24
¸ É 3 ไฟฟ้ าสถต Ä ¸ ÊÁ ¦ µ ³«¹ ¬ µÁ ¸ É ¥ª ´ ¤ ´ · µÅ¢¢µ ° ¦³ » Å¢ ¢ µ ¸ É °¥¼ n · É ¹ É ¦³ » ¸ É ¨n µª ¹ ¸ Ê ³ ÁÈ » ¦³ »Â¨ ³ ¦³ » ¦ ³µ¥Ä ¦¼ ¦ nµÇ ³Á ¦· É ¤ ศึกษาจากประจุ แรงระหว่างประ ตามกฎของคูลอมบ์ สนามไฟฟา สนามไฟฟาจากประจุกระจายเชิงเส้น เชิงผิว และ ปริมาตร กฎ ของ เกาส์ ไดโพล ไฟฟา ความสัมพันธ์ระหว่างสนามกับกฎของเกาส์ ศักย์ไฟฟา ความสัมพันธ์ระหว่างสนามไฟฟา และศักย์ไฟฟา 3.1 ประจุไฟฟ้ า นาน¤µÂ¨ o ª ¸ É ¤¸ µ¦ o ¡ ¦³ » Å¢ ¢ µ และพบว่าในธรรมชาต ประจุไฟฟา 2 ชนิด คือ ประจุไฟฟาบวก กับประจุไฟฟาลบ ประจุไ ¢¢µÁÈ ° r ¦³ ° ¡º Ê µ ° °³ °¤ ° µ¦ ประจุไฟฟาลบ เรียกว่าอิเล กต¦ ° Á ¨º É ° ¸ É °¥¼ n ¦° ·ª Á ¨¸ ¥ ° °³ °¤ ¸ É Â ¨µ ° อะตอม ³¤¸ ° »£µÃ ¦ ° ¨ ³ ·ª ¦° ¦ª¤ ´ °¥¼ n ¸ É Â ¨µÁ ¦¸ ¥ ªnµ นิวเคลียส แต่อนุภาค โปรตอนจะแสดงสมบัติของประจุไฟฟาบวก สมบัติของอะตอมแสดงค่าประจุ และมวล ดังตาราง ¸ É 3.1 ในสภาวะปกติของสสารจะมีสภาพเป็นกลางทางไฟฟา ค่าประจุลบของ อิเล็กตรอนกับค่า ประจุไฟฟาบวกของโปรต อนจะมีจํานวนเท่ากัน ´ ´Ê Î µªnµ ประจุจึงหมายถึง ประจุสุทธ n ª ¸ É Á · ¹ Ê ¤µo ° ° µ¦ °µ ³ เกิดจากµ¦ ´ ¸ ®¦ º °µ¦ Á® ¸ É ยวนํา ถ้าก้อนสสารมีอนุภาคอิเล็ก ¦ °Á · µ¦ ´Ê ³¤¸ ¦³ Å¢¢µÁÈ ¨ n ª µ¦ ¸ É ¤¸ Î µ ªÃ ¦ ° Á · µ¦ ´Ê ³Â ¦³ » Å¢¢µÁÈ ª ¦ มาณ ประจุไฟฟามีหน่วยเป็น คูลอมบ์ ( C ) µµ¦ ¨° ¡ ªnµ ¦³ »Å¢ ¢ µÅ¤n µ¤ µ¦ ¦o µ ¹ Ê Ä®¤n®¦ º ° ε¨ µ¥Åo ลรวมของ ประจ Å¢ ¢ µÄ ¦ ³ ³¤¸ n µ ¸ É หรือกล่าวได้ว่า ในระบบปิดใด ผลรวมประจุไฟฟาสุทธ ³¤¸ n µ ¸ É µ¦µ ¸ É 3.1 แสดงค่าประจุและมวลของอิเล็กตรอน โปรตอน และนิวตรอน อนุภาค ประจ ) (C มวล ) ( kg โปรตอน( ) p อิเล็กตรอน( ) e นิวตรอน ) ( n 19 10 602191 . 1 19 10 602191 . 1 0 27 10 67261 . 1 31 10 1095 . 9 27 10 67492 . 1

บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

�����3

ไฟฟาสถต

Ä����ÊÁ¦ µ�³«¹�¬µÁ�É¥ª ��­ ¤��·�µ�Å¢ ¢ µ�°��¦ ³�»Å¢ ¢ µ�É° ¥¼n�·É���¹É� �¦ ³�»�É�nµª�¹��Ê�³Á�È��»��¦ ³�»Â¨ ³�¦ ³�»�¦ ³�µ¥Ä�¦ ¼��¦��nµ�Ç��³Á¦ ·É¤ศกษาจากประจ แรงระหวางประจตามกฎของคลอมบ สนามไฟฟา สนามไฟฟาจากประจกระจายเชงเสน เชงผว และ ปรมาตร กฎของ เกาส ไดโพลไฟฟา ความสมพนธระหวางสนามกบกฎของเกาส ศกยไฟฟา

ความสมพนธระหวางสนามไฟฟา และศกยไฟฟา

3.1 ประจไฟฟา

นาน¤µÂ¨ oª �ɤ�µ¦ �o�¡ ��¦ ³�»Å¢ ¢ µ และพบวาในธรรมชาต มประจไฟฟา 2 ชนด คอ ประจไฟฟาบวก กบประจไฟฟาลบ ประจไ ¢ ¢ µÁ�È�°��r�¦ ³�°�¡ ºÊ��µ��°�° ³�° ¤�°�­ ­ µ¦ �

ประจไฟฟาลบ เรยกวาอเลกต¦ ° ��Á�ºÉ°��É° ¥¼n¦ °� ๆ �·ª Á�¥­ �°�° ³�° ¤��ÉÂ���µ��°�อะตอม �³¤°�»£µ�Ã�¦�°�¨ ³�·ª�¦ °�¦ ª ¤��° ¥¼n�ÉÂ���µ�Á¦ ¥�ª nµ นวเคลยส แตอนภาคโปรตอนจะแสดงสมบตของประจไฟฟาบวก สมบตของอะตอมแสดงคาประจ และมวล ดงตาราง �É�3.1 ในสภาวะปกตของสสารจะมสภาพเปนกลางทางไฟฟา คาประจลบของ อเลกตรอนกบคาประจไฟฟาบวกของโปรต อนจะมจานวนเทากน

���Ê��εª nµ “ประจ” จงหมายถง ประจสทธ­ nª��ÉÁ�·��¹Ê�¤µ���o°��°�­ ­ µ¦ �° µ��³เกดจาก�µ¦ ��­ �®¦ º°�µ¦ Á®�Éยวนา ถากอนสสารมอนภาคอเลก�¦ °�Á�·��­ ­ µ¦ �Ê��³¤�¦ ³�»Å¢ ¢ µÁ�È���­ nª�­ ­ µ¦ �ɤ�ε�ª�Ã�¦�°�Á�·� สสµ¦ �Ê��³Â­ ���¦ ³�»Å¢ ¢ µÁ�È��ª���¦ · มาณประจไฟฟามหนวยเปน คลอมบ (C )

�µ��µ¦ ��°�¡ �ª nµ��¦ ³�»Å¢ ¢ µÅ¤n­ µ¤µ¦ �­ ¦ oµ��¹Ê�Ä®¤n®¦ º° �ε¨ µ¥Å�o� ลรวมของประจ Å¢ ¢ µÄ�¦ ³���³¤�nµ���É� หรอกลาวไดวา “ ในระบบปดใด ๆ ผลรวมประจไฟฟาสทธ

�³¤�nµ���É�”

