Upload
science-physics-4-all
View
74
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Θεωρία και Ασκήσεις Συναρτήσεων για το Μέρος Β Ανάλυση Κεφάλαιο 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης, Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου
Citation preview
1 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Έστω RA και RB .
Συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β λέγεται κάθε διαδικασία με την οποία
κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο στοιχείο του Β. Τις συναρτήσεις
τις ονομάζουμε συνήθως με τα γράμματα ,,, hgf κ.λ.π.
Μία συνάρτηση f από το σύνολο Α στο σύνολο Β συμβολίζεται: :f .
Το Α λέγεται πεδίο ορισμού της f .
Αν το στοιχείο Ax αντιστοιχίζεται στο By , γράφουμε )(xfy και το )(xf το
λέμε τιμή της συναρτήσεως f στο x .
Το x παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του συνόλου Α και ονομάζεται ανεξάρτητη
μεταβλητή, ενώ το y παριστάνει την τιμή της f στο Ax και ονομάζεται
εξαρτημένη μεταβλητή.
Με )(Af συμβολίζουμε το σύνολο των τιμών της f . Δηλαδή:
AxxfyByAf ),(/)(
Επομένως μία συνάρτηση f από το σύνολο Α στο σύνολο Β συμβολίζεται
αναλυτικότερα ως εξής:
:f
)(xfyx
Σύμφωνα με τα παραπάνω κατανοούμε ότι μια συνάρτηση f είναι καλά ορισμένη
όταν γνωρίζουμε:
i. Το πεδίο ορισμού της Α
ii. Το σύνολο Β
iii. Τον τύπο με τον οποίο δίνονται οι τιμές της f , δηλαδή το )(xf .
Πολλές φορές στις ασκήσεις μας δίνουν μόνο τον τύπο )(xf μιας συνάρτησης. Τότε
ως Β θα παίρνουμε το R , ενώ ως πεδίο ορισμού το ευρύτερο υποσύνολο του R για
κάθε στοιχείο x του οποίου το )(xf θα έχει νόημα πραγματικού αριθμού.
Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f το συμβολίζουμε με fA ή fD .
2 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:
i) 8635)( 24 xxxxf
ii) 9
3)(
2
2
x
xxg
iii) 209
3)(
2
xx
xxh
iv) 2
1)(
2
2
xx
xxx
Λύση:
i) Παρατηρούμε ότι για κάθε Rx το Rxf )( , οπότε RAf .
ΠΡΟΣΟΧΗ: Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το R .
ii) Πρέπει:
3303030)3)(3(092 xxxxxxx
Επομένως ),3()3,3()3,( gA .
ΠΡΟΣΟΧΗ: Κάθε ρητή συνάρτηση (δηλαδή κάθε κλασματική συνάρτηση της οποίας
ο αριθμητής και ο παρανομαστής είναι πολυώνυμα) έχει ως πεδίο ορισμού όλο το
R εκτός από εκείνες τις τιμές του R που μηδενίζουν τον παρανομαστή του
κλάσματος.
iii) Πρέπει 03 x και 02092 xx , δηλαδή 3x και ( 4x ή 5x )
Επομένως: ),5()5,4()4,3[ hA .
iv) Πρέπει 022 xx . Επειδή 07 η ανίσωση αυτή ισχύει για κάθε Rx .
Επομένως RA .
Υπάρχουν συναρτήσεις που ορίζονται με ένα τύπο ο οποίος έχει δύο ή
περισσότερους κλάδους.
3 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Δίνονται οι συναρτήσεις:
i) 1,
1,
31
1)(
2
x
xx
xxf
ii)
0,
0,
0,
.
53
4
13
)(2
2
x
x
x
xx
xx
xg
Να βρεθούν οι τιμές )2(),0(),2(),3(),1(),0(),2( gggffff .
Λύση:
3
5
3
14
12
1)2()2(
2
f
110
1)0()0(
2
f
3)1( f
52
10
13
13)3(
2
f
111641)2(3)2()2( 2 g
4)0( g
155645232)2( 2 g
4 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Έστω μία συνάρτηση Rf : και ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy στο
επίπεδο.
