Μέρος Β Ανάλυση Κεφάλαιο 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 1

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Κεφάλαιο 1: Όριο – Συνέχεια Συνάρτησης

1.2 Συναρτήσεις

Α’ Ομάδας

1. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων;

i) 23

2)(

2

xx

xxf , ii) xxxf 21)( 3

iii) x

xxf

21)(

, iv) )1ln()( xexf

Απάντηση:

i) H συνάρτηση 23

2)(

2

xx

xxf ορίζεται για 0232 xx .

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου:

189214)3( 2

Επομένως οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι:

22

4

2

13

12

1)3(1

x

12

2

2

13

12

1)3(2

x

Η συνάρτηση ορίζεται επομένως για 120232 xxxx

Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης θα είναι το σύνολο: 2,1 RA .

ii) H συνάρτηση xxxf 21)( 3 ορίζεται για 101 xx και για

202 xx .

Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης θα είναι το σύνολο: ]2,1[A .

iii) H συνάρτηση x

xxf

21)(

ορίζεται για 0x και για

110)1)(1(0101 22 xxxxx .

Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης θα είναι το σύνολο: ]1,0()0,1[ A .

http://sciencephysics4all.weebly.com/



iv) H συνάρτηση )1ln()( xexf ορίζεται για:

0101 0 xeeee xxx

Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης θα είναι το σύνολο: )0,(A .

2. Για ποιές τιμές του x ϵ R η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται

πάνω από τον άξονα xʹx, όταν:

i) 34)( 2 xxxf , ii) x

xxf

1

1)( , iii) 1)( xexf ,

Απάντηση:

i) H γραφική παράσταση της συνάρτησης 34)( 2 xxxf βρίσκεται πάνω από

τον άξονα των x για εκείνα τα Rx για τα οποία ισχύει:

0340)( 2 xxxf (1)

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου:

41216314)4( 2


32

6

2

24

12

4)4(1

x

12

2

2

24

12

4)4(2

x

Επομένως η ανίσωση 1) γράφεται:

310)1)(3(0340)( 2 xήxxxxxxf

Και υπό μορφή συνόλου: ),3()1,( A .

ii) H γραφική παράσταση της συνάρτησης x

xxf

1

1)( βρίσκεται πάνω από τον

άξονα των x για εκείνα τα Rx για τα οποία ισχύει:

110)1)(1(01

10)(

xxx

x

xxf




Και υπό μορφή συνόλου: )1,1(A .

iii) H γραφική παράσταση της συνάρτησης 1)( xexf βρίσκεται πάνω από τον

άξονα των x για εκείνα τα Rx για τα οποία ισχύει:

01010)( 0 xeeeexf xxx

Και υπό μορφή συνόλου: ),0( A .

3. Για ποιές τιμές του x ϵ R η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται

πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, όταν:

i) 12)( 3 xxxf και 1)( xxg

ii) 2)( 3 xxxf και 2)( 2 xxxg

Απάντηση:

i) H γραφική παράσταση της συνάρτησης 12)( 3 xxxf βρίσκεται πάνω από τη

γραφική παράσταση της 1)( xxg για εκείνα τα Rx για τα οποία ισχύει:

00)1(0112)()( 233 xxxxxxxxxgxf


Σημείωση: Ισχύει ότι 012 x .

ii) H γραφική παράσταση της συνάρτησης 2)( 3 xxxf βρίσκεται πάνω από τη

γραφική παράσταση της 2)( 2 xxxg για εκείνα τα Rx για τα οποία ισχύει:

10)1(022)()( 22323 xxxxxxxxxxgxf


Σημείωση: Ισχύει ότι 02 x .




4. Οι ανθρωπολόγοι εκτιμούν οτι το ύψος του ανθρώπου δίνεται από τις

συναρτήσεις:

A(x) = 2,89x + 70,64 (για τους άνδρες) και

Γ(x) = 2,75x + 71,48 (για τις γυναίκες)

(για τους άνδρες) και (για τις γυναίκες)

όπου x σε εκατοστά, το μήκος του βραχίονα. Σε μία ανασκαφή βρέθηκε ένα οστό

από βραχίονα μήκους 0,45 m.

α) Αν προέρχεται από άνδρα ποιο ήταν το ύψος του;

β) Aν προέρχεται από γυναίκα ποιο ήταν το ύψος της;

Απάντηση:

α) Το μήκος του βραχίονα είναι 0,45m δηλαδή 45 εκατοστά. Επομένως για x=45cm

από τον τύπο A(x) = 2,89x + 70,64 (για τους άνδρες) θα έχουμε:

A(x) = 2,89x + 70,64=2,89ˑ45+70,64=200,69cm

β) Ομοίως για x=45cm από τον τύπο Γ(x) = 2,75x + 71,48 (για τις γυναίκες) θα

έχουμε:

Γ(x) = 2,75x + 71,48=2,75ˑ45+71,48=195,23cm

5. Σύρμα μήκους ℓ = 20cm κόβεται σε δύο κομμάτια με μήκη x cm και (20 − x) cm.

Με το πρώτο κομμάτι σχηματίζουμε τετράγωνο και με το δεύτερο ισόπλευρο

τρίγωνο. Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ως συνάρτηση

του x.

Απάντηση:

Το τετράγωνο έχει περίμετρο x. Έστω ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι y cm. Τότε

από τον τύπο για την περίμετρο Π θα έχουμε:

444

xyyxy

Επομένως η πλευρά του τετραγώνου είναι ίση με 4

x.




Το εμβαδό του τετραγώνου θα είναι:

164

22x

Ex

E

Το τρίγωνο έχει περίμετρο 20- x. Έστω ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι z cm.

Τότε από τον τύπο για την περίμετρο Π θα έχουμε:

3

203203

xzzxz

Για να υπολογίζουμε το εμβαδό του ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ με πλευρά 3

20 x

θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το ύψος του ΑΔ. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα

στο τρίγωνο ΑΓΔ θα έχουμε:

3

20

2

3

3

20

4

3

3

20

4

3

3

20

4

1

3

20

3

20

2

1

3

20

3

20

2

1

3

20

22

22222

22

2222

xxx

xxxx

xx

Επομένως το εμβαδό του τριγώνου είναι:

2

3

20

4

3

2

3

20

2

3

3

20

2

))((

x

xx

E

Επομένως το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ως συνάρτηση του x θα

είναι:

22

3

20

4

3

16

xxEE

A

B

A

Γ

A

Δ




6. Nα παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση:

i) 1)( x

xxf , ii) xxxf )(

iii) 1,

1,

1

3)(

x

x

x

xxf , iv) xxf ln)(

Και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο των τιμών της f σε

καθεμιά περίπτωση.

Απάντηση:

i) Η συνάρτηση 1)( x

xxf ορίζεται για 0x . H συνάρτηση γράφεται:

0,

0,

2

0

0,

0,

1

11)(

x

x

x

x

x

xx

x

x

xxf

Επομένως η γραφική παράσταση αποτελείται από τις ευθείες y=0 και y=0 όπως

φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Το σύνολο τιμών της 1)( x

xxf είναι το σύνολο: 2,0)( Af .

ii) H συνάρτηση γράφεται:

0,

0,)(

2

2

x

x

x

xxxxf

Επομένως η γραφική παράσταση αποτελείται από τις παραβολές y=x2 και y=-x2

όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Το σύνολο τιμών της xxxf )( είναι το σύνολο: RAf )( .




iii) Η γραφική παράσταση της 1,

1,

1

3)(

x

x

x

xxf αποτελείται από τις ευθείες

y=-x+3 και y=x+1 όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Το σύνολο τιμών της 1,

1,

1

3)(

x

x

x

xxf είναι το σύνολο: ),2[)( Af .

iv) Η συνάρτηση xxf ln)( ορίζεται για 0x . H συνάρτηση γράφεται:

1,

10,

ln

lnln)(

x

x

x

xxxf

Η γραφική παράσταση της 1,

10,

ln

lnln)(

x

x

x

xxxf φαίνεται στο

παρακάτω σχήμα:

Το σύνολο τιμών της xxf ln)( είναι το σύνολο: ),0[)( Af .




7. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f = g. Στις

περιπτώσεις που είναι f ≠ g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο

του R στο οποίο ισχύει f(x) = g(x).

i) 2)( xxf και 2)( xxg

ii) xx

xxf

2

2 1)( και

xxg

11)(

iii) 1

1)(

x

xxf και 1)( xxg

Απάντηση:

i) H συνάρτηση 2)( xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA ενώ η συνάρτηση

2)( xxg έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),0[ B . Εφόσον έχουν διαφορετικά

πεδία ορισμού οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες.

Θα έχουμε για 0x :

)()(2

2 xgxxxxf

Επομένως οι συναρτήσεις είναι ίσες στο διάστημα ),0[ .

ii) H συνάρτηση xx

xxf

2

2 1)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA και επίσης η

συνάρτηση x

xg1

1)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RB . Θα έχουμε:




)(1

)1(

)1)(1(11)(

2

2

2

2

xgx

x

xx

xx

xx

x

xx

xxf

Επομένως οι συναρτήσεις είναι ίσες .

iii) H συνάρτηση 1

1)(

x

xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),1()1,0[ A

ενώ η συνάρτηση 1)( xxg έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),0[ B . Εφόσον

έχουν διαφορετικά πεδία ορισμού οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες.

Θα έχουμε για ),1()1,0[ x :

)(1

1

)1)(1(

1

)1)(1(

)1)(1(

)1)(1(

1

1)(

2xgx

x

xx

x

xx

xx

xx

x

xxf

Επομένως οι συναρτήσεις είναι ίσες στο διάστημα ),1()1,0[ .

8. Δίνονται οι συναρτήσεις x

xf1

1)( και x

xxg

1)(

Να βρείτε τις συναρτήσεις gf , gf , gf και g

f .

Απάντηση:

H συνάρτηση x

xf1

1)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 0 RA ενώ η

συνάρτηση x

xxg

1)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 1 RB .

Επομένως για 1,0Rx θα έχουμε:

)1(

1

)1(

1

)1(

1)1(

1

11)()())((

222

xxxx

xxxx

xx

xxxx

x

x

xxgxfxgf

)1(

21

)1(

1

)1(

1)1(

1

11)()())((

2222

xx

x

xx

xxxx

xx

xxxx

x

x

xxgxfxgf




x

x

x

x

x

x

x

x

xxgxfxgf

1

1

1

1

1

11)()())((

2

2

2

1)1)(1(

1

1

1

11

)(

)())((

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

xg

xfx

g

f

9. Ομοίως για τις συναρτήσεις x

xxf1

)( και x

xxg1

)( .

Απάντηση:

H συνάρτηση x

xxf1

)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),0( A ενώ

επίσης η συνάρτηση x

xxg1

)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),0( B .

Επομένως για ),0( x θα έχουμε:

xx

xx

xxgxfxgf 211

)()())((

xxx

xx

xx

xxxgxfxgf

211)

1(

1)()())((

x

x

xx

xx

xx

xxxgxfxgf

111)

1)(

1()()())((

222

1

1

1

1

1

1

)(

)())((

2

2

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xg

xfx

g

f




10. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση gof , αν

i) 2)( xxf και xxg )(

ii) xxf )( και 21)( xxg

iii) 4

)(

xf και xxg )(

Απάντηση:

i) H συνάρτηση 2)( xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA ενώ η συνάρτηση

xxg )( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),0[ B .

Το πεδίο ορισμού της gof αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού

της f για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο:

RxxRxxfRx ),0[,0[)( 2

Επομένως η gof ορίζεται για κάθε Rx και έχει τύπο:

xxxgxfgxgof 22 )())(())((

ii) H συνάρτηση xxf )( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA ενώ η συνάρτηση

21)( xxg έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ]1,1[B .



RxxRxxfRx ]1,1[]1,1[)(


xxxxgxfgxgof 221)())(())((

iii) H συνάρτηση 4

)(

xf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA ενώ η συνάρτηση

xxg )( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο

ZkkRB ,2

.






RxkRxkxfRx

242

)(


14

)4

())(())((

gxfgxgof

11. Δίνονται οι συναρτήσεις 1)( 2 xxf και 2)( xxg . Να προσδιορίσετε

τις συναρτήσεις gof και fog.

Απάντηση:

H συνάρτηση 1)( 2 xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA ενώ η συνάρτηση

2)( xxg έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),2[ B .



212)( 2 xRxxfRx

Επομένως πρέπει να ισχύει:

110)1)(1(0121 22 xήxxxxx

Επομένως η gof ορίζεται για κάθε ),1[]1,( x και έχει τύπο:

12)1()1())(())(( 222 xxxgxfgxgof

Το πεδίο ορισμού της fog αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού

της f για τα οποία το g(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της f. Δηλαδή είναι το σύνολο:

222)(),2[ xRxxRxgx

Επομένως η fog ορίζεται για κάθε ),2[ x και έχει τύπο:

1121)2()2())(())(( 2 xxxxfxgfxfog




12. Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων

συναρτήσεων, αν

i) )1()( 2 xxf , ii) 132)( 2 xxf

iii) )1ln()( 2 xexf , iv) )3()( 2 xxf

Απάντηση:

i) H συνάρτηση )1()( 2 xxf είναι σύνθεση της συνάρτησης 1)( 2 xxh με

την xxg )( .

ii) H συνάρτηση 132)( 2 xxf είναι σύνθεση της συνάρτησης xxh 3)( με την

xxg )( και την 12)( 2 xxp .

iii) H συνάρτηση )1ln()( 2 xexf είναι σύνθεση της συνάρτησης xxh 2)( με την

1)( xexg και την xxp ln)( .

iv) H συνάρτηση )3()( 2 xxf είναι σύνθεση της συνάρτησης xxh 3)( με την

xxg )( και την 2)( xxp .

B’ Ομάδας

1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση είναι :

Απάντηση:

i) Η συνάρτηση f αποτελείται από δύο ευθείες.

Έστω ότι η πρώτη ευθεία η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(1,0) και Β(0,1) είναι η

11 xy . Τα σημεία αυτά θα επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Θα έχουμε

επομένως το σύστημα:




1

1

101

10

1

1

1

11

11

11

Επομένως η ευθεία είναι η 1 xy .

Έστω ότι η δεύτερη ευθεία η οποία διέρχεται από τα σημεία Γ(2,0) και Δ(1,1) είναι η

22 xy . Τα σημεία αυτά θα επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Θα

έχουμε επομένως το σύστημα:

1

2

1

)1(2

1

2

1

2

21

2

1

2

11

20

2

2

2

2

2

22

2

22

22

22

22

22

22

22


Επομένως η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τις ευθείες:

21,

10,

2

1)(

x

x

xy

xyxf

ii) Η συνάρτηση f αποτελείται από δύο ευθείες.

Έστω ότι η πρώτη ευθεία η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(0,0) και Β(1,2) είναι η

11 xy . Τα σημεία αυτά θα επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Θα έχουμε

επομένως το σύστημα:

2

0

2

0

12

00

1

1

11

1

11

11

Επομένως η ευθεία είναι η xy 2 .

