数学思想方法数学思想方法与与

高中数学学习高中数学学习

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什么是数学思想？

• 数学思想应当是人们在建立数学理论或解决数学问题时用到的一些思想。

• 数学思想从来就不是数学家的专利，也不是只有在数学领域中才能发挥它的作用。数学思想与各个学科思想互相渗透。

三个层次的数学思想• 对数学本质的认识方面的思想数学是什么？• 关于数学的地位、作用和发展方面的思

想数学向何处去？• 解决具体的数学问题的思想数学怎样论证？

数学是什么 ——众说纷纭的答案• 罗素：数学是这样一门学科，在其中我

们永远不会知道我们所讲的是什么，也不会知道我们所说的是不是真的。

• 柏拉图：数学是现实的核心。 • 恩格斯：数学是研究现实世界中数量关

系和空间形式的科学。

数学是什么？——三大流派的回答

• 逻辑主义学派：数学是由逻辑派生出来的，数学不过是逻辑的一个分支。

• 直觉主义学派：数学是建立在可信性和构造性程序上的科学。

• 形式主义学派：数学是一种纯粹的符号游戏，对这种游戏的唯一要求是它不导致矛盾。

数学是什么？——科学家从数学作用来回答

• 皮尔斯：数学是得出必要结论的科学。• 美国国家研究委员会的专家们：数学科学是集

严密性、逻辑性、精确性和创造力与想象力于一身的一门学问。这个领域已被称为模型的科学。

• 庞家莱：数学是给予不同东西以相同名称的技术。

数学是关于秩序的科学• 数学是通过概念和符号用逻辑推理形式

来表述秩序的科学。• 数学的一切进展都不同程度地根植于实

际的需要。• 数学一旦在实际需要的背景下被推动了，

它自身就会获得一种巨大的能量自我推进，很快超越直接应用的界限。

综合各种观点，我们能否认为

数学向何处去

• 纯粹数学与应用数学之间的关系 纯粹数学和应用数学好像人的两只

眼睛，人们可以闭上一只眼睛去搜寻各自的目标，有时两只眼睛同时睁开可以看宽一些，有时闭上一只眼睛（例如射击）却可能看得更准。

数学怎样论证 ——数学解题思想

•哥尼斯堡七桥问题

A

C D

B

七桥问题的数学化•欧拉的解决办法

A

D

B

C

图论的建立• 点：某一类特定事物的某些元素•线：元素之间的关系• 图：设 V是一个有限集合，它的元素称

为点； E是 V的点所组成的无序对所成的集合的一个子集，它的元素称为线，则 V和 E一起称为一个图

数学思想运行的轨迹——数学就是这样论证的• 首先，欧拉把一个实际问题通过抽象转化为一

个数学问题。• 欧拉构造图形，通过映射（陆地映射为点、桥映射为线）实现了转化。

• 问题转化为解决一笔画问题。欧拉利用逻辑分类方法把图中的点分为奇点和偶点，问题再一次转化为讨论奇点的个数问题。

• 由于奇点的个数非常明显，问题得以解决。但数学家并不就此满足，再一次把这个具体的图抽象化，转化为二元关系。

• 再构造两个抽象的集合和它们之间的关系，给 出图的一般定义，建立起“图论”这一新的 数学分支。

历史的启示• 数学家锲而不舍、不断创新的思想品质值得我们学习

• 数学家优秀的思维品质，包括敏锐的直觉、合理的猜想、正确的解决、恰当的推广

• 解决这个问题的思想，主要是构造和转化——这也是数学思想的本质

转化是思维的进程，构造是实现的手段，不断地转化和构造，就成为解决问题的主线。

转化的例子•解四次方程： 变量替换思想•证明：若两个角的两边互相垂直，则

这两个角相等或互补。 分类讨论思想

4 26 5 0x x

转化的例子• 一元三次方程的求解

构造的例子• 证明：等腰梯形的底角相等。

A

B C

D

E F

构造的例子•组合数学中的拉姆赛数问题：平面上有 n

个点，将它们两两之间连一条线，称为完全n边形。现在将一个完全n边形的所有线都染成黑、红两种颜色，如果能保证不管怎样染色，一定会出现一个完全由黑色线段组成的完全p边形，或者出现一个完全由红色线段组成的完全q边形。满足这一条件的最小正整数 n称为拉姆赛 数，记作 R(p,q)=n。现在可以证明

