Circuits Chp.3 RéGime SinusoïDal Permanent

Chapitre 3

REGIME SINUSOIDAL PERMANENT

Prof. Mourad ZEGRARI

2Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Plan

Caractéristiques des signaux périodiques

Grandeur sinusoïdale

Étude des circuits en RSP

Puissances en RSP

Circuits résonnants

3Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Grandeur périodique -alternative

Grandeur périodique

i(t+T) = i(t) : reproduction au bout de la période T.

Grandeur alternative

Alternativement positive et négative au bout de T.

Symétrique

Égalité des aires positifs et négatifs.

4Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Valeur Moyenne

Intensité du courant continu transportant la même quantité de

charge :

Charge transportée

Courant moyen

I

t0

Q

Imoy

Régime continu

T.Idt)t(i)t(q moy

T

0

0T t

i(t)

Imoy

Régime périodique

Q

T

0moy dt)t(i

T1

I

5Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Valeur Efficace

Intensité du courant continu produisant la même puissance

électrique :

Puissance produite

Courant efficaceR p(t) = R.i²(t)

Régime périodique

v(t)

i(t)

Régime continu

+

–

R P = R.Ieff²V

Ieff

)t(pP

T

0dt).t²(i

T1

Ieff

6Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Exemple 3.1

On considère le courant suivant :

Valeur Moyenne de i : Imoy = 5 mA

Valeur Efficace de i : Ieff = 11.18 mA

i(t)

15 mA

-5 mA

0 2 4 6 8t (ms)

7Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Grandeur sinusoïdale

Courant sinusoïdal : i(t) = Im cos(t+)

i(t) : intensité instantanée (A)

Im : valeur maximale (A)

t+ : phase instantanée (rad)

: phase à l’origine, t=0 (rad)

= 2f : pulsation (rad/s)

f : fréquence (Hz)

T = 1/f : période (s)

Im cosφ

i(t)

Im

t0 T

-Im

8Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Caractéristiques

Valeur moyenne :

Valeur efficace :

Signal à composante continue : i’(t) = I0 + Imcos(t+) Valeur moyenne :

Valeur efficace :

0dttiT1

IT

0moy

2

Idtt²i

T1

I mT

0eff

0moy I'I

2

IIII'I

2m2

02eff

20eff

9Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Exemple 3.2 : Composante continue

On considère le courant suivant :

Courant Moyen : Imoy = 30 mA

Courant Efficace : Ieff = 31.82 mA

i(t)

45 mA

15 mA

t0

10Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Représentations en RSP

Domaine temporelOn représente la forme d’onde de la grandeur en fonction du temps : i(t), v(t),..

Domaine de FresnelOn représente géométriquement les grandeurs par des vecteurs tournants : I, V,..

Domaine du phaseurOn représente symboliquement les grandeurs dans le plan complexe : I, V,..

11Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Domaine temporel : Formes d’onde

Courant : i(t) = Im cos(t+i)

Tension : v(t) = Vm cos(t+v)

Déphasage : = v – i

Le déphasage est donné par :

0t

v(t)

i(t)

v(t), i(t)

Période T

i(t)

v(t)

Dipôle

T2

12Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Déphasages

v(t)

t0

i(t)

= 0

i et v en phase.

i,vv(t)

t0

i(t)

= i et v en opposition de phase.

i,vv(t)

t0

i(t)

> 0

i en avance de phase sur v.

i,v

v(t)

t0

i(t)

= -/2

i en quadrature arrière sur v.

i,vv(t)

t0

i(t)

< 0

i en retard de phase sur v.

i,vv(t)

t0

i(t)

= +/2

i en quadrature avant sur v.

i,v

13Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Domaine géométrique : Plan de Fresnel

On représente les vecteurs à l’instant t = 0 :

i(t) = Im cos(t+i) : Vecteur I de module Im et déphasé de i.

v(t) = Vm cos(t+v) : Vecteur V de module Vm et déphasé de v.

L’écart angulaire = v - i traduit le déphasage de i par rapport à v.

