我們知道： 邊長為 1 公分的正方形，面積為 12 ＝ 1 平方公分； 邊長為 2 公分的正方形，面積為 22 ＝ 4 平方

公分； 邊長為 3 公分的正方形，面積為 32 ＝ 9

平方公分； ⋯反過來說，若正方形面積為 1 平方公分，因為 1 ＝ 12 ，所以它的邊長為 1

公分；若正方形面積為 4 平方公分，因為 4 ＝ 22 ，所以它的邊長為 2

公分；若正方形面積為 9 平方公分，因為 9 ＝ 32 ，所以它的邊長為 3

公分；⋯現在我們來想一想：是否有面積為 2 平方公分的正方形？

探索面積為 2 的正方形邊長拿出附件二中邊長為 2 的正方形，依照下列的步驟摺紙，再回答問題。步驟：1. 將附件二的正方形對摺兩次後攤開，如圖 1∼ 圖 4

得到 4 個面積為 1 的小正方形，在摺痕的交點上標示 O 。

2. 將圖 4 中正方形的 4 個頂點分別向 O 點對摺，得到正方形 ABCD 。

問題：1. 正方形 ABCD 的面積為多少？2. 利用附件三的直尺量一量，正方形 ABCD 的邊長大

約是多少？3. 將量出來的結果平方，並把平方後的結果與正方形

ABCD 的面積值作比較，看看是否相等？

2 。

約 1.4 。

不相等。

從問題探索 1 中，我們找到了面積為 2 的正方形，但是也發現在測量這個正方形的邊長時，每位同學的測量值不會完全一樣，即使用刻度很精密的直尺去量，也會有同樣的情形。把測量得到的值平方，結果很「接近」2 ，但都不會等於 2 。事實上，我們沒有辦法用過去曾經學到的數字 ( 如整數、分數和小數 ) 來表示面積為 2 的正方形邊長是多少，因此以新的符號「 」 ( 讀作「根號二」 ) 來代表這個邊長的實際數值，滿足 ( )2 ＝2 。

一般來說，若一個正方形面積為 a ，則它的邊長為「 」，滿足 ( )2 ＝ a 。

2

2

a a

1. 分別以「√」表示面積為 3 平方公分和 4 平方公分的正方形邊長。面積為 3 平方公分的正方形其邊長為 公分面積為 4 平方公分的正方形其邊長為 公分

3

4

2. 邊長分別為 公分和 公分的正方形面積各為多少平方公分？

7 64

邊長為 公分的正方形其面積為 ( )2 ＝ 7 平方公分邊長為 公分的正方形其面積為 ( )2 ＝ 64 平方公分

64

7 7

64

若設 a 為正數，那麼面積為 a2 的正方形其邊長為 ，又因為面積為 a2 的正方形其邊長為 a ，因此可得 ＝ a (a ＞ 0) 。例如：

2a2a

。

；

；

5

3)

5

3(

0.20.2

1010

2

2

2

其實可以將上述說明加以推廣，a 、 b 為兩個正數，且滿足 a ＝ b2 ，則 。bba 2

例如： 100 ＝ 102 ，所以 。 0.04 ＝ 0.22 ，所以 。

1010100 2

0.20.20.04 2

其中 100 可以寫成 102 ，像這樣可以寫成某個整數平方的數，我們稱為完全平方數。下表是 1 400 ∼ 內的完全平方數。

整數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

完全平方數 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

整數 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

完全平方數 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400

計算下列各數的值。 ⑴ ⑵ ⑶

⑷ ⑸ ⑹

14464 289

4

49

9

169 1.21

882 12122 17172

2

7)

2

7( 2

3

13)

3

13( 2

1.11.1 2

若 a 是一個負數，說明 ＝－ a 。2a

因為 a 是一個負數，所以－ a 是一個正數，所以 aaa 22 )(

例1

利用標準分解式求值利用標準分解式計算下列各數的值。

⑴ ⑵解

576 69.39

⑴ 576 ＝ 26×32

＝ (23)2×

32

＝ (8×3)2

＝ 242

所以

2424576 2

10

63)

10

63(

100

396936.96

10

63)

52

73(

)52(

)73(

52

73

100

396969.39 )2(

2

22

2

22

25

24

所以

計算下列各數的值。 ⑴

⑵ 98.01

784

784 ＝ 24×72 ＝ (22)2×72 ＝ (4×7)2 ＝ 282

所以 2828784 2

10

99)

10

99(

100

980198.01

)10

99()

