Pf lecture2009

За математиката, математиците и за

науката изобщо

Доц. д.м.н. Стефка Буюклиева,

Катедра “Алгебра и геометрия”,

Педагогически факултет

Математиката в древността

Шумерите, египтяните и вавилонците разработват бройни системи и правила за смятане. Те разглеждали числата и геометричните фигури като практично средство в земемерството, търговията и съставянето на календари.

При тях обаче математиката не е самостоятелна дисциплина.

Древните гърци

систематизират математическите знания и ги развиват в отделна абстрактна дисциплина със своя собствена методология

Математиката

е част от един идеален свят - света на абстрактните

принципи, идеи и форми, определящи разумното

устройство на материалния свят.

математика

• μάθημα (мàтема) - наука, знание, познание;

• μαθηματικός (математикòс) - обичащ да учи

“Математиката е езикът, на който бог е написал вселената."

“Природата ни говори с езика на математиката, буквите на този език са кръгове, триъгълници и други математически фигури.”

Галилео Галилей

“Математиката е ключът на цялото човешко знание.”

Леонард Ойлер

Дали устройството на Вселената е

математическо по своята същност?

Можем ли да разработим теории за природата, които се основават на математически изчисления?

(1) Бог е сътворил света с математическа структура;

(2) Бог е сътворил човешките същества с ум, способен да разбере тази структура.

Галилей,

Нютон,

Кеплер,

Декарт

Математиката

• ключ към истината за Вселената;

• проникване във вътрешния строеж на сътворения ред;

• аксиоматичният метод в математиката - образец за всяко истинско научно изследване;

• залог за непогрешимо познание.

Още гърците започват да си задават въпроса как придобиваме математически познания.

Изобретяваме ли в математиката или откриваме?

• Дали когато математиците получат своите резултати, те просто произвеждат сложни умозрителни конструкции, които не са реалност?

• Или математиците разкриват истини, които просто са ,,налице" - истини, чието съществуване е съвсем независимо от дейността им?

Философски основи на математиката

• Платонизъм –числата са абстрактни, но реално съществуващи обекти, независимо от човешкия ум (Kurt Gödel).

• Формализъм – същността на математиката е математическият език. Тя е просто поредица от игри... (David Hilbert).

• Интуитивност – математиката е създадена от човешкия ум. Числата, също като приказните герои, са въображаеми създания, които не биха съществували, ако нямаше разумни същества, които да мислят за тях (L. E. J. Brouwer).

• Математиката е наука, която съставя необходими заключения

• Наука за моделите и закономерностите, за връзките между обектите

• Основен въпрос в математиката: Защо?

Основни идеи в математиката

Абстракция

Обосновка, разсъждение (Reasoning)

Обобщение

Седемте моста на Кьонигсберг

• Как да се премине и то само по веднъж по всичките мостове?

Седемте моста на Кьонигсберг

• Броят на нечетните върхове (върхове, от които излизат нечетен

брой ребра) на графа винаги е четен. Невъзможно е да се начертае граф, който да има нечетен брой нечетни върхове.

• Ако всички върхове на графа са четни, то може, без да се вдига молива от листа, да се начертае граф, при това може да се започне от кой да е връх на графа и се завърши в същия връх.

• Граф с повече от два нечетни върха е невъзможно да се начертае с един замах.

Заключение: Графът на кьонигсбергските мостове има четири нечетни върха, следователно е невъзможно да се премине, и то само по веднъж по всичките мостове.

Кьонигсбергските мостове Теория на графите

Използва се при изучаване на транспортните и комуникационни системи, в частност, за маршрутизация на данните в Интернет.

В практическите задачи, графите представляват модел на реален обект. Ето няколко класически примера за реални обекти представяни чрез граф:

• транспортна мрежа — може да се представи чрез граф, в който върховете изобразяват селищата, а свързващите ги ребра — пътищата между тях. Теглото на всяко ребро ще представлява дължината на пътя.

• родословно дърво — насочен граф, в който хората се представят чрез върхове. Насочените ребра свързват родителите с децата им.

• компютърна мрежа — компютрите (върхове) и свързващите ги информационни канали (ребра).

Математическите концепции са приложими далеч извън контекста, в който първоначално са разработени.

Eugene Paul Wigner,

"The Unreasonable Effectiveness

of Mathematics

in the Natural Sciences“, 1960

Теория на Галоа • Еварист Галоа (1811 – 1832) • Ръкописът му е публикуван през 1846 г. Основна задача: Да се намери формула за

решаването на уравнения от степен 5.

Отговор: Няма обща формула. Задача 1: Да се раздели ъгъл на три равни части. Задача 2: Да се построи квадрат, равнолицев с

даден кръг. Приложения в съвременната алгебра, кодиране

на информацията, криптография...

Простите числа

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...

• Известни са от дълбока древност.

• Простите числа са безброй много

• Всяко цяло число >1 се представя като произведение на прости числа

• Най-голямото известно просто число: (12978189 цифри, открито 2008 г.)

243112609 − 1

Electronic Frontier Foundation предлага награда от

$100,000 за първото намерено просто число с над 10 милиона цифри;

$150,000 за първото намерено просто число с над 100 милиона цифри;

$250,000 за първото намерено просто число с над 1 милиард цифри.

Простите числа

Приложение в криптографията:

- криптосистеми с публичен ключ;

- схеми за електронен подпис;

- хеш-функции и таблици;

- генериране на псевдослучайни числа и редици.

Простите числа

Простите числа – нерешени проблеми

• Хипотеза на Риман: Простите числа са разпределени максимално равномерно. Повечето математици считат, че хипотезата е вярна.

• Хипотеза на Голдбах: Всяко четно число, по-голямо от 2, може да се представи като сума на две прости числа.

• Хипотеза за простите близнаци: Има безброй много прости числа близнаци, тоест двойки от прости числа с разлика 2, като например 5 и 7 или 11 и 13.

• Редицата на Фибоначи съдържа безброй много прости числа.

• Хипотеза на Льожандър: Винаги има просто число между n2 и (n + 1)2 за всяко n.

• Хипотеза на Брокар: Винаги има поне четири прости числа между квадратите на последователни прости числа, по-големи от 2.

За научните изследвания

• Създава се академична атмосфера.

• Повишава се квалификацията на преподавателите (и студентите).

• Създават се школи.

Какво е научно изследване в математиката?

• Решаване на актуални проблеми, които не са били решени досега.

• Нови изследвания и идеи.

Пример: Съществува ли даден математически обект с определени свойства и защо (да или не)?

Един от мойте научни проблеми

Съществува ли екстремален самодуален двоичен код с дължина 72?

• Ако да, това води до конструирането на комбинаторни 5-дизайни и други интересни структури;

• Ако не, това поставя под съмнение съществуването на екстремални самодуални кодове за големи дължини.

Съществува ли екстремален самодуален двоичен код с

дължина 72?

• N.J.A. Sloane, Is there a (72,36), d=16 self-dual code? IEEE Trans. Info. Theory, 1973.

• John Conway, Vera Pless, Clement Lam, Harold Ward, Masaaki Harada, Patrick Sole, Steven Dougherty, Aaron Gulliver, W.C. Huffman, Wolfgang Willems, Eamon O’Brian, В.Йоргов, Ст.Додунеков

"If we knew what it was we were doing, it would not be called research, would it?"

"No amount of experimentation can ever prove me right; a single experiment can prove me wrong."

“Мисля и размишлявам с месеци. В деведесет и девет от случаите изводите ми са погрешни. На стотния път съм прав.”

Albert Einstein