- 1 -

수학Ⅱ1. 집합과 명제

- 1 -

1.1 ) 두 집합 ,

에 대하여 ∪의 값은?[점][2017학년도 수능]

① ② ③ ④ ⑤

2.2 ) 전체집합 는 이하의 자연수 의 두 부분집합 ,

에 대하여 ∩

이다. 자연수 의 값을 구하시오.[점][2017학년도 수능]

3.3 ) 실수 에 대한 두 조건 ≤

≤

에 대하여 가 이기 위한 충분조건이 되도록 하는 자연수 의 최솟값은?

[점][2017학년도 수능]① ② ③ ④ ⑤

4.4 ) 두 집합 , 에 대하여 ∪의 값은?

[2점][2016년 6월]① ② ③ ④ ⑤

5.5 ) 전체집합 는 이하의 자연수 의 두 부분집합 , 에 대하여 집합 c c의 모든 원소의 합은?

[3점][2016년 6월]① ② ③ ④ ⑤

66 ) 자연수 에 대한 조건‘모든 양의 실수 에 대하여 이다.’

가 참인 명제가 되도록 하는 의 개수는?[3점][2016년 6월]

① ② ③ ④ ⑤

평가원 기출수능 기출

- 2 -

수학Ⅱ1. 집합과 명제

- 2 -

7.7 ) 실수 에 대한 세 조건 , ≤ , ≤

에 대하여 <보기>에서 참인 명제만을 있는 대로 고른 것은?[4점][2016년 6월]

ㄱ. →

ㄴ. → ∼

ㄷ. → ∼

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

8.8 ) 두 집합

에 대하여 ∩의 값은?[2점][2016년 9월]

① ② ③ ④ ⑤

9.9 ) 정수 에 대한 조건 ≥

에 대하여 조건 ∼의 진리집합의 원소의 개수는?[3점][2016년 9월]

① ② ③ ④ ⑤

10.10) 전체집합 의 두 부분집합 , 에 대하여

∪ ∩

를 만족시키는 의 모든 부분집합 의 개수를 구하시오.[4점][2016년 9월]

- 3 -

수학Ⅱ1. 집합과 명제

- 3 -

1) ③[출제의도] 집합의 원소의 개수를 구할 수 있는가?∪ ∪

이므로 ∪

2) [출제의도] 집합의 연산을 이용하여 집합의 원소를 구할 수 있는가?A∩B C 이므로 ∈B따라서 이므로

3) ④[출제의도] 명제가 참일 조건을 진리집합을 이용하여 구할 수 있는가?두 조건 의 진리집합을 각각 라 하면

≤

≤≤

≤≤ ⋯⋯①또, 가 자연수이므로

≤

≤≤⋯⋯②한편, 가 이기 위한 충분조건 즉, ⇒ 이므로

⊂이어야 한다.그러므로 ①②에서

≤이고 ≥

≥ 이고 ≥

따라서, ≥ 이므로 자연수 의 최솟값은 이다. 4) ④∪ 이므로 ∪

5) ① c , c 이므로

c c

따라서 c c의 모든 원소의 합은

6) ④모든 양의 실수 에 대하여 이려면 ≥ 을 만족해야

한다. 그러므로 ≤

따라서 자연수 의 개수는

7) ② ⇔ 또는

≤ ⇔ ≤≤

≤

ㄱ. ⊂이므로 명제 →은 참이다

ㄴ. 또는 이므로 ⊂

즉, 명제 →∼는 참이다

ㄷ. ≤≤ 이므로 ⊄

즉, 명제 →∼는 거짓이다.이상에서 참인 명제는 ㄱ, ㄴ이다.8) ③[출제의도] 교집합의 원소의 개수를 구할 수 있는가?∩ 이므로 ∩

9) ⑤[출제의도] 조건의 부정에 대한 진리집합을 구할 수 있는가?∼

이므로 조건 ∼의 진리집합은 는 정수이다.

따라서, 진리집합의 원소의 개수는 이다.10) [출제의도] 집합의 연산법칙을 이용하여 부분집합의 개수를 구할 수 있는가?∪에서 ⊂

∩에서 ⊂ 이므로 ⊂⊂

이고

따라서 집합 는 원소 를 반드시 포함하는 집합 의

부분집합이므로 집합 의 개수는

- 4 -

- 5 -

수학Ⅱ2. 함수

- 1 -

1.1 ) 좌표평면에서 함수

의 그래프가 직선 에

대하여 대칭일 때, 상수 의 값은? [3점][2017학년도 수능]

① ② ③ ④ ⑤

2.2 ) 그림은 함수 → 를 나타낸 것이다.

의 값은? [3점][2017학년도 수능]

① ② ③ ④ ⑤

3.3 ) 그림은 함수 →를 나타낸 것이다. ∘의 값은?

[3점][2016년 6월]

① ② ③ ④ ⑤

4.4 ) 함수 에 대하여 의 값은?[3점][2016년 6월]

① ② ③ ④ ⑤

5.5 ) 함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하였더니 함수 의 그래프와 일치하였다. 의 값은? (단, 은 상수이다.)

[4점][2016년 6월]① ② ③ ④ ⑤

수능 기출 평가원 기출

- 6 -

수학Ⅱ2. 함수

- 2 -

6.6 ) 함수

의 그래프의 점근선은 두 직선 , 이다. 두 상수 의 곱 의 값을 구하시오.

[4점][2016년 6월]

7.7 ) 함수 에 대하여 의 값을 구하시오.[3점][2016년 9월]

8.8 ) 그림은 두 함수 → →를 나타낸 것이다.

∘의 값은?[3점][2016년 9월]

① ② ③ ④ ⑤

- 7 -

수학Ⅱ2. 함수

- 3 -

1) ⑤[출제의도] 유리함수의 그래프의 특징을 이용하여 함수식을 구할 수 있는가?유리함수

의 점근선은

,

이므로 유리함수

의 그래프는 점 에 대하여 대칭이다.

따라서, 점 는 직선 위에 있어야 하므로

2) ⑤[출제의도] 함수의 대응관계를 이용하여 함숫값을 구할 수 있는가? 라 하면 이므로

3) ⑤ ∘

4) ④ × 이므로

5) ①함수 의 그래프를 축의 양의 방향으로 만큼, 축의 양의

방향으로 만큼 평행이동하면 이 된다. 이 그래프가

의 그래프와 일치하므로

, ,

따라서

6)

이므로

점근선의 방정식은 , 이다.따라서

7) [출제의도] 역함수의 함숫값을 구할 수 있는가? 라 하면 이므로

따라서 이다.8) ⑤[출제의도] 합성함수의 정의를 이해하고 합성함수의 함숫값을 구할 수 있는가?∘

- 8 -

- 9 -

수학Ⅱ3. 수열

- 1 -

1. 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열 에 대하여

의 값은?1)

[3점][2012년 수능]① ② ③

④ ⑤

2. 세 수 , , 는 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 , , 은 이 순서대로 공비가 양수인 등비수열을 이룬다. 의 값을 구하시오.2)

[3점][2012년 수능]

3. 등차수열 에 대하여 , 일 때, 을 만족시키는 의 값을 구하시오.3)

[3점][2013년 수능]

4. 모든 항이 양수인 등비수열 에 대하여

,

일 때, 의 값은?4 )

[3점][2013년 수능]① ② ③

④ ⑤

5.5 ) 첫째항이 인 등차수열 에 대하여 일 때, 의 값은?

[3점][2014년 수능]① ② ③ ④ ⑤

6.6 ) 수열 이 다음 조건을 만족시킨다. (가)

(나) ≥

의 값을 구하시오. [3점][2014년 수능]

7.7 ) 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 할 때,

가 성립한다. 의 값은? [3점][2014년 수능]

① ② ③ ④ ⑤

8.8 ) 공비가 양수인 등비수열 에 대하여 , 일 때, 의 값은?

