ОСНОВНОЙ ТЕКСТ 09 01 РИО (Автосохраненный) · 2015-09-21 · n an 4. (n a) k=n ak 8. n k n ak =a Пример 1. Преобразовать в степень

Министерство образования и науки Украины Донбасская государственная машиностроительная академия (ДГМА)

МАТЕМАТИКА

Пособие

для слушателей подготовительных курсов, поступающих в вуз

Утверждено на заседании методического совета Протокол № 3 от 20.11.2014

Краматорск ДГМА 2014

2

УДК 510

Математика : пособие для слушателей подготовительных курсов. поступающих в вуз / сост.: Е. С. Зозуля, Т. В. Скарлат. – Краматорск : ДГМА, 2014. – 138 с.

Данное пособие предназначено для выпускников общеобразователь-ных учебных заведений, которые будут участвовать во внешнем незави-симом оценивании. Пособие может использоваться на подготовительных курсах в системе довузовской подготовки ДГМА. Содержит справочные материалы, примеры и задачи полного курса школьной математики.

Составители: Е. С. Зозуля, ассист.; Т. В. Скарлат, учитель

Отв. за выпуск В. Н. Астахов, доц.

3

CОДЕРЖАНИЕ Вступление ....................................................................................................... 5 1 Арифметика и тождественные преобразования ........................................ 6

1.1 Арифметические вычисления .............................................................. 6 1.2 Проценты ............................................................................................... 9 1.3 Действия со степенями ....................................................................... 11 1.4 Действия с корнями ............................................................................ 12 1.5 Модуль числа. Преобразования выражений .................................... 13 1.6 Формулы сокращенного умножения ................................................ 14 1.7 Преобразования логарифмических выражений .............................. 17 1.8 Преобразования тригонометрических выражений ......................... 20

2 Уравнения и системы уравнений .............................................................. 27 2.1 Линейные уравнения .......................................................................... 27 2.2 Квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчлена

на множители ................................................................................................. 29 2.3 Уравнения, приводящиеся к квадратным ........................................ 30 2.4 Иррациональные уравнения .............................................................. 28 2.5 Показательные уравнения .................................................................. 33 2.6 Логарифмические уравнения............................................................. 35 2.7 Тригонометрические уравнения ....................................................... 36 2.8 Уравнения, содержащие знак модуля ............................................... 39 2.9 Уравнения с параметром .................................................................... 39 2.10 Системы уравнений .......................................................................... 41

3 Неравенства и системы неравенств .......................................................... 43 3.1 Линейные неравенства ....................................................................... 43 3.2 Метод интервалов ............................................................................... 44 3.3 Логарифмические неравенства.......................................................... 48 3.4 Показательные неравенства ............................................................... 50 3.5 Тригонометрические неравенства .................................................... 52 3.6 Системы неравенств ........................................................................... 53

4 Прогрессии .................................................................................................. 56 4.1 Арифметическая прогрессия ............................................................. 56 4.2 Геометрическая прогрессия ............................................................... 57

5 Функции. Графики ...................................................................................... 59 5.1 Функция. Область определения ........................................................ 59 5.2 Виды функций ..................................................................................... 61 5.3 Основные функции ............................................................................. 65 5.4 Преобразования графиков ................................................................. 74

6 Элементы математического анализа ......................................................... 79 6.1 Производная. Таблица производных. Правила нахождения

производных ................................................................................................... 79 6.2 Производная сложной функции ........................................................ 82 6.3 Геометрический смысл производной .............................................. 83

4

6.4 Физический смысл производной ......................................................85 6.5 Исследование функции на монотонность и экстремум ...................86 6.6 Наибольшее и наименьшее значения функции ................................90 6.7 Первообразная. Неопределенный интеграл.

Таблица интегралов. Правила интегрирования ...........................................91 6.8 Определенный интеграл. Правила интегрирования ........................94 6.9 Криволинейная трапеция. Площадь фигуры ....................................96

7 Комбинаторика. Элементы теории вероятностей и статистики .............98 7.1 Комбинаторика ....................................................................................98 7.2 Элементы теории вероятностей .......................................................100 7.3 Элементы статистики ........................................................................104

8 Геометрия ...................................................................................................107 8.1 Площади фигур ..................................................................................107 8.2 Треугольники .....................................................................................107 8.3 Четырехугольники .............................................................................112 8.4 Многогранники ..................................................................................120 8.5 Декартовы координаты и векторы ...................................................134

Литература .....................................................................................................136

5

ВСТУПЛЕНИЕ

Данное пособие предназначено для выпускников общеобразователь-ных учебных заведений, которые будут участвовать во внешнем нацио-нальном оценивании. Пособие может использоваться на подготовительных курсах в системе довузовской подготовки ДГМА. Кроме того, пособие может быть полезным ученикам школ, гимназий, лицеев и т.д., если есть необходимость в «сжатые» сроки пройти или повторить материал, подго-товиться к собеседованиям при поступлении в высшее учебное заведение.

Пособие содержит 8 разделов, каждый из которых разбит на подраз-делы. Подраздел содержит несколько составляющих:

- теоретические основы, где в кратком виде, конспективно (основ- ные определения, теоремы, графики, схемы) подаются знания, необходи-мые для повторения или усвоения данного материала;

- примеры решения задач. Здесь разобраны примеры решения типо-вых задач курса школьной математики, а также задач, аналогичных тем за-дачам, которые предлагались во время проведения внешнего национально-го оценивания;

- задания самоконтроля (задания с ответом), предназначенные для получения навыков и проверки собственных достижений в повторении или изучении материала;

- задания для самостоятельной работы, решение которых позволяет закрепить знания по данной теме. Здесь представлены задачи курса школьной математики, а также задачи, аналогичные тем, которые предла-гались во время проведения внешнего национального оценивания или пробного тестирования. Также присутствуют задания, которые предлага-лись во время проведения внешнего национального оценивания.

При составлении данного пособия, авторы преследовали цель со-здать практический справочник, использование которого позволило бы быстро и эффективно систематизировать знания по математике, необходи-мые для успешной сдачи внешнего национального оценивания, поступле-ния в высшее учебное заведение.

6

1 АРИФМЕТИКА И ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

1.1 Арифметические вычисления

Обыкновенная дробь имеет вид b

a, где 0,, ≠∈ bZba .

Свойства дробей

1. b

ca

b

c

b

a ±=± 5. cb

da

d

c

b

a

⋅⋅=:

2. cb

ca

b

a

⋅⋅= 6.

b

mam

b

a ⋅=⋅

3. bcdad

c

b

a ⋅=⋅⇒= 7. mb

am

b

a

⋅=:

4. db

ca

d

c

b

a

⋅⋅=⋅ 8.

a

bm

a

bm

b

am

⋅=⋅=:

9. db

bcda

d

c

b

a

⋅⋅±⋅=±

Пример 1. Вычислить 2:3

8

5

3 + .

Решение.

Применяя свойство 7, получим 3

4

5

3 + .


141

15

29

15

209

35

5433 ==+=⋅

⋅+⋅.

Ответ: 15

141 .

Пример 2. Вычислить 2

15

3

8

5

4 ⋅

+ .

Решение.


15

15

52⋅ .

Выполнив сокращение (свойство 2), получим число 26. Ответ: 26.

7


1

5

2:8 ⋅− .

Решение.

Применяя свойства 8 и 6, получим 62

258 −⋅

. Применяя свойство 2,

получим 3

1

1

20− . Приводя к общему знаменателю, получим

3

59

3

160 =−. Выделим целую часть

3

219

3

59 = .

Ответ: 3

219 .


1

2

15:

8

5 − .

Решение.


152

85 −⋅ . Выполнив сокращение,

получим 3

1

12

1 − . После применения свойства 9 получим

41

123

1241 −=−=−

.

Ответ: 41− .

Задания для самоконтроля

1. Вычислить 31

21 − . Ответ:

6

1.


89

:23 − . Ответ:

6

5.


12

3

1

2

1 ⋅

− . Ответ: 13

2.


2

7

4

5

3:

15

2 −

− . Ответ: 4.

5. Вычислить 1,02:5

4

2

1 +

+

Ответ: 1.

8

Задания для самостоятельного решения


31 − .

A Б В Г Д

2

1− 15

2 08,0

152−

другой ва-риант ответа

2. Вычислить 2:5

4

2

1 +

A Б В Г Д

20

13 6,2 9,0

10

21



5

5

4

2

1 ⋅

− .

A Б В Г Д

2

1− 2

1

3

5− 509−


4. Вычислить 125,04

31

8

31 −+ .

A Б В Г Д

125,2 5,2 2 475,4 другой ва-риант ответа

5. Расположить в порядке возрастания числа 111,0;11,0;91

.

A Б В Г Д

111,011,09

1 11,0111,0

9

1

9

111,0111,0

9

1111,011,0 другой вари-

ант ответа


15

2

214

3:

5

2

7

3

+−−

−

.


2:

25

1

75

7150

2

3

5

125

1

+−

−⋅.

9

1.2 Проценты Процентом называется сотая часть числа (обозначается %).

Например, %1 числа 70 это 100

1 числа 70, что составляет 7,0

100

70 = .

Пример 1. Дано число 5. Найти %40 этого числа.

Решение.

Найдем один процент числа 5. Для этого сосчитаем 05,0100

5 = .

То есть, %1 от 5 составляет 05,0 . Тогда %40 составляет 24005,0 =⋅ . Ответ: 2.

Пример 2. Число 250 увеличили на %20 . Найти число, получившееся

в результате. Решение.

Найдем один процент числа 250. Для этого сосчитаем 5,2100

250= .

Тогда %20 составляет 50205,2 =⋅ . Увеличивая число 250 на 50, получим 300. Ответ: 300.

Пример 3. Мяч стоил50грн. Через некоторое время стал стоить 42грн.

На сколько процентов снизилась цена мяча? Решение. Пусть 50 грн – это %100 , тогда 42 грн – это %x .Способом пропорции получим, что 42 грн составляет от 50грн

%8450

%10042% =⋅=x . Таким образом, цена уменьшилась на %16 .

Ответ: %16 . Пример 4. Площадь клумбы составляет 36 квадратных метров.

На сколько процентов нужно увеличить площадь, чтобы она равня-лась 81 квадратному метру? Решение. Пусть 36 кв. м это %100 , тогда 81 кв. м это %x . Способом про-

порции получим, что 81 кв. м составляет %22536

%10081% =⋅=x .

%125%100%225 =− . Таким образом, нужно увеличить площадь на %125 .

Ответ: %125 .

10


1. Дано число 64 . Найти %25 этого числа. Ответ: 16 . 2. Число 2,1 уменьшили на %75 . Найти число, получившееся в результате. Ответ: 3,0 . 3. Площадь круга составляет π36 квадратных метров. На сколько процентов нужно радиус круга площадь, чтобы площадь равня-

лась π144 квадратных метров? ( Площадь круга 2RS π= , где R– радиус). Ответ: %100 .

4. На сколько процентов нужно увеличить массу груза в 40кг, чтобы она стала равной 45 кг ? Ответ: %25,11 .


1. Дано число 125. Найти %20 этого числа.

A Б В Г Д

20 250 5,2 25 другой ва-риант ответа

2. Число 16 увеличили на %5 . Найти получившееся число.

A Б В Г Д

8,16 24 08,16 21 другой ва-риант ответа

3.Журнал стоил 25 грн. После этот самый журнал стал стоить 21 грн. На сколько процентов снизилась цена журнала? (ВНО-11)

A Б В Г Д

%16 %10021

4 ⋅ %84 %1002125⋅ %4

4. Положительное число A больше положительного числа B в 7,2

раза. На сколько процентов число A больше числа B ?

5. Пять литров 70- процентного раствора кислоты смешали с 10 лит-рами 20- процентного раствора кислоты. Найти процентное содержание кислоты в получившемся растворе.

6. Сплав 10 кг содержит %30 меди, %70 олова. Сколько кг необхо-

димо добавить меди, чтобы образовался %45 - ый сплав меди?

11

1.3 Действия со степенями

4434421множителейп

n aaaaa ⋅⋅⋅⋅= ... означает «a в степени n», где a – основание, n –

показатель степени. Например, 43421множителей5

5 222222 ⋅⋅⋅⋅= есть 2 в 5- й степени

)322( 5 = . Свойства степеней

1. nmnm aaa +=⋅ 5. nn

aa

−=1

2. nmn

m

aa

a −= 6. n

n

n

b

a

b

a

=

3. ( ) mnnm aa = 7. nn

a

b

b

a

=

−

4. 10 =a 8. ( )mmm abba =⋅

Пример 1. Упростить 304

63

18

12

ba

ba

⋅⋅⋅⋅

.

Решение.

Применяя свойства 2 и 5 , получим 24241

30643

3

2

3

2

3

2

abba

ba =⋅⋅=⋅⋅ −−−−

.

Ответ: 243

2

ab.

Пример 2. Упростить 410 1,0:3,0 dd .

Решение. Применяя свойство 2 , получим 6410 33 dd =− . Ответ: 63d .


1. Упростить 7

117

15

53 ⋅. Ответ: 45 .

2. Упростить 210 5:5,0 bb . Ответ: 81,0 b .

12



66

10

52 ⋅. (ВНО-2013)

A Б В Г Д 1010 910 810 210 5,110

2. Вычислить 39 8:8,0 bb . (ВНО-2011)

A Б В Г Д 31,0 b 610b 124,6 b 61,0 b 310b

3. Расположить в порядке возрастания числа 51015 10;4;2 . (ВНО-2012)

4. Расположить в порядке возрастания числа 102030 7;3;2 . (ВНО-2010) 1.4 Действия с корнями

Свойства корней

1. ( ) aa nn = 5. nkn k aa =

2. nnn baab ⋅= 6. n knm km aa =

3. n

n

n

b

a

b

a = 7.

=четное-n,

нечетное-n,

еслиa

еслиaan n

4. ( ) n kkn aa = 8. n

kn k aa =

Пример 1. Преобразовать в степень 4 17

1

x.

Решение.

Используя свойство корня 8, имеем 4

17

1

x. Далее, по свойству 5 степе-

ни получим 4

17−x .

Ответ: 4

17−x .

13


1. Преобразовать в степень 7 3x . Ответ: 7

3

x .

2. Преобразовать в степень 5 9

1

x. Ответ: 5

9−x .


1. Преобразовать в степень 5 2a .

2. Преобразовать в степень 5 3

1

a.

1.5 Модуль числа. Преобразования выражений

Определение модуля:

≥<−

=0,

0,

aеслиa

aеслиaa .

Например, ( ) 777 =−−=− , так как 07 <−=a ,

1010 = , так как 010≥=a .

Пример 1. Упростить выражение aa + , если 0<a .

Решение. Так как 0<a , то, по определению aa −= , и значит

0=−=+ aaaa

Ответ: 0.

Пример 2. Упростить выражение 103103 ++− .

Решение.

Так как 103 < , то 0103 <− , а значит, определению модуля

( )103103 −−=− .Так как 103+ число положительное, то

103103 +=+ . Подставляя полученные выражения в исходное,

получим ( ) 102103103103103 =++−−=++− .

Ответ: 102 .

14


1. Упростить выражение aa + , если 0≥a . Ответ: a2 .

2. Упростить выражение 415415 +−− . Ответ: 152− . Задания для самостоятельного решения

1. Упростить выражение aa − , если 0≥a .

A Б В Г Д

a2 a 0 a2− другой ва-риант ответа

2. Упростить выражение aa − , если 0<a . (ВНО-2011)

A Б В Г Д a2− a− 0 a a2

3. Упростить выражение 21 +− a , если 2−≥a .

A Б В Г Д

3+a 1−a 1−− a 3+− a другой вари-ант ответа

4. Упростить выражение 21 +− a , если 2−<a . (ВНО-2013)

A Б В Г Д 3−− a 1−− a 1−a 3+a 3+− a

5. Упростить выражение 5252 −−+ .

6. Упростить выражение 457745 ++− .

1.6 Формулы сокращенного умножения

( ) 222 2 bababa ++=+ квадрат суммы

( ) 222 2 bababa +−=− квадрат разности

( )( )bababa +−=− 22

разность квадратов

15

( ) 32233 33 babbaaba +++=+ куб суммы

( ) 32233 33 babbaaba −+−=− куб разности

( )( )2233 babababa +−+=+ сумма кубов

( )( )2233 babababa ++−=− разность кубов

Пример 1. Упростить выражение yx

yx

−− 22

Решение. Пользуясь формулой «разность квадратов», получим

( ) ( )( ) yx

yx

yxyx

yx

yx +=−

+⋅−=−− 22

.

Ответ: yx + .

Пример 2. Вычислить значение выражения 22

3322

ba

ba

ba

ba

−−−

−−

, если

2,0,2,10 =−= ba . (ВНО-2013) Решение.

( ) ( )−+=−+

++−−−

−+=−−−

−−

bababa

bababa

ba

baba

ba

ba

ba

ba

))(()())(( 22

22

3322

( ) ( )ba

ab

ba

bababa

ba

baba

+=

+++−+=

+++−

22222 )(.

Подставляя значения 2,0,2,10 =−= ba , получим 204,0 Ответ: 204,0 .


1. Упростить выражение yx

yx

+− 22

. Ответ: yx− .

2. Упростить выражение ba

ba

−− 33

. Ответ: 22 baba ++ .

3. Упростить выражение 2

3

96

42

2

−+⋅

++−

c

c

cc

c. Ответ:

32

++

c

c.

4. Упростить выражение x

xx

21−+ . Ответ: x

1.

16



x

x

x 1

1

2 −⋅+

.

А Б В Г Д

1−x

1−− x 1

1

+−

x 1

1

−−

x

другой вари-ант ответа


xx

−−+

113

2 .

А Б В Г Д

1−x

1−− x 1

1

+−

x 1

1

−−

x



x

x

x 1:

1 2 −−.

А Б В Г Д

1−x

1−− x 1

1

+−

x 1

1

−−

x


4. Упростить выражение 11

2 −−−

x

x.

А Б В Г Д

1−x

1−− x 1

1

+−

x 1

1

−−

x


5. Каждому выражению (1 – 4) подобрать тождественно равное ему

выражение (А – Д). (ВНО-2012

1 ( ) ( )88 +⋅− aa

2 ( )28−a

3 ( ) ( )1644 2 ++⋅− aaa

4 ( ) ( )164 −⋅− aa

А 64162 +− aa

Б 642 −a

В 64202 +− aa

Г 643 +a

Д 643 −a

6. Установить соответствие между выражениями (1 – 4) и их значе- ниями (А – Д), если 5,0=x . (ВНО-2010)

17

Выражение

Значение выражения

1 x

x

+−

3

92

2 ( ) ( )5255 2 −+− xx

3 1

12

3

+−+xx

x

4 448

632 +−

⋅−xx

x

x

x

А 5,2

Б 5,1 7

В 5,2−

Г 25,0

Д 25,0−

Найти значения выражений (7-10):

7. 23

23

23

23

−++

+−

. 9. 3

30063

12

522 −+−−

. (ВНО-2011)

8. 37347 −++ . 10. ( ) ( )4646 1002710027 +⋅− .

1.7 Преобразования логарифмических выражений Логарифмом числа ( )0>bb по основанию ( )1,0 ≠> aaa называет-

ся показатель степени, в которую нужно возвести основание a , чтобы по-

лучить число b . Например, 38log2 = т.к. 823 = .

Равенство ba ba =log называется основным логарифмическим тождеством. Например, 73 7log 3 = .

Свойства логарифмов

1. 1log =aa 5. bkb ak

a loglog ⋅=

2. 01log =a 6. bm

b aam log1

log ⋅=

3. ( ) cbbc aaa logloglog += 7. a

bb

c

ca log

loglog =

4. cbc

baaa logloglog −= 8.

ab

ba log

1log =

18

Пример 1. Найти значение выражения 3log3 . Решение.

Преобразуем 3log3 к виду 2

1

3 3log . Тогда по свойству 5 получим

3log21

3⋅ . Используя свойство 1, получим 21

121

3log21

3 =⋅=⋅ .

Ответ: 2

1.

Пример 2. Найти значение выражения 81log

9

1 .

Решение.

Преобразуем 81log9

1 к виду 81log 23− . Тогда по свойству 6 получим

242

181log

2

13 −=⋅−=⋅

−.

Ответ: 2− .

Пример 3. Найти значение выражения 2log54log 33 − . Решение.

Применяя свойство 4, получим 327log2

54log 33 == .

Ответ: 3 .

Пример 4. Найти значение выражения 50

2 2

1log

Решение.

Преобразуем к виду 502 2log − . Применяя свойство 5, получим

502log50 2 −=⋅− . Ответ: 50− .

Пример 5. Найти значение выражения 2lg710 . Решение.

Применяя свойство 5, получим 128lg2lg 10107

= . По основному логарифмическому тождеству 12810 128lg = . Ответ: 128.

Пример 6. Найти значение выражения 10log5 , если a=2log5 . Решение. Применяя свойство 3, получим a+=+= 12log5log10log 555 . Ответ: a+1 .

19

Пример 7. Найти значение выражения 16log

4

252 . Решение.

