Πιο κάτω βρίσκεται ένα τυχαίο δείγμα από διαμερίσματα και τις αντίστοιχες τιμές τους.

1) Αφού αντιγράψαμε τα δεδομένα της άσκησης δημιουργήσαμε πίνακες για τα μέτρα θέσης και μεταβλητότητας για την κάθε μεταβλητή. Τα αποτελέσματα βρίσκονται στους πιο κάτω πίνακες.

Περίληψη επεξεργασίας των μεταβλητών Α και Β

ΜεταβλητήΥπάρχοντα Υπολείπονται Σύνολο

N Ποσοστό N Ποσοστό N ΠοσοστόA 14 100,0% 0 0% 14 100,0%B 14 100,0% 0 0% 14 100,0%

Μέτρα θέσης και μεταβλητότητας για τη μεταβλητή Α

Διαμέρισμα Τιμές σε χιλιάδες Λίρες ΚύπρουΑ Β

1. 45 492. 120 1253. 78 744. 90 905. 150 1536. 64 637. 63 708. 49 519. 72 8110. 85 7911. 76 7912. 140 15813. 56 5514. 87 88

Μεταβλητή Τιμή Τυπικό ΣφάλμαA Μέσος Όρος 83,93 8,596

95% Διάστημα Εμπιστοσύνης για Μέσο Όρο

Κατώτερο Όριο

65,36

Ανώτερο Όριο 102,50

5% Trimmed Mean 82,42 Διάμεσος 77,00 Διακύμανση 1034,533 Τυπική Απόκλιση 32,164 Ελάχιστη τιμή 45 Μέγιστη Τιμή 150 Εύρος 105 Διατεταρτημοριακό Εύρος 36 Εκτροπή ,995 ,597 Κύρτωση ,207 1,154

1

Μέτρα θέσης και μεταβλητότητας για τη μεταβλητή Β

Μεταβλητή Τιμή Τυπικό ΣφάλμαB Μέσος Όρος 86,79 9,321

95% Διάστημα Εμπιστοσύνης

ΑνώτεροΌριο

66,65

Κατώτερο Όριο

106,92

5% Trimmed Mean 84,93 Διάμεσος 79,00 Διασπορά 1216,335 Τυπική Απόκλιση 34,876 Ελάχιστη Τιμή 49 Μέγιστη Τιμή 158 Εύρος 109 Διατεταρτημοριακό Εύρος 38 Συντελεστής Ασυμμετρίας 1,172 ,597 Συντελεστής Κύρτωσης ,478 1,154

2) Σχηματίσαμε τα ιστογράμματα για τα δείγματα Α και Β.

2

1501251007550

A

5

4

3

2

1

0

Fre

qu

ency

Mean =83,93Std. Dev. =32,164

N =14

HistogramΙστόγραμμα Μεταβλητής Α

Συχνότητα

1501251007550

B

5

4

3

2

1

0

Fre

qu

en

cy

Mean =86,79Std. Dev. =34,876

N =14

Histogram

3) Σχηματίσαμε τα θηκογράμματα για τα δείγματα Α και Β.

Θηκόγραμμα δείγματος Α

A

150

125

100

75

50

5

12

3

Ιστόγραμμα Μεταβλητής Α

Συχνότητα

Θηκόγραμμα δείγματος Β

B

150

125

100

75

50

12

5

4) Στα ιστογράμματα φέρουμε την γραμμή της κανονικής κατανομής με την αντίστοιχη εντολή στο πρόγραμμα SPSS.

Δείγμα Α

1501251007550

A

5

4

3

2

1

0

Fre

qu

ency

Mean =83,93Std. Dev. =32,164

N =14

4

Δείγμα Β

1501251007550

B

5

4

3

2

1

0

Fre

qu

ency

Mean =86,79Std. Dev. =34,876

N =14

Από τα γραφήματα φαίνεται ότι τα δείγματα μας δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή αφού τα ορθογώνια ξεπερνούν την καμπύλη η οποία ορίζει μια κανονική κατανομή.

Αν ήταν κανονική, θα έπρεπε να προσεγγίζεται η καμπύλη από το ιστόγραμμα.

Τέλος η καμπύλη δεν φαίνεται να είναι συμμετρική.Όπως θα δείξουμε και πίο κάτω και συγκεκριμένα στο ερώτημα 6, οι

κατανομές δεν διαφέρουν για μικρά επίπεδα σημαντικότητας (για α = 0,1 και α = 0,05).

5

5) Τα διαστήματα εμπιστοσύνης για τα δύο δείγματα σε επίπεδο 90%, 95% και 99% βρίσκονται στον πιο κάτω πίνακα.

