МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М .В . ЛОМОНОСОВА

Факультет

вычислительной математики и кибернетики

Е.А. Бордаченкова, А.А. Панфёров

ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА 1 курс

МОСКВА

2016

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

Е.А. Бордаченкова, А.А. Панфёров

Задания практикума. 1 курс

Учебное пособие

для студентов 1 курса

МОСКВА – 2016

УДК 004.42(075.8) ББК 32.973-018.1я73 Б82

Печатается по решению Редакционно-издательского совета факультета вычислительной математики и кибернетики

Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Рецензенты: В.Г. Баула – доцент кафедры АСВК ВМК МГУ;

Е.А. Кузьменкова – доцент кафедры СП ВМК МГУ

Бордаченкова Е.А., Панфёров А.А.

Б82 Задания практикума. 1 курс: Учебное пособие для студентов 1 курса. – М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ имени М.В. Ломоносова (лицензия ИД N 05899 от 24.09.2001 г.); МАКС Пресс, 2016. – 48 c. ISBN 978-5-89407-558-7 ISBN 978-5-317-05245-4

В книге представлены задания, предназначенные для выполнения в рамках практикума студентами первого курса факультета ВМК МГУ. Часть заданий посвящена совершенствованию навыков программирова-ния на языке Паскаль, другая часть помогает освоить язык ассемблер. За-дания сопровождаются методическими указаниями. Учебное пособие предназначено для студентов первого курса и преподавателей, ведущих занятия по практикуму на факультете ВМК. Ключевые слова: обучение программированию, Паскаль, ассемблер.

УДК 004.42 (075.8) ББК 32.973-018.1я73

Bordachenkova E.A., Panferov A.A.

Tasks of the practicum. 1 course: Textbook for the first-year students. –М.: Publishing Department of the faculty of mathematics and Cybernetics of MSU (license N 05899 from 24.09.2001); MAKS Press, 2016. – 48 p.

This textbook contains the tasks for the first-year students of CMC MSU. Some of them is devoted to improving of programming skills, other helps to learn assembly language. All tasks are accompanied by guidelines.

Keywords: programming training, Pascal, assembly language.

ISBN 978-5-89407-558-7ISBN 978-5-317-05245-4

Издательство ООО «МАКС Пресс», 2016 Факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 2016 Бордаченкова Е.А., Панфёров А.А., 2016

Предисловие

Предлагая настоящее пособие, авторы выражают надежду, чтооно будет способствовать стандартизации практикума на первомкурсе. В сборникепредставленызаданиякакнаотрабатывание слож-ных тем первого семестра, как и на освоение материала второго се-местра. Задания расположены в таком порядке, чтобы к моментуих выполнения студенты обладали необходимыми теоретическимизнаниями. Чрезвычаино важно, чтобы студенты ясно представлялитеоретическую основу реализуемых алгоритмов.

Авторы стремились к тому, чтобы сделать задания компактны-ми по формулировке и по содержанию и в то же время достаточнообъемными. Каждое задание нацелено на освоение однои темы. В ка-честве языков реализации предлагаются Паскаль и ассемблер.

Задания 1 и 2 посвящены совершенствованию навыков работыс динамическими структурами данных.

Задание 3 демонстрирует связь между дисциплинами, изучае-мыми в рамках базового обучения на младших курсах.

Основная цель задания 4 — углублённое изучение методовсортировки, важнои темы курса «Алгоритмы и алгоритмическиеязыки».

Задание 5 даёт первое представление о программировании наассемблере. Его можно выдавать сразу после изучения на семинарахтем «Переходы» и «Ввод-вывод». Задание небольшое, поэтому сту-дентымогут выполнять егопараллельно с каким-нибудьболее слож-ным заданием.

Цель задания 6— освоение темы «Процедуры» на ассемблере.Задание 7 продолжает отработку правил работы с процедурами

на ассемблере и даёт опыт использования команд работы с битами.Цель задания 8 — практика работы с многомодульными про-

граммами на ассемблере.Формирование у студентов навыков создания относительно

больших программ — одна из важных задач базового курса про-граммирования. Выполняя задания практикума, студенты получаютнеобходимыи опыт в этои области. Желательно, чтобы преподава-тели контролировали студентов и помогали им на различных эта-пах проектирования и отладки программ. Положительныи опыт —поэтапная сдача задании. С однои стороны, она организует по вре-

3

мени работу студентов, не позволяя откладывать всё на последниимомент, с другои стороны, помогает сформировать методологическиправильныи подход к созданию программ: программирование свер-ху вниз, деление задачи на подзадачи, отдельная разработка и отлад-ка логически законченных частеи программы.

Авторы выражают признательность И. В. Горячеи, Т.Ю. Грациа-новои и Д.Ю. Волканову, беседы с которыми оказали влияние на со-держание книги. Наша особая благодарность Владимиру Николаеви-чу Пильщикову, чьё влияние мы постоянно ощущаем.

4

Введение

Во втором семестре в рамках предмета Программирование, кро-ме семинарских занятии, появляются задания практикума. Если насеминарах решаются небольшие задачи, то задания практикума бо-лее объёмные.

На выполнение задания отводится довольно большои отрезоквремени — до месяца. Студенты работают над заданиями самостоя-тельно, консультируясь при необходимости с преподавателем. Ещёодна особенность задании практикума состоит в том, что задание,как правило, включает в себя несколько более-менее законченныхзадач.

Важно придерживаться технологии программирования «свер-ху вниз» на каждом этапе работы. Сначала нужно сформулироватьрешениев самыхобщихчертах, определить, в какихтерминахформу-лируется решение — какие нужны переменные на уровне основноипрограммы. Затем выделить логически законченные части— подза-дачи, определить связимежду основнои задачеии подзадачами.Фак-тически, на этом этапе формируется назначение и интерфеис (пара-метры) процедур. Далее каждую подзадачу нужно решать независи-мо от остальных частеи, опять же, применяя метод программирова-ния «сверху вниз».

Прежде, чем приступить непосредственно к программирова-нию, нужно разобраться в математическом методе, которыи требу-ется реализовать: прочесть методические указания, возможно, обра-титься к учебникам. Следует вручную выполнить несколько шаговметода, это поможет выявить взаимосвязи между значениями пере-менных и организовать процесс вычислении.

Важным аспектом выполнения задания практикума являетсяотладка. Процесс отладки заключается в тестировании программы(процедуры) иисправлении обнаруженных ошибок. Тестирование—это выполнение программы с такими входными данными, для кото-рых заранее известен правильныи результат. Если выданныи про-граммои результат не совпадает с ожидаемым, значит, в програм-ме есть ошибка. Тестовых данных должно быть достаточное коли-чество, чтобы проверить все возможные основные варианты работыпрограммы.Каждуюпроцедурунужноотлаживать отдельно, для это-го надо написать программу, которая вызывает отлаживаемую про-

5

цедуру, передавая подходящие параметры, и печатает полученныерезультаты.

