Тема 3. Тригонометричні функції

Ю.Марчук Курс лекцій з математики

СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС, КОТАНГЕНС КУТА З геометрії відомо основні співвідношення в прямокутному трикутнику. Пригадаємо їх.

Розглянемо коло радіуса R у прямокутній системі координат. Положення деякої точки А кола можна

задати через координати цієї точки, або кутом φ, на який повернеться радіус кола ОА=R від деякого початкового положення OR до точки А. Використовуючи співвідношення у прямокутному трикутнику, можна встановити зв'язок між координатами точки А і кутом повороту радіуса кола. Одержимо:

R

y=ϕsin ;

R

x=ϕcos ;

x

ytg =ϕ ;

y

xctg =ϕ

Синусом кута φ називається відношення ординати точки А(х; у) кола до радіуса R цього кола.

Косинусом кута φ називається відношення абсциси точки А(х; у) кола до радіуса R цього кола. Тангенсом кута φ називається відношення ординати точки А(х; у) кола до абсциси цієї точки. Котангенсом кута φ називається відношення абсциси точки А(х; у) кола до ординати цієї точки.

Поняття градуса:

- Кутовий градус – це 180

1 частина розгорнутого кута;

- Дуговий градус – це 180

1 частина дуги розгорнутого кута.

Загальноприйнятим є відкладання додатних кутів проти ходу

стрілки годинника, а від'ємних – за ходом годинникової

стрілки.

Радіанна міра кута

Крім градусної міри кута в математиці використовують ще одну одиницю вимірювання кута – радіан. Розглянемо два концентричних кола з радіусами R1 і R2 та два центральні кути α і β (α < β).

Встановлено, що для одного і того ж центрального кута відношення дуг концентричних кіл до їх радіусів є величиною сталою. Це відношення

залежить тільки від величини кута. Отже, nR

l

R

l==

2

2

1

1 і mR

l

R

l==

2

'

2

1

'

1

Якщо α < β, то n < m.

Дане відношення взято за міру кута: aR

l= , де а – число.

Число а характеризує величину даного центрального кута.

В радіанній системі за одиницю вимірювання кутів і дуг взято величину центрального кута, для

якого довжина відповідної дуги дорівнює довжині радіуса.

c

b=ϕsin

c

a=ϕcos

ab

tg =ϕ ba

ctg =ϕ

Тема: Тригонометричні функції

При l = R a = 1 рад (радіан) Градусна міра розгорнутого кута – 180

о. Радіанна міра розгорнутого кута – π рад.

Перехід від градусної міри кута до радіанної: o

o

a α

π

⋅=

180.

Перехід від радіанної міри кута до градусної: a

o

o

⋅=

π

α

180.

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТУ Розглянемо одиничне коло (R=1) у системі координат. Позначимо на цьому колі точки Р, положення

яких визначається кутами 0 рад (0о), 6

π

рад (30о),4

π

рад (45о), 3

π

рад (60о), 2

π

рад (90о).

При побудові точок дугу кола ділимо на відповідну кількість рівних частин. Зверніть увагу, що кожному з цих кутів відповідає певна дуга одиничного кола. При R = 1 а = l (величина кута дорівнює відповідній дузі одиничного кола). Отже, кожному дійсному числу а на одиничному колі відповідає певна точка, положення якої визначається відповідною абсцисою і ординатою. Таким чином, між дійсним числом а і координатами точки одиничного кола існує залежність(відповідність), яку назвали тригонометричною функцією числового аргументу. Синусом числа а називається ордината точки Р одиничного

кола, в яку переходить початкова точка Ро(1; 0) при повороті навколо центра кола на кут а радіан. sin a = y

Косинусом числа а називається абсциса точки Р одиничного кола, в яку переходить початкова точка Ро(1; 0) при повороті навколо центра кола на кут а радіан.

cos a = x

Тангенсом числа а називається відношення a

a

cos

sin.

a

a

a

cos

sintg =

Котангенсом числа а називається відношення a

a

sin

cos.

a

a

a

sin

cosctg =

Знаки тригонометричних функцій

Синус Косинус Тангенс, котангенс


ОСНОВНІ СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ФУНКЦІЯМИ ОДНОГО АРГУМЕНТУ Основна тригонометрична тотожність: sin2α + cos2α = 1

Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу:

α

αα

cos

sin=tg , cos α ≠ 0

α

αα

sin

cos=ctg , sin α ≠ 0

1=⋅ αα ctgtg

αα

tgctg

1=

αα

ctgtg

1=

α

α2

2

cos

11 =+ tg

αα

2sin

11 =+ ctg

ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ

Формули зведення – це формули перетворення тригонометричних функцій кутів (90о ± α), (180о ± α), (270о ± α), (360о ± α) у тригонометричні функції гострого кута α.

