1

บทท 1

บทน า

ทมาและความส าคญของโครงงาน โดยทวไปแลวรายวชาคณตศาสตรมลกษณะเปนนามธรรม มโครงสรางทประกอบดวย ค านยาม บทนยาม สจพจน ทเปนขอตกลงเบองตน จากนนจงใชการใหเหตผลทสมเหตสมผลสรางทฤษฎบทตาง ๆ ขนและน าไปใชอยางเปนระบบ คณตศาสตรมความถกตองเทยงตรง คงเสนคงวา มระเบยบแบบแผนเปนเหตเปนผล และมความสมบรณในตวเอง หรอกลาวไดวาคณตศาสตรเปนศาสตรและศลปทศกษาเกยวกบแบบรปและความสมพนธ เพอใหไดขอสรปและน าไปใชประโยชน คณตศาสตรมลกษณะเปนภาษาสากลททกคนเขาใจตรงกนในการสอสาร (สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. 2544 : 2) สามารถน าประสบการณทางดานความร ความคดและทกษะทไดไปใชในการเรยนรสงตาง ๆ และใชในชวตประจ าวน ในการเรยนคณตศาสตรมบทนยาม ทฤษฏบท และสตรตาง ๆ มาใชอยางหลากหลาย โดยเฉพาะอยางยงในรายวชาคณตศาสตรของระดบชนมธยมศกษาตอนปลาย รวมการประยกตกบเรองอน ๆ ความรความเขาใจจะเปนพนฐานทส าคญในการเรยนตอในระดบทสงขน เนองจากในชวตประจ าวนของผศกษาเองไดน าอาหารทมลกษณะเปนทรงกลม เชน สม,แตงโม,สมโอ,เคก,พซซา,โดนส เปนตน มาโรงเรยนเพอทจะแบงใหเพอนๆ ใหไดคนละเทาๆ กน โดยไมใหใครมากหรอนอยโดยการใชมดผาซงเปนการคาดปรมาณเองแลวในในบางครงปรมาณของแตละบคคลทแบงกไมเทากน เราจงคดทจะน าความรเรองมมในตรโกณมตมาประยกตใชในการแบงอาหารทมลกษณะเปนทรงกลมใหไดปรมาณอาหารท เทา ๆ กน

วตถประสงค

1. เพอหาวธการในการแบงอาหารทมลกษณะเปนทรงกลมใหไดในปรมาณทเทาๆ กน กบจ านวนคน

2. เพอน าวชาคณตศาสตรเรองตรโกณมตในระดบชน ม. 5 มาประยกตใชในชวตประจ าวน

3. เพอสรางแนวคดในการพฒนาสงประดษฐทางดานวทยาศาสตรตอไป

2

ขอบเขตของการศกษา 1. จดท าโครงงานระหวางวนท 26 ธนวาคม 2558 ถง วนท 20 กมภาพนธ 2559 2. เนอหาทเกยวของกบวชาคณตศาสตร 2.1 เรองวงกลม ม.3 2.2 เรองตรโกณมตในระดบชน ม.5

นยามศพทเฉพาะ

1. อาหารรปทรงกลม หมายถง คออาหารทรปเรขาคณตบนระนาบซงทกๆ จดบนรปเรขาคณตนอยหางจากจดคงทจดหนงบนระนาบเดยวกนเปนระยะเทากนเรยกจดคง 2. ฟงกชน ตรโกณมต หมายถง ฟงกชนของมม ซงมความส าคญในการศกษารปสามเหลยมและปรากฏการณในลกษณะเปนคาบ 3. เสนสมผสวงกลม หมายถง คอเสนตรงทตดวงกลมเพยงจดเดยวเทานนและเรยกจดตดนน 4. เสนผาศนยกลางวงกลม หมายถง คอความยาวเสนตรงทผานจดศนยกลางวงกลมโดยทปลายทงสอง

ผลทคาดวาจะไดรบ

1. ไดรถงสงในการแบงของทมลกษณะเปนทรงกลมใหไดในปรมาณทเทาๆ กบกบจ านวนคน 2. ไดน าความรทางดานวชาคณตศาสตร เรองตรโกณมตมาประยกตใชในชวตประจ าวน

3. ไดรถงแนวคดในการสรางสงประดษฐทางดานวทยาศาสตรและคณตศาสตรตอไป

3

บทท 2

เอกสารทเกยวของ

ในการท าโครงงาน เรอง อาหารทรงกลมแบงใหเทาเพราะเรารตรโกณฯ มเนอหาวชาคณตศาสตรทเกยวของ ดงน 1. ฟงกชนตรโกณมต 2. วงกลม 2.1 รศม 2.2 เสนผานศนยกลาง 2.3 เสนสมผสวงกลม