[3점][2015년 수능]① ② ③ ④ ⑤

9.9) 등차수열 이

을 만족시킬 때, 의 값은? [4점][2015년 수능]

① ② ③ ④ ⑤

수능 기출

- 10 -

수학Ⅱ3. 수열

- 2 -

10.1 0) 첫째항의 이 아닌 등비수열 에 대하여

일 때, 첫째항 의 값은?[3점][2016년 수능]

①

② ③

④ ⑤

11.1 1) 등차수열 대하여 일 때, 수열 의 공차를 구하시오.

[3점][2016년 수능]

12.1 2) 첫째항이 인 등차수열 대하여 일 때, 수열 의 공차를 구하시오.

[3점][2016년 수능]

13.13 ) 세 수

가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 양수

의 값은?[점][2017학년도 수능]

① ② ③

④ ⑤

14.14) 공차가 양수인 등차수열 이 다음 조건을 만족시킬 때, 의 값은?

[점][2017학년도 수능](가)

(나)

① ② ③ ④ ⑤

15.15) 자연수 에 대하여 이 다음과 같다. log 이 홀수

log 이 짝수

수열 이 일 때,

의 값은? [3점][2014년 수능]

① log ② log ③ log

④ log ⑤ log

16.16) 수열 의 첫째항부터 제항까지의 합 이

일 때, 의 값은? [3점][2015년 수능]

①

②

③

④

⑤

17.17 ) 함수

에 대하여

의 값을 구하시오. [3점][2017학년도 수능]

- 11 -

수학Ⅱ3. 수열

- 3 -

18. 수열 이 이고, 모든 자연수 에 대하여

을 만족시킬 때, 의 값은?18)

[3점][2012년 수능]①

② ③ ④ ⑤

19. 자연수 에 대하여 좌표평면 위의 점 P을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 세 점 P P P의 좌표는 각각 ,

이다.(나) 선분 PP 의 중점과 선분 P P 의 중점은

같다.

예를 들어, 점 P의 좌표는 이다. 점 P의 좌표가

일 때, 의 값을 구하시오.19)

[4점][2013년 수능]

20.20) 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 자연수 을 이라 할 때,

의 값은? [4점][2015년 수능]

(가) 점 A의 좌표는 이다. (나) 두 점 B 과 C 을 지나는 직선 위의 점 중

좌표가 인 점을 D라 할 때, 삼각형 ABD의 넓이는

보다 작거나 같다.

① ② 111 ③ ④ ⑤

- 12 -

수학Ⅱ3. 수열

- 4 -

21.2 1) 좌표평면에서 함수

≥

과 자연수 에 대하여 점 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 이 있다. 좌표와 좌표가 모두 정수인 점 중에서 원 의 내부에 있고 함수 의 그래프의 아랫부분에 있는 모든 점의 개수를 , 원 의 내부에 있고 함수 의 그래프의 윗부분에 있는 모든 점의 개수를 이라 하자.

의 값은?

[점][2017학년도 수능]① ② ③ ④ ⑤

22. 첫째항이 인 수열 에 대하여

라 할 때, ≥

이 성립한다. 다음은 수열 의 일반항을 구하는 과정의 일부이다. 자연수 에 대하여 이므로

⋯⋯ ㉠이다. 이상의 자연수 에 대하여 ⋯⋯ ㉡이고, ㉠ 에서 ㉡ 을 뺀 식으로부터 가

를 얻는다. 양변을 로 나누면

가

이다.

이라 하면, 나 ≥

이므로 다 ≥ 이다. ⋮

위의 (가), (나), (다)에 들어갈 식을 각각 , , 이라 할 때,

의 값은?2 2)

[4점][2012년 수능]① ② ③ ④ ⑤

- 13 -

수학Ⅱ3. 수열

- 5 -

23. 수열 은 이고, ⋅

≥

을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다.[ 풀 이 ]

주어진 식에 의하여 ⋅

≥ 이다.

따라서 이상의 자연수 에 대하여 가

이므로

가 이다.

이라 하면

가 ≥ 이고

이므로 나 ≥ 이다. 그러므로

× 나 ≥ 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 이라 할 때, 의 값은?23)

[4점][2013년 수능]① ② ③

④ ⑤

24.24) 모든 항이 양수인 수열 은 이고

≥

을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다.주어진 식의 양변에 상용로그를 취하면log log

이다. 양변을 로 나누면

log

log 가

이다.

log 이라 하면 이고 가

이다. 수열 의 일반항을 구하면 나

이므로log × 나

이다. 그러므로 × 나

이다.위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 과 이라 할 때,

의 값은?

[4점][2014년 수능]① ② ③ ④ ⑤

- 14 -

수학Ⅱ3. 수열

- 6 -

25.2 5) 수열 은 이고,

라 할 때, ( ≥ )

을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다. 자연수 에 대하여 이므로 주어진 식에 의하여 ( ≥ )이다. 양변을 로 나누면

이다.

이라 하면

이고

이다. 수열 의 일반항을 구하면

(가)

이므로 (가) ×

이다. 그러므로 (나) × ( ≥ )이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, 의 값은?

[4점][2015년 수능]① ② ③ ④ ⑤

26.26) 모든 항이 양수인 수열 은 이고,

라 할 때,

≥

를 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다. 이므로 주어진 식으로부터

≥

이다. 양변을 으로 나누면

이다.

이라 하면 이고

≥

이다. 수열 의 일반항을 구하면

가 × ≥

이므로

가 × ≥

이다. 따라서 이고, ≥ 일 때

나 ×

이다.

위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, 의 값은?

[4점][2016년 수능]① ② ③

④ ⑤

- 15 -

수학Ⅱ3. 수열

- 7 -

27. 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열 에 대하여

일 때,

의 값은?27) [3점][2012년 6월]

① ② ③ ④ ⑤

28. 등차수열 이 ,

를 만족시킬 때, 의 값을 구하시오.28) [3점][2012년 6월]

29.2 9) 등차수열 에 대하여 일 때, 의 값은?

[2점][2012년 9월]① ② ③ ④ ⑤

30.3 0) 모든 항이 양수인 등비수열 에 대하여

일 때, 의 값은? [3점][2012년 9월]

① ② ③ ④ ⑤

31.31) 공비가 양수인 등비수열 이 ,

를 만족시킬 때, 의 값은? [3점][2013년 6월]

① ② ③ ④ ⑤

32.32) 등차수열 에 대하여 , 일 때, 의 값을 구하시오.

[3점][2013년 6월]

33.33) 등비수열 에 대하여 일 때, 의 값은?

[3점][2013년 6월]① ② ③ ④ ⑤

34.34) 등차수열 에 대하여 , 일 때, 의 값을 구하시오.

[3점][2013년 6월]

35.35) 등차수열 이 , 일 때,

의 값을 구하시오.

[3점][2013년 9월]

평가원 기출

- 16 -

수학Ⅱ3. 수열

- 8 -

36.3 6) 등차수열 에 대하여 , 일 때, 의 값은? [3점][2014년 6월]

① ② ③ ④ ⑤

37.3 7) 공비가 양수인 등비수열 이 ,

∞

를 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. [3점][2014년 6월]

38.3 8) 공비가 인 등비수열 에 대하여 일 때, 의 값은?

[3점][2014년 9월]① ② ③ ④ ⑤

39.3 9) 등차수열 에 대하여 일 때,

의 값을 구하시오.