52

113(

5)(2

11)(3

52

113

100

980198.01

2

222

2

22

22

24

所以

如果一個數的平方等於 a ，這個數就叫做 a 的平方根。例如： 32 ＝ 9 ，所以 3 是 9 的平方根； ( － 3)2

＝ 9 ，所以－ 3 也是 9 的平方根。事實上，每一個正數都有兩個平方根，其中一個是正的，另一個是負的，而且這兩個平方根互為相反數。通常，我們以 表示正數 a 的正平方根，以 表示正數 a 的負平方根。這兩個平方根可以合併記為 ，讀作「正負根號 a 」。例如： 2 有正、負兩個平方根，正平方根記為 ，負平方根記為 ，合併記為 。

有時候我們會稱「 」中的 a 為被開方數。另外，由 02 ＝ 0 知道： 0 是 0 的平方根，記作 ＝ 0 。

aa

a2 2

2a

0

平方根若 ，則： 1. a 的平方根為 。

2. ( )2 ＝ a 。

0a a

a

例2

平方根

解

求下列各數的平方根。 ⑴ 100 ⑵ 2.5⑶4

25

⑴ 100 的平方根為 。1010100 2

⑵ 的平方根為 。4

252

5)

2

5(

4

25 2

⑶ 2.5 的平方根為 。5.2

求下列各數的平方根。 ⑴ 51 196 ⑵ ⑶ 1.44⑷

100

47

(1) 51 的平方根為 。

51

(2) 196 的平方根為 。

1414196 2

(3) 的平方根為 。100

47

100

47

(4) 1.44 的平方根為 。

2.12.11.44 2

1. 1 的平方根為何？

2. 負數有沒有平方根？

1 的平方根是 1 和－ 1 。

任何非 0 的數，其平方皆為正數，所以負數沒有平方根。

例3

平方根的應用

解

若－ 5 是 2x － 1 的平方根，求 x 的值，並檢驗是否正確。

根據平方根的意義知道：( － 5)2 ＝ 2x － 1 ， 2x ＝ 26 ， x ＝ 13

檢驗： 2x － 1 ＝ 2×13 － 1 ＝ 25 ， 而－ 5 是 25 的負平方根， 所以 x ＝ 13 正確。

若 是 3x＋ 2 的平方根，求 x 的值，並檢驗是否正確。2

3

12

1

4

13 23

4

9 23)

2

3( 2 xxxx ，，，

檢驗： 3x ＋ 2 ＝ 3× ＋ 2 ＝ ，而 是 的正平方根，所以 x ＝ 正確。

12

1

4

9

2

34

9

12

1

我們知道：兩個邊長不相等的正方形中，邊長比較長的正方形，它的面積會比較大。反過來說：兩個面積不相等的正方形中，面積比較大的正方形，它的邊長會比較長。我們可以利用這樣的關係，來比較平方根的大小。

平方根的比較大小已知 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ： 1. 若 a ＜ b ，則 a2

＜ b2 。 2. 若 a2 ＜ b2 ，則 a ＜ b 。

例4

比較平方根的大小

解

設 x ＝ 7 、 y ＝ 、 z ＝ ，試比較 x 、 y 、 z 三數的大小關係。

46 50

因為 72 ＝ 49 ， ( )2 ＝ 46 ， ( )2

＝ 50 ，且 46 ＜ 49 ＜ 50 ，所以得到 ＜ 7 ＜ ，即 y

＜ x ＜ z 。

46 50

46 50

判斷下列大小關係是否正確，對的打「○」，錯的打「 × 」。

⑴ ( 　 ) 5663 ⑵ ( 　 ) 3

4

4

5

⑶ ( 　 )3

1336 ⑷ ( 　 ) 1.01.0

因為 63 ＞ 56 ，所以

5656 636322 ，

5663

○

3

4

4

5

3

4

4

5

3

4)

3

4(

4

5)

4

5( 22

所以，因為

，

×

3

1336

3

13336

3

13336

3

133)

3

133( 366 22

即

所以，因為

，

○

1.00.1

1.010.0 0.10.01

0.1)1.0( 0.011.0 22

級

所以，因為

，

×

接下來，我們將經由在數線上找到 的大概位置，來說明求 近似值的過程。

22

⑴ 整數：由 ，得到 ，因此 在數線上是位於 1 、 2 之間，如圖5 ，即 ＝ 1.⋯。

222 2)2(1 221

2

2

重複同樣的過程，如圖 8 ，就可以找到小數第 3 位、第 4 位、⋯⋯的數，像這樣利用十等分來逐漸逼近 在數線上的位置，而求得近似值的方法，就稱為十分逼近法。其中近似值我們常用符號「 」表≒

