САДРЖАЈ:

1. МРЕЖНО ПЛАНИРАЊЕ .......................................................................................................... 1

1.1. МОДЕЛИ МРЕЖЕ ЦПМ И ПЕРТ ...................................................................................... 1

1.2. ПРОЦЕНА ВРЕМЕНА И КРИТИЧНИ ПУТ ..................................................................... 3

1.3. АНАЛИЗА ТРОШКОВА .................................................................................................... 6

1.4. ГЕНТОВ ДИЈАГРАМ И СОФТВЕР MS PROJECT ........................................................... 8

1.5. ПРИМЕРИ ......................................................................................................................... 14 2.ВИШЕКРИТЕРИЈУМСКО ОДЛУЧИВАЊЕ ........................................................................... 20

2.1. ФОРМУЛАЦИЈА ПРОБЛЕМА ........................................................................................ 20

2.2. МЕТОДА AHP .................................................................................................................. 21

2.3. МЕТОДА ELECTRE ......................................................................................................... 26

2.4. МЕТОДА PROMETHEE ................................................................................................... 30

2.5. ПРИМЕРИ ......................................................................................................................... 34

1

1. МРЕЖНО ПЛАНИРАЊЕ

1.1. МОДЕЛИ МРЕЖЕ ЦПМ И ПЕРТ

Фирма „The Gartner Research Group" (USA) у једном свом истраживању закључила је да 30% пројеката у САД никада није успешно комплетирано због чега штета износи око 75 милијарди долара годишње, а да 51% завршених пројеката премашује планирани буџет за 189%, док је од очекиване функционалности остварено свега 74%. Овакви зачуђујучи резултати објашњавају се само једним фактором - лошим планирањем.

Због значаја доброг планирања у економији и бизнису развијани су различити модели планирања, при чему се дошло до открића да су модели мреже погодни за ту сврху.

Модели мреже настали су у проучавању електричних мрежа, затим је дошло до важних апликација у областима обраде информација, анализе транспортних система, па све до планирања и контроле истраживачких и развојних пројеката.

Један типичан проблем анализе мреже обухвата протоке, са циљем да се максимира проток кроз мрежу од извора до дестинације.

Други проблем је одређивање најкраћег пута кроз мрежу, што има значаја у анализи транспортних система.

Постоји и проблем одређивања минималне дужине пута кроз мрежу а да се при том прође кроз све њене тачке.

Сви ови проблеми су од велике практичне важности због разноврсне примењивости, а начин њиховог решавања ослања се на теорију графова.

Граф се дефинише као скуп тачака, које се називају чворовима или догађајима, спојених линијама, које се називају гранама или активностима. При томе гране могу да буду оријентисане од једног чвора ка другом, што се приказује стрелицом. На слици 1.1. је пример једног графа.

Мрежа се дефинише као граф конципиран тако да је омогућен проток кроз гране графа. Ова дефиниција је битна када се проучавају стварни протоци кроз мрежу, док се у другој врсти проблема мрежа посматра само као скуп чворова повезаних гранама.

Слика 1.1. Пример графа

Граф на слици има 6 чворова или догађаја. Оријентисана грана од догађаја 1 до догађаја 2 може да представља одређену активност. Од извора - чвора 1, па до дестинације - чвора 6, могућ је проток кроз мрежу, нпр. путем 1-2-5-6.

Две независне технике анализе мреже развиле су се средином 20. века:

1. Метода ЦПМ (Critical Path Method) појавила се 1957. године у решавању проблема развоја технике планирања која би се користила у вези са конструкцијом и одржавањем хемијских процеса у фабрици. 2. Метода ПЕРТ (The Program Evaluation and Review Technique) развијена је 1958. године за планирање и контролу радова укључених у пројекат развоја флоте подморница Поларис са балистичким пројектилима.

2

ЦПМ се користи у пројектима у којима се одређује јединствена, детерминистичка процена времена за сваки посао или активност.

ПЕРТ се користи у истраживачким и развојним пројектима у којима се производе нове компоненте, па се зато потребно време за поједине активности не може одредити детерминистички него се користи пробабилистички приступ.

Пројекат се може посматрати као група послова или операција које се обављају одређеним редоследом. Сваки посао или операција у оквиру пројекта захтева време и средства и назива се активност. Свака активност има почетну и завршну тачку у времену. Ове временске тачке називају се догађајима. Низ активности у пројекту чини пут који захтева одређено време и ресурсе.

Први корак у примени ПЕРТ или ЦПМ методе састоји се од спецификација свих активности укључених у пројекат. При томе се у дефинисању догађаја и активности води рачуна о следећем:

• Свака дефтнисана активност представља се јединственом граном. • Дужина гране је ирелевантна. • Оријентација гране представља ток активности у времену од тачке где ктивност

почиње, па до тачке где је активност обављена. • Ако један догађај претходи другом догађају са којим није спојен посебном

активношћу, уводи се „дами", односно привидна активност која повезује два догађаја. Дами активности немају ни трајање ни трошкове.