Правило зведення:

- У правій частині рівності ставиться той знак, який має тригонометрична функція, що

зводиться;

- При зведенні тригонометричних функцій кутів (180о ± α), (360

о ± α) їх назви не змінюються, а

кутів (90о ± α), (270

о ± α) назви функцій змінюються: синус на косинус, косинус на синус, тангенс

на котангенс, котангенс на тангенс.

Формули зведення

sin (90о – α) = cos α

sin (90о + α) = cos α

cos (90о – α) = sin α

cos (90о + α) = –sin α tg (90о – α) = ctg α

tg (90о + α) = –ctg α

ctg (90о – α) = tg α ctg (90о + α) = –tg α

sin (180о – α) = sin α

sin (180о + α) = –sin α

cos (180о – α) = –cos α

cos (180о + α) = –cos α tg (180о – α) = –tg α

tg (180о + α) = tg α

ctg (180о – α) = –ctg α ctg (180о + α) = ctg α

sin (270о – α) = –cos α

sin (270о + α) = –cos α

cos (270о – α) = –sin α

cos (270о + α) = sin α tg (270о – α) = ctg α

tg (270о + α) = –ctg α

ctg (270о – α) = tg α ctg (270о + α) = –tg α

sin (360о – α) = –sin α

sin (360о + α) = sin α

cos (360о – α) = cos α

cos (360о + α) = cos α tg (360о – α) = –tg α

tg (360о + α) = tg α

ctg (360о – α) = –ctg α ctg (360о + α) = ctg α

ПЕРІОДИЧНІСТЬ ФУНКЦІЙ

Функція y = f(x) називається періодичною з періодом Т ≠ 0, якщо для будь-якого х з області

визначення функції числа х + Т і х – Т також належать області визначення і виконується

умова

f (x) = f(x – T) = f(x + T)

Тригонометричні функції є періодичними. Найменшим додатним періодом синуса і косинуса є число 2π, а тангенса і котангенса – число π.

Отже,


sin(α + 2πk) = sin α, k ϵ Z

cos(α + 2πk) = cos α, k ϵ Z

tg(α + πk) = tg α, k ϵ Z

ctg(α + πk) = ctg α, k ϵ Z Приклад визначення періоду тригонометричної функції, заданої формулою y = sin(kx + b) і y = tg(kx + b).

Для ( )k

Tbkxyπ2

sin =⇒+=

( )k

Tbkxtgyπ

=⇒+=

ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

При побудові графіків тригонометричних функцій та при дослідженні цих функцій важливу роль відіграє період функцій. Крім того, до поняття періоду приводять періодичні процеси, які відбуваються в астрономії, техніці, природі. Тригонометричні функції використовуються до моделювання закономірностей коливального руху, а саме моделювання рівномірного обертального руху. Саме з цим походженням тригонометричних функцій пов′язана одна з головних їх особливостей – періодичність. Вивчення тригонометричних функцій розпочнемо з побудови графіка функції, а потім «читаючи»

графік, визначимо і запишемо властивості функції. Побудувати графік будь-якої тригонометричної функції можна двома способами: геометричним і

аналітичним. Геометричний спосіб побудови описано у підручнику. / Шкіль М.І. та ін.., Алгебра і початки аналізу, 10 – 11 кл., §6 с.38 – 39 /

Побудуємо графік функції y = sin x аналітичним способом. Оскільки найменшим додатним періодом функції є число 2π, то побудуємо графік лише на

проміжку [-π; π].

х -π -3π/4 -π/2 -π/4 0 π/4 π/2 3π/4 π

у 0 -2

2 -1 -

2

2 0

2

2 1

2

2 0

Побудова графіка функції.

Графік функції y = sin x називається синусоїдою. Оскільки функція y = sin x періодична з періодом 2πп, п∈Z, то графік функції можна продовжити відповідним паралельним перенесенням графіка y = sin x.


Побудова графіка функції y = cos x.

Для побудови графіка функції y = cos x застосувати формулу зведення

+= xx

2sincos

π

і

геометричне перетворення графіка. Графік функції y = cos x можна дістати з графіка функції y = sin x

паралельним перенесенням його вліво вздовж осі Ох на 2

π

одиниць.

Графік функції y = cos x називається косинусоїдою. Оскільки функція y = cos x періодична з періодом 2πп, п∈Z, то графік функції можна продовжити відповідним паралельним перенесенням графіка y = cos x.


А ось так виглядає синусоїда (синій графік) і косинусоїда (червоний графік) в одній системі координат.

Побудуємо графік функції y = tg x геометричним способом.

Графік функції y = tg x будують за допомогою лінії тангенсів на проміжку від

−

2;

2

ππ

.

Лінія тангенсів – це дотична до одиничного кола в точці Ро(1; 0).