Работа с модулями в среде Турбо ПаскальВ некоторых заданиях требуется организовать программу в ви-

де набора модулеи. Модуль — логически замкнутая часть програм-мы, которую можно компилировать отдельно от остальных частеи.Программа, имеющая модульную структуру, состоит из основноипрограммы модулеи: программа = основная программа + модули.Обычно в модуль выносят близкие по назначению процедуры.

Использование модулеи упрощает разработку больших про-грамм. Во-первых, вынесение процедур позволяет сделать прозрач-ным текст основнои программы, не перегружать его деталями. Во-вторых, модульную программу проще модифицировать — в зави-симости от различных условии можно подключать к основнои про-грамме разные модули с процедурами. В-третьих, процедуры, требу-ющиеся во многих программах, можно сгруппировать в «стандарт-ныимодуль», разрешив программам использовать его; примером яв-ляется модуль CRT системы Турбо Паскаль. Последнее преимуществовытекает из раздельнои компиляциимодулеи (раздельная компиля-ция—ключевая характеристикамодуля). При внесенииизменении вмногомодульнуюпрограмму достаточно перекомпилировать толькоизмененныи модуль и связанные с ним модули.

Работа с модулями в системе Турбо Паскаль устроена следую-щим образом.

Модуль содержит описания констант, типов, переменных, про-цедур. Информацию, описанную в одном модуле, может использо-вать основная программа и другие модули. Описание модуля выгля-дит так:

unit ⟨имя модуля⟩;interface⟨интерфеисная часть⟩

implementation⟨реализация⟩

end.В интерфеиснои части описываются имена (константы, ти-

пы, процедуры и функции), видимые вне модуля. Для процедур и

6

функции приводятся только заголовки. В части реализации дают-ся полные описания для всех процедур и функции, перечисленныхв интерфеиснои части, и описываются локальные для модуля имена,недоступные другим частям программы, но необходимые для рабо-ты модуля.

Модуль необходимо сохранить в фаил с именем⟨имя модуля⟩.pas. Важно: имя модуля, указанное в заголовке,должно совпадать с именем фаила. Модуль можно откомпилиро-вать (с помощью команды Compile); откомпилированныи модульзаписывается в фаил ⟨имя модуля⟩.tpu (Turbo Pascal Unit). Одна-ко, специально компилировать модули нет необходимости, т. к.их компиляция происходит при запуске основнои программы.Заметим, что модуль нельзя выполнить (командои Run).

Если программа использует модуль, в начале текста программы,сразу после заголовка, нужно поместить ключевое слово uses, за ко-торым через запятую перечислить все используеме модули:

program ...;uses ⟨имя модуля1⟩, ⟨имя модуля2⟩, ⟨имя модуля3⟩;⟨тело программы⟩

end.

Модуль может использовать другие модули, в этом случае usesсо списком используемых модулеи указывается после заголовка мо-дуля.

Поскольку модуль нельзя выполнить самостоятельно, для от-ладки процедур модуля нужно написать вспомогательную програм-му, вызывающую эти процедуры.

7

Задание 1. Обработка многочленовЯзык Паскаль. Списки

Постановка задачиТребуется написать программу, которая обрабатывает много-

члены с целыми коэффициентами. Программа должна обладатьудобныминтерфеисом: печатать приглашение для ввода данных, по-яснение выводимого результата. На вход программе подаются мно-гочлен и, в зависимости от варианта задания, число, одночлен илидругои многочлен. Признаком конца ввода каждого данного являет-ся точка.

Вид многочлена описывается следующеи РБНФ:

⟨многочлен⟩ ∶∶= [-]⟨одночлен⟩ ⟨знак⟩⟨одночлен⟩⟨одночлен⟩ ∶∶= ⟨коэффициент⟩x^⟨степень⟩⟨знак⟩ ∶∶= + -⟨коэффициент⟩ ∶∶= ⟨число⟩⟨степень⟩ ∶∶= ⟨число⟩⟨число⟩ ∶∶= ⟨цифра⟩ ⟨цифра⟩⟨цифра⟩ ∶∶= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

В многочлене нет слагаемых с коэффициентами, равными ну-лю; исключением является нулевои многочлен, которыи вводитсякак 0x^0.

Пример вводимого многочлена: -1x^3+25x^1-13x^0.Слагаемые (одночлены) во входнои последовательности могут

быть расположены в определённом порядке, либо никак не упорядо-чены, это определяется вариантом задания.

Во время работы программы многочлен хранится в виде спис-ка одночленов с ненулевыми коэффициентами, упорядоченных поубыванию степенеи (без заглавного звена). Нулевои многочленпредставляется в виде пустого списка.

Если результатом является многочлен, он должен быть напеча-тан в соответствии с РБНФ, пробелов перед числамиипосле них бытьне должно.

8

Варианты задания

1. Порядок одночленов во входном текстеВ вариантах 1–3 все степени одночленов различны, т. е. в много-члене нет слагаемых с одинаковыми степенями переменнои 𝑥.1) Одночлены упорядочены по возрастанию степенеи.2) Одночлены упорядочены по убыванию степенеи.3) Одночлены вводятся в произвольном порядке.4) Одночлены вводятся в произвольном порядке; могут

встретиться одночлены с одинаковыми степенями пере-меннои.

2. Обработка многочлена1) Умножить многочлен 𝑃(𝑥) на число 𝑐.2) Вычислить производную многочлена.3) Вычислить 𝑛-ую производную многочлена.4) Умножить многочлен 𝑃(𝑥) на одночлен 𝑄(𝑥).5) Прибавить к многочлену 𝑃(𝑥) одночлен 𝑄(𝑥).6) Вычислить значение многочлена в точке.7) Вычислить целые корни многочлена.8) Сложить два многочлена 𝑃(𝑥) и 𝑄(𝑥).9) Вычислить произведение двух многочленов 𝑃(𝑥) и 𝑄(𝑥).

Требования к программе

1. После завершения вычислении вся выделенная динамическаяпамять должна быть высвобождена.2. Описать в программе следующие процедуры:

1) ввод многочлена (результат — список, внутреннее пред-ставление многочлена);

2) ввод одночлена (результат— ссылка на звено, содержащееодночлен);

3) ввод числа;

9

4) обработка многочлена в соответствии с вариантом зада-ния;

5) печать списка;6) удаление списка.

3. Входные данные должны вводиться посимвольно; запрещеновызывать процедуру read с целочисленным параметром.4. После ввода многочлена напечатать построенныи список.5. Вычисление значения многочлена в точке реализовать на осно-

ве схемы Горнера.6. Не использовать операторы перехода.