Για κάθε Ax ορίζεται το διατεταγμένο ζεύγος ),( yx με )(xfy . Και για κάθε
διατεταγμένο ζεύγος ),( yx με )(xfy ορίζεται στο επίπεδο ένα σημείο ),( yxM .
Το σύνολο των σημείων ),( yxM , )(xfy λέγεται γραφική παράσταση της f και
συμβολίζεται με fC .
Επομένως η εξίσωση )(xfy με αγνώστους x και y επαληθεύεται από τις
συντεταγμένες κάθε σημείου της fC και μόνο αυτές. Γι’ αυτό η εξίσωση αυτή
λέγεται εξίσωση της fC .
Αν στο επίπεδο στο οποίο έχει οριστεί ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς,
έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f , τότε κάθε ευθεία ε παράλληλη
στον άξονα yy θα έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με την fC .
Επομένως αν στο επίπεδο αυτό έχει χαραχθεί μια γραμμή κατά τέτοιο τρόπο ώστε
τουλάχιστον μια ευθεία ε παράλληλη στον άξονα yy να έχει περισσότερα από ένα
κοινά σημεία με τη γραμμή, τότε η γραμμή αυτή δεν είναι γραφική παράσταση
συνάρτησης.
Σχήμα 1
y
x O
y'
x’
C1
ε
5 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Σχήμα 2
Στο σχήμα 1 η γραμμή 1C είναι γραφική παράσταση συνάρτησης, ενώ στο σχήμα 2
η 2C δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.
Στα επόμενα μαθήματα θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις των οποίων το πεδίο
ορισμού θα είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων.
Αν έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f στο επίπεδο, στο οποίο έχει
οριστεί ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς, τότε μπορούμε να βρούμε το πεδίο
ορισμού της Α και το σύνολο τιμών της )(Af . Επίσης μπορούμε να βρούμε την τιμή
)( oxf της συνάρτησης f στο Axo .
Σχήμα 3
Στο σχήμα 3 έχουμε ],( aA και ],[)( Af , ενώ στο σχήμα 4 έχουμε
),[ aA και ],()( Af .
y
x O
y'
x’
C2
ε
y
x O
y'
x’
Cf
δ f(xo)
xo α β
γ
M(xo,f(xo))
6 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Σχήμα 4
Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς
τον άξονα xx . Πράγματι αν ))(,( xfxM είναι ένα σημείο της fC , το ))(,( xfxN
είναι το αντίστοιχο σημείο της fC . Επειδή τα σημεία Μ και Ν έχουν την ίδια
τετμημένη και αντίθετες τεταγμένες, είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα xx .
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f αποτελείται από τα τμήματα εκείνα
της fC που βρίσκονται πάνω από τον άξονα xx , και από τα συμμετρικά τμήματα
ως προς άξονα συμμετρίας τον xx , των τμημάτων εκείνων της fC που βρίσκονται
κάτω από τον άξονα xx .
y
x O
y'
x’ Cf
γ
α
β
y
x O
y'
x’
Cf
f(x)
x
Μ
Ν
C-f
-f(x)
y
7 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
x O
y'
x’
C f
Cf
8 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
1) Η συνάρτηση axxf )( , ( Ra , ).
2) Η συνάρτηση xaxf )( , ( Ra ).
Cf
Cf
Cf
β β
β
y
O
y'
x’
α>0
y
O
y'
x’
α<0
9 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Η συνάρτηση xaxf )( ισοδύναμα γράφεται:
0,
0,)(
x
x
ax
axxf
Η γραφική παράσταση της f έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy . Αν 1a τότε
οι δύο ημιευθείες που αποτελούν τη γραφική της παράσταση σχηματίζουν ορθή
γωνία και διχοτομούν τις γωνίες των τεταρτημορίων στις οποίες βρίσκονται.