[3점][2014년 9월]

40.4 0) 공비가 2인 등비수열 에 대하여 일 때, 의 값을 구하시오

[3점][2014년 9월]

41. 공차가 7인 등차수열 에 대하여 의 값은?4 1)

[3점][2015년 6월]① 10 ② 12 ③ 14 ④ 16 ⑤ 18

42. 공차가 인 등차수열 에 대하여 세 항 은 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 항 는 이 순서대로 등비수열을 이룬다. 의 값은?42 )

[4점][2015년 6월]① ② ③ ④ ⑤

43. 첫째항이 인 등차수열 이

을 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. 43)

[3점][2015년 6월]

44. 공비가 이 아닌 등비수열 에 대하여 , 일 때, 의 값을 구하시오. 44 )

[3점][2015년 9월]

45. 공비가 이 아닌 등비수열 에 대하여 , 일 때, 의 값은? 4 5)

[2점][2015년 9월]① ② ③ ④ ⑤

- 17 -

수학Ⅱ3. 수열

- 9 -

46.4 6) 등차수열 에 대하여 ,

일 때, 의 값은?[3점][2016년 6월]

① ② ③ ④ ⑤

47.4 7) 모든 항이 양수인 등비수열 에 대하여 ,

일 때, 의 값을 구하시오.

[3점][2016년 6월]

48.4 8) 첫째항이 이고 공비가 양수인 등비수열 에 대하여

일 때, 의 값은?[3점][2016년 9월]

① ② ③ ④ ⑤

49. 첫째항이 이고, 각 항이 양수인 수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하자.

일 때, 의 값은?4 9) [3점][2012년 6월]

① ② ③ ④ ⑤

50. 이차방정식 의 두 근을 , 라 할 때,

의 값은?50) [4점][2012년 6월]

① ② ③ ④ ⑤

51.51) 수열 의 첫째항부터 제항까지의 합 이 일 때, 을 만족시키는 자연수 의 개수는?

[3점][2013년 6월]① ② ③ ④ ⑤

52.52)

일 때, 의 값은? [3점][2014년 6월]

① ② ③ ④ ⑤

53.53) 수열 은 이고,

( ≥ )을 만족시킨다. 의 값을 구하시오.

[4점][2014년 6월]

- 18 -

수학Ⅱ3. 수열

- 10 -

54.5 4) 수열 에 대하여

≥

일 때,

의 값은? [3점][2014년 6월]

① ② ③

④ ⑤

55.5 5) 수열 은 이고,

≥

을 만족시킨다. 의 값은 [3점][2014년 6월]

① ② ③ ④ ⑤

56. 두 수열 , 에 대하여

,

일 때,

의 값은?56)

[3점][2015년 6월]① ② ③ ④ ⑤

57.

일 때, 상수 의 값을 구하시오. 5 7)

[3점][2015년 6월]

58.58 ) 수열 이

을 만족시킬 때, 의 값은?[3점][2016년 9월]

① ② ③ ④ ⑤

59.59) 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열 에 대하여

의 값은?[4점][2016년 9월]

① ② ③ ④ ⑤

60.60) 수열 은 이고, 다음 조건을 만족시킨다.(가) ( )(나) 모든 자연수 에 대하여 이다.

일 때, 의 값을 구하시오.

[4점][2013년 6월]

- 19 -

수학Ⅱ3. 수열

- 11 -

61.61 ) 모든 항이 양수인 수열 이 이고,log log ≧

을 만족시킨다. × × × ⋯ × 일 때 상수 의 값은?

[3점][2013년 9월]① ② ③ ④ ⑤

62. 보다 큰 자연수 에 대하여 의 제곱근 중 실수인 것의 개수를 이라 할 때,

∞

의 값은?62) [4점][2012년 6월]

① ②

③ ④

⑤

63.63) 다음 [단계]에 따라 정육각형이 인접해 있는 모양의 도형에 자연수를 적는다.

[단계 ] <그림 >과 같이 한 개의 정육각형을 그리고, 각 꼭짓점에 자연수를 부터 차례로 적는다.

[단계 ] <그림 >의 아래에 개의 정육각형을 그리고, 새로 생긴 각 꼭짓점에 자연수를 부터 차례로 적어서 <그림 >를 얻는다.

⋮

[단계 ] <그림 >의 아래에 개의 정육각형을 그리고, 새로 생긴 각 꼭짓점에 자연수를 부터 차례로 적어서 <그림 >을 얻는다.

<그림 >에 적혀있는 모든 수의 합은? [4점][2012년 9월]

…

<그림 > <그림 > <그림 >① ② ③ ④ ⑤

- 20 -

수학Ⅱ3. 수열

- 12 -

64.6 4) 그림과 같이 직사각형에서 세로를 각각 이등분하는 점

개를 연결하는 선분을 그린 그림을 그림 이라 하자. 그림 을

만큼 축소시킨 도형을 그림 의 오른쪽 맨 아래 꼭짓점을 하나의 꼭짓점으로 하여 오른쪽에 이어 붙인 그림을 그림 라 하자.이와 같이 이상의 자연수 에 대하여 그림 을

만큼 축소시킨 도형을 그림 의 오른쪽 맨 아래 꼭짓점을 하나의 꼭짓점으로 하여 오른쪽에 이어 붙인 그림을 그림 라 하자.자연수 에 대하여 그림 에서 왼쪽 맨 위 꼭짓점을 , 오른쪽 맨 아래 꼭짓점을 이라 할 때, 점 에서 점 까지 선을 따라 최단거리로 가는 경로의 수를 이라 하자. 의 값을 구하시오.

[4점][2013년 9월]

65.65) 자연수 에 대하여 순서쌍 을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가)

(나) 이 홀수이면 이고, 이 짝수이면 이다.

순서쌍 에서 의 값을 구하시오. [4점][2014년 6월]

65.66) 첫째항이 인 수열 은 모든 자연수 에 대하여

× 이 의 배수가 아닌 경우

이 의 배수인 경우

를 만족시킨다. 일 때, 의 값은?[4점][2016년 6월]

① ② ③ ④ ⑤

- 21 -

수학Ⅱ3. 수열

- 13 -

66.6 7) 자연수 에 대하여 곡선

위의 점

과 두 점 , 을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 이라 할 때,

의 값은?[4점][2016년 9월]

① ② ③ ④ ⑤

67.. 수열 은 이고,

라 할 때,

≧

을 만족시킨다. 다음은 을 구하는 과정이다.

주어진 식으로부터

이다.

≧ 일 때,

이므로 이다.따라서 일반항 을 구하면, 자연수 에 대하여 일 때,

일 때, 가

이다. 한편, 이므로 × 가

나

이다.위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 라 할 때, 의 값은?68)

[4점][2012년 6월]① ② ③ ④ ⑤

- 22 -

수학Ⅱ3. 수열

- 14 -

68.6 9) 수열 은

이고, ≥

을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다.주어진 식 의 양변을 으로 나누면

( ≥ )이므로 ≥ 인 자연수 에 대하여

⋯⋯ (*)

이다. 한편

⋯

⋯

가 이므로 (*)에 의하여 나

가

⋅

( ≥ )이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, ×의 값은?

[4점][2012년 9월]① ② ③ ④ ⑤

69.70) 수열 은 이고

≧

을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다.

에서

≧ 이므로

가 ≧

이다. ≧ 이라 놓으면

이고,

가 ≧

이다. 따라서

≧ 이다.

즉,

≧ 이므로

나 ≧ 이다. 일 때에도 이 식을 만족시키므로모든 자연수 에 대하여 나 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, 의 값은?

[4점][2013년 9월]① ② ③ ④ ⑤

- 23 -

수학Ⅱ3. 수열

- 15 -

70.7 1) 수열 은 이고,

( ≥ )을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다.

주어진 식에 의하여

이다.

× 가

이므로, 가 라 하면

이다.

이고 이므로

나

이다. 그러므로 가 나 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, ×의 값은?

[4점][2014년 6월]①

②

③ ④

⑤

71.72) 첫째항이 1인 수열 에 대하여

라 할 때,

≥ ⋯⋯

이 성립한다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다.주어진 식 에 의하여

≥ ⋯⋯ ㉠이다. 에서 ㉠ 을 빼서 정리하면

가 ≥

이다. ㉠ 으로부터 이고,

×

× ⋯ ×

× ≥

이므로 × 나 ≥

이다. 그러므로 은

× ≥

이다.위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 이라 할 때, × 의 값은?