Έστω ότι η δεύτερη ευθεία η οποία διέρχεται από τα σημεία Γ(1,2) και Δ(2,0) είναι η

22 xy . Τα σημεία αυτά θα επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Θα

έχουμε επομένως το σύστημα:

4

2

)2(2

2

2

2

2

22

2

2

20

12

2

2

2

2

22

2

22

22

22

22

22

22






21,

10,

42

2)(

x

x

xy

xyxf

iii) Η συνάρτηση f αποτελείται από τέσσερις ευθείες.

Η πρώτη ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα x’x και είναι y=1.

H δεύτερη ευθεία είναι πάνω στον άξονα x’x και είναι η y=0.

Η τρίτη ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα x’x και είναι y=1 δηλαδή είναι ίδια με

την πρώτη.

H τέταρτη ευθεία είναι πάνω στον άξονα x’x και είναι η y=0 δηλαδή είναι ίδια με τη

δεύτερη.


)4,3[)2,1[,

)3,2[)1,0[,

0

1)(

x

x

y

yxf

2. Ένα κουτί κυλινδρικού σχήματος έχει ακτίνα βάσης x cm και όγκο 628 cm3. Το

υλικό των βάσεων κοστίζει 4 δρχ. ανά cm2, ενώ το υλικό της κυλινδρικής

επιφάνειας 1,25 δρχ. ανά cm2. Να εκφράσετε το συνολικό κόστος ως συνάρτηση

του x. Πόσο κοστίζει ένα κουτί με ακτίνα βάσης 5 cm, και ύψος 8 cm;

Απάντηση:

Το εμβαδό της βάσης ενός κυλίνδρου είναι ίσο με 2x . Επομένως το εμβαδό των

δύο βάσεων θα είναι ίσο με 22 xE .

Το εμβαδό της παράπλευρης επιφάνειας είναι ίσο με xhE 2 (1), όπου h είναι

το ύψος του κυλίνδρου.

Ο όγκος του κυλίνδρου δίνεται στην εκφώνηση ότι είναι ίσος με 628 cm3. Επομένως

θα έχουμε:

)2(200

14,3

628628628628

222

2

xh

xh

xhhxV




Αντικαθιστούμε στη συνέχεια το ύψος από τη σχέση (2) στη σχέση (1) και έχουμε:

xE

xxxhE

40020022

2

)2(

Από την εκφώνηση γνωρίζουμε επίσης ότι το υλικό των βάσεων κοστίζει 4 δρχ. ανά

cm2, ενώ το υλικό της κυλινδρικής επιφάνειας 1,25 δρχ. ανά cm2. Επομένως η

συνάρτηση για το συνολικό κόστος ως συνάρτηση του x θα είναι:

xx

xxEExK

500825,1

4004225,14)( 22

Για ακτίνα βάσης x=5 cm το συνολικό κόστος θα είναι:

94214,33003001002005

50058)5( 2

K δρχ

3. Στο διπλανό σχήμα είναι AB = 1, AΓ = 3 και ΓΔ =2. Να εκφράσετε το εμβαδόν του

γραμμοσκιασμένου χωρίου ως συνάρτηση του x = ΑΜ, όταν το Μ διαγράφει το

ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ.

Απάντηση:

Ανάλογα με το πόσο έχει μετακινηθεί το x πάνω στο ΑΓ θα πρέπει να υπολογίσουμε

το εμβαδό ενός τριγώνου αν ισχύει 10 x ή ενός τραπεζίου αν 31 x .

Επομένως διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

Αν 10 x τότε πρέπει να υπολογίσουμε το εμβαδό του τριγώνου ΑΜΝ

όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα.

Το εμβαδό του τριγώνου θα δίνεται από τη σχέση:

2

))(( MNAME




Γνωρίζουμε ότι το (ΑΜ) είναι ίσο με x. Πρέπει να στη συνέχεια να

υπολογίσουμε πόσο είναι το ύψος (ΜΝ) ως προς το x.

Τα τρίγωνα ΑΜΝ και ΑΒΕ είναι όμοια. Επομένως ισχύουν οι αναλογίες:

xMNMNx

BE

MN

AB

AM2)(

2

)(

1)(

)(

)(

)(

Επομένως το εμβαδό του τριγώνου είναι:

2

2

2

2

))((x

xxMNAME

Αν 31 x τότε πρέπει να υπολογίσουμε το εμβαδό του τραπεζίου ΑΜΝΕ

όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα.

Το εμβαδό του τραπεζίου θα δίνεται από τη σχέση:

1222

1

2

)()()(

2

)()(

xxx

BEABAMAM

BEENAM

E

Επομένως το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου ως συνάρτηση του x = ΑΜ,

όταν το Μ διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ, περιγράφεται από τη συνάρτηση:

31,

10,

12)(

2

x

x

x

xxE




4. Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους x cm είναι εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ

βάσης ΒΓ = 10cm και ύψους ΑΔ = 5cm. Να εκφράσετε το εμβαδό Ε και την

περίμετρο Ρ του ορθογωνίου ως συνάρτηση του x.

Απάντηση:

Το εμβαδό Ε δίνεται από τον τύπο:

))(( KNMNE

Η περίμετρός Ρ δίνεται από τον τύπο:

)(2)(2 KNMNP

Η πλευρά (ΚΝ) είναι ίση με x. Στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσουμε την πλευρά

(ΜΝ). Τα τρίγωνα ΑΝΜ και ΑΒΓ είναι όμοια. Επομένως ισχύουν οι αναλογίες:

)5(2)(

105

)5()(

5

5

10

)(

)(

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

xMN

xMN

x

A

A

B

MN

A

AE

B

MN

Επομένως το εμβαδό και η περίμετρος θα είναι:

2210)5(2))(( xxxxKNMNE για 50 x

xxxxxKNMNP 22024202)5(22)(2)(2 για 50 x

5. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση:

i) 2

11)(

xxxf , ii)

2)(

xxxf

, ]2,0[ x

Aπό τη γραφική παράσταση της f να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της σε

καθεμιά περίπτωση.




Απάντηση:

i) Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις ανάλογα με τις τιμές του x που επηρεάζουν το

πρόσημο των απόλυτων τιμών:

Αν 1x τότε η συνάρτηση γράφεται:

xxxxxxxx

xf

2

2

2

11

2

)1()1(

2

11)(

Αν 11 x τότε η συνάρτηση γράφεται:

12

2

2

11

2

)1()1(

2

11)(

xxxxxxxf

Αν 1x τότε η συνάρτηση γράφεται:

xxxxxxxx

xf

2

2

2

11

2

)1()1(

2

11)(

Επομένως η συνάρτηση f γράφεται συνολικά:

1

11

1

,1)(

x

x

x

x

x

xf

Συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση f αποτελείται από τρεις ευθείες: την y=-x που είναι

η διχοτόμος της γωνίας του δεύτερου και τέταρτου τεταρτημορίου, την y=1 που

είναι παράλληλη στον άξονα x’x και την y=x που είναι η διχοτόμος της γωνίας του

πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου. Η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω

σχήμα:

Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το σύνολο ),1[ όπως φαίνεται και από το

σχήμα.

ii) H συνάρτηση f γράφεται ως εξής:




]2,(

],0[,

00

0,

2

22

)(

x

xx

x

x

xx

xxxx

xf

Σημείωση: Το x (για ]2,0[ x που μας δίνεται από την εκφώνηση) είναι θετικό

για ],0[ x ενώ είναι αρνητικό για ]2,( x .

Η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το σύνολο ]1,0[ όπως φαίνεται και από το

σχήμα.

6. Να βρείτε συνάρτηση f τέτοια, ώστε να ισχύει :

i) 22))(( 2 xxxfog , αν 1)( xxg

ii) 21))(( xxfog , αν 2)( xxg

iii) xxgof ))(( , αν 21)( xxg

Απάντηση:

i) Ισχύει ότι 22))(( 2 xxxgf , όμως 1)( xxg οπότε:

22)1( 2 xxxf

Θέτουμε 11 vxxv οπότε θα έχουμε:

1222122)1(2)1()( 222 vvvvvvvf

Επομένως 1)( 2 xxf .




ii) Ισχύει ότι 21))(( xxgf , όμως 2)( xxg οπότε:

22 1)( xxf

Θέτουμε vxxv 22 οπότε θα έχουμε:

vvvf 1)(1)(

Επομένως xxf 1)( με πεδίο ορισμού : 001 xx .

iii) Ισχύει ότι xxfg ))(( , όμως 21)( xxg οπότε:

xxfxxf

xxfxxfxxf

)()(

1)()(1)(1

22

22222

Για παράδειγμα μπορεί η )(xf να είναι η:

xxfήxxfήxxf )()()( κ.τ.λ.

7. Δίνονται οι συναρτήσεις 1)( xxf και 2)( axxg . Για ποια τιμή του

α ϵ R ισχύει goffog .

Απάντηση:

H συνάρτηση 1)( xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA ενώ η συνάρτηση

2)( axxg έχει επίσης πεδίο ορισμού το σύνολο RB .



RxRxfRx )(


)2(2)1()1())(())(( aaxxaxgxfgxgof

Το πεδίο ορισμού της fog αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού

της f για τα οποία το g(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της f. Δηλαδή είναι το σύνολο:

RxRxgRx )(




Επομένως η fog ορίζεται για κάθε Rx και έχει τύπο:

312)2())(())(( axaxaxfxgfxfog

Επομένως για να ισχύει: goffog θα πρέπει:

13223 aaaaxaxgoffog

8. Δίνονται οι συναρτήσεις:

ax

axxf

)( , με 2a και 12)( xxxg

α) xxff ))(( , για κάθε aRx και

β) xxgg ))(( , για κάθε ]1,0[x .

Απάντηση:

α) H συνάρτηση ax

axxf

)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο aRA ενώ η

συνάρτηση 12)( xxxg έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),0[ B .

Το πεδίο ορισμού της fof αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού

της f για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της f. Δηλαδή είναι το σύνολο:

aRxaRxfRx )(

Επομένως η fof ορίζεται για κάθε aRx και έχει τύπο:

xa

ax

aaxax

axaxa

ax

aaxax

ax

axaxa

aax

ax

ax

axa

ax

axfxffxfof

2

2

2

2

2

2

)(

)())(())((

β) Το πεδίο ορισμού της gog αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου

ορισμού της g για τα οποία το g(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το

σύνολο:

),0[),0[)(),0[ xxgx




Επομένως η gog ορίζεται για κάθε ),0[ x και έχει τύπο:

)1(1111112

112112212

112212)12())(())((

22

22

2

22

2

xxxx

xxxxxx

xxxxxxgxggxgog

Εφόσον από την εκφώνηση μας δίνεται ότι ]1,0[x συμπεραίνουμε ότι :

0111 xxx (2)

Επομένως η σχέση (1) λόγω της σχέσης (2) γράφεται:

xxxxx 2222

111)1(11

9. Οι πολεοδόμοι μιας πόλης εκτιμούν ότι, όταν ο πληθυσμός Ρ της πόλης είναι x

εκατοντάδες χιλιάδες άτομα, θα υπάρχουν στην πόλη )(210 2 xxN χιλιάδες

αυτοκίνητα. Έρευνες δείχνουν ότι σε t έτη από σήμερα ο πληθυσμός της πόλης θα

είναι 4t εκατοντάδες χιλιάδες άτομα.

i) Να εκφράσετε τον αριθμό Ν των αυτοκινήτων της πόλης ως συνάρτηση του t.

ii) Πότε θα υπάρχουν στην πόλη 120 χιλιάδες αυτοκίνητα;

Απάντηση:

i) Θα έχουμε:

2092104168210442102

tttttttN

ii) Για να βρούμε πότε στην πόλη θα υπάρχουν 120 χιλιάδες αυτοκίνητα πρέπει να

λύσουμε την εξίσωση:

0529722091442092

122092120209210120)(

tttttt

tttttN




Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου: 5292

tt

28920881)52(14)9( 2


16442

8

2

179

12

2899111

ttt

13132

26

2

179

12

289922

tt (απορρίπτεται)

Επομένως μετά από 16 χρόνια τα αυτοκίνητα θα είναι 120000.




1.3 Μονότονες Συναρτήσεις – Αντίστροφη Συνάρτηση

Α’ Ομάδας

1. Nα βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και

ποιες γνησίως φθίνουσες

i) xxf 1)( , ii) 1)2ln(2)( xxf

iii) 13)( 1 xexf , iv) 1)1()( 2 xxf , 1x

Απάντηση:

i) H συνάρτηση xxf 1)( ορίζεται για 101 xx . Επομένως έχει πεδίο

ορισμού το διάστημα ]1,(A .

Έστω Axx 21, με 21 xx . Τότε θα έχουμε διαδοχικά:

)()(1111 2121212121 xfxfxxxxxxxx

Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ]1,(A .

ii) H συνάρτηση 1)2ln(2)( xxf ορίζεται για 202 xx . Επομένως έχει

πεδίο ορισμού το διάστημα ),2( A .


)()(

1)2ln(1)2ln()2ln()2ln(22

21

21212121

xfxf

xxxxxxxx

Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ),2( A .

iii) H συνάρτηση 13)( 1 xexf έχει πεδίο ορισμού το διάστημα RA .


)()(1313

3311

21

11

1111

212121

21

2121

xfxfee

eeeexxxxxx

xx

xxxx

Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα RA .

iv) H συνάρτηση 1)1()( 2 xxf έχει πεδίο ορισμού το διάστημα ]1,(A .





)()(11111111 21

2

2

2

1

2

2

2

1

01

2121 xfxfxxxxxxxxx

Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ]1,(A .

2. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "1-1" και για καθεμία απ'

αυτές να βρείτε την αντίστροφή της

i) 23)( xxf

ii) 1)( 2 xxf

iii) 1)2)(1()( xxxf

iv) 3 1)( xxf

v) )1ln()( xxf

vi) 1)( xexf

vii) 1

1)(

x

x

e

exf

viii) 1)( xxf

Απάντηση:

i) Η 23)( xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA .

Έστω Axx 21, με )()( 21 xfxf . Τότε θα έχουμε διαδοχικά:

21212121 332323)()( xxxxxxxfxf

Επομένως η συνάρτηση f είναι 1-1 στο RA .

Για να βρούμε την αντίστροφή της f , θέτουμε )(xfy και λύνουμε στη συνέχεια

ως προς x:

3

22323)(

yxyxxyxfy

Επομένως 3

2)(1 x

xf




ii) Η 1)( 2 xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA .


2121

2

2

2

1

2

2

2

121 11)()( xxήxxxxxxxfxf

Επομένως η συνάρτηση f δεν είναι 1-1 στο RA . Επομένως δεν έχει και

αντίστροφη συνάρτηση.

iii) Η 1)2)(1()( xxxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA .

Έχουμε 11)21)(11()1( f και

11)22)(12()2( f

Επομένως εφόσον ισχύει 1)2()1( ff η συνάρτηση f δεν είναι 1-1 στο RA .

Επομένως δεν έχει και αντίστροφη συνάρτηση.

iv) Η 3 1)( xxf ορίζεται για 101 xx . Επομένως έχει πεδίο ορισμού το

διάστημα ]1,(A .