�µ¦ µ��É�3.1 แสดงคาประจและมวลของอเลกตรอน โปรตอน และนวตรอน

อนภาค ประจ )(C มวล )(kg

โปรตอน( )p

อเลกตรอน( )e

นวตรอน )(n

1910602191.1 1910602191.1

0

271067261.1 31101095.9

271067492.1

Page 2: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

46

o21F

12F

2q

1q

12R

2r

1r

3.2 กฎคลอมบ

จากผลการทดลองศกษาแรงระหวางประจไฟฟา สรปเปนกฎของคลอมบ (Coulomb’slaw) ไดวา ประจไฟฟาจะมแรงกระทาตอกน ในระหวางคประจ คาของแรงจะแปรผนตรงกบผล�¼��°���µ��°��¦ ³�»�Ê�­ °�¨ ³Â�¦������¦ ³ ¥³®nµ�¦ ³®ª nµ��¦ ³�»¥��ε¨ �­ °�

ถามประจไฟฟา 1q และ 2q วาง�·É�° ¥¼nÄ��¦ ·£¼¤ ·�และมเวกเตอรบอกตาแหนงเปน 1r

และ 2r ตามลาดบ แสดงดงรป�É3.1���¦ ��É�¦ ³�ε�n° �¦ ³�»��1q จาก ประจ 2q เขยน

สมการตามกฎคลอมบ ไดเปน

¦ ¼��É3.1 แรงระหวางจดประจ 2 ประจ

12212

2112 r

R

qkqF

(3.1)

Á¤ ºÉ°� 1q และ 2q Á�È���µ��°��¦ ³�»Å¢ ¢ µ��ª �É®�¹É�¨ ³ �ª �É­ °��µ¤¨ ε��

12F

เปนขนµ��°�¦��É�¦ ³�ε���¦ ³�»�1q �Á�ºÉ°��µ��¦ ³�»��2q

12R เปนระยะหางระหวางประจ 1q และประจ 2q

12r เปนเวกเต° ¦ r®�¹É�®�nª ¥¤�·«�Ê�µ��¦ ³�»� 2q ไปยงประจ 1q

การกระจด จาก 2q ไป 1q เปน

12R

= 1212 rR = 21 rr

(3.2)Á¤ ºÉอ k �Á�È��nµ���É�°��µ¦ Â�¦ ����¹Ê�° ¥¼n��®�nª ¥�µ¦ ª ����µ�­ ¤�µ¦ �(3.1) ถา

กาหนด ประจในหนวย คลอมบ (C ) ขนาดของแรง ในหนวย นวตน ( N ) และระยะทางระหวางประจ เปน เมตร ( m ) ¨ ³ Á¤ ºÉ°�¦ ³�»�Ê�­ °�° ¥¼nÄ�สญญากาศ���nµ���É��k จะสมพนธกบ สภาพยอมทางไฟฟา ของสญญากาศ (permittivity of free space) เปน

Page 3: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

47

04

1

k

Á¤ ºÉ°��0 แทนสภาพยอมทางไฟฟาของ สญญากาศ

0121085.8 22 NmC �³Å�o�nµ���É��� 91099.8 k 22 CNm

จากสมการ (3.1) แทนคา k เขยนใหมไดเปน

12212

21

0

12ˆ

4

1r

R

qqF

(3.3)

หรอ 3

21

2121

0

12

)(

4

1

rr

rrqqF

(3.4)

จากสมการ (3.1) �oµÂ¦ ��É�ε�n°�¦ ³�»� 2q �Á�ºÉ°��µ��¦ ³�»� 1q จะมขนาดของแรงÁ�nµ����¦��É��¦ ³�» 1q กระทาตอประจ 2q แตมทศทางตรงกนขามกน สมการของแรง

จะเขยนไดโดยกลบตวหอย เชน จาก 12F

เปน 21F

�¨ ³ ¦ ��É�¦ ³�ε�³ ° ¥¼nในแนวเสนตรง¦ ³ ®ª nµ��¼n�¦ ³�»�Ê�­ °�หรอ 1221 FF

(3.5)

สมการ(3.5)���³ ­ ° ��o° ���¦ ��µ¤���o° �É�3 ของนวตน และแรงตามกฎของคลอมบ�É�nµª �¹��Ê�³ ¤ ¦ ³ ¥ ³ ­ Ê��¦ ³ ¤µ��� 1410 เมตร เปนระยะทางระหวางนวเคลยสกบ° ³�° ¤�Â�n�oµ¦ ³ ¥³�µ�­ Ê��ª nµ�� 1410 เมตร แรงนวเคลยรจะมผลมากกวา

ตวอยาง 3.1 ประจ 2 ประจ มขนาด 6107.0 C และ 3106.5 C อยในปรภมใน

¦ ³��¡ ·���µ��É�ε®�n���� kji ˆ6ˆ3ˆ2 m ¨ ³ �É�»��εÁ�·��(origin) ตามลาดบ จงคานวณหาแรงกระทาตอประจขนาด 6107.0 C

วธทา เวกเตอรบอกตาแหนง จากประจ 3106.5 C ไปยงประจ 6107.0 C เปน

12R

= 21 rr

= kji ˆ6ˆ3ˆ2

12R = 2/1222 ]632[ = 7 m

จาก 3

21

2121

0

12

)(

4

1

rr

rrqqF

แทนคา F

= )ˆ6ˆ3ˆ2(7

106.5107.01093

639

kji

kji ˆ62.0ˆ31.0ˆ21.0

��µ��°�¦��É�¦ ³�ε�n°�¦ ³�»�เปน 72.0 N

ตอบ

Page 4: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

48

iq

2q

1q

nq

q

tF

ถาระบบประจประกอบดวยประจไฟฟาแบบจดมากกวา 2 �¦ ³�»�¹Ê�Å�แรงรวมระหวางคประจ หาไดจากสมการ (3.4) ¨ oª�ε¦��Ê�®¤�¤µ¦ ª ¤��แบบเวกเตอร และถาระบบประจ

¦ ³��®�¹É�¤�¦ ³�»Å¢ ¢ µ� n ประจ แรงไฟฟา สทธ�É�¦ ³�ε�n°�¦ ³�»�q Á�ºÉ°��µ��¦ ³�»�ª ° ºÉ��Ç��ดง¦ ¼��É3.2 เขยนไดเปน

tF

=

n

i i

ii

rr

rrqq

13

04

)(

(3.6)

Á¤ ºÉ°��r และ ir

เปนเวกเตอรของตาแหนงของประจ q และ iq

¦ ¼��É3.2 ¦��É�¦ ³�ε���¦ ³�»�q�Á�ºÉ°��µ�¦ ³���¦ ³�»�n ประจ

3.3 ความเขมสนามไฟฟา

สนามไฟฟา เปน�¦ ·Áª��ɤ¦ ��µ�Å¢ ¢ µ�¦ ³�ε�n°�¦ ³�»Å¢ ¢ µ�É° ¥¼nÄ��¦ ·Áª��Ê��

ความเขมสนามไฟฟา นยามไดª nµ�Á�È�° �¦ µ­ nª ��°�¦ �Å¢ ¢ µ�É�¦ ³�ε�n° �¦ ³�»

ทดสอบ tq Á¤ ºÉ°�¦ ³�»��­ °�¤�nµ�o° ¥�Ç�( 0tq ) �¹É��º° ª nµÅ¤nมผลกระทบกบประจ q เปน

E

=t

q q

F

t

0lim

(3.7)