[4점][2014년 9월]① ② ③ ④ ⑤

- 24 -

수학Ⅱ3. 수열

- 16 -

72. 첫째항이 1인 수열 에 대하여

라 할 때, ( ≥ ) ……(＊)

이 성립한다. 다음은 일반한 을 구하는 과정이다.

위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 이라 할 때, 의 값은? 73)

[4점][2015년 6월]① ② ③ ④ ⑤

73.74) 수열 은 이고

≧

을 만족시킨다. 다음은 일반항 이

⋯⋯

임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.ⅰ) 일 때, (좌변) ,

(우변)

이므로 이 성립한다.

ⅱ) 일 때 이 성립한다고 가정하면

이므로

가

나

이다. 따라서

이므로 일 때도 이 성립한다.

ⅰ), ⅱ)에 의하여 모든 자연수 에 대하여

이다.위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, × 의 값은?

[3점][2013년 9월]① ② ③ ④ ⑤

- 25 -

수학Ⅱ3. 수열

- 17 -

1) ⑤ ⋅

⋅

∴

2)

, , 가 등차수열이므로

∴

, , 이 등비수열이므로

, ,

∴ 또는

공비가 양수이므로 ,

∴

3)

등차수열 의 첫째항을 , 공차를 라 하면 에서 ⋯⋯ ㉠ 에서 ⋯⋯ ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면

∴ ×

따라서 을 만족시키는 는

4) ①등비수열 의 첫째항을 , 공비를 ＞라 하자.

에서

×

⋯⋯ ㉠

에서

, ,

∴ ∵ ＞ ⋯⋯ ㉡㉡을 ㉠에 대입하여 풀면

∴ ×

5) ①등차수열 의 공차를 라 하면 에서

∴

6)

조건 ㈏에서 수열 은 공비가 인 등비수열이므로

×

조건 ㈎에서 ,

∴ ⋅

∴ ⋅

7) ① ⋅에서

에서 ∴

8) ④수열 의 공비를 라 하면 는 공비가 인

등비수열이므로

즉, ×

이때, ∵ 이므로 이다

9) ④

에서

일 때, ×

일 때, ×

따라서, 이므로 등차수열 의 공차를 라 하면

∴

∴ ×

10) ①[출제의도] 등비수열의 일반항을 이용하여 첫째항을 구할 수

있는가?등비수열 의 공비를 라 하면

에서 이므로

에서

따라서 이므로

×

∴

11)

[출제의도] 등차수열의 공차를 구할 수 있는가?등차수열 의 공차를 라 하면

∴

12)

[출제의도] 등차수열의 공차를 구할 수 있는가?공차를 라 하면

, ,

이므로

∴

13) ②[출제의도] 세 수가 등비수열을 이룰 조건을 구할 수 있는가?세 수

가 이 순서대로 등비수열을 이루므로

×

이때, ≻ 이므로

- 26 -

수학Ⅱ3. 수열

- 18 -

14) ①[출제의도] 등차수열의 뜻을 이해하고 이를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가?등차수열의 첫째항을 , 공차를 라 하면 조건 (가)에서

⋯ ㉠조건 (나)에서 이므로

㉠을 대입하면 이므로

따라서, 15) ④자연수 에 대하여 은 짝수, 은 홀수이므로

log log

⋅log

⋅ log

⋅log

∴

⋅log

log×

⋅ log

16) ②

이므로

17)

[출제의도] 합성함수의 정의를 이해하고 거듭제곱의 합과 시그마의 성질을 이용하여 수열의 합을 구할 수 있는가?

이므로

××

18) ② ⋅

⋯이므로

⋅

× ⋅

⋅

⋅

∴ ⋅

⋅

[다른 풀이]

에서

⋅ ⋅이므로 수열 ⋅은 공비가 인 등비수열

이다.∴ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅

∴

19)

점 P의 좌표를 나열하면 ⋯이므로점 P의 좌표 는 이다.점 P의 좌표를 나열하면 ⋯이므로홀수번째 항으로 이루어진 수열은 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열이므로점 P의 좌표 는 ⋅

∴

[다른 풀이]P의 좌표를 이라 할 때,선분 PP 의 중점과 선분 P P 의 중점이 같으므로

⋯⋯ ㉠수열 에서 , , , …이므로

또한, 수열 에서 , , 이므로㉠에 의하여 …

∴ ⋅

따라서 P의 좌표는 이므로

20) ①직선 의 기울기는

이므로 직선 의 방정식은

따라서, 점 의 좌표는

삼각형 의 넓이는

삼각형 의 넓이가

보다 작거나 같으므로

≤

≤

이때, 이면

≤ ≤ 이므로

또한, 2이상의 모든 자연수 에 대하여

≤ ≤

이므로 ≤ 이면 된다

∴ ≥

- 27 -

수학Ⅱ3. 수열

- 19 -

∴

21) ④[출제의도] 조건을 만족시키는 점의 개수의 합을 구할 수 있는가?각 경우로 나누면 다음과 같다.i ≤ 일 때,대칭성을 이용하여 조사하면 원 의 내부에 있고 곡선 의

아랫부분에 있는 점의 개수와 원 의 내부에 있고 곡선 의

윗부분에 있는 점의 개수가 같으므로

ii 일 때,아래 그림에서 대칭성을 이용하여 조사하면

iii 일 때,아래 그림에서

iv 일 때,아래 그림에서

v 일 때,아래 그림에서

vi ≤ ≤ 일 때,

대칭성을 이용하여 조사하면 원 의 내부에 있고 곡선 의

아랫부분에 있는 점의 개수와 원 의 내부에 있고 곡선 의

윗부분에 있는 점의 개수가 같으므로

따라서, 구하는 값은

22) ②자연수 에 대하여 이므로

에서

∴ ( ≥ ) ⋯⋯ ㉠이다. 이상의 자연수 에 대하여 ㉠의 식에 대신 을

대입하면

⋯⋯ ㉡이고, ㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터

∴ (가)를 얻는다. 양변을 로 나누면

이다.

이라 하면,

(나) ≥

이므로

(다) ≥

이다.∴ ,

,

이므로

×

×

×

23) ④ ⋅

⋯⋯ ㉠

⋅

⋯⋯ ㉡

㉠ ㉡ 하면 ⋅

⋅

- 28 -

수학Ⅱ3. 수열

- 20 -

이라 하면

⋅

≥

이므로

≥

∴

≥

∴ ⋅ ,

따라서 ⋅

24) ①주어진 식의 양변에 상용로그를 취하면

log log

이다. 양변을 로 나누면

log

log

log이라 하면 이고

이다. 수열 의 일반항을 구하면

이므로

log ×

이다.∴

이고

이므로

×

25) ③자연수 에 대하여 이므로 주어진 식에 의하여

≥

이다. 양변을 로 나누면

이다.