2121213

23

121 1111)()( xxxxxxxxxfxf

Επομένως η συνάρτηση f είναι 1-1 στο ]1,(A .


ως προς x:

333 111)( yxyxxyxfy με 0y

Επομένως 31 1)( xxf με 0x .

v) Η )1ln()( xxf ορίζεται για 101 xx . Επομένως έχει πεδίο ορισμού

το διάστημα )1,(A .


2121212121 11)1ln()1ln()()( xxxxxxxxxfxf

Επομένως η συνάρτηση f είναι 1-1 στο )1,(A .


ως προς x:




yy exexxyxfy 11)1ln()(

Επομένως yexf 1)(1 .

vi) Η 1)( xexf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA .


2121212121 11)()( xxxxeeeexfxf xxxx



ως προς x:

)1ln()1ln(11)( yxyxyeeyxfy xx με 1y

Επομένως )1ln()(1 xxf με 1x .

vii) Η 1

1)(

x

x

e

exf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA .


21

21

212121212121

2121

2

2

1

1

2211

)1)(1()1)(1(1

1

1

1)()(

xxeeeeeeeeeeee

eeeee

e

e

exfxf

xxxxxxxxxxxx

xxxx

x

x

x

x



ως προς x:

y

yx

y

ye

y

ye

yyeyeyeeyyee

eyxfy

xx

xxxxx

x

x

1

1ln

1

1

1

)1(

)1()1()1(11

1)(

με 110)1)(1(01

1

yyy

y

y

Επομένως

x

xxf

1

1ln)(1 με 11 x .

viii) Η 1)( xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA .




Έχουμε 110)0( f και

112)2( f

Επομένως εφόσον ισχύει 1)2()0( ff η συνάρτηση f δεν είναι 1-1 στο RA .

Επομένως δεν έχει και αντίστροφη συνάρτηση.

3. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g, φ και ψ.

Να βρείτε ποιες από τις συναρτήσεις f, g, φ, ψ έχουν αντίστροφη και για καθεμία

απ' αυτές να χαράξετε τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της.

Απάντηση:

Mε βάση τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων παρατηρούμε ότι οι

συναρτήσεις f,φ και ψ είναι δυνατό να αντιστραφούν καθώς αν φέρουμε γραμμές

παράλληλες στον άξονα y’y οι γραμμές αυτές τέμνουν τις συναρτήσεις το πολύ σε

ένα σημείο.

Αυτό δεν συμβαίνει στη συνάρτηση g και ως εκ τούτου η συνάρτηση αυτή δεν

αντιστρέφεται.




Οι αντίστροφες των συναρτήσεων f,φ και ψ θα είναι συμμετρικές ως προς τη

διχοτόμο y=x. Οι αντίστροφες συναρτήσεις φαίνονται στα παρακάτω σχήματα:

4. Να δείξετε ότι:

i) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε η

συνάρτηση − f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

ii) Αν δύο συναρτήσεις f, g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ, τότε η

συνάρτηση f + g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

iii) Αν δύο συναρτήσεις f, g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ και ισχύει

f(x) ≥ 0 και g(x) ≥ 0 για κάθε x ϵ Δ, τότε η συνάρτηση fg είναι γνησίως αύξουσα στο

Δ.

Ανάλογα συμπεράσματα διατυπώνονται, αν οι f, g είναι γνησίως φθίνουσες σε

ένα διάστημα Δ.

Απάντηση:

i) H συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, οπότε για κάθε

21, xx με 21 xx θα έχουμε διαδοχικά:

))(())(()()()()( 21212121 xfxfxfxfxfxfxx




Επομένως η -f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ.

ii) H συνάρτηση f και η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ,

οπότε για κάθε 21, xx με 21 xx θα έχουμε:

)()( 21 xfxf και )()( 21 xgxg

Επομένως:

))(())(()()()()( 212211 xgfxgfxgxfxgxf

Επομένως η f+g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ.

iii) H συνάρτηση f και η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ,

οπότε για κάθε 21, xx με 21 xx θα έχουμε:

)()( 21 xfxf και )()( 21 xgxg

Επειδή ισχύει f(x) ≥ 0 και g(x) ≥ 0 για κάθε x ϵ Δ θα έχουμε:

))(())(()()()()( 212211 xgfxgfxgxfxgxf

Επομένως η fˑg είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ.




1.4 Όριο Συνάρτησης στο Rx 0

Α’ Ομάδας

1. Nα βρείτε το )(lim0

xfxx

και το f(x0), εφόσον υπάρχουν, όταν η γραφική

παράσταση της συνάρτησης f είναι

Απάντηση:

Για την πρώτη γραφική παράσταση έχουμε ότι:

0)(lim3

xfx

και 2)3( f

Για τη δεύτερη γραφική παράσταση έχουμε ότι:

2)(lim2

xfx

και 4)2( f

Για την τρίτη γραφική παράσταση έχουμε ότι:

1. 2)(lim1

xfx

και 1)(lim1

xfx

. Επειδή ισχύει ότι

)(lim)(lim11

xfxfxx

η f δεν έχει όριο στο 1 ενώ ισχύει ότι 1)1( f .

2. 0)(lim2

xfx

και 1)(lim2

xfx


)(lim)(lim22

xfxfxx

η f δεν έχει όριο στο 2 ενώ η f δεν ορίζεται για

x0=2.

Για την τέταρτη γραφική παράσταση έχουμε ότι:




1. 0)(lim1

xfx

και 1)(lim1

xfx


)(lim)(lim11

xfxfxx


2. 1)(lim2

xfx

και 2)(lim2

xfx


)(lim)(lim22

xfxfxx


3. 2)(lim3

xfx

και 2)(lim3

xfx


)(lim)(lim33

xfxfxx

το όριο της f για x0=3 θα είναι 2)(lim3

xfx

ενώ

η f δεν ορίζεται για x0=3.

2. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και με τη βοήθεια αυτής

να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το )(lim0

xfxx

, όταν:

i) 2

65)(

2

x

xxxf , 20 x ii)

1,

1,1)(

x

x

x

xxf , 10 x

iii) 1,

1,

1)(

2

x

x

x

xxf , 10 x iv)

x

xxxf

2

)( , 00 x

Απάντηση:


65)(

2

x

xxxf (1) έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 2 RA .

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 652 xx :

12425614)5( 2


32

6

2

15

12

1)5(1

x

22

4

2

15

12

1)5(2

x

Επομένως η εξίσωση 1) γράφεται:




32

)3)(2(

2

65)(

2

x

x

xx

x

xxxf

Σχεδιάζουμε την ευθεία 3 xy και βρίσκουμε ότι 1)3(lim)(lim22

xxfxx

.

ii) Η συνάρτηση 1,

1,1)(

x

x

x

xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA .

Σχεδιάζουμε την ευθεία xy για 1x και τη ρητή συνάρτηση x

y1

για 1x .

Βρίσκουμε ότι 1lim)(lim11

xxf

xx και 1

1lim)(lim

11

xxf

xx. Επομένως:

1)(lim1

xfx

iii) Η συνάρτηση 1,

1,

1)(

2

x

x

x

xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA .

Σχεδιάζουμε την παραβολή 2xy για 1x και την ευθεία 1 xy για 1x .

Βρίσκουμε ότι 1lim)(lim 2

11

xxf

xx και 01lim)(lim

11

xxf

xx. Επειδή ισχύει

ότι )(lim)(lim11

xfxfxx

η f δεν έχει όριο στο 1.




iv) H συνάρτηση x

xxxf

2

)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 0 RA . H

συνάρτηση αυτή είναι δυνατό να γραφεί και ως:

0,

0,

1

1)(

2

x

x

x

x

x

xx

x

xxxf

Η γραφική παράσταση αποτελείται από τις ευθείες 1 xy και 1 xy .

Βρίσκουμε ότι 1)1(lim)(lim00

xxfxx

και 11lim)(lim00

xxfxx

. Επειδή

ισχύει ότι )(lim)(lim00

xfxfxx


3. Ομοίως όταν :

i) 1

33)(

2

23

x

xxxxf , 10 x ή 10 x




ii) 13

169)1()(

2

x

xxxxf ,

3

10 x

Απάντηση:


33)(

2

23

x

xxxxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο

1,1 RA . H συνάρτηση αυτή είναι δυνατό να γραφεί και ως:

31

)1)(3(

1

)3()3(

1

33)(

2

2

2

2

2

23

x

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

Η γραφική παράσταση αποτελείται από την ευθεία 3 xy .

Βρίσκουμε ότι 4)3(lim)(lim11

xxfxx

και 23lim)(lim11

xxfxx

.

ii) H συνάρτηση 13

169)1()(

2

x


3

1RA . H συνάρτηση αυτή είναι δυνατό να γραφεί και ως:

3

1,

3

1,

1

)1(

13

13)1(

13

)13()1(

13

169)1()(

22

x

x

x

x

x

xx

x

xx

x

xxxxf

Η γραφική παράσταση αποτελείται από τις ευθείες )1( xy και 1 xy .

Βρίσκουμε ότι 3

4)1(lim)(lim

3

1

3

1

xxfxx

και 3

4)1(lim)(lim

3

1

3

1

xxfxx

. Επειδή

ισχύει ότι )(lim)(lim

3

1

3

1xfxf

xx

η f δεν έχει όριο στο 1/3.




4. Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο [−2, +∞) και έχει γραφική

παράσταση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να εξετάσετε ποιοι από τους

επόμενους ισχυρισμούς είναι αληθείς.

Απάντηση:

i) Ισχύει ότι 2)(lim2

xfx

και 2)(lim2

xfx

. Επομένως η σχέση 2)(lim2

xfx

είναι ΑΛΗΘΗΣ.

ii) Ισχύει ότι 2)(lim1

xfx


xfx

είναι ΨΕΥΔΗΣ.




iii) Ισχύει ότι 1)(lim1

xfx

και 2)(lim1

xfx


xfx

είναι

ΨΕΥΔΗΣ γιατί δεν ορίζεται το όριο της f για x0=1.

iv) Ισχύει ότι 3)(lim2

xfx

και 3)(lim2

xfx


xfx

είναι

ΑΛΗΘΗΣ.

v) Ισχύει ότι 3)(lim3

xfx


xfx

είναι ΨΕΥΔΗΣ.

vi) Ισχύει ότι 3)(lim4

xfx

και 3)(lim4

xfx


xfx

είναι

ΑΛΗΘΗΣ.

5. Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο ),(),( 00 xxa ,

με 6)(lim 2

0

xfxx

και

)(lim0

xfxx

. Να βρείτε τις τιμές του λ ϵ R, για τις οποίες

υπάρχει το )(lim0

xfxx

.

Απάντηση:

Για να υπάρχει το )(lim0

xfxx

θα πρέπει να ισχύει :

066)(lim)(lim 22

00

xfxfxxxx

(1)

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 62 :

25241)6(14)1( 2


32

6

2

51

12

25)1(1

22

4

2

51

12

25)1(2

Επομένως η εξίσωση (1) γράφεται:

23062 ή




1.5 Ιδιότητες των Ορίων

Α’ Ομάδας

1. Nα βρείτε τα όρια :

i) )524(lim 35

0

xxx

x

ii) )12(lim 310

1

xxx

x

iii) 208

1)32(lim

xx

x

iv) ]32)5[(lim 23

3

xxx

x

v) 3

52lim

4

1

x

xx

x

vi) 1

23lim

2

2

0

xx

xxx

x

vii) 3 2

1)2(lim

x

x

viii) 34

22lim

2

2

1

xx

xx

x

Απάντηση:

Θα έχουμε:

i) 5502040)524(lim 3535

0

xxx

x

ii) 1112111121)12(lim 310310

1

xxx

x

iii) 2020208208

12)321(]3)1(2)1[()32(lim

xx

x

iv) 00)2(

3323)53(32lim)5(lim]32)5[(lim

3

232

3

3

3

23

3

xxxxxxxxx

v) 2

1

4

2

31

5121

)3(lim

)52(lim

3

52lim

4

1

4

1

4

1

x

xx

x

xx

x

x

x




vi) 21

20

100

20030

)1(lim

23lim

1

23lim

2

2

2

0

2

0

2

2

0

xx

xxx

xx

xxx

x

x

x

vii) 33 23 23

2

1

3 2

19)3()21()2(lim)2(lim

xx

xx

viii) 08

0

8

24

3141

2211

)34(lim

)22(lim

34

22lim

2

2

2

1

2

1

2

2

1

xx

xx

xx

xx

x

x

x

2. Έστω μια συνάρτηση f με 4)(lim2

xfx

. Να βρείτε το )(lim2

xgx

αν:

i) 5))((3)( 2 xfxg

ii) 1))((

11)(2)(

2

xf

xfxg

iii) )3)()(2)(()( xfxfxg

Απάντηση:

Θα έχουμε:

i) 43548543]5))((3[lim)(lim 22

22

xfxg

xx

ii) 17

3

17

3

14

1142

1))((lim

11)(2lim)(lim

22

2

2

2

xf

xfxg

x

x

x

iii) 616)34)(24()3)((lim)2)((lim)(lim222

xfxfxgxxx


i) 8

16lim

3

4

2

x

x

x

ii) 1

132lim

2

2

1

x

xx

x




iii)

2

1 11

11

lim

x

xx

iv) x

x

x

27)3(lim

3

0

Απάντηση:

i) Παρατηρούμε ότι για 2x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.

Επομένως για 2x θα έχουμε:

)42(

)4)(2(

)42)(2(

)4)(2)(2(

)42)(2(

)4)(4(

2

4

8

162

2

2

2

2

22

33

222

3

4

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xx

x

x

x

x

Στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο:

3

8

12

84

)4222(

)42)(22(

)42(

)4)(2(lim

2

2

2

2

2

xx

xx

x

ii) Παρατηρούμε ότι για 1x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 132 2 xx :

189124)3( 2


14

4

4

13

22

1)3(1

x

2

1

4

2

4

13

22

1)3(2

x


)1(

)12(

)1)(1(

)12)(1(

1

1322

2

x

x

xx

xx

x

xx


2

1

)11(

)112(

)1(

)12(lim

1

x

x

x




iii) Παρατηρούμε ότι για 1x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.


xxx

x

x

x

11

1

11

11

11

11

11

2


2

1

1

11

1

11

1lim

1

x

x

iv) Παρατηρούμε ότι για 0x μηδενίζεται ο παρανομαστής. Επομένως για 0x θα

έχουμε:

9)3(3)3(

]9)3(3)3[(]93)3()3)[(33(3)3(27)3(

2

22333

xx

x

xxx

x

xxx

x

x

x

x


279999)30(3)30(]9)3(3)3(lim[ 22

0

xxx


i) x

x

x

9

3lim

9

ii) 2

2

0

11lim

x

x

x

iii) 35

22lim

22

x

x

x

iv) 45

2lim

24

xx

x

x

Απάντηση:




i) Παρατηρούμε ότι για 9x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.