เ¤ ºÉ°�F�Á�È�¦��É�¦ ³�ε�n°�¦ ³�»�tq

ถา E

เปนความเขมสนามไฟฟา �É�»���P ในปรภม ���Ê�¦�Å¢ ¢ µ�É�¦ ³�ε�n°�¦ ³�»

ทดสอบ tq เปนF

= Eqt

(3.8)

สมการ (3.8)��³Ä�o�ε�ª�®µ�nµÂ¦ �Å¢ ¢ µ�É�¦ ³�ε�n°�¦ ³�»Á¤ ºÉ° ประจวางอยในสนามไฟฟา

Á¤ ºÉ° ประจ q �Á�È��¦ ³�»�Éทาใหเกดสนามไฟฟา จะ เรยกประจ q �ʪ nµÁ�È��¦ ³�»กาเนด (source charge) ประจจะสงแรงไฟฟาออกไปรอบ ๆ ประจ ความเขม­ �µ¤Å¢ ¢ µ�É

จด P ใด ๆ ในปรภม Á¤ ºÉ°��¦ ³�» q ° ¥¼n�É�S ��¦ ¼��É�3.3 เปนตามสมการ

Page 5: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

49

O

P

S

q

tq

rR ˆ

1r

2r

E

=3

21

21

0

)(

4 rr

rrq

(3.9)

E

= rR

4 20

(3.10)

Á¤ ºÉ°��r ��Á�È�Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥¤�·«�Ê�µ��Ê�µ��S ไปยงจด P

ความเขมสนามไฟฟา มหนวยเปนนวตนตอ คลอมบ )(C

N

¦ ¼��É�3.3 สนามไฟฟาจากประจ q กระทาตอประจทดสอบ tq �É�»��P

ถาระบบประจไฟฟาประกอบดวย ประจ n ประจ ความเขมสนามไฟฟา จะเปนผลรวมÂ��Áª�Á�° ¦ r�°��ª µ¤Á�o¤­ �µ¤Å¢ ¢ µ�ÉÁ�·��µ�¦ �Å¢ ¢ µ�¦ ³�ε���¦ ³�»®�¹É�®�nª ¥����»�

��

E

=3

1 0

)(

4i

in

i

i

rr

rrq

(3.11)

Á¤ ºÉ°�ir �Á�È�¦ ³ ¥³�µ��µ��¦ ³�»��É�i มประจ iq และ ir �Á�È�Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥¤�·«จาก iq ไปจด P

ตวอยาง 3.2 จดประจ 2 ประจขนาด 91050 C และ 91050 C ª µ��·É�ใน

ปรภม ° ¥¼n�É��i2 m และ j2 m �µ¤¨ ε�����®µ�nµ�ª µ¤Á�o¤­ �µ¤Å¢ ¢ µ�É�� k2 m

วธทา ¦ ³ ¥³�µ��°�Áª�Á�° ¦ r�Ê�­ °�

1R

= 1rr

= ki ˆ2ˆ2 , 11 rrR

= 83.2 m

2R

= 2rr

= kj ˆ2ˆ2 , 22 rrR

= 83.2 m

E

=3

1 0

)(

4i

in

i

i

rr

rrq

แทนคา จะได

Page 6: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

50

E

=

)ˆ2ˆ2()83.2(

1050)ˆ2ˆ2(

)83.2(

1050109

3

9

3

99 kjki

E

= )ˆˆ(71.39 ji N

ตอบ

3.4 ความหนาแนนประจ

ในกรณประจเปนประจไฟฟา �ɤ ¸ �¬�³แบบกลมประจ�É�¦ ³�µ¥อยาง�n° Á�ºÉ°�คาของ ปร³�»��µ��µ¦ �¦ ³�µ¥�°��¦ ³�»Á®¨ nµ�Ê��³ ¡ ·�µ¦ �µÄ�¦ ¼��°��ª µ¤®�µÂ�n��°��¦ ³�»�Éกระจายอยบนรปรางของผวชนดตาง ๆ โดยการหµ�nµ¨ ·¤ ·��°��¦ ³�»�n° ¦ ¼��°��µ¦�¦ ³�µ¥�Á¤ ºÉ°รปของการกระจาย�Éพจารณามขนาดเขาใกลศนย และถอวาประจไฟฟาเปนหนวยเลก ๆ ม การกระจายเปนฟงกชนเชงจด

�µ¦�¦ ³�µ¥�°��¦ ³�»Ä��É�Ê�³พจารณา การกระจายใน 3 ลกษณะ คอ ความหนาแนนเชงเสน ความหนาแนนเชงผว และ ความหนาแนนเชงปรมาตร

1. ความหนาแนนประจเชงเสนให l เปน ความหนาแนนของประจไฟ

l

Á¤ ºÉ°�q เปนประจบนส2. ความหนาแนนประจเชงผว

ให s �Á�È���ªµ¤®�µÂ�n��°��¦ ³�»Å¢

s

Á¤ ºÉ°�q Á�È��¦ ³�»��­3. ความหนาแนนประจเชงปรม

ให v เปน ความหนาแนนประจเชงป

v

Á¤ ºÉ°�q เปนประจบน

3.4.1 �ªµ¤Á�o¤­ �µ¤Å¢ ¢ µ�µ�

Á¤ ºÉ° มประจกระจาย° ¥nµ��n° Á�),,( zyxP �µ��¦ ³�»�¦ ³�µ¥�Êหาไดโด

ฟาตอหนวย ความยาว

l

ql

0

lim (3.12)

วนยอยของเสนยาว l

¢ µ�n° ®�¹É�®�nª ¥¡ ºÊ�

s

qs

0

lim (3.13)

nª�¥n° ¥�°�¡ ºÊ��·ª�s

าตรรมาตร

v

qv

0

lim (3.14)

สวนยอยของปรมาตร v

�¦ ³�»�¦ ³�µ¥­ ¤ ÎɵÁ­ ¤°

ºÉ°�ตามเสน ดง¦ ¼��É3.4 ก. �ª µ¤Á�o¤­ �µ¤Å¢ ¢ µ�É�»��

ยแบงสวนของการกระจายของประจเชงเสน ออกเปน

Page 7: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

51

O

P

sP

iis

irr

ir

r

O

P

vP

iis

irr

ir

r

ค.

สวนยอย n�­ nª��¨ ³�º° ª nµ­ nª�¥n° ¥�ʤ�nµÁ�oµÄ�o«¼�¥r�ใหสวนยอยของเสนยาว il และมประจ ili lq คาความเขมสนามไฟฟา

¦ ¼��É�3.4 แสดง�ª µ¤Á�o¤­ �µ¤Å¢ ¢ µ�É�»�� P เกดจาก ก. ประจกระจายเชงเสน ข. ประจกระจายเชงผว ค. ประจกระจายเชงปรมาตร

E

=

n

i i

ii

n rr

rrq

13

0

)(

4lim

(3.15)

Á¤ ºÉ°�r เปนเวกเตอรบอกตาแหนงของ จด P

ir เปนเวกเตอรบอกตาแหนงของจด P ของสวนยอย il

เขยนในรปอนทกรล

E

=

c

l ldrr

rr3

0

)(

4

1

(3.16)

ทานองเดยวกน ความเขมสนามไฟฟา จาก ความหนาแนนประจกระจาย ° ¥nµ��n° Á�ºÉ°�เชงผว ดง¦ ¼��É3.4 ข.

O

PlPil

irr

ir

r

ข.ก.

Page 8: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

52

E

=

s

s sdrr

rr3

0

)(

4

1

(3.17)

และ ความเขมสนามไฟฟา จาก ความหนาแนนประจกระจายเช งปรมาตร ดงรป�É3.4 ค.