Применяя свойство 8, получим ( ) 251622 25log25log416log

4

161625 === . Ответ: 25.


1. Найти значение выражения 91

log18log 22 + . Ответ: 1.

2. Найти значение выражения 54 4log . Ответ:

51

.

3. Найти значение выражения 3log27

1 . Ответ: 3

1− .

4. Найти значение выражения 16

9

1 27log . Ответ: 32

3− .

5. Найти значение выражения 2lg3100 . Ответ: 64.



5log249log 55 + . (ВНО-2013)

A Б В Г Д

25 70log5 7

549log5 35log5 2

2. Вычислить 25log8

1log 52 + . (ВНО-2011)

A Б В Г Д

5 8

125log7 1− 2

8

25lg

3. Вычислить ( ) 16log2 2020 + . (ВНО-2012) 4. Вычислить 3log2log 2555 + . 5. Найти значение выражения 2lg3100

20

6. Найти значение выражения 12log7 , если b=2log7 , c=3log7

7. Найти значение выражения 4log500log aa − , если 6

1log5 =a .

8. Найти значение выражения 2loglog 22 .

1.8 Преобразования тригонометрических выражений

Радиан. Перевод из радианной меры в градусную и обратно

Угол в 1радиан - это такой центральный угол, длина дуги которого

равна радиусу окружности. Углу в 1 радиан соответствует угол π180

гра-

дусов. Угол в n радиан равен углу в πn⋅180

градусов. Угол в °α равен уг-

лу в °°⋅

180απ

радиан. Например, °90 равно 2180

90 ππ =°°⋅

радиан, °60 равно

318060 ππ =

°°⋅

, °45 равно 4π

радиан и т.д.

Определения тригонометрических функций

22sin

yx

y

r

y

+==α

22cos

yx

x

r

x

+==α

x

ytg =α

y

xctg =α

Рисунок 1.1

21

Знаки тригонометрических функций

I четверть II четверть III четверть IV четверть

αsin + + – – αcos + – – +

αtg + – + – αctg + – + –

Значения тригонометрических функций некоторых углов

α °0 °30 °45 °60 °90

αsin 0 21

22

23

1

αcos 1 23

22

21

0

αtg 0 33

1 3 не

существует

αctg не существует 3 1

33

0

Формулы приведения

Формулы приведения могут быть получены для преобразования вы-

ражений

± απ2

sink

,

± απ2

cosk

,

± απ2k

tg ,

± απ2k

ctg , если ис-

пользовать правила: - перед приведенной функцией ставится то знак, который имеет исходная

функция (рис. 1.1), если 2

0πα << .

- функция меняется на кофункцию, если k нечетно; функция не меняется, если k четно. Кофункция для синуса - косинус, для тангенса - котангенс и

т.д. Например, ααπcos

2sin =

+ , ( ) ααπαπ sin22

sinsin =

−⋅=− ,

ααπctgtg −=

+2

, ααπαπsin3

2cos

23

cos −=

+⋅=

+ и т.д.

22

Основные тождества

1cossin 22 =+ αα ααα

cossin=tg

αα

22

cos1

1 =+ tg α

ααsincos=ctg

αα

22

sin1

1 =+ ctg

1=⋅ αα ctgtg

Тригонометрические функции суммы и разности аргументов

( ) αββαβα cossincossinsin +=+ ( )βα

βαβαtgtg

tgtgtg

⋅−+=+

1

( ) αββαβα cossincossinsin −=− ( )βα

βαβαtgtg

tgtgtg

⋅+−=−

1

( ) βαβαβα sinsincoscoscos −=+ ( )βα

βαβαctgctg

ctgctgctg

+−⋅=+ 1

( ) βαβαβα sinsincoscoscos +=− ( )βα

βαβαctgctg

ctgctgctg

−+⋅=− 1

Тригонометрические функции двойного аргумента

ααα cossin22sin = ααα21

22

tg

tgtg

−=

ααα 22 sincos2cos −= ααα

ctg

ctgctg

21

22 −=

Формулы понижения степени

22cos1

sin 2 αα −= 2

2cos1cos2 αα +=

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

2cos

2sin2sinsin

βαβαβα −+=+

( )βα

βαβαcoscos

sin +=+ tgtg

23

2cos

2sin2sinsin

βαβαβα +−=−

( )βα

βαβαcoscos

sin −=− tgtg

2cos

2cos2coscos

βαβαβα −+=+

( )βα

βαβαsinsin

sin +=+ ctgctg

2sin

2sin2coscos

βαβαβα −+−=−

( )βα

βαβαsinsin

sin −−=− ctgctg

Формулы произведения тригонометрических функций

( ) ( )( )βαβαβα ++−=⋅ coscos21

coscos

( ) ( )( )βαβαβα +−−=⋅ coscos21

sinsin

( ) ( )( )βαβαβα ++−=⋅ sinsin21

cossin

Обратные тригонометрические функции

Арксинусом числа a называется угол, принадлежащий отрезку

−2

;2

ππ, синус которого равен a . ( ) aa arcsinarcsin −=− .

Арккосинусом числа a называется угол, принадлежащий отрезку [ ]π;0 , косинус которого равен a . ( ) aa arccosarccos −=− π .

Арктангенсом числа a называется угол, принадлежащий интервалу

−2

;2

ππ, тангенс которого равен a . ( ) aarctgaarctg −=− .

Арккотангенсом числа a называется угол, принадлежащий интер-валу ( )π;0 , котангенс которого равен a . ( ) aarcctgaarcctg −=− π . Пример 1. Вычислить α2sin , если 8,0sin =α , °<<° 18090 α . Решение.

Формула «синус двойного угла» имеет вид ααα cossin22sin = , т.к.

1cossin 22 =+ αα , то αα 2sin1cos −±= . Знак выбираем « - », т.к.

αcos во второй четверти отрицателен. 6,08,01cos 2 −=−−=α . Тогда, подставив имеющиеся значения, получим

96,06,08,022sin =⋅⋅=α . Ответ: 96,0 .

24

Пример 2. Найти ( )βα +cos , если 21

cos −=α , 135

cos −=β ,

°<<° 270180 α , °<<° 18090 β . Решение.Формула «косинус суммы углов» имеет вид

( ) βαβαβα sinsincoscoscos −=+ . Т.к. 1cossin 22 =+ αα , то

23

21

1cos1sin2

2 −=

−−−=−±= αα .

Знак выбрали « - », потому как синус угла третьей четверти отрица-телен.

1312

135

1cos1sin2

2 =

−−+=−±= ββ .

Знак выбрали « + », потому как синус угла второй четверти положи-телен.

( )676

240169316960

43

1312

135

23

21

cos−⋅=−=⋅

−+

−⋅

−=+ βα

Ответ: 676

2401693 −⋅.

Пример 3. Вычислить °15cos . Решение.

Формула «понижения степени» имеет вид 2

2cos1cos2 αα += . Тогда

22cos1

cosαα −±= . Т.к. °15 угол первой четверти, то

выбираем знак «+». 2

322

23

1

230cos1

15cos+=

+=°++=°

Ответ: 2

32 +.

Пример 4. Установить принадлежит ли °75tg промежутку ( )∞+;3 . Решение.

Поскольку °<°<° 907560 и функция xtgy = на интер-

вале ( )°° 90;60 возрастает, т.е. °<°<° 907560 tgtgtg , то

+∞<°< 753 tg . ( ,360 =°tg а при стремлении к °90 тангенс уг-ла стремится к ∞ ). Ответ: принадлежит.

25

Пример 5. Упростить выражение ααα

cossin1 2−⋅tg .

Решение.

ααα

αα

ααα sin

coscos

cossin

cossin1 22

=⋅=−⋅tg

Ответ: αsin .

Пример 6. Упростить выражение ( ) 1cos1 22 −−⋅ ααctg . Решение.

( ) =−⋅=−⋅=−−⋅ 1sinsin

cos1sin1cos1 2

2

22222 α

αααααα ctgctg

( ) ααα 222 sincos11cos −=−−=−= .

Ответ: α2sin− .

Пример 7. Проверить, выполняется ли равенство βαβα

βαtgtg

ctgctg

tgtg ⋅=++

.

Решение. Возьмем левую часть равенства и преобразуем ее

=+

+

=+

+=

++

βααββα

βααββα

ββ

αα

ββ

αα

βαβα

sinsinsincossincos

coscoscossincossin

sincos

sincos

cossin

cossin

ctgctg

tgtg

=+

⋅+=αββα

βαβα

αββαsincossincos

sinsin

coscos

cossincossin

βαβαβα

tgtg ⋅=⋅⋅=coscos

sinsin. Образовалась правая часть равенства.

Ответ: выполняется.


1. Вычислить αsin , если 8,0cos −=α , °<<° 18090 α . Ответ: 6,0 .

2. Вычислить αcos , если 53

sin =α , °<<° 900 α . Ответ: 54

.

3. Вычислить °15sin . Ответ: 2

32 −.

4. Упростить выражение ( ) 11sin22 +−⋅ ααtg . Ответ: α2cos .

5. Упростить выражение αα2

2

cos

1sin −. Ответ: 1− .

26


1. Вычислить αsin , если 21

cos =α , °<<° 360270 α .

A Б В Г Д

2

1

2

1− 2

3

2

3− другой вари-ант ответа

2. Вычислить α2cos , если 8,0sin =α , °<<° 18090 α .

A Б В Г Д

28,0 28,0− 96,0 96,0− другой вари-ант ответа

3. Упростить выражение ααα cossin +⋅ ctg .

A Б В Г Д

αcos αcos− αcos2− αcos2 другой ва-риант ответа

4. Упростить выражение ααα

coscos4sin1 22 +−

.

A Б В Г Д αcos3 αcos3− αcos5

αcos4


5. Проверить, выполняется ли равенство 1

1

cossin

cossin

++=

−+

αα

αααα

tg

tg.

A Б В Г Д

выполняет-ся

не выпол-няется

выполняет-ся при не-которых α

невозможно ответить


6. Укажите промежуток, которому принадлежит значение выражения °25ctg . (ВНО-2012)

A Б В Г Д

3

1;0

2

3;

3

1

1;

2

3 ( )3;1 ( )∞+;3

27

2 УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

2.1 Линейные уравнения. Уравнения, приводящиеся к линейным

Линейным уравнением с одной неизвестной x называют уравнение вида bax = , где ba, - действительные числа.

1) Если 0≠a , то корень уравнения равен a

b.

2) Если 0=a , 0=b , то корнем уравнения является любое число. 3) Если 0=a , 0≠b , то корней нет.

Пример 1. Решить уравнение 105 =x . Решение. Разделив обе части уравнения на число 5 , получим 2=x . Ответ: 2.

Пример 2. Решить уравнение ( ) ( ) 298453142 −=+−− xxx .

Решение. 298121528 −=−−− xxx

0298147 =+−−− xx 01515 =+− x

1515 =x 1=x

Ответ: 1.

Пример 3. Решить уравнение 710

25 +=− xx

.

Решение. Умножив обе части уравнения на число 14 (наименьшее общее кратное знаменателей), получим ( ) ( )10257 +=− xx , 202357 +=− xx

555 =x , 11=x . Ответ: 11.


Решить уравнения:

1. 148 =x . Ответ: 4

7.

2. 232

=+ xx. Ответ: 4,2 .

28

3. ( ) ( ) 1522423 −=−++− xxx . Ответ: 1.

4. 4

102

3

7 −=− xx

Ответ: 1− .

5. ( )( )

04

21 =−

−+x

xx Ответ: 4;2;1− .



1. 132

=+ xx.

A Б В Г Д 2,1 4,2 5 6 другой

вариант ответа

2. ( ) ( ) ( )422352 +−=+−− xxx .

A Б В Г Д 18− 10 8 10− другой


3. 3

22

1 −=+ xx.

A Б В Г Д 1− 0 7 7− другой


4. ( )( ) 0352 =+− xx . 5. ( )( )( ) 0575 =−−+ xxx .

6. ( )( )

01

21 =+

+−x

xx.

7. ( )( )

01

212

=−

+−x

xx.

29

2.2 Квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Квадратное уравнение имеет вид 02 =++ cbxax , где cba ,, - дей-ствительные числа, причем 0≠a . Корни этого уравнения находят по фор-

муле a

Dbx

2

±−= , где acbD 42 −= – дискриминант.

1. Если 0>D , то уравнение имеет два корня. 2. Если 0=D , то уравнение имеет один корень. 3. Если 0<D , то уравнение корней не имеет. Если 0=b или 0=c , то квадратное уравнение называют неполным.

Решить такое уравнение можно, разложив левую часть на множители. Квадратный трехчлен cbxax ++2

раскладывается на множители с

помощью формулы ( ) ( )212 xxxxacbxax −⋅−⋅=++ , где 1x , 2x - корни

квадратного уравнения 02 =++ cbxax . Например, трехчлен 862 2 −+ xx имеет разложение ( ) ( )412 +⋅−⋅ xx , т.к. корнями являются 11 =x , 42 −=x

Пример 1. Решить уравнение 0143 2 =+− xx .

Решение.

Найдем дискриминант. ( ) 0412161344 2 >=−=⋅⋅−−=D . Дискриминант положителен. Уравнение имеет два корня.

13224

1 =⋅+=x , 3

13224

2 =⋅−=x .

Ответ: 31

,1 .

Пример 2. Решить уравнение 0442 =+− xx .

Решение.

( ) 01616444 2 =−=⋅−−=D

Уравнение имеет один корень 212

4 =⋅

=x .

Ответ: 2 . Пример 3. Решить уравнение 01032 2 =++ xx

Решение. 071809102432 <−=−=⋅⋅−=D Уравнение корней не имеет, т. к.

дискриминант отрицателен Ответ: ∅ .

30



1. 012 2 =−− xx . Ответ: 21

,1 − .

2. 0235 2 =+− xx . Ответ: ∅ . 3. 0122 =++ xx . Ответ: 1− . 4. 082 =+ xx . Ответ: 8,0 − .


Решить уравнения: 1. 0232 =+− xx . 4. 072 =− xx . 2. 0144 2 =+− xx . 5. 0102 2 =+ xx . 3. 017 2 =++ xx . 6. 092 =+x . Разложить на множители: 7. 232 +− xx . 9. xx 82 2 +− . 8. 144 2 −+− xx . 10. 154 2 ++ xx . 2.3 Уравнения, приводящиеся к квадратным

-Биквадратным называется уравнение вида 024 =++ cbxax . При введе-

нии новой переменной 2xt = , такое уравнение сводится к квадратному

02 =++ cbtat . -Уравнение вида ( ) ( ) 02 =++ cxbfxaf , приводится к квадратному с по-

мощью замены ( )xft = .

- Уравнение вида ( )( )( )( ) rdxcxbxax =++++ , если выполняется условие dcba +=+ , приводится к квадратному.

31


1. 023 24 =+− xx .

2. ( ) ( ) 03323 222 =−+−+ xxxx . 3. ( )( )( )( ) 84321 =−−−− xxxx .

2.4 Иррациональные уравнения

Уравнение, в котором неизвестное находится под знаком корня, называется иррациональным. При решении такого уравнения используют методы: - замена переменной - возведение обеих частей в одинаковую степень Посторонние корни отсеиваются с помощью проверки или нахождением области допустимых значений (ОДЗ).

Пример 1. Решить уравнение xx +=+ 35 . Решение. Возведем в квадрат обе части уравнения ( ) ( ) 22 35 xx +=+

2695 xxx ++=+

05962 =−+−+ xxx

0452 =++ xx

−=−=

1

4

2

1

x

x

Проверка. 1) 4354 −≠+− 11 −≠

2) 1351 −=+−

24 = .

Ответ: 1− .

Пример 2. Решить уравнение 2782 2 =−++ xxx . Решение.

Преобразуем уравнение: xxx +=++ 2782 2

Возведем в квадрат обе части уравнения ( ) ( ) 222 2782 xxx +=++ 22 44782 xxxx ++=++

0342 =++ xx

−=−=

1

3

2

1

x

x

32

Проверка: 1) ( ) ( ) ( ) 2373832 2 ≠−−+−+− 231 ≠+ .

2) ( ) ( ) ( ) 2171812 2 =−−+−+− 22 = . Ответ: 1− .

Пример 3. Решить уравнение 927 =−++ xx Решение. Преобразуем уравнение: 297 −−=+ xx

Возведем в квадрат обе части уравнения ( ) ( ) 22 297 −−=+ xx

2218817 −+−−=+ xxx

72218 =−x

42 =−x

( ) 162 2=−x 162 =−x 18=x .

Проверка. 9218718 =−++ 91625 =+ 99 = . Ответ: 18.



1. 51 =+x . Ответ: 24.

2. 222 =++ xx . Ответ: 2,1 − .

3. 6621 =++− xx . Ответ: 5 .


1. Решить уравнение 312 =+x . A Б В Г Д

2 4 1 5− другой вари-ант ответа

2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

41 =− x . (ВНО- 2013) A Б В Г Д

( )10;20 −− ( )5;10 −− ( )5;5− ( )10;5 ( )15;10

33

Решить уравнения (3-6):

3. 1253 =−−− xx .

4. 12291 −=−−+ xxx .

5. 332

432 =

+−+

xx .

6. ( ) 01242 =+− xx .

2.5 Показательные уравнения

Уравнение вида bax = , где 0,0 >> ba называется простейшим по-

казательным уравнением. Решением такого уравнения есть число balog .

Показательное уравнение вида ( ) ( )xxf aa ϕ= , где 1,0 ≠> aa , равносильно уравнению ( ) ( )xxf ϕ= .

Пример 1. Решить уравнение 32 =x .

Решение. По определению логарифма имеем 3log2=x Ответ: 3log2 .


2

=

+x

.

Решение.

Преобразуем уравнение к виду

32

31

31

−+

=

x

Переходя к равносильному, получим 32 −=+x . Откуда 5−=x . Ответ: 5− .

Пример 3. Решить уравнение ( ) 17 22

=+ xx.

Решение.

Преобразуем уравнение к виду ( ) 02 772

=+ xx.

Переходя к равносильному, получим 022 =+ xx . Откуда 2,0 −== xx .

Ответ: 2,0 − .

34


49

16

4

7−−

=

x

Решение.

Преобразуем уравнение к виду 243

4

7

4

7

=

−x

.Переходя к равносиль-

ному, получим 243 =−x . Откуда 2=x . Ответ: 2



1. 87 =x . Ответ: 8log7 .

2. 255 12 =−x . Ответ: 23

.

3. ( ) 19,729 =− x

. Ответ: 3± .



1. 82 =x . A Б В Г Д

2log8 3 4 31


2. 35 =x .

A Б В Г Д

5log3 3log5 53

35


3. 75

23

=

x

.

A Б В Г Д

5log2 7 3 72

5

3

5

2 7log 5

2log

3

17


4. 3512 1010 +− = xx .

A Б В Г Д

4

3

4

3− 3

4− 3

4


35

5. 122

81

2

=

x

.

A Б В Г Д

2 2± 2− ∅ другой вари-ант ответа

6. ( ) 11,5 `33 =−x.

A Б В Г Д

0 ∅ 2− 1 другой вари-ант ответа

7. 704555 754 =−+ −−− xxx . 10. 307

1257 =+

xx .

8. 07979 1122 =−−− ++++ xxxx. 11. ( ) ( ) 423 55

2 −− −=− xxx xx .

9. 02439 1 =−+ +xx . 12. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

xx

=+

125

15 3

. (ВНО- 2011)

A Б В Г Д ( ]1;2 −− ( ]1;0 ( ]2;3 −− ( ]0;1− ( ]3;1

2.6 Логарифмические уравнения

Уравнение вида bxa =log , где 0,1,0 >≠> xaa называется про-стейшим логарифмическим уравнением. Решением такого уравнения

есть число bax = . В случае, если ( ) ( ) ( )xbxfxa =log , находим ОДЗ ( )( )( )

≠>>

1

0

0

xa

xa

xf

Пример 1. Решить уравнение 3log2 −=x .

Решение.

По определению логарифма имеем 8

12 3 == −x .

Ответ: 8

1.

36

Пример 2. Решить уравнение ( ) 115log2

1 −=−x .

Решение.

Преобразуем к виду 1

2

115

−

=−x

⇔ 215 =−x ⇔ 35 =x

⇔ 5

3=x .

Ответ: 53

.


Решить уравнения: 1. 2log5 =x . Ответ: 25. 2. ( ) 412log3 =−x . Ответ: 41.

Задания для самостоятельного решения Решить уравнения: 1. 1log7 =x .

A Б В Г Д

0 1 7

1 7 другой вари-

ант ответа

2. ( ) 213log4 =+x .

A Б В Г Д

5 5− 3

17

5

1


3. ( ) ( ) 11log4log 66 =−++ xx . 6. 01

23log2 =

−+

x

x.

4. 02loglog 727 =−+ xx . 7. 1

1

25log3 =

+−

x

x.

5. ( ) ( ) 0232lg332lg2 =++++ xx . 8. ( ) 172`42

2

=−− −xxx .

37

2.7 Тригонометрические уравнения

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся ax =sin , ax =cos , atgx = , actgx = .