)3(

1

)3)(3(

)3(

3

3

9

32

2 xxx

x

x

x

x

x


6

1

)93(

1

)3(

1lim

9

xx


Επομένως για 0x θα έχουμε πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρανομαστή με

τον όρο 211 x :

)11(

1

)11(

)11(

11

)11(

11

)11(

)11)(11(11

222

2

22

2

22

22

22

22

2

2

xxx

x

xx

x

xx

x

xx

xx

x

x


2

1

)011(

1

)11(

1lim

220

xx


Επομένως για 2x θα έχουμε πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρανομαστή με

τον όρο )35)(22( 2 xx :

)22)(2(

)35(

)22)(2)(2(

)35)(2(

)22)(4(

)35)(2(

)22)(95(

)35)(42(

)22)](9)5[(

)35](4)2[(

)35)(22)(35(

)35)(22)(22(

)35(

)22(

2

2

2

2

2

2

22

22

22

2

2

xx

x

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xxx

xxx

x

x


8

3

16

6

)22(4

)33(

)24(4

)39(

)222)(22(

)352(

)22)(2(

)35(lim

22

2

xx

x

x




iv) Παρατηρούμε ότι για 4x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.


91625414)5( 2


42

8

2

35

12

9)5(1

x

12

2

2

35

12

9)5(2

x


)1)(2(

1

)1)(2)(2(

2

)1](2[

2

)1)(4(

2

45

2

222

xx

xxx

x

xx

x

xx

x

xx

x


12

1

34

1

)14)(24(

1

)1)(2(

1lim

4

xxx

5. Να βρείτε (αν υπάρχει), το όριο της f στο x0 αν :

i) 1,

1,

5)(

2

x

x

x

xxf και 10 x

ii) 1,

1,

1

2)(

2

x

x

x

xxf και 10 x

Απάντηση:


11lim)(lim 22

11

xxf

xx




5155lim)(lim11

xxfxx

Επειδή ισχύει ότι )(lim)(lim11

xfxfxx


ii) Θα έχουμε:

2)1(2)2(lim)(lim11

xxfxx

2111)1()1(lim)(lim 22

11

xxf

xx


xfxfxx

το όριο της f στο -1 θα είναι:

2)(lim1

xfx


i) x

x

x

3lim

0

ii) x

x

x

0lim

iii) x

x

x 2

4lim

0

iv)

x

xx

x

0lim

v)

xx

x

x 30lim

vi) 245

5lim

0 x

x

x

Απάντηση:

Γνωρίζουμε από τη θεωρία ότι 1lim0

x

x

x

. Επομένως θα έχουμε:

i) 3133

3lim3

3lim

00

x

x

x

x

xx




ii) 10

11

1limlim

1limlim

0000

xx

x

xx

x

x

x

xxxx

iii)

21

1

1

12

)04(

1

2

2lim

4

4lim

24

1lim

2

24

4

lim2

4

1

2

24

4

lim24

1

4

24

4

lim4

1

2

4lim

2

4lim

0

0

00

0000

x

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

xx

xxxx

iv) 011lim11limlim000

x

x

x

x

x

xx

xxx

v)

1)10(

11

)1(

1limlim

)1(

1lim

)1(limlim

2

200202030

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

xxxxx

vi) Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή με τον όρο 245 x :

42424051

)245(lim5

)5(lim

5

)245)(5(lim

445

)245)(5(lim

4)45(

)245)(5(lim

)245)(245(

)245)(5(lim

245

5lim

0000

2000

xx

x

x

xx

x

xx

x

xx

xx

xx

x

x

xxxx

xxx

7. Να βρείτε τα όρια:

i) x

x

x

1lim

2

ii) x

x

x 2

1lim

2

0




iii) x

x

x 2lim

0

Απάντηση:

i) Παρατηρούμε ότι για x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.

Επομένως για x θα έχουμε:

2)1(1

1)1(lim1

)1)(1(lim

1

1lim

1lim

22

x

x

xx

x

x

x

x

xxxx



002

0

2lim

2lim

2

1lim

0

2

0

2

0

x

x

xx

x

x

x

xxx



2

1

12

1

02

1

2

1lim

2lim

2lim

000

xxx

x

x

x

xxx

8. Nα βρείτε το )(lim0

xfx

, αν:

i) 22 1)(1 xxfx για κάθε Rx

ii) x

xfx2

4 1)(1

για κάθε

2,

2

x

Απάντηση:

i) Ισχύει ότι:

101)1(lim 22

0

x

x και

101)1(lim 22

0

x

x




Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα της παρεμβολής θα ισχύει:

1)(lim0

xfx

ii) Ισχύει ότι:

101)1(lim 44

0

x

x και

10

1)

1(lim

220

xx

Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα της παρεμβολής θα ισχύει:

1)(lim0

xfx

9. Δίνεται η συνάρτηση 3,

3,

3

2)(

x

x

ax

axxf

. Να βρείτε τις τιμές των α,β ϵ R,

για τις οποίες ισχύει 10)(lim3

xfx

.

Απάντηση:

Θα έχουμε:

)2(

)1(

2066

106

1033

1061033610)33()32(

10)3(lim)2(lim10)(lim)(lim10)(lim33333

a

a

a

aaaaa

axaxxfxfxfxxxxx

Αφαιρούμε τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη και έχουμε:

21052010666 aa (3)

Αντικαθιστούμε τη σχέση (3) στη σχέση (1) και έχουμε:

3

4

6

8861026106

2

aaa




Β’ Ομάδας


i) 8

2lim

3

23

2

x

xxx

x

ii) 1

)1(lim

1

1

x

vxvx v

x

iii) 2

1lim

1

xxx

x

x

Απάντηση:

i) Παρατηρούμε ότι για 2x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος. Με τη

βοήθεια του σχήματος Horner προκύπτει ότι:

)1)(2(2 223 xxxxxx


12

7

)4222(

)122(

)42(

)1(lim

)42)(2(

)1)(2(lim

8

2lim

2

2

2

2

22

2

23

23

2

xx

xx

xxx

xxx

x

xxx

xxx

ii) Παρατηρούμε ότι για 1x μηδενίζεται ο παρανομαστής του κλάσματος.


0)11...11(1])1...([lim

1

])1...()[1(lim

1

)1()1...)(1(lim

1

)1()1(lim

1lim

1

)1(lim

2121

1

21

1

21

1

1

1

1

1

1

vvvvxxxx

x

vxxxxx

x

xvxxxxx

x

xvxx

x

vxvxx

x

vxvx

vvvv

x

vv

x

vv

x

v

x

v

x

v

x

iii) ) Παρατηρούμε ότι για 1x μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος.

Θέτουμε 2txtx

Επομένως για 1t θα έχουμε:

2

1lim

2

1lim

3

2

11

tt

t

xxx

x

tx




Με τη βοήθεια του σχήματος Horner προκύπτει ότι:

)2)(1(2 23 ttttt

Επομένως θα έχουμε:

2

1

4

2

)211(

)11(

)2(

)1(lim

)2)(1(

)1)(1(lim

2

1lim

221213

2

1

tt

t

ttt

tt

tt

t

ttt

2. Nα βρείτε όσα από τα παρακάτω όρια υπάρχουν

i) 5

2510lim

2

5

x

xx

x

ii) 5

545lim

2

5

x

xxx

x

iii) 5

545lim

2

5

x

xxx

x

iv) 1

lim2

1

x

xx

x

Απάντηση:

i) Η συνάρτηση 5

2510)(

2

x

xxxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 5 RA .

Γράφεται ως:

5,

5,

1

1

5

5

5

)5(

5

251022

x

x

x

x

x

x

x

xx

Θα έχουμε:

1)(lim5

xfx

1)(lim5

xfx


xfxfxx

η f δεν έχει όριο στο -5.




ii) Η συνάρτηση 5

545)(

2

x


5 RA .

Για 5x η συνάρτηση γράφεται:

xx

xx

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

xxx

5

)5(

5

5

5

545

5

54)5(

5

545 2222

Επομένως το όριο θα είναι:

5lim)(lim55

xxf

xx

iii) Η συνάρτηση 5

545)(

2

x


5 RA .

Για 5x η συνάρτηση γράφεται:

5

103

5

545

5

545 222

x

xx

x

xxx

x

xxx


49409)10(14)3( 2


52

10

2

73

12

49)3(1

x

22

4

2

73

12

49)3(2

x

H συνάρτηση γράφεται:

25

)2)(5(

5

1032

x

x

xx

x

xx


725)2(lim)(lim55

xxfxx




iv) Η συνάρτηση 1

lim2

1

x

xx

x έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 1 RA . Θέτουμε

2txtx και η συνάρτηση γράφεται ως:

)1(1

)1)(1(

1

)1(

11

22342

ttt

t

tttt

t

tt

t

tt

x

xx


3)111(1)1(lim1

lim 2

1

2

1

ttt

x

xx

tx

3. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με γ =1. Να υπολογίσετε τα

όρια:

i) )(lim

2

ii) )(lim 22

2

iii)

2

lim

Απάντηση:

i) Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών θα έχουμε:




11

Επομένως:

0

21

2

1lim

)1(

)1(lim

)1(

)1)(1(lim)

1(lim)

1(lim)(lim

2

2

2

2222

ii)

11limlim1

lim1

lim)(lim

2

2

2

2

2

2

2

22

2

22

2

iii) 12

lim1

limlim

222

4. Να βρείτε το )(lim1

xfx

, αν :

i) 10)42)(4(lim1

xxfx

ii) 11

)(lim

1

x

xf

x

Απάντηση:

i) Θέτουμε xxfxg 42)(4)( οπότε θα έχουμε:

4

42)()(42)()(442)(4)(

xxgxfxxgxfxxfxg

Επίσης ισχύει ότι:




10)(lim1

xgx

Υπολογίζουμε στη συνέχεια το )(lim1

xfx

:

24

8

4

14210

4

42)(lim)(lim

11

xxgxf

xx

ii) Θέτουμε 1

)()(

x

xfxg οπότε θα έχουμε:

)()1()(1

)()( xgxxf

x

xfxg

Επίσης ισχύει ότι:

1)(lim1

xgx

Υπολογίζουμε στη συνέχεια το )(lim1

xfx

:

01)11()]()1[(lim)(lim11

xgxxgxx




1.6 Μη πεπερασμένο όριο στο Rx 0

Α’ Ομάδας

1. Nα βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της f στο x0 όταν :

i) 24 3

5)(

xx

xxf

, 00 x

ii) 4)1(4

32)(

x

xxf , 10 x

iii) xx

xf11

)( , 00 x

Απάντηση:

i) Έχουμε ότι:

0)3(lim 24

0

xx

x

Επιπλέον επειδή 03 24 xx για 0x θα είναι:

)3

1(lim

240 xxx

Επίσης:

05)5(lim0

xx

Επομένως:

2402400 3

1)5(lim

3

5lim)(lim

xxx

xx

xxf

xxx

ii) Έχουμε ότι:

0)1(4lim 4

1

x

x

Επιπλέον επειδή 0)1(4 4 x για x κοντά στην τιμή 1 θα είναι:

))1(4

1(lim

41 xx

Επίσης:




01)32(lim1

xx

Επομένως:

41411 )1(4

1)32(lim

)1(4

32lim)(lim

xx

x

xxf

xxx

iii) Η συνάρτηση xx

xf11

)( με πεδίο ορισμού το σύνολο 0 RA γράφεται

ως:

0,

0,

0

2

0,

0,

11

11

11)(

x

xx

x

x

xx

xx

xxxf

Θα έχουμε:

x

xfxx

2lim)(lim

00

00lim)(lim00

xx

xf


xfxfxx


2. Nα βρείτε (αν υπάρχει) το όριο της f στο x0 όταν :

i) 21

4

1

3)(

xxxf

, 10 x

ii) xx

xxxf

23)(

2 , 00 x

iii)

3

2 11)(

xxxf , 00 x

Απάντηση:


4

1

3)(

xxxf

με πεδίο ορισμού το σύνολο 1,1 RA

γράφεται ως:




2222 1

13

1

433

1

4)1(3

1

4

1

3)(

x

x

x

x

x

x

xxxf

Η τιμή του )(lim1

xfx

εξαρτάται από την τιμή του x. Διακρίνουμε τις εξής

περιπτώσεις:

Αν 10 x τότε 0111 22 xxx και 01lim 2

1

x

x οπότε:

21 1

1lim

xx

Επίσης:

02113)13(lim1

xx

Επομένως

2

12

11 1

1)13(lim

1

13lim)(lim

xx

x

xxf

xxx

Αν 1x τότε 0111 22 xxx και 01lim 2

1

x

x οπότε:

21 1

1lim

xx

Επίσης:

02113)13(lim1

xx

Επομένως

2

12

11 1

1)13(lim

1

13lim)(lim

xx

x

xxf

xxx


xfxfxx

η f δεν έχει όριο στο 10 x .

ii) Η συνάρτηση xx

xxxf

23)(

2 με πεδίο ορισμού το σύνολο 0 RA


0,

0,

23

2323

)(

2

2

2

2

2

x

x

x

xxx

xx

xx

xxxf

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

Αν 0x τότε 0lim 2

0

x

x και επομένως:




20

1lim

xx

Επίσης:

022030)23(lim 22

0

xx

x

Επομένως

2

2

02

2

00 1

1)23(lim

1

23lim)(lim

xxx

x

xxxf

xxx

Αν 0x τότε 0lim 2

0

x

x και επομένως:

20

1lim

xx

Επίσης:

022030)23(lim 22

0

xx

x

Επομένως

2

2

02

2

00 1

1)23(lim

1

23lim)(lim

xxx

x

xxxf

xxx


xfxfxx


iii) Η συνάρτηση

3

2 11)(

xxxf με πεδίο ορισμού το σύνολο 0 RA


x

x

x

xx

xxxf

1111)(

3

3

32

3

2


Αν 0x τότε 0lim0

xx

και επομένως:

xx

1lim

0

Επίσης:

0110)1(lim 33

0

x

x

Επομένως

xx

x

xxf

xxx

1)1(lim

1lim)(lim 3

0

3

00




Αν 0x τότε 0lim0

xx

και επομένως:

xx

1lim

0

Επίσης:

0110)1(lim 33

0

x

x

Επομένως

xx

x

xxf

xxx

1)1(lim

1lim)(lim 3

0

3

00


xfxfxx


Β’ Ομάδας

1. Να βρείτε (εφόσον υπάρχει) το 842

9lim

4

xxxxx.

Απάντηση:

Θα έχουμε:

)2()2(

9

)2)(2)(2(

9

)2(2

9

)2)(4(

9

)4(2)4(

9

842

9)(

2

22

xxxxx

xxxxxxxxxxxxf

Η συνάρτηση )(xf ορίζεται για 0x και για 4x . Επομένως έχει πεδίο ορισμού

το σύνολο ),4()4,0[ A .

Για Ax ισχύει ότι 0)2( 2 x και 0)2(lim 2

4

x

x οπότε:

24 )2(

1lim

xx

Επιπλέον:




04

9

)24(

9

)2(

9lim

4

xx

Επομένως:

)2(

9

)2(

1lim

)2()2(

9lim

2424 xxxx xx

2. Να αποδείξετε ότι:

i) Η συνάρτηση xxf )( δεν έχει όριο στο π/2.

ii) Η συνάρτηση xxf )( δεν έχει όριο στο 0.