E

=

v

s vdrr

rr3

0

)(

4

1

(3.18)

ตวอยาง 3.3 โลหะตวนารปวงแหวนรศม b ¤�¦ ³�»�¦ ³�µ¥­ ¤ ÎɵÁ­ ¤° �°��ª�ε ดงรป�É�3.5

จงคานวณหาความเขมสนามไฟฟาจดใด ๆ บนแกนของวงแหวน วธทา แบงวงแหวนออกเปนสวนยอย ๆ มประจ ในพกดทรงกระบอก เปน bd

การกระจดจากสวนยอยของประจถงจดสงเกต P บนแกน z , ),0,0( zP เปน R

= b + zzˆ

R

Ed

k

zP ,0,0

z

l

bdy

¦ ¼��É�3.5 ความเขม­ �µ¤Å¢ ¢ µ�É�»�� P จากประจกระจาย° ¥nµ�­ ¤ÎɵÁ­ ¤อ

E

=

2

0 220

)ˆˆ(][4

2/3zzb

zb

bdl

=

2

0

2

02/3220

ˆ][

1

4zdb

zb

bl

Á¤ ºÉ°� sinˆcosˆˆ yx

�ªµ¤Á�o¤­ �µ¤­ �µ¤Å¢ ¢ µ�É�»� P บนแกนของวงแหวน

x

รปวงแหวน

zd

Page 9: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

53

ds

+ + +++ + ++

+

+ + ++ + ++ ++ ++ +

+ ++

+ + + + +

+ + ++ + +

+ + ++ + +

y

x

z

Ed

R

P

k

a

b

E

= zzb

bzl ˆ][

1

4 2/3220

ตอบ

ตวอยาง 3.4 แผนตวนาบางรปวงแหวนมรศมวงใน เปน a รศมวงนอกเปน b มประจ

�¦ ³�µ¥­ ¤ ÎɵÁ­ ¤° �°�Â�น มความหนาแนน เปน s ���®µ�nµ�ª µ¤Á�o¤­ �µ¤Å¢ ¢ µ�É�»�Ä��

ๆ บนแกน z

วธทา �Â�n�¡ ºÊ��ɪ�®ª�° °�Á�È�­ nª�¥n° ¥�sd ��¦ ¼��É3.6 จะมประจเปน dds

¦ ¼��É��3.6 �ªµ¤Á�o¤­ �µ¤Å¢ ¢ µ�É�»��� P �µ��¦ ³�»�¦ ³�µ¥­ ¤ ÎɵÁ­ ¤°�นแผนตวนารปวงแหว

เวกเตอรบอกตาแหนงจาก ประจ ถง จด P บนแกน z เปน

R

= kz ˆˆ

R = 2/122 ][ z

�ªµ¤Á�o¤­ �µ¤Å¢ ¢ µ�É�»�� ),0,0( zP จากสมการ

E

=

s

s sdrr

rr3

0

)(

4

1

แทนคา E

=

b

a

s kzz

dd

2

0 2/3220

)ˆˆ(][4

จาก

2

00ˆd

Page 10: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

ศนย�Á�ºÉ°

จะได

เขมสนา

ถาแผนตสนามไฟ

ถาแผนปเปน

¦ ¼��É�3.7ตนวงแห

54

องคประกอบของความเขมสนามไฟฟา E

ตามแนวแกน (เสนรอบวง) สทธเปน��µ��¦ ³�»�¦ ³�µ¥­ ¤¤µ�¦

จะมความเขมสนามไฟฟา E

เฉพาะองคประกอบตามแนวแกน z ������Ê�

E

=

b

a

s kzz

dd

2

0 2/3220

ˆ][4

E

= kzbza

zs ˆ)(

1

)(

1

2 2/1222/1220

ถาแผนประจวงแหวนมขนาดใหญมาก ๆ ( b ) ��¦ ¼��É3.7 ก. จะได ความมไฟฟา เปน

E

= kza

zs ˆ)(

1

2 2/1220

นวงแหวนรศม b �����Ê�¦ «¤ ª �Ä�� 0a ��¦ ¼��É3.7 ข. จะได ความเขมฟา เปน

E

= kzbz

zs ˆ)(

11

2 2/1220

ระจขนาดใหญ 0a และ b ��¦ ¼��É3.7 ค. จะได ความเขมสนามไฟฟา

E

= k2 0

ก.

�ª µ¤Á�o¤­ �µ¤Å¢ ¢ µ�É�°��¦ ³�»�

วนขนาดใหญ ค. แผนประจขนาดใ

kz ˆ

s

É�»���หญ

.

P จาก

ตอบ

ค.

ก. แผนกลวงขนาดใหญ ข. แผน

Page 11: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

55

ก. ข.

3.5 ฟลกซไฟฟาและกฎของเกาส

สนามไฟฟาเปนสนามเวกเตอร �Éแทน�Ê���µ�¨ ³�·«�µ��°�­ �µ¤�É�»��Ê� ทศของสนามไฟฟา จะเปนแนว�·«�°�­ �µ¤Å¢ ¢ µ�É�»��nµ�� ๆ �¹Éงกาหนดตามทศของแรงกระทาตอประจทดสอบ ถาตอกนเปนจะแนวเสนสมผส เรยกวา เสนแรงไฟฟา (line of force ) เสนแรงÅ¢ ¢ µ�É�ε®�n�Ä��³�°��· «�µ��°�­ �µ¤Å¢ ¢ µ�É�ε®�n��Ê�� โดยเวกเตอรของความเขมของสนาม ไฟฟา �³Á�È�Á­ o�­ ¤�­ ��Á­ o�¦ �Å¢ ¢ µ����»��Ê��Ç�� ���Ê�เสนแรงไฟฟาของ

�¦ ³�»�ª��³¤�·«¡ »n�° °��µ��¦ ³�»����¦ ¼��É�3.8 ก. สวนประจไฟฟาลบเสนแรงจะมทศพงเขา

®µ�¦ ³�»����¦ ¼��É��3.8 ข. สาหรบคประจไฟฟาบวกลบ เสนแรง ไฟฟา จะมทศทางพงออกจากประจบวกเขาหาประจลบ ��¦ ¼��É�3.8 ค. และประจไฟฟาชนดเดยวกนเส นแรงจะเบนออกจาก������¦ ¼��É�3.8 ง.

¦ ¼��É��3.8 แสดงเสนแรงไฟฟา จาก ก . ประจบวก ข. ประจลบ ค. คประจบวกลบง. คประจบวก��ɤµ�(Raymond A. Serway & Robert J. Beichner, 2000 หนา 726 -728 )

ค.