Случаи решения

Частные случаи


1sin =x .

Решение.

( ) kx k π+

−=2

1arcsin1

( ) kx k ππ +−=

61

Ответ: ( ) kk ππ +−6

1 .


32cos −=x .

Решение.

kx π22

3arccos2 +

−±= kx ππ 2

2

3arccos2 +

−±=

kx πππ 26

2 +

−±=

kx ππ2

6

52 +±= kx ππ +±=

12

5.

Ответ: kx ππ +±=12

5.

Уравнение Решение

ax =sin , где 1≤a ( ) kax k π+⋅−= arcsin1 , где zk ∈

ax =cos , где 1≤a kax π2arccos +±= , где zk ∈

axtg = kaarctgx π+= , где zk ∈

axctg = kaarcctgx π+= , где zk ∈

kxx π=⇔= 0sin

kxx ππ2

21sin +=⇔=

kxx ππ2

21sin +−=⇔−=

kxx ππ +=⇔=2

0cos

kxx π21cos =⇔=

kxx ππ 21cos +=⇔−=

kxxtg π=⇔= 0

kxxctg ππ +=⇔=2

0

38


138sin5 =x .

Решение.

Преобразуем к виду 10

138sin =x , т.к. 1

10

13 > , то решений нет.

Ответ: ∅ . Задания для самоконтроля

Решить уравнения

1. 1cos =x . Ответ: kπ2 .

2. 02sin =x . Ответ: 2

kπ.

3. 21

5cos =x

. Ответ: kππ10

35 +± .

4. 52sin4 =x . Ответ: ∅ .

5. ( ) 112 =−xctg . Ответ: 22

18

kππ ++ .

6. ( ) 31473 =+xtg . Ответ: 7

242

kππ +− .



1. 0cos =x . 7. ( ) 01sin2cos =−xx .

2. 13sin =x . 8. 03cos4cos2 =++ xx .

3. 23

4cos =x

. 9. 025sin5sin2 =−− xx .

4. ( )2

182sin =+x . 10. ( ) ( ) 052cos52cos2 =+−+ xx .

5. 1=xctg . 11. ( ) 034sin24cos =+xx .

6. 123 =xtg . 12. 02sin4cos =− xx .

39

2.8 Уравнения, содержащие знак модуля

Определение модуля

<−≥

=0,

0,

aеслиa

aеслиaa

При решении уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля, нужно, с помощью определения модуля, избавиться от знака модуля. Пример 1. Решить уравнение 74 =−x .

Решение. При 4<x «подмодульное» выражение отрицательное, значит, знак

модуля снимется таким образом ( )44 −−=− xx . Тогда

( ) 74 =−− x , а 3−=x . При 4≥x «подмодульное» выражение

неотрицательное, значит знак модуля снимется как 44 −=− xx .

Тогда 74 =−x , а 11=x . Ответ: 11;3− .

Пример 2. Решить уравнение 831 =+++ xx .

Решение. При 3−<x имеем уравнение ( ) ( ) 831 =+−+− xx . Тогда 6−=x

( )3;6 −∞−∈− . При 13 −<≤− x имеем ( ) ( ) 831 =+++− xx . На этом

интервале ∅ . При 1−≥x имеем 831 =+++ xx , 2=x . [ )∞+−∈ ;12 Ответ: 2;6− .

Задание для самоконтроля

Решить уравнения: 1.

52 =− x

Ответ: 3;7 − .

2. 51 =−+ xx Ответ: 3− .



1. 13 =+ x . 3. 1012 =−++ xx .

2. 35 =− x . 4. 5342 =−+−+ xxx .

40

2.9 Уравнения с параметром

Уравнение с параметром – это уравнение, содержащее, кроме неиз-вестной и числовых коэффициентов еще и буквенные коэффициенты. Ре-шить уравнение с параметром a – это значит, для каждого значения a найти значения x , удовлетворяющие этому уравнению. Для каждого слу-чая значений параметра ответ должен быть записан однозначно.

Пример 1 . Решить уравнение 8=⋅ xa .

Решение. Если 0≠a , то делением на a обеих частей уравнения получим ко-

рень a

x8= . Если 0=a , то имеем 80 =⋅ x . Решений нет.

Ответ: Если 0≠a , то a

x8= .

Если 0=a , то решений нет.

Пример 2 . Решить уравнение ( ) 242 −=− axa .

Решение. Если 2±≠a , то делением на 42 −a обеих частей уравнения полу-

чим корень 2

1

+=

ax . Если 2=a , то имеем 00 =⋅ x , где решением

есть любое действительное x . Если 2−=a , то имеем 40 −=⋅ x , где решений нет.

Ответ: Если 2±≠a , то 2

1

+=

ax .

Если 2=a , то x– любое действительное число. Если 2−=a , то решений нет.



1. 5=a

x. Ответ: Если 0≠a , то ax 5= .

Если 0=a , то решений нет.

2. b

x1

sin = . Ответ: Если ( )1;1−∈b , то решений нет.

Если ( )1;1−∉b , ( ) zkkb

x k ∈+

−= ,1

arcsin1 π .

41


1. Решить уравнение axa =⋅ . 2. Решить уравнение xxa sin2sin =⋅ . 3. Найти наименьшее значениеa , при котором имеет решения

уравнение ( ) 2234cos3sin21

aaxx −−=+ . (ВНО-2011)

4. Найти значение параметра a , при котором корень уравнения

( ) xax −+= 255sinlg π принадлежит промежутку

∈ 2;2

3a .

(ВНО-2013)

2.10 Системы уравнений

Пример 1. Решите систему уравнений

=−=+72

552

yx

yx. Для полученного

решения ( )00, yx системы, найдите сумму 00 yx + . (ВНО-2013)

А Б В Г Д 18− 3 4 8 12

Решение. Выражая x из второго уравнения системы, получим 72 += yx . Подставив в первое уравнение, имеем 55)72(2 =++ yy . Откуда

1−=y . Тогда ( ) 5712 =+−=x . Подсчет суммы дает 4 .

Ответ: B .

Пример 2. Решите систему уравнений

=−+=+

442

322 yxyx

yx

Решение. Выражая x из первого уравнения системы, получим yx −= 3 .

Подставив во второе уравнение, имеем ( ) 4432)3( 22 =−−+− yyyy Преобразовав, получим квадратное уравнение относительно

неизвестной y : 012 =−y , где корни 11 =y , 12 −=y . Находя соответ-

ствующие значения x , получаем 2131 =−=x , 4)1(32 =−−=x .

Ответ: ( )1;2 , ( )1;4 − .

42


Решите системы уравнений:

1.

=+=+

729

34

yx

yx

Ответ: ( )1;1 − .

2.

=−−=−

823

4222 yxyx

yx

Ответ: ( )2;8 , ( )1;2 − .


Решите системы уравнений:

1.

=−=+

723

4

yx

yx 5.

=−=+

22

322 yx

yx

2.

=+=−

927

45

yx

yx

6.

=+=+

yx

yx

84

32 (ВНО-2012)

3.

=−−=+5,225,0

1,03,02,0

yx

yx

7.

=++−=−

235

12322 yxyx

yx

4.

=−

+=−

252

8

12

y

x

xy

(ВНО-2012) 8.

=−=−

7

133 yx

yx

43

3 НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ

3.1 Линейные неравенства. Неравенства, приводящиеся к ли-нейным

Неравенства вида bax > , bax < , bax ≥ , bax ≤ , где ba , –

действительные числа, называются линейными с одной переменной. 1) Если 0≠a , то для того чтобы решить неравенство, необходимо раз-делить обе части неравенства на a . Причем, если 0>a , то знак не-равенства сохраняется; если 0<a , то знак неравенства меняется на противоположный.

2) Если 0=a , то решением неравенства является любое число, или же решений нет ( 20 >⋅ x решений нет, 20 <⋅ x все числа, 00 ≤⋅ x все числа).

Пример 1. Решить неравенство 182 >x .

Решение. Разделив обе части неравенства на положительное число 2 (знак не-равенства сохраняется), получим 9>x . Ответ: ( )+∞∈ ;9x .

Пример 2. Решить неравенство 182 ≥− x .

Решение. Разделив обе части неравенства на отрицательное число -2 (знак не равенства меняется), получим 9−≤x . Ответ: ( ]9;−∞−∈x .

Пример 3. Решить неравенство ( )( ) 142512 2 +−≥++ xxxx . Решение.

142562 22 +−≥++ xxxx , 410 −≥x , 4,0−≥x . Ответ: [ )+∞−∈ ;4,0x .

Пример 4. Решить неравенство 2

43

1 +>−− xx

x.

Решение. Умножив обе части уравнения на число 6 (наименьшее общее кратное знаменателей), получим ( ) ( )43612 +>−− xxx

123622 +>−− xxx , 147 >− x , 2−<x .

Ответ: ( )2;−∞−∈x .

44


Решить неравенства: 1. 1352 −≥+ xx . Ответ: ( ]6;∞−∈x .

2. ( ) ( ) xxx <−−+ 235 . Ответ:

−∞−∈3

17;x .

3. ( ) xxx −≥+− 132 . Ответ: ∅.

4. 2

233

15,4 +≤− xx. Ответ: Rx∈ .


Решить неравенства: 1. 12103 −<+ xx

A Б В Г Д

( )11;∞− ( ]11;∞− ( )11;−∞− ( )∞+;11 другой ва-риант ответа

2. ( ) ( ) xxx 44217 >+−−

A Б В Г Д

[ )∞+;11 ( ]11;∞− ( )11;−∞− ( )∞+;11 другой вари-ант ответа

3. 2

1233

54 −≥+ xx

4. 127

452 +−≤+− x

xx

3.2 Решение неравенств методом интервалов

Пусть имеем неравенство вида ( ) 0>xf (знак может быть ≤≥< ,, ). Метод интервалов заключается в применении следующей схемы:

1) найти область определения для функции ( )xf 2) найти нули функции 3) на числовой оси отметить нули

45

4) установить знак на каждом из интервалов 5) выбрать нужные интервалы 6) записать ответ.

В случае неравенства вида ( )( ) 0>x

xg

ϕ находят нули числителя и нули знаме-

нателя.

Пример 1. Решить неравенство ( )( ) 025 <+− xx . Решение. Область определения ( ) ( )∞+∞−= ;fD .

Найдем нули функции ( )xf . Для этого решим уравнение ( )( ) 025 =+− xx , откуда 21 −=x , 52 =x

Выбираем промежуток ( )5;2− . Ответ: ( )5;2−∈x .

Пример 2. Решить неравенство 073 ≥

−+

x

x

Решение. Область определения ( ) ( ) ( )∞+∪∞−= ;77;fD . Найдем нули

числителя функции ( )xf . Для этого решим уравнение 03 =+x ,

3−=x . Найдем нули знаменателя функции ( )xf . Для этого решим уравнение 07 =−x , 7=x .

( ) 07434

4 >−−+−=−f

( ) 07030

0 <−+=f

( ) 07838

8 >−+=f

Выбираем промежутки ( ]3;−∞− и ( )+∞;7 .

Ответ: ( ] ( )+∞∪−∞−∈ ;73;x .

Пример 3. Решить неравенство ( )( )

05

132

≤+

−+xx

xx

Решение. Область определения ( ) ( ) ( ) ( )∞+∪−∪−∞−= ;00;55;fD

Определим знаки на интервалах ( ) ( )( ) 023533 >+−−−=−f ( ) ( )( ) 020500 <+−=f ( ) ( )( ) 026566 >+−=f

2− 5 x

3− 7 2−

46

Найдем нули числителя. Для этого решим уравнение ( )( ) 013 =−+ xx , корни 3−=x , 1=x . Нули знаменателя находим из уравнения

052 =+ xx . Корни: 5−=x , 0=x . Определим знак на каждом интервале

( ) ( )( )( )

( )( ) 0

16

73

566

16366 >

−⋅−−⋅−=

+−−−−+−=−f

( ) 04 <−f ( ) 01 >−f ( ) 05,0 <f ( ) 02 >f

Ответ: ( ] ( ]1;03;5 ∪−−∈x .


Решить неравенства

1. ( )( ) 024 ≤++ xx . Ответ: [ ]2;4 −−∈x .

2. ( )( ) 031 >+− xx . Ответ: ( ) ( )∞+∪−∞−∈ ;13;x .

3. ( ) 013 ≥+xx . Ответ: [ )∞+∪

−∞−∈ ;03

1;x

4. 032 <

+−

x

x. Ответ: ( )2;3−∈x .

5. 071 ≤

−−

x

x. Ответ: [ )7;1∈x .


1. Решить неравенство ( )( ) 051 >−+ xx . A Б В Г Д

( )1;−∞−

( ) ( )∞+∪−∞− ;51; ( )∞+;5 ( )5;1− другой ва-риант ответа

2. Решить неравенство ( )( ) 041 <+− xx .

A Б В Г Д

( )4;−∞− ( ) ( )∞+∪−∞− ;14; ( )∞+;1 ( )4;1 − другой вари-ант ответа

3− 0

++ −2−5− 1

+−

47

3. Решить неравенство ( )( ) 054 ≥−− xxx . A Б В Г

[ )∞+;5 [ ] [ )∞+∪ ;54;0

( ] [ ]5;40; ∪∞−

другой вариант ответа

4. Решить неравенство 0142 ≥

+−

x

x.

A Б В Г Д ( )1;−∞−

( ) [ )∞+∪−∞− ;21;

( )∞+;2

( ]2;1− другой вари-

ант ответа

5. Решить неравенство 1

71

3+

<+ xx

x. (ВНО - 2011)

A Б В Г Д

∞−3

7;

( )1;−∞−

( )

∞+∪

∪−∞−

;37

1;

−3

7;1

( )

−∪

∪−∞−

37

;1

1;

6. Решить неравенство ( )( ) ( )7374 −>−+ xxx . (ВНО - 2012) A Б В Г Д

( )∞+;7

( )7;1−

( )( )∞+∪

∪−;7

7;1

( )∞+− ;1 ( )( )∞+∪

∪−∞−;7

1;


34 ≥++ xx

. (ВНО - 2013).

В ответе записать сумму всех целых его решений.


123

4 ≤−

−++ xxx

3.3 Логарифмические неравенства

Решение логарифмических неравенств базируется на том, что функ-ция xy alog= , при 1>a возрастает, а при 10 << a убывает. Логарифми-

ческое неравенство ( ) ( )xgxf aa loglog >

при 1>a равносильно системе неравенств

( ) ( )( )( )

>>

>

0

0

xg

xf

xgxf

,

48

а при 10 << a равносильно системе неравенств

( ) ( )( )( )

>>

<

0

0

xg

xf

xgxf

Пример 1. Решить неравенство ( )14log)25(log 77 −>+ xx . Решение. Данное неравенство, с учетом того что основание логарифма

17 >=a , равносильно системе неравенств

25,0

25,0

4,0

3

014

025

1425

>

⇔>

−>−>

⇔>−>+

−>+x

x

x

x

x

x

xx

.

Ответ: ( )∞+∈ ;25,0x . Пример 2. Решить неравенство ( )12log)23(log 4,04,0 +≥− xx .

Решение. Данное неравенство, с учетом того что основание 14,0 <=a , равно-

сильно системе неравенств 3

5,0323

012

023

1223

≥

⇔

−>

>≥

⇔>+>−

+≥−x

x

x

x

x

x

xx

Ответ: [ )∞+∈ ;3x .


)85(log 24 >+− xx .

Решение.

Преобразуем данное неравенство к виду 2log)85(log 42

4 >+− xx . Т.к. основание 14 >=a , то полученное неравенство равносильно системе неравенств

( )( )32

32023

085

2852

2

<<⇔

+∞<<∞−<<

⇔+∞<<∞−

>−−

⇔>+−>+−

xx

x

x

xx

xx

xx

Ответ: ( )3;2∈x .

Пример 4. Решить неравенство xx 5,0

25,0 log56log ≤+ .

Решение. Преобразуем данное неравенство к виду 06log5log 5,0

25,0 ≤+− xx .

Выполнив замену xt 5,0log= , получим квадратное неравенство отно-

сительно неизвестной t : 0652 ≤+− tt или ( )( ) 032 ≤−− tt , откуда 32 ≤≤ t .

49

Выполняя обратную замену, получим неравенство 3log2 5,0 ≤≤ x , ко

торое равносильно системе

⇔

≥≤

>⇔

≤≥

⇔≤≥

125,0

25,0

0

125,0loglog

25,0loglog

3log

2log

5,05,0

5,05,0

5,0

5,0

x

x

x

x

x

x

x

25,0125,0 ≤≤⇔ x Ответ: [ ]25,0;125,0∈x .


Решить неравенства. 1. 2log 5,0 ≥x Ответ: ( ]25,0;0∈x .

1. ( )12log)9(log 44 −>+ xx . Ответ:

∈ 10;21

x .

2. ( )106log)27(log 2,02,0 +≤− xx . Ответ: [ )∞+∈ ;12x .

3. 2)3(log 2

5,0 −≥+ xx Ответ: [ ) ( ]1;03;4 ∪−−∈x .


Решить неравенства: 1. 3)42(log 5,0 −≤−x .

A Б В Г Д

( ]6;∞− ( ]2;∞− [ )∞+;6 ( ]6;2 другой вари-ант ответа

2. 2log5 ≤x .

A Б В Г Д

( ]25;0 ( ]25;∞− [ )∞+;25 ( )∞+;0 другой ва-риант ответа

3. 2)1(log 5,0 >−x . (ВНО11).

A Б В Г Д

( )25,1;∞− ( )∞+;2 ( )∞+;25,1 ( )25,0;0 ( )25,1;1

50

4. 0log3 2 ≥+ x .

A Б В Г Д

∞+;8

1

8

1;0

∞−8

1; [ )∞+;8 [ )∞+− ;6

5. xx 3,02

3,0 loglog < 8. 1log4log3 7,02

7,0 −< xx .

6. 05log6log 525 ≥++ xx . 9. ( ) ( ) 21log4log 22 >+++ xx .

7. 2lg6lg2 ≥− xx . 10. 05log

4log

88 ≤−+

xx .

3.4 Показательные неравенства Решение показательных неравенств базируется на том, что функция xay = , при 1>a возрастает, а при 10 << a убывает. Показательное нера-

венство ( ) ( )xgxf aa > (a - постоянная. Например 10=a ) при 1>a равносильно неравенству ( ) ( )xgxf > ,а при 10 << a равносиль-но неравенству ( ) ( )xgxf < .

В случае, когда ( )xaa = , т.е. является функцией аргумента x , неравенство ( ) ( )xgxf aa > равносильно совокупности систем неравенств

( ) ( )

( ) ( )

<<<

>>

10

1

a

xgxfa

xgxf

Пример 1. Решить неравенство 7415 22 +− > xx

. Решение. Данное неравенство, с учетом того что основание степени 12 > , равносильно неравенству 7415 +>− xx . Откуда 8>x . Ответ: ( )∞+∈ ;8x .

Пример 2. Решить неравенство 0016,02,02

>x . Решение.

Преобразуем данное неравенство к виду 4)2,0(2,02

>x . Полученное неравенство, с учетом того, что основание степени

12,0 < , равносильно неравенству 42 <x . Откуда 22 <<− x .

Ответ: ( )2;2 +−∈x .

51

Пример 3. Решить неравенство 97 ≤x . Решение. Используя основное логарифмическое тождество, преобра зуем данное неравенство к виду 9log777 ≤x . Полученное неравенство, с учетом того, что основание степени 17 >=a , равносильно нера

венству 9log7≤x .

Ответ: ( ]9log; 7∞−∈x .


47

931

2

−−−−

≥

xxx

.

Решение.

Преобразуем данное неравенство к виду 2247 332 −++ ≥ xxx .

Полученное неравенство равносильно неравенству 0652 ≥++ xx

или ( )( ) 032 ≥++ xx , решая которое получим

−≥−≤2

3

x

x

Ответ: ( ] [ )∞+−∪−∞−∈ ;23;x .


Решить неравенства:

1. 145 77 +< xx. Ответ: ( )1;∞−∈x .

2. 45,0 ≤x . Ответ: [ )∞+−∈ ;2x .

3. 45 >x . Ответ: ( )∞+∈ ;4log5x .

4. 001,010 42

≥+ xx . Ответ: ( ] [ )∞+−∪−∞−∈ ;13;x . Задания для самостоятельного решения


1. 23 22 −> xx . A Б В Г Д

( )∞+− ;1 ( )∞+;1 ( )1; −∞− ( )1;∞− другой вари-ант ответа

2. 23 4,04,0 −> xx . A Б В Г Д

( )∞+− ;1 ( )∞+;1 ( )1; −∞− ( )1;∞− другой вари-ант ответа

52

3. 32 ≤x . (ВНО 13). A Б В Г Д

( ]3log;0 2 ( ]3log; 2∞−

∞−2

3; ( ]2log; 3∞− [ )∞+;3log2

4. 1

43

2551

2

+−−

>

xxx

.