Методические указания

1. Для чтения входнои последовательности удобно использоватьглобальную символьную переменную. Глобальная переменная будетизменяться процедурои ввода одночлена и процедурои ввода числа.После завершения процедуры ввода числа эта переменная будет со-держать символ, следующии за числом. В разных случаях это будетлибо x, либо знак плюс или минус, либо точка.2. Целыми корнями многочлена могут быть только делители сво-

бодного члена (положительные и отрицательные).3. В процессе обработки многочлена в некоторых вариантах могут

появляться слагаемые с коэффициентами, равными нулю. Но в спис-ке, представляющеммногочлен, не должно быть нулевых слагаемых,их следует удалять. Чтобы не затемнять основную логику преобра-зования многочлена, удобно сначала реализовать полную обработ-ку многочлена без анализа равенства нулю коэффициентов, а затемудалить из списка звенья, содержащие нулевые слагаемые. При этомудаление нулевых звеньев из списка описать в виде процедуры.

10

Задание 2. Частотный словарьЯзык Паскаль. Деревья

Постановка задачиНеобходимо написать программу решения следующеи задачи.

В фаиле содержится текст англиискои книги (фрагмент). Требуетсяпо фрагменту книги построить частотныи словарь, затем проанали-зировать текст фрагмента согласно варианту задания и напечататьполученныи результат. Частотныи словарь состоит слов, входящихв текст, с указанием количества вхождении каждого слова. Для кор-ректного построения словаря все слова должны быть нормализова-ны, т. е. стоять в начальноиформе (существительные—в единствен-ном числе, глаголы — в неопределённои форме). Перед обработкоипрограммои текст следует подготовить вручную, поставив слова вначальную форму.

Программа должна

1. прочитать внешнии текстовыи фаил-книгу и построитьсловарь;

2. вывести частотныи словарь на экран или в текстовыи фаил,по желанию пользователя;

3. проанализировать словарь и вывести на экран информацию,требуемую вариантом.

Входом программы является внешнии текстовыи фаил, содер-жащии англииские слова и знаки препинания: пробел, запятая, точ-ка. Все слова записаны строчными буквами.

Если в варианте задания предусмотрена печать последователь-ности слов, нужно напечатать их в словарном (лексикографическом)порядке.

Варианты задания

1. Посчитать количество различных слов в книге.2. Напечатать все слова, начинающиеся на заданную букву, для

каждого слова указать количество его вхождении в книгу.

11

3. Напечатать все слова, оканчивающиеся на заданную букву, длякаждого слова указать количество его вхождении в книгу.

4. Напечатать все слова, наиболее часто встречающиеся в книге.5. Напечатать самые редкие слова — входящие в книгу наимень-

шее количество раз.6. Напечатать слова максимальнои длины.7. Напечатать слова минимальнои длины.8. Для каждои буквы алфавита напечатать, сколько слов начина-

ется с этои буквы.

Требования к программе

1. В программе должны быть описаны следующие процедуры:1) процедура чтения текста и построения словаря, пара-

метр— словарь;2) процедура печати дерева-словаря, параметр— словарь;3) процедура обработки словаря согласно варианту задания

с печатью результата, параметр— словарь.Чтение слова также оформить в виде процедуры.2. Программа должна обработать одну страницу реальнои книги

на англииском языке. Фаил, содержащии эту страницу, нужно под-готовить в текстовом редакторе, преобразовав исходныи текст так,чтобы он соответствовал условию задачи: все буквы строчные, сло-ва нормализованы, удалены все знаки препинания кроме пробелов,запятых и точек.3. Перед завершением программы необходимо удалить дерево,

освободив динамическую память.4. По результатам выполнения задания нужно написать отчет. Со-

держание отчёта:1) Вариант задания.2) Информация о работе программы:

а) исходныи англиискии текст с указанием источника иномера страницы,

12

б) подготовленныи для обработки текст с нормализован-ными словами,

в) дерево-словарь,г) результаты работы программы.

3) Информация о программе:а) название программного фаила,б) название фаила с входным текстом,в) интерфеис основных процедур (название, смысл пара-

метров, деиствие).

Методические указания1. Максимальную длину слова описать в виде константы.2. Дерево удобно печатать вертикально, каждыи узел распола-

гать в отдельнои строке с отступом, соответствующим уровню вло-женности узла. Если один из потомков отсутствует, помечать этознаком «–». Например,

h

d

c

o

m t

s w

⟹

hd

c–

omt

sw

Для управления сдвигами в процедуре печати дерева нужноописать вложенную рекурсивную процедуру с дополнительным па-раметром—ширинои отступа или глубинои вложенности текущегоподдерева.

Особенности работы с внешними файламив системе Турбо Паскаль

Работа с внешнимифаилами в системе ТурбоПаскаль несколькоотличается от описаннои правилами языка Паскаль.

13

Прежде всего, нужно описать в программе переменнуюфаилового типа. Затем необходимо связать с фаиловои пере-меннои внешнии фаил с помощью предописаннои процедурыassign(fv, FileName), здесь fv — имя фаиловои переменнои,FileName—имя внешнего фаила. Имя внешнего фаила указываетсяв апострофах, как строковая константа Паскаля. Это имя строитсяпо правилам записи имён в операционнои системе MS-DOS: онодолжно содержать от одного до восьми символов (буквы латинскогоалфавита и цифры), за которыми следует точка и так называемоерасширение, характеризующее тип фаила. Текстовые фаилы обычноимеют расширение txt.

Пример связывания фаиловои переменнои с внешним фаилом{var book: text;}assign(book, 'Hobbit.txt')После этого работа с фаиловои переменнои осуществляет-

ся согласно правилам Паскаля: можно использовать стандартныепроцедуры (reset(fv), read(fv,…), rewrite(fv), writeln(fv),write(fv,…)).

По окончании работы с фаилом его следует закрыть с помощьюпроцедуры close(fv).

14

Задание 3. Вычисление корней уравненийи определенных интегралов

Язык Паскаль

Постановка задачи1

С заданнои точностью eps вычислить площадь плоскои фигу-ры, ограниченнои тремя кривыми, уравнения которых 𝑦 = 𝑓 (𝑥),𝑦 = 𝑓 (𝑥) и 𝑦 = 𝑓 (𝑥) определяются вариантом задания.

При решении задачи необходимо:1) с некоторои точностью eps вычислить абсциссы точек пересе-

чения кривых, используя предусмотренныи вариантом заданияметодприближенногорешенияуравнения𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Отрезки,где программа будет искать точки пересечения и где применимчисленныи метод, определить вручную.

2) представить площадь заданнои фигуры как алгебраическуюсумму определенных интегралов и вычислить эти интегралыс некоторои точностью eps по квадратурнои формуле, преду-смотреннои вариантом задания.Величины 𝑒𝑝𝑠 и 𝑒𝑝𝑠 подобрать вручную так, чтобы гарантиро-

валось вычисление площади фигуры с точностью 𝑒𝑝𝑠.