Απάντηση:

i) Η συνάρτηση xxf )( γράφεται ως:

x

xxxf

)(


Αν )2

,0(

x τότε ισχύει 0x και 0lim

2

xx

οπότε:

xx

1lim

2

Επίσης:

012

lim

2

x

x

Επομένως

xxx

xxf

xxx

1limlim)(lim

222

Αν ),2

(

x τότε ισχύει 0x και 0lim

2

xx

οπότε:




xx

1lim

2

Επίσης:

012

lim

2

x

x

Επομένως

xxx

xxf

xxx

1limlim)(lim

222

Επειδή ισχύει ότι )(lim)(lim

22

xfxfxx

η f δεν έχει όριο στο 2

0

x .

ii) Η συνάρτηση xxf )( γράφεται ως:

x

xxxf

)(


Αν )0,2

(

x τότε ισχύει 0x και 0lim0

xx

οπότε:

xx

1lim

0

Επίσης:

010lim0

xx

Επομένως

x

xx

xxf

xxx

1limlim)(lim

000

Αν )2

,0(

x τότε ισχύει 0x και 0lim0

xx

οπότε:

xx

1lim

0

Επίσης:

010lim0

xx




Επομένως

x

xx

xxf

xxx

1limlim)(lim

000


xfxfxx


3. Δίνονται οι συναρτήσεις 1

2)1()(

2

2

x

xxxf

και

x

xxxg

2)(

2

Nα βρείτε τις τιμές των λ, μ ϵ R για τις οποίες υπάρχουν στο R τα όρια

)(lim1

xfx

και )(lim0

xgx

Απάντηση:

Η συνάρτηση 1

2)1()(

2

2

x

xxxf

έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 1,1 RA .

Ισχύει ότι 0)1(lim 2

1

x

x και

211211)1(2)1(lim 22

1

xx

x


1. 202

Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε:

0211211)1(2)1(lim 22

1

xx

x

και

1

1lim

21 xx

Επομένως

2)1(

1

1lim

1

2)1(lim)(lim 2

21

2

2

11xx

xx

xxxf

xxx

0211211)1(2)1(lim 22

1

xx

x

και

1

1lim

21 xx




Επομένως

2)1(

1

1lim

1

2)1(lim)(lim 2

21

2

2

11xx

xx

xxxf

xxx


xfxfxx


2. 202


0211211)1(2)1(lim 22

1

xx

x

και

1

1lim

21 xx

Επομένως

2)1(

1

1lim

1

2)1(lim)(lim 2

21

2

2

11xx

xx

xxxf

xxx

0211211)1(2)1(lim 22

1

xx

x

και

1

1lim

21 xx

Επομένως

2)1(

1

1lim

1

2)1(lim)(lim 2

21

2

2

11xx

xx

xxxf

xxx


xfxfxx


3. 202


1

2

1

2)12(

1

2)1()(

2

2

2

22

2

2

x

xx

x

xx

x

xxxf


981)2(14)1( 2





12

2

2

31

12

911

x

22

4

2

31

12

912

x

Επομένως η συνάρτηση γράφεται:

)1(

)2(

)1)(1(

)2)(1(

1

2)(

2

2

x

x

xx

xx

x

xxxf

Το όριο θα είναι:

2

3

11

21

)1(

)2(lim)(lim

11

x

xxf

xx

Επομένως η συνάρτηση 1

2)1()(

2

2

x

xxxf

έχει όριο στο 1 μόνο όταν λ=2.

Η συνάρτηση x

xxxg

2)(

2

έχει πεδίο ορισμού το σύνολο 0 RA .

Ισχύει ότι 0lim0

xx

και

0202lim 22

0xx

x


1. 0


02lim 2

0

xx

x και

xx

1lim

0

Επομένως

)2(

1lim

2lim)(lim 2

0

2

00

xx

xx

xxxg

xxx

02lim 2

0

xx

x και

xx

1lim

0




Επομένως

)2(

1lim

2lim)(lim 2

0

2

00

xx

xx

xxxg

xxx


xgxgxx

η g δεν έχει όριο στο 00 x .

2. 0


02lim 2

0

xx

x και

xx

1lim

0

Επομένως

)2(

1lim

2lim)(lim 2

0

2

00

xx

xx

xxxg

xxx

02lim 2

0

xx

x και

xx

1lim

0

Επομένως

)2(

1lim

2lim)(lim 2

0

2

00

xx

xx

xxxg

xxx


xgxgxx

η g δεν έχει όριο στο 00 x .

3. 0


2)2(2022

)(2202

xx

xx

x

xx

x

xx

x

xxxg

Το όριο θα είναι:

2)2(lim)(lim00

xxgxx

Επομένως η συνάρτηση x

xxxg

2)(

2

έχει όριο στο 0 μόνο όταν μ=0.




4. Να βρείτε το )(lim1

xfx

, όταν :

i)

)(

4lim

1 xf

x

x

ii) 2

)(lim

1 x

xf

x

iii)

)23)((lim 2

1xxf

x

Απάντηση:

i) Θέτουμε )(

4)(

xf

xxg

. Θα είναι:

)(lim

1xg

x.

Ισχύει ότι 0)( xg κοντά στην τιμή 1 λόγω του ορίου που μας δίνεται.


)(

4)(

)(

4)(

xg

xxf

xf

xxg

Ισχύει ότι:

0341)4(lim1

xx

και

)(lim1

xgx

. Επομένως:

0)4()(

1lim

)(

4lim)(lim

111

x

xgxg

xxf

xxx

ii) Θέτουμε 2

)()(

x

xfxg . Θα είναι:

)(lim

1xg

x.



)2)(()(2

)()(

xxgxf

x

xfxg


0321)2(lim1

xx

και

)(lim1

xgx

. Επομένως:

)2)((lim)(lim11

xxgxfxx

iii) Θέτουμε )23)(()( 2 xxfxg . Θα είναι:

)(lim1

xgx

.






23

)()()23)(()(

2

2

x

xgxfxxfxg


01213)23(lim 22

1

x

x και

)(lim

1xg

x. Επομένως:

)(

23

1lim

23

)(lim)(lim

21211xg

xx

xgxf

xxx




1.7 Όρια Συνάρτησης στο Άπειρο

Α’ Ομάδας


i) )5210(lim 3

xxx

ii) )125(lim 3

xxx

iii) 8

5lim

3 xx

iv) 23

125lim

3

34

xx

xxx

x

v) 24

12lim

23

3

xx

xx

x

vi) 3

2lim

10

xx

x

x

vii)

2

5

1lim

2 xx

x

x

viii)

2

35lim

22

x

x

x

x

x

Απάντηση:

i)

)(lim10)10(lim)5210(lim 333 xxxxxxx

ii)

)(lim5)5(lim)125(lim 333 xxxxxxx

iii) 05

lim8

5lim

33

xx xx

iv)

x

x

x

xx

xxx

xxxlimlim

23

125lim

3

4

3

34

v) 2

1

4

2

4

2lim

24

12lim

3

3

23

3

x

x

xx

xx

xx

vi) 01

limlim3

2lim

91010

xx

x

xx

x

xxx




vii)

01

lim44

lim22

524lim

22

552lim

)2)(1(

)1(5)2(lim

2

5

1lim

3

2

23

2

23

22

2

2

2

xx

x

xxx

xx

xxx

xxx

xx

xxx

xx

x

xxx

xxx

viii)

22

lim2

1022lim

2

31052lim

)2(

)3()2)(5(lim

2

35lim

2

2

2

2

2

323

2222

x

x

xx

xx

xx

xxxxx

xx

xxxx

x

x

x

x

xxx

xx


i) 324lim 2

xxx

ii) 910lim 2

xxx

iii) )231(lim 22

xxxx

iv) xxaxx

))((lim , a

v) )34412(lim 2

xxxx

Απάντηση:

i) Η συνάρτηση 324 2 xx ορίζεται για 0324 2 xx


044484344)2( 2

Επειδή Δ<0 και α=4>0 θα ισχύει ότι 0324 2 xx . Επομένως το πεδίο ορισμού

της συνάρτησης είναι το σύνολο RA .

Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα ),0( :

2

0

2

22 324lim

324lim324lim

xxx

xxxxx

x

x

xx




ii) Η συνάρτηση 9102 xx ορίζεται για 09102 xx


6436100914102


12

2

2

810

12

64101

x

92

18

2

810

12

64102

x

Θα έχουμε: 190)9)(1(09102 xήxxxxx

Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο

),1[]9,( A .

Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα ]9,( :

2

0

2

22 9101lim

9101lim910lim

xxx

xxxxx

x

x

xx

iii) Η συνάρτηση )231( 22 xxx ορίζεται για 012 x που ισχύει χωρίς

την ισότητα και 0232 xx


189214)3( 2


22

4

2

13

12

1)3(1

x

12

2

2

13

12

1)3(2

x

Θα έχουμε: 210)2)(1(0232 xήxxxxx

Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο ),2[]1,( A .

Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα ),2[ :




2222

0

2

2

2

222

231

11lim

231

11lim

231

11lim)231(lim

xxxx

xxx

xx

xxx

xxxxx

xx

x

xx

iv) Η συνάρτηση xxax ))(( ορίζεται για 0))(( xax .

Θα έχουμε: xήaxxax 0))(( αν a ή

axήxxax 0))(( αν a

Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε σε ένα διάστημα

),( όπου 0 :

1)(

1)(lim

)(1lim

)(1lim

))((lim)(lim))((lim

2

2

0

2

2

22

x

a

x

ax

xx

a

x

axx

x

a

x

ax

xaxaxxaxaxxxxax

x

x

x

x

xxx

v) Η συνάρτηση )34412( 2 xxx ορίζεται για 0344 2 xx


0324816344)4( 2

Επειδή Δ<0 και α=4>0 θα ισχύει ότι 0344 2 xx . Επομένως το πεδίο ορισμού






034

41

2

21lim

344

12

2lim

34412(

344144lim

34412(

344)12(lim

)34412(

)34412)(34412(lim)34412(lim

22

2

220

2

2

222

2

222

xxx

x

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxx

xxx

xxxxxxxxx

xx

x

x

x

xx


i) x

x

x

1lim

2

ii) xxx

1lim 2

iii) x

x

x

1lim

2

iv) xxx

1lim 2

v) 1

1lim

2

2

xx

xx

x

vi) 22 22lim xxxxx

Απάντηση:

i) Η συνάρτηση x

x 12 ορίζεται για 0x





11

1lim

11

lim

11

lim1

lim2

202

2

2

xx

xx

x

xx

x

x

xx

x

xx

ii) Η συνάρτηση xx 12 ορίζεται σε όλο το R.


0

1)1

1(

1lim

)1

1(

1lim

)1

1(

1lim

1

11lim1lim

22

220

2

2

22

2

2

222

xxx

xx

xx

xx

x

xx

xx

xxxxxx

xx

x

xxx

iii) Η συνάρτηση x

x 12 ορίζεται για 0x

Επειδή πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο θα έχουμε στο διάστημα )0,( :

11

1lim

11

lim

11

lim1

lim2

202

2

2

xx

xx

x

xx

x

x

xx

x

xx

iv) Η συνάρτηση xx 12 ορίζεται σε όλο το R.


0

1)1

1(

1lim

)1

1(

1lim

)1

1(

1lim

1

11lim1lim

22

220

2

2

22

2

2

222

xxx

xx

xx

xx

x

xx

xx

xxxxxx

xx

x

xxx

v) Η συνάρτηση 1

1

2

2

xx

xx ορίζεται για 11 xήx .





111

11

)1

1(1(

)1

1(1(

lim

)1

1(1(

)1

1(1(

lim

)1

1((

)1

1((1

lim

)1

1((1

)1

1((1

lim

)1(1

)1(1

lim

)1)(1)(1(

)1)(1)(1(lim

1

1lim

2

2

2

2

2

20

2

222

2

222

22

22

22

22

222

222

2

2

x

x

xx

xx

xxx

xxx

xxxxx

xxxxx

xxxx

xxxx

xxxxxx

xxxxxx

xx

xx

xxx

x

xx

xx

vi) Η συνάρτηση 22 22 xxxx ορίζεται για 0222 xx


048421422

Επειδή Δ<0 και α=1>0 θα ισχύει ότι 0222 xx . Επομένως το πεδίο ορισμού της

συνάρτησης είναι το σύνολο RA .


122

1

)1

1(2

lim

122

1

)1

1(2

lim

122

1

22lim

221

22lim

221

22lim

22

2222lim22lim

2

22

2

220

2

2

22

2

2

2222

xx

xx

xx

xx

xxx

xx

xxx

x

xxxx

xxx

x

xxxx

xxx

xxxxxxxxxxx

x

xx

x

x

x

xx




Β’ Ομάδας

1. Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ, να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια :

i) )1(lim 2 xxx

ii) 65

32)1(lim

2

23

xx

xx

x

Απάντηση:

i) Η συνάρτηση xx 12 ορίζεται σε όλο το R.


)(lim)1()1

1(lim)(lim)1

1()(lim

))1

1((lim))1

1((lim)1(lim

22

2

0

2

22

xx

xx

x

xx

xxx

xxx

xxxx

x

x

xx


Αν 10)1( τότε:

)(lim)1( xx


)(lim)1( xx

Αν 1 τότε το όριο γράφεται:

02

10

)1)1

1((

11lim

)1)1

1((

1lim

))1

1((

1lim

))1

1((

))1(lim

)1(

)1)(1(lim)1(lim)1(lim

2

22

220

2

2

222

2

222

12

x

x

xxx

xx

xx

xx

x

xx

xx

xxxxxxxx

x

xx

x

x

xxx

ii) Για το όριο 65

32)1(lim

2

23

xx

xx

x

διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

Αν μ=1 τότε το όριο γράφεται:




22

lim65

32lim

651

32)11(lim

65

32)1(lim

2

2

2

2

2

231

2

23

x

x

xx

x

xx

xx

xx

xx

xxxx

Αν μ=0 τότε το όριο γράφεται:

5lim

5lim

65

32lim

650

32)10(lim

65

32)1(lim

2

323

2

230

2

23

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

x

xxxx

Αν μ≠0 και μ≠1 τότε το όριο γράφεται:

x

x

x

xx

xx

xxx

)1(lim

)1(lim

65

32)1(lim

2

3

2

23


1. Αν 100)1(0)1(

ή τότε:

x

x

)1(lim

2. Αν 100)1(0)1(

τότε:

x

x

)1(lim

2. Nα προσδιορίσετε το λ ϵ R, ώστε το )105(lim 2 xxxx

να υπάρχει στο R.

Απάντηση:

i) Η συνάρτηση )105( 2 xxx ορίζεται για 01052 xx


0154025101452

Επειδή Δ<0 και α=1>0 θα ισχύει ότι 01052 xx . Επομένως το πεδίο ορισμού






x

xxx

xxxx

xxx

xxx

xxxx

xxxx

x

xxxx

x

x

xx

lim)1(

))105

1((limlim))105

1((lim))105

1((lim

))105

1((lim))105

1((lim)105(lim

222

2

0

2

22



)(lim)1( xx


)(lim)1( xx

Αν 1 τότε το όριο γράφεται:

2

5

11

05

)1)105

1((

)10

5(

lim

)1)105

1((

)10

5(

lim

)1)105

1((

105lim

))105

1((

105lim

))105

1((

))105(lim

)105(

)105)(105(lim

)105(lim)105(lim

2

222

220

2

2

222

2

22

21

2

xx

x

xxx

xx

xxx

x

xxx

x

xxx

xxx

x

xxx

xxx

xxxxxx

xxxxxx

x

xxx

x

xx

xx

Επομένως το το )105(lim 2 xxxx

υπάρχει στο R μόνο για λ=1.