A Б В Г Д

( )2;1− ( )∞+;2

( )( )∞+∪

∪−∞−;2

1;

( )1; −∞− другой ва-риант ответа

5. 9lg1032

≥+xx . 8. 01103104 2 ≤+⋅+⋅ xx . 6. 693 −<− xx . 9. 13242 52522 +++++ +<+− xxxxx .

7. 35,05,0 1 >+ −xx . 10. ( ) 11 3 ≤+ +xx . 3.5 Тригонометрические неравенства Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции,

сводится, в итоге к решению простейших тригонометрических неравенств вида at >sin , at ≤cos , atctg > и т.д.

Пример. Решить неравенство 21

sin −>x .

Решение. Те x , которые удовлетворяют данному неравенству, соот ветствуют

точкам синусоиды, ордината которых больше числа 21− . Очевидно,

что

−−<<

−2

1arcsin

2

1arcsin πx , то есть

67

6ππ <<− x .

В силу периодичности , имеем Nnnxn ∈+<<+− ,26

72

6ππππ

.

Ответ: Nnnxn ∈+<<+− ,26

72

6ππππ

.

53



1. 21

sin >x . Ответ: Nnnxn ∈+<<+ ,26

52

6ππππ

.

2. 23

cos ≥x . Ответ: Nnnxn ∈+≤≤+− ,26

26

ππππ.



1. 23

sin >x . 4. 33=xctg . 7. 1sin2 >x .

2. 21

cos <x . 5. 22

2sin ≤x . 8. 22

)3

4cos( ≥+ πx .

3. 1≥xtg . 6. 04cos ≥x . 9. 03 <xtg .

3.6 Системы неравенств Решением системы неравенств называется значение переменной,

при котором верно каждое неравенство. Решить систему – значит отыскать все решения или доказать, что

их нет. Схема решения системы неравенств:

1) решается каждое неравенство в отдельности 2) изображается каждое множество решений на отдельной числовой оси 3) находятся общие решения неравенств (пересечение множеств)

Пример 1. Решить систему неравенств

−>≤

3

2

x

x

Решение.

Ответ: ( ]2;3−∈x .

Множество решений первого неравенства

Множество решений второго неравенства

Общие решения неравенств

54


>>

3

10

x

x

Решение.

Ответ: ( )∞+∈ ;10x .


≥≤<−2

51

x

x

Решение.

Преобразовав двойное неравенство, получим систему

≥≤

−>

2

5

1

x

x

x

Ответ: [ ]5;2∈x .

Задания для самоконтроля Решить системы неравенств:

1.

+≤−>−

1912

534

xx

x Ответ: ( ]20;2∈x .

2.

+>−+>−−1465

1229

xx

xx Ответ: ∅ .

3.

<−≥

09

02x

x Ответ: [ )3;0∈x .

Множество решений первого неравенства Множество решений второго неравенства Множество решений третьего неравенства Общие решения неравенств

Множество решений первого неравенства

Множество решений второго неравенства

Общие решения неравенств

55

Задания для самостоятельного решения Решить системы неравенств:

1.

<≤

3

10

x

x 4.

−<−≤−≤≤−

12

335

11x

x

7.

≥+−

<−+0

31

022

x

xxx

2.

≥−>

0

532

x

xx

5.

( )( )( )( )

≤++>++

073

052

xx

xx

8.

<−

≤+

++

042

07

442

xx

xx

3. ( ) ( )( )

+<+++<−

−>

8324

16143132

10

xx

xx

x

6.

≥−≥−+01

022

2

x

xx

9.

≥++≥−+

034

022

23

xx

xxx

56

4 ПРОГРЕССИИ

4.1 Арифметическая прогрессия

Последовательность чисел ,...,...,,, 321 naaaa называется арифметиче-ской прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, отличается от предыдущего на одно и то же число d .

1a – первый член арифметической прогрессии, na – n -й член; d –разность арифметической прогрессии. Для любого натурального n вы-

полняется daa nn +=+1 . n - й член находится как ( )11 −+= ndaan . Сумма первых n элементов прогрессии находится как

( )n

ndan

aaS n

n ⋅−+=⋅+=2

122

11 .

Пример 1. Дана арифметическая прогрессия ...,8,6,4 Найти:

а) разность прогрессии; б) формулу нахождения na ; в) формулу нахождения nS . Решение. а) разность прогрессии найдем вычитанием 24612 =−=−= aad ; б) ( ) ( ) nndnaan 2221411 +=⋅−+=⋅−+= ;

в) ( ) ( ) 21 3

2218

212

nnnn

nnda

Sn +=⋅⋅−+=⋅−+= .

Ответ: 2=d , nan 22+= , 23 nnSn += . Пример 2. Найти сумму первых 5 членов арифметической прогрессии,

если 31 =a , 4−=d . Решение. Воспользуемся формулой суммы и получим

( ) ( )

2552

1665

2

415325 −=⋅−=⋅−⋅−+⋅=S .

Ответ: 25− .


1. В арифметической прогрессии 31 =a , 12 =a . Найти: а) разность прогрессии; б) формулу нахождения na ; в) формулу нахождения nS .

Ответ: 2−=d , nan 25−= , 24 nnSn −= . 2. Найти пятый член арифметической прогрессии если 94 =a ,

1717 −=a .

Ответ: 75 =a

57

Задания для самостоятельного решения 1. Даны 41 =a и 12 −=a арифметической прогрессии. Указать формулу нахождения n -го члена этой прогрессии. (ВНО-13)

A Б В Г Д

nan 51+−= nan 37−= nan −= 5 nan 31+= nan 59−=

2. Даны 41 =a и 243 =a арифметической прогрессии. Найти разность арифметической прогрессии.

A Б В Г Д

20=d

20−=d

10−=d 10=d другой вари-ант ответа

4.2 Геометрическая прогрессия

Последовательность чисел ,...,...,,, 321 nbbbb называется геометриче-ской прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, отличается от предыдущего в одно и то же число q .

1b –первый член геометрической прогрессии, nb –n - й член. q–разность геометрической прогрессии, для любого натурального n вы-

полняется qbb nn ⋅=+1 . 1

1−⋅= n

n qbb –формула нахождения n - го члена.

Сумма первых n элементов прогрессии ( )

q

qbS

n

n −−=

111 . При 1<q , имеем

формулу бесконечной убывающей прогрессии q

bS

−=

11 .

Пример 1. Найти сумму первых 5 членов геометрической прогрессии, если

31 =b , 2=q . Решение.

Воспользуемся формулой суммы ( ) ( )

93193

21213

11 55

15 =

−−=

−−=

−−=

q

qbS .

Ответ: 93. Пример 2. Найти знаменатель и сумму бесконечной убывающей гео-

метрической прогрессии ...91

31

139 −+−+−

58

Решение. Знаменатель найдем делением элемента на предыдущий

31

93 −=−=q .

Воспользуемся формулой суммы ( ) 427

349

311

91

1 ==−−

=−

=q

bS .

Ответ: 31−=q ,

427=S .


1. Найти знаменатель геометрической прогрессии ...271

91

31 +++

Ответ: 31=q .

2. Найти сумму первых 7 членов геометрической прогрессии, если

41 =b , 2

1=q . Ответ: 16

127.


1. Найти сумму с третьего по седьмой членов геометрической про-

грессии, если 41 =b ,2

1=q .

2. Найти знаменатель геометрической прогрессии, если 249 =b и

91

6 −=b . (ВНО-11)

A Б В Г Д

3 3

2− 6−

3

6 3 3

2

3. Какая из ниже приведенных последовательностей является гео-метрической прогрессией, знаменатель которой 0<q ?

A 10;15;20;25 −−

Б 10;20;40;80 −−−−

В 30;10;10;30 −−

Г 80;40;20;10 −−

Д 60;45;30;15 −−−−

59

5 ФУНКЦИЯ. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ. ГРАФИКИ 5.1 Функция. Область определения

Если каждому x из области D , по некоторому закону f соответ-ствует одно и только одно y из области E , то говорят, что задана функция

( )xfy = . Например, 13 += xy – функция, так как каждому x из множе-ства R , по закону «умножаем x на 3 , и к результату добавляем 1 », соот-ветствует единственное значение y из множества R . x – аргумент или независимая переменная, y – значение функции, D – область определения функции, E – область значений функции.

Пример 1. Найти область определения функции 432 ++= xxy . Решение. Выражение 432 ++ xx имеет смысл при любых x . Значит, RD = . Ответ: R .

Пример 2. Найти область определения функции 82 −= xy . Решение.

Выражение 82 −x имеет смысл при x , удовлетворяющих нера-венству 082 ≥−x . Значит, [ )∞+= ;4D . Ответ: [ )∞+;4 .

Пример 3. Найти область определения функции ( )xy 84log5 −= .

Решение. Выражение ( )x84log5 − имеет смысл при x , удовлетворяющих не-

равенству 084 >− x . Значит,

∞−=21

;D .

Ответ:

∞−21

; .

Пример 4. Найти область определения функции x

y1

2 −= .

Решение.

Выражение x

12 − имеет смысл при 0≠x

Решением системы является множество ( ) ( )∞+∪∞−= ;00;D . Ответ: ( ) ( )∞+∪∞− ;00; .

60

Пример 5. Найти область определения функции xx

xy +

−−=143

.

Решение.

Выражение xx

x +−−143

имеет смысл при x , удовлетворяющих си-

стеме неравенств

≥≠

0

1

x

x

Решением системы является множество [ ) ( )∞+∪= ;11;0D . Ответ: [ ) ( )∞+∪ ;11;0 .


Найти область определения функции

1. xy −= 1 . Ответ: ( ]1;∞− . 2. ( )164ln −= xy . Ответ: ( )∞+;4 .

3. 25

942

2

−++=

x

xxy . Ответ: ( ) ( ) ( )∞+∪−∪−∞− ;55;55; .


Найти область определения функций:

1. ( )9log3 += xy . (ВНО - 2012)

A Б В Г Д

( )∞+;9 ( )∞+− ;9 ( )0;9− ( )∞+;0 ( )∞+∞− ;

2. 4 102 −= xy .

A Б В Г Д

[ )∞+;5 [ )∞+− ;5 ( ]0;5− ( ]5;∞− другой ва-риант ответа

3. 12 −

=x

xy .

A Б В Г Д

( )∞+;0 ( )1;1−

( ) ( ) ( )+∞∪−∪−∞− ;11;11; { }1±


61

4. x

y5= .

A Б В Г Д

( )∞+;0 ( ) ( )+∞∪∞− ;00;

{ }0 ( )0;∞− другой вари-ант ответа

5. 2

7log7 −

=x

y .

6. ( )( )

8

102

++−=

x

xxy .

5.2 Виды функций

Функция ( )xfy = называется возрастающей на промежутке ( )ba; (рис. 5.1), если для любых 1x и 2x из ( )ba; , таких, что 12 xx > , выполняет-

ся неравенство ( ) ( )12 xfxf > .

Функция ( )xfy = называется убывающей на промежутке ( )ba; (рис. 5.2), если для любых 1x и 2x из ( )ba; , таких, что ( )xfy= , выполня-

ется неравенство ( ) ( )12 xfxf <

Например, функция xy 2= всюду возрастающая, так как для любых 21 ,xx , таких,что 12 xx > выполняется неравенство 12 22 xx > , то есть 12 yy >

Рисунок 5.2

Рисунок 5.1

62

Функция ( )xfy = называется четной (рис. 5.3), если для любого

Dx ∈ выполняется ( ) ( )xfxf =− . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция ( )xfy = называется нечетной (рис 5.4), если для любого

Dx ∈ выполняется ( ) ( )xfxf −=− . График нечетной функции симметри-чен относительно начала координат.

Функция ( )xfy = называет-

ся периодической (рис. 5.5) с пери-одом T , если для любого Dx ∈ выполняется равенство

( ) ( ) ( )xfTxfTxf =−=+ . Например, период функций

xx cos,sin равен π2 , а период функций равен .

Если функция ( )xfy = имеет период T , то функция

имеет период . Например, функция имеет пе-

риод .

Пример 1. Исследовать на четность (нечетность) функцию . Решение.

. Выполняется равенство( ) ( )xfxf =− .

Ответ: четная.

xctgxtg , π( )bkxCfy +=

k

T ( ) ( )78cos5 +−= xxf π

41

82 =ππ

410 3xxy −=

( ) ( ) ( ) ( )xfxxxxxf =−=−−−=− 410410 33

Рисунок 5.3

Рисунок 5.4

Рисунок 5.5

63

Пример 2. Исследовать на четность (нечетность) функцию . Решение.

. Ответ: нечетная.

Пример 3. Исследовать на четность (нечетность) функцию 1+= xy .

Решение . .

Ответ: не является ни четной, ни нечетной.

Пример 4 . Найти период функции .

Решение.

Функция имеет период .

Ответ: .

Пример 5 . Найти период функции ( ) ( ) 5108sin3 +−= xxf π .

Решение.

Функция ( ) ( ) 51080sin3 +−= xxf π имеет период 025,080

2 =π

π.

Ответ: 025,0 . Задания для самоконтроля

Исследовать на четность (нечетность) функции:

1. . Ответ: нечетная.

2. . Ответ: четная.

3. . Ответ: четная.

4. . Ответ: нечетная.

5. . Ответ: не является ни четной, ни нечетной.

39 4xxy +=

( ) ( ) ( ) ( )xfxxxxxf −=−−=−+−=− 3939 44

( ) ( )xfxxxf ≠+−=+−=− 11)(

( ) ( )xfxxxf −≠−−=+−=− )1(1)(

( ) ( )74 += xctgxf

( ) ( )74 += xctgxf44ππ =

4π

57 310 xxy −=

46 34 xxy +−=

12 −= xy

12

3

−=

x

xy

1−=

x

xy

64


Исследовать на четность (нечетность) функции:

1. .

A Б В Г

нечетная четная ни четная, ни нечетная


2. .

A Б В Г



3. .

A Б В Г



4. .

A Б В Г



5. .

A Б В Г



6. .

A Б В Г



Определить период функций (7-11):

7.

A Б В Г Д


28 xxy +=

xxy 23 +=

25 2xxy +−=

925 ++= xxy

1

12

2

+−=

x

xy

11

+−=

x

xy

( ) ( )126sin3 −= xxf π

π3 2π

3π 3

65

8.

A Б В Г Д


9.

A Б В Г Д


10. Функция ( )xfy = убывает на интервале . Указать правильное неравенство. (ВНО11)

A Б В Г Д

11. Функция возрастает на интервале . Какое из указанных чисел может быть значением этой функции в точке , если , ?

A Б В Г Д

5.3 Основные функции

Линейная функция это функция вида , где .

( ) ( )2+= xtgxf π

π2 2π 1 π

( )

+= 23x

ctgxf

π2 2π 1 π

( )∞+∞− ;

( ) ( )11 −> ff ( ) ( )101 ff > ( ) ( )81 ff < ( ) ( )01 ff <− ( ) ( )01 ff >

( )xfy = ( )∞+∞− ;8=x

( ) 21 −=f ( ) 59 =f

8− 3− 2− 3 8

bkxy += Rbk ∈,

Рисунок 5.6

Рисунок 5.7

66

Свойства

Графиком линейной функции является прямая. Число называется угловым коэффициентом прямой и равняется тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси . При функция возрастает на всей числовой оси (рис. 5.6). При функция убывает (рис. 5.7).

При имеем функцию (прямая пропорциональность). График такой функции (рис. 5.8) проходит через начало координат.

При имеем функцию (постоянная). График такой функ-

ции (рис. 5.9) проходит через точку и параллелен оси .

Обратная пропорциональность − функция вида , где .

Свойства

1. Область определения .

2. Область значений . 3. Нечетная. График этой функции – гипербола. 4. Если , то график (рис. 5.10) размещается в первой и третьей четвертях. Если , то во второй и четвертой (рис. 5.11). 5. Если , то на всей области определения функция убывает. Если , то на всей области определения функция возрастает.

k

Ox 0>k0<k

0=b kxy =

0=k by =( )b;0 Ox

x

ky = Rk ∈

( ) ( )∞+∪∞−= ;00;D

( ) ( )∞+∪∞−= ;00;E

0>k0<k

0>k0<k

Рисунок 5.10

Рисунок 5.11

Рисунок 5.8

Рисунок 5.9

67

Функция .

Свойства 1. Область определения . 2. Область значений . 3. Четная. График функции – парабола ветвями вверх (рис. 5.12) 4. Если , то функция убывает. Если , то воз-растает.

Функция .

Свойства 1. Область определения . 2. Область значений . 3. Четная. График этой функции на рисунке 5.13. 4. Если , то функция убывает. Если , то воз-растает.

Функция . Свойства 1. Область определения .

2. Область значений . 3. Ни четная, ни нечетная. График функции на рисунке 5.14. 4. При функция возрастает.

2xy =

RD =[ )∞+= ;0E

( )0;∞−∈x ( )∞+∈ ;0x

xy =

RD =[ )∞+= ;0E

( )0;∞−∈x ( )∞+∈ ;0x

xy =

[ )∞+= ;0D

[ )∞+= ;0E

( )∞+∈ ;0x

Рисунок 5.13

Рисунок 5.12

Рисунок 5.14

68

Функция . Свойства 1. Область определения функции . 2. Область значений RE = . 3. Нечетная. График функции – кубическая парабола (рис. 5.15).

5. Функция возрастает на всей области определения.

Показательная функция xay =

Свойства

1. Область определения . 2. Область значений . 3. Если , то функция возрастает на всей области определения (рис. 5.16 а). Если , то убывает на всей области определения (рис. 5.16 б).

Логарифмическая функция xy alog=

Свойства

1. Область определения . 2. Область значений . 3. Если , то функция возрастает (рис. 5.17 а) на промежутке

. Если 1<a , то функция убывает (рис. 5.17 б) на

промежутке

3xy =

RD =

RD =( )∞+= ;0E

1>a

10 << a

( )∞+= ;0DRE =

1>a( )∞+;0

( )∞+;0

Рисунок 5.15

Рисунок 5.16 а) б)

69

Функция

Свойства

1. Область определения . Область значений . 2. Нечетная. График этой функции – синусоида (рис 5.18). 3. Периодическая. Период функции .

Функция

Свойства

1. Область определения . Область значений . 2. Четная. График этой функции – косинусоида (рис 5.19) 3. Периодическая. Период функции .

xy sin=

RD = [ ]1;1−=E

π2=T

xy cos=

RD = [ ]1;1−=E

π2=T

Рисунок 5.18

Рисунок 5.19


70

Функция

Свойства

1. Область определения – все , кроме , где

2. Область значений . 3. Нечетная. 4. График функции – тангенсоида (рис 5.20). 5. Периодическая. Период . 6. Возрастает на всей области определения.

Функция

Свойства

1. Область определения – все , кроме , где . 2. Область значений .

3. Нечетная. 4. График этой функции – котангенсоида (рис 5.21).

5. Периодическая. Период функции . 6. Убывает на всей области определения.

xtgy =

x kππ +2

Zk ∈

RE =

π=T

xctgy =

x kπ Zk ∈RE =

π=T

Рисунок 5.20

71

Пример 1. Проверить принадлежат ли , прямой 84 += xy

Решение. Подставим координаты точек в уравнение прямой . Значит, принадлежит прямой . . Значит, не принадлежит прямой .

Ответ: , . Пример 2 . Найти точки пересечения графиков функций ,

Решение. Для нахождения точек пересечения нужно решить систему уравне-ний

.

Точки пересечения , Ответ: , .


1. Проверить принадлежат ли точки , прямой . Ответ: , .

2. Дано уравнение прямой . Найти угловой коэффициент прямой, и угол, который образует прямая с положительным направ-

лением оси . Ответ: , .

( )0;2−A ( )7;2−B

( ) 8240 +−⋅= ( )1;0 −A a

( ) 8247 +−⋅≠ ( )7;2−B a

aA∈ aB ∉

4=y 2xy =

244

22

±=⇔=⇒

==

xxy

xy

( )4;21 −P ( )4;22P

( )4;21 −P ( )4;22P

( )5;0A ( )2;3 −B144: −= xya aA∉ aB ∈

53 += xy

Ox 3=k °= 60α

Рисунок 5.21

72


1. На рисунке 5.22 изображен график функции . Указать соответ-ствующее уравнение.

A Б В Г Д другой вариант ответа

2. На рисунке 5.23 изображен график функции . Указать соответ-ствующее уравнение.


3. На рисунке 5.24 изображен график функ-ции . Указать соответствующее уравнение.


4. На рисунке 5.25 изображен график функции

. Указать соответствующее уравнение. A Б В Г Д другой вариант ответа

( )xfy =

xy 2=xy −= 2

xy 22−=xy += 2

( )xfy =

xy 3−=xy −= 3

xy 33+=xy += 3

( )xfy =

xy 2=2=y

2=x2−=y

( )xfy =xy 5=5=y

5=xyx 5=

Рисунок 5.22

Рисунок 5.23

Рисунок 5.24

Рисунок 5.25

73

5. На рисунке 5.26 изображен график функции . Указать верную за-пись для углового коэффициента.


6. На рисунке 5.27 изображен график функции . Найти .

