrecto decir que el volumen de la barra permanece constante.

Se debe suponer que el material bajo consideración es homogéneo ( sus propiedades mecánicas son independientes del punto considerado)

También se debe suponer que el material es ISOTROPICO (sus propiedades mecánicas son independientes de la dirección considerada.

Coeficiente de Poisson

axial unitarian deformació

al transversunitarian deformació

x

y

El esfuerzo está aplicado en el eje X

EE x

xxx

xy

Ex

y

A pesar de que el esfuerzo ha sido aplicado en el eje X, existe una deformación en Y y en X.

Similarmente:Ex

z

Se observa que δy= δz

¿significa que ΔLy=ΔLz

La respuesta es NO, porque depende de las dimensiones iniciales de los lados Ly y Lz

F F

continuación

EJEMPLO

Una barra de 500 mm de largo y 16 mm de diámetro incrementa su longitud en 300 m y decrece en diámetro en 2.4 m cuando se somete a una carga axial de 12 kN. Determine el módulo de Young E y el coeficiente de Poisson del material ε.

L= 500 mm = 0.5 m

ΔL = 300x10-6 m

Δd = -2.4x10-6

d = 0.016 m

F =12000NF

y

z

ΔL

d

L

L

L

d

L

d

ΔL

L

d

y

continuación

EE x

xxx

LLdd

x

y

z

F

ΔL

d

L

LA

FLE

AE

F

L

L

m

m

mNE

62

103004

016.0

5.012000

2101095.9

mNE

5.010300

016.0104.2

6

6

25.0

Ahora se van a aplicar esfuerzos en todas las caras de un prisma.

xx E

Ex

x

xyx

y

Ex

y

xx

y

y

z

z x

y

z

xzx

z

Ex

z

Ex

x

Ex

y

Ex

z

continuación

yy E

Ey

y

yxy

x

Ey

x

E

yz

Ey

y

xx

y

y

z

z x

y

z

continuación

EEEzyx

x

EEEzyx

y

EEEzyx

z

GENERALIZACION

DE LA LEY

DE HOOKE

Los signos son válidos si todos los esfuerzos son de tensión.

EJEMPLO

Un bloque de acero se somete a una presión uniforme en todas sus caras. El lado AB se contrae 24 m. Determine:

a) El cambio de longitud en

los otros dos lados.

b) La presión P aplicada a las caras del bloque.

0.29 200 GPaE

EEEzyx

x

Pzyx

E

P

E

Px

2 12

E

Px

x

40mm

80mm

60mm

y

z

A B

C

D

3

6

1080

1024

AB

ABx L

L4103 x

continuación

4103 Como zyx x

40mm

80mm

60mm

y

z

A

B

C

D

mLL

LBC

BC

BCy

34 1040103

mLBC5102.1

mLL

LBD

BD

BDz

34 1060103

mLBD5108.1

12 E

Px

12

xE

P

129.02

10310200 42

9

mN

P

MPaP 9.142