Варианты заданияВо всех вариантах eps = 0.001.А. Уравнения кривых 𝑦 = 𝑓(𝑥)

1) 𝑓 = 2 + 1 𝑓 = 𝑥 𝑓 = (1 − 𝑥)/32) 𝑓 = 1.5/(𝑥 + 1) + 3 𝑓 = 2.5𝑥 − 9.5 𝑓 = 5/𝑥 (𝑥 > 0)3) 𝑓 = 𝑒 + 3 𝑓 = 2𝑥 − 2 𝑓 = 1/𝑥4) 𝑓 = 𝑒 + 2 𝑓 = −1/𝑥 𝑓 = −2(𝑥 + 1)/35) 𝑓 = 0.35𝑥 − 0.95𝑥 + 2.7 𝑓 = 3 + 1 𝑓 = 1/(𝑥 + 2)6) 𝑓 = 0.6𝑥 + 3 𝑓 = (𝑥 − 2) − 1 𝑓 = 3/𝑥1Материал с некоторыми изменениями взят из книги Н. П. Трифонов,

В. Н. Пильщиков «Задания практикума на ЭВМ (1 курс)»

15

7) 𝑓 = ln 𝑥 𝑓 = −2𝑥 + 14 𝑓 = 1/(2 − 𝑥) + 68) 𝑓 = 𝑒 + 2 𝑓 = −2𝑥 + 8 𝑓 = −5/𝑥9) 𝑓 = 3/((𝑥 − 1) + 1) 𝑓 = √𝑥 + 0.5 𝑓 = 𝑒10) 𝑓 = 1 + 4/(𝑥 + 1) 𝑓 = 𝑥 𝑓 = 2

Б. Методы приближенного решения уравнений:1) метод деления отрезка пополам;2) метод хорд (секущих);3) метод касательных (Ньютона);4) комбинированныи метод (хорд и касательных).

В. Квадратурные формулы:1) формула прямоугольников;2) формула трапеции;3) формула парабол (Симпсона).

Требования к программе1. Программа должна состоять из двух модулеи: основнои модуль,

вычисляющии площадь криволинеиного треугольника, и модуль,содержащии процедуры, которые реализуют численные методы.2. Метод приближенного решения уравнения и приближенное

вычисление интеграла реализовать в виде процедур:а) root(f,g,a,b) — вещественная функция, вычисляющая

с точностью eps (константа) корень уравнения 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)на отрезке [𝑎, 𝑏]. Если используется метод касательных иликомбинированныи метод, то у функции root должны бытьеще параметры 𝑓1 и 𝑔1—производные функции 𝑓 и 𝑔.

б) integral(f,a,b)—вещественнаяфункция, вычисляющаяс точностью eps (константа) величину определенного ин-теграла от функции 𝑓(𝑥) на отрезке [𝑎, 𝑏].

3. В основнои программе предусмотреть печать абсцисс точекпересечения кривых, количество отрезков разбиения, которое полу-чилось при вычислении интегралов, и печать площади криволинеи-ного треугольника. Печатать только точные цифры результата —используя форматныи вывод напечатать только цифры, обеспечива-емые заданнои точностью вычислении.

16

4. Процедуры root и integral следует предварительно проте-стировать. Для каждои процедуры нужно составить набор тестовыхфункции, достаточныи для проверки всех существенных вариантовработы root и integral; написать отдельные программы, содержа-щие применение root и integral к тестовым функциям.5. Поитогамработы составить отчёт, которыи следует предъявить

при сдаче задания. Содержание отчета:1) Постановка задачи— конкретныи вариант.2) Схематичное изображение графиков функции с обозначен-

ными точками пересечения графиков и выделенным кри-волинеиным треугольником; формула выражения площа-ди треугольника через определённые интегралы.

3) Отрезкидляпоиска точек пересечения графиков, обоснова-ние применимости метода на каждом отрезке.

4) Обоснование выбора eps и eps .5) Набор тестов для функции root.6) Набор тестов для функции integral.7) Результаты выполнения основнои программы.

Методические указания

Численное решение уравнений

1. Вместо исходного уравнения 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) будем решать урав-нение 𝐹(𝑥) = 0, где 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥). Пусть 𝑥 — точное реше-ние уравнения. Требуется наити точку 𝑥 , которая близка к точно-му решению 𝑥 , а именно, |𝑥 − 𝑥 | < eps . Суть численных методоврешения уравнения заключается в построении последовательноститочек, сходящеися к точному решению. На каждом шаге вычисляет-ся очередная точка последовательности— очередное приближение.Процесс завершается, когда расстояние от приближения до точногорешения стало меньше заданнои точности eps .

Для корректного применения предложенных методов прибли-женного решения уравнения 𝐹(𝑥) = 0 необходимо наити отрезок[𝑎, 𝑏], на котором уравнение имеет ровно один корень. Достаточное

17

условие для этого таково: на концах отрезкафункция𝐹(𝑥)имеет раз-ные знаки и на всем отрезке производная функции не меняет знак.Кроме того, для методов хорд и касательных, а также комбинирован-ногометода обязательно требуется, чтобына данном отрезке перваяи вторая производные функции не меняли свои знак (не обращалисьв нуль).2. В методе деления отрезка пополам в качестве первого при-

ближения к корню берётся средняя точка 𝑐 отрезка [𝑎, 𝑏]. Из двух от-резков [𝑎, 𝑐] и [𝑐, 𝑏] выбирается тот, на концах которогофункция𝐹(𝑥)имеет разные знаки. К выбранному отрезку применяется та же про-цедура. Процесс деления отрезков прекращается, когда длина оче-редного отрезка станет меньше требуемои точности eps . В качествеприближённого решения можно взять середину отрезка.

В остальных трёх методах следует различать два случая:• случаи 1— первая и вторая производные функции 𝐹(𝑥)имеют одинаковыи знак (𝐹 (𝑥)𝐹 (𝑥) > 0);

• случаи 2— эти производные имеют разные знаки.В методе хорд концы (𝑎, 𝐹(𝑎)) и (𝑏, 𝐹(𝑏)) кривои 𝑦 = 𝐹(𝑥) со-

единяются прямои линиеи и определяется точка пересечения этоилинии с осью абсцисс:

𝑐 = 𝑎𝐹(𝑏) − 𝑏𝐹(𝑎)𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) .

Точка 𝑐 и есть первое приближение к корню. Дальнеишие деиствиязависят от случая, которыи имеет место.

Случаи 1. Продолжаем вычисления на отрезке [𝑐, 𝑏], т. е. пола-гаем новое значение 𝑎 равным 𝑐, 𝑎 = 𝑐. Опять проводим хорду наотрезке [𝑎 , 𝑏], определяем точку пересечения хорды с осью абсцисс(𝑎 ) и т. д. Таким образом строим возрастающуюпоследовательностьлевых концов отрезков (𝑎 = 𝑎 , 𝑎 , …) Процесс завершается, когдаточное решение отстоит от 𝑎 не дальше, чем на eps . Это означает,что 𝐹(𝑥) меняет знак на отрезке [𝑎, 𝑎 + eps ], т. е. 𝐹(𝑎)𝐹(𝑎 + eps ) < 0.