이라 하면

이고,

이다. 수열 의 일반항을 구하면

이므로 × 이다.이때,

× ×

× ≥

이고, 이므로

× ≥

이다.∴

∴

26) ④[출제의도] 수열의 일반항을 구하는 과정을 이해할 수 있는가? 이고 ≥ 이다.수열 의 일반항을 구해보면

에서

×

×

⋮

이므로 좌변은 좌변끼리 우변은 우변끼리 모두 더하면

···

∴ ···

···

···

×

(가)

따라서

이므로

에서

×

×

⋮

이고 좌변은 좌변끼리 우변은 우변끼리 모두 곱하면

× × ×··· × ×

∴ (가) ×

따라서 이고 ≥ 일 때

× ×

×

- 29 -

수학Ⅱ3. 수열

- 21 -

(나) ×

∴ ,

∴ ×

27) ⑤ , ⋅

∴

⋅

⋅

28)

, 이므로

∴

29) ④등차수열 의 공차를 라 하면

∴

∴ ×

∴

<다른 풀이>등차수열 의 성질에 의해

30) ①등비수열 의 공비를 라 하면 ×

⋯ ㉠

×

⋯ ㉡㉡÷㉠에서

∴ (∵ )㉠에서

∴ ×

×

× ×

×

31) ③ 이라 하면 … ㉠ ,

… ㉡

∴ ∵ ⋅

32)

등차수열 의 공차를 라 하면, 이므로, ⋯ ① ⋯ ②①, ②를 연립하여 풀면, , 이다.∴

33) ①등비수열

에서 ⋅

요구하는 ⋅

⋅

34) 26등차수열 에서 ∴ ,

35) 250등차수열의 공차를 라고 하면, ∴

초항이 –5, 공차가 3인 등차수열이므로∴

36) ⑤등차수열 의 공차를 라 하면

이므로 에서

∴

37) 16등비수열 의 첫째항을 , 공비를 이라 하면

⋅

⋯ ①

∞

으로 수렴하므로 이고

∞

⋯ ②

①과 ②를 연립하면

∴

(∵ 조건에 의하여 공비 )

이 값을 ①에 대입하여 풀면

∴

38) ③ × ×

39)

등차수열 의 첫째항을 공차를 라 하면

이므로

⋯

×

40) 20공비가 이므로

∴ ×

- 30 -

수학Ⅱ3. 수열

- 22 -

41) ③공차를 라 하면

42) ② 이 순서대로 등차수열을 이루므로

또한 가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 , 라 놓으면

× 로부터 × ⇔

∴

43) 11등차수열 의 첫째항이 이므로

에서

� 이므로

∴

44)

등비수열 의 공비를 이라 하면 으로부터× ∴

× 이므로

45) ③ , 이고 은 등비수열이므로

따라서

∴ ⋅ ⋅

46) ③등차수열 의 초항을 , 공차를 라 하면

, 로 부터

,

따라서

47)

등비수열 의 초항을 , 공비를 이라고 두면 (, 은 양수) , ×

× ⇔ ,

따라서

48) ②[출제의도] 등비수열의 항을 구할 수 있는가?등비수열 의 공비를 라 하면

따라서 이므로

즉,

49) ① 이므로

이므로 ∴

50) ②

51) ① 이므로 등차수열의 합이다. 의 이차식의 계수는 공차의

이므로 등차수열 의 공차는 이고 첫째항은 이다. 그러므로 이다. , 에서

이고 이 범위의 자연수 은 이다.따라서 구하는 자연수 의 개수는 개다.52) ⑤

⋯

에서

∴

53)

주어진 식을 정리해보면

이므로 ≥

이다. 따라서 ≥ 이고 이다.54) ④ 이고

≧

∴ (단, ≥

⋅

⋅⋅

55) ④

×

[다른풀이]

이므로

(단, ≥

∴

56) ③

×

57) 19

×

∙ × ∴

58) ①

- 31 -

수학Ⅱ3. 수열

- 23 -

[출제의도] 의 성질을 이용하여 수열의 항을 구할 수 있는가?

에서

⋯

⋯ ⋯

∴

59) ②[출제의도] 여러 가지 수열의 합을 구할 수 있는가? × 이므로

⋯

60) 정답 11(가) , 라 하면 ⋯ 은 차례로

의 값을 가지는 주기가 6인 주기 함수가 된다.

조건

61) ①문제에서 주어진 조건이 모든 항이 양수인 수열 {}이므로 , ...①문제에서 주어진 등식이 log log ≥ 이므로로그의 밑을 같게 하여 로그의 성질을 사용하면 이며 공비가 인 등비수열이므로 ⋅ ...②문제에서 주어진 등식이 × × ×⋯× 이며②을 사용하면 좌변 × × ⋯× × ⋯

∴

62) ① ≧ 에서

⋅

이 실수이므로

일 때,

일 때, (단, 는 자연수)∴

∞

⋯

⋯

⋯

63) ④단계에 적혀 있는 모든 수의 합은

×

단계에 적혀 있는 모든 수의 합은

×

단계에 적혀 있는 모든 수의 합은

×

단계에 적혀 있는 모든 수의 합은

×

단계에 적혀 있는 모든 수의 합은

×

단계에 적혀 있는 모든 수의 합은

×

따라서 그림 에 적혀 있는 모든 수의 합은

64)

추가되는 도형을 우측아래가 아니라 좌측에 확대하여 붙인다고 생각을 하여도 경로의 수는 같으므로 의 경로의 수는 기존 의 좌측모서리까지 가는 2가지, 그리고 제일 아래로 가는 1가지 경로로 이루어져있다

65)

주어진 조건을 만족하는 점들을 하나씩 구해보면

⇒⇒⇒⇒이 나타나므로 이 규칙을 만족하는

수열은 주기가 인 수열이다. 따라서 번째 항은 번째항에

해당하므로 이다.66) ⑤ 라고 할 때, , , , , , , ⋯⋯, , , =43따라서

67) ④[출제의도] 도형과 관련된 수열의 일반항을 찾고, 수열의 합을 구할 수 있는가?

× ×

- 32 -

수학Ⅱ3. 수열

- 24 -

××

이므로

×

××

×

68) ③ 에서

(a) 일 때

≥

수열 은 첫째항이 이고

공차가 1인 등차수열이므로

∙ ≥

(b) 일 때

≥

수열 은 첫째항이 이고

공차가 1인 등차수열이므로

∙ ≥

이므로

×

따라서 ,

∴

69) ①

⋯

⋯

⋯

이때,

의 양변에 을 곱하면

따라서, ,

이므로

× ×

70) ①

∴

이므로

∴

∴

71) ④

· ㈎

㈎

㈏

,

따라서 구하는 정답은

×

72) ②

≥ ⋯⋯

에 의하여

≥ ⋯⋯ ㉠(*)에서 ㉠을 빼면

≥

∴

≥

㉠으로부터 이고,

×

× ⋯ ×

× ≥

이므로

×

× ⋯ ×

×

⋅ ××

×

≥ 이다.

그러므로 은

× ≥

이다.

∴

∴ × ×

73) ⑤식 (＊)의 양변에 을 더하여 정리하면

이다. log 이라 하면 이고 가

이다. 수열의 의 일반항을 구하면

≥

- 33 -

수학Ⅱ3. 수열

- 25 -

이므로

≥

이다. 그러므로 이고 , ≥ 일 때

나

나

×

∴

74) ⑤ ×

이므로 구하는 값인∴×

- 34 -

- 35 -

수학Ⅱ4. 지수와 로그

- 1 -

1. log log의 값은?1)

[2점][2013년 수능]① ② ③

④ ⑤

2. ≤ ≤ 인 자연수 에 대하여

이 어떤 자연수의 제곱근이 되도록 하는 의 개수를 구하시오.2 )

[4점][2013년 수능]

3. 어느 학교 학생회가 축제 기간에 운영하는 먹거리 장터에서 수학 동아리가 다음과 같은 차림표를 마련하였다.

