Ю.Марчук Курс лекцій з математики

ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ Вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки студентів по темі

Студент:

� розуміє значення поняття похідної для опису реальних процесів, зокрема механічного руху;

� знаходить кутовий коефіцієнт і кут нахилу дотичної до графіка функції в даній точці;

� знаходить швидкість змінення величини в точці;

� наближено обчислює значення і приріст функції в даній точці;

� диференціює функції, використовуючи таблицю похідних і правила диференціювання;

� застосовує похідну для знаходження проміжків монотонності і екстремумів функції;

� знаходить найбільше і найменше значення функції;

� розв′язує нескладні прикладні задачі на знаходження найбільших і найменших значень

реальних величин.

Тема: Границя функції в точці. Повторити:

− Окіл точки.

− Границя функції.

− Неперервність функції.

Розглянемо функції та їх графіки:

f1(x) = x+3; f2(x) = 3

92

−

−

x

x

; f3(x) =

=

≠+

3якщо,2

3якщо,3

x

xx

D(f1) = R D(f2) = (-∞; 3)U(3;+∞) D(f3) = R

Нехай х ≈ 3 з точністю до 0,1, тобто | х - 3 | < 0,1.

Отже х ∈ (2,9; 3,1) – це окіл точки 3.

Вважаємо, що х змінюється неперервно, хоча може не існувати в одній із точок, наприклад х = 3.

Спостерігаючи за f1(x), f2(x), f3(x) при х з околу точки 3 можна побачити, що для всіх х ≠ 3 з околу

точки 3 f1(x)= 6, f2(x) = 6, f3(x) = 6.

Якщо значення х належить δ-околу точки 3 (δ = 0,1; δ = 0,01;…), то кажуть, що х наближається

(прямує) до 3, і записують х → 3. Тоді f1(x)→ 6, f2(x) → 6, f3(x) → 6.

В такому випадку кажуть, що функції f1(x), f2(x), f3(x) мають границю в точці 3, яка дорівнює 6 і

записують так:

6)(lim1

0

=→

xfx

6)(lim2

0

=

→

xfx

6)(lim3

0

=

→

xfx

6)3(lim0

=+→

xx

63

9lim

2

0

=

−

−

→ x

x

x

6)3(lim0

=+→

xx

Число b називається границею функції y = f(x) для х→а або в точці а, якщо для будь-якого числа ε > 0 існує число δ(ε) > 0, що як тільки виконується умова |x - a| < δ, то виконується і нерівність |f(x) - b| < ε.

Символічно це записують так: bxfax

=

→

)(lim

Змістовно цей запис означає таке: якщо значення аргументу беруться все ближче і ближче до

значення х = а, то значення функції все менше і менше відрізняється від граничного значення b.

Ю.Марчук Курс лекцій з математики

Властивості границі неперервної функції:

1. Якщо bxfx

=

→

)(lim0

, то b – єдине.

2. ССax

=

→

lim , С = const.

3. )()(lim afxfax

=

→

.

Основні теореми про границі:

Теорема 1. (границя суми (різниці))

)(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax →→→

±=±

Теорема 2. (границя добутку)

)(lim)(lim))()((lim xgxfxgxfaxaxax →→→

⋅=⋅

Наслідок. )(lim))((lim xfCxfCaxax →→

⋅=⋅

Теорема 3. (границя частки)

0)(lim,)(lim

)(lim

)(

)(lim ≠=

→

→

→

→

xgxg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

ax

Питання для самоконтролю. 1. Що називається границею функції?

2. Як записується границя функції в точці?

3. Які властивості границі неперервної функції ви знаєте?

4. Назвіть основні теореми про границі.

Тема: Похідна функції. Повторити:

− Математичне моделювання.

Часто буває так, що розв′язуючи задачі різні за змістом, ми приходимо до однієї і тієї самої

математичної моделі.

Особливість математики як науки полягає в тому, що вона розробляє способи оперування з тією

чи іншою математичною моделлю, яку потім використовують спеціалісти інших галузей знань.

Ви вчитеся працювати з багатьма математичними моделями – рівняннями, нерівностями,

системами рівнянь, системами нерівностей і т.д.

Ми переходимо до вивчення принципово нової математичної моделі.

Розглянемо дві різні задачі: фізичного і геометричного змісту, в процесі розв′язування яких саме і

виникає нова математична модель.

Задача про миттєву швидкість прямолінійного руху матеріальної точки.