Графік функції y = сtg x будують, використовуючи формулу зведення

+−= xtgxctg

2

π

. Згідно

цієї формули застосовують до тангенсоїди таке перетворення: тангенсоїду переносять вліво на 2

π

одиниць вздовж осі ОХ та будують симетричний відносно осі ОХ графік котангенсоїду. На рисунку графік функції y = сtg x зображено синім кольором на інтервалі (- π; 0).


Властивості тригонометричних функцій

Функція

Властивість y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x

1.Область визначення

D(y) ∈ R D(y) ∈ R D(y) ∈ R,

x ≠ π/2 + π·n

D(y) ∈ R,

x ≠ π·n

2.Область значень

E(y) ∈ [-1; 1 ] E(y) ∈ [-1; 1 ] E(y) ∈ R E(y) ∈ R

3.Парність (непарність)

Н е п а р н а П а р н а Н е п а р н а Н е п а р н а

4.Періодичність T = 2πn, n ∈ Z T = 2πn, n ∈ Z T = πn, n ∈ Z T = πn, n ∈ Z

5.Набуває нульових значень

sin x = 0, при

x = πn, n ∈ Z

cos x = 0, при

x = π/2 + πn, n∈Z

tg x = 0, при

x = πn, n ∈ Z

ctg x = 0, при

x = π/2 + πn, n∈Z

6.Проміжки зростання

[ - π/2 + 2πn;

π/2 + 2πn ]

[ - π + 2πn;

0 + 2πn ]

[ - π/2 + πn;

π/2 + πn ] Н е м а є

7.Проміжки спадання

[ π/2 + 2πn;

3π/2 + 2πn ]

[ 0 + 2πn;

π + 2πn ] Н е м а є

[ 0 + πn;

π + 2πn ]

8.Набуває додатних значень

sin x > 0,

( 2πn; π + 2πn)

cos x > 0,

( - π/2 + 2πn;

π/2 + 2πn )

tg x > 0,

( 0 + πn;

π/2 + πn )

ctg x > 0,

(0 + πn; π/2 + πn)

9.Набуває від’ємних значень

sin x < 0,

(π +2πn; 2π +2πn)

cos x < 0,

( π/2 + 2πn;

3π/2 + 2πn )

tg x < 0,

( - π/2 + πn;

0 + πn)

ctg x < 0,

(- π/2 +πn; 0+πn)

10.Найбільше значення

sin x = 1, при

x = π/2 + 2πn,

n ∈ Z

cos x = 1, при

x = 2 πn, n ∈ Z Н е м а є Н е м а є

11.Найменше значення

sin x = -1, при

x = 3π/2 + 2πn,

n ∈ Z

cos x = -1, при

x = π + 2πn, n ∈ Z Н е м а є Н е м а є


ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ

Величини, що змінюються за законом f(t) = A cos (ωt + φ) ( 1 )

або f(t) = A sin (ωt + φ) ( 2 )

відіграють важливу роль у фізиці. За таким законом змінюється, наприклад, координата кульки, прикріпленої до пружини (див. мал. 1). Говорять, що кулька здійснює гармонічні коливання.

Функцію (2) також можна записати у вигляді (1):

A sin (ωt + φ) = A cos (ωt + φ - 2

π

)

Параметри А, ω і φ, які повністю визначають коливання (1), мають спеціальні назви: А називають амплітудою коливання,

(ω — циклічною (або круговою) частотою коливання, φ — початковою фазою коливання (звичайно беруть φϵ[0; 2π)). Період функцій A cos (ωt + φ) і A sin (ωt + φ),що

дорівнює ω

π2 називають періодом гармонічного коливання.

Властивості функцій (1) і (2) зручно проілюструвати на такому прикладі з механіки. Нехай точка М рухається рівномірно по колу радіуса R = А з кутовою швидкістю ω, якщо ω > 0, обертання

проти годинникової стрілки, а якщо ω < 0 — за годинниковою стрілкою), причому в початковий момент часу t = 0 вектор ОМ утворює кут φ з додатним напрямом осі абсцис (мал. 2). Розглянемо дві функції від t — координати проекцій точки на осі абсцис і ординат — функції x(t) і y(t).

У момент часу t вектор ОМ утворює з додатним напрямом осі Ох кут φ

(t), при цьому φ (t)= φ + ωt за законом рівномірного руху по колу. За означенням функцій синус і косинус

x(t) = A cos φ(t), тобто x(t) = А соs (ωt + φ),

y(t) = A sin φ(t), тобто у(t) = A sin (ωt + φ).