3. Αν

ax

x

xxf

1

1)(

2

, να βρείτε τις τιμές των α, β ϵ R για τις οποίες

ισχύει 0)(lim

xfx

.

Απάντηση:

Η συνάρτηση

ax

x

xxf

1

1)(

2

ορίζεται για 1x . Θα έχουμε:




1

1)()1(

1

1

1

)1()1(1

1

1)(

2

2222

x

xxa

x

xaxaxx

x

xxaxxax

x

xxf


Αν 1a τότε το όριο θα είναι:

1,

1,)1(lim

)1(lim

1

1)()1(lim)(lim

22

a

axa

x

xa

x

xxaxf

x

xxx

Αν 1a και a τότε το όριο θα είναι:

0)(

lim

1

1)(lim

1

1)()11(lim)(lim

21

x

x

x

x

x

xxxf

x

xx

a

x

Αν 1 a τότε το όριο θα είναι:

1,

1,)1(lim

01

2lim

1

11lim

1

11)11()11(lim)(lim

21

a

axa

xxx

xxxf

x

xxx

a

x

Επομένως μόνο για 1 a ισχύει 0)(lim

xfx

.


i) 23

5lim

2

2

xx

xxx

x

ii) 2

2

34

51lim

xx

xx

x

iii) 1

lim

2

x

xx

x

Απάντηση:





5

2

2

xx

xxx ορίζεται για 0232 xx


189214)3( 2


22

4

2

13

12

1)3(1

x

12

2

2

13

12

1)3(2

x

Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο 2,1 RA .


1lim23

5lim

23

5lim

2

2

2

20

2

2

x

x

xx

xxx

xx

xxx

xx

x

x

Σημείωση: Ισχύει 0x και 05x επομένως xxxx 55 22 .

ii) Η συνάρτηση 2

2

34

51

xx

xx

έχει πεδίο ορισμού όλο το R.


13

2

)13(2

13

)13(2

13

)13(2

)13)(13(

)13(2

13

2

13

11

1)34

(

15

)1

1(

lim

1)34

(

15

)1

1(

lim

)34

(

5)1

1(

lim

)34

(

5)1

1(

lim34

51lim

22

2

2

2

2

2

20

2

2

2

2

2

2

x

xx

xx

xxx

xxx

xx

x

xxx

xx

x

xx

xx

xx

x

x

xx




iii) Η συνάρτηση 1

2

x

xx ορίζεται για 1x .


x

x

xx

x

xx

x

xx

xxx

x

xlim

1

)1(lim

1lim

1lim

212

Σημείωση: Ισχύει 0x και 01x επομένως xxxx 22 .




1.8 Συνέχεια Συνάρτησης

Α’ Ομάδας

1. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δυο συναρτήσεων.

Να βρείτε τα σημεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς.

Απάντηση:

Για την αριστερή γραφική παράσταση (την ονομάζουμε )(xf ) ισχύει για 1ox :

2)(lim1

xfx

1)(lim1

xfx

Εφόσον ισχύει )(lim)(lim11

xfxfxx

, η )(xf δεν είναι συνεχής στο 1ox . Στα

υπόλοιπα σημεία του πεδίου ορισμού της, όπως φαίνεται και από το σχήμα είναι

συνεχής.

Για τη δεξιά γραφική παράσταση (την ονομάζουμε )(xg ) ισχύει για 1ox :

2)(lim1

xgx

2)(lim1

xgx

Επομένως 2)(lim1

xgx

Επίσης 3)1( g

Εφόσον ισχύει )1()(lim1

gxgx

η )(xg δεν είναι συνεχής στο 1ox . Στα υπόλοιπα

σημεία του πεδίου ορισμού της, όπως φαίνεται και από το σχήμα, είναι συνεχής.




2. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο x0 τις παρακάτω συναρτήσεις :

i) 2,

2,4)(

3

2

x

x

x

xxf αν 2ox

ii) 1,

1,

3

1)(

2

x

x

x

xxf αν 1ox

iii) 2,

2,

32

2)(

2

x

xx

xxxf αν 2ox

Απάντηση:

i) Ισχύει:

842)4(lim)(lim 22

22

xxf

xx

82lim)(lim 33

22

xxf

xx


xfx

εφόσον )(lim)(lim22

xfxfxx

Επίσης 82)2( 3 f


fxfx

η )(xf είναι συνεχής στο 2ox .

ii) Ισχύει:

211)1(lim)(lim 22

11

xxf

xx

24133lim)(lim11

xxfxx


xfx


xfxfxx

Επίσης 2413)1( f


fxfx


iii) Ισχύει:

)2

2(lim)(lim

2

22

x

xxxf

xx





981)2(14)1( 2


12

2

2

31

12

911

x

22

4

2

31

12

912

x

Επομένως το όριο γράφεται:

312)1(lim)2

)2)(1((lim)

2

2(lim)(lim

22

2

22

x

x

xx

x

xxxf

xxxx

Επίσης 3)2( f


fxfx


3. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συνρτήσεις και μετά να

χαράξετε τη γραφική τους παράσταση, αν

i) 1,

1,2

2)(

2

x

x

x

xxf

ii) 2,

2,

52

65)(

2

x

xx

xxxf

iii) 1,

1,

ln)(

x

x

x

xxf

iv) 0,

0,

1)(

2

x

x

x

exf

x

Απάντηση:





1

11

1

,

,

,

22

2

11

11

,

,2

2)(

1,

1,2

2)( 2

22

x

x

x

x

xx

xήx

x

x

xxf

x

x

x

xxf

Στα διαστήματα )1,( και ),1( η συνάρτηση f είναι συνεχής ως ρητή

συνάρτηση, ενώ στο διάστημα )1,1( η συνάρτηση f είναι συνεχής ως πολυωνυμική

συνάρτηση. Στη συνέχεια εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στα σημεία 1ox και

1ox .

Ισχύει για 1ox :

21

22lim)(lim

11

xxf

xx

2)1(22lim)(lim 22

11

xxf

xx

2)1(2)1( 2 f

Εφόσον )(lim)(lim11

xfxfxx

η )(xf δεν είναι συνεχής στο 1ox .


212)2(lim)(lim 22

11

xxf

xx

21

22lim)(lim

11

xxf

xx


xfx


xfxfxx

Επίσης 212)1( 2 f


fxfx


Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:




ii) 2,

2,

52

65)(

2

x

xx

xxxf


12425614)5( 2


32

6

2

15

12

1)5(1

x

22

4

2

15

12

1)5(2

x

Επομένως η συνάρτηση f για 2x γράφεται:

32

)2)(3(

2

65)(

2

x

x

xx

x

xxxf

Στα διαστήματα )2,( και ),2( η συνάρτηση f είναι συνεχής ως πολυωνυμική

συνάρτηση. Στη συνέχεια εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο σημείο 2ox .

132)3(lim)(lim22

xxfxx

Επίσης 5)2( f


fxfx

η )(xf δεν είναι συνεχής στο 2ox .





iii) Η συνάρτηση 1,

1,

ln)(

x

x

x

xxf στο διάστημα )1,( είναι συνεχής ως ρητή

συνάρτηση, ενώ στο διάστημα ),1( η συνάρτηση f είναι συνεχής ως λογαριθμική

συνάρτηση. Στη συνέχεια εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο σημείο 1ox .


1lim)(lim11

xxf

xx

01lnlnlim)(lim11

xxfxx

Επομένως )(lim)(lim11

xfxfxx

Επίσης 01ln)1( f


xfxfxx

, η )(xf δεν είναι συνεχής στο 1ox .


iv) Η συνάρτηση 0,

0,

1)(

2

x

x

x

exf

x

στο διάστημα )0,( είναι συνεχής ως

εκθετική συνάρτηση, ενώ στο διάστημα ),0( η συνάρτηση f είναι συνεχής ως

πολυωνυμική συνάρτηση. Στη συνέχεια εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο σημείο

0ox .





Ισχύει:

1lim)(lim 0

00

eexf x

xx

1)1(lim)(lim 2

00

xxf

xx


xfx


xfxfxx

Επίσης 1)0( 0 ef


fxfx



4. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις

i) 1,

1,

1

132

)(

2

x

x

x

xx

xf

ii) 0,

0,)(

x

x

xx

x

xf

Απάντηση:

i) Η συνάρτηση 1,

1,

1

132

)(

2

x

x

x

xx

xf στο διάστημα )1,( είναι συνεχής ως

πολυωνυμική συνάρτηση, ενώ στο διάστημα ),1( η συνάρτηση f είναι συνεχής




ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Στη συνέχεια εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο

σημείο 1ox .


1312)32(lim)(lim 22

11

xxf

xx

2)11()1(lim1

)1)(1(lim

1)(

)1)(1(lim

)1)(1(

)1)(1(lim

1

1lim)(lim

11

221111

xx

xx

x

xx

xx

xx

x

xxf

xx

xxxx

Επομένως )(lim)(lim11

xfxfxx

Επίσης 1312)1( 2 f


xfxfxx

, η )(xf δεν είναι συνεχής στο 1ox .

ii) Η συνάρτηση 0,

0,)(

x

x

xx

x

xf

στο διάστημα )0,( είναι συνεχής ως

πηλίκο συνεχών συναρτήσεων, ενώ στο διάστημα ),0( η συνάρτηση f είναι

συνεχής ως τριγωνομετρική συνάρτηση. Στη συνέχεια εξετάζουμε αν η f είναι

συνεχής στο σημείο 0ox .


Ισχύει:

1lim)(lim00

x

xxf

xx

10lim)(lim00

xxfxx


xfx


xfxfxx

Επίσης 10)0( f


fxfx





5. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς :

i) )()( xxf

ii) )1ln()( 2 xxxf

iii)

1

1)(

2xxf

iv) xexf )(

v) )ln(ln)( xxf

Απάντηση:

i) H συνάρτηση f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων hhg )(

και xxh )( .

ii) H συνάρτηση f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων hhg ln)(

και 1)( 2 xxxh .

iii) H συνάρτηση f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων

hhg )( και 1

1)(

2

xxh .

iv) H συνάρτηση f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων hehg )(

και xxh )( .

v) H συνάρτηση f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων hhg ln)(

και xxh ln)( .

6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1 xx έχει μία τουλάχιστον λύση στο

διάστημα ),0( .

Απάντηση:

Η συνάρτηση 1)( xxxf είναι συνεχής στο διάστημα ],0[ ως άθροισμα

συνεχών συναρτήσεων. Επίσης ισχύουν τα εξής:

1100)0( f

11)(f




Άρα 0)1(1)()0( ff

Επομένως επειδή 0)()0( ff θα ισχύει το θεώρημα Bolzano.

Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης

010)( xxxf στο διάστημα ),0( .

7. Για κάθε μία από τις παρακάτω πολυωνυμικές συναρτήσεις f, να βρείτε έναν

ακέραιο α τέτοιον, ώστε στο διάστημα )1,( aa η εξίσωση 0)( xf να έχει μία

τουλάχιστον ρίζα

i) 1)( 3 xxxf

ii) 12)( 5 xxxf

iii) 42)( 4 xxxf

iv) 2)( 3 xxxf

Απάντηση:

i) Η συνάρτηση 1)( 3 xxxf είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Επίσης ισχύει:

1100)0( 3 f

1111)1( 3 f

Άρα 01)1(1)1()0( ff

Επομένως επειδή 0)1()0( ff θα ισχύει το θεώρημα Bolzano.


010)( 3 xxxf στο διάστημα )1,0( .

Επομένως α=0.

ii) Η συνάρτηση 12)( 5 xxxf είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Επίσης ισχύει:

31311)1(2)1()1( 5 f

1102)0()0( 5 f

Άρα 031)3()0()1( ff







Επομένως α=-1.

iii) Η συνάρτηση 42)( 4 xxxf είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Επίσης ισχύει:

54214)1(2)1()1( 4 f

1644324)2(2)2()2( 4 f

Άρα 08016)5()2()1( ff




Επομένως α=-2.

iv) Η συνάρτηση 2)( 3 xxxf είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Επίσης ισχύει:

2211)1( 3 f

448222)2( 3 f

Άρα 08)4(2)2()1( ff




Επομένως α=1.

8. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

0))(())(())(( xxxxxxa

όπου α, β, γ > 0 και λ < μ < ν, έχει δυο ρίζες άνισες, μια στο διάστημα (λ,μ) και

μια στο (μ,ν).




Απάντηση:

Η συνάρτηση ))(())(())(()( xxxxxxaxf είναι

συνεχής στο διάστημα (λ,μ). Επίσης ισχύει:

0))(())(())(())(()( aaf

Γιατί 0 και 0 και α>0 σύμφωνα με την εκφώνηση.

0))(())(())(())(()( af

Γιατί 0 και 0 και β>0 σύμφωνα με την εκφώνηση.

Επομένως επειδή 0)()( ff θα ισχύει το θεώρημα Bolzano.


0))(())(())(( xxxxxxa στο διάστημα ),( .

Η συνάρτηση ))(())(())(()( xxxxxxaxf είναι

συνεχής στο διάστημα (μ,ν). Επίσης ισχύει:

0))(())(())(())(()( af

Γιατί 0 και 0 και β>0 σύμφωνα με την εκφώνηση.

0))(())(())(())(()( af

Γιατί 0 και 0 και γ>0 σύμφωνα με την εκφώνηση.

Επομένως επειδή 0)()( ff θα ισχύει το θεώρημα Bolzano.


0))(())(())(( xxxxxxa στο διάστημα ),( .

Επομένως η εξίσωση 0))(())(())(( xxxxxxa έχει δύο

ρίζες άνισες, μια στο διάστημα (λ,μ) και μια στο (μ,ν).

9. Να βρείτε το πρόσημα της συνάρτησης f για όλες τις πραγματικές τιμές του x,

όταν :

i) 22)( 23 xxxxf

ii) 24 9)( xxxf




iii) 3)( xxf , ),( x

iv) xxxf )( , ]2,0[ x

Απάντηση:


)1)(1)(2()1)(2()2()2(22)( 2223 xxxxxxxxxxxxf

Η συνάρτηση f μηδενίζεται για:

1120)1)(1)(2(0)( xήxήxxxxxf

Το πρόσημο της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα για κάθε πιθανό διάστημα:

x -∞ -2 -1 1 +∞

x+2 - + + +

x+1 - - + +

x-1 - - - +

f(x) - + - +

ii) Θα έχουμε:

)3)(3()9(9)( 22224 xxxxxxxxf

Η συνάρτηση f μηδενίζεται για:

3300)3)(3(0)( 2 xήxήxxxxxf


x -∞ -3 0 3 +∞

x+3 - + + +

x2 + + + +

x-3 - - - +

f(x) + - - +

iii) Η συνάρτηση 3)( xxf μηδενίζεται για:

333030)(

kxxxxxf

Όμως ),( x επομένως για k=-1 και k=0 οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι:




33

2 xήx


x -π -2π/3 -π/2 π/3 π/2 -π

3x - + - + -

iv) Η συνάρτηση xxxf )( μηδενίζεται για:

4

3

4

3100)(

kx

xxxxxxxf

Όμως ]2,0[ x επομένως για k=0 και k=1 οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι:

4

7

4

3 xήx


x 0 3π/4 7π/4 2π

xx + - +

10. Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων

i) 1ln)( xxf , ],1[ ex

ii) 2)( xxf , )2,0(x

iii) 12)( xxf , )6

,0[

x

iv) 1)( xexf , ]0,(x

Απάντηση:

i) Η συνάρτηση 1ln)( xxf είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο διάστημα

],1[ e .