Нехай матеріальна точка рухається по прямій. Закон руху задано формулою S = S(t), де t – час,

S(t) – положення матеріальної точки на прямій у момент часу t по відношенню до початку відліку.

Потрібно знайти швидкість руху матеріальної точки в момент часу t.

Розв′язання.

Нехай матеріальна точка в момент часу t була в точці А (див.мал.)

і пройшла шлях ОА = S(t).

Надамо аргументу t приросту ∆t і розглянемо ситуацію в момент

часу t + ∆t. Координата матеріальної точки зміниться, вона перебуватиме в точці В, пройшовши

шлях від початку відліку ОВ = S(t+∆t). Тоді за час ∆t матеріальна точка переміститься з точки А в

точку В, пройшовши шлях ∆S = S(t+∆t) - S(t) (АВ = ОВ - ОА). АВ = ∆S, ∆S – приріст шляху, ∆t –

приріст часу.

Ю.Марчук Курс лекцій з математики

Шлях ∆S матеріальна точка проходить за час ∆t. Тоді середня швидкість vc на відрізку АВ буде

визначатись за формулою t

Svc

∆

∆= . За умови, що ∆t→0, значення середньої швидкості буде

прямувати до значення швидкості в точці А, тобто в момент часу t.

Швидкість руху в даний момент часу називається миттєвою швидкістю.

Це можна пояснити ще так:

миттєва швидкість – це середня швидкість руху за проміжок часу [t; t+∆t] за умови, коли

∆t → 0.

Тоді c

t

vtv0

lim)(→∆

= . Звідси слідує, що

t

Stv

t ∆

∆=

→∆ 0

lim)(

Поняття про дотичну до плоскої кривої.

Розглянемо січну до деякої кривої (див.мал.).

m – крива, КМ – січна. Нехай точка К – фіксована, а точка М –

рухається до т.К по кривій m. При такому русі січна буде

змінювати своє положення.

Часто буває так, що в цьому процесі можна виявити

пряму, яка являє собою деяке граничне положення

січної коли точка М зближається з точкою К. Таку

пряму називають дотичною до кривої m в т.К.

Задача про дотичну до плоскої кривої.

Нехай дано графік функції y = f(x) (див.мал.). На

графіку вибрано точку А(х0; f(x0)) через яку проведено

невертикальну дотичну. Потрібно знайти кутовий

коефіцієнт дотичної.

Розв′язання.

Відомо, що дотична – це пряма y = kx + b, яка проходить через точку А(х0; у0). Положення цієї

прямої визначається кутовим коефіцієнтом k = tg α, де α – це кут між прямою і додатним

напрямом осі Ох.

Надамо аргументу х0 приросту ∆х і розглянемо точку М графіка з абсцисою (х0 + ∆х). Ордината

точки М дорівнює f(x0 + ∆х).

Кутовий коефіцієнт січної АМ визначається за формулою x

ykсіч

∆

∆= , ∆у = f(x0 + ∆x) – f(x0).

З трикутника АВМ – прямокутного: АВ = ∆х, МВ = ∆у, маємо βtgx

y=

∆

∆. Якщо ∆х → 0, то точка М

буде наближатись до точки А по кривій. Тоді січ

xдот

kk0

lim→∆

= . Звідси слідує, що

ktgtgx

yk

xxдот

===∆

∆=

→∆→∆

αβ00

limlim

Висновок:

Ці дві задачі привели в процесі розв’язування до однієї і тієї самої математичної моделі – границі

відношення приросту функції ∆у до приросту аргумента ∆х, за умови коли приріст аргумента

прямує до нуля.

Багато задач з фізики, хімії, економіки та інших наук приводять у процесі їх розв′язування до такої

самої моделі. Розглянемо цю нову математичну модель.

Нехай функція y = f(x) визначена в точці х та в деякому її околі. Надамо аргументу х приросту ∆х,

(але так, щоб не вийти з заданого околу). Знайдемо відповідний приріст функції ∆у і розглянемо

відношення x

y

∆

∆.

Ю.Марчук Курс лекцій з математики

Границю відношення приросту функції ∆у до приросту аргументу ∆х (якщо вона існує),

коли приріст аргументу прямує до нуля (∆х→0), називають похідною функції у = f(x) в

точці х.

Позначення: f′(x), y′

Отже )(lim0

xfx

y

x

′=∆

∆

→∆

або yx

y

x

′=∆

∆

→∆ 0

lim

Розглянуті на початку задачі розкривають відповідно механічний і геометричний зміст похідної

функції: v(t) = S′(t) і k = f′(x)

Алгоритм знаходження похідної для функції у =f(х)

1. Зафіксувати значення аргументу х0, обчислити значення функції f(х0).