ฟงกชนตรโกณมต (องกฤษ: Trigonometric function) คอ ฟงกชนของมม ซงมความส าคญในการศกษารปสามเหลยมและปรากฏการณในลกษณะเปนคาบ ฟงกชนอาจนยามดวยอตราสวนของดาน 2 ดานของรปสามเหลยมมมฉาก หรออตราสวนของพกดของจดบนวงกลมหนงหนวย หรอนยามในรปทวไปเชน อนกรมอนนต หรอสมการเชงอนพนธ รปสามเหลยมทน ามาใชจะอยในระนาบแบบยคลด ดงนน ผลรวมของมมทกมมจงเทากบ 180° เสมอ

ในปจจบน มฟงกชนตรโกณมตอย 6 ฟงกชนทนยมใชกนดงตารางขางลาง (สฟงกชนสดทายนยามดวยความสมพนธกบฟงกชนอน แตกสามารถนยามดวยเรขาคณตได)

ตาราง 1 แสดงความสมพนธทางตรโกณมต

ฟงกชน ตวยอ ความสมพนธ ไซน (Sine) sin

โคไซน (Cosine) cos

แทนเจนต (Tangent) Tan (หรอ tg)

4

ฟงกชน ตวยอ ความสมพนธ โคแทนเจนต (Cotangent) cot

(หรอ ctg หรอ ctn)

ซแคนต (Secant) sec

โคซแคนต (Cosecant) csc

รปภาพ 1 แสดงมมเรเดยน

วงกลม(Circle) 1. วงกลม เปนรปเรขาคณตบนระนาบซงทกๆ จดบนรปเรขาคณตนอยหางจากจดคงทจดหนงบนระนาบเดยวกนเปนระยะเทากนเรยกจดคงทนวา จดศนยกลาง (Center) 2. รศม (Radius) คอระยะจากจดศนยกลางถงเสนรอบวง 3. เสนผานศนยกลาง (Diameter) คอความยาวเสนตรงทผานจดศนยกลางวงกลมโดยทปลายทงสอง 4. เสนสมผสวงกลม (Tangent line) คอเสนตรงทตดวงกลมเพยงจดเดยวเทานนและเรยกจดตดนนวา จดสมผส (point of tangency)

5

รปภาพ 2 แสดงเสนของวงกลมตาง ๆ

O เปนจดศนยกลาง OA เปนรศมวงกลม BC เปนเสนผานศนยกลางวงกลม DE เปนคอรดของวงกลม L1 เปนเสนตดวงกลม โดยตดวงกลมทจด F และ G L2 เปนเสนสมผสวงกลมทจด H

ทฤษฎ เสนสมผสวงกลม จะตงฉากกบรศมของวงกลมทจดสมผส

รปภาพ 3 แสดงเสนสมผสลากมาตงฉากกบเสนผานศนยกลาง

6

บทท 3

วธการด าเนนการ วธด าเนนการโครงงานคณตศาสตร เรอง อาหารทรงกลมแบงใหเทาเพราะเรารตรโกณฯคณะผจดท าไดด าเนนการดงน

1. ขนการวางแผนการด าเนนงาน

กลมผจดท าโครงงานไดวางแผนการด าเนนงาน ดงน 1. รวบรวมสมาชกทมความสนใจในเรองเดยวกน เพอเขากลมท าโครงงานคณตศาสตร 2. ตงชอเรองโครงงานคณตศาสตร 3. เขยนเคาโครงโครงงานคณตศาสตร 4. ก าหนดแผนปฏบตงานโครงงานคณตศาสตร 5. แบงหนาทใหทกคนไปศกษาขอมลเกยวกบโครงงานคณตศาสตร 6. รวบรวมขอมลทเกยวของเกยวกบการท าโครงงานคณตศาสตร ไดแก มมทางตรโกณมต และเสนสมผสวงกลมกบเสนผานศนยกลาง 7. การวเคราะหขอมล โดยการหารปแบบการค านวณในการแบงอาหารทมลกษณะเปนทรงกลม 8. สรปการด าเนนงาน 9. จดท ารปเลมโครงงาน 10. ตรวจสอบความถกตองของโครงงาน 11. น าเสนอโครงงาน