A Б В Г не существует Д другой вариант ответа





( )xfy =

10=k0<k0>k0=k

( )xfy = αtg

11−

5

αtg

102

( )xfy = αtg

502

Рисунок 5.26

Рисунок 5.27

Рисунок 5.28

Рисунок 5.29

74

Найти точки пересечения графиков функций. Построить графики:

10. , 13. ,

11. , 14. ,

12. , 15. ,

5.4 Преобразования графиков

1. Преобразование графика в график . График функции получается путем симметричного отоб-ражения графика относительно оси (рис. 5.30а).

2. Преобразование графика в график . График функции получается путем симметричного отоб-ражения графика относительно оси (рис. 5.30 б).

3. Преобразование графика в график ,

График функции получается путем параллельного переноса графика функции на единиц вправо вдоль оси (рис. 5.31 а).

12 += xy xy =x

y7= 8=+ xy

12 −= xy 45 += xy 3xy = xy 8=

xy = xy = 2xy = xy 16=

( )xfy = ( )xfy −=

( )xfy −=( )xfy = Ox

( )xfy = ( )xfy −=

( )xfy −=( )xfy = Oy

( )xfy = ( )axfy −= 0>a

( )axfy −=( )xfy = a Ox


75

4. Преобразование графика в график , График функции получается путем параллельного пере-носа графика функции на единиц влево вдоль оси (рис. 5.31 б).


График функции получается путем параллельного пере-носа графика функции на единиц вверх вдоль оси (рис. 5.32 а).


График функции получается путем параллельного пере-носа графика функции на единиц вниз вдоль оси (рис. 5.32 б).

( )xfy = ( )axfy += 0>a

( )axfy +=( )xfy = a Ox

( )xfy = ( ) axfy += 0>a

( ) axfy +=( )xfy = a Oy

( )xfy = ( ) axfy −= 0>a

( ) axfy −=( )xfy = a Oy

Рисунок 5.31

а) б)


76


График функции получается путем растяжения в раз графика функции вдоль оси (рис. 5.33 а).


График функции получается путем сжатия в раз гра-фика функции вдоль оси (рис. 5.33 б).


График функции получается путем сжатия в раз графи-ка функции вдоль оси (рис. 5.34 а).


График функции получается путем растяжения в раз графика функции вдоль оси (рис. 5.34 б).

( )xfy = ( )xfay ⋅= 1>a

( )xfay ⋅= a

( )xfy = Oy

( )xfy = ( )xfay ⋅= 10 << a

( )xfay ⋅= a

( )xfy = Oy

( )xfy = ( )axfy = 1>a

( )axfy = a

( )xfy = Ox

( )axfy = 10 << a

( )axfy = a

( )xfy = Ox


Рисунок 5.33

а) б)

77

Пример. Построить график . Решение. Выполним построение в несколько этапов:

- Сначала построим базовый график (рис. 5.35 а).

- Потом построим график , отобразив параболу сим-метрично относительно оси (рис. 5.35 б). - Смещением вдоль оси на одну единицу вверх вверх графика

получим график (рис. 5.35 в). Ответ: рис. 5.35 в.


1. Построить график . Ответ: рис. 5.36



12 +−= xy

2xy =2xy −= 2xy =

OxOy

2xy −= 12 +−= xy

1)2( 2 +−= xy

2)1( +−= xy

1)1( 2 +−−= xy

Рисунок 5.35 а) б) в)

Рисунок 5.37

Рисунок 5.36

Рисунок 5.38

78


Построить графики:

1. 6. 2. 7.

3. 8. 4. 9. 5. 10.

11. На рисунке изображен график функции , убывающей на интервале . Устано-вить соответствие между функ-цией (1–4) и точкой пересечения ее графика с осью (А– Д). (ВНО-12)

2)2( += xy 12 2 +−= xy

2)2( +−= xy 1)3(2 2 +−−= xy

52 −= xy 13 −= xy

52 +−= xy 3)2( += xy

22xy = 1)2( 3 −+−= xy

( )xfy =( )∞+∞− ;

Ox

Функция Точка пере-сечения

1

2

3

4

А

Б ( )0;2

В

Г

Д

( )2+= xfy

( )2−= xfy

( )xfy 2=

( ) 2−= xfy

( )0;0

( )0;4

( )0;6

( )0;8

Рисунок 5.39

79

6 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

6.1 Производная. Таблица производных. Правила нахождения производных Возьмем точку из области определения функции . Пусть – произвольная точка из некоторой окрестности точки . Тогда –

приращение аргумента, а разность

– приращение функции (рис. 6.1).

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции

к приращению ар-гумента , при стремлении к ну-

лю:

Таблица производных

1. , 9.

2. 10.

3. 11.

4. 12. ( )ax

xa ln

1log =′

5. 13.

6. 14.

7. 15.

8. 16.

x ( )xfy =xx ∆+ x x∆

( ) ( )xfxxf −∆+

( )xfy =x

( ) ( )xfxxff −∆+=∆x∆ x∆

x

xfxxfxf

x ∆−∆+=′

→∆)()(

lim)(0

0=′C constC − ( ) xx ee =′

1=′x ( ) aaa xx ln⋅=′

( ) 1−⋅=′ αα α xx ( )

xx

1ln =′

( )x

x2

1=′

( ) xx cossin =′ ( )21

1arcsin

xx

−=′

( ) xx sincos =′ ( )21

1arccos

xx

−−=′

( )x

tgx2cos

1=′ ( )21

1

xarctgx

+=′

( )x

ctgx2sin

1−=′ ( )21

1

xarcctgx

+−=′

Рисунок 6.1

80

Правила нахождения производной

1. 3.

2. 4.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Воспользуемся первой формулой в таблице и получим .

Ответ: . Пример 2. Найти производную функции .

Решение. Воспользуемся третьей формулой в таблице и получим

.

Ответ: . Пример 3. Найти производную функции .

Решение. Применим правило дифференцирования 2 к сумме двух табличных

функций и получим . Ответ: .


Решение. По правилам дифференцирования 2,1 имеем

. Ответ: .


Решение. По правилу дифференцирования произведения функций получим:

.

Ответ:

.

( ) uCCu ′⋅=′ ( ) uvvuvu ⋅′+⋅′=′⋅

( ) vuvu ′±′=′± 2v

uvvu

v

u ⋅′−⋅′=′

10=y

001 =′=′y

0

5xy =

( ) 45 5xxy =′=′45x

xxy sin+=

( ) xxxy cos1sin +=′+′=xcos1+

12475 23 +−+= xxxy

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+′−′+′=′+′−′+′=′ 047521475 2323 xxxxxxy

41415142735 22 −+=⋅−⋅+⋅= xxxx41415 2 −+ xx

xxy lnsin ⋅=

( ) ( )x

xxxxxxxy

sinlncossinlnlnsin +⋅=⋅′+⋅′=′

x

xxx

sinlncos +⋅

81


Решение.

.

Ответ:

.


Найти производную функций:

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ: .

5. . Ответ: .


Найти производную функции:

1. . 5. .

2. . 6. .

3. . 7. .

4. . 8. .

x

xy

cos

2

=

( ) ( )x

xxxx

x

xxxxy

2

2

2

22

cos

sincos2

cos

coscos ⋅+⋅=⋅′−⋅′=′

x

xxxx2

2

cos

sincos2 ⋅+⋅

742 −+= xxy 42 +x

5

2

xy = 6

10

x−

10784 +−= xxy 72

4 3−

x

( ) xexy ⋅+= 12 ( ) xex ⋅+ 21

1242

++=

x

xy ( )212

6

+−x

xxxy

3

254

3 2

5 3 −+= ( ) xexy ⋅−= 63

1

33

3

−+=

x

xy

32132−

+=x

xy

xxxy ln3cos3 −⋅=x

xxy

142 3 −+=

( )412 −= xy xarctgxey x arcsin⋅⋅=

82

6.2 Производная сложной функции

Пусть – сложная функция, где – внутренняя функция, – внешняя. Тогда формула производной сложной функции:


Решение. Воспользуемся формулой и получим

.

Ответ: .

Пример 2. Найти производную функции . Решение.

.

Ответ: .

Пример 3. Найти производную функции . Решение.

.

Ответ:

.

Пример 4. Найти производную функции Решение.

.

Ответ: .


Найти производные функции: 1. . Ответ: x5sin5− .

2. . Ответ: 43

3

−x.

( )( )xfy ϕ= ( )xu ϕ=( )uf

( ) ( )xufy ϕ′⋅′=′

xy 3sin=

( ) ( ) xxxxy 3cos333cos3sin =′⋅=′=′x3cos3

( )374 += xy

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )22133 741247437474374 +=⋅+⋅=′+⋅+⋅=′

+=′ − xxxxxy

( )27412 +x

xy cos=

( ) ( )x

xx

xxy

cos2

sincos

cos2

1cos

−=′⋅=′

=′

x

x

cos2

sin−

( )( )123sinln −= xy ( )( )( ) ( ) ( )( ) =′−⋅−

=′−=′ 123sin123sin

1123sinln x

xxy

( ) ( ) ( ) ( )1233123123cos123sin

1 −=′−⋅−⋅−

= xctgxxx

( )1233 −xctg

xy 5cos=

( )43ln −= xy

83

3. . Ответ: 3 2 5sin3

5cos5

x

x

⋅.

4. 12 −= xarctgy Ответ: 1

12 −⋅ xx

.

Задания для самостоятельного решения: Найти производные функций:

1. . 4. . 7. . 2. . 5. . 8. .

3. . 6. . 9. .

6.3 Геометрический смысл производной

Геометрический смысл. Значение производной функции

в точке равно угловому ко-эффициенту касательной к графику функции в точке , т.е.

– уравнение касательной к графику функции

в точке (рис. 6.2). Пример 1. Найти значение производной функции в точке

. Решение.

, . Ответ: .

Пример 2. Найти значение производной функции при .

Решение.

, . Ответ: .

3 5sin xy =

)14sin( −= xy xey 39 −= ( )1052 −= xy

( )xy 3ln= )4()2arcsin( xtgxy ⋅= xy 3sin7−=

xctgxy 82 ⋅= ( )( )43lncos += xy xxy cos=

( )xfy = 0x

0x ( ) αtgxfk =′= 0

( ) ( ) ( )000 xfxxxfy +−⋅′=

( )xfy = 0x

342 ++= xxy

10 −=x

42 +=′ xy ( ) ( ) 2424121 =+−=+−⋅=−′y2

xey x sin−= 00 =x

xey x cos−=′ ( ) 0110cos0 0 =−=−=′ ey0

( )0xf

0x

х

у ( )xfy=

Рисунок 6.2

α

84

Пример 3. Найти значение , при котором угловой коэффициент касса тельной к графику функции равен нулю.

Решение. Поскольку угловой коэффициент касательной , то решим урав-нение : . Ответ: .

Пример 4. Найти угол, который образует касательная к графику функции

с положительным направлением оси абсцисс, в точке

. Решение. Поскольку , то найдем значение производной в задан-

ной точке:

, то есть , откуда .

Ответ: . Пример 5. Составить уравнение касательной к графику функции

в точке . Решение.

Найдем :

Найдем : Подставляя полученные данные в уравнение касательной, получим

или, преобразовав . Ответ: .


1. Найти значение производной функции в точке

. Ответ: .

2. Найти значение производной функции в точке

Ответ: . 3. Найти значение , при котором угловой коэффициент касательной к графику функции равен нулю. Ответ: 11.

x

4182 ++−= xxy

yk ′=0=′y 182 +−=′ xy 0182 =+− x 9=x

9

( )xy −= 2ln

10 =x

( )0xftg ′=α

( )( ) ( )12

12ln −⋅

−=′−=′

xxy

( ) 112

11 −=

−−=′y 1−=αtg °= 135α

°135

142 ++−= xxy 30 =x

( )0xf ( ) 413433 2 =+⋅+−=f

( )0xf ′ ( ) 42 +−=′ xxf ( ) 24323 −=+⋅−=′f

( ) 432 +−−= xy 102 +−= xy

102 +−= xy

122 −+−= xxy

50 =x ( ) 95 −=′y

xexy ⋅= 00 =x

( ) 10 =′y

x12222 +−= xxy

85

4. Найти угол, который образует касательная к графику функции с положительным направлением оси абсцисс в точке .

Ответ: Задания для самостоятельного решения:

1. Найти значение производной функции в точке .

2. Найти значение производной функции в точке .

3. Функция в точке имеет производную . Вычислить

значение производной функции в точке , если ( ) 25 =f . (ВНО-2012)

4. Найти угол, который образует касательная к графику функции

с положительным направлением оси абсцисс в точке .

5. Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

6. Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

7. Составить уравнение касательной к графику функции

в точке .

8. Составить уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой .

6.4 Физический смысл производной

Физический смысл. Пусть – закон прямолинейного движения материальной точки. Тогда – есть мгновенная скорость в момент вре-мени .

– скорость, – ускорение.

xey = 00 =x

°= 45α

xexy ⋅= cos40

π=x

956+

=x

xy

59

0 =x

50 =x ( ) 15 −=′f

( ) ( ) xxfxg ⋅= 0x

xy ln=10 =x

2xy =20 =x

xexy ⋅=00 =x

12

2 ++=

x

xy

10 =x

45 −= xey185 −= xy

( )tss =( )ts′

t( )tsv ′= ( )tva ′=

86

Пример 1. Материальная точка движется по закону

( измеряется в секундах, в метрах). Найти

скорость и ускорение точки в момент времени с. Решение. Скорость:

Скорость при с: (м/c) Ускорение: Ускорение при с : ( м/c2). Ответ: (м/c), (м/c2).

Пример 2. Материальная точка движется по закону

( измеряется в секундах, в метрах). Найти мо-мент времени, при котором скорость точки равна (м/c). Решение. Найдем скорость в любой момент времени: Решаем уравнение

с

Ответ: с. Задание для самоконтроля:

Материальная точка движется по закону ( измеряется в секундах, в метрах). Найти момент времени, при котором мгно-венная скорость материальной точки равна м/c. (ВНО-2011 года). Ответ: с. Задания для самостоятельного решения:

1. Материальная точка движется по закону

( измеряется в секундах, в метрах). Найти скорость и ускоре-ние точки в момент времени с.

2. Тело массой 3 кг движется по закону

( измеряется в секундах, в метрах). Найти силу, которая дей-ствует на тело в момент времени с.

6.5 Исследование функции на монотонность и экстремум. Если в каждой точке промежутка , то функция

возрастает на этом интервале.

( ) 1842

53

23

+++= ttt

ts −t −s

2=t

( ) ( ) 452 ++=′= tttstv

2=t ( ) ( ) 18425222 2 =+⋅+=′= sv( ) ( ) 52 +=′= ttvta

2=t ( ) ( ) 952222 =+⋅=′= va18 9

( ) 132 −+= ttts −t −s

27

( ) ( ) 32 +=′= ttstv( ) 27=tv

2732 =+t12=t

12

( ) ttts 72 2 += −t−s

6025,13

( ) 124

24

−++= ttt

ts

−t −s3=t

( ) 102423 −++= tttts−t −s

1=t

( )ba ; ( ) 0>′ xf ( )xf

87

Если в каждой точке промежутка , то функция убывает на этом интервале.

Критическими точками функции называются точки области опре-

деления, в которых производная функции равна нулю или не существует. Достаточное условие. Если в точке производная меняет

знак с « + » на « – », то является точкой максимума; если в точке

производная меняет знак с « – » на « + », то – точка минимума.

Схема исследования на монотонность и экстремум

1. Найти область определения функции. 2. Найти производную .

3. Найти критические точки .

4. Определить знак на каждом из промежутков, на которые разбита область определения функции.

5. Выбрать промежутки монотонности, определить какая из крити-ческих точек является точкой экстремума.

6. Найти экстремумы функции.

( )ba ; ( ) 0<′ xf ( )xf

0x ( )xf

0x 0x

( )xf 0x

( )xf ′( )xf

( )xf ′

X

Y

Рисунок 6.4 b a

0<′y

( )xfy =

X

Y ( )xfy=

Рисунок 6.3 b a

0>′y

Рисунок 6.5-Виды экстремума

88

Пример 1. Найти промежутки монотонности, экстремумы функции

Решение. Область определения

Найдем производную . Найдем критические точки, исходя из условия (или не суще-ствует) Решая уравнение , получим две критические точки

, . Точки, в которых производная не существует, отсут-ствуют. При функция возрастает. При функция убывает.

- точка максимума, - точка минимума

. Ответ: При функция возрастает.

При функция убывает. , .

Пример 2. Найти промежутки монотонности, экстремумы функции

. Решение. Область определения функции .

Найдем производную .

Найдем критические точки, исходя из условия (или не суще-ствует)

Решая уравнение , получим критическую точку .

В точке производная не существует. Т.е. имеем вторую критическую точку.

533 +−= xxy

RD =

( ) ( )( )1133353 23 −+=−=′+−=′ xxxxxy0=′y y′

( )( ) 0113 =−+ xx

11 −=x 12 =x

( ) ( )∞+∪−∞−∈ ;11;x

( )1;1−∈x

11 −=x 12 =x

( ) ( ) ( ) 753151311max 3 =++−=+−−−=−= yy

( ) 353151311min 3 =+−=+⋅−== yy

( ) ( )∞+∪−∞−∈ ;11;x

( )1;1−∈x ( ) 71max =−= yy

( ) 31min == yy

4233 2 +−= xxy

RD =

3

3

3

222

2

x

x

xy

−=−=′

0=′y y′

022

3

3

=−x

x11 =x

02 =x

( ) ( )( ) 0121232 >−−+−=−f

( ) ( )( ) 0121232 <−−+−=−f

( ) ( )( ) 0121232 >−+=f

89

При функция возрастает. При функ-ция убывает. - точка минимума, - точка максимума.

, .

Ответ: При функция возрастает. При

функция убывает. . .

Задания для самоконтроля:

Найти промежутки монотонности, экстремумы функции 1. 532 23 +−= xxy Ответ: При

функция возрастает. При функция убывает. .

. 2. Ответ: При функция

возрастает. При функция убывает. .

. . Задания для самостоятельного решения

Найти промежутки монотонности, экстремумы функций:

1. 8273 +−= xxy . 4. .

2. . 5. .

3. . 6. .

( )1;0∈x ( ) ( )∞+∪∞−∈ ;10;x

01 =x 12 =x

( ) 3413121max 3 2 =+−⋅== yy ( ) 4403020min 3 2 =+−⋅== yy

( )1;0∈x ( ) ( )∞+∪∞−∈ ;10;x

( ) 31max == yy ( ) 40min == yy

( ) ( )∞+∪∞−∈ ;10;x

( )1;0∈x

( ) 50max == yy

( ) 41min == yy

72 24 +−= xxy ( ) ( )∞+∪−∈ ;10;1x

( ) ( )1;01; ∪−∞−∈x

( ) 70max == yy

( ) 61min1 =−= yy ( ) 61min2 == yy

2

3

1 x

xy

−=

38 24 −+−= xxy2

12

−−=

x

xy

1323

23

++−= xxx

y ( )123 −= xey x

( ) 041

1221

3

3

<−=−

−−=−′f

( ) 05,0 >′f , ( ) 02 <′f

90

6.6 Наибольшее и наименьшее значения функции Если функция имеет на отрезке конечное число

критиеских точек, то она достигает наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке или в критических точках , или на концах отрезка.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

Решение. Область определения функции Найдем производную . Найдем критические точки, исходя из условия (или не суще-ствует) Решая уравнение , получим критические точки

, . Проверим, какие из них принадлежат отрезку ,

Находим значения функции в точках , , .

. Как видим

Ответ:

Задание для самоконтроля:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Ответ: Задания для самостоятельного решения

Найти наибольшее и наименьшее значения функций на указанном отрезке.

1. , .

( )xf [ ]ba;

1323

23

+++= xxx

y [ ]0;2−

RD =342 ++=′ xxy

0=′y y′

0342 =++ xx11 −=x 32 −=x

[ ]0;211 −∈−=x [ ]0;232 −∉−=x2− 1− 0

( ) ( ) ( ) ( )31

1232232

2 23

=+−+−+−=−f

( ) ( ) ( ) ( )31

1131231

1 23

−=+−+−+−=−f

( ) ( ) ( ) 11030230

0 23

=+⋅++=f ( ) ( ) ( )021 fff <−<−

( ) ( ) ( ) ( )31

1,10 −=−=== fхfнаимfхfнаиб

12 42 +−= xxy[ ]2;5,0−

( ) ( ) ( ) ( ) 72,21 −==== fхfнаимfхfнаиб

42

42 x

xy −= [ ]3;1−

91

2. , .

3. , .

6.7 Первообразная. Неопределенный интеграл. Талица интегра-

лов. Правила интегрирования Функция называется первообразной для функции на

промежутке , если для любого выполняется равенство

. Например, функция является первообразной для функции

, поскольку . Функция также является первообразной

для функции , т.к. . Т.е. первообразных – множество, отли-

чаются они друг от друга на постоянное число. Если – какая - ни-

будь первообразная для функции , то выражение , где –

постоянная, называется неопределенным интегралом от функции и

обозначается .