90% 95% 99%Κάτω Άνω Κάτω Άνω Κάτω Άνω

Α 68,71 99,15 65,36 102,7 58,03 109,82Β 70,28 103,29 66,65 106,92 58,71 114,86

6) Τα δύο δείγματα είναι εξαρτημένα αφού πρόκειται για τα ίδια 14 διαμερίσματα απλά για διαφορετικές τιμές. Υπολογίσαμε τη διαφορά στα δύο δείγματα και τα αποτελέσματα των διαστημάτων εμπιστοσύνης για επίπεδο 90%, 95% και 99% βρίσκονται στον πιο κάτω πίνακα:

90% 95% 99%Κάτω Άνω Κάτω Άνω Κάτω Άνω

_ _ΧΑ-ΧΒ -5,666 -0,049 -6,283 0,569 -7,634 1,920

Στο διάστημα εμπιστοσύνης με επίπεδο 90% δεν περιλαμβάνεται το 0 (μηδέν) ενώ στα διαστήματα εμπιστοσύνης με επίπεδο 95% και 99% περιλαμβάνεται.Έστω η μηδενική υπόθεση να μην διαφέρουν και η εναλλακτική να είναι διάφορα τα δύο δείγματα.

Η0: μ1 – μ2 = 0Η1: μ1 ≠ μ2

|t|= 1,802 με 13 βαθμούς ελευθερίας.Αν |t| > tα/2 n-1 τότε απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση και επομένως τα δείγματα μας διαφέρουν.

Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι τα δείγματα δεν διαφέρουν με επίπεδο εμπιστοσύνης 95% και 99% ενώ μπορούμε να ισχυριστούμε ότι διαφέρουν με επίπεδο εμπιστοσύνης 90%.

Διάστημα Εμπιστοσύνης 90%

-2,857 5,934 1,586 -5,666 -,049 -1,802 13 ,095A - BΖευγάρι 1Μέσος

ΤυπικήΑπόκλιση

ΤυπικόΣφάλμα Κατώτερο Ανώτερο

90% ΕπίπεδοΕμπιστοσύνης

Διαφορά Δειγμάτων

tΒαθμοί

Ελευθερίας p value

6

Επομένως πρέπει να ελέγξουμε στους πίνακες της t κατανομής, τη στήλη 0,05 (αφού το α είναι 10% εμείς παίρνουμε το α/2=5% επειδή η εναλλακτική είναι δίπλευρη) και τη γραμμή n-1=13. Έτσι από τους πίνακες παίρνουμε την τιμή 1,771.

ΑΠΟΡΡΙΠΤΟΥΜΕ αν |t| > tα/2 n-1

1,802 > 1,771 και επομένως ΑΠΟΡΡΙΠΤΟΥΜΕ την H0

Έτσι, τα δείγματα διαφέρουν σε επίπεδο εμπιστοσύνης 90%.

Διάστημα Εμπιστοσύνης 95%

-2,857 5,934 1,586 -6,283 ,569 -1,802 13 ,095A - BΖευγάρι 1Μέσος

ΤυπικήΑπόκλιση

ΤυπικόΣφάλμα Κατώτατο Ανώτατο

95% ΕπίπεδοΕμπιστοσύνης

Διαφορά Δειγμάτων

tΒαθμοί

Ελευθερίας p value

Επομένως πρέπει να ελέγξουμε στους πίνακες της t κατανομής, τη στήλη 0,025 (αφού το α είναι 5% εμείς παίρνουμε το α/2=2,5% επειδή η εναλλακτική είναι δίπλευρη) και τη γραμμή n-1=13. Έτσι από τους πίνακες παίρνουμε την τιμή 2,16.

ΑΠΟΡΡΙΠΤΟΥΜΕ αν |t| > tα/2 n-1

1,802 < 2,16 και επομένως ΔΕΧΟΜΑΣΤΕ την H0

Έτσι, τα δείγματα δεν διαφέρουν σε επίπεδο εμπιστοσύνης 95%.

Διάστημα Εμπιστοσύνης 99%

-2,857 5,934 1,586 -7,634 1,920 -1,802 13 ,095A - BΖευγάρι 1Μέσος

ΤυπικήΑπόκλιση

ΤυπικόΣφάλμα Κατώτατο Ανώτατο

99% ΕπίπεδοΕμπιστοσύνης

Διαφορά Δειγμάτων

tΒαθμοί

Ελευθερίας p value

Επομένως πρέπει να ελέγξουμε στους πίνακες της t κατανομής, τη στήλη 0,005 (αφού το α είναι 1% εμείς παίρνουμε το α/2=0,5% επειδή η εναλλακτική είναι δίπλευρη) και τη γραμμή n-1=13. Έτσι από τους πίνακες παίρνουμε την τιμή 3,012.

ΑΠΟΡΡΙΠΤΟΥΜΕ αν |t| > tα/2 n-1

1,802 < 3,012 και επομένως ΔΕΧΟΜΑΣΤΕ την H0

Έτσι, τα δείγματα δεν διαφέρουν σε επίπεδο εμπιστοσύνης 99%.

7

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ SPSS

8