Page 12: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

56

isd

iE

เสนแรงไฟฟานอกจากจะแสดงท ศทางของความเขมสนามไฟฟาแลวยงแสดงขนาดของ

�ªµ¤Á�o¤­ �µ¤Å¢ ¢ µ�oª ¥�Á�ºÉ°��µ��ε�ª�Á­ o�¦��³�¹Ê�° ¥¼n����µ��°��¦ ³�»�¨ ³�ε�ª�Á­ o�

แรงไฟฟา �É���Ê��µ���¡ ºÊ��É®�¹É�®�nª ¥ เรยกวา ความหนาแนนฟลกซไฟฟา ส ญลกษณ D

มหนวยเปน คลอมบตอตารางเมตร ( 2/ mC )D

= E

0 (3.19)Á¤ ºÉ° Â����E

ดวยสนามไฟฟาจากจดประจ ความหนาแนน ฟลกซไฟฟา ตามแนวรศมเปน

D

= rr

4 2(3.20)

¦ ¼��É�3.9 �Á­ o�¦�Å¢ ¢ µ�É¡ »n��nµ�¡ ºÊ��É�·ª�·�

3.5.1 ฟลกซไฟฟา

�oµ¤�·ª ­ ¤¤�·° �®�¹É��¹É�° µ��³Á�È��·ª�·�®¦ º°�·ª Á�·�° ¥¼nÄ�­ �µ¤Å¢ ¢ µÂ¨ ³�¤Á­ o�¦ �

Å¢ ¢ µ¡ »n��nµ�Ä�Â�ª �Ê��µ���¡ ºÊ��·ª���¦ ·¤µ�Á­ o�¦ �Å¢ ¢ µ�É�nµ��·ª ­ ¤¤�·�Ê จะเปนสดสวนÃ�¥�¦�����¼��°��ª µ¤Á�o¤­ �µ¤Å¢ ¢ µ���¡ ºÊ��É�·ª�Á¦ µÁ¦ ¥�ª nµ��¢ ¨ ��rÅ¢ ¢ µ�� (ElectricFlux) เขยนแทนดวยสญลกษณ มหนวยเปน นวตนเมตร2 ตอคลอมบ ( CmN /2 ) เขยนในรปสมการ จะได

= s

sdE

(3.21)

Á¤ ºÉ°�sd�Á�È��­ nª�¥n° ¥�Ç��°�¡ ºÊ��·ª�s แสดง��¦ ¼��É 3.9���¢ ¨ ��r�É�nµ��·ª�s จะม

�nµ¤µ�­ »�Á¤ ºÉ°�Áª�Á�° ¦ rE

และ sd มทศไปทางเดยวกน

3.5.2 กฎของเกาส

�ªµ¤­ ¤¡ ��r¦ ³®ª nµ�° ·��·�¦ ´�°�°��r�¦ ³�°�Ä�Â�ª �Ê��µ��°�­ �µ¤Å¢ ¢ µ

บนผวปดกบประจสทธภายในผวปด

Page 13: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

57

q

x

y

z

E

P

s

O

n

d

ds

¦ ¼��É�3.10 ฟลกซไฟฟาผานผวปด s จากประจ q อยภายในผวปด

จากรป�É3.10 ใหประจไฟฟา บวก q อยภายใน�Éจด 0 �¹É�ถกลอมรอบดวยผวปด s สนามไฟฟา �É�»���P ��¹É�° ¥¼n���·ª s เปน

E

= rR

4 20

Á¤ ºÉ°� rRrrR ˆ

เปน เปนการกระจด จาก O ถง P

¢ ¨ ��rÅ¢ ¢ µ�É�nµ�¡ ºÊ��É�·ª�·�� s เปน

= s

sdE

=

sds

R

nrq2

0

ˆˆ

4(3.22)

ปรมาณ

sds

R

nr2

ˆˆเปนคามมตน (solid angle) เขยนแทนดวย สญลกษณ d ��É�¼��·�o° ¤

�oª ¥¡ ºÊ��É��ds �É�»��Oจากสมการ (3.22) จะเขยนใหม เปน

= s

sdE

= s

dq

04(3.23)

sd = 4

= s

sdE

=0

q (3.24)

จากสมการ (3.24) จะไดวา ฟลกซไฟฟา สทธ�É�nµ�¡ ºÊ��É�·ª�·��³Á�nµ���¦ ³�»­ »��·�Éถก ล° ¤ ¦ °�° ¥¼nÄ��·ª�·��Ê�®µ¦�oª ¥�0

ระบบประจไฟฟาประกอบดวย 1q , 2q , 3q ,…, nq อยภายในผวปด s ��¦ ¼��É3.11

สนามไฟฟาจะมคาตามสมการ (3.24) และทก ๆ ประจ จะถกปดลอมดวยมมตน 4

���Ê���จะได

= s

sdE

=

n

iiq

10

1

(3.25)

Page 14: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

58

1q2q

3q

nq

s

¦ ¼��É�3.11 แสดงประจ nqqq ,..., 21 อยภายในผวปด s

ในกรณประจกระจาย­ ¤ ÎɵÁ­ ¤อตลอดปรมาตร ดวยความหนาแนนประจเชงปรมาตรเปน dvv ถก¨ o° ¤¦ °��¦ ·¤µ�¦ �Ê�oª ¥�·ª�·��s จะพจารณาคาฟลกซไฟฟาคลายกบ

กรณของจดประจ จะได

s

sdE

= vvdv

0

1 (3.26)

จากสมการ (3.24) สมการ (3.25) และ (3.26 จะคลายกน เรยกวา รปอนทกรลของกฎของเกาส (integral form of Gauss’s law)

���°�Á�µ­ r�­ µ¤µ¦ ��É�³Ä�o®µ�¦ ³�»�Ê�®¤��É° ¥¼nภายในผวปดได ถาทราบความเขมสนามไฟฟา หรอความหนาแน�¢ ¨ ��rÅ¢ ¢ µ¡ »n��nµ��·ª�·��Ê�� อยางไรกตาม ถาประจกระจายอยางสมมาตร ความหนาแ�n�¢ ¨ ��rÅ¢ ¢ µ�É�nµ��·ª�³���É� และการใชกฎของเกาสในการหาคาสนามไฟฟา จะชวยลดความ ���o°��°���®µ�ÉÁ�É¥ª�o° ��

จากสมการ (3.26) โดยใชทฤษฎไดเวอรเจนซ จะเขยนสมการ (3.26) ไดเปน

v

dvE

= vvdv

0

1 (3.27)

สมการ (3.27) จะเปนจรงทก ๆ ปรมาตร v��É�¼�®n° ®»o¤�oª ¥�·ª ��s ����Ê� คา° ·��·�¦ ´ �Ê�­ °�Ä�­ ¤�µ¦�ะเทากน �É�»�Ä��Ç�Ä��¦ ·£¼¤ ·��³Å�o�

E

=0

v (3.28)

หรอ D

= v (3.29)สมการ (3.28) และ (3.29) เปนคาดฟเฟอรเรนเชยลของกฎของเกาส (differential

form of Gauss’s law)

Page 15: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

59

r

R

P

q

ตวอยาง 3.5 จงหาขนาดของความเ�o¤�°�­ �µ¤Å¢ ¢ µ�É�»�� P �É�»�ใด ๆ ในสนามของจด

ประจ q โดยใชกฎของเกาส

วธทา สรางผวเกาสเซยนรปทรงกลมรศม r ผานจด P ลอมรอบประจ ใหประจ q �° ¥¼n�É

จดศนยกลาง��¦ ¼��É3.12 ความเขมสนามไฟฟา E��É�nµ��·ª�°��¦��¤�³ �Ê��µ�กบผว

ของทรงกลมมทศตามแนวรศม

¦ ¼��É�3.12 ผวเกาสเซยนลอมรอบประจ q��¹É�ª µ�° ¥¼n�É�»�«¼�¥r�µ�

E

= rEr ˆ

จากกฎของเกาส s

sdE

=0

q

s

sdE

=

0

2

0

2 sin ddrEr = rEr 24

204 r

qE

ตอบ

3.6 ศกยไฟฟา

จาก�É�nµ�¤µ ไดศกษาผลของสนามไฟฟาในรปของสนาม Áª�Á�° ¦ r�Ä��°��Ê�³ «¹�¬µ�«�¥rÅ¢ ¢ µ�É° ¥¼n ในรปของสนามสเก¨ µ¦ r��¹É�ปรมาณสเกลารจะชวยใหการหาคา�¦ ·¤µ��ÉÁ�É¥ª�o°���εไดงายกวาปรมาณเวกเตอร