Таблица неопределенных интегралов

,

1223

23

+++−= xxx

y [ ]1;2−

( )12 −= xey x [ ]0;1−

( )xF ( )xf

( )ba; ( )bax ;∈( ) ( )xfxF =′ 2x

x2 ( ) xx 22 =′52 +x

x2 ( ) xx 252 =′+( )xF

( )xf ( ) CxF + C

( )xf

( )∫ dxxf

( ) ( ) CxFdxxf +=∫

Cx

dxx ++

=+

∫ 1

1

α

αα 1−≠α Cx

x

dx +=∫ ln

Ca

adxa

xx +=∫ ln

Cxctgx

dx +−=∫ 2sin

Cedxe xx +=∫ Cxtgx

dx +=∫ 2cos

Cxxdx +−=∫ cossin Cxarctgx

dx +=+∫ 21

Cxxdx +=∫ sincos Cxx

dx +=−∫ arcsin

1 2

92

Правила интегрирования

1. , где – постоянная

2.

3.

4.

Пример 1. Найти какую-нибудь первообразную функции .

Решение.

Ответ:

Пример 2. Найти интеграл . Выполнить проверку.

Решение.

.

Проверка. .

Ответ: .

Пример 3. Найти интеграл .

Решение.

.

Ответ: .

( ) ( )∫∫ = dxxfkdxxkf k

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf

( ) ( ) CbaxFa

dxbaxf ++=+∫1

( )( ) ( )xfdxxf =′

∫

( ) 23sin15 xxxf +=

( )3

3cos512

3cos31

15312 x

xx

xxF +−=+

+⋅−=+

( )3

3cos53x

xxF +−=

( )∫ −+ dxxx 723 2

( ) Cxxxdxxx +−+=−+∫ 7723 232

( ) 7237 223 −+=′+−+ xxCxxx

Cxxx +−+ 723

∫

⋅−+ dxx

xx4 9

7 55

432

−+−

⋅+=−+=

⋅−+

+−−

∫∫∫∫1

75

4ln32

5432

54

32

17

5

4

9

7

54 9

7 5

xxdxxdxx

x

dxdxx

xx

Cx

xxCx +⋅−⋅+=+

+⋅−

+

13

2014ln

3

2

149

54

13

7

214

9

Cx

xx +⋅−⋅+13

2014ln

32 4

13

7

2

93


Решение.

.

Ответ: .


Решение.

.

Ответ: .


Решение.

.

Ответ: .


1. Найти интеграл . Ответ: .





( )∫ −−+ dxxex xx cos7sin25

( ) =−−+=−−+ ∫∫∫∫∫ xdxdxexdxdxdxxex xxxx cos7sin25cos7sin25

Cxex xx

+−−−= sin7cos25ln

5

Cxex xx

+−−− sin7cos25ln

5

( )∫ + dxx 835

( ) ( ) ( ) ( )C

xC

xC

xdxx ++=++⋅=+

++⋅=+

+

∫ 4535

935

51

1835

51

359918

8

( )C

x ++45

35 9

( )∫ − dxx 32cos

( ) ( ) Cxdxx +−⋅=−∫ 32sin21

32cos

( ) Cx +−⋅ 32sin21

( )∫ +− dxxx 1064 23 Cxxx ++− 102 34

∫ dxx10

3C

x+− 93

1

∫ dxx7 10

5C

x+

⋅−

7 33

35

∫−

dxex

2 Cex

+−−

22

( )∫ − dxx 327( )

Cx +−28

27 4

94


Найти интегралы

1. . 6 .

2. . 7.∫ dxx

3cos5

3. . 8. .

4. . 9. ∫ + 74x

dx

5. ∫ xdx2sin 10.

11. Функция является первообразной для функ-

ции . Найти .(ВНО-11)

A Б В Г Д

6.8 Определенный интеграл. Правила интегрирования Определенным интегралом на промежутке от непрерывной на

этом промежутке функции называется приращение первооб-

разной этой функции на промежутке . Формула Ньютона – Лей-

бница имеет вид . Например, =−==∫ 5

1

5

2

5

552

1

52

1

4 xdxx

5

31

5

1

5

32 =−=

( )∫ +− dxxx 532 ∫

− dxx

7

43

∫ dxx2

5

∫ dxx5 13

4 ( )∫

−+ dxxx

85cos125

sin3

∫− dxe x 95

∫+−

dxx

xx7 10

4

( ) 12sin6 −= xxF

( )xf ( )xf

( ) xxf 2cos12−=( ) xxf 2cos12=( ) xxf 2cos6=

( ) Cxxxf +−−= 2cos3

( ) Cxxxf +−−= 2cos6

[ ]ba;

( ) ( )aFbF −( )xF [ ]ba;

( ) ( ) ( )aFbFdxxfb

a

−=∫

95

Правила интегрирования

1.

2.

3. ,


Решение.

.

Ответ: .


Решение.

.

Ответ: .




( ) ( )dxxfkdxxkfb

a

b

a∫∫ =

( ) ( )[ ] ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a∫∫∫ ±=±

( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a∫∫∫ += [ ]bac ;∈

( )∫ −+2

1

2 723 dxxx

( ) ( ) ( ) ( ) 3171127227723 23232

1

232

1

2 =⋅−+−⋅−+=−+=−+∫ xxxdxxx

3

∫

+3

0

3sin22

cos3

π

dxxx

−

⋅−⋅=

⋅−⋅=

+∫ ππππ

cos32

6sin63cos

32

2sin63sin2

2cos3

3

0

3

0

xx

dxxx

31

432

032

30cos32

0sin6 =

−−

+=

⋅−⋅−

31

4

( )∫ +1

0

32 43 dxxx 2

∫8

13 2x

dx3

96


Найти интегралы:

1. . 3. .

2. . 4. .

6.9 Криволинейная трапеция. Площадь фигуры

Криволинейная трапеция – это фигура, ограниченная графиком функции (где ), , и осью абсцисс (рис. 6.6).

Площадь криволинейной трапеции, вычисляется как .

В случае можно использовать формулу .

Если фигура ограничена графиками функций и (причем

), , (рис. 6.7), то ее площадь находится с помощью

формулы .

∫1

0

45 dxx ( )∫ −+3

1

2 54 dxxx

∫4

0

2sin

π

xdx ∫4

6

2 2cos

π

πxdx

( )xfy = ( ) 0≥xf ax = bx =

( )dxxfSb

a∫=

( ) 0<xf ( )dxxfSb

a∫−=

( )xf ( )xg

( ) ( )xgxf ≥ ax = bx =

( ) ( )( )dxxgxfSb

a∫ −=

( )xfy =

ba

y

x

0Рисунок 6.6

( )xfy =

ba

y

x

0

Рисунок 6.7

97

Задание для самоконтроля:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

, , , . Ответ: .


Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (1-3): 1. , , , . 2. , . 3. , .

4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , и касательной, проведенной к данной параболе в точке с абсциссой

.

102 +−= xy 1=x 3=x 0=y 12

2+= xy 1=x 3=x 0=y

24 xxy −= 2xy =

24 xy −= xy −= 2

2xy = 4=y

10 =x

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , , . Сделать чертеж.

Решение.

Ответ: .

12 += xy 1=x 3=x 0=y

( ) ( ) ( ) ( ) 101139123

1

23

1

=+−+=+=+= ∫ xxdxxS

1031

y

x

0

12 += xy

3

7

98

7 КОМБИНАТОРИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ

7.1 Комбинаторика (теория соединений) Перестановками из элементов называются соединения, каждое из

которых содержит элементов, причем отличается каждое от других по-рядком следования элементов. Число перестановок из элементов равняется , где - «эн факто-

риал» и вычисляется как , причем 0!=1. Например, если даны три различных элемента , то все перестановки

Непосредственный подсчет числа перестановок дает 6. Или, по формуле .

Размещениями из элементов по называются соединения, каж-дое из которых содержит элементов, взятых из данных элементов, причем отличается каждое от других как наличием элементов, так и их по-рядком следования. Число размещений из по равняется

Например, если даны три различных элемента , то все размещения из 3 по 2:

Непосредственный подсчет числа размещений дает 6.

Или, по формуле .

Сочетаниями из элементов по называются соединения, каждое из которых содержит элементов, взятых из данных элементов, причем отличается каждое от других только наличием элементов.

nn

n !nPn = !n

( ) nnn ⋅−⋅⋅⋅⋅= 1...321!cba ,,

cbabcacabacbbacabc

6321!33 =⋅⋅==P

n mm n

n m

( )!!

mn

nAm

n −=

cba ,,

baabcaac

cbbc

( ) 6!1

!3

!23

!323 ==

−=A

n mm n

99

Число размещений из по равняется

Например, если даны три различных элемента , то все сочетания из 3 по 2:

Непосредственный подсчет числа сочетаний дает 3.

Или, по формуле .

Пример 1. На полке нужно разместить 5 различных учебников. Опреде-

лить количество способов, которыми это можно сделать. Решение. Число способов, которыми можно разместить 5 различных учебни-ков на полке равно числу перестановок из 5 элементов. Ответ: .

Пример 2. Для участия в комиссии необходимо выбрать председателя, заместителя и секретаря из группы, насчитывающей 8 человек. Определить количество способов, которыми это можно сделать. Решение. Число способов, которыми можно выбрать 3 человека из 8, с учетом различия в видах деятельности, равно числу размещений из 8 по 3.

.

Ответ: .

Пример 3. Для охраны объекта необходимо выбрать 3 человека из 5. Определить количество способов, которыми это можно сделать. Решение Число способов, которыми можно выбрать 3 человека из 5, равно числу сочетаний из 5 по 3.

.

Ответ: . Задания для самоконтроля

1. Определить количество способов, которыми можно набрать три последние цифры номера телефона. Ответ: .

n m ( ) !!

!

mmn

nCm

n ⋅−=

cba ,,

baca

cb

( ) 3!2!1

!3

!2!23

!323 =

⋅=

⋅−=C

120!55 ==P

120

( ) 3368765...21

8765...21!5!8

!38!83

8 =⋅⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅==−

=A

336

( ) 10!3!2

!5!3!35

!535 =

⋅=

⋅−=C

336

720

100

2. За столом должны разместиться 4 человека при таком же количе-стве стульев. Определить количество способов, которыми это можно сделать. Ответ: .

Задания для самостоятельного решения:

1. В заплыве участвуют 8 равнозначных пловцов. Определить коли-чество способов, которыми могут распределиться призовые места. 2. Для дежурства на участке необходимо выбрать 4 человека из 7. Определить количество способов, которыми это можно сделать. 3. Задумано двухзначное число. Определить количество способов, которыми это можно сделать. 4. Из 11 фотографий выбирают 5. Определить количество способов, которыми это можно сделать. 5. Для участия в эстафете должны выстроиться 5 бегунов. Опреде-лить количество способов, которыми это можно сделать. 6. В командировку должны поехать 4 женщины и 3 мужчин. Отбор ведется в отделе, в котором насчитывается 7 женщин и 5 мужчин. Определить количество способов, которыми это можно сделать. 7. Найти количество всех различных двузначных чисел , которые можно создать из цифр таким образом, чтобы в каждом числе все цифры не повторялись.

7.2 Теория вероятностей Вероятность события определяется равенством

,

где – вероятность события – число исходов, благоприятствующих событию , – число всех равновозможных исходов, образующих полную группу.

Под равновозможными событиями следует понимать такие собы-тия, каждое из которых не имеет преимуществ появиться перед остальны-ми. Согласно этого формулу вероятности можно в «словесном» виде пред-ставить как

24

8,7,5,1

( )n

mAP =

( )AP A

m An

101

Например, при подбрасывании монеты, вероятность появления «герба»

равна , т.к. – число исходов, благоприятствующих появлению

«герба», а – число всех исходов («герб» и «решка») Суммой событий и называется событие , которое заклю-

чается в появлении события или события Несовместными называются события, если появление одного из них

исключает появление других в одном и том же испытании. Вероятность появления суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Произведением событий и называется событие , которое

заключается в совместном появлении событий и . Независимыми событиями называют события и , если вероят-

ность одного из них не зависит от появления или непоявления другого. Если и независимые, то

Зависимыми событиями называют события и , если вероятность

одного из них зависит от появления или непоявления другого. В этом случае

, где – условная вероятность события , которая вычисляется в предположении, что событие уже наступило. Пусть проводится независимых экспериментов, в каждом из кото-рых событие может появиться с вероятностью , или не появиться с ве-роятностью . Тогда вероятность того, что событие появится ровно раз вычисляется по формуле Бернулли:

Пример 1. Брошены три монеты. Найти вероятность того, что хотя бы од-на из них выпадет «гербом». Решение. Всеx возможных вариантов выпадения для двух монет равно 8. Вариантов, в которых хотя бы один герб равно 7.

Вероятность события .

Ответ: .

( )исходоввсех число

исходовствующих благоприят число=AP

21

1=m

2=nA B BA+

A B

( ) ( ) ( )BPAPBAP +=+A B BA⋅

A BA B

A B( ) ( ) ( )BPAPBAP ⋅=⋅

A B

( ) ( ) ( )BPAPBAP A⋅=⋅( )BPA B

An

A p

pq −= 1 A

k

( ) knkknn qpCkP −⋅⋅=

8

7=P

8

7

102

Пример 2. В двух ящиках находится по 3 белых и 2 черных шара. Из каж дого наудачу извлекли по одному. Найти вероятность того, что оба шара оказались белыми. Решение. Пусть событие : «Из первого ящика извлечен белый шар».

Тогда .

Событие : «Из второго ящика извлечен белый шар». .

Событие : «Из обоих ящиков извлечены белые шары». . События и независимые. Значит

.

Ответ: .

Пример 3. В ящике находятся 7 белых и 4 черных шара. Из ящика нау

дачу извлекли один шар, не возвращая обратно. После этого извле-кают шар из ящика. Найти вероятность того, что оба шара оказались белыми. Решение Пусть событие : «При первом извлечении из ящика появился бе-

лый шар». .

Событие : «При втором извлечении из ящика появился белый

шар». .

Событие : «Оба извлеченных шара - белые ». Причем . События и зависимые. Значит

Ответ: .

Пример 4. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень

равны и сделали по одному выстрелу по мишени. Найти ве-роятности того, что: а) оба поразили мишень (событие ) б) ни один не поразил (событие ) в) только один из стрелков поразил мишень (событие ) г) только первый поразил (событие ) д) хотя бы один из стрелков поразил мишень (событие )

A

( )53=AP

B ( )53=BP

C ABC =A B

( ) ( ) ( ) ( )259

53

53 =⋅=⋅== BPAPABPCP

259

A

( )117=AP

B

( )53

106 ==BP

C ABC =A B

( ) ( ) ( ) ( )5521

53

117 =⋅=⋅== BPAPABPCP A

5521

7,0 8,0

AB

CD

E

103

Решение. Пусть : «первый стрелок поразил мишень».

: «второй стрелок поразил мишень». : «первый стрелок не поразил мишень».

: «второй стрелок не поразил мишень».

а)

б)

в)

г)

д)


1. Брошены две монеты. Найти вероятность того, что: а) хотя бы одна из них выпадет «гербом» б) все выпадут «гербом» в) только одна из них выпадет «гербом»

Ответ: а) ; б) ; в)

2. Брошена монета и кость. Найти вероятность того, что монета вы-падет «гербом», а кость числом очков «пять».

Ответ:

3. Из всех натуральных чисел, больших и меньших , наугад вы бирают одно число. Найти вероятность того, что оно делится на .

Ответ:


1. В отделе работает определенное количество мужчин и женщин. Для анкетирования наугад выбрали одного из сотрудников. Вероят-

ность того, что это мужчина, равна . Найти отношение количества

мужчин к количеству женщин, которые работают в этом отделе. (ВНО- 2011)

1E ( ) 7,01 =Ep

2E ( ) 8,02 =Ep

1E ( ) 3,07,011 =−=Ep

2E ( ) 2,08,012 =−=Ep

( ) ( ) ( ) ( ) 56,08,07,02121 =⋅=⋅=⋅= EpEpEEpAp

( ) ( ) ( ) ( ) 06,02,03,02121 =⋅=⋅=⋅= EpEpEEpBp

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 38,08,03,02,07,02121 =⋅+⋅=⋅+⋅= EpEpEpEpCp

( ) ( ) ( ) 14,02,07,021 =⋅=⋅= EpEpDp

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =⋅+⋅+⋅= 212121 EpEpEpEpEpEpEp

94,08,07,08,03,02,07,0 =⋅+⋅+⋅=

43

41

21

121

1 124

51

7

2

104

2. В автобусном парке насчитывается автобусов, шестую часть ко-торых было оснащено информационными табло. Позже информаци-онные табло установили еще на автобусов из числа имеющихся в парке. После проведенного переоборудования наугад выбирают один из автобусов парка. Вероятность того, что это будет автобус с ин-формационным табло, равна . Определите . Считается, что каждый автобус оснащен лишь одним табло. (ВНО- 2013)

3. Из всех натуральных чисел, больших и меньших , наугад вы-бирают одно число. Установите соответствие между событием и вероятностью его появления

1 Выбранное число будет простым 2 Выбранное число будет двузначным 3 Выбранное число будет делителем числа 4 Сумма цифр выбранного числа будет делиться на

А Б В Г Д

4. В коробке 10 белых , 4 черных , 7 зеленых шаров. Наудачу вынут шар. Найти вероятности следующих событий: а) шар оказался белым, б) шар оказался зеленым, в) шар оказался си-ним, г) шар оказался цветным. 5. Брошены два кубика. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков рано четырем. 6. Три стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 , 0,8 и 0,9 делают по одному выстрелу по одной мишени. Найти вероятности того, что: а) все три стрелка поразили мишень б) только первый стрелок поразил мишень в) только один из стрелков поразил мишень г) только два стрелка поразили мишень д) только первый и второй поразили мишень д) только первый и третий поразили мишень д) хотя бы один из стрелков поразил мишень е) ни один из стрелков не поразил мишень

n

5

n25,0 n

9 20( )41−

( )ДА−

5

3

0

2,0

3,0

4,0

1

105

7.3 Элементы статистики Генеральной совокупностью называется совокупность, из которой

делают отбор единиц для наблюдения. Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность

единиц, отобранных для выборочного наблюдения. Рядом распределения называют ряд чисел, которые характеризуют

распределение единиц исследуемой совокупности. Вариационным рядом называют ряд чисел, которые характеризуют

распределение единиц исследуемой совокупности в зависимости от велич Размах – разность между максимальным и минимальным значения-

ми признака Мода – значение признака, которое встречается наиболее часто в ря-

де распределения. Медиана –значение признака, которое размещается в середине ряда,

расположенного в порядке возрастания значений признака. – если количество чисел нечетное, то медиана размещается посередине. – если количество чисел четное, то медиана есть полусумма двух чисел размещенных посередине. Если, например, , то медиана

Если , то медиана

Cреднее значение величины это есть среднее арифметическое

всех ее значений

Если случайная величина принимает значения соответствен-

но с частотами , то ,

где

Cреднее квадратическое отклонение находится как

Пример. Дана выборка. . Найти размах, моду, медиану, среднее значение, среднее квадратическое отклонение.

3

minmax xxr −=

21=n 11xMe =

22=n2

1211 xxMe

+=

X

n

xxxX n+++= ...21

X kxxx ,...,, 21

knnn ,...,, 21 n

nxnxnxX kk+++= ...2211

knnnn +++= ...21

( )n

nXx i

n

ii∑

=

⋅−= 1

2

σ

13;14;13;11;12;15;12;14;13;12

ix 11 12 13 14 15

in 1 3 2 1

106

Решение Размах , количество Распределение бимодальное (две моды) ,

Число четное, значит медиана

Среднее значение

3

Среднее квадратическое отклонение

Ответ: , , , , , .

Задание для самоконтроля

Дана выборка. . Найти размах, моду, медиану, среднее значение, среднее квадратическое отклонение. Ответ: , , , , .

(При подсчете в качестве среднего взято значение ). Задания для самостоятельного решения

1. Дана выборка . Найти размах, моду, медиану, среднее значение выборки.

2. Дана выборка . Найти размах, моду, медиану, среднее значение, среднее квадратическое отклонение.

3. В шесть часов утра определена температура на десяти метеостан-циях. Полученные данные отображены в таблице.