7

2. ขนการด าเนนงาน 1. คนควา ศกษาขอมล หลกการ เนอหาวชาคณตศาสตร บทนยามและทฤษฎทเกยวของ กบมมทางตรโกณมต และเสนสมผสวงกลมกบเสนผานศนยกลาง 2. รวบรวมขอมลเกยวกบการพสจนและการใหเหตผล 3. วเคราะหขอมล โดยการหารปแบบการค านวณในการแบงอาหารทมลกษณะเปนทรงกลมใหไดในจ านวนทเทากน 4. น าเสนอขอมลในรปแบบของตาราง การหาวธการค านวณในการแบงอาหารทมลกษณะเปนทรงกลมใหไดในปรมาณทเทากน 5. จดท ารายงานรปเลมโครงงานคณตศาสตร และแผงส าหรบแสดงโครงงานคณตศาสตรโดยก าหนดใหแผงส าหรบแสดงโครงงานคณตศาสตรตามขนาดมาตรฐาน 6. น าเสนอการจดท าโครงงาน คณตศาสตร ใหกบผทสนใจ 3. ปฏทนปฏบตงาน

วนท/เดอน/ป การด าเนนงาน ผรบผดชอบ 26 ธนวาคม 2558 รวบรวมสมาชกทมความสนใจในเรองเดยวกน เพอเขา

กลมท าโครงงานคณตศาสตร สมาชกทกคน

9-10 มกราคม 2559 ตงชอเรองโครงงานคณตศาสตร สมาชกทกคน 12-13 มกราคม 2559 เขยนเคาโครงโครงงานคณตศาสตร สมาชกทกคน 16 มกราคม 2559 ก าหนดแผนปฏบตงานโครงงานคณตศาสตร สมาชกทกคน 18-24 มกราคม 2559 แบงหนาทใหทกคนไปศกษาขอมลเกยวกบโครงงาน

คณตศาสตร สมาชกทกคน

25-30 มกราคม 2559 รวบรวมขอมลทเกยวของเกยวกบการท าโครงงานคณตศาสตร ไดแก มมทางตรโกณมต และเสนสมผสวงกลมกบเสนผานศนยกลาง

สมาชกทกคน

2-8 กมภาพนธ 2559 การวเคราะหขอมล โดยการหารปแบบการค านวณในการแบงอาหารทมลกษณะเปนทรงกลม

สมาชกทกคน

8-10 กมภาพนธ 2559 สรปการด าเนนงาน สมาชกทกคน 10-15กมภาพนธ 2559 จดท ารปเลมโครงงาน สมาชกทกคน

8

วนท/เดอน/ป การด าเนนงาน ผรบผดชอบ 15-16กมภาพนธ 2559 ตรวจสอบความถกตองของโครงงาน สมาชกทกคน 20 กมภาพนธ 2559 น าเสนอโครงงาน สมาชกทกคน

9

บทท 4

ผลการด าเนนการ

จากการด าเนนการหารปแบบความสมพนธการแบงอาหารทรงกลมดวยตรโกณมต น าเสนอรปแบบความสมพนธไดดงน 1. หาเสนผานศนยกลาง โดยการทาบไมบรรทดสมผสกบขอบของอาหาร แลวลากจากจดสมผสใหตงฉากกบอาหารทเราจะใชแบง จากนนให แทนเสนผานศนยกลาง A A B

รปภาพ 4 แสดงเสนสมผสไปตงฉาก

2. แบงเสนผานศนยกลาง โดยหา รศม ( r ) จาก r =

โดย ความยาวเสนผานศนยกลาง

A B

รปภาพ 5 แสดงจดกงกลาง

10

3. การผาในแตละครง สามารถหาไดจาก

=

คนท 1 ได 1 ครงท

คนท 2 ได 2 ครงท

คนท 3 ได 3 ครงท เมอ คอ จ านวนคน คอ มม คนท ได ครงท

เชน คณครซอพซซามาหนงถาดใหนกเรยนทกคนในหอง ม.5/10 ซงมนกเรยน 12 คน ตองการแบงใหกบทก ๆ คน โดยใหไดคนละ เทา ๆ กน จากโจทย A A B

รปภาพ 6 แสดงเสนสมผสไปตงฉากของพซาซา ระยะ ยาว 30 เชนตเมตร

หาเสนผานศนยกลาง

=

= 15

15 cm

รปภาพ 7 แสดงจดกงกลางของพซซา

11

= เมอ คอ คน

คนท 1 ได 1 ครงท

คนท 2 ได 2 ครงท

คนท 3 ได 3 ครงท คนท 4 ได 4 ครงท คนท 5 ได 5 ครงท คนท 6 ได 6 ครงท คนท 7 ได 7 ครงท คนท 8 ได 8 ครงท คนท 9 ได 9 ครงท คนท 10 ได 10 ครงท คนท 11 ได 11 ครงท คนท 12 ได 12 ครงท