유클리드 생수 병과 피타고라스 김밥 줄을 살 때, 지불해야 할 금액은?3 )

[3점][2012년 수능]① 원 ② 원 ③ 원④ 원 ⑤ 원

4. 누에나방 암컷은 페로몬을 분비하여 수컷을 유인한다.누에나방 암컷이 페로몬을 분비한 후 초가 지났을 때 분비한 곳으로부터 거리가 인 곳에서 측정한 페로몬의 농도

는 다음 식을 만족시킨다고 한다.log

log

(단, 와 는 양의 상수이다.)누에나방 암컷이 페로몬을 분비한 후 초가 지났을 때 분비한 곳으로부터 거리가 인 곳에서 측정한 페로몬의 농도는 이고, 분비한 후 초가 지났을 때 분비한 곳으로부터 거리가 인 곳에서 측정한 페로몬의 농도는

이다. 의 값은?4)

[3점][2012년 수능]① ② ③ ④ ⑤

5. 화재가 발생한 화재실의 온도는 시간에 따라 변한다. 어떤 화재실의 초기 온도를 ℃, 화재가 발생한 지 분 후의 온도를 ℃라고 할 때, 다음 식이 성립한다고 한다.

log (단, 는 상수이다.)초기 온도가 ℃인 이 화재실에서 화재가 발생한 지

분 후의 온도는 ℃이었고, 화재가 발생한 지 분 후의 온도는 ℃이었다. 의 값은?5)

[3점][2013년 수능]①

② ③

④ ⑤

수능 기출

- 36 -

수학Ⅱ4. 지수와 로그

- 2 -

6.6 ) 단면의 반지름의 길이가 인 원기둥 모양의 어느 급수관에 물이 가득 차 흐르고 있다. 이 급수관의 단면의 중심에서의 물의 속력을 , 급수관의 벽면으로부터 중심 방향으로 ≤ 만큼 떨어진 지점에서의 물의 속력을 라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

log

(단, 는 양의 상수이고, 길이의 단위는 m, 속력의 단위는 m초이다.) 인 이 급수관의 벽면으로부터 중심 방향으로

만큼 떨어진 지점에서의 물의 속력이 중심에서의 물의 속력의

일 때, 급수관의 벽면으로부터 중심 방향으로 만큼 떨어진 지점에서의 물의 속력이 중심에서의 물의 속력의

이다. 의 값은?

[3점][2014년 수능]①

② ③

④ ⑤

7.7 ) 디지털 사진을 압축할 때 원본 사진과 압축한 사진의 다른 정도를 나타내는 지표인 최대 신호 대 잡음비를 , 원본 사진과 압축한 사진의 평균제곱오차를 라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

log log ( )두 원본 사진 , 를 압축했을 때 최대 신호 대 잡음비를 각각 , 라 하고, 평균제곱오차를 각각 ( ), ( )이라 하자. 일 때, 의 값은?

[3점][2015년 수능]① ② ③ ④ ⑤

8.8 ) 어느 금융상품에 초기자산 을 투자하고 년이 지난 시점에서의 기대자산 가 다음과 같이 주어진다고 한다.

(단, , ≥ 이고, 는 상수이다.)

이 금융상품에 초기자산 을 투자하고 년이 지난 시점에서의 기대자산은 초기자산의 배이다. 이 금융상품에 초기자산 을 투자하고 년이 지난 시점에서의 기대자산이 초기자산의 배일 때, 실수 의 값은? (단, )

[3점][2016년 수능]① ② ③ ④ ⑤

9. 양수 에 대하여 log 의 정수 부분과 소수 부분을 각각 , 라 하자. 두 부등식 ≤ , ≤ 를 만족시키는 자연수 의 개수는?9)

[4점][2012년 수능]① ② ③ ④ ⑤

- 37 -

수학Ⅱ4. 지수와 로그

- 3 -

10.1 0) 보다 큰 실수 에 대하여 log의 정수 부분과 소수 부분을 각각 라 하자. 의 값이 10의 배수가 되도록 하는 의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열할 때 번째 수를 번째 수를 라 하자. log의 값은?

[4점][2014년 수능]① ② ③ ④ ⑤

11.1 1) 양의 실수 에 대하여 log의 정수 부분과 소수 부분을 각각 라 하자. 자연수 에 대하여 을 만족시키는 모든 의 값의 곱을 이라 할 때, lim

→∞

log 의 값은? [4점][2014년 수능]

① ② ③ ④

⑤

12.12) 양수 에 대하여 log 의 정수 부분을 라 하자.

을 만족시키는 이하의 자연수 의 개수는?[4점][2016년 수능]

① ② ③ ④ ⑤

13.13) ≥

인 실수 에 대하여 log 의 소수 부분을 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 두 실수 , 의 순서쌍

를 좌표평면에 나타낸 영역을 라 하자.(가) 이고 이다.(나) 함수 의 그래프와 직선 가 한

점에서만 만난다.영역 에 속하는 점 에 대하여 의 최솟값은 ×

이다. 의 값을 구하시오.(단, 와 는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2016년 수능]

- 38 -

수학Ⅱ4. 지수와 로그

- 4 -

14.1 4) 보다 큰 자연수 중 가장 작은 것은? [3점][2012년 9월]

① ② ③ ④ ⑤

15.1 5) log log 의 값은? [3점][2013년 6월]

① ② ③ ④ ⑤

16. 이상의 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 , 의 모든 순서쌍 의 개수가 이상이 되도록 하는 가장 작은 자연수 의 값을 이라 할 때,××의 값을 구하시오. 16 )

[4점][2015년 6월](가) 이면 ≤ log이다.(나) ≥ 이면 ≤ 이다.

17. 밀폐된 용기 속의 액체에서 증발과 응축이 계속하여 같은 속도로 일어나는 동적 평형 상태의 증기압을 포화 증기압이라 한다. 밀폐된 용기 속에 있는 어떤 액체의 경우 포화 증기압 와 용기 속의 온도 ℃사이에 다음과 같은 관계식이 성립한다.

log

용기 속의 온도가 ℃ 일 때의 포화 증기압을 , ℃ 일 때의 포화 증기압을 라 할 때,

의 값은?17 ) [3점][2012년 6월]

①

②

③

④ ⑤

18.18) 어떤 물질이 녹아 있는 용액에 단색광을 투과시킬 때 투과 전 단색광의 세기에 대한 투과 후 단색광의 세기의 비를 그 단색광의 투과도라고 한다. 투과도를 , 단색광이 투과한 길이를 , 용액의 농도를 라 할 때, 다음 관계가 성립한다.

log (단, 는 양의 상수이다.)이 물질에 대하여 투과길이가 이고 용액의 농도가 일 때의 투과도를 , 투과길이가 이고 용액의 농도가 일 때의 투과도를 라 하자.

을 만족시키는 의 값은?

[3점][2012년 9월]① ②

③ ④

⑤

평가원 기출

- 39 -

수학Ⅱ4. 지수와 로그

- 5 -

19.1 9) 지면으로부터 인 높이에서 풍속이 이고 지면으로부터 인 높이에서 풍속이 일 때, 대기 안정도 계수 는 다음 식을 만족시킨다.

×

(단, 이고, 높이의 단위는 , 풍속의 단위는 초 이다.) 지역에서 지면으로부터 와 인 높이에서 풍속이 각각 초 와 초 이고, 지역에서 지면으로부터 와 인 높이에서 풍속이 각각 초 와 초 일 때, 두 지역의 대기 안정도 계수 가 서로 같았다.

의 값을 구하시오. (단, , 는 양수이다.)

[3점][2013년 6월]

20.2 0) 질량 의 활성탄 를 염료 의 농도가 인 용액에 충분히 오래 담가 놓을 때 활성탄 에 흡착되는 염료 의 질량 는 다음 식을 만족시킨다고 한다.

log

log (단, 는 상수이다.)

의 활성탄 를 염료 의 농도가 인 용액에 충분히 오래 담가 놓을 때 활성탄 에 흡착되는 염료 의 질량은 이다. 의 활성탄 를 염료 의 농도가 인 용액에 충분히 오래 담가 놓을 때 활성탄 에 흡착되는 염료

의 질량은? (단, 각 용액의 양은 충분하다.) [4점][2013년 9월]

① ② ③ ④ ⑤

21.21) 세대당 종자의 평균 분산거리가 이고 세대당 종자의 증식률이 인 나무의 세대 동안 확산에 의한 이동거리를 이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

×log

세대당 종자의 평균 분산거리가 각각 인 A 나무와 B 나무의 세대당 종자의 증식률을 각각 A B 라 하고 세대 동안 확산에 의한 이동거리를 각각 A B 라 하자. B

A

이고 A 일 때, B 의 값은? (단, 거리의 단위는 이다.)