Á¤ ºÉ° ª µ��¦ ³�»��­ ° ��q ในสนามไฟฟา E�¦ ��µ�­ �µ¤Å¢ ¢ µ�É�¦ ³�ε���¦ ³�»

ทดสอบ มคา เปน Eq

�εĮo�¦ ³�»Á�ºÉ°��ÉÁ�È�¦ ³ ¥³�µ�­ Ê��Ç�ld

ดงรป�É3.13 �Á¤ºÉ°�¦ ³�»

Page 16: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

60

a

b

E

ld

เสนแรงไฟฟา

ก.

a

b

เสนแรงไฟฟา

ld

extF

qEq

ข.

a

b

E

c

เสนแรงไฟฟาcq

Á� ºÉ°��³Á�·��µ�Á�ºÉ°��µ�­ �µ¤Å¢ ¢ µ�� �µ��É�εĮo�¦ ³�»Á� ºÉ°��ÉÄ�¦ ³ ¥³�µ�­ Ê��Ç���dl มคาเปน

ldFdWe

= ldEq

(3.30)

eW Â���µ��ÉÁ�·��µ�­ �µ¤Å¢ ¢ µ� E

รป�É3.13 �µ¦ Á� ºÉ°��É�°��¦ ³�»ทดสอบในสนามไฟฟา จาก ก. สนามไฟฟา ข . แรงภายนอก

�oµ�¦ ³�»��­ °�Á� ºÉ°��É�oµ�¦���·«­ �µ¤Å¢ ¢ µ��oª ¥ แรงภายนอก extF

งานยอย ๆ �ÉÁ�·��µ�¦�£µ¥�°�

dW = - ldFext

(3.31)

Á�¦ ºÉ°�®¤µ¥���Â���·«�¦ ³�»Á�ºÉ°��ÉÄ��·«�µ��¦��oµ¤��­ �µ¤Å¢ ¢ µ��Á¤ºÉ°�¦ ³�»Á� ºÉ°��oª ¥

�ªµ¤Á¦ Ȫ���ÉdW = ldEq

(3.32)

���Ê���µ��Ê�®¤�Ä��µ¦ Á�ºÉ°��¦ ³�»��­ °��µ���»�Á¦ ·É¤�o�b ถงจดสดทาย a

a

bAB ldEqldFW

(3.33)

¦ ¼��É�3.14���µ¦ Á�ºÉ°��¦ ³�»��µ¤ª ·��·��c ในสนามไฟฟา

Page 17: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

61

�oµÁ�ºÉ°��¦ ³�»¦ °�Á­ o��µ��·����¦ ¼��É3.14 คาของงานจะเปนศนย เขยนในรปสมการ

c

ldE= 0 (3.34)

สนามไฟฟา ถาเปนตามÁ�ºÉ°�Å��°�­ ¤�µ¦ �Ê��³Å�oª nµ­ �µ¤Å¢ ¢ µ� เปนสนามของแรง อนรกษ (conservative)

Á¤ ºÉอ สนามไฟฟา จะเปนสนามของแรงอนรกษ จะได E

= 0 (3.35)และถาเครลของสนามเวกเตอร เปนศนยแลว สนามเวกเตอรจะเขยนในเทอมเกร

เดยนต ของสนามสเกลารได ���Ê�คาสนามไฟฟา E

จะเขยนในเทอมของสนามสเกลาร Vไดเปน

E

= V

(3.36)สมการ (3.33) จะเปน

- a

bldEq

= a

bldVq

(3.37)

แทนคา ldV

= dV

จะได abW = a

bldEq

= a

b

V

VdVq (3.38)

abW = )( ba VVq = abqV (3.39)Á¤ ºÉ°�aV และ bV เปนคาของสนามสเกลาร V ��É�»��a และ b หรอกลาวไดวา aV

และ bV ��Á�È�«�¥rÅ¢ ¢ µ�É�»�� a และ b ตามลาดบÁ¤ ºÉ°�abV = aV - bV �³Á�È��nµ«�¥rÅ¢ ¢ µ�É�»�� a�Á�¥���«�¥rÅ¢ ¢ µ�É�»��� b หรอ

เปนคาความตางศกยระหวางจด 2 จดในสนามไฟฟา

จากสมการ (3.39) จะไดวางµ�Ä��µ¦ Á� ºÉ°��¦ ³�»สนามไฟฟา จะมคาเปนบวก Á¤ ºÉ°«�¥rÅ¢ ¢ µ�É�»�� a�­ ¼��ª nµ«�¥rÅ¢ ¢ µ�É�»�� b หรอ กลาวไดวา �µ�Á�ºÉ°��µ�¦�£µ¥�°��Ä��µ¦ Á� ºÉ°��¦ ³�»�ª��oµ�­ �µ¤Å¢ ¢ µ��³�εĮo�nµ¡ ¨ ��µ�«�¥rÁ¡ ·É¤�¹Ê�� หรอ งานในกµ¦ Á� ºÉ°�ประจบวกในสนามไฟฟามคาเทากบคาพลงงานศกย ของประจ�ÉÁ¡ ·É¤�¹Ê�

3.6.1 ความตางศกยไฟฟา

ความตางศกยจะเปน�µ¦ Á� É¥��nµ¡ ¨ ��µ�ศกยไฟฟาตอหนวยประจ

abV =q

Wab

q 0lim

= a

bldE

(3.40)

จากสมการศกยไฟฟาจะมหนวยเปน จลตอ คลอมบ )/( CJ หรอ โวลต )(V

ศกยไฟฟา จากจดประจ ถา­ �µ¤Å¢ ¢ µÁ�ºÉ°��µ��¦ ³�» q �ɦ ³ ¥³�µ��µ¤Â�ª ¦ «¤�r เปนตามสมการ

Page 18: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

62

rr

qE ˆ

4

12

0

ระยะทาง�µ¤Â�ª ¦ «¤�É�»�­ °��»�a และ b จากจดกาเนด (origin) เปนระยะ 1r

และ 2r ตามลาดบจากสมการ (3.40) จะได

1

22

0

1

4

r

rab dr

r

qV

)11

(4 210 rr

qVab

(3.41)

ถาให 2r ° ¥¼n�É�ε®�n�° ���r�(infinity) ��³Å�o�nµ«�¥rÅ¢ ¢ µ�É�»�� a หรอเรยกวาศกยไฟฟาสมบรณ (absolute potential) ให Rr 1 จะได

aV =R

q

04(3.42)

คาความเขมสนามไฟฟาในเทอมของความหนาแนนประจเชงเสน ความหนาแนนประจ

เชงผว และ ความหนาแนนประจเชงปรมาตร จะหาคาศกยไฟฟาไดทานองเดยวกนกบจดประจ

�³Å�o­ ¤�µ¦ ­ ��«�¥rÅ¢ ¢ µ�É�¦ ³�µ¥­ ¤ ÎÉ าเสมอเปนความหนาแนนประจเชงปรมาตร

V =

v

v

rr

vdr

)(

4

1

0

(3.43)

ความหนาแนนประจเชงผว

V =

v

s

rr

sdr

)(

4

1

0

(3.44)

ความหนาแนนประจเชงเสน

V =

v

l

rr

ldr

)(

4

1

0

(3.45)