2. Надати аргументу х0 приросту ∆х, перейти в нову точку х = х0 + ∆х, обчислити значення

функції в цій точці f(x) = f(x0 + ∆х).

3. Знайти приріст функції ∆у = f(x0 + ∆х) – f(x0).

4. Скласти відношення x

y

∆

∆.

5. Обчислити границю x

y

x ∆

∆

→∆ 0

lim . Ця границя і є похідною функції у =f(х) в точці х0.

Знаходження похідної для функції називається диференціюванням функції.

Функція називається диференційованою в точці, якщо вона має похідну в цій точці.

Функція диференційована на проміжку, якщо вона має похідну в кожній точці цього проміжку.

Вираз x

xfxxf

x

y

∆

−∆+=

∆

∆ )()(00 називають середньою швидкістю зміни функції на

проміжку [x0; x0+∆х].

Відомо, що дотичною до графіка функції є пряма, задана рівнянням y = kx + b. Рівняння дотичної

до графіка функції в заданій точці можна визначити за допомогою похідної згідно формули:

y = f(xo) + f′(xo)(x - xo)

Виведення рівняння дотичної до графіка функції

Отже, дотичною до кривої, яка є графіком деякої функції у = f(x), є пряма, задана рівнянням

у = kx + b. Використаємо похідну для визначення рівняння дотичної, яка проходить через задану

точка графіка функції y = f(x).

Нехай А(хо; уо) – точка дотику дотичної до кривої графіка. Це означає, що координати цієї точки

задовольняють рівняння дотичної, тобто уо = kxо + b. Врахувавши, що yo = f(xo) і k = f′(xo),

одержимо рівність f(xo) = f′(xo)⋅ xo+b. Звідси b = f(xo) - f′(xo)⋅ xo. Підставимо k і b у рівняння

у = kx + b. Тоді y = f′(xo)x + f (xo) - f′(xo)⋅ xo.

y = f (xo) + f′(xo)(x - xo)

Одержана рівність називається рівнянням дотичної.

Питання для самоконтролю.

1. Наведіть приклад задач, що приводять до поняття похідної?

2. Що називають похідною функції?

3. Який механічний зміст похідної?

4. Який геометричний зміст похідної?

5. Що таке диференціювання?

6. Яка функція називається диференційованою в точці? на проміжку?

7. Як визначити середню швидкість зміни функції?

8. Як за допомогою похідної встановити рівняння дотичної?

Ю.Марчук Курс лекцій з математики

Тема: Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання.

Для визначення похідних елементарних функцій використовують формули диференціювання.

Формули диференціювання

1) С′=0; 8) (ax)′= a

x⋅ lna

2) х′=1; 9) (ex)′= e

x;

3) (xn)′=nx

n-1; 10) (sin x)′=cos x;

4) 2

11

xx

−=′

; 11) (cos x)′=-sin x;

5) ( )x

x

2

1=

′; 12) (tg x)′=

x2

cos

1;

6) (ln x)′=x

1; 13) (ctg x)′=

x2

sin

1− ;

7) ( ) e

x

xaa

log1

log ⋅=′

; 14) (kx + b)′=k.

Для визначення похідних користуються такими правилами:

Правило 1. Якщо функції u(x) і v(x) мають похідні в точці х, то і функція u(x) ± v(x) має похідну в

цій точці, причому

(u(x) ± v(x))′= u′(x) ± v′(x)

Правило 2. Якщо функції u(x) і v(x) мають похідні в точці х, то і функція u(x)⋅ v(x) має похідну в

цій точці, причому

(u(x)⋅ v(x))′= u′(x)⋅ v(x)+ u(x)⋅ v′(x)

Наслідок 1. Сталий множник можна винести за знак похідної:

(с⋅ u(x))′= с⋅ u′(x)

Наслідок 2. Похідна добутку з трьох множників визначається за формулою

(f1⋅f2⋅f3)′= ′′′⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

132231321fffffffff

Правило 3. Якщо в точці х функції u(x) і v(x) мають похідну і v(x)≠0, то функція )(

)(

xv

xu

має похідну

в цій точці, причому

)(

)()()()(

)(

)(2

xv

xvxuxvxu

xv

xu ′⋅−⋅′=

′

Питання для самоконтролю.