Случаи 2. Вычисления продолжаются на отрезке [𝑎, 𝑐], полага-ем теперь 𝑏 = 𝑐. Проводим хорду на отрезке [𝑎, 𝑏 ], получаем коор-динату пересечения хорды с осью абсцисс — новое значение 𝑏. Та-ким образомполучаем убывающуюпоследовательность правых кон-цов отрезков (𝑏 = 𝑏 , 𝑏 , …) Процесс завершается, когда на отрезке[𝑏 − eps , 𝑏] функция 𝐹(𝑥) меняет знак (𝐹(𝑏 − eps )𝐹(𝑏) < 0).

18

Вметоде касательных, в зависимости от имеющегоместо слу-чая, выбирается точка 𝑑, проводится касательная к кривои 𝑦 = 𝐹(𝑥)в точке (𝑑, 𝐹(𝑑)). Точка пересечения касательнои с осью абсцисс

𝑑 = 𝑑 − 𝐹(𝑑)𝐹 (𝑑)является первым приближением решения уравнения. Далее процессповторяется: проводится касательная в точке (𝑑 , 𝐹(𝑑 )), вычисливкоординату пересечения касательнои с осью абсцисс, получаем оче-редное приближение к корню 𝑑 и т. д. Вычисления заканчиваются,когда приближённое решение оказывается достаточно близко к точ-ному корню.

Случаи 1. Касательные проводятся в правом конце отрезка,𝑑 = 𝑏. Последовательность точек {𝑑 } является убывающеи, прибли-жение к корню происходит справа; условие окончания вычислениито же, что и в методе хорд: 𝐹(𝑑 − eps )𝐹(𝑑) < 0.

Случаи 2. Касательные проводятся в левом конце отрезка,𝑑 = 𝑎. Последовательность точек {𝑑 } возрастает, приближе-ние к корню происходит слева; условие окончания вычислении:𝐹(𝑑)𝐹(𝑑 + eps ) < 0.

В комбинированном методе одновременно применяются ме-тод хорд и метод касательных к разным концам отрезка. В случае 1точка 𝑎 изменяется по методу хорд, точка 𝑏 — по методу касатель-ных, в случае 2—наоборот. Приближение к корню происходит с двухсторон. Критерии окончания — длина очередного отрезка меньшеeps .3. При использовании метода хорд, метода касательных или ком-

бинированного методафункция root должна самостоятельно распо-знавать, какои из двух случаев, указанных в п. 2., имеет место при те-кущем обращении к неи. Это можно сделать проверкои следующихдвух условии:

– функция возрастает или убывает;– график функции расположен выше хорды, соединяющеи концыграфика, или ниже.Поскольку производные 𝐹 (𝑥) и 𝐹 (𝑥) на отрезке [𝑎, 𝑏] не меня-

ют знак, для проверки первого условия достаточно сравнить 𝐹(𝑎) с 0(при 𝐹(𝑎) < 0 функция возрастает). Для проверки же второго усло-вия надо сравнить в какои-то внутреннеи точке отрезка значения

19

функции и хорды; например, если взять среднюю точку (𝑎 + 𝑏)/2 от-резка, то соотношение

𝐹 𝑎 + 𝑏2 >𝐹(𝑎) + 𝐹(𝑏)

2означает, что графикфункции расположен выше хорды (т. е. функциявогнутая). Если функция возрастает и её график расположен нижехорды или если функция убывает и её график расположен выше хор-ды, то имеет место случаи 1, иначе— случаи 2.4. Для того, чтобы повысить наглядность процедуры root и сде-

лать короче выражения, реализующие численныи метод, можноописать вложенную функцию, например, fg(x), вычисляющую раз-ность 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥).

Численное интегрирование

1. Суть численного интегрирования функции 𝑓(𝑥) на отрезке [𝑎, 𝑏]состоит в следующем. Отрезок [𝑎, 𝑏] делится на 𝑛 одинаковых от-резков. На каждом из отрезков разбиения вычисление интеграла ис-ходнои функции 𝑓(𝑥) заменяется на вычисление интеграла болеепростои функции; приближённое значение интеграла 𝑓(𝑥) на отрез-ке [𝑎, 𝑏] получается как сумма интегралов на всех отрезках разбие-ния. В зависимости от метода, исходная функция 𝑓(𝑥) заменяется наконстанту (метод прямоугольников), прямую (метод трапеции) илипараболу (методСимпсона). Соответствующиеквадратурныеформу-лы для приближенного вычисления интеграла 𝐼 от функции 𝑓(𝑥) наотрезке [𝑎, 𝑏] имеют следующии вид (𝑛—число отрезков разбиения[𝑎, 𝑏]):

Формула прямоугольников:𝐼 ≈ 𝐼 = ℎ(𝑓 + 𝑓 +⋯+ 𝑓 ),

где 𝑓 = 𝑓(𝑎+ (𝑖 +0.5)ℎ), ℎ =Формула трапеций:

𝐼 ≈ 𝐼 = ℎ(0.5𝑓 + 𝑓 + 𝑓 +⋯+ 𝑓 + 0.5𝑓 ),где 𝑓 = 𝑓(𝑎+ 𝑖ℎ), ℎ =

Формула Симпсона (𝑛—чётное):𝐼 ≈ 𝐼 = (𝑓 + 4𝑓 + 2𝑓 + 4𝑓 +⋯+ 4𝑓 + 2𝑓 + 4𝑓 + 𝑓 ),

где 𝑓 = 𝑓(𝑎+ 𝑖ℎ), ℎ =

20

2. Для достижения требуемои точности обычно используется сле-дующии метод: берётся некоторое начальное число разбиении 𝑛 (1,2 или 3) и последовательно вычисляются значения 𝐼 при 𝑛, равном2𝑛 , 4𝑛 , 8𝑛 и т. д. Известно правило Рунге

|𝐼 − 𝐼 | ≈ 𝑝|𝐼 − 𝐼 |

(для формул прямоугольников и трапеции 𝑝 = 1/3, для формулыСимпсона 𝑝 = 1/15). Согласно этому правилу, когда на очередномшаге величина 𝑝|𝐼 − 𝐼 | окажется меньше eps , в качестве прибли-женного значения для 𝐼 можно взять 𝐼 или, что лучше, 𝐼 .3. При реализации функции integral следует учитывать, что в

формулах трапеции и Симпсона в сумму 𝐼 входят значения 𝑓 ,вычисленные ранее для суммы 𝐼 , поэтому их не следует перевычис-лять заново.

Отладка функций root и integral

1. В общем случае процесс отладки программы заключается в те-стировании программы с целью выявления ошибок и в исправлениинаиденных ошибок. Подготавливается набор тестовых данных, та-ких, что правильныи результат известен заранее. Программа приме-няется к тестовым данным, получившиися результат сравнивается справильнымответом. Тестовыеданныедолжныбытьнастолькопро-стые, чтобы несложно было вручную получить ответ. Данных в те-стовом наборе должно быть достаточное количество для проверкивсех существенных вариантов работы тестируемои программы.