Θα έχουμε:




111ln)1( f

0111ln)( eef

Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης 1ln)( xxf θα είναι το διάστημα

]0,1[ .

ii) Η συνάρτηση 2)( xxf είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο διάστημα

)2,0( .

Θα έχουμε:

022)(lim2

xfx

220)(lim0

xfx

Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης 2)( xxf θα είναι το διάστημα

)2,0( .

iii) Η συνάρτηση 12)( xxf είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο διάστημα

)6

,0[

.

Θα έχουμε:

1102)0( f

212

121

62)(lim

6

xf

x

Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης 12)( xxf θα είναι το διάστημα

)2,1[ .

iv) Η συνάρτηση 1)( xexf είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο διάστημα

]0,( .

Θα έχουμε:

11)(lim

exf

x

2111)0( 0 ef

Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης 1)( xexf θα είναι το διάστημα

]2,1( .




B’ Ομάδας

1. Αν 2,

2,

5

))(()(

x

x

kx

kxkxxf , να προσδιορίσετε το k, ώστε η f να είναι

συνεχής στο 2ox .

Απάντηση:

Έχουμε ότι:

2

224)2)(2()])([(lim)(lim kkkkxkxxf

xx

52)5(lim)(lim22

kkxxfxx

24)2)(2()2( kkkf

Για να είναι η f συνεχής στο 2ox θα πρέπει να ισχύει:

10)1(012524)2()(lim)(lim 222

22

kkkkkkfxfxf

xx

2. Αν

1,

1,

1,

5

12

)(

22

x

x

x

ax

xxa

xf

, να βρείτε τις τιμές των α, β ϵ R για τις

οποίες η f να είναι συνεχής στο 1ox .

Απάντηση:

Έχουμε ότι:

121211)12(lim)(lim 22222

11

aaxxaxf

xx

aaxxfxx

)(lim)(lim11

5)1( f

Για να είναι η f συνεχής στο 1ox θα πρέπει να ισχύει:




5

012

5

5125

5

512

5

512)1()(lim)(lim

22

22

11

aa

a

a

afxfxf

xx

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του πολυωνύμου 122 aa :

49481)12(14)1( 2


42

8

2

71

12

49)1(1

a

32

6

2

71

12

49)1(2

a


Για 41 a : 1455

Για 31 a : 8)3(55

Οι τιμές των α, β ϵ R για τις οποίες η f είναι συνεχής στο 1ox είναι οι: (α=4,β=1) ή

(α=-3,β=8).

3. i) Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο 0ox . Να βρείτε το f(0),

αν για κάθε x ϵ R* ισχύει 1)( xxxf .

ii) Ομοίως, να βρείτε το g(0) για τη συνάρτηση g που είναι συνεχής στο 0ox και

για κάθε x ϵ R ισχύει 2)( xxxxg .

Απάντηση:

i) Έχουμε για 0x ότι: x

xxfxxxf

1)(1)(

Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0ox θα ισχύει:




02

110)

1

1)()((lim

)1(lim

)1(

)1(lim

)1(

)1)(1(lim

1lim)(lim)0(

0

2

0

2

0000

xx

xx

xx

x

xx

x

xx

xx

x

xxff

xx

xxxx

ii) Επειδή η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 0ox θα ισχύει:

)0()(lim)(lim00

gxgxgxx

(1)

Επομένως αρκεί να υπολογίσουμε το όριο )(lim0

xgx

. Για x>0 θα έχουμε:

x

xxxg

x

xx

xxxxgxxxxxxgxxxxxg

)(

)()()( 22222


1lim0

x

xx

x

1lim0

x

xx

x

Επομένως από το θεώρημα της παρεμβολής θα ισχύει ότι 1)(lim0

xgx

Επομένως από τη σχέση (1) προκύπτει ότι 1)0( g .

4. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και συνεχείς στο [0,1] και πληρούν τις

σχέσεις )0()0( gf και )1()1( gf , να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον

)1,0( τέτοιο ώστε )()( gf .

Απάντηση:

Σύμφωνα με την εκφώνηση ισχύουν οι σχέσεις:

0)0()0()0()0( gfgf

0)1()1()1()1( gfgf

Θεωρούμε τη συνάρτηση )()()( xgxfxh .




Η συνάρτηση h είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.


0)0()0()0( gfh

0)1()1()1( gfh

Επομένως: 0)1()0( hh και άρα ισχύει το θεώρημα Bolzano. Θα υπάρχει επομένως

ένα τουλάχιστον )1,0( τέτοιο ώστε )()(0)()(0)( gfgfh .

5. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις :

α) 02

1

1

1 64

x

x

x

x

β) 02

ln

1

x

x

x

e x

έχουν μία ,τουλάχιστον, ρίζα στο (1,2).

Απάντηση:

α) Θα έχουμε:

0)1)(1()2)(1(02

1

1

1 6464

xxxx

x

x

x

x

Θεωρούμε τη συνάρτηση )1)(1()2)(1()( 64 xxxxxf .

Αρκεί να αποδείξουμε ότι η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (1,2).

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,2].

Επίσης ισχύει:

02)11)(11()21)(11()1( 64 f

065)12)(12()22)(12()2( 64 f

Επειδή η f είναι συνεχής στο [1,2] και ισχύει 0)2()1( ff σύμφωνα με το θεώρημα

Bolzano, η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (1,2).

β) Θα έχουμε:




0)1(ln)2(02

ln

1

xxxe

x

x

x

e xx

Θεωρούμε τη συνάρτηση )1(ln)2()( xxxexf x .

Αρκεί να αποδείξουμε ότι η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (1,2).

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,2].

Επίσης ισχύει:

0)11(1ln)21()1( 1 eef

02ln)12(2ln)22()2( 2 ef

Επειδή η f είναι συνεχής στο [1,2] και ισχύει 0)2()1( ff σύμφωνα με το θεώρημα

Bolzano, η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (1,2).

6. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να αποδείξετε ότι οι γραφικές

παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο

i) xexf )( και x

xg1

)(

ii) xxf ln)( και x

xg1

)(

Απάντηση:

i) Για να έχουν οι γραφικές παραστάσεις ακριβώς ένα κοινό σημείο, θα πρέπει η

εξίσωση )()( xgxf να έχει μόνο μία λύση.

Η συνάρτηση xexf )( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RA και ισχύει ότι

0)( xexf για *Rx . Άρα η xexf )( είναι γνησίως αύξουσα. Δηλαδή αν

),0(, 21 xx με 21 xx θα ισχύει :

21)()( 21

xx eexfxf (1)


xg1

)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο *RA και ισχύει ότι




01

)( x

xg για ),0( x και 01

)( x

xg για )0,(x . Άρα η x

xg1

)( είναι

γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ),0( B . Δηλαδή αν ),0(, 21 xx με 21 xx

θα ισχύει :

21

21

11)()(

xxxgxg (2)

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι για να βρούμε την κοινή λύση της εξίσωσης

)()( xgxf πρέπει να περιοριστούμε στο διάστημα ),0( B .

Θεωρούμε στη συνέχεια τη συνάρτηση στο διάστημα ),0( B :

xexgxfxh x 1

)()()(

Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο διάστημα ),0( B ως άθροισμα συνεχών

συναρτήσεων. Επιπλέον αν ),0(, 21 xx με 21 xx θα ισχύει σύμφωνα με τις

σχέσεις (1) και (2):

2121

1111

2121

xx

ee

xx

eexxxx

Προσθέτουμε τις σχέσεις κατά μέλη και έχουμε:

)()(11

1121

2121

21

21

xhxhx

ex

e

xx

eexx

xx


exgxfxh x 1)()()( είναι γνησίως αύξουσα στο

διάστημα ),0( B . Στη συνέχεια θα βρούμε το σύνολο τιμών της )(xh . Θα

έχουμε:

)1

(lim)(lim00 x

exh x

xx

)1

(lim)(limx

exh x

xx

Επομένως το σύνολο τιμών της )(xh είναι το διάστημα RA ),( . Όμως η

συνάρτηση )(xh είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ),0( B και ως εκ τούτου




η συνάρτηση x

exgxfxh x 1)()()( έχει μόνο μία ρίζα στο διάστημα

),0( B .

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η εξίσωση )()( xgxf έχει μόνο μία ρίζα στο

διάστημα ),0( B .

ii) Για να έχουν οι γραφικές παραστάσεις ακριβώς ένα κοινό σημείο, θα πρέπει η

εξίσωση )()( xgxf να έχει μόνο μία λύση.

Η συνάρτηση xxf ln)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),0( B και ισχύει ότι

η xxf ln)( είναι γνησίως αύξουσα. Δηλαδή αν ),0(, 21 xx με 21 xx θα

ισχύει :

2121 lnln)()( xxxfxf (1)


xg1

)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο *RA και ισχύει ότι

01

)( x

xg για ),0( x και 01

)( x

xg για )0,(x . Άρα η x

xg1

)( είναι

γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ),0( B . Δηλαδή αν ),0(, 21 xx με 21 xx

θα ισχύει :

21

21

11)()(

xxxgxg (2)

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι για να βρούμε την κοινή λύση της εξίσωσης

)()( xgxf πρέπει να περιοριστούμε στο διάστημα ),0( B .

Θεωρούμε στη συνέχεια τη συνάρτηση στο διάστημα ),0( B :

xxxgxfxh

1ln)()()(

Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο διάστημα ),0( B ως άθροισμα συνεχών

συναρτήσεων. Επιπλέον αν ),0(, 21 xx με 21 xx θα ισχύει σύμφωνα με τις

σχέσεις (1) και (2):

21

21

21

21

11

lnln

11

lnln

xx

xx

xx

xx

Προσθέτουμε τις σχέσεις κατά μέλη και έχουμε:




)()(1

ln1

ln11

lnln

21

2

2

1

1

21

21

xhxhx

xx

x

xx

xx


xxgxfxh1

ln)()()( είναι γνησίως αύξουσα στο

διάστημα ),0( B . Στη συνέχεια θα βρούμε το σύνολο τιμών της )(xh . Θα

έχουμε:

)1

(lnlim)(lim00 x

xxhxx

)1

(lnlim)(limx

xxhxx

Επομένως το σύνολο τιμών της )(xh είναι το διάστημα RA ),( . Όμως η

συνάρτηση )(xh είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ),0( B και ως εκ τούτου

η συνάρτηση x

xxgxfxh1

ln)()()( έχει μόνο μία ρίζα στο διάστημα

),0( B .

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η εξίσωση )()( xgxf έχει μόνο μία ρίζα στο

διάστημα ),0( B .

7. i) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [−1,1] , για την οποία ισχύει

1)(22 xfx για κάθε x ϵ [−1,1].

α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0.

β) Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί το πρόσημό της στο διάστημα (−1,1).

γ) Ποιος μπορεί να είναι ο τύπος της f και ποια η γραφική της παράσταση;

ii)Με ανάλογο τρόπο να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης f στο σύνολο

R, για την οποία ισχύει 22 )( xxf για κάθε x ϵ R.

Απάντηση:

i) Έχουμε για κάθε x ϵ [−1,1]:

2222 1)(1)( xxfxfx




α) Στη συνέχεια θα βρούμε τις ρίζες τις εξίσωσης 0)( xf . Θα έχουμε:

110)1)(1(010)(0)( 22 xήxxxxxfxf

Επομένως οι λύσεις της 0)( xf στο διάστημα [−1,1] είναι οι 11 xήx .

β) Η συνάρτηση )(xf είναι συνεχής στο διάστημα (−1,1) και δεν έχει ρίζα στο

διάστημα αυτό σύμφωνα με το ερώτημα α. Επομένως η συνάρτηση )(xf διατηρεί

το πρόσημό της στο διάστημα (−1,1).

γ) Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

Αν 0)( xf στο διάστημα (−1,1) τότε θα έχουμε:

222 1)(1)( xxfxxf

Επίσης επειδή οι 11 xήx είναι ρίζες της 0)( xf ο τύπος της

)(xf είναι ο 21)( xxf στο διάστημα [−1,1].

Αν 0)( xf στο διάστημα (−1,1) τότε θα έχουμε:

222 1)(1)( xxfxxf

Επίσης επειδή οι 11 xήx είναι ρίζες της 0)( xf ο τύπος της

)(xf είναι ο 21)( xxf στο διάστημα [−1,1].

Η γραφική παράσταση της )(xf για κάθε περίπτωση φαίνεται στο παρακάτω

σχήμα:

ii) α) Θα βρούμε τις ρίζες τις εξίσωσης 0)( xf . Θα έχουμε:

000)(0)( 22 xxxfxf

Επομένως η λύση της 0)( xf στο σύνολο RA είναι μοναδική και είναι η 0x .

β) Η συνάρτηση )(xf είναι συνεχής στο διάστημα )0,( και δεν έχει ρίζα στο

διάστημα αυτό σύμφωνα με το ερώτημα α. Επομένως η συνάρτηση )(xf διατηρεί

το πρόσημό της στο διάστημα )0,( . Ομοίως Η συνάρτηση )(xf είναι συνεχής




στο διάστημα ),0( και δεν έχει ρίζα στο διάστημα αυτό σύμφωνα με το ερώτημα

α. Επομένως η συνάρτηση )(xf διατηρεί το πρόσημό της στο διάστημα ),0( .

γ) Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

Αν 0)( xf στο διάστημα )0,( τότε θα έχουμε:

xxfxxf )()( 22 αφού 0x

Επίσης επειδή η 0x είναι ρίζα της 0)( xf ο τύπος της )(xf είναι ο

xxf )( στο διάστημα ]0,( .

Αν 0)( xf στο διάστημα )0,( τότε θα έχουμε:



xxf )( στο διάστημα ]0,( .

Αν 0)( xf στο διάστημα ),0( τότε θα έχουμε:



xxf )( στο διάστημα ),0[ .

Αν 0)( xf στο διάστημα ),0( τότε θα έχουμε:



xxf )( στο διάστημα ),0[ .

Συνοψίζοντας η )(xf είναι δυνατό να έχει έναν από τους παρακάτω τύπους:

1. xxf )( , Rx

2. xxf )( , Rx

3. xxf )( , Rx

4. xxf )( , Rx

Η γραφική παράσταση της )(xf για κάθε περίπτωση φαίνεται στο παρακάτω

σχήμα:




8. Δίνεται το τετράγωνο ΟΑΒΓ του διπλανού σχήματος και μία συνεχής στο [0,1]

συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο

τετράγωνο αυτό.

i) Να βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων του τετραγώνου και

ii) Να αποδείξετε με το θεώρημα του Bolzano ότι η C f τέμνει και τις δύο

διαγώνιες.