ตวอยาง 3.6 ตวนารปวงแหวน รศม a�¤�¦ ³�»�¦ ³�µ¥­ ¤ ÎɵÁ­ ¤°���®µ«�¥rÅ¢ ¢ า และความเข

สนามไฟฟา �É�»�Ä��Ç���Â���°�ª�®ª�

วธทา ��Á¤ºÉ°�¦ ³�»�¦ ³�µ¥­ ¤ ÎɵÁ­ ¤°���¦ ¼��É3.15 ��«�¥rÅ¢ ¢ µ�É�»�� ),0,0( zP บนแกน z

จากสมการ (3.42) จะได

Page 19: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

63

2/122 )( za

d

zP ,0,0

z

l

x

y

0,,aP

¦ ¼��É��3.15���¦ ³�»�¦ ³�µ¥­ ¤ ÎɵÁ­ ¤° �°�ª�®ª�

)(zV =

2

0 2/1220 ][4

1

za

adl

)(zV =22

02 za

al

«�¥rÅ¢ ¢ µ�É�»�«¼�¥r�µ งของวงแหวน ( 0z )

)0(V =02

l

ความเขมสนามไฟฟา จากสมการ จะได

E

= V

= kz

zV ˆ)(

E

= kza

zl ˆ)(2 2/322

0

¨ ³��ª µ¤Á�o¤ ­ �µ¤Å¢ ¢ µ�É�»�«¼�¥r� µ��°�ª�®ª�� ( 0z ) จะมคาเปนศนย Á®�»��µ��ª µ¤­ ¤¤µ�¦�°��¦ ³�»�É�¦ ³�µ¥�°�ª�®ª�

ตอบ

Page 20: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

64

P

1r

2r

q

q

2

d

-2

d

y

z

x

3.7 ไดโพลไฟฟา

Å�á ¨ Å¢ ¢ µÁ�È��¼n�¦ ³�»�ɤ��µ� เทากนแตเปนประจชนดตรงกนขาม และวางอยใกล ๆ กน ใหประจมขนาดเปน q และ - q วางหางกนเปนระยะ d ��¦ ¼��É3.16 จะพจารณาคาศกยÅ¢ ¢ µÂ¨ ³�ª µ¤Á�o¤­ �µ¤Å¢ ¢ µ�µ�Å�á ¨ ���É�»��� ),,( zyxP ในปรภม ได���Ê

Ä®o�¦ ³�»�Ê�­ °�° ¥¼n®nµ��µ���Á�È�¦ ³ ¥³�µ�­ Ê�¤µ��Á¤ºÉ° Á�¥���¦ ³ ¥³�µ��°��¼o­ �Á��«�¥rÅ¢ ¢ µ�É�»���� P �µ��¦ ³�»�Ê�­ °��เปน

V =

210

11

4 rr

q

V =

21

12

04 rr

rrq

Á¤ ºÉ°��1r และ 2r เปนระยะทางจากจด ถงจด P ��¦ ¼��É3.16ถาประจ�Ê�­ °�­ ¤¤µ�รกน ตามแนวแกน z �¨ ³�»��É­ �Á���É r มระยะไกล มาก

ๆ Á¤ ºÉ° Á�¥���¦ ³ ¥³ ¦ ³ ®ª nµ��¦ ³�»�Ê�­ °��� dr ดงรป�É3.17 จะประมาณระยะทางของ

1r และ 2r ไดเปน

cos5.01 drr

cos5.02 drr

และ 22221 )cos5.0( rdrrr

¦ ¼��É�3.16 ไดโพลไฟฟา

Page 21: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

65

1r

r

q

q

2r

x

z

y

cos5.0 d

d5.0

¦ ¼��É�3.17 แสดงระยะทาง P �É° ¥¼nÅ�¤µ��Ç��µ�Å�á ¨ � )( dr

«�¥rÅ¢ ¢ µ�É�»��� P จะเขยนใหมไดเปน

V =

2

0

cos

4 r

dq

(3.46)

จากสมการจะไดขอสงเกตวา ศกยไฟฟา �É�»����°�¦ ³�µ��°�Å�á ¨ ��³Á�È��0 Á¤ ºÉ°�90 ���Ê��Á¤ºÉ° Á�ºÉ°��¦ ³�»Ä�¦ ³�µ��Ê�³Å¤n­ ¼�Á­ ¥¡ ¨ ��µ�ให p

เปนไดโพลโมเมนตเวกเตอร (dipole moment vector) และ มขนาดเปนqdp ��¨ ³ ¤�·«�Ê�µ��¦ ³�»�Å��¦ ³�»Å��¦ ³�»�ª�

���Ê� kqdp ˆ

«�¥rÅ¢ ¢ µ�É�»��� P จะเขยนไดเปน

V =2

04

cos

r

p

=2

04

ˆ

r

rp

(3.47)

จากสมการ(3.47) จะพบวาศกยไฟฟาของไดโพล จะแปรผกผนกบระยะทางยกกาลงสอง )( 2r ของไดโพล �Â�nÄ��¦ ��°��¦ ³�»Á�É¥ª «�¥rÅ¢ ¢ µ�³Â�¦ ����¦ ³ ¥³�µ ง ( )r

คาของ�ªµ¤Á�o¤­ �µ¤Å¢ ¢ µ�É�»��� P ของไดโพล Á¤ ºÉ°�¦ µ��nµ«�¥rÅ¢ ¢ µÂ¨ oª ­ �µ¤Å¢ ¢ µ�³®µÅ�o โดยใชสมการ

VE

ในระบบพกดทรงกลม

จะได E

= ]ˆsinˆcos2[4 3

0

rr

p

Á¤ ºÉ°�� ˆsinˆcos2 r = )ˆsinˆ(cosˆcos3 rr

Page 22: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

66

= kr ˆˆcos3

Â���nµ���³Å�o�ª µ¤Á�o¤­ �µ¤Å¢ ¢ µ�É�»��� P เปน

E

=5

0

2

4

ˆ)ˆ(3

r

prrrp

(3.48)

จากสมการ (3.48) จะไดวาความเขมสนามไฟฟาจะลดล งเปนระยะทางยกกาลงสามและ �Éจดตดของระนาบ ( 2/ ) ทศของเสนแรงสนามไฟฟาจะมทศตามแกน z Á¤ ºÉ°

k

���Ê���สนามไฟฟา จะได

E

=3

04 r

p

Á¤ ºÉ°� 2/ (3.49)

¨ ³ Á¤ ºÉ°� 0 หรอ เสนของสนามของไดโพลจะขนานกบไดโพลโมเมนต p

�µ��É�nµª ¤µÂ¨ oª จะไดวา ไดโพลไฟฟา เปนคประจขนาดเทากนแตเปนประจชนดตรงกนขามวางอยใกลกน ทก ๆ คของไดโพล จะมเวกเตอรของไดโพลÁ�·��¹Ê�เรยกวา ไดโพลโมเมนต (dipole moment) และถาประจ q��Á�È���µ��°��¦ ³�»�Ê�­ °��ª µ�®nµ���Á�È�¦ ³ ¥³d จะไดไดโพลโมเมนตมคาเปน dqp

���·«�°�Áª�Á�° ¦ r�³ ¤�·«�Ê�µ��¦ ³�»�Å��¦ ³�»

�ª���¹É�Â�ª�·�Á�É¥ª ��Å�á ¨ äÁ¤��r�Ê�³�εÅ�ใชอธบายไดอเลกท¦ ·�Á¤ ºÉ° ° ¥¼nÄ�­ �µ¤Å¢ ¢ µ

�ª ° ¥µ��É 3.7 อเลกตรอนและโปรตอน วางหางกนเปนระยะ 1110 m และสมมาตรตาม

แกน z �Éจด 0z ��¹É�เปนจดแบงระนาบ����ε�ª�®µ«�¥rÅ¢ ¢ µÂ¨ ³ ­ �µ¤Å¢ ¢ µ�É�»�� P (

kji ˆ5ˆ4ˆ3 )