示，例如： 的近似值 ( 以四捨五入法求到小數第一位 ) 可以表示成 ≒ 1.4 。

2

2

2

例5

十分逼近法

解

試以十分逼近法求 的近似值 ( 以四捨五入法求到小數第一位 ) 。

5

⑴ 因為 22 ＜ ( )2 ＜ 32 ，得 2 ＜ ＜ 3 ，所以 ＝ 2.⋯。

5 5 5

⑵ 在 2 和 3 之間的 10 等分點中，由 2.22 ＝4.84 ， 2.32 ＝ 5.29 ，知道 2.22 ＜ ( )2 ＜ 2.32 ，

得 2.2 ＜ ＜ 2.3 ，所以 ＝ 2.2⋯。5

55

⑶ 在 2.2 和 2.3 之間的 10 等分點中，由 2.232 ＝ 4.9729 ， 2.242 ＝ 5.0176 ，知道 2.232 ＜ ( )2 ＜ 2.242 ，

得 2.23 ＜ ＜ 2.24 ，所以 ＝ 2.24⋯。 以四捨五入法求到小數第一位得 ≒ 2.2 。

5

5 5

5

試以十分逼近法求 的近似值 ( 以四捨五入法求到小數第一位 ) 。

7

⑴ 因為 22 ＝ 4 ， 32 ＝ 9 ，得 2 ＜ ＜ 3 ，所以 ＝ 2.⋯。7 7

⑵ 因為 2.62 ＝ 6.76 ， 2.72 ＝ 7.29 ，得 2.6 ＜ ＜ 2.7 ，所以 ＝ 2.6⋯。

7

7

⑶ 因為 2.652 ＝ 7.0225 ，所以 ＜ 2.65 。7

⑷ 以四捨五入求到小數第一位得 ≒ 2.6 。7

例6

十分逼近法的應用

解

⑴ 請問 化成小數後的近似值中，整數部分為何？⑵ 請問 介於哪兩個連續整數之間？

120

56

⑴ 因為 102 ＝ 100 ， 112 ＝ 121 ， 102 ＜ ( )2 ＜ 112

， 10 ＜ ＜ 11 ，得 ＝ 10.⋯， 所以 化成小數後的近似值中，整數部分是 10 。

120

120 120

120

⑵ 因為 72＝ 49， 82＝ 64， 72＜ ( )2＜82，

得 7 ＜ ＜ 8，所以－ 8 ＜ ＜－ 7，

即 介於－ 7 和－ 8 之間。

56

56 56

56

1. 請問 化成小數後的近似值中，整數部分為何？210

因為 142 ＝ 196 ， 152 ＝ 225 ， 142 ＜ ( )2 ＜ 1

52

14 ＜ ＜ 15 ，得 ＝ 14.⋯所以 的整數部分是 14 。

210

210 210

210

2. 請問 介於哪兩個連續整數之間？ 99

因為 92 ＝ 81 ， 102 ＝ 100 ， 92 ＜ ( )2 ＜102

得 9 ＜ ＜ 10所以－ 10 ＜ ＜－ 9即 介於－ 9 和－ 10 之間。

9999

99

99

要利用十分逼近法求平方根的近似值，過程實在太繁瑣了，為了方便，常將一些整數的平方與正平方根 (或近似值 ) 列成乘方開方表，供隨時查閱。

下面就來看看如何用乘方開方表 ( 附件四 ) 求出平方根的近似值。自左向右看乘方開方表：

第一行是 N ，表示這一行所列出的是自然數 ( 正整數 ) 。第二行是 N2 ，表示這一行所列出的是自然數的平方。第三行是 ，表示這一行所列出的是自然數的正平方根。第四行是 ，表示這一行所列出的是自然數的 10

倍的正平方根。例如： 在第一行 N 中，有一個自然數 17 ； 在第二行 N2 中且與 17 同列的數是 289 ， 即得 172 ＝ 289 ； 在第三行 中且與 17 同列的數是 4.1