Вивчимо властивості цих функцій, спираючись на кінематичні міркування. Їх період дорівнює, очевидно, часу Т, за який точка здійснює один оберт. Довжина кола дорівнює 2πА, а

лінійна швидкість v точки дорівнює ωA, тому .22

ω

π

υ

π==

АТ

Розглянемо один з моментів часу to, в який точка М займає крайнє праве положення. Тоді x(to) =

A, y(to) = 0. Починаючи з цього моменту часу, функція x(t) буде навперемінно спадати від А до -А

на першій половині періоду і зростати від -А до А на другій половині періоду. При цьому точки максимуму функції x(t) — це ті моменти часу, коли точка займає крайнє праве положення; точки мінімуму відповідають крайньому лівому положенню, а нулі — верхньому і нижньому положенням.

Аналогічні властивості має і функція y(t); її точки максимуму і мінімуму відповідають верхньому і нижньому положенням точки на колі, а нулі — правому і лівому положенням.

Мал.1

Мал. 2


ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФОРМУЛИ ДОДАВАННЯ ТА НАСЛІДКИ З НИХ

Теорема. Які б не були кути, або числа, α і β, завжди cos(α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

Наслідки теореми додавання:

cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

sin(α – β) = sin α · cos β – cos α · sin β

βα

βαβα

tgtg1

tgtg)(tg

⋅−

+=+

βα

βαβα

tgtg1

tgtg)(tg

⋅+

−=−

Тригонометричні формули подвійних кутів: sin 2α = 2sin α · cos α

cos 2α = cos2 α – sin2 α

cos 2α = 1 – 2sin2 α cos 2α = 2cos2 α – 1

α

α

α2

tg1

2tg2 tg

−

=

Тригонометричні формули половинних кутів:

2

cos1

2sin

αα −=

2

cos1

2cos

αα +=

α

αα

cos1

cos1

2 +

−=tg

Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій:

2cos

2sin2sinsin

βαβαβα

−⋅

+=+

2cos

2sin2sinsin

βαβαβα

+⋅

−=−

2cos

2cos2coscos

βαβαβα

−⋅

+=+

2sin

2sin2coscos

βαβαβα

−⋅

+−=−

βα

βαβα

coscos

)sin(

⋅

+=+ tgtg

βα

βαβα

coscos

)sin(

⋅

−=− tgtg


Формули перетворення добутку тригонометричних функцій в суму:

2

)cos()cos(coscos

βαβαβα

++−=⋅

2

)cos()cos(sinsin

βαβαβα

+−−=⋅

2

)sin()sin(cossin

βαβαβα

−++=⋅

ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ.

НАЙПРОСТІШІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ

Тригонометрична функція Обернена тригонометрична функція

y = sin x

y = cos x y = tg x

y = ctg x

y = arcsin x

y = arcos x y = arctg x

y = arcctg x

Для тригонометричних функцій і обернених для їх функцій виконуються такі рівності:

sin(arcsin x) = x

cos(arccos x) = x

tg(arctg x) = x

ctg(arcctg x) = x

arcsin(sin x) = x

arccos(cos x) = x

arctg(tg x) = x

arcctg(ctg x) = x

Тригонометричними рівняннями називаються рівняння у яких невідома (або змінна) є аргументом тригонометричної функції.

Такі рівняння або не мають розв'язків, або мають безліч розв'язків (бо функції періодичні).

Загального способу розв'язування тригонометричних рівнянь не існує.

Розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь:

Тригонометричне рівняння Розв'язок

sin x = a

cos x = a

tg x = a

x = (–1)k·arcsin a + kπ, k ϵ Z

x = ± arccos a + 2kπ, k ϵ Z

x = arctg a + kπ, k ϵ Z

Окремі випадки:

sin x = 1, Zkkx ∈+= ,22

π

π

sin x = 0, Zkkx ∈= ,π

sin x = –1, Zkkx ∈+−= ,22

ππ

cos x = 1, Zkkx ∈= ,2 π

cos x = 0, Zkkx ∈+= ,2

π

π

cos x = –1, Zkkx ∈+= ,2 ππ


Розв'язки складніших тригонометричних рівнянь:

sin kx = a, ( )

k

nax

n

π+⋅−=

arcsin1

Аналогічно розв'язуються рівняння з іншими тригонометричними функціями.

cos (kx + c) = a, k

cnax

−+±=

π2arccos

Аналогічно розв'язуються рівняння з іншими тригонометричними функціями. НАЙПРОСТІШІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ НЕРІВНОСТІ

Розв'язування тригонометричних нерівностей зводиться до розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей виду:

sin x ≥ a

cos x ≥ a

tg x ≥ a

ctg x ≥ a

sin x > a

cos x > a

tg x > a

ctg x > a

sin x ≤ a

cos x ≤ a

tg x ≤ a

ctg x ≤ a

sin x < a

cos x < a

tg x < a

ctg x < a

Тригонометричні нерівності зручно розв'язувати графічним способом.

Business

Тема 3. Тригонометричні функції