วธทา เวกเตอรบอกตาแหนง r = kji ˆ5ˆ4ˆ3 และ 1.7r m

ไดโพลโมเมนต kdqp ˆ10106.1 1119

«�¥rÅ¢ ¢ µ�É�»�� P จากสมการ V =3

04 r

rp

=3

309

)1.(

5106.1109

= 2100.2

«�¥rÅ¢ ¢ µ�É�»�� P จากสมการ E

=4

(3 rp

=1.7(

.1109 9

= i 17ˆ85.12[

7

2 V

50

2ˆ)ˆ

r

prr

]ˆ)1.7()ˆ5ˆ4ˆ3(53[)

106 2

5

30

kkji

kj ˆ03.7ˆ14. mV /

ตอบ

Page 23: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

67

3.8. บทสรป

ประจไฟฟาม 2 ชนดคอประจบวกและประจลบ ประจจะมแรงกระทาตอกนตามกฎของ

คลอมย 12212

2112 r

R

qkqF

­ �µ¤Å¢ ¢ µ�Á�È�° �¦ µ­ nª��°�¦�Å¢ ¢ µ�É�¦ ³�ε�n°�¦ ³�»��­ °� E

=t

q q

F

t

0lim

ฟลกซÅ¢ ¢ µ�Á�È�Á­ o�¦ �Å¢ ¢ µ�É¡ »n��nµ��·ª ­ ¤¤�·Ä�Â�ª �Ê��µ��¨ ³ ¢ ¨ ��rÅ¢ ¢ µ�É

�nµ�¡ ºÊ��·ª�·��³Á�nµ���¦ ³�»­ »��·�É�¼�o° ¤¦ °�° ¥¼nÄ��·ª�·��Ê�®µ¦�oª ¥�0 ตามกฎของเกาส

= s

sdE

=0

q

พลงงานศกยÅ¢ ¢ µÁ�È��µ�Ä��µ¦ Á� ºÉ°��¦ ³�»�µ��»�®�¹É�Å�° ��»�®�¹É�Ä�­ �µ¤Å¢ ¢ µ

และพลงงานศ�¥rÅ¢ ¢ µ�n°�nµ�°��¦ ³�»Å¢ ¢ µ�É�»�Ä���Ç��³Á�È��nµ«�¥rÅ¢ ¢ µ�É�»��Ê�

abV =q

Wab

q 0lim

= a

bldE

ไดโพลไฟฟาเป นคประจตางชนดกนวางอยใกลกนมาก ๆ จะไดศกยไฟฟาของไดโพล

แปรผกผนกบระยะทางยกกาลงสอง และมเวกเตอรของไดโพลเรยกวาไดโพลโมเมนต

V =2

04

cos

r

p

=2

04

ˆ

r

rp

3.8 แบบฝกหด

1. ประจไฟฟา 2 ประจมมวลเทากนเปน m และมประจเปน q และ q2 ตามลาดบ แขวนดวยเชอกยาว l��É�»�¦ nª ¤���»�®�¹É����®µ¤»¤���°�Á�º°��É�µ�° °�Á�¥���Â�ª�·É��( )8/ 2

02 mglq

2. กาหนดให D

= ˆcos2ˆsin10 r จงหาคาความหนาแนนประจ

( )cot218(5

sin 2

3. จดประจ 3 ประจขนาด 9104 C �ª µ�° ¥¼n�ɤ»มของÁ®¨ É¥¤จตรส มความยาวดานละ 15 cm จงหาขนาดและทศทางของสนามไฟฟา �ɤ»¤�ÉŤn¤�¦ ³�»ª µ�° ¥¼n

( mVE /3061

ในทศตามแนวเสนทแยงมม)4. จานกลมรศม R �¤�¦ ³�»�¦ ³�µ¥­ ¤ ÎɵÁ­ ¤°�oª ¥�ª µ¤®�µÂ�n��¦ ³�»Á�·��·ª�� จงหา

­ �µ¤ Å¢ ¢ µ�É�»���Â���° ��µ��ɦ ³ ¥ ³ ®nµ� จ า ก ร ะ นาบ จาน เ ปน z

( )1(2

(22

0 Rz

zE

)

Page 24: บทที่ 3 ไฟฟ้าสถิตย์

68

5. �¦ ³�»�¦ ³�µ¥���¦ �� ¤¤�ª µ¤®�µÂ�n��¦ ³�»Á�·��¦ ·¤ µ�¦ �¹Ê���¦ « ¤��r เปน = )(r จงหาศกยไฟฟาสถต )(rV ��Á¤ºÉ°

r

A , A�Á�È��nµ���ÉÁ¤ ºÉ°� Rr 0

= 0 �Á¤ºÉ°� Rr

(V = )2/)(/( 0 rRA Á¤ ºÉ°� Rr )( rARV 0

2 2/ Á¤ ºÉ°� Rr )6. ­ �µ¤Å¢ ¢ µÄ��¦ ¦ ¥µ�µ«�É�·ª à ��¤�nµ�¦ ³ ¤µ�� 200 mV / �Ä��·«�µ���µ¤Â�ª�·É��

�É�1400 m เหนอผวโลก สนามไฟฟาในบรรยากาศมคาเพยง 20 mV / ในทศทางÁ�¥ª �����®µ�ª µ¤®�µÂ�n�Á�É¥�°��¦ ³�»Å¢ ¢ µÄ��¦ ¦ ¥µ�µ«�ɦ ³ ���Îɵ�ª nµ� 1400m และอนภาคสวนใหญเปนไออนบวกหรอไออนลบ

( 312 /101.1 mC ไอออนบวก)7. ���ε�ª�®µ¡ ¨ ��µ��°�¡ ºÊ��·ª �ɤ�¦ ³�»�¦ ³�µ¥° ¥¼n° ¥nµ�­ ¤ÎɵÁ­ ¤ ° ���Ê��¦ ��¤

° �®�¹É�¤¦ «¤�R ¤�¦ ³�»�Ê�®¤��q (R

q 2

08

1

)

8. �Ê��¦��¤�(spherical shell) �ª�° �®�¹É�¤�ª µ¤®�µ�Â�n��°��¦ ³�»Á�·��¦ ·¤µ�¦�

=2r

k บรเวณ bra �Á¤ºÉ°�a เปนรศมวงใน และ b เปนรศมวงนอก จง

คานวณ ®µ­ �µ¤Å¢ ¢ µÄ��¦ ·Áª���nµ��Ç����Ê

ก. ar ( 0 )

ข. bra ( rarr

kˆ)(

20

)

ค. br ( rabr

kˆ)(

20

9. จงหาแรงคาของแรงไฟฟา ���ε�ª�®µ�nµ­ �µ¤Å¢ ¢ µ�ÉÁ�·��µ�Á­ o� ª��¦�¥µª�� L2

วางตวอยตามแนวแกน x ¤�¦ ³ �»�¦ ³�µ¥­ ¤ ÎɵÁ­ ¤ ° Á�·�Á­ o�Á�È����ɦ ³ ¥ ³�µ¤

แนวแกน z เปนระยะ d ( kd

ˆ2

4

1

0

)

10. จดประจ 3 ประจวางอยหางกนเปนระยะ d จากจดกาเนด จงคานวณหาสนามไฟฟา

Ã�¥�¦ ³ ¤µ��É�»�Å�¤µ��µ��»��εÁ�·� ( ))ˆsinˆcos2(ˆ1

(4 32

0

rr

dr

r

qq