3) Η συνάρτηση 2)( axxf , ( *Ra ).
Η γραφική παράσταση της f έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy .
4) Η συνάρτηση 3)( axxf , ( *Ra ).
Η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.
10 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
5) Η συνάρτηση x
axf )( , ( *Ra ).
Η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.
6) i) Η συνάρτηση xxf )( , ( ),0[ x ).
ii) Η συνάρτηση xxf )( , ( Rx ). Έχουμε: 0,
0,)(
x
x
x
xxf
Η γραφική παράσταση της f έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy .
11 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
7) i) Η συνάρτηση xxf )( , ( Rx ).
Η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.
ii) Η συνάρτηση xxf )( , ( Rx ).
Η γραφική παράσταση της f έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy .
iii) Η συνάρτηση xxf )( , (
ZkkxRxRx ,2
/1
).
Η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.
iv) Η συνάρτηση xxf )( , ( ZkkxRxRx ,/2 ).
12 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.
8) i) Η συνάρτηση xaxf )( με 0a και 1a . Προφανώς RAf .
Αν 1a τότε ισχύει η ισοδυναμία:
21
21
xx aaxx
Αν 10 a τότε ισχύει η ισοδυναμία:
21
21
xx aaxx
ii) Η συνάρτηση xxf alog)( με 0a και 1a . Προφανώς ),0( fA .
13 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Γνωρίζουμε ότι αν 10 a και ),0(,, 21 xxx ισχύουν:
i. xayx y
a log
ii. xa x
a log και xaxa
log
iii. 01log a και 1log aa
iv. 2121 loglog)(log xxxx aaa
v. 21
2
1 loglog)(log xxx
xaaa
vi. xkx a
k
a loglog , Rk
vii. Αν 1a τότε ισχύει η ισοδυναμία: 2121 loglog xxxx aa
viii. Αν 10 a τότε ισχύει η ισοδυναμία: 2121 loglog xxxx aa
ix. aea ln και axx ea ln ( ...)718,2e
Συμβολίζουμε: ax elogln (Οι λογάριθμοι με βάση το e λέγονται φυσικοί ή
νεπέριοι λογάριθμοι).
Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο A ( RA ) και fC η
γραφική της παράσταση. Η fC έχει με τον άξονα yy το πολύ ένα κοινό σημείο. Το
κοινό σημείο της fC και του άξονα yy , αν υπάρχει, είναι το σημείο ))0(,0( fM .
Για να βρούμε τα κοινά σημεία της fC και του άξονα xx (αν υπάρχουν) λύνουμε
την εξίσωση 0)( xf . Οι ρίζες της εξίσωσης αυτής μας δίνουν τις τετμημένες των
κοινών σημείων της fC και του xx . (Επειδή τα σημεία αυτά βρίσκονται πάνω στον
άξονα xx έχουν τεταγμένες μηδέν).
Αν η εξίσωση 0)( xf είναι αδύνατη, η fC και ο άξονας xx δεν έχουν κοινά
σημεία.
14 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Γενικά η λύση του συστήματος
axy
xfy )( μας δίνει τις συντεταγμένες των
κοινών σημείων της fC και της ευθείας ε: axy , εφ’ όσον η ε και η fC έχουν
κοινά σημεία. Αν η ε και η fC δεν έχουν κοινά σημεία, τότε το παραπάνω σύστημα
είναι αδύνατο.
Ομοίως αν στο ίδιο σύστημα αξόνων έχουμε τις γραφικές παραστάσεις fC και gC
δύο συναρτήσεων f και g , τότε τα κοινά τους σημεία, αν υπάρχουν, τα βρίσκουμε
λύνοντας το σύστημα
)(
)(
xgy
xfy.
Τα διαστήματα στα οποία η fC βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx τα βρίσκουμε
λύνοντας την ανίσωση 0)( xf .
Ομοίως τα διαστήματα στα οποία η fC βρίσκεται κάτω από τον άξονα xx τα
βρίσκουμε λύνοντας την ανίσωση 0)( xf .
Γενικά αν έχουμε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις fC και gC
δύο συναρτήσεων f και g με πεδίο ορισμού το σύνολο Α, τότε τα διαστήματα στα
οποία η fC είναι πάνω από τη gC τα βρίσκουμε λύνοντας την ανίσωση
)()( xgxf , ενώ τα διαστήματα στα οποία η fC είναι κάτω από τη gC τα
βρίσκουμε λύνοντας την ανίσωση )()( xgxf .
15 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1) Δίνονται οι συναρτήσεις:
i) x
xf1
)( , ii) 2
1)(
xxg , iii)
2
3)(
x
xxh
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού τους.
β) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να γίνει η γραφική τους παράσταση.
Λύση:
α) Προφανώς έχουμε: *RA f , ),2()2,(2 RAg και gh AA .
β) Αρχικά κατασκευάζουμε τη fC . Η gC προκύπτει από την fC αν τη
μετατοπίσουμε προς τα δεξιά κατά δύο μονάδες.
Επίσης έχουμε 12
1)(
2
11)(
2
3)(
xxh
xxh
x
xxh
Η hC προκύπτει από τη gC , αν τη μετατοπίσουμε προς τα κάτω μία μονάδα.
y
x
O
y'
x’
Cf
Cf
Cg
Cg
Ch
Ch
-1 1
2 3
1
-1
-2
16 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
2) Δίνονται οι συναρτήσεις:
i) xxf ln)( , ii) )2ln()( xxg , iii) 2)2ln()( xxh
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού τους.
β) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να γίνει η γραφική τους παράσταση.
Λύση:
α) Είναι: ),0( fA , ),2( gA και gh AA .
β) Κατασκευάζουμε την fC . Η gC προκύπτει από την fC αν τη μετατοπίσουμε
προς τα αριστερά κατά δύο μονάδες.
Η hC προκύπτει από τη gC , αν τη μετατοπίσουμε προς τα πάνω κατά δύο μονάδες.
3) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να γίνει γραφική παράσταση των συναρτήσεων:
i) xxf )( , ii) 1)( xxg , iii) 21)( xxh
Λύση:
Αρχικά κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση fC της συνάρτησης xxf )( ,
Rx .
y
x
O
y'
x’
Cf
Cg
Ch
-1 1 -2
2
17 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Η Η gC προκύπτει από την fC αν τη μετατοπίσουμε προς τα δεξιά κατά μία
μονάδα.
Η hC προκύπτει από τη gC , αν τη μετατοπίσουμε προς τα πάνω κατά δύο μονάδες.
y
x
O
y'
x’
Cf
Cg
Ch
1
1
2
3
18 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Θα λέμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες αν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού A
και αν για κάθε Ax ισχύει )()( xgxf . Τότε γράφουμε gf .
Έστω δύο συναρτήσεις f , g με πεδία ορισμού τα σύνολα A και B αντίστοιχα. Αν
υπάρχει ένα σύνολο Γ τέτοιο ώστε να ισχύουν:
i. A και B και
ii. για κάθε x να έχουμε )()( xgxf
τότε θα λέμε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες στο Γ.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Δίνονται οι συναρτήσεις 32
94)(
2
x
xxf και
2
23 32)(
x
xxxg
. Να βρεθεί το
ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο ισχύει gf .
Λύση:
Έχουμε ),2
3()
2
3,( fA και *RAg .
Για κάθε fAx έχουμε: 32)(32
)32)(32()(
xxf
x
xxxf και για κάθε
gAx έχουμε: 32)()32(
)(2
2
xxgx
xxxg .
Επομένως για κάθε ),0()0,2
3()
2
3,( gf AAx έχουμε )()( xgxf
οπότε οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες στο σύνολο gf AA .
19 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με πεδία ορισμού τα σύνολα A και B
αντίστοιχα.
Αν BA τότε ορίζονται οι συναρτήσεις gf (άθροισμα), gf (διαφορά)
και gf (γινόμενο) ως εξής:
Για κάθε BAx έχουμε:
)()())(( xgxfxgf
)()())(( xgxfxgf
)()())(( xgxfxgf
Τέλος στο σύνολο 0)(/ xgBAxRx ορίζεται η συνάρτηση g
f
(πηλίκο) ως εξής:
)(
)())((
xg
xfx
g
f
Έστω τώρα μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και έστω *Nv .
Τότε στο σύνολο Α ορίζεται η συνάρτηση vf ως εξής: vv xfxf )]([))(( ή
απλούστερα vv xfxf )]([)( .
ΠΡΟΣΟΧΗ: Έστω οι συναρτήσεις f και g με πεδία ορισμού τα σύνολα A και B
αντίστοιχα.
Αν BA και αν για κάθε BAx ισχύει 0)()( xgxf τότε 0)( xf για
κάθε BAx και 0)( xg για κάθε BAx .
Αν όμως για κάθε BAx ισχύει 0)()( xgxf τότε δεν ισχύει πάντοτε 0)( xf
για κάθε BAx ή 0)( xg για κάθε BAx . Όμως για κάθε BAx
ισχύει 0)( xf ή 0)( xg .
Πράγματι έστω οι συναρτήσεις:
3,
3,
3
0)(
2
x
x
xxxf και
3,
3,
0
1053)(
2
x
xxxxg
Τότε για κάθε 3x έχουμε: 0)1053(0)()( 2 xxxgxf και για κάθε 3x
έχουμε 00)3()()( 2 xxxgxf .
20 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Δηλαδή για κάθε Rx ισχύει 0)()( xgxf , ενώ δεν ισχύει 0)( xf για κάθε
Rx ή 0)( xg για κάθε Rx .
Όμως για κάθε Rx ισχύει 0)( xf ή 0)( xg .
Τέλος έστω ο αριθμός BAxo . Επειδή οι τιμές )( oxf και )( oxg είναι
πραγματικοί αριθμοί ισχύει η ισοδυναμία:
0)(0)(0)()( oooo xgήxfxgxf
21 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Έστω οι συναρτήσεις RAf : και RBg : και έστω
AxxfyRyAf ),(/)( το σύνολο των τιμών της f .
Αν BAf )( , ορίζεται το σύνολο BxfAxA )(/1 ( AA 1 ) και
επομένως ορίζεται η συνάρτηση gof με πεδίο ορισμού το σύνολο 1A και τύπο
))(())(( xfgxgof .
H συνάρτηση gof λέγεται η σύνθεση της f με τη g .
Έστω οι συναρτήσεις hgf ,, και έστω ότι ορίζεται η συνάρτηση )(gofho . Τότε
ορίζεται και η συνάρτηση ofhog)( και μάλιστα ισχύει: )()( gofhoofhog .
Επομένως ορίζεται η συνάρτηση )(gofhohogof η οποία ονομάζεται η σύνθεση
των συναρτήσεων gf , και h .
Α Α1
x
f f(A) B
f(x)
g gof
g(f(x) g(B)
BAf )(
22 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Δίνονται οι συναρτήσεις )1ln()( xxf και 5)( xxg . Να βρεθούν αν
υπάρχουν, οι συναρτήσεις: α) gof , β) fog .
Λύση:
Πρέπει 101 xx και 505 xx .
Επομένως ),1( fA και ),5[ gA .
α) Πρέπει:
11
1
1
1
5)1ln(
1
5)(
1
)(
5
5
5
exex
x
ex
x
x
x
xf
x
Axf
Ax
g
f
Επομένως ορίζεται η gof με πεδίο ορισμού το διάστημα ),1[ 5 e και τύπο:
5)1ln())1(ln())(())(( xxgxfgxgof
β) Πρέπει:
66
5
15
5
15
5
1)(
5
)(
x
x
x
x
x
x
x
xg
x
Axg
Ax
f
g
Επομένως ορίζεται η fog με πεδίο ορισμού το διάστημα ),6( και τύπο:
)15ln()5())(())(( xxfxgfxfog
ΠΡΟΣΟΧΗ: Με τη βοήθεια της παραπάνω εφαρμογής κατανοούμε ότι γενικά ισχύει
goffog . Όμως υπάρχουν και περιπτώσεις για τις οποίες ισχύει foggof .
23 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
1) Δίνονται οι συναρτήσεις xxf )( και 23)( xxg . Να βρεθούν οι συναρτήσεις α)
gof , β) fog .
Λύση:
Προφανώς RAf και RAg .
α) Πρέπει:
RxRx
Rx
Axf
Ax
g
f
)(
Επομένως ορίζεται η gof με πεδίο ορισμού το R και τύπο:
23)())(())(( xxgxfgxgof
β) Πρέπει:
RxRx
Rx
Axg
Ax
f
g
23)(
Επομένως ορίζεται η fog με πεδίο ορισμού το R και τύπο:
22 3)3())(())(( xxfxgfxfog
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Εδώ ισχύει foggof .
Η συνάρτηση xxf )( , Rx λέγεται ταυτοτική συνάρτηση. Γενικά αν μία από τις
συναρτήσεις gf , είναι η ταυτοτική συνάρτηση (π.χ. xxf )( ) τότε ισχύει
gfoggof
2) Δίνονται οι συναρτήσεις xxf )( και )ln()( xexg . Να βρεθούν οι
συναρτήσεις α) gof , β) fog .
Λύση:
Έχουμε RAf και ),( eAg .
α) Πρέπει:
24 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
exex
Rx
Axf
Ax
g
f
),()(
Επομένως ορίζεται η συνάρτηση gof με πεδίο ορισμού το διάστημα ),( e και
τύπο:
)ln()())(())(( xexgxfgxgof
β) Πρέπει:
exRxe
ex
Axg
Ax
f
g
)ln()(
Επομένως ορίζεται και η συνάρτηση fog με πεδίο ορισμού το διάστημα ),( e
και τύπο:
)ln())(ln())(())(( xexefxgfxfog
Άρα ισχύει foggof .
3) Δίνονται οι συναρτήσεις 22)( xxf και 32
1)( xxg . Να αποδείξετε ότι
ισχύει foggof .
Λύση:
Έχουμε RAA gf .
α) Πρέπει:
RxRx
Rx
Axf
Ax
g
f
22)(
Επομένως ορίζεται η συνάρτηση gof με πεδίο ορισμού το R και τύπο:
43)22(2
1)22())(())(( xxxgxfgxgof
β) Πρέπει:
RxRx
Rx
Axg
Ax
f
g
32
1)(
Επομένως ορίζεται και η συνάρτηση fog με πεδίο ορισμού το R και τύπο:
25 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
42)32
1(2)3
2
1())(())(( xxxfxgfxfog
Άρα foggof .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1) Δίνονται οι συναρτήσεις 23
6)(
x
xxf και 2)( xxg . Να βρεθούν οι
συναρτήσεις α) gof , β) fog .
Λύση:
Έχουμε ),3
2()
3
2,( fA και ),2[ gA .
α) Πρέπει:
3
2
3
23
2
0)23(43
2
023
43
2
023
4663
2
0223
63
2
223
63
2
)(
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
Axf
Ax
g
f
Επομένως ορίζεται η gof με πεδίο ορισμού το διάστημα ),3
2( και τύπο:
23
2
23
42
23
6)
23
6())(())((
xxx
x
x
xgxfgxgof
β) Πρέπει:
),9
22()
9
22,2[
9
222
9
42
2
3
22
2
)(
x
x
x
x
x
x
x
Axg
Ax
f
g
Επομένως ορίζεται και η fog με πεδίο ορισμού το σύνολο ),9
22()
9
22,2[ και
τύπο:
26 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
229
)223(26
4)2(9
)223(26
)223)(223(
)223(26
223
26)2())(())((
x
xx
x
xx
xx
xx
x
xxfxgfxfog
Προφανώς εδώ ισχύει: foggof .
2) Δίνονται οι συναρτήσεις 24)( xxf και xxg 2)( . Να βρεθούν οι
συναρτήσεις α) gof , β) fog .
Λύση:
Έχουμε ]2,2[fA και RAg .
α) Πρέπει:
]2,2[4
22
)( 2
x
Rx
x
Axf
Ax
g
f
Επομένως ορίζεται η gof με πεδίο ορισμού το διάστημα ]2,2[ και τύπο:
22 42)4())(())(( xxgxfgxgof
β) Πρέπει:
Rxx
Rx
x
Rx
x
Rx
Axg
Ax
f
g
11222]2,2[2)(
Επομένως ορίζεται η fog με πεδίο ορισμού το R και τύπο:
xxxxfxgfxfog 21244)2())(())(( 22
3) Δίνεται η συνάρτηση 2
12)(
x
xxf . Να βρεθεί η fof .
Λύση:
Προφανώς έχουμε ),2()2,( fA .
α) Πρέπει:
27 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
20
2
32
022
122
22
122
)(
x
x
x
x
xx
x
xx
Axf
Ax
f
f
Επομένως ορίζεται η fof με πεδίο ορισμού το σύνολο ),2()2,( και τύπο:
xx
xx
xx
x
xx
x
x
xfxffxfof
3
3
4212
224
22
12
12
122
)2
12())(())((
4) Δίνεται η συνάρτηση 23
14)(
x
xxf . Να βρεθεί η
ffo
1.
Λύση:
Η συνάρτηση 23
14)(
x
xxf έχει πεδίο ορισμού το σύνολο
),3
2()
3
2,(
3
2
RAf ,
ενώ η συνάρτηση 14
23
23
14
1
)(
1))(
1(
x
x
x
xxfx
f έχει πεδίο ορισμού
),3
2()
3
2,
4
1()
4
1,(
3
2,
4
11
RAf
.
α) Πρέπει:
43
2
4
1
28693
2
4
1
3
2
14
233
2
4
1
))(1
(
1
x
xx
xx
xx
x
x
xx
Axf
Ax
f
f
Επομένως ορίζεται η συνάρτηση f
fo1
με πεδίο ορισμού το σύνολο
),4()4,3
2()
3
2,
4
1()
4
1,(4,
3
2,
4
1
R και τύπο:
28 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
4
78
2869
14812
214
233
114
234
)14
23()))(
1(())(
1(
x
x
xx
xx
x
xx
x
x
xfx
ffx
ffo
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η συνάρτηση f
1 λέγεται συμμετρική της f .
5) Να βρείτε συνάρτηση f για την οποία ισχύει 23))(( xexfog για κάθε
Rx , αν 52)( xxg .
Λύση:
Έχουμε 23)52(23))((23))(( xxx exfexgfexfog (1)
Θέτουμε 2
552
yxyx οπότε η (1) γράφεται:
23)( 2
5
y
eyf , Ry ή
23)( 2
5
x
exf , Rx
6) Να βρείτε τη συνάρτηση g για την οποία ισχύει 23))(( xexfog για κάθε
Rx , αν 52)( xxf .
Λύση:
Έχουμε
2
73)(235)(223))((23))((
xxxx e
xgexgexgfexfog ,
Rx
7) Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή περισσότερων συναρτήσεων,
αν: α) )1()( 2 xxxf , β) )1ln()( 2 xexf .
Λύση:
29 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
α) Θέτουμε 1)( 2 xxxg και xxh )( . Τότε ισχύει ))(()( xhogxf .
Πράγματι έχουμε:
)()1()1())(()))(( 22 xfxxxxhxghxhog
β) Θέτουμε xxg 2)( και 1)( xexh και xx ln)( . Τότε ισχύει
))(()( xohogxf . Πράγματι έχουμε:
)()1ln()1())2(()))((())(( 22 xfeexhxghxohog xx
8) Δίνονται οι συναρτήσεις axxf 42)( και 3)( axxg . Να βρεθεί για ποια
τιμή του Ra ισχύει goffog .