[3점][2014년 6월]① ② ③

④ ⑤

22.22) 도로용량이 인 어느 도로구간의 교통량을 , 통행시간을 라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

log

log

(단, 은 도로 특성 등에 따른 기준통행시간이고, 는 상수이다.)이 도로구간의 교통량이 도로용량의 배일 때, 통행시간은 기준통행시간 의

배이다. 의 값은?[3점][2014년 9월]

① log ② log ③ log

④ log ⑤ log

- 40 -

수학Ⅱ4. 지수와 로그

- 6 -

23. 고속철도의 최고소음도 dB을 예측하는 모형에 따르면 한 지점에서 가까운 선로 중앙 지점까지의 거리를 m, 열차가 가까운 선로 중앙 지점을 통과할 때의 속력을 kmh라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

log

log

가까운 선로 중앙 지점 P 까지의 거리가 m 인 한 지점에서 속력이 서로 다른 두 열차 , 의 최고소음도를 예측하고자 한다. 열차 가 지점 P 를 통과할 때의 속력이 열차 가 지점 P 를 통과할 때의 속력의 배일 때, 두 열차 , 의 예측 최고소음도를 각각 , 라 하자. 의 값은? 23)

[4점][2015년 9월]① log ② log ③ log

④ log ⑤ log

24. 양수 에 대하여 log 의 소수 부분을 라 할 때, ≦ 를 만족시키는 보다 작은 자연수 의 개수는?24)

[4점][2012년 6월]① ② ③ ④ ⑤

25.25) 모든 항이 양수인 수열 이 모든 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) log 의 소수 부분과 log 의 소수 부분은 서로 같다.

(나)

∞

일 때, 의 값을 구하시오. [4점][2013년 6월]

26.26) 자연수 에 대하여 log의 정수 부분과 소수 부분을 각각 좌표와 좌표로 갖는 점을 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 자연수 의 모든 순서쌍 의 개수를 구하시오.

[4점][2013년 6월](가) ≤ (나) log

- 41 -

수학Ⅱ4. 지수와 로그

- 7 -

27.2 7) 자연수 에 대하여 실수 가 을 만족시킨다. log 의 소수 부분과 log 의 소수 부분의 합이 정수이고log 일 때,

log 의 값은? [4점][2013년 9월]

① ②

③ ④

⑤

28.2 8) 양수 에 대하여 log 의 소수 부분을 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 두 자연수 , 의 모든 순서쌍 의 개수를 구하시오.

[4점][2014년 6월] (가) ≤ ≤

(나) log log ≤

29.2 9) 양수 에 대하여 log의 정수 부분과 소수 부분을 각각 라 하자. 자연수 에 대하여

을 만족시키는 서로 다른 모든 의 합을 이라 할 때,Lim→∞

의 값은?[4점][2014년 9월]

30. 양수 에 대하여 log의 정수 부분을 라 할 때,

를 만족시키는 이하의 두 자연수 의 순서쌍 에 대하여 의 최솟값은? 30 )

[4점][2015년 6월]① ② ③ ④ ⑤

31. 양수 에 대하여 log의 소수 부분을 라 하자. 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 양수 의 개수를

이라 할 때, 의 값은? 31)

[4점][2015년 6월] ㈎ ≤

㈏

① ② ③ ④ ⑤

32. 양수 에 대하여 log 의 정수 부분과 소수 부분을 각각 , 라 하고, 라 하자. 두 조건

≤ , ≤

를 만족시키는 자연수 의 개수를 라 할 때,

의 값을 구하시오. 3 2)

[4점][2015년 9월]

- 42 -

수학Ⅱ4. 지수와 로그

- 8 -

1) ③log log log

log

2)

이때,

⋯

이므로

은 의 제곱근, 의 제곱근, 의 제곱근, ⋯, 의 제곱근과 같다.따라서 구하는 은 ⋯ 이므로 개이다.

[다른 풀이]

여기서 이 자연수이려면

은 이상의 정수이어야 한다.

∴ ⋯

따라서 개이다.

3) ③(지불 금액) × ×log

××

×

4) ④주어진 조건에 따라 다음 식을 만족한다.log

log

⋯ ㉠

log

log

⋯ ㉡

식 ㉠, ㉡을 정리하면

log ⋯ ㉢log

⋯ ㉣

㉢㉣하면

∴ ∵

5) ① 이고

일 때 이므로

log×

∴

또, 일 때, 이므로log , log

log ,

∴

6) ⑤

일 때,

이므로

log

에서

log

, log

일 때,

이므로

log ⋅log

∴

∴

7) ③ log log ⋯ ㄱ

log log ⋯ ㄴ

(ㄱ)-(ㄴ)하면

log log

log log ∵

log log log

×

8) ②[출제의도] 실생활 문제에서 지수방정식을 활용할 수 있는가?

×

×에서

이므로

∴

×

××

9) ⑤log log이므로

, log

따라서, 주어진 부등식은

≤

≤ log ⋯⋯ ㉠은 자연수이므로 또는

ⅰ) 일 때 ㉠에서

≤ log ≤ log

≤ ≤

∴

ⅱ) 일 때 ㉠에서

≤ log ≤ log

log ≤ log ≤ log

≤ ≤

∴ ⋯

따라서 ⅰ), ⅱ)로부터 구하는 의 개수는

10) ⑤[출제의도] 상용로그의 정수 부분과 소수 부분의 성질을 이용

- 43 -

수학Ⅱ4. 지수와 로그

- 9 -

하여 문제를 해결할 수 있는가?1보다 큰 실수 에 대해 는 log의 정수 부분과 소수 부분이므로 log 단 는 정수 ≤

이때 의 값이 의 배수이므로 (단, 는 자연수)로 나타낼 수 있다.또한, 는 정수이므로 는 정수이고 ≤ 이므로 ≤ 에서 이어야 한다한편, 이므로 조건들을 만족시키는 의 값은 자연수 의 값이 작을수록 의 값이 클수록작아진다.따라서 의 값을 작은 수부터 구하려면 자연수 는 작은 순서대로, 의 값은 큰 순서대로 구하면 된다.(i) , 일 때, 이므로

∴log

즉

(ii) , 1일 때, 9이므로 3

∴log

즉

(iii) 2, 2일 때, 18이므로 6

∴log

즉

(iv) 3, 3일 때, 27이므로 9

∴log

즉

(v) 3, 0일 때, 30이므로 10

∴log 즉

(vi) 4, 4일 때, 36이므로 12

∴log

즉

따라서 의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면

, ⋯⋯

이므로

∴log log log

11) ②[출제의도] 정수 부분과 소수 부분의 정의를 이용하여 극한값을 구할 수 있는가?

log 의 정수 부분과 소수 부분이 각각 , 이므로

log 는 정수, ≤

⋅ …… ㉠ ≤ 이므로

≤

≤

는 정수이므로, , , ⋯, 이고, 식 ㉠에 대입하면

일 때 ∴ log

일 때

∴ log

⋮ 일 때

∴ log

⋮∴ ×

×⋯×

×⋯×

∴ log

∴ lim→∞

log lim

→∞

12) ⑤[출제의도] 상용로그의 정수 부분을 이해할 수 있는가? ≤ ≤ 이므로 ≤ ≤ 이다.(ⅰ) 즉 ≤ ≤ 일 때

이어야 하므로

≤

∴ ≤ ≤

(ⅱ) 즉 ≤ ≤ 일 때

이어야 하므로

≤ ≤

∴ ≤ ≤

(ⅲ) 즉 일 때

이므로

을 만족하지 않는다.(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 자연수 의 개수는

13)

[출제의도] 상용로그의 소수 부분을 이용하여 주어진 조건을

만족시키는 최솟값을 구할 수 있는가? ≥인 정수에 대하여

≤ ≤ 일 때, 함수 의 그래프는 그림과 같다.