В задании требуется отладить не программу, а две процедуры.Для отладки процедуры нужно написать вспомогательную програм-му, которая вызывает процедуру для тестовых данных и печатает ре-зультат. Тестовыми данными являются функция и отрезок (парамет-ры процедуры).

При отладке реализации численного метода нужно проверить,как точность метода влияет на вычисленныи результат. Для этогонужно прогнать отладочную программу с разными значениями точ-ности для одних и тех же тестовых данных и сравнить, на скольковычисленные результаты отличаются от точного решения.2. При отладке root(f,g,a,b) тест состоит из пары функции 𝑓

и 𝑔 и отрезка для нахождения корня. Удобно взять 𝑔 ≡ 0. Отрезок

21

должен быть таким, чтобы разность функции на нём удовлетворялаусловиям применимости численного метода (см. п. 1. разделаЧисленное решение уравнении). Набор тестов должен проверять всесущественные случаи работы процедуры root. Для метода деленияотрезка пополам по краинеи мере один тест должен проверятьслучаи, когда середина отрезка является корнем. Для остальныхметодов набор должен содержать тесты, соответствующие четырёмслучаям — всем возможным комбинациям возрастания/убыванияи выпуклости/вогнутости функции. При отладке методов хорд икасательных процедура должна печатать, с какои стороны идётприближение к корню; для комбинированного метода нужнопечатать, к какому концу отрезка применяется метод хорд,а к какому — метод касательных. Для сравнения результатоввычислении, выполненных с разнои точностью, во время отладкинужно печатать все знаки результата, без форматирования.3. При отладке integral(f,a,b) тест состоит из функции 𝑓 и

отрезка интегрирования. Процедура должна печатать количествоточек разбиения. Вообще говоря, чем лучше точность, тем большеотрезков разбиения получится. Однако, если интегрируемая функ-ция в силу метода заменяется на саму себя, количество отрезковразбиения не зависит от точности (т. к. приближённое значение ин-теграла равно точному). В тестовыи набор, помимо других тестов,должен входить тест, проверяющии эту ситуацию.

Функциональные параметры в среде Турбо Паскаль

Вфункциях rootи integralиспользуются параметры-функции(𝑓, 𝑔 и др.). В языке Турбо Паскаль такие параметры передаютсяследующим образом.

В разделе типов необходимо описать так называемыи функцио-нальныи тип:

type TF = function (x: Real): Real;

(вместо TF и x можно использовать любые другие имена). Все веще-ственные функции от одного вещественного аргумента, передавае-мого по значению, описанные в программе, автоматически включа-ются в функциональныи тип TF. Имя данного типа нужно указать вспецификации формального параметра-функции в заголовках rootи integral:

22

function root(f,g: TF; a,b: Real): Real;

При обращении к функциям root и integral указываются именафактических параметров-функции, например:

root(f1, f2, -0.1, 3.5)

Замечание: стандартные функции нельзя передавать в качестве фак-тических параметров.

Перед описанием функции, передаваемых как фактическиепараметры (f1, f2 и др.), необходимо разместить директиву транс-лятору {$F+}, например:

{$F+}function f1(x:Real):Real; begin f1:=ln(x) end;function f2(x:Real):Real; begin f2:=2*x+14 end;

Директива {$F+} делает вызовы описанных вслед за неи проце-дур и функции дальними (по умолчанию деиствует директива {$F-}и все описываемые процедуры и функции объявляются ближними).Описание функционального типа также следует производить по-сле директивы {$F+}, в противном случае дальние функции нельзябудет передавать в качестве аргументов такого типа.

23

Задание 4. Методы сортировкиЯзык Паскаль

Постановка задачиТребуется ввести последовательность данных в массив и упо-

рядочить (отсортировать) массив одним из методов сортировки.Метод сортировки и тип данных определяется вариантом задания.В процессе сортировки нужно посчитать количество выполненныхоперации сравнения и перемещения элементов массива. Необходи-мо предусмотреть возможность демонстрации процесса упорядоче-ния, т. е. возможность отображения состояния последовательностина разных этапах сортировки.

Более точно: программа должна

1. ввестиа) длину упорядочиваемои последовательности (⩽ 100);б) последовательность данных для сортировки;в) режим работы программы (обычныи или демонстра-

ционныи);2. упорядочить исходную последовательность;3. напечатать полученную последовательность, количество вы-

полненных сравнении и перемещении элементов.

В демонстрационном режиме программа должна печататьпоследовательность после каждого этапа (шага) сортировки. Эле-менты последовательности следует печатать в том же формате, вкотором они вводились.

Смысл понятии «перемещение элементов» и «шаг сортировки»зависит от метода сортировки.

24

Варианты задания1. Методы сортировки

№ метод сортировки перемещение шаг сортировки

1 простые вставки 𝑑 ∶= 𝑑 установка на местоочередного элемента

2 бинарные вставки 𝑑 ∶= 𝑑 установка на местоочередного элемента

3 пузырек 𝑑 ↔ 𝑑 один просмотр массивас перестановками

4 челночная 𝑑 ↔ 𝑑перестановка на оконча-тельное место элемента,нарушающего порядок

5 простои выбор 𝑑 ↔ 𝑑 установка на местоочередного элемента

6 Шеллав зависимостиот метода сор-тировки под-массива

упорядочен подмассив𝑥 , 𝑥 , 𝑥 , …

7 быстрая 𝑑 ↔ 𝑑перестановка элементовподмассива относитель-но элемента

8 простое слияние 𝑑 ∶= 𝑑 описан в методе

9 естественное слия-ние 𝑑 ∶= 𝑑 описан в методе

2. Виды упорядочиваемых данных

1. Информация о студентах: фамилия, имя, номер группы, датарождения в формате dd.mm.yyyy (день.месяц.год). Упорядочитьсписок студентов по убыванию возраста (по возрастанию датрождения).

2. Ассортимент шоколада: марка, производитель, цена в форма-те Р руб. К коп.; цена может выражаться только в рублях илитолько в копеиках, тогда другое поле отсутствует (например,68 руб. 50 коп. или 80 руб.) Упорядочить шоколад по возрас-танию цены.

3. Ассортимент шоколада: марка, производитель, цена в форматеnnn.nn S, где n—цифра, S— это знак $, E или P, обозначающии

25

валюту (доллар, евро или рубль); пример цены: 105.50 Р. Упоря-дочить шоколад по возрастанию цены.

4. Участники выставки кошек: имя животного, порода, пол, вес вформате К кг Г гр (например, 5 кг 600 гр). Упорядочить списокучастников по возрастанию веса.

