東大入試に学ぶ "数学的"問題解決能力

講師：永野裕之（永野数学塾塾長）

授業予定

第1回 •   【基礎】：三平方の定理に学ぶ『証明』のイロハ（6/27）

第2回 •   【応用】：視覚化と帰納的アプローチ（7/11）

第3回 •   【実践】：東大の入試問題に挑戦！（7/24）

本日の問題

円周率が3.05より大きいことを証明せよ

［東大　2003年］

本日の予定

1.前回までの復習

2.難問の解き方

3.東大入試問題の解説

4.10のアプローチの紹介

5.アインシュタインの真意

1.前回までの復習

・証明のポイント

　　⇒仮定から結論への道筋を丁寧に書く。

・証明の切り口を探すには…

　　⇒ゴールからスタートをさぐる。

【第１回】『三平方の定理に学ぶ証明のイロハ』より

・情報が足りないときは…

　　⇒視覚化する

・どこから手をつけたら良いか分からないときは…

　　⇒帰納的にアプローチ（具体的にやってみる）

【第２回】『視覚化と帰納的アプローチ』より

2.難問の解き方

①　“そもそも”の最初に戻る

②　困難を分割する

なぜ分数の割り算はひっくり返すのか？ タエ子「分数を分数で割るってどういうこと？」

　　姉「え？」

タエ子「2/3     個のリンゴを   1/4     で割るっていうのは、2/3     個のリンゴを4人で分けると

　　　　ひとり何個かってことでしょ？」

　　姉「ん？うん……」

タエ子「だから（リンゴの絵を描いて考える）1、2、3、4、5、6で1人   1/6     個。」

　　姉「違う違う！それは掛け算！」

タエ子「えーどうして？掛けるのに数が減るの？」

　　姉「2/3     個のリンゴを   1/4     で割るっていうのは…（言葉に窮する）

とにかく！リンゴにこだわるから分かんないのよ！！掛け算はそのまま！

　　　　割り算はひっくり返す、って覚えればいいの！」

そもそも、分数とはなにか？

1÷𝑛= 1/𝑛  一般化すると…

分数のかけ算

面積は… 1/2 × 3/4   ［𝑚↑2 ］ 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8     [𝑚↑2 ]

1/8 

1/8 

1/8 

つまり… 1/2 × 3/4 = 1×3/2×4 = 3/8 ［𝑚↑2 ］

𝑎/𝑏 × 𝑝/𝑞 = 𝑎×𝑝/𝑏×𝑞  一般化すると…

分数で割るってどういうこと？

𝟏÷ 𝟏/𝟑  の意味

1÷ 1/3 =3

1÷ 1/𝑛 =𝑛

つまり…

一般化すると…

分数の基礎

1÷𝑛= 1/𝑛 

（ⅰ）

（ⅱ）

（ⅲ）

𝑎/𝑏 × 𝑝/𝑞 = 𝑎×𝑝/𝑏×𝑞 

1÷ 1/𝑛 =𝑛

𝟐/𝟑 ÷ 𝟏/𝟒  を分解する 2/3 ÷ 1/4  = 2×1/3×1 ÷ 1/4                       = 2/3 × 1/1 ÷ 1/4                       = 2/3 ×1÷ 1/4                       = 2/3 ×4                      = 2/3 × 4/1  

（ⅱ）𝑎/𝑏 × 𝑝/𝑞 = 𝑎×𝑝/𝑏×𝑞 

（ⅲ）1÷ 1/𝑛 =𝑛

𝟑/𝟓 ÷ 𝟐/𝟕 　を分解する 3/5 ÷ 2/7  = 3/5 ×1÷(1/7 × 2/1 )

                     = 3/5 ×1÷ 1/7 ÷ 2/1                       = 3/5 ×7÷2                      = 3/5 ×7×1÷2                    = 3/5 ×7× 1/2                     = 3/5 × 7/2   （ⅲ）1÷ 1/𝑛 =𝑛

（ⅰ）1÷𝑛= 1/𝑛 

3.東大入試問題の解説

円周率が3.05より大きいことを証明せよ

［東大　2003年］

補足：A ＜ B の示し方

（１）B－A ＝ … ＞ 0　を示す。

（２）A ＜ C ＜ B を満たすCを見つける。 （３）𝐵/𝐴   ＝  …＞ 1 を示す。(ただしA ＞ 0）

でも… 何角形を考えればいいの？

帰納的アプローチ（具体的にやってみる）

問題）

半径１の円に内接する

正４角形の周の長さを

求めなさい。

正4角形(ｎ=4)の場合

補足：有名な無理数の値

√2 =1.41421356…（一夜一夜に人見ごろ）

√3 =1.7320508…（人並みにおごれや）

√5 =2.2360679…（富士山麓オウム鳴く）

𝜋=3.14159265…（産医師異国に向かう）

正6角形(ｎ=6)の場合

問題）

半径１の円に内接する

正6角形の周の長さを

求めなさい。

正12角形(ｎ=12)の場合

この三角形のxを求める

𝑥↑2 = (1− √3 /2 )↑2 + (1/2 )↑2             =1−√3 + 3/4 + 1/4             =2−√3 

𝑥=√2−√3  =√4−2√3 /2  =√3−2√3 +1/2  =√(√3 −1)↑2 /2  = √3 −1/√2  = √6 −√2 /2 = √2 (√3 −1)/2 

△BHAに

三平方の定理を用いて

√2 >1.41  と  √3 >1.73  を使ってxを近似計算

𝑥= √2 (√3 −1)/2 > 1.41×(1.73−1)/2 = 1.41×0.73/2 =0.51465

𝑥>0.51

正12角形の周の長さ L は x の12倍

半径1の円に内接する正12角形を考える。

正12角形の１辺をxとすると、頂角が30°の二等辺三角形を考えることにより、 𝑥= √2 (√3 −1)/2 

ここで√2 >1.41  と  √3 >1.73  を使うと 𝑥>0.51

正12角形の周の長さ L は

L =12𝑥>12×0.51=6.12

また円に内接する正12角形の周の長さ L が円周2πよりも短いことは明らか。

よって

6.10<𝐿<2𝜋

ゆえに

3.05<𝜋

(終）

解答例

アルキメデスによる円周率の近似

223/71   <  𝜋  <   22/7 

(3.14084…)              (  3.14285…)  

円の内側と外側に接する

2つの正96角形を考えて

4.10のアプローチの紹介 （１）次数を下げる （２）周期性を見つける （３）対称性を見つける （４）逆を考える （５）和よりも積を考える （６）相対化する （７）帰納的に思考実験する （８）視覚化する （９）同値変形を意識する （10）ゴールからスタートをたどる

教育とは、学校で習ったすべてのことを

忘れてしまった後になお残るものをいう。

5.アインシュタインの言葉の真意

レポート課題

数学について、定理や公式のすべてを忘れた後に

あなたの中に『なお残るもの』は何ですか？

自由に書いてみてください。