23106 ， 即得 ≒ 4.123106 ； 在第四行 中且與 17 同列的數是 1

3.03840 ， 即得 ≒ 13.03840 。

N

N10

N

17

N10

170

例7

查表法

解

請根據附件四的乘方開方表，求出下列平方根的值。 ⑴ ⑵ ⑶45 450 2050

⑴ 先從第一行 N 中查出 45 ，再查出位於第三行 中和 45 同列的數是 6.708204 ，即得 ≒6.708204 。

N

45

⑵ 先從第一行 N 中查出 45 ，再查出位於第四行 中和 45 同列的數是 21.21320 ，即得 ≒ 21.2132 。

N10

450

⑶ 先從第二行 N2 中查出 2025 ，再查出位於第一行 N 中和 2025 同列的數是 45 ，即得 ＝ 45 。

2050

請根據附件四的乘方開方表，求出下列平方根的值。 ⑴ ⑵ ⑶410 1764

48 ≒6.928203

48

＝ 20.24846

41110410 422 ＝ 1764

故 ＝ 42

1764

一般電算器上有一個「 」鍵，它可以用來求某數值的正平方根或其近似值。

例8

利用電算器求平方根值

解

請利用電算器，求下列各數的近似值 (以四捨五入法求到小數第四位 )。

⑴ ⑵ ⑶7 7

57.0

在算每一題時，請先將螢幕顯示的值歸零 (按 鍵 ) 。

1 正方形的面積與周長

若一個正方形面積為 a ，則它的邊長為「 」，滿足 ( )2 ＝ a 。例 若一個正方形面積為 16 ，則它的邊長為 「 」，滿足 ( )2 ＝ 16 。

a

a

16 16

2 「√」的意義

a 、 b 為兩個正數，若滿足 a ＝

b2 ，則 ＝ ＝ b 。

例 16 ＝ 42 ， ＝

＝ 4 。

a

16 24

2b

3 完全平方數

若整數 a 可以寫成某個整數的平方， a 就稱為完全平方數。例 16 ＝ 42 ，所以 16 是完全平方數。

4 平方根

若 a 是一個正數，則 是 a 的正平方根， 是 a 的負平方根。註： 0 是 0 的平方根，記作 ＝ 0 。例 是 16 的正平方根， 是 16 的負 平方根。

a

a

16

16

0

5 平方根的比較大小

已知 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ：⑴ 若 a ＜ b ，則 a2 ＜ b2 ；⑵ 若 a2 ＜ b2 ，則 a ＜ b 。例 已知 15 ＜ 17 ，則 152 ＜ 172 ； 已知 ( )2 ＜ ( )2 ，則 ＜ 。

15 17 15 17

6 平方根近似值的求法

⑴ 十分逼近法。⑵ 查表法。⑶ 利用電算器。

1 求下列各數的值。 ⑴ ⑵ ⑶361

121

169 25.12

19

192

11

13

)11

13( 2

5.3

5.3 2

2 求出下列各數的平方根。 ⑴ 157 1.96⑵ ⑶

9

17

157 的平方根為

157

1.96 的平方根為

4.1

4.1

96.1

2

3

8)

3

8(

9

64

9

64

9

64

9

17

2

的平方根為

3

判斷下列各敘述是否正確，對的打「○」，錯的打「 × 」。

⑴ ( 　 ) ( )2 ＝ 5 ，所以 5 是 的平方根。

⑵ ( 　 ) 16 的平方根是 ±4 。

⑶ ( 　 ) － 32 ＝－ 9 ，所以－ 3 是－ 9 的平方根。

⑷ ( 　 ) － 2 是 的平方根。

5 5

16

×

○

×

○

4 已知 x 是一個整數、小數或分數，若 是 8 的正平方根，求 x 的值，並檢驗是否正確。

13x-

若 是 8 的正平方根則 ( )2 ＝ 8

3x － 1 ＝ 8 ， 3x ＝ 9 ， x ＝ 3

檢驗： ＝ ＝ 為 8 的正平方根，所以 x

＝ 3 正確。

13 x

13 x

13 x 133 8

5 設 a ＝－ 12 、 b ＝ 、 c

＝ ，試比較 a 、 b 、 c

三數的大小關係。

169 211

a ＝－ 12

b ＝ ＝ ＝－ 13

c ＝ ＝－ 11

所以－ 11 ＞－ 12 ＞－ 13

故 c ＞ a ＞ b

169 213211

6⑴ 請問 化成小數後的近似值中，整數部分為何？220

因為 142 ＝ 196 ， 152 ＝ 225 ，142 ＜ ( )2 ＜ 152

14 ＜ ＜ 15

得 ＝ 14.⋯，所以 的整數部分是 14 。

220

220

220 220

⑵ 請問 介於哪兩個連續整數之間？220

由⑴知 14 ＜ ＜ 15

所以－ 15 ＜ ＜－ 14

即 介於－ 14 和－ 15

之間。

220

220

220

7 利用下面的乘方開方表，求下列各數的值。N N2

26 676 5.099020 16.12452

27 729 5.196152 16.43168

28 784 5.291503 16.73320

N N10

⑴ ⑵ ⑶27 280 676

≒5.19615227 7332.16

2810280

262 ＝ 676

故 ＝ 26

676