X

φv

O

ω+

ImVm φ

φi

Y

I

V

14Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Domaine du Phaseur : Plan complexe

On représente les vecteurs I et V dans le plan complexe :

i(t) = Imcos(t+i) = Re {Im ej(t+i)} : I = Imcosi + j Imsini

v(t) = Vmcos(t+v) = Re {Vm ej(t+v)} : V = Vmcosv + j Vmsinv

En pratique, on note : I = Im i et V = Vm v

Re

φv

O

ImVm φ

φi

Im

I

V

15Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Impédances et admittances

Impédance : ZQuotient des valeurs efficaces : Z = Veff / Ieff

Impédance complexe : ZQuotient des valeurs complexes : Z = V / I

Admittance complexe : YL’inverse de l’impédance complexe : Y = Z-1 = I / V

Lois d’association : Association en série : Zeq = ∑ Zi

Association en parallèle : Yeq = ∑ Yi

16Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Dipôles Linéaires : Résistance

Domaine du temps :

Domaine du phaseur : V = R I

Domaine de Fresnel : les vecteurs I et V sont en phase.

Ri(t)

v(t)

ti.Rtv

IV

17Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Dipôles Linéaires : Inductance

Domaine du temps :

Domaine du phaseur : V = jL I

Domaine de Fresnel : le vecteur I est en quadrature arrière sur le vecteur

V.

Li(t)

v(t)

dt

)t(diLtv

I

V

18Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Dipôles Linéaires : Condensateur

Domaine du temps :

Domaine du phaseur : V = -( j/C) I

Domaine de Fresnel : le vecteur I est en quadrature avant sur le vecteur V.

Ci(t)

v(t)

dt)t(iC1

tv

I

V

19Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Éléments Linéaires : Résumé

Élément Impédance Admittance

Résistance R ZR = R YR = G = 1/R

Inductance L ZL = jL YL = -j/L

Condensateur C ZC = -j/C YC = jC

20Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Impédance : Expression générale

En général, une impédance s’écrit :Z = R + jX

L’impédance Z s’écrit : Z = Z

et

²X²RZZ

RX

tgArcZArg

Résistance

Réactance

i(t)

v(t) Dipôle Electrique

D

R

i(t)

v(t)jX

Z = R + jX

21Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Impédance complexe

On peut calculer : Z = Z à partir des expressions de V et I :

et

IArgVArg

ReO

I

V

Im

φ

φi

φv

ReO

Z

Im

φ

R

XZ

I

VZZ

22Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Admittance complexe

En Régime Sinusoïdal Permanent :Y = G + jB

On peut établir l’équivalence suivante :

et

R

i(t)

v(t)jB

Conductance

Susceptance

i(t)

v(t) Dipôle Electrique

D

Y = G + jB

²X²RR

G

²X²R

XB

23Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Analyse des circuits en RSP

Lois de Kirchhoff Loi des nœuds :∑Ik = 0 Loi des mailles :∑Vk = 0

Méthode des courants fictifs Théorèmes généraux

Théorème de Millman Théorème de superposition Théorème de Thévenin Théorème de Norton

24Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Étapes de synthèse

1. Transformer le circuit dans le domaine des phaseurs

Remplacer chaque élément par son impédance en RSP.

2. Établir les phaseurs des courants et des tensions

Représenter chaque grandeur par son phaseur.

3. Établir les équations d’équilibre

Appliquer les lois et les théorèmes de base de l’électrocinétique

4. Résoudre les équations des phaseurs

Déterminer le module et la phase des différentes grandeurs mises en jeu.

25Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Exemple d’étude

Phaseur du courant :Zeq = 20 + j10.48 = 22.58 27.7° ; IS = 0.44 -27.7° A

Phaseurs des tensions :VR = 8.8 -27.7° V ; VL = 22.12 62.3° V ; VC = 17.51 -62.3° V

R = 20 is

C = 10 µF

L = 20 mH

vS

vR

vC

vS(t) = 10 cos(800t)

On considère le circuit suivant :

vL

26Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Puissance instantanée

Un dipôle parcouru par i et soumis à v tel que :

i(t) = Im cos(t+i) ; v(t) = Vm cos(t+v)

La puissance instantanée p(t) est le produit des valeurs

instantanées de i et de v :

p(t) = v(t) . i(t)

En considérant les valeurs efficaces I et V on obtient :

iviv t2cosVIcosVItp

Composante continue

Puissance Moyenne

Composante alternative

Puissance Fluctuante

27Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

t

v(t)

i(t)

t

t

p(t)

Puissance moyenneVIcosφ

VI

Puissance instantanée

28Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Puissance active

C’est la valeur moyenne de la puissance instantanée p(t) :

P = < p(t) >

En posant : = v - i on peut écrire :

P = V I cos La puissance P correspond à des effets observables

physiquement. La nature de fonctionnement est donné selon le signe de P :

P > 0 : le dipôle consomme de la puissance : Récepteur P < 0 : le dipôle fournit de la puissance : Générateur

29Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Puissance réactive

Elle est donnée par la relation :

Q = V I sin

La puissance réactive correspond à des effets non

observables physiquement. Elle traduit les échanges

d’énergie entre la source et une inductance ou un

condensateur.

30Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Puissance apparente

C’est le produit des valeurs efficaces du courant et

de la tension :

S = V I

La puissance apparente correspond à la puissance

maximale que peut dissiper le dipôle. Il s'agit surtout

d'une puissance de dimensionnement pour les

transformateurs et les lignes d'alimentation.

31Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Puissance complexe

Si on représente les puissances dans le plan complexe :

On en déduit :

On montre que :

jQPS

ReO

Im

φ

PPuissance

active

Puissance réactive

QPuissance complexeS

Puissance

apparenteS

²Q²PS

PQ

tg

*I.V21

S

32Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Répartition des puissances

On considère une impédance : Z = R + jX

La puissance dissipée dans l’impédance Z est :

Puissance activeP = R I²

Puissance réactiveQ = X I²

i(t)

v(t) Z = R + jXD

R

i(t)

v(t)jX

²jXI²RIjQPS

33Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Puissances en RSP : Résumé

Puissance complexe :

Puissance apparente : S = │S│ = VI (VA)

Puissance active : P = Re {S} = VI cos (W)

Puissance réactive : Q = Im {S} = VI sin

(VAR)

Facteur de puissance : Fp = P/S = cos

*I.V21

S

34Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Facteur de puissance

Pour une puissance active donnée, plus le facteur de

puissance est faible, plus la puissance apparente est

grande et plus le courant sur la ligne est élevé.

Ceci entraîne des équipements d'alimentation (ligne

de transport, transformateurs) de grande capacité

ainsi que des pertes Joule sur la ligne de transport

trop élevées.

35Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Compensation du facteur de puissance

Afin d'augmenter le facteur de puissance de l'installation, on

connecte en parallèle un condensateur de valeur appropriée.

Avant :

P , Q , S ;

Après :

P , Q’ , S’ ; ’

Le condensateur fournit la puissance réactive nécessaire pour

compenser celle absorbée par la charge inductive.

P

Q

S

QC

S’

Q’

36Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Résonance dans les circuits RLC

On considère un circuit RLC alimenté par une source de tension sinusoïdale vS de pulsation variable :

L’impédance du circuit :

Z = Z(j)

Le circuit est en résonance à la pulsation 0 si l’impédance Z(j) est purement résistive à cette fréquence :

Z(j0) = R0 = réelle

iS

vS Circuit RLC

A

B

Z(j)

37Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Facteur de qualité

Ce facteur est définit comme :

Où : Wm : valeur maximale de l’énergie emmagasinée.

Wd : énergie dissipée pendant une période :

QL : puissance réactive totale dans les inductances.

QC : puissance réactive totale dans les condensateurs.

P : puissance active totale dissipée dans les résistances.

P

Q

PQ

WW

2Q CL

d

m

00

2T

38Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Résonance série

L’impédance du circuit est :

La pulsation de résonance est :

Le facteur de résonance est :

C1

LjRjZ

C

iSR L

vS Z(j)

LC

10

0

0

CR1

R

LQ

39Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Résonance parallèle

L’impédance du circuit est :

La pulsation de résonance est :

Le facteur de résonance est :

²L²²LC1²R

²LC1²LRjR²L²jZ

C

iS

R LvS Z(j)

LC

10

00

CRLR

Q

40Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Résonance série-parallèle

L’impédance du circuit est :

La pulsation de résonance est :

Le facteur de résonance est :

²RC1

C²RLj

)²RC(1R

jZC

iS

R

L

vS Z(j)

C²RL

1LC

10

0CRQ

41Électricité de base © M. ZEGRARI 2009

Résonance parallèle-série

L’impédance du circuit est :

La pulsation de résonance est :

Le facteur de résonance est :

²RC²²LC1

C²R²LC1LjRjZ

C

iS

R

L

vSZ(j)

LC²R

1LC

10

R

LQ 0