Роботу виконала учениця 11 А класу

Харківського ліцею №149Михайлова Катерина

2013р.

Похідною функції f(x) у точці х0 називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці х0 до приросту аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і позначається f'(x0).

Визначення

Похідна позначається: 

Похідна функції в даній точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до функції в цій точці f '(x0) = tg α = k.Рівняння дотичної до функції f(х) в точці х0 записується так: y=f(x0)+f '(x0)(x-x0).

Геометричний зміст похідної

Коли задано функцію шляху S=S(t) то перша похідна від неї за часом дасть функцію швидкості St'(t) = v(t).Похідна від функції швидкості по часу дасть функцію прискорення vt'(t) = a(t).Друга похідна від шляху по часу рівна прискоренню тіла в даний момент часу St''(t)  = a(t).

Механічний (фізичний) зміст похідної

Похідні функцій можна знаходити користуючись означенням. Але такий спосіб є не зручним, і тому на практиці похідні знаходять користуючись таблицею похідних. Якщо u, v - диференційовні функції, С - стала, то правила диференціювання записуються так:

Похідні основних елементарних функцій:

(C)' = 0, де С - деяка стала;(x)' = 1;(ex)' = ex;(xn)' = n•xn - 1;(sin x)' = cos x;(cos x)' = -sin x.

Таблиця похідних

Застосування похідної для дослідження функцій

Якщо y'(x) > 0, то функція зростає.Якщо y'(x) < 0, то функція спадає.Якщо y'(x) = 0 (або не існує), то в точці x = x0 знаходиться екстремум функції (максимум або мінімум).

Похідна складеної функції

Нехай задано функції y=f(t) і t=g(x). Тепер підставимо другу функцію у першу.

Означення.

Функція y=h(x)=f(g(x)) називається складеною функцією (суперпозицією або композицією) функцій відносно функцій f і g.Наприклад, y=Sin2x – складена функція. Формула для знаходження похідної складеної функції записується так: (f(g(x)))'=f '(g(x))·g'(x).

Приклад із розв’язком

Знайти похідну складеної функції

Тренувальні вправи

1.

2.

3.

4.

А.

1. Завдання на відповідність

Б.

В.

Г.

2. Знайдіть похідну функцій:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Відео на тему похідні показникової та

логарифмічної функції