5. Результаты выставки кошек: имя животного, порода, пять оце-нок, выставленныхживотномучленамижюри.Каждаяоценка—число от 0 до 5. Упорядочить результаты по возрастанию суммыоценок.

6. Спортсмены сборнои команды по баскетболу: фамилия, имя,рост вформатеМ м С см (например,2 м 3 см). Упорядочить списокспортсменов по увеличению роста игроков.

7. Список баскетболистов NBA: фамилия, имя, рост в футах и дюи-мах в формате Ф f Д " (например, 6 f 10 "). Упорядочить списокпо увеличению роста игроков.

8. Информация о погоде в разных городах: город, среднегодоваятемпература в формате ±nn.n S, где n — цифра, S — символC или F, система измерения температуры (по Цельсию или поФаренгеиту), знак перед числом может отсутствовать; пример:+14.2 C или 71.7 F. Расположить города в списке в порядке воз-растания среднегодовои температуры.

9. Информация об автомобилях: марка автомобиля, год выпуска,объём топливного бака в литрах или в галлонах в форматеЛ л (литры) или Г г (галлоны) (например, 60 л или 16 г). Упо-рядочить список автомобилеи по возрастанию объёмов топлив-ных баков.

10. Информация о высоте городов над уровнем моря: город, высотанад уровнем моря в метрах или в футах в формате М м (метры)или Ф ф (футы) (например, 1547 м или 5074 ф). Упорядочить спи-сок городов по возрастанию высот над уровнем моря.

11. Информация о географическом положении городов: город,широта и долгота в формате nn с.ш. nnn в.д. (например,56 с.ш. 38 в.д.), Широта может быть северная (с.ш.) или юж-ная (ю.ш.), долгота — восточная (в.д.) или западная (з.ш.).Расположить города в списке в порядке с севера на юг.

26

Требования к программе

1. Метод сортировки реализовать в виде процедуры; последова-тельность и её реальная длина— параметры процедуры.2. Ввод и печать последовательности оформить в виде соответ-

ствующих процедур.3. Работу с элементами последовательности: чтение элемента,

печать элемента, сравнение двух элементов, перемещение элемента(обмен)— оформить в виде процедур.4. В программе должны быть описаны переменные — количество

сравнении и количество перемещении. Процедуры сравнения иперемещения при каждом обращении к ним должны увеличиватьзначения этих глобальных счётчиков сравнении и перемещении.5. Реализациюметода сортировки и процедуры обработки данных

отлаживать отдельно.Метод сортировки отлаживать на массиве целых чисел. Для

этого разделить программу на модули.1) Основной модуль. Содержит обрабатываемыи массив, про-

цедуры сортировки, ввода и печати последовательности.Содержит программу, которая реализует сценарии, данныив постановке задачи.

2) Модуль данных. Информация об элементах последова-тельности, соответствующих варианту задания. Модульвключает в себя описание типа элементов, а также все про-цедуры обработки элементов — чтение, печать, сравнениедвух элементов, перемещение элементов (обмен).

3) Отладочный модуль. Содержит информацию для отладкиметода сортировки: описание типа элементов и процедурработы для элементов — целых чисел. Имена типов ипроцедур этого модуля должны совпадать с соответствую-щими именами типов и процедур модуля данных.

В процессе отладки метода сортировки к основному модулю нужноподключить отладочныи модуль. В дальнеишем, когда процедурасортировки будет отлажена, к основному модулю следует подклю-чить модуль данных.

Для отладки процедур работы с данными потребуется написатьпрограмму, которая вызывает процедуры модуля данных.

27

6. Операторы перехода любого вида, включая halt, exit, break,не использовать.7. По итогам работы составить отчёт, которыи следует предъ-

явить при сдаче задания. Содержание отчета:1) словесное описание метода сортировки;2) наглядныи пример пошагового применения метода сорти-

ровки к некоторому числовому массиву;3) примеры худшего и лучшего массивов (т. е. массивов, на

которых достигается максимальное и минимальное коли-чество операции) с подсчётом количества операции дляэтих массивов.

Краткое описание методов сортировки1

Упорядочивается по возрастанию массив 𝑋 ,… , 𝑋 .

Сортировки вставками

Общая идея методов сортировки вставками: в ранее упорядо-ченную подпоследовательность 𝑋 , 𝑋 ,… , 𝑋 вставляется элемент𝑋 так, чтобыупорядоченнымиоказались𝑘 первых элементовисход-нои последовательности. Для этого

1. в подмассиве 𝑋 , 𝑋 ,… , 𝑋 отыскивается место для элемента𝑋 , т. е. находится номер 𝑖 такои, что 𝑋 < 𝑋 для 𝑗 ∈ [1, 𝑖] и𝑋 < 𝑋 для 𝑗 ∈ [𝑖 + 1, 𝑘 − 1];

2. элементы 𝑋 ,… , 𝑋 сдвигаются на одну позицию вправо,элемент 𝑋 записывается на место элемента 𝑋 .

Процесс заканчивается, когда поставлен на своё место элемент 𝑋 .В зависимости от способа поиска места для элемента 𝑋 разли-

чаются следующие методы.

а) Метод простых вставок. Величина𝑋 по очереди сравнивает-ся с элементами 𝑋 , 𝑋 , 𝑋 и т. д. до тех пор, пока не будетнаидено место для элемента 𝑋 .

1 С небольшими изменениями здесь дан материал книги Н. П. Трифонов,В. Н. Пильщиков «Задания практикума на ЭВМ (1 курс)»

28

б) Метод бинарных вставок. Величина 𝑋 сравнивается со сред-ним элементом подпоследовательности 𝑋 , 𝑋 ,… , 𝑋 . Если 𝑋меньше этого элемента, то место для него ищется тем же спосо-бом в левои половине подпоследовательности, а если больше—в правои половине.

Метод пузырька

По очереди просматриваются пары соседних элементов 𝑋 и 𝑋 ,𝑋 и 𝑋 , 𝑋 и 𝑋 и т. д.; в неупорядоченных парах (𝑋 > 𝑋 ) пере-ставляются элементы. По окончании просмотра и перестановокмаксимальныи элемент станет последним элементом последова-тельности. Далее аналогичная процедура применяется ко всемэлементам, кроме последнего. Если при очередном просмотре по-следовательности не было произведено ни однои перестановкиэлементов, то последовательность уже упорядочена и следуетпрекратить сортировку.

Челночная сортировка

В этои сортировке элементы массива просматриваются попере-менно то слева направо, то справа налево, как движется челнок вткацком производстве. Сначала массив просматривается слева на-право, сравниваются последовательные пары𝑋 и𝑋 ,𝑋 и𝑋 ,𝑋 и𝑋и т. д. до обнаружения неупорядоченнои пары: 𝑋 > 𝑋 . Далее на-чинается движение справа налево: «неупорядоченныи» элемент 𝑋сравнивается и меняется местами с предыдущими элементами, по-ка не окажется на своём месте. Таким образом получается упорядо-ченныи подмассив𝑋 , 𝑋 ,… , 𝑋 . Затем продолжается движение слеванаправо: начиная с (𝑘+1)-ои позиции возобновляется просмотрмас-сива 𝑋 и поиск неупорядоченнои пары. Если неупорядоченная паране наидётся, процесс заканчивается.