따라서 조건 (나)를 만족시키기 위해서는

(ⅰ) ≥인 정수일 때, ≤ × , ×

∴ ≤

따라서 조건 (가)를 만족시키면서 위의 부등식을 만족시키는

순서쌍 가 나타내는 영역은 그림과 같다.

- 44 -

수학Ⅱ4. 지수와 로그

- 10 -

이때, 은 점 과 점 사이의 거리의

제곱이다. 따라서 일 때, 점 에서 직선

까지의 거리의 제곱이 최소이므로

×

×

(ⅱ) 일 때,

≥ ,

≤

따라서 조건 (가)를 만족시키면서 위의 부등식을 만족시키는

순서쌍 가 나타내는 영역은 그림과 같다.

따라서 의 값은 점 에서 위의 점

까지의 거리의 제곱이므로

보다 크게 된다.(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 최솟값은 ×

이므로 의 값은

14) ② ⋅

이때, 이므로 보다 큰 자연수 중 가장 작은 것은 이다.15) ②log log

log

log

log

log

16) 1201) 일 때

일 때, ≤ log를 만족하는 자연수 의 순서쌍은 일 때, ≤ log로부터

일 때, ≤ log으로부터

일 때, ≤ log로부터

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

일 때, ≤ log 로부터

⋯

따라서 구하고자 하는 순서쌍 의 개수는× × ⋯ ×

∙ ⋯ ①또한, ≥ 일 때, ≤ 을 만족하는 자연수

의 순서쌍은 다음과 같다. 일 때, ≤ 으로부터 = ⋯

일 때, ≤ 로부터 ⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

일 때, ≤ 로부터 ⋯

따라서 구하고자 하는 순서쌍 의 개수는 ⋯

⋯②

①과 ②로부터

마찬가지의 방법으로

∴××

17) ③log ⋯⋯ ㉠log

⋯⋯ ㉡

㉡㉠ 에서 log

∴

18) ⑤log 에서

이때, 투과길이가 이고 용액의 농도가 일 때의 투과도가

이므로

⋅⋅ -----㉠

또, 투과길이가 이고 용액의 농도가 일 때의 투과도가

이므로

⋅⋅ ----㉡

㉠、㉡에서

이므로

19)

에서의 풍속이 이고 에서의 풍속이 이다.’를 주어진 식에 대입하면,

이다. 정리하면,

⋯ ① 에서의 풍속이 이고 에서의 풍속이 이다.’를 주어진 식에 대입

- 45 -

수학Ⅱ4. 지수와 로그

- 11 -

하면,

이다. 따라서

∵①

20) ⑤log

log

∴

log

log

∴

21) ②주어진 값을 식에 대입하면

× ×log

× × log

log ⋯ ①log

⋯ ②

①②를 하면 log

이므로

∴

22) ④도로구간의 교통량이 도로용량의 배이므로 , 통행시간은

기준통행시간의

배이므로

∴ log

log

∴ log

23) ② 의 속력을 라 하면 , 의 속력은 라 놓을 수 있다. log

log

,

log

log

로부터

log

log

log

log log log

24) ①log ≦ 라 하면

log log ≦ log log log ≦

ⅰ) ≦ log 일 때, log ≦ 가 되어 모순

ⅱ) log ≦ 일 때, log ≦ 이므로 항상 성립한다.따라서 log ≦ log 인 보다 작은 자연수 는 , , , , 그리고 , , ⋯, 로 개다.25)

log의 소수 부분이 log의 소수 부분과 같으므로log log 은 정수이다.

양변에 log를 취하면 log log 이므로 log log 이다.∴

따라서, 은 초항이 이고 공비가 인 등비수열이므로

∞

이므로

26) 12log 는 정수 ≤ , log 는 정수 ≤ 라고 하자. 그러면 의 좌표는 , 의 좌표는 이다.(나)의 조건에 의해서 log 이다. 은 정수이므로 , log이다.그런데 (가)의 조건에 의해서 이므로 이고 이다.이상에서 log

log 이다. ±log이므로

log log 에서 log

log log

또는 log

log log

이다.그러므로 또는 을 만족하는 한 자리 자연수 과 두 자리 자연수 을 찾으면 된다.(i) 에서 순서쌍 ⋯ 의 개다.(ii) 에서 순서쌍 의 4개다.이상에서 순서쌍의 개수는 개다.27) ④log

log

∴

∵

log

∴

- 46 -

수학Ⅱ4. 지수와 로그

- 12 -

∴ ∵은 자연수 log

∴

log

28) 71log의 정수 부분을 라 하면 log 이고

조건 (나)에서

≤

≤

(1) 인 경우 또는 인 경우

≤ 에서 ≤ 인데 log의 소수 부분

log log 가 증가함수이므로 주어진 조건을 만족하는 와

는 같은 경우이다. 따라서 순서쌍 의 개수는 이다.(2) , 인 경우

≤ 에서 ≤

≤

log ≤ log log, ≤

부등식을 만족하는 순서쌍은

일 때, 는 에서 까지 가지

일 때, 는 에서 까지 가지

일 때, 는 에서 까지 가지

일 때, 는 에서 까지 가지

일 때, 는 에서 까지 가지

일 때, 는 에서 까지 가지

따라서 순서쌍 의 개수는 이다.그러므로 총 개

29) ①log 의 정수 부분이 , 소수 부분이 이므로

는 정수, ≤

의 조건에서

≤

에서 ≤

≤

≤

따라서 서로 다른 모든 의 합 ⋯

⋯

∴ lim→∞

lim

→∞

30) ③ 를 만족하기 위해서는 이거나 이어야 한다.ㄱ 인 경우

⋯ ⋯ ⋯

이상의 가지이다.ㄴ 인 경우 위 1)의 경우와 마찬가지로 가지가 있다.

ㄱ) 과 ㄴ)로부터 의 최솟값은 21이다.31) ③ 라 하면

이 될 수 있는 값은 ,� ,� ……,� 이다.

이 될 수 있는 번째 소수 부분을 이라고 하면

㈏ 조건에 의해

이고

……㉠

이어야 한다.

∴

또한 소수 부분의 조건에 의해

≤ ……㉡

이어야 하므로 ㉠을 ㉡에 대입하면

≤ 이고

∴ ≤

따라서

≤

이고

≤

이다.

ⅰ)� 일 때

≤

이므로

이고

≤ 에서 정수 부분이 과 인 두 가지 경우가 있으므로

∴⋅

ⅱ)� 일 때

≤

≤ 에서 정수 부분이 과 인 두 가지 경우가 있으므로

∴⋅

따라서 구하는 답은 이다.

32)

log 의 정수 부분과 소수 부분을 각각 , 라 할 때, ≤ , ≤ 을 만족시키는 자연수 의 개수를 라 하면

⋯ 으로부터 은 log 의 정수 부분보다 작거나 같아야 하므로 또는 이 됨을 알 수 있다.1) 일 때, ≤ , ≤ 을 만족하는 한 자리 자연수 은 일 때, ,

일 때, , , ,

일 때, , , , , ,

일 때, , , , , , , ,

일 때,

일 때,

일 때,

일 때,

일 때,

일 때, ,

2) 일 때, ≤ , ≤ 을 만족하는 두 자리 자연수 은

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수학Ⅱ4. 지수와 로그

- 13 -

일 때,

일 때, , , , ,

일 때, , , , ,

일 때, , , , , , ,

일 때, , , , , , , , ,

일 때, , , , , , , , , , ,

1), 2)로부터

- 48 -