R(3,3)=6

历史上构造思想解题的著名事件• 判断： 是合数还是质数？

• 1903.美国纽约 .科尔（数学家）

672 1672 1 147573952589676412927

193707721 761838257287

图形构造——无字证明的美

•印度数学家婆什迦罗证明勾股定理

c

b a

瞧！

图形构造——无字证明的美• 1+2+3+……+n的和

图形构造——无字证明的美

• 证明均值定理 ( 0, 0)2

a bab a b

a b

图形构造——无字证明的美

• 已知图中的 ABCD， DCEF， FEGH都是正方形，求证∠ 1+∠2+∠3=90 。

1 2 3 1 2 3

1 2

3

高中数学的转化和构造思想

• 例：求解关于 x的不等式

2 ( 8) 1 0ax a x

高中数学的转化和构造思想• 例：求函数 的值域。

• 例：求函数 的值域。

• 例：求函数 的值域。

5 3

4 6

xy

x

2

1

1

xy

x x

1 2y x x

高中数学的转化和构造思想

f(x)与 g(x)是定义在 R上的奇函数，令F(x)=f(x)+g(x)+3，已知 F(x)在区间 (0,+∞)有最大值 5，则 F(x)在区间 (-∞,0)上有最 ____ 值为 _____________

高中数学的转化和构造思想

• 根据数列的前 8项，写出数列的一个通项公式：1， 1， 2， 2， 3， 3， 4， 4，……

高中数学的转化和构造思想

（ 1 ）设 f(x)为定义在（ -4， 4 ）上的减函数，若

f(a2-4)<f(a+2)，求 a的取值范围 .（ 2 ）设 f(x)为定义在（ -4， 4 ）上的减函数，且 f(x)为奇函数，若 f(a2-4)+f(-a-2)<0，求 a的取值范围 .

（ 3 ）定义在 (0,+∞)上的函数 f(x)是单调减函数，对任意 x1， x2∈（ 0， +∞）恒有 f(x1x2)=f(x1)+f(x2) 且 f(2)=-1，

求不等式 f(-x)+f(3-x)≥-2的解集。

高中数学的转化和构造思想• 求和 1 2 3 n ( 1)

2

n n

2 2 2 21 2 3 n

3 3 3 31 2 3 n 4 4 4 41 2 3 n 5 5 5 51 2 3 n

无穷多个博士的趣题• A.Coble是上个世纪美国的院士，做代数几何，

一度很有影响。据称，他有无穷多个博士论文的题目：当你证明了一个 2 维的情况的时候，他叫下一个博士生去证明 3维的情况，然后叫下下个博士生去做 4维的。后来有个叫Gerald Huff的博士，不但做了 5 维的情况，而且对一般的 n也解决了。这就让Coble的未来的无穷个博士无所事事了。 Coble很怒。

高中数学的转化和构造思想• 求和 1 2 3 n ( 1)

2

n n

2 2 2 21 2 3 n ( 1)(2 1)

6

n n n

3 3 3 31 2 3 n 4 4 4 41 2 3 n 5 5 5 51 2 3 n

2 2( 1)

4

n n

高中数学的转化和构造思想

• 已知 {an} 是等差数列，公差为 d，求数列 {bn} 的前 n项和，其中

• 已知 {an} 是等差数列，公差为 d，求数列 {cn} 的前 n项和，其中

1n

n n

db

a a

1

n

n n

dc

a a