Сортировка посредством простого выбора

В массиве 𝑋 ,… , 𝑋 отыскивается минимальныи элемент. Наи-денныи элемент меняется местами с первым элементом массива.Затем так же обрабатывается подмассив 𝑋 ,… , 𝑋 . Когда обработанподмассив 𝑋 , 𝑋 , сортировка оканчивается.

29

МетодШелла

Пусть 𝑘 — целое от 1 до 𝑛/2. Независимо друг от друга упо-рядочиваются (одним из описанных выше методов) 𝑘 подпоследо-вательностеи из элементов, отстоящих друг от друга на 𝑘 позиции:𝑋 , 𝑋 , 𝑋 , … (𝑖 = 1, 2, … , 𝑘).

Затем 𝑘 уменьшается, и процесс повторяется заново. Последниишаг должен выполняться при 𝑘 = 1.

Значение 𝑘 можно менять по разным законам. В отчёте следуетобъяснить выбранныи способ изменения 𝑘. Метод сортировки под-массивов следует описать в виде вложеннои процедуры, парамет-ры— индекс начала подмассива и шаг 𝑘.

Быстрая сортировка (метод Хоара)

Суть метода заключается в следующем. Выбирается 𝑞— произ-вольныи элемент массива. Элементы массива 𝑋 ,… , 𝑋 переставля-ются таким образом, чтобы в начале массива оказались элементы,меньшие или равные 𝑞, а в конце — большие или равные 𝑞. Такимобразом массив делится на две части.

Требуемую перестановку элементов можно выполнить следую-щим образом. Последовательность просматривается слева направо,пока не встретится элемент, большии или равныи 𝑞; затем массивпросматривается справа налево до элемента, меньшего или равно-го 𝑞. Наиденные элементыменяются местами, после чего просмотрыс обоих концов последовательности возобновляются со следующихэлементов.

После разбиения массива на две части описанныи выше процессрекурсивно применяется к полученным подмассивам.

Когда длина обрабатываемого подмассива станет меньше трёх,его надо упорядочить более простым методом.

Сортировка слиянием

Основная идея такои сортировки — разделить последователь-ность на уже упорядоченные подпоследовательности (назовем их«отрезками») и затем объединять эти отрезки во всё более длинныеупорядоченные отрезки, пока не получится единая упорядоченнаяпоследовательность. Отметим, что при этом необходима дополни-тельная память (массив 𝑌[1..𝑛]).

30

Различаются следующие варианты сортировки слиянием.

а) Простое слияние. Считается, что вначале отрезки состоят толь-ко из одного элемента, они сливаются в отрезки из двух элемен-тов (из 𝑋 и 𝑋 , из 𝑋 и 𝑋 , …), которые переносятся в массив 𝑌.На втором этапе соседние двухэлементные отрезки (𝑌 , 𝑌и 𝑌 , 𝑌 ; 𝑌 , 𝑌 и 𝑌 , 𝑌 ; …) объединяются в отрезки из 4 элемен-тов, которые записываются вмассив𝑋. На третьем этапе строят-ся отрезки из 8 элементов, которые заносятся в массив 𝑌, и т. д.

б) Естественное слияние. Массив 𝑋 просматривается с начала,определяется наиболее длинныи упорядоченныи по неубыва-нию отрезок; затем массив 𝑋 просматривается с конца и выби-рается наиболее длинныи упорядоченныи (также по неубыва-нию), отрезок в конце массива; полученные отрезки сливаютсяв один отрезок, которыи записывается в начало массива 𝑌. За-тем сливаются следующиемаксимально длинные отрезки с обо-их концов, и полученныи отрезок записывается (справа налево)в конец массива 𝑌. Третьи по порядку отрезки после слияния за-писываются снова в начало 𝑌 (вслед за первым объединеннымотрезком), четвертые — в конец 𝑌 (перед вторым объединен-ным отрезком) и т. д. Первыи этап сортировки оканчивается, ко-гда все элементы из 𝑋 будут перенесены в массив 𝑌. На второмэтапе применяется та же процедура, только массивы 𝑋 и 𝑌 ме-няются ролями. И так далее, пока весь массив не образует одинупорядоченныи отрезок.

Замечание: в обоих вариантах следует учитывать, что в концеконцов упорядоченные элементы должны оказаться в массиве 𝑋.

31

Задание 5. Арифметические вычисленияЯзык ассемблер

Постановка задачиТребуется написать на ассемблере программу для решения сле-

дующеи задачи. Дано число𝑁, затем последовательность из𝑁 чисел.Ввести последовательность и вычислить значение выражения, опре-деляемого вариантом задания. Считать, что входные данные кор-ректны, т. е. вводится ровно 𝑁 чисел. Программа должна напечататьприглашение для ввода длины последовательности и приглашениедля ввода самои последовательности. Если вычислить значение вы-ражения невозможно (знаменатель равен нулю), нужно напечататьсообщение об этом.

Варианты задания1. Вычислить частное от деления первого числа последовательно-

сти на минимальныи элемент, числа без знака.2. Вычислить частное от деления первого числа последовательно-

сти на минимальныи элемент, числа со знаком.3. Вычислить остаток от деления первого числа последовательно-

сти на минимальныи элемент, числа без знака.4. Вычислить остаток от деления первого числа последовательно-

сти на минимальныи элемент, числа со знаком.5. Вычислить частное от деления последнего числа последова-

тельности на минимальныи элемент, числа без знака.6. Вычислить частное от деления последнего числа последова-

тельности на минимальныи элемент, числа со знаком.7. Вычислить остаток от деления последнего числа последова-

тельности на минимальныи элемент, числа без знака.8. Вычислить остаток от деления последнего числа последова-

тельности на минимальныи элемент, числа со знаком.9. Вычислить частное от деления максимального элемента на пер-

вое число последовательности, числа без знака.

32

10. Вычислить частное от деления максимального элемента на пер-вое число последовательности, числа со знаком.

11. Вычислить остаток от деления максимального элемента на пер-вое число последовательности, числа без знака.

12. Вычислить остаток от деления максимального элемента на пер-вое число последовательности, числа со знаком.

13. Вычислить частное от деления максимального элемента на по-следнее число последовательности, числа без знака.

14. Вычислить частное от деления максимального элемента на по-следнее число последовательности, числа со знаком.

15. Вычислить остаток от деления максимального элемента на по-следнее число последовательности, числа без знака.

16. Вычислить остаток от деления максимального элемента на по-следнее число последовательности, числа со знаком.

Методические указания

1. Для составления программы нужно использовать шаблон —схему программы из раздела «Материалов по ассембл