Температура (в градусах)

Количество метеостанций

Найти , если среднее арифметическое всех этих данных равно . (ВНО-2011)

41115 =−=r 1012331 =++++=n12

1=oM 13

2=oM

10=n 132

13132

65 =+=+= xxMe

9,1210

1528393611

12331

115214313312111 =++++=++++

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=X

ix 11 12 13 14 15

in 1 3 2 1

Xxi − 9,1− 9,0− 1,0 1,1 1,2

( )2Xxi − 61,3 81,0 01,0 21,1 41,4

( ) ii nXx ⋅− 2 61,3 43,2 03,0 42,2 41,4

14,129,110

9,1210

41,442,203,043,261,3 ≈==++++=σ

4=r 121

=oM 132

=oM 13=eM 9,12=X 14,1≈σ

5;5;8;6;5;6;10;10;2

8=r 5=oM 6=eM 33,6≈X 4,2≈σσ 3,6

3;4;3;1;2;5;2;4;3;2

3;1;3;3;1;5;2;4;5;5

1 3 4 x

2 3 4 1x °5,3

107

8 ГЕОМЕТРИЯ 8.1 Площади фигур

Площадь фигуры – это неотрицательная величина, числовое значе-ние которой имеет следующие свойства:

1. Равные фигуры имеют равные площади. 2. Площадь фигуры равна сумме составляющих ее и не перекрыва-

ющих друг друга частей. 3. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна

единице. Площадь квадрата со стороной a

2aS= Площадь прямоугольника со сторонами a и b

abS = Площадь параллелограмма со сторонами a и b или с основанием a

и высотой h ahS =

ababS sin⋅= Площадь ромба со стороной a , углом между сторонами α диагона-

лями 1d , 2d

αsin⋅= abS

или

2121

ddS ⋅=

Площадь треугольника с основанием a и высотой h

ahS ⋅=21

Площадь трапеции с основанием a , b и высотой h ( )

hba

S ⋅+=2

Площадь круга 2RS π=

8.2 Треугольники

Высота треугольника – опущенный из вершины треугольника пер-

пендикуляр, проведенный на противолежащую вершине сторону или на ее продолжение.

Все три высоты треугольника (проведенные из трех вершин) пересе-каются в одной точке, которая называется ортоцентром. Для того, чтобы

108

найти точку пересечения высот, достаточно провести две высоты (две прямые пересекаются только в одной точке).

Расположение ортоцентра определяется видом треугольника. У остроугольного треугольника точка пересечения высот находится

в плоскости треугольника (рис. 8.1). У прямоугольного треугольника точка пересечения высот совпадает

с вершиной прямого угла (рис. 8.2). У тупоугольного треугольника точка пересечения высот находится

за плоскостью треугольника (рис. 8.3). У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота,

проведенные к основанию треугольника, совпадают. У равностороннего треугольника все три «замечательные» линии

(высота, биссектриса и медиана) совпадают и три «замечательных» точки (точки ортоцентра, центра тяжести и центра вписанной и описанной окружностей) находятся в одной точке пересечения «замечательных» ли-ний, т.е. тоже совпадают.

Рисунок 8.1 Рисунок 8.2 Рисунок 8.3

Пример 1. В прямоугольном треугольнике ABC (угол °= 90C ) проведена

высота CD. Определите CD, если 10=AD см, 16=BD см. Решение.

ТреугольникиABC, ACD и CBDподобны между собой. Это непосредственно следует из второго признака подобия (равенство углов в этих треугольниках очевидно).

Прямоугольные треугольники - единственный вид треугольни-ков, которые можно разрезать на два треугольника, подобных между собой и исходному треугольнику.

Обозначения этих трех треугольников в таком порядке следо-вания вершин: ABC, ACD и CBD . Тем самым мы одновременно по-казываем и соответствие вершин. (ВершинеA треугольника ABC соответствует также вершина A треугольника ACD и вершина C треугольника CBD и т. д.)

Треугольники ABC и CBD подобны. Значит:

109

BD

DC

DC

AD =

то есть BDADDC ⋅=2

1692 ⋅=DC

12=DC см Ответ: 12 см.

Задания для самоконтроля 1. Из вершины прямого угла треугольника ABC проведена высота

CD. Найти угол BCD, если угол A равен °65 . Ответ: °65 . 2. Стороны треугольника равны 29 см, 25 см и 6см. Найдите высо-ту, проведенную к меньшей стороне. Ответ: 20 см.

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотену-зе, делит ее на отрезки 16 см и 9см. Найдите периметр треуголь-ника. Ответ: 60 см.

4. Катеты прямоугольного треугольника относятся 4:3 , а гипотену-за равно 50 см. Найдите на какие отрезки делит гипотенузу высо-та, проведенная к ней. Ответ:18 см, 32см.


1. Длина окружности, описанной вокруг равнобедренного треуголь-ника, равна π50 см, боковая сторона треугольника равно 40 см. Определите площадь треугольника.

2. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольни-ка, делит прямой угол в отношении 2:1 и равна 16 см. Вычислите стороны треугольника.

3. Основание равнобедренного треугольника равно 60 см, а боковая сторона 90 см. К боковым сторонам проведены биссектрисы. Вы-числите длину отрезка, концами которого является основание биссектрис.

Площадь треугольника Ниже приведены формулы нахождения площади произвольного тре-

угольника. Площадь треугольника можно найти по следующим формулам:

110

bhS ABC 21=∆

γsin21

abS ABC =∆

( )cbarS ABC ++=∆ 21

R

abcS ABC 4

=∆

( )( )( )cpbpappS ABC −−−=∆

R

aS ABC 4

sinsin2 γβ=∆

γβα sinsinsin2 2RS ABC =∆

Пояснения к формулам:

a , b, c – длины сторон треугольника, площадь которого мы хотим найти r– радиус вписанной окружности R– радиус описанной окружности h – высота треугольника, опущенная на сторону

p– полупериметр треугольника, 21

суммы его сторон

Пример 1. Стороны треугольника равны 5 см и6 см. Угол между ними со-

ставляет °60 . Найдите площадь треугольника. Решение.

Площадь треугольника равна СabS sin21= ,

Соответственно

°⋅⋅⋅= 60sin6521

S

2315=S

Ответ: 35,7=S .

111

Пример 2. На сторонеAD треугольникаADC отмечена точкаB так, чтоBDBC = . Докажите, что прямая DC параллельна биссектрисе угла

ABC. Решение.

Поскольку по условию задачи BDBC = , то треугольник DBC - рав-нобедренный.

Для данного треугольника угол СBA является внешним. Таким образом, решение задачи сводится к доказательству утверждения, что биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника па-раллельна его основанию.

Угол DBA - развернутый и равен °180 . Сумма углов треуголь-ника также DBC равна °180 . Поскольку в состав развернутого угла DBA входит угол DBC, то градусная мера угла ABC равна сумме остальных углов равнобедренного треугольника, которые равны между собой. Таким образом, угол ABC равен удвоенной градусной мере угла DCB. Исходя из того, что BK - биссектриса угла ABC, то угол равен углу DCB.

Рассмотрим прямые BK иDC. Их внутренние накрест лежа-щие углы равны, KBC равен углуDCB. Таким образом, прямые па-раллельны.

Задания для самоконтроля 1. Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 3см.

Ответ: 4

39

см

2

2. Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если стороны увеличить в 4 раза? Ответ: в 16 раз.

3. Одна из сторон треугольника равна 20 см, а медианы, проведен-ные к двум другим сторонам равны 18 см и 24 см. Вычислите площадь этого треугольника. Ответ: 288 см

2

112

4. Периметр прямоугольного треугольника равен 60см. Высота про-веденная к гипотенузе равна 12см. Вычислите площадь этого тре-угольника. Ответ: 150см2


1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 15 см и 20 см. Вы-числите площади частей треугольника, на которые его делит вы-сота, проведенная к гипотенузе.

2. Биссектриса угла A треугольника ABC делит сторону BC на от-резки 8=BK см и 18=KC см. Определите длину стороны AC, ес-ли длина стороны 12=AB см.

3. Стороны треугольника равны 8, 9 и 13 сантиметров. К наиболь-шей стороне треугольника проведена медиана. Определите меди-ану треугольника исходя из размеров его сторон.

4. В треугольнике ABC медианы CD и BEпересекаются в точке K . Найдите площадь четырехугольника ADKE, если 20=BC см,

12=AC см, а угол ACE равен °135 . 8.3 Четырехугольники

Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб. Свойства параллелограмма:

Противоположные стороны параллелограмма равны. Противополож-

ные углы параллелограмма равны. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения де-

лятся пополам. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна °180 . Сумма всех углов равна °360 . Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной

сумме квадратов его сторон

113

Признаки параллелограмма: Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выпол-

няется одно из следующих условий: • Противоположные стороны попарно равны • Противоположные углы попарно равны • Диагонали делятся в точке их пересечения пополам • Сумма соседних углов равна °180 • Две стороны равны и параллельны •

Площадь параллелограмма

Формулы нахождения площади параллелограмма приведены ниже:

ADABCD hAD= ⋅S

αsinADAB=ABCD ⋅⋅S

βinS sBDAC21

=ABCD ⋅⋅

То есть: 1. Площадь параллелограмма ABCD равна произведению длины

одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону. 2. Площадь параллелограмма ABCD равна произведению двух

его смежных сторон на синус угла между ними. 3. Площадь параллелограмма ABCD равна половине произведе-

ния его диагоналей на синус угла между ними.

Пример 1. Высоты параллелограмма равны 5 см и 4 см, а периметр равен 42см. Найдите площадь параллелограмма. Решение. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, опущенную на эту сторону. Обозначим стороны параллелограмма как a и b. Следовательно, площадь и периметр будут равны:

aS 4= bS 5= baP 22 +=

Откуда ba 54 = , b

a45=

Поскольку периметр параллелограмма равен 42 см, то

42245

2 =+

bb

31

9=b

114

Откуда 32

11=a

Теперь находим площадь параллелограмма:

32

4631

9532

114 =⋅=⋅=S см2

Ответ: 32

46 см2.

Пример 2. В параллелограмме ABCD диагональ 6=BD см, и образует со

сторонами AD и DC углы по °60 . Определите углы и периметр па-раллелограмма ABCD. Дополнительно: определите вид четырехугольника ABMD, где точка M - середина DC, определите углы четырехугольника ABMD.

Решение.

Поскольку нам дана величина угла ADB (диагональ паралле-лограмма образует со сторонами AD и DC углы по °60 ), то величи-на угла DBC также равна °60 , поскольку противоположные стороны параллелограмма параллельны, соответственно диагональ является секущей для двух параллельных прямых AD и BC, а для любой се-кущей внутренние накрест лежащие углы равны. Таким образом, в треугольнике BCD нам известны два угла из трех, и они оба равны °60 . Соответственно, поскольку сумма углов тре-угольника равна °180 , то угол BCD также равен °60 , из чего следу-ет, что треугольник BCD - равносторонний.

Поскольку треугольник BCD - равносторонний, то 6=== BDCDBC см.

Таким образом, поскольку противолежащие стороны паралле-лограмма равны, периметр его равен 24 см. Параллелограмм являет-ся ромбом. Дополнительно: Поскольку точка M лежит на стороне CD , то AB и MD - парал-лельны, следовательно, ABMD - трапеция.

Угол DAB трапеции равен °60 , исходя из решения, изложен-ного выше, как угол параллелограмма. Угол ADM равен °120 , так как по условию диагональ BD образует со сторонами AD и DC углы по °60 , а ADM равен сумме данных углов.

Поскольку по условию точка M - середина DC , MDCM = . Значит BM - медиана треугольника DBC . Как указано выше, тре-

115

угольник DBC - равносторонний, а в равностороннем треугольнике медиана является, одновременно, биссектрисой и высотой. Значит,

угол DBM равен половине угла DBC и равен °= 30260

. Откуда угол

°=+= 903060ABM градусов. Поскольку BM - высота, то угол BDM равен также °90 .

Исходя из сказанного, ABMD - прямоугольная трапеция. Ответ: 24 см, °60 , °90 , °90 , °120 - прямоугольная трапеция.


1. В параллелограмме ABCD на диагональ опущен перпендикуляр BO. Найдите площадь параллелограмма, если 8=AO , 6=OC и

4=BO .

Ответ: 56см2

2. Перпендикуляр, проведенный из вершины тупого угла параллело-грамма на его диагональ, делит эту диагональ на отрезки 41 см и 57см. Разность длин сторон равна 14см. Вычислите длины диаго-налей параллелограмма. Ответ: 56 см, 98см

3. Две высоты параллелограмма, проведенные из вершины острого угла, соответственно равны 10 см и см. Угол между этими вы-сотами . Вычислите площадь параллелограмма.

Ответ: см2


1. В параллелограмме меньшая высота и меньшая сторона равны

см и соответственно. Большая диагональ см. Найти пло-щадь параллелограмма.

2. Диагонали параллелограмма равны см и см, а его периметр равен см. Вычислите стороны параллелограмма.

3. В прямоугольнике проведена биссектриса угла , кото-рая пересекает сторону в точке , причём длина отрезка на см меньше длины . Найдите , если периметр равен см.

24°150

480

9

82 15

13 1134

CKMN CKM E KE

3 ME MN CKMN51

116

4. Периметр прямоугольника равен см, а сумма площадей квад-ратов, построенных на каждой из его сторон - см

2. Найдите стороны прямоугольника.

5. Периметр прямоугольника см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух его смежных сторонах, равна см

2. Найди-те стороны прямоугольника.

6. Найти площадь прямоугольника, если его периметр равен см, а стороны пропорциональны как к .

7. Существует ли четырехугольник, если длины сторон см, см, см, см?

8. Существует ли четырехугольник, если длины сторон см, см,

см, см? 9. Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен см, а одна из сторон больше второй на см и на столько же меньше третьей, а четвертая - в три раза больше второй.

10. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорци-ональны числам , , , .

11. У ромба диагональ равна см, длина диагонали равна см. Найти длину стороны .

Трапеция

Трапеция – четырёхугольник, у которого пара противолежащих сто-

рон параллельна. Примечание. В этом случае параллелограмм является частным слу-

чаем трапеции. Трапеции бывают: - разносторонние (рис. 8.4); - равнобокие (рис. 8.5); - прямоугольны (рис. 8.6); У разносторонней трапеции все стороны разной длины, а основания

параллельны. У равнобокой трапеции боковые стороны равны, а основания парал-

лельны.

3226

2689

262 3

1 3 59

5 173 7

668

1 2 4 5

ABCD BD 14 AC48 AB

117

Рисунок 8.4 – Разнобокая Рисунок 8.5 – Равнобокая

Рисунок 8.6 – Прямоугольная

У прямоугольной трапеции основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона - наклон-ная к основаниям.

Углы трапеции бывают острые, прямые и тупые. Прямыми бывают

только два угла. У прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других – острый и тупой. У других видов трапеций бывают: два острых угла и два тупых. Тупые углы принадлежат меньшему по длине основанию, а острые – большему основанию.

Любую трапецию можно рассматривать как усеченный треугольник,

у которого линия сечения параллельна основанию треугольника Площадь трапеции

где: и – параллельные основания трапеции и – боковые стороны трапеции – средняя линия трапеции – радиус вписанной в трапецию окружности – площадь трапеции

( )2

hbaS

+=

mhS =

28rSравноб

=

a bc dmrS

118

Пример 1. У трапеции угол равен углу . При этом ве-личина основания равна см, а диагональ равна см. Найти величину основания .

Решение.

Поскольку - трапеция, то углы и равны, ис-ходя из свойств секущей для двух параллельных прямых.

Так как углы и равны, углы и равны по условию, то в треугольниках и , в которых два угла рав-ны, третьи углы также равны - угол равен (сумма углов треугольника равна , а два из трех углов равны, поэтому и оставшиеся углы равны).

Так как все углы треугольников и попарно равны, то такие треугольники подобны.

Поскольку треугольники и подобны, то соотноше-ния всех их сторон равны одному и тому же числу.

Откуда:

( - сторона, противолежащая углу треугольника , - сторона, противолежащая соответствующему углу треугольника

, аналогично и правой стороной равенства), таким образом:

Ответ: см.


1. В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна сумме оснований, высота равна см. Найдите площадь прямоугольни-ка, стороны которого равны основаниям трапеции. Ответ: см

2 2. Найдите углы равнобокой трапеции, если один угол на боль-

ше второго. Ответ: , 3. В равнобедренной трапеции проведена диагональ рав-ная см и задан угол . Найти высоту трапеции.

Ответ:

ABCD ABC ACDAD 18 AC 12

BC

ABCD CAD BCA

CAD BCA ABC ACDABC ACD

BAC CDA°180

ABC ACD

ABC ACD

AC

BC

AD

AC =

AC B ABC AD

ACD

121812 BC=

8=BC8=BC

1236

°30°75 °105

ABCD AC15 CAD

CAD∠sin15

119


1. Найдите углы равнобокой трапеции, если один угол на боль-ше второго.

2. Основания равнобедренной (равнобокой) трапеции равны см и

см. Боковая сторона равна см. Найдите площадь трапеции, подобной данной, которая имеет высоту см.

3. В равнобокой трапеции большее основание см, боковая сторо-на см, диагональ см. Найти площадь трапеции.

4. Вокруг окружности описана равнобедренная трапеция, угол при основании которой равен . Высота трапеции равна см. Найдите сумму длин оснований трапеции.

Многоугольники Многоугольник — это геометрическая фигура, представляющая со-

бой замкнутую ломаную линию. Существуют три варианта определения многоугольников: • Многоугольник - это плоская замкнутая ломаная линия; • Многоугольник - это плоская замкнутая ломаная линия без са-

мопересечений; • Многоугольник - это часть плоскости, которая ограничена за-

мкнутой ломаной. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрез-

ки — сторонами многоугольника. Вершины многоугольника называются соседними, если они являют-

ся концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, назы-

ваются диагоналями. Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вер-

шине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника.

Сумма углов многоугольника Для выпуклого n-угольника сумма углов равна .

Пример 1. В выпуклом многоугольнике три угла по , а остальные - . Сколько углов в выпуклом многоугольнике?

Решение. Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого многоугольника.

°30

820 10

12

3625 29

°30 4

( )2180 −° n

°80°150

120

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма углов равна . Значит, для нашего случая: ,

где 3 угла по нам даны по условию задачи, а количество осталь-ных углов нам пока неизвестно, значит обозначим их количество как

. Однако, из записи в левой части мы определили количество уг-

лов многоугольника как , поскольку из них величины трех углов мы знаем по условию задачи, то очевидно, что .

Таким образом уравнение будет выглядеть так:

Решаем полученное уравнение

Ответ: вершин.

Задания для самоконтроля 1. Найдите количество сторон правильного многоугольни-ка,центральный угол которого равен:

1) Ответ: . 2) Ответ: . 3) Ответ: .

2. Найдите углы выпуклого пятиугольника, если они пропорцио-нальны числам , , , , . Ответ: , , , ,

3. Сколько сторон имеет выпуклый n-угольник, если сумма его внутренних углов равна . Ответ: сторон.


1. Какое количество вершин может иметь многоугольник, если ве-личина каждого из углов менее ?

2. В многоугольнике три угла по , а остальные равны между со-бой и их градусная мера - целое число. Найти количество вершин многоугольника.

3. Докажите, что у выпуклого многоугольника может быть не более трех острых углов.

( )2180 −° n ( ) 1508032180 ⋅+⋅=−° xn°80

x

n3−= nx

( ) ( )31502402180 −+=−° nn

450150240360180 −+=− nn450360240150180 −+=− nn

15030 =n5=n

5

°120 3°60 6°72 5

1 3 5 7 11 °20 °60 °100 °140 °220

°1260 9

°120

°113

121

8.4 Многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани – правильные многоугольники с одним и тем же количеством сторон, а в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Правильные многогранники называются телами Платона. Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: Призма – многогранник, основаниями которого являются равные

многоугольники, соответствующие боковые грани которого представляют собой параллелограммы.

Равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, назы-ваются основаниями призмы.

Рисунок 8.7 – Тетраэдр Рисунок 8.8– Куб Рисунок 8.9– Октаэдр

Рисунок 8.10– Икосаэдр Рисунок 8.11 – Додекаэдр Грани призмы, соединяющие ее основания призмы называются бо-

ковыми гранями ( и ). Площадь (объединение, совокупность) всех боковых граней призмы

называется боковой поверхностью.

ABCD 1111 DCBA

122

Общие грани параллелограммов, соединяющие основания призмы, называются боковыми ребрами ( и т.д.).

Длина отрезка, соединяющего основания призмы и перпендикуляр-ного одновременно обоим основаниям, является (называется) высотой призмы.

Отрезок проведенный между двумя вершинами многогранника, представляющего собой призму, так, чтобы он не принадлежал ни одной плоскости призмы (основаниям или боковым граням) называется диагона-лью призмы. ( )

Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ ос-нования (не путать с диагональю призмы!) называется диагональной плос-костью ( ).