มมทได จากการแบง

คนท 2 คนท 1 คนท 12 15 cm คนท 3 คนท 11

คนท 4 30° 30° คนท 10

30° คนท 5 คนท 9 คนท 6 คนท 7 คนท 8

รปภาพแสดง 8 มมในการแบงแตละคน

12

จากการแบงอาหาร จะไดวา พซซามเสนผานศนยกลาง 30 เซนตเมตร และจ านวน

นกเรยนม 12 คน จะไดวา มรศมเทากบ 15 เซนตเมตร แล ะไดมมคอ

30 ,

m=30 คนท 1 ได 1 ครงท , คนท 2 ได 2 ครงท คนท 3 ได

3 ครงท , คนท 4 ได 4 ครงท , คนท 5 ได 5 ครงท

, คนท 6 ได 6 ครงท , คนท 7 ได 7 ครงท , คนท 8 ได 8 ครงท , คนท 9 ได 9 ครงท , คนท 10 ได 10 ครงท

, คนท 11 ได 11 ครงท , คนท 12 ได 12 ครงท

จากการแบงอาหารทมลกษณะเปนทรงกลม สามารถหาไดโดยการทราบเสนผานศนยกลางของอาหารนน ๆ โดยการทาบไมบรรทดสมผสกบขอบของอาหาร แลวลากจากจดสมผสใหตงฉากกบอาหารทเราจะใชแบง จากนนให แทนเสนผานศนยกลาง แลวหารศม

( r ) จาก r =

ตอจากนนจะเปนการหมน หมนโดยการหาจาก

เมอ n คอ จ านวนคน

จะไดคนละ

= m มอ m คอ มม หมนไปเลอย ๆ จนครบจ านวนคน ( n ) คอ ครบ 360

องศา โคยตดทละ โดยตองเรมจากจดสมผสกบไมบรรทดเสมอ

13

บทท 5

สรป อภปรายผล และขอเสนอแนะ

สรปผล จากการด าเนนการหารปแบบความสมพนธการแบงอาหารทรงกลมดวยตรโกณมต น าเสนอรปแบบความสมพนธไดดงน 1. หาเสนผานศนยกลาง โดยการทาบไมบรรทดสมผสกบขอบของอาหาร แลวลากจากจดสมผสใหตงฉากกบอาหารทเราจะใชแบง จากนนให แทนเสนผานศนยกลาง

2. แบงเสนผานศนยกลาง โดยหา รศม ( r ) จาก r =

โดย ความยาวเสนผานศนยกลาง

3. การผาในแตละครง สามารถหาไดจาก

=

คนท 1 ได 1 ครงท

คนท 2 ได 2 ครงท

คนท 3 ได 3 ครงท คนท ได ครงท เมอ คอ จ านวนคน คอ มม

14

อภปรายผล จากการแบงอาหารทมลกษณะเปนทรงกลม สามารถหาไดโดยการทราบเสนผานศนยกลางของอาหารนน ๆ โดยการทาบไมบรรทดสมผสกบขอบของอาหาร แลวลากจากจดสมผสใหตงฉากกบอาหารทเราจะใชแบง จากนนให แทนเสนผานศนยกลาง แลวหารศม

( r ) จาก r =

ตอจากนนจะเปนการหมน หมนโดยการหาจาก

เมอ n คอ จ านวนคน

จะไดคนละ

= m มอ m คอ มม หมนไปเลอย ๆ จนครบจ านวนคน ( n ) คอ ครบ 360

องศา โคยตดทละ โดยตองเรมจากจดสมผสกบไมบรรทดเสมอ สามารถสรางความสมพนธในการแบงอาหารใหไดในปรมาณทเทากน เพอชวยในการค านวณในการแบงอาหาร สรางความเขาใจในการสรปความเขาใจทางคณตศาสตรอยางเปนรปธรรม

ขอเสนอแนะ 1. ควรทจะมการจดแบงอาหารในลกษะรปทรงเรขาคณตแบบอน ๆ 2. ควรทจะมการวดปรมาตรอาหารทแบงใหไดในปรมาตรทเทากนดวย 3. ควรทจะมการแบงในรปแบบอน ๆ ทไมใหเทากนแลวแตความตองการ