Απάντηση:




i) H εξίσωση της διαγωνίου ΟΒ του τετραγώνου (σύμφωνα με τον τύπο

υπολογισμού εξίσωσης ευθείας με δύο γνωστά σημεία) θα είναι η:

xyxy

)0(

01

010

H εξίσωση της διαγωνίου ΑΓ του τετραγώνου (σύμφωνα με τον τύπο υπολογισμού

εξίσωσης ευθείας με δύο γνωστά σημεία) θα είναι η:

1)1(10

010

xyxy

ii) Σύμφωνα με την εκφώνηση, η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [0,1] και

η γραφική της παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΟΑΒΓ.

Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης f θα είναι υποσύνολο του διαστήματος

[0,1], δηλαδή θα ισχύει η σχέση:

1)(0 xf με ]1,0[x (1)

Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f τέμνει τη διαγώνιο xy , θα πρέπει να

αποδείξουμε ότι η εξίσωση xxf )( έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ]1,0[ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση xxfxh )()( . Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο

διάστημα ]1,0[ ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Ισχύει επίσης:

0)0()0(0)0()0()1(

fhfh

11)1()1(1)1()1()1(

fhfh


Αν 0)0( h τότε 0)0( f . Τότε η εξίσωση xxf )( έχει ως ρίζα την 0x

και η συνάρτηση )(xf τέμνει τη διαγώνιο xy στο σημείο Ο(0,0).

Αν 0)1( h τότε 1)1( f . Τότε η εξίσωση xxf )( έχει ως ρίζα την 1x

και η συνάρτηση )(xf τέμνει τη διαγώνιο xy στο σημείο Α(1,1).

Αν 0)1()0( hh τότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει

τουλάχιστον ένα )1,0(ox τέτοιο ώστε ooo xxfxh )(0)( και η

συνάρτηση )(xf τέμνει τη διαγώνιο xy στο σημείο Ρ(xo, xo).

Άρα σε κάθε περίπτωση η συνάρτηση )(xf τέμνει τη διαγώνιο xy .




Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f τέμνει τη διαγώνιο 1 xy , θα πρέπει να

αποδείξουμε ότι η εξίσωση 1)( xxf έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα

]1,0[ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση 1)()( xxfxz . Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο

διάστημα ]1,0[ ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Ισχύει επίσης:

01)0()0(10)0()0()1(

fzfz

0)1()1(11)1()1()1(

fzfz


Αν 0)0( z τότε 1)0( f . Τότε η εξίσωση 1)( xxf έχει ως ρίζα την

0x και η συνάρτηση )(xf τέμνει τη διαγώνιο 1 xy στο σημείο

Γ(0,1).

Αν 0)1( z τότε 0)1( f . Τότε η εξίσωση 1)( xxf έχει ως ρίζα την

1x και η συνάρτηση )(xf τέμνει τη διαγώνιο 1 xy στο σημείο

Α(1,0).

Αν 0)1()0( zz τότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει

τουλάχιστον ένα )1,0(o τέτοιο ώστε 1)(0)( ooo fz και η

συνάρτηση )(xf τέμνει τη διαγώνιο 1 xy στο σημείο :(ξo,ξo).

Άρα σε κάθε περίπτωση η συνάρτηση )(xf τέμνει τη διαγώνιο 1 xy .

9. Στο διπλανό σχήμα η καμπύλη C είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f

που είναι συνεχής στο [α, β] και το M0(x0,y0) είναι ένα σημείο του επιπέδου,

i) Να βρείτε τον τύπο της απόστασης d(x) = (M0M) του σημείου M0(x0,y0) από

το σημείο M(x,f(x)) της C f για κάθε x ϵ [α, β] .

ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση d είναι συνεχής στο [α,β] και στη συνέχεια

ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, σημείο της Cf που απέχει από το M0 λιγότερο από

ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της και ένα, τουλάχιστον, σημείο της Cf που

απέχει από το M0 περισσότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της.




Απάντηση:

i) Η απόσταση d(x) = (M0M) του σημείου M0(x0,y0) από το σημείο M(x,f(x)) της C f για

κάθε x ϵ [α, β] είναι:

22 ))(()( oo yxfxxd με ],[ ax

ii) Η συνάρτηση d είναι συνεχής στο ],[ a ως ρίζα αθροίσματος συνεχών

συναρτήσεων. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής θα

υπάρχει κάποιο ],[1 ax για το οποίο η συνάρτηση d θα πάρει τη μέγιστη τιμή

της και κάποιο ],[2 ax για το οποίο η συνάρτηση d θα πάρει την ελάχιστη τιμή

της.




ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

I.

Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο

ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής,

αιτιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας.

1. Αν xxf ln)( και xexg )( , τότε

α) x

xgof1

))(( , *Rx

β) xxfog ))(( , Rx

Απάντηση:

α) H συνάρτηση xxf ln)( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),0( A ενώ η

συνάρτηση xexg )( έχει πεδίο ορισμού το σύνολο RB .



),0()(),0( xRxfx

Επομένως η gof ορίζεται για κάθε ),0( x και όχι για *Rx .

Επομένως η πρόταση είναι ΨΕΥΔΗΣ.

β) Το πεδίο ορισμού της fog αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου

ορισμού της f για τα οποία το g(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της f. Δηλαδή είναι το

σύνολο:

RxxgRx ),0()(

Επομένως η fog ορίζεται για κάθε Rx και έχει τύπο:

xexeefxgfxfog xx ln)()ln()())(())((

Επομένως η πρόταση είναι ΑΛΗΘΗΣ.

2. Αν Rlx

xf

x

1

)(lim

1, τότε 0)(lim

1

xf

x

Απάντηση:




Θέτουμε 1

)()(

x

xfxg για 1x . Ισχύει ότι l

x

xfxg

xx

1

)(lim)(lim

11

Θα έχουμε: )1)(()(1

)()(

xxgxf

x

xfxg

Υπολογίζουμε στη συνέχεια το όριο:

00)1(lim)(lim)]1)(([lim)(lim1111

lxxgxxgxfxxxx


3. Είναι 01

lim01

limlim1

lim2020020

xxxxx

xxx

xxxx.

Απάντηση:

Το όριο xxx 20

1lim μας δίνει αποτέλεσμα ή . Επομένως ο πολλαπλασιασμός

xxx

20

1lim0 δεν δίνει αποτέλεσμα 0 καθώς προκύπτει απροσδιόριστη μορφή

( 0 ή 0 ).


4. Αν 1)( xf για κάθε Rx και υπάρχει το )(lim0

xfx

, τότε κατ’ ανάγκη

1)(lim0

xfx

.

Απάντηση:

Η παραπάνω πρόταση είναι ΨΕΥΔΗΣ διότι μπορεί το όριο να είναι και ίσο με 1,

δηλαδή να ισχύει 1)(lim0

xfx

.

Για παράδειγμα αν έχουμε τη συνάρτηση: 0,

0,

4

1)(

2

x

xxxf για την οποία

ισχύει 1)( xf για κάθε Rx , το όριο θα είναι: 1)(lim0

xfx

.




5. Ισχύει:

α) 11

lim

x

xx

β) 1lim x

x

x

Απάντηση:

α) Θέτουμε u

xux

11 οπότε για 0

1 u

x θα έχουμε:

1lim1

lim1

lim00

u

uu

uxx

uux


β) Ισχύει ότι:

xx

xx

x 11

Η παραπάνω σχέση γράφεται:

xx

x

xxx

x 111

Γνωρίζουμε ότι ισχύει:

01

lim xx

Επομένως από το κριτήριο της παρεμβολής προκύπτει ότι:

0lim x

x

x


6. Αν 1)(0 xf κοντά στο 0, τότε 0))((lim 2

0

xfx

x.

Απάντηση:

Θα έχουμε:




22 )(01)(0 xxfxxf

Γνωρίζουμε ότι ισχύει:

0lim 2

0

x

x

Επομένως από το κριτήριο της παρεμβολής προκύπτει ότι:

0))((lim 2

0

xfx

x


7. Αν 2

1)(

xxf , ),( ax , τότε κατ’ ανάγκη θα είναι 0)(lim

xf

x.

Απάντηση:

Η πρόταση είναι ΨΕΥΔΗΣ γιατί η συνάρτηση f μπορεί να μην έχει καν όριο στο .

8. Αν υπάρχει το )()(lim6

xgxfx

, τότε είναι ίσο με )6()6( gf .

Απάντηση:

Η πρόταση είναι ΨΕΥΔΗΣ γιατί η συνάρτηση )()( xgxf μπορεί να μην είναι

συνεχής στο 6.

9. Αν 1)(lim

xfoxx

, τότε κατ’ ανάγκη θα είναι 1)(lim

xfoxx

ή 1)(lim

xfoxx

.

Απάντηση:

Η πρόταση είναι ΨΕΥΔΗΣ γιατί το )(lim xfoxx

μπορεί να μην υπάρχει.

10. Αν 0)(lim

xfoxx

, τότε 0)(lim

xfoxx

.

Απάντηση:

Από τον ορισμό του ορίου ισχύει:




0)(lim0])([lim)(lim

lxflxflxfooo xxxxxx

Για 0l προκύπτει 0)(lim

xfoxx


11. Αν η f είναι συνεχής στο R και για 4x ισχύει 4

127)(

2

x

xxxf , τότε το

)4(f είναι ίσο με 1.

Απάντηση:

Η f είναι συνεχής στο R επομένως ισχύει:

4

127lim)4(lim)4(

2

44

x

xxff

xx


148491214)7( 2


42

8

2

17

12

1)7(1

x

32

6

2

17

12

1)7(2

x

Επομένως το όριο γράφεται:

134)3(lim4

)3)(4(lim

4

127lim)4(lim)4(

44

2

44

x

x

xx

x

xxff

xxxx


12. Αν η f είναι συνεχής στο [-1,1] και 4)1( f , 3)1( f , τότε υπάρχει

πραγματικός αριθμός )1,1(ox τέτοιος ώστε )( oxf .

Απάντηση:

H f είναι συνεχής στο [-1,1]. Επίσης ισχύει ότι: )1()1( ff και 43 .




Επομένως από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών θα υπάρχει πραγματικός αριθμός

)1,1(ox τέτοιος ώστε )( oxf .


IΙ.

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις:

1. Αν lxfoxx

)(lim , mxgoxx

)(lim , Rml , και )()( xgxf κοντά στο ox , τότε κατ’

ανάγκη θα είναι:

Α) ml

Β) ml

Γ) ml

Δ) ml

Ε) lm

Απάντηση:

Γνωρίζουμε ότι αν οι συναρτήσεις f και g έχουν όριο στο },{ Rxo και

ισχύει )()( xgxf κοντά στο ox τότε ισχύει: )(lim)(lim xgxfoo xxxx

, (Θεώρημα 2

σελ. 166 και σελ. 184 του σχολικού βιβλίου). Επομένως σωστή απάντηση είναι η Β.

2. Το όριο 32

32

)1(

)21(lim

x

x

x είναι ίσο με:

Α) 8

Β) 1

Γ) 0

Δ)

Ε) -8

Απάντηση:

Θα έχουμε:




81

)2(

)1

1(

)21

(

lim

)1

1(

)21

(

lim

)1

1(

)21

(

lim)1(

)21(lim

3

3

3

2

3

2

3

2

6

3

2

6

3

2

2

3

2

2

32

32

x

x

xx

xx

xx

xx

x

x

xxxx

Επομένως σωστή απάντηση είναι η Ε.

3. Το 2

2323 1lim

x

xxxx

x

είναι ίσο με:

Α)

Β)

Γ) 1

Δ) -1

Ε) 0

Απάντηση:


2323 1

x

xxxx ορίζεται για 0x .


01

lim1

lim1

lim22

23230

2

2323

xx

xxxx

x

xxxx

xx

x

x

Επομένως σωστή απάντηση είναι η Ε.

4. Αν το xx

xxx

oxx

3

23 2lim δεν υπάρχει τότε:

Α) 0ox

Β) 2ox

Γ) 1ox




Δ) 1ox

Απάντηση:

Θα έχουμε:

)1(

2lim

)1)(1(

]1)1)[(1(lim

)1)(1(

)1()1)(1(lim

)1(

)1()1(limlim

2lim

2

2

3

23

3

23

x

x

xxx

xxx

xxx

xxxxx

xx

xxxx

xx

xxxx

xx

xxx

ooo

ooo

xxxxxx

xxxxxx

Για να μην υπάρχει το παραπάνω όριο θα πρέπει να ισούται με ή . Για να

συμβαίνει αυτό θα πρέπει ο παρανομαστής να δίνει ως αποτέλεσμα 0. Αυτό ισχύει

για :

101 oo xx

Τότε

)1(

2lim

1 x

x

x και το όριο δεν υπάρχει.

Επομένως σωστή απάντηση είναι η Δ.

IΙΙ.

1. Δίνονται οι συναρτήσεις

1)2(

1)(

2

xxf και

1

1)(

2

xxg

Από τους παρακάτω ισχυρισμούς λάθος είναι ο :

Α) η g είναι συνεχής στο 2

Β) η f είναι συνεχής στο 1

Γ) η g έχει δυο σημεία στα οποία δεν είναι συνεχής

Δ) 1)(lim

xfx

Απάντηση:


1)(

2

xxg είναι συνεχής ως ρητή συνάρτηση στο πεδίο ορισμού

της. Επομένως είναι λανθασμένη η πρόταση Γ.




2. Ποια από τα παρακάτω όρια είναι καλώς ορισμένα;

Α) 1lim 20

0

xx

x

Β) 1lim 20

0

xx

x

Γ) 13lim 9

xxx

Δ) 13lim 9

xxx

Ε) )]1[ln(lim 3

0

xx

x

ΣΤ) )]1[ln(lim 3

0

xx

x

Απάντηση:

Σωστά ορισμένα είναι τα όρια Α, Γ και Ε καθώς στα υπόλοιπα προκύπτει αρνητική

τιμή μέσα στη ρίζα ή το λογάριθμο.

3. Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα Δ = [0,3] , με f(0) =2,

f(1) =1 και f(3) = −1. Ποιος από τους παρακάτω ισχυρισμούς δεν προκύπτει κατ'

ανάγκη από τις υποθέσεις;

Α) Υπάρχει x0 ϵ (0,3) τέτοιος, ώστε f(x0) = 0.

Β) 1)(lim3

xfx

Γ) )2()(lim2

fxfx

Δ) [−1,2] ⊆ f(Δ)

Ε) Η μέγιστη τιμή της f στο [0,3] είναι το 2 και η ελάχιστη τιμή της το −1.

Απάντηση:

Η πρόταση Ε δεν προκύπτει κατ' ανάγκη από τις υποθέσεις καθώς δεν γνωρίζουμε

τη μονοτονία της συνάρτησης.


Documents

Μέρος Β Ανάλυση Κεφάλαιο 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης