标准方差与相关系数1 ．求标准方差在 MATLAB 中，提供了计算数据序列的标准方差的函数 std 。对于向量 X ， std(X) 返回一个标准方差。对于矩阵 A ， s

td(A) 返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵 A 各列或各行的标准方差。 std 函数的一般调用格式为：Y=std(A,flag,dim)其中 dim 取 1 或 2 。当 dim=1 时，求各列元素的标准方差；当 dim=2 时，则求各行元素的标准方差。 flag 取 0 或 1 ，当 flag=0 时，按 σ1 所列公式计算标准方差，当 flag=1 时，按 σ2 所列公式计算标准方差。缺省 flag=0 ， dim=1 。例 6-7 对二维矩阵 x ，从不同维方向求出其标准方差。

2 ．相关系数MATLAB 提供了 corrcoef 函数，可以求出数据的相关系数矩阵。 corrcoef 函数的调用格式为：corrcoef(X) ：返回从矩阵 X 形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵

X 一样。它把矩阵 X 的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。corrcoef(X,Y) ：在这里， X,Y 是向量，它们与 corrcoef([X,Y]) 的作用一样。

例 生成满足正态分布的 10000×5 随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这 5 列随机数据的相关系数矩阵。命令如下：X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X)

排序MATLAB 中对向量 X 是排序函数是 sort(X) ，函数返回一个对 X 中的元素按升序排列的新向量。sort 函数也可以对矩阵 A 的各列或各行重新排序，其调用格式为：[Y,I]=sort(A,dim)其中 dim 指明对 A 的列还是行进行排序。若 dim=1 ，则按列排；若 dim=2 ，则按行排。 Y 是排序后的矩阵，而 I 记录 Y 中的元素在 A 中位置。

vubx vlb..,min

bAxtsRxxC nT线性优化

x=lp(C,A,b,vlb,vub)

[ 例 ] 最小值线性优化f(x)=-5x1-4x2-6x3

x1-x2+x3 20≦3x1+2x2+4x3 42≦

3x1+2x2 30≦(0 x1, 0 x2,0 x3)≦ ≦ ≦

%First, enter the coefficients:f = [-5; -4; -6] ;

A = [1 -1 1 3 2 4

3 2 0];b = [20; 42; 30];

lb = [0,0,0]; % x 的最小值 [0,0,0]ub = [inf,inf,inf];

%Next, call a linear programming routine:x= lp(f,A,b,lb,ub)

%Entering xx =

0.0000 15.0000 3.0000

[ 例 ] 线性优化Min -400x1-1000x2-300x3+200x4

-2x2 + x3 + x4=0 2x1 +3x2 <=16 3x1 +4x2 <=24

x1, x2, x3, x4>=0; x3<=5

c=[-400,-1000,-300,200]; % 目标函数系数A=[0 -2 1 1; 2 3 0 0; 3 4 0 0]; % 约束条件系数

b=[0; 16; 24];xLB=[0,0,0,0]; % x 取值范围的最小值xUB=[inf,inf,5,inf]; % x 取值范围的最大值

x0=[0,0,0,0]; % x 取迭代初始值nEq=1; % 约束条件中只有一个 = 号 , 其余为 <=

x=lp(c,A,b,xLB,xUB,x0,nEq)disp([' 最优值为 : ',num2str(c*x)])

0xg

)(..),(min

tsRxxf n

非线性优化

x=constr('f ',x0)

fminbnd

计算下面函数在区间 (0， 1)内的最小值。

x

3

exlogxxcosx)x(f

[x,fval,exitflag,output]=fminbnd('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1)

在 [0， 5]上求下函数的最小值1)3x()x(f 3

解：先自定义函数：在MATLAB编辑器中建立M文件为：function f = myfun(x)f = (x-3).^2 - 1;保存为 myfun.m，然后在命令窗口键入命令：x=fminbnd(@myfun,0,5)

[ 例 ] 最小值非线性优化Min f(x)=-x1x2x3,

-x1-2x2-2x3≤0,x1+2x2+2x3≤72,初值 : x = [10; 10; 10]

x = [10; 10; 10]% 第一步：编写 M 文件 myfun.m

function [f,g]=myfun(x)f=-x(1)*x(2)*x(3);

g(1)=-x(1)-2*x(2)-2*x(3);g(2)=x(1)+2*x(2)+2*x(3)-72;

% 第二步：求解% 在 MATLAB 工作窗中键入

x0=[10,10,10];x=constr('myfun',x0) % 即可

[ 第一步：编写 M 文件 fxxgh.mfunction [F,G]=fxxgh(x)F=-x(1)*x(2);G(1)=(x(1)+x(2))*x(3)-120;

第二步：求解在 MATLAB 工作窗中键入x=[1,1,1]; % x 取迭代初始值options(13)=0; % 约束条件中有 0 个 = 号 , 其余为 <=XL=[0,0,2]; % x 取值范围的最小值XU=[inf;inf;inf]; % x 取值范围的最大值[x,options]=constr('fxxgh',x,options,XL,XU);options(8) % 输出最小值x

例 ] 非线性优化Min f(x)=-x1x2 (x1+ x2)x3<=0; x1, x2>=0; x3>=2;

无约束多元函数最小值

)x(fminx

]x,,x,x[x n21

多元函数最小值的标准形式为

其中： x为向量，如

使用 fmins求其最小值

求2221

321

31 xxx10xx4x2y

的最小值点X=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2', [0,0])

或在 MATLAB 编辑器中建立函数文件function f=myfun(x)f=2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2;保存为 myfun.m ，在命令窗口键入X=fminsearch ('myfun', [0,0]) 或 >> X=fminsearch(@myfun, [0,0])

利用函数 fminunc 求多变量无约束函数最小值 当函数的阶数大于 2 时，使用 fminunc 比 fminsearch 更有效，但当所选函数高度不连续时，使用 fminsearch 效果较好 求

2221

21 xxx2x3)x(f

的最小值

fun='3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2';x0=[1 1];[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0)

或用下面方法：fun=inline('3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2')

x0=[1 1]x=fminunc(fun,x0)

有约束的多元函数最小值

)x(fminx

0)x(C 0)x(Ceq

bxA

beqxAeq ubxlb

非线性有约束的多元函数的标准形式为：sub.to

其中： x、 b、 beq、 lb、 ub是向量， A、 Aeq为矩阵，C(x)、 Ceq(x)是返回向量的函数，f(x)为目标函数，f(x)、 C(x)、 Ceq(x)可以是非线性函数

fmincon

解：约束条件的标准形式为

求下面问题在初始点（ 0 ， 1 ）处的最优解

212122

21 x5x2xxxx

0x)1x( 22

1 06x3x2 21

min

s.t

0x)1x( 22

1 6x3x2 21

212122

21 x5x2xxxx

min

s.t

先在 MATLAB 编辑器中建立非线性约束函数文件：function [c, ceq]=mycon (x)c=(x(1)-1)^2-x(2);ceq=[ ]; % 无等式约束然后，在命令窗口键入如下命令或建立 M 文件：fun='x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)'; % 目标函数x0=[0 1];A=[-2 3]; % 线性不等式约束b=6;Aeq=[ ]; % 无线性等式约束beq=[ ];lb=[ ]; %x 没有下、上界ub=[ ];[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)

二次规划问题

xfxHx21min

bxA

beqxAeq

buxbl

二次规划问题（ quadratic programming）的标准形式为：sub.to

其中， H、 A、 Aeq为矩阵， f、 b、 beq、 lb、 ub、 x为向量

quadprog

212122

21 x6x2xxxx2

1)x(fmin

2xx 21 2x2x 21

3xx2 21 21 x0,x0

xfxHx21)x(f

2111

H

62

f

2

1

xx

x

求解下面二次规划问题

sub.to

解：则，

，

在 MATLAB 中实现如下：H = [1 -1;-1 2] ;f = [-2; -6] ;A = [1 1;-1 2; 2 1] ;b = [2; 2;3] ;lb = zeros(2,1) ;[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b, [ ] ,[ ] ,lb)

“ 半无限”有约束的多元函数最优解

x 、 b 、 beq 、 lb 、 ub 都是向量； A 、 Aeq 是矩阵； C(x) 、Ceq(x) 、是返回向量的函数， f(x) 为目标函数； f(x) 、 C(x) 、Ceq(x) 是非线性函数；为半无限约束，通常是长度为 2 的向量

fseminf

先建立非线性约束和半无限约束函数文件，并保存为 mycon.m ：function [C,Ceq,K1,K2,S] = mycon(X,S)% 初始化样本间距：if isnan(S(1,1)), S = [0.2 0; 0.2 0];end% 产生样本集：w1 = 1:S(1,1):100;w2 = 1:S(2,1):100;% 计算半无限约束：K1 = sin(w1*X(1)).*cos(w1*X(2)) - 1/1000*(w1-50).^2 -sin(w1*X(3))-X(3)-1;K2 = sin(w2*X(2)).*cos(w2*X(1)) - 1/1000*(w2-50).^2 -sin(w2*X(3))-X(3)-1;% 无非线性约束：C = [ ]; Ceq=[ ];% 绘制半无限约束图形plot(w1,K1,'-',w2,K2,':'),title('Semi-infinite constraints')然后在 MATLAB 命令窗口或编辑器中建立 M 文件：fun = 'sum((x-0.5).^2)';x0 = [0.5; 0.2; 0.3]; % Starting guess[x,fval] = fseminf(fun,x0,2,@mycon)

])x(f ,)x(f ,)x(f ,)x(f ,)x(f[ 54321

304x40x48xx2)x(f 2122

211

22

222 x3x)x(f

18x3x)x(f 213

214 xx)x(f

8xx)x(f 215

求下列函数最大值的最小化问题

其中：

先建立目标函数文件，并保存为 myfun.m ： function f = myfun(x)f(1)= 2*x(1)^2+x(2)^2-48*x(1)-40*x(2)+304; f(2)= -x(1)^2 - 3*x(2)^2;f(3)= x(1) + 3*x(2) -18;f(4)= -x(1)- x(2);f(5)= x(1) + x(2) - 8;然后，在命令窗口键入命令：x0 = [0.1; 0.1]; % 初始值[x,fval] = fminimax(@myfun,x0)

求上述问题的绝对值的最大值最小化问题。目标函数为：]|)x(f| ,|)x(f| ,|)x(f| ,|)x(f| ,|)x(f|[ 54321

解：先建立目标函数文件（与上例相同）然后，在命令窗口或编辑器中建立M文件：x0 = [0.1; 0.1]; % 初始点options = optimset('MinAbsMax',5); % 指定绝对值的最小化[x,fval] = fminimax(@myfun,x0,[ ],[ ],[ ],[ ],[ ],[ ],[ ],options)

多目标规划问题

fgoalattain

在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据 ( 通常是测量值 ) 的任务。对这个问题有两种方法。在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。曲线拟合或回归是人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。图 1 说明了这两种方法。连接数据点的实线描绘了线性内插，虚线是数据的最佳拟合。

曲 线 拟 合

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

0

2

4

6

8

10

12

x

y=f(x

)

Second Order Curve Fitting

x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1];y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; n=2; % polynomial orderp=polyfit(x, y, n)

polyfit 的输出是一个多项式系数的行向量。其解是y = － 9.8108x2 ＋ 20.1293x － 0.0317 。

为了将曲线拟合解与数据点比较，让我们把二者都绘成图。ezplot('-9.8108*x*x+20.1293*x-0.0317')xi=linspace(0, 1, 100); % x-axis data for plottingz=polyval(p, xi);