Свойства призмы

• Основания призмы равны • Каждая из боковых граней обязательно является параллелограм-

мом • Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой • Боковые грани правильной призмы представляют собой равные

прямоугольники • При пересечении призмы и диагональной плоскости сечение пред-

ставляет собой параллелограмм Специальные случаи призм

Параллелепипед – это призма, основанием которой является парал-

лелограмм. Прямая призма – призма, у которой боковые ребра перпендикуляр-

ны плоскости основания. Прямоугольный параллелепипед – прямая призма, основанием ко-

торой является прямоугольник и все грани являются прямоугольниками Правильная призма – это прямая призма, основаниями которой яв-

ляется правильный многоугольник

1111 DDCCBBAA

1AC

11CCAA

123

Объем призмы Формула нахождения объема призмы выглядит следующим образом:

, где – объем призмы , – площадь основания призмы ,

– высота призмы Пример 1. Площадь полной поверхности куба равна см

2. Найдите его объем. Решение. Поскольку куб имеет шесть одинаковых сторон, найдем площадь од-

ной из них. см2 Зная площадь стороны (основания) куба,

найдем величину ребра см. Откуда его объем равен см

3 Ответ: см

3. Задания для самоконтроля

1. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с

катетами см, см и см. Боковые ребра равны . Найдите объ-

ем цилиндра, описанного около этой призмы. Ответ: см2

2. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами см и см. высота призмы см. Найди-те площадь полной поверхности. Ответ: см

2

3. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна площади основания. Вычислите длину бокового ребра,если

сторона основания см. Ответ: см

2

4. Найти площадь правильной треугольной призмы, сторона основа-

ния которой см, а высота – см. Ответ: см2


1. Основанием прямой призмы является равнобедренный треуголь-ник, в котором высота, проведенная к основанию, равняется см. Высота призмы равняется см. Найдите полною поверхность призмы, если боковая грань, что содержит основание треугольни-ка – квадрат.

ShV =V S

h

24

4624 =

24 ==a8233 === aS

8

6 7 8π8

200

3 4 10132

712

37

6 10 180318 +

812

124

2. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна площади основания. Вычислите длину бокового ребра, если сторона основания см.

3. В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами см и см. Найти боковое ребро призмы, если ее боковая поверхность равна см

2.

4. Основание прямой призмы - треугольник со сторонами см исми углом между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна см

2, найти площадь боковой поверхности.

5. В правильной четырёхугольной призме площадь основания см2, а

высота см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности. 6. Определите полную поверхность правильной четырехугольной приз-

мы, если ее диагональ равна см, а диагональ боковой грани равна см. 7. Основанием прямой призмы является параллело-

грамм со сторонами см и см и углом, равным . Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол . Найдите пло-

щадь боковой поверхности призмы. 8. Основание прямой призмы - ромб с углом . Большая диаго-

наль призмы равна см и составляет с боковым ребром угол . Найти сторону ромба и меньшую диагональ призмы.

9. Диагональным сечением правильной четырехугольной призмы яв-

ляется квадрат, площадь которого равен см2. Найдите объем призмы.

Параллелепипед

Параллелепипед — призма, основание которой — параллелограмм.

Пример 1. Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин его верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижнего основания. Определите высоту параллелепипеда, если диагональ ос-нования равна см, а боковое ребро равно см. Решение. Поскольку одна из вершин основания параллелепипеда (обозначим ее ) одинаково удалена от всех вершин нижнего основания парал-лелепипеда, то вместе с диагональю нижнего основания (обозначим ее ) она образует равнобедренный треугольник . по условию. Одновременно, - это ребро параллелепипеда.

7

8 6120

5 3°120

35

14414

5 4

1111 DCBABCDA

ABCD 4 34 °30

1AC °60

°1208 °60

144

8 5

F

AC AFC ACAF =AF

125

Таким образом, в равнобедренном треугольнике стороны равны следующим величинам см, см. Высота равнобедренного треугольника одновременно, будет являться высотой параллелепипеда. Пусть она опущена в точке . Кроме того, высота равнобедренного треугольника делит его основа-ние пополам. Откуда, по теореме Пифагора высота будет равна:

Ответ: высота параллелепипеда равна см.


1. Основание прямоугольного параллелепипеда - ромб. Площади диагональных сечений равны см и см. Найдите площадь бо-ковой поверхности параллелепипеда. Ответ: см

2

2. В прямом параллелепипеде стороны основания см и см, од-на из диагоналей основания равна см. Большая диагональ па-раллелепипеда равна см. Найти объем параллелепипеда.

Ответ: см2

3. В прямом параллелепипеде стороны основания см и см. Они образуют угол , меньшая диагональ равна см. Опреде-лите его полную поверхность. Ответ: см

2


1. Основание прямоугольного параллелепипеда – ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны и .

2. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб с острым уг-лом . Диагональ боковой грани наклонена к плоскости основа-ния под углом , а площадь этой грани . Найдите полную по-верхность этого параллелепипеда.

3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с плоско-стью основания угол α , а с боковой гранью – угол β . Высота па-раллелепипеда равна H . Найти объем параллелепипеда.

AFC5== FCAF 8=AC

AFCK

2

2

2

2FC

ACFK =

+

25162 =+FK92 =FK

3=FK3

6 820

10 1721

293360

22 5°45 7

( )23108 +

P Q

γα Q

126

Пирамида Свойства правильной пирамиды Пирамида называется правильной, если основанием её является пра-

вильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Правильная пирамида имеет следующие свойства:

• боковые ребра правильной пирамиды равны; • в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобед-

ренные треугольники; • в любую правильную пирамиду можно как вписать сферу • около любой правильной пирамиды можно описать сферу; • если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма

плоских углов при вершине пирамиды равна , а каждый из них соответ-ственно, где n — количество сторон многоугольника основания;

• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна поло-вине произведения периметра основания на апофему. Определение правильной пирамиды

Определение 1. Пирамида называется правильной, если её основа-нием является правильный многоугольник, при этом вершина такой пира-миды проецируется в центр ее основания.

Треугольники, имеющие общую сторону с основанием пирамиды и одну из вершин, совпадающую с вершиной пирамиды, называются боко-выми гранями ( , , , )

Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания называется высотой пирамиды ( )

Диагональное сечение пирамиды - это сечение пирамиды, проходя-щее через вершину и диагональ основания ( , )

Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называется основанием пирамиды ( ).

π

AOD DOC COB AOB

OK

AOC BOD

ABCD

Определение 2. Пирамида называется правильной, если ее основание – правиль-ный многоугольник, а высота проходит че-рез центр основания.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины называется апофемой, обозначена как от-резок (Рисунок 8.12).

Точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания, назы-вается вершиной пирамиды ( )

Рисунок 8.12 – Пирамида

ON

O

127

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четы-рехугольник и т.д. то такая пирамида называется правильной треуголь-ной, четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр.

Правильная усеченная пирамида Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело,

заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называ-ется усеченной пирамидой. Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований.

Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды, называется — апофемой правильной усеченной пирамиды.

Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из ко-торой она была получена – правильная.

• Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды

• Все грани правильной усеченной пирамиды являются равнобоки-ми (равнобедренными) трапециями

Свойства правильной пирамиды • боковые ребра равны • апофемы равны • боковые грани равны • в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать

около неё сферу • если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма

плоских углов при вершине пирамиды равна , а каждый из них соответ-

ственно , где — количество сторон многоугольника основания

• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна поло-вине произведения периметра основания на апофему

• около основания правильной пирамиды можно описать окруж-ность

• все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы

• все высоты боковых граней равны между собой •

Формулы для правильной пирамиды

Формула объема пирамиды и площади боковой поверхности пра-вильной пирамиды:

π

n

πn

ShV31=

128

Обозначения:

– объем пирамиды – площадь основания – высота пирамиды – площадь боковой поверхности пирамиды

– апофема (не путать с ) – периметр основания – число сторон основания – длина бокового ребра – плоский угол при вершине пирамиды

Данная формула нахождения объема может применяться только для правильной пирамиды:

, где

– объем правильной пирамиды – высота правильной пирамиды – число сторон правильного многоугольника, который является

основанием для правильной пирамиды a– длина стороны правильного многоугольника

Пример 1. Найдите угол между двумя скрещивающимися медианами двух боковых граней правильного тетраэдра. Решение. Поскольку медианы скрещиваются, они лежат в одной плоскости. Поскольку они проведены к боковым граням правильного тетраэдра, то эта плоскость лежит на боковой грани. Поскольку тетраэдр явля-ется правильным, то каждая из его граней представляет собой пра-вильный треугольник.

Все углы равностороннего треугольника равны . Поскольку в равностороннем треугольнике каждая медиана является одновременно и биссектрисой и высотой, то:

αsin22

1 2bn

PhVb ==

VShSbα aPnbα

=

°=

ntg

hna

ntg

hnaV

π12

18012

22

Vhn

°60

°= 30MAB

129

Откуда . Ответ: Медианы пересекаются под углом

Задания для самоконтроля 1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник,

один из катетов которого см, а радиус описанной около него окружности равен см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипоте-нузы. Высота пирамиды равна см. Вычислить боковые ребра пирамиды. Ответ: см

2. Основание пирамиды прямоугольный треугольник, катеты ко-

торого равны см и см. высота пирамиды равна см. Вычислить объем пирамиды. Ответ: см

3 3. Вычислите объём пирамиды, основанием которого служит

прямоугольник со сторонами дми дм, а каждое боковое ребро равно дм. Ответ: дм

3


1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна см, а дву-гранный угол при основании равен . Найдите объем пирамиды.

2. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды

равна см, а боковая грань образует с основанием угол . Найдите объ-ем пирамиды.

3. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пира-

миды соответственно равны и . Найдите апофему пирамиды.

4. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна . Двугранные углы при основании равны . Найти площадь полной по-

верхности пирамиды.

°= 90ANK°=−−= 603090180ANK

°60

85

1213

8 6 1080

4 35,6 24

4°60

4 °60

24 14

a α

130

5. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания рав-

на см, а боковое ребро см. Найти площадь боковой поверхности и высоту пирамиды.

6. Высота боковой грани правильной четырехугольной пирамиды

равна см.Определите полную поверхность пирамиды, если боковая грань наклонена к плоскости основания под углом .

7. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания рав-

на , высота равна . Найдите углы наклона боковых рёбер и боковых граней к плоскости основания.

8. Найти величину двугранного угла при основании правильной че-

тырехугольной пирамиды, если её боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом .

9. - квадрат с стороной см. Точка отдалена от каждой

вершины квадрата на см. Найти расстояние от середины отрезка до вершин и сторон квадрата. Сфера (шар)

Пример 1. Коническая воронка, радиус основания которой , а высота ,

наполнена водой. В воронку опущен тяжелый шар. Каким должен быть радиус шара, чтобы объем воды, вытесненный из воронки по-груженной частью шара, был максимальным? Решение.

Мысленно проведем сечение через центр конуса. Данное сече-ние образует равнобедренный треугольник.

Если в воронке находится шар, то максимальный размер его радиуса будет равен радиусу вписанной в получившийся равнобед-ренный треугольник окружности.

Радиус вписанной в треугольник окружности равен:

, где

– площадь треугольника – его полупериметр

10 13

10°60

a a3

°45

ABCD 4 M7 MA

R H

p

Sr =

Sp

131

Площадь равнобедренного треугольника равна половине высо-ты, умноженной на основание. Но, поскольку, основание - удвоен-ный радиус конуса, то

Полупериметр равен

– длина каждой из равных сторон равнобедренного треугольника – радиус окружности, составляющей основание конуса найдем

по теореме Пифагора как , откуда

Кратко это выглядит следующим образом:


1. Объемы двух шаров относятся как . Как относятся площади их поверхностей? Ответ: .

2. Найдите диаметр шара, если его объем равен ?

Ответ: см.

3. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза? Ответ: в раз.


1. В сферу вписан конус, образующая которого равна , а угол при вершине осевого сечения равен . Найдите площадь сферы.

2. Емкость имеет форму полусферы (полушара). Длина окружности основания равна см. На квадратный метр расходуется граммов краски. Сколько необходимо краски, чтобы покрасить емкость?

RHS =

( )mRp 222

1 +=

mR m

( )22 RHm +=

( )( ) ( )2222222

1RHRRHRp ++=++=

p

RH

r

Sr ==

( )( )222221

RHR

RHr

++=

( )22 RHR

RHr

++=

64:2716:9

32048π

16

27

1°60

46 1 300

132

3. Определите объем шарового сектора, если радиус окружности его основания равен см, а радиус шара см.

4. Радиус шара равен . Определите объем шарового сектора, если дуга в осевом сечении сектора равна .

Цилиндр Пример 1. В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямо-

угольный треугольник, катет которого равен , а прилежащий угол равен . Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в . Найдите объем цилиндра. Решение. Объем цилиндра найдем по формуле:

где: – радиус основания прямого цилиндра,

– высота. Найдем основание цилиндра. 1-й способ.

Основание цилиндра одновременно является окружностью, описанной вокруг прямоугольного треугольника, являющегося осно-ванием призмы. Радиус окружности, описанной вокруг треугольни-ка, найдем по формуле:

где: – сторона треугольника – угол, противолежащий стороне .

Противолежащий угол найдем следующим образом. Поскольку треугольник прямоугольный, то противолежащий катету угол будет равен . Таким образом, радиус описанной окруж-ности (он же радиус цилиндра) равен:

Найдем основание цилиндра. 2-й способ. У прямоугольного треугольника гипотенуза одновременно является диаметром описан-ной окружности. Половина гипотенузы будет равна ее радиусу.

Таким образом, найдем гипотенузу для прямоугольного тре-угольника, зная угол и его катет через тригонометрическую функ-цию:

Найдем высоту цилиндра. Диаметр описанной окружности об-

разует с диагональю призмы прямоугольный треугольник, один ка-тет которого является диаметром описанной окружности, второй -

60 75

R°60

a2°60

°35

hRV 2π=R

h

αsin2

aR=

aα a

°=−− 309060180

aa

R 230sin2

2 ==

aaa

R 45,0

260cos

22 ===

aR 2=

133

высотой цилиндра и призмы, а гипотенуза является диагональю большей стороны призмы и одновременно цилиндра. Поскольку угол диагонали с основанием составляет , то второй угол равен градусов. Исходя из того, что прямо-угольный треугольник равнобедренный, то высота цилиндра и приз-мы равна диаметру окружности. Таким образом:

Ответ: .

Задания для самоконтроля 1. Осевым сечением цилиндра есть квадрат, диагональ которого рав-

на см. Вычислите объем цилиндра. Ответ: см2

2. Площадь боковой поверхности цилиндра см

2, а его объем ра-вен см

3. Найдите его высоту. Ответ: см. Ответ: см

3. В цилиндре на расстоянии см от его оси и параллельно ей про-ведено сечение, диагональ которого равна см. Вычислите радиус осно-вания цилиндра, если его высота равна см.

Ответ: см


1. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ ко-торого равна см, высота цилиндра равна см, а радиус основания см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение?

2. Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна

. Вычислить объем цилиндра. 3. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ

его осевого сечения, равная см, составляет с образующей цилиндра угол величиной . Конус

Пример 1. Объем цилиндра равен см3. Найти объем конуса, радиус ос-

нования которого равна радиусу основания цилиндра, а высота вдвое меньше высоты цилиндра. Решение.

Формула объема цилиндра

°45

°=−− 459045180

hRV 2π=aaV 44 2π=216aV π=

216aπ

24 π16

π24π48 3 3

813

510

17 15 5

24

8°30

48

2hmV =

134

А формула объема вписанного конуса ( ) для "наше-

го" случая, учитывая, что высота конуса равна половине высоты ци-линдра, будет равна:

но, по условию задачи, объем цилиндра составляет , то есть . Значит, подставим в формулу объема конуса вместо

известное нам значение. Получаем:

см3

Ответ: см3.


1. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник с углом при вершине и боковой стороной см. Вычислите радиус ко-

нуса. Ответ: см 2. Образующая конуса равна см, угол при вершине осевого сече-

ния равен . Найдите полную поверхность конуса. Ответ: см

2 3. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол ,

высота конуса равна см. Найдите боковую поверхность конуса. Ответ: см

2


1. Площадь основания конуса см2, а его образующая см. Вы-

числить боковую поверхность конуса. 2. В цилиндр вписаны шар и конус, причём высота цилиндра равна

диаметру его основания. Найти отношение объёма конуса к объёму шара, и к объёму цилиндра.

3. Объем конуса равен . На высоте конуса лежит точка и делит её

в отношении считая от вершины. Через точку проведено сечение, ко-торое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

2

31

hmV =

2

231

mh

V ⋅=

48482 =hm 2hm

248

31 ⋅=V

8=V8

°120 8

34

14°60

π147

°4523

π218

π36 10

271:2

135

4. Образующая конуса равна см. Угол между образующей и плос-костью основания равен . Найти объем конуса.

5. Из центра основания конуса к образующей проведен перпендику-

ляр, который образует с высотой угол . Образующая конуса равна . Определить объем конуса.

6. Через вершину конуса проведена плоскость под углом к плоско-

сти основания. Эта плоскость пересекает основание в хорде, расстояние до ко-торой от вершины см. Найдите объем конуса, если длина радиуса см.

7. Образующая усеченного конуса равна см, а радиусы оснований

см и см. Найдите площадь осевого сечения.

8.5 Декартовы координаты и векторы

Расстояние между точками:

Координаты середин отрезка:

, ,

Координаты вектора

, где , , . Модуль вектора

.

12°30

β 1

°45

6 5

53 6

( ) ( ) ( )2

12

2

12

2

12 zzyyxxAB −+−+−=

221 xx

x+=

221 yy

y+=

221 zz

z+=

( )321 ;; aaaa 121 xxa −= 122 yya −= 123 zza −=

2

3

2

2

2

1 aaaa ++=

Декартова прямоугольна система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измере-ния длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-либо порядке (рис. 8.13).

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси – коорди-натными осями. Первая координатная ось называется осью абсцисс, вторая – осью ординат, третья – осью аппликат.

Рисунок 8.13

136

Суммой вектора и называется вектор

.

Скалярным произведением векторов и называется число

Пример 1. На оси аппликат найти точку , равноудаленную от точек и .

Решение. Пусть точка имеет координаты . По условию

, отсюда . Поскольку ,

, то , , .

Значит,

Ответ: .


1. Концы отрезка и . Найти точку, симметричную середины отрезка относительно плоскости .

Ответ:

2. Точка - середина отрезка, концы которого находятся на оси и в плоскости . Найти координаты концов и длину от-резка. Ответ: , , .

3. Даны векторы и . Найдите . Ответ:


1. Перпендикулярны ли векторы и ?

2. Коллинеарны ли векторы и ?

3. Дан вектор . Найдите коллинеарный ему вектор с началом в точке и концом в точке на плоскости .

( )321 ;; aaaa ( )321 ;; bbbb

( )332211 ;; bababac +++

( )321 ;; aaaa ( )321 ;; bbbb

332211 bababa ++φcos⋅⋅=⋅ baba

0=⋅⇔⊥ baba

A( )5;3;2−M ( )1;5;3 −N

A ( )zA ;0;0

ANAM = 22 ANAM = ( )22 594 −++= zAM

( )22 1259 −++= zAN ( ) ( )22 134513 −+=−+ zz 38 =z83=z

83

;0;0A

83

;0;0A

( )1;2;5 −A ( )6;3;5Bxz

( )5,3;5,0;51 −M

( )3;6;2MOx yz

( )0;0;4A ( )6;12;0A 14=AB

( )3;2;2 −−a ( )2;1;3b baS 32 +=( )0;7;5S

( )6;3;2a ( )1;2;3 −b

( )8;3;2a ( )16;6;4 −−b

( )3;2;1a( )1;1;1 −−−A B xy

137

ЛИТЕРАТУРА

1 Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика 5–12 класи. – Київ, Ірпінь, 2005.

2 Програма зовнішнього незалежного оцінювання 2013 року (ЗНО 2013) з математики.

3 Алгебра начала анали за : учебн. для 10– 11 кл.средн. шк. / А. Н. Колмогоров [и др.] ; под ред. А. Е. Колмогорова. – М. : Просвещение, 1990.

4 Погорелов, А. В. Геометрия : учебн. для 7–11 кл. средн. шк. / По-горелов А. В. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 1991. – 384 с.: ил. – ISBN 5-09-003385-4.

5 Методическое пособие по элементарной математике к тестовым испытаниям в ДГМА / Сост. : Астахов В. Н., Буланов Г. С.– Краматорск : ДГМА, 2007. – 60 с. – ISBN 987-966-379-181-4.

6 Литвиненко, В. Н. Практикум по элементарной математике: Ал-гебра. Тригонометрия : учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. –2-е изд., перераб. и доп. – М. : Просвещение, 1991. – 352 с.: ил.– ISBN 5-09-003393-5.

7 Роганін, О. М. Математика : практичний довідник / Роганін О. М., Каплун О. І. – 2-ге вид., зі змінами. – Харків : ФОП Співак В. Л., 2011. – 380 с. + с. вкладка ISBN 978-966-8896-77-4.

138

Навчальне видання

МАТЕМАТИКА

Посібник (Російською мовою)

Укладачі : ЗОЗУЛЯ Євген Сергійович, СКАРЛАТ Тетяна Василівна

За авторським редагуванням

136/2014. Формат 60 × 84/16. Ум. друк. арк. 7,9. Обл.-вид. арк. 2,61. Тираж 10 пр. Зам. № 66.

Видавець і виготівник Донбаська державна машинобудівна академія

84313, м. Краматорськ, вул. Шкадінова, 72. Свідоцтво суб’єкта видавничої справи

ДК №1633 від 24.12.2003

139

Documents

ОСНОВНОЙ ТЕКСТ 09 01 РИО (Автосохраненный) · 2015-09-21 · n an 4. (n a) k=n ak 8. n k n ak =a Пример 1. Преобразовать в степень