Λύση:
Είναι RAA gf .
α) Πρέπει:
RxRax
Rx
Axf
Ax
g
f
42)(
Επομένως ορίζεται η συνάρτηση gof με πεδίο ορισμού το R και τύπο:
3423)42()42())(())(( 2 aaxaxaaxgxfgxgof
β) Πρέπει:
RxRax
Rx
Axg
Ax
f
g
3)(
Επομένως ορίζεται και η συνάρτηση fog με πεδίο ορισμού το R και τύπο:
6424)3(2)3())(())(( aaxaaxaxfxgfxfog
Θέλουμε για κάθε Rx να ισχύει:
0344342642))(())(( 22 aaaaxaaxxgofxfog .
Είναι: 644816)3(44)4( 2 οπότε:
30 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
2
12
3
8
84
42
64)4(2,1
a
9) Δίνεται μία συνάρτηση RRf : για την οποία ισχύει
0)(522)(5 xfxee xxf για κάθε Rx . Να βρεθούν οι συναρτήσεις hg,
τέτοιες ώστε να ισχύει )())(( xhxgof για κάθε Rx .
Λύση:
Για κάθε Rx ισχύει:
xexfexfxee xxfxxf 2)(50)(52 2)(52)(5
Θέτουμε xexg x 5)( 5 και xexh x 2)( 2 οπότε παίρνουμε:
)(5))(())(( )(5 xfexfgxgof xf
Επειδή xexfe xxf 2)(5 2)(5 έχουμε )())(( xhxgof
10) Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύει
5)(2)5(3 2 xxfxf για κάθε Rx . Να βρεθεί η τιμή )(xf .
Λύση:
Για κάθε Rx ισχύει 5)(2)5(3 2 xxfxf .
Θέτουμε στη θέση του x το x5 και παίρνουμε:
2010)5(2)(35)5()5(2)(3 22 xxxfxfxxfxf
Λύνουμε το σύστημα:
60303)(9)5(6
102)(4)5(6
3
)2(
2010)(3)5(2
5)(2)5(3
2
2
2
2
xxxfxf
xxfxf
xxxfxf
xxfxf
Προσθέτουμε κατά μέλη και παίρνουμε:
31 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
1465
1)(7030)(5 22 xxxfxxxf
11) Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύει
143))(( 23 xxxxff για κάθε Rx . Να βρεθεί το )1(f .
Λύση:
Για κάθε Rx ισχύει 143))(( 23 xxxxff (1)
Θέτουμε στη θέση του x το )1(f και παίρνουμε:
1)1(4)]1([3)]1([)))1((( 23 ffffff (2)
Αλλά για 1x η (1) γράφεται:
1))1((1)1(4)1(3)1())1(( 23 ffff
Επομένως η (2) γράφεται:
1)1(0]1)1([01)1(3)]1([3)]1([
1)1(4)]1([3)]1([)1(
323
23
fffff
ffff
12) Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το *R για την οποία ισχύει
3
1)
3()(2
x
xfxf . Να αποδείξετε ότι
x
xxxf
9
332)(
2 .
Απόδειξη:
Για κάθε *Rx ισχύει 3
1)
3()(2
x
xfxf .
Θέτουμε στη θέση του x το x
3 και παίρνουμε:
x
xxf
xfx
x
fx
f3
3)(
32
3
13
3
332
Λύνουμε το σύστημα:
32 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
x
x
xfxf
x
xfxf
x
x
xfxf
x
xfxf
3
3)
3(2)(
3
22)
3(2)(4
1
2
3
3)
3(2)(
3
1)
3()(2
Προσθέτουμε κατά μέλη και παίρνουμε:
x
xxxf
x
xxxxf
x
xxxf
9
332)(
3
322)(3
3
3
3
22)(3
22