为了计算在 xi 数据点的多项式值，调用 MATLAB 的函数 polyval 。plot(x, y, ' o ' , x, y, xi, z, ' : ' )

画出了原始数据 x 和 y ，用 'o' 标出该数据点，在数据点之间，再用直线重画原始数据，并用点 ' : ' 线，画出多项式数据 xi 和 z 。xlabel(' x '), ylabel(' y=f(x) '), title(' Second Order Curve Fitting ')

曲 线 拟 合 和 插 值 函 数polyfit(x, y, n) 对描述 n阶多项式 y=f(x)的数据进行最小二乘曲线拟合interp1(x, y, xo) 1维线性插值interp1(x, y, xo, ' spline ') 1维 3次样条插值interp1(x, y, xo, ' cubic ') 1维 3次插值interp2(x, y, Z, xi, yi) 2维线性插值interp2(x, y, Z, xi, yi, ' cubic ') 2维 3次插值interp2(x, y, Z, xi, yi, ' nearest ') 2维最近邻插值

x1=linspace(0, 2*pi, 60);x2=linspace(0, 2*pi, 6);plot(x1, sin(x1), x2, sin(x2), ' - ') xlabel(' x '), ylabel(' sin(x) ')

title(' Linear Interpolation ' )

若不采用直线连接数据点，我们可采用某些更光滑的曲线来拟合数据点。最常用的方法是用一个 3 阶多项式，即 3 次多项式，来对相继数据点之间的各段建模，每个 3 次多项式的头两个导数与该数据点相一致。这种类型的插值被称为 3 次样条或简称为样条。函数 interp1 也能执行 3 次样条插值。

hours=1:12; % index for hour data was recordedtemps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; % recorded temperaturesplot(hours, temps, hours, temps,' + ') % view temperaturestitle(' Temperature ')xlabel(' Hour '), ylabel(' Degrees Celsius ')

为了说明一维插值，考虑下列问题， 12 小时内，一小时测量一次室外温度。数据存储在两个 MATLAB 变量中。

t=interp1(hours, temps, 9.3, ' spline ') % estimate temperature at hour=9.3

t=interp1(hours, temps, 4.7, ' spline ') % estimate temperature at hour=4.7

t=interp1(hours, temps, [3.2 6.5 7.1 11.7], ' spline ')

意，样条插值得到的结果，与上面所示的线性插值的结果不同。因为插值是一个估计或猜测的过程，其意义在于，应用不同的估计规则导致不同的结果。

样条插值是对数据进行平滑 , 也就是，给定一组数据，使用样条插值在更细的间隔求值。例如，hours=1:12; % index for hour data was recordedh=1:0.1:12; % estimate temperature every 1/10 hourtemps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24];t=interp1(hours, temps, h) ;plot(hours, temps, ' - ' , hours, temps, ' + ' , h, t) % plot comparative resultstitle(' Springfield Temperature ')xlabel(' Hour '), ylabel(' Degrees Celsius ')

2 二维数据插值在 MATLAB 中，提供了解决二维插值问题的函数 interp2 ，其调用格式为：

Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,'method')其中 X,Y 是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z 是与参数采样点对应的函数值， X1,Y1 是两个向量或标量，描述欲插值的点。 Z1 是根据相应的插值方法得到的插值结果。 method 的取值与一维插值函数相同。 X,Y,Z 也可以是矩阵形式。同样， X1,Y1 的取值范围不能超出 X,Y 的给定范围，否则，会给出“ NaN” 错误。

例 某实验对一根长 10 米的钢轨进行热源的温度传播测试。用 x 表示测量点 0:2.5:10( 米 ) ，用 h 表示测量时间 0:30:60( 秒 ) ，用 T 表示测试所得各点的温度 ( )℃ 。试用线性插值求出在一分钟内每隔 20 秒、钢轨每隔 1 米处的温度 TI 。命令如下：

x=0:2.5:10;h=[0:30:60]';T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];xi=[0:10];hi=[0:20:60]';TI=interp2(x,h,T,xi,hi)