1. Чому дорівнює похідна суми функцій?

2. Чому дорівнює похідна різниці функцій?

3. Чому дорівнює похідна добутку двох функцій?

4. Чому дорівнює похідна частки двох функцій?

Тема: Похідна складеної функції.

При диференціюванні зустрічаються функції, аргументом яких є інші функції. Такі функції

називають складеними функціями. Щоб визначити похідну для таких функцій, користуються

наступним правилом.

Ю.Марчук Курс лекцій з математики

Нехай y = f(g(x)) – складена функція.

f(g) – зовнішня функція

g(x) – внутрішня функція

Правило 4. Якщо g(x) має похідну в точці х, а функція f(g) має похідну у відповідній точці g(x), то

складена функція у = f(g(x)) має похідну в цій точці, причому

y′ = f′(g(x))⋅ g′(x)

Наближені обчислення

На практиці похідну застосовують при обчисленні коренів, степенів, значень тригонометричних

функцій малих кутів і т.д.

Наближені обчислення виконують за формулою:

f(x) ≈ f (xo) + f′(xo)∆x

З даної формули виведено такі формули наближених обчислень:

1) хх ∆+≈∆+2

111 3) (1 + ∆х)

п ≈ 1 + п∆х

2) х

пх

х

ххх

п

пп

∆⋅+≈∆+ , )(хfпх

хп

′= 4) (х + ∆х)п ≈ х

п + п⋅х

п-1⋅∆х

Питання для самоконтролю.

1. Як визначити похідну складеної функції?

2. Яка функція є складеною?

Тема: Ознаки сталості, зростання й спадання функції. В процесі дослідження функції потрібно встановити проміжки її зростання і спадання. Таке

дослідження можна провести за допомогою похідної. Для цього використовують відповідні

ознаки.

Достатня ознака зростання функції

Якщо f′(x)>0 в кожній точці деякого інтервалу, то функція f зростає на цьому інтервалі.

Достатня ознака спадання функції

Якщо f′(x)<0 в кожній точці деякого інтервалу, то функція f спадає на цьому інтервалі.

Дослідити проміжки зростання і спадання функції можна за таким алгоритмом:

1) Визначити похідну f′(x) для функції y = f(x).

2) Утворити рівняння f′(x)=0 і розв′язати його.

3) Отримані значення х позначити на числовій прямій, утворивши інтервали.

4) Дослідити знак похідної f′(x) на кожному з утворених інтервалів.

Встановивши знак похідної на кожному інтервалі, ми таким чином визначимо інтервали зростання

і спадання функції.

Внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна дорівнює нулю називаються

стаціонарними, а точки, в яких похідна не існує – критичними.

Питання для самоконтролю.

1. Назвіть ознаки зростання і спадання функції?

2. Як встановити інтервали зростання і спадання функції?

3. Які точки називаються стаціонарними? критичними?

Тема: Екстремуми функції. Стаціонарні і критичні точки відіграють важливу роль у побудові графіка функції, тому що в цих

точках можуть бути точки екстремуму функції.

Ю.Марчук Курс лекцій з математики

За теоремою Ферма:

якщо точка хо є точкою екстремуму функції f і в цій точці існує похідна f′, то f′(xо)= 0.

Отже в точках екстремуму похідна функції дорівнює нулю.

Ознака максимуму функції

Якщо функція f неперервна в точці хо, а f′(x)>0 на інтервалі (а; хо) і f′(x)<0 на інтервалі (хо; b), то

точка хо є точкою максимуму функції f.

Отже, якщо похідна функції в точці хо змінює знак з "+" на "–", то хо – точка максимуму.

Ознака мінімуму функції

Якщо функція f неперервна в точці хо, а f′(x)<0 на інтервалі (а; хо) і f′(x)>0 на інтервалі (хо; b), то

точка хо є точкою мінімуму функції f.

Отже, якщо похідна функції в точці хо змінює знак з "–" на "+", то хо – точка мінімуму.

Питання для самоконтролю.

1. Як визначити точку максимуму функції?

2. Як визначити точку мінімуму функції?

Загальна схема дослідження функції 1) Знайти область визначення функції.

2) Знайти точки перетину графіка з координатними осями.

3) Дослідити функцію на періодичність, парність і непарність.

4) Визначити проміжки знакосталості функції.

5) Знайти інтервали монотонності функції.

6) Знайти екстремальні точки функції.

7) На основі дослідження побудувати графік функції.