• Догађаји се идентификују бројевима. Треба настојати да наредни догађај буде означен већим бројем од претходног.

• Активности се идентификују бројевима њихових почетних и завршних догађаја.

Слика 1.2. Активности А и В претходе активности С

На слици 1.2. приказана је ситуација када активност C може да стартује тек када се обаве активности A и B.

Ако завршетак једне активности А омогућава почетак активности В и С онда се то представља на структурном дијаграму као на слици 1.3.

Посебан случај настаје када две активности имају исти почетак и крај. Тада се уводи дами активност да би графичко представљање било јасније, као што је приказано на слици 1.4.

Слика 1.3. Активности В и С стартују Слика 1.4. Активности А и В имају завршетком активности А исти почетак и крај

3

Наведени елементи мрежног планирања биће илустровани примером једноставног пројекта организације шаховског турнира.

Табела 1.1. Листа активности за организацију шаховског турнира

Коришћењем раније наведених правила за приказивање активности и догађаја, на основу листе активности из табеле 1.1. конструисана је мрежа активности и догађаја на слици 1.5.

Свака активност је обележена великим словом у квадратићу, док је сваки догађај обележен бројем у кружићу.

У мрежи се строго води рачуна која активност претходи којој.

Слика 8.5. Мрежа за организацију шаховског турнира

1.2. ПРОЦЕНА ВРЕМЕНА И КРИТИЧНИ ПУТ

За разлику од методе ЦПМ, где је време појединих активности одређено детерминистички, ПЕРТ се примењује када код процене времена постоји доза неизвесности. Користе се три процене:

1. Оптимистичка. Ово је оцена минималног времена за одређену активност. Она се постиже када све тече по плану под идеалним условима.

2. Највероватнија. Ова оцена представља нормално време потребно за обављање активности, а која би се добила као просек времена великог броја обављених истих активности.

3. Песимистичка. Ова оцена представља максимално време за обављање одређене активности, када се стекну разне неповољне околности.

Наведене три процене су субјективне претпоставке компетентног лица. На основу ових процена изводе се формуле за очекивану вредност и стандардну

девијацију времена потребног за обављање активности:

Активност Опис активности Претходна активност A Одређивање времена и места турнира - B Налажење спонзора - C Ангажовање учесника турнира - D Стампање програма и улазница A E Узимање средстава од спонзора B F Потврда учествовања на турниру C G Продаја улазница и програма D, E

4

где је: о = оптимистичка процена n = највероватнија p = песимистичка

Табела 1.2. Очекивано време и варијанса Активности Процена времена

Претходни догађај Следећи догађај o n p μ σ2

1 A 2 7 10 12 9,83 0,69 1 B 3 16 18 20 18,00 0,44 1 C 4 7 8 9 8,00 0,11 2 D 5 9 12 17 12,33 1,78 3 E 5 20 24 26 23,67 1,00 4 F 6 14 18 20 17,67 1,00 5 G 6 2 3 7 3,50 0,69

У табели 1.2. за активност А претходни догадај је 1, а следећи догађај је 2. Оптимистичко време трајања активности је о = 7, највероватније време је n = 10, а песимистичко је p = 12. На основу тога је очекивано време активности А једнако:

док је варијанса:

На исти начин се добијају очекивана времена и варијансе за остале активности у

табели 1.2. Уношењем очекиваних времена активности, за пример организације шаховског турнира, се мрежа на слици 1.6.

Слика 1.6. Мрежо за организацију шаховског турнира

Очекивана времена активности

Критични пут је најдужи временски пут кроз мрежу. Он се одређује тако што се за сваку активност у мрежи израчунавају следећи параметри:

• ES (earliest start time) - најраније време почетка • EF (earliest finish time) - најранији завршетак активности • LS (latest start time) - најкасније време почетка • LF (latest finish time) - најкаснији завршетак активности Процедура израчунавања критичног пута почиње тако што се за активности које

почињу од извора, односно догађаја 1, најраније време почетка изједначи са нулом, ES = 0.

5

Најранији завршетак активности једнак је збиру најранијег времена почетка и очекиваног времена активности, тј.:

EF = ES + μ Тако је за активност A:

ES = 0 EF = 0 + 9,83 = 9,83

Ovo se grafički može predstaviti slikom 1.7 ES EF

Слика 1.7. Најранији почетак и најранији завршетак активности А

Активности које стартују после неког догађаја морају да сачекају завршетак свих активности које претходе том догађају. Зато је најранији почетак активности која води од неког дога]аја једнак највећем броју из скупа најранијих завршетака активности које воде до тог догађаја. Нпр. активност G не може да почне док се не заврше активности D и E, чији су најранији завршеци времена 22,16 и 41,67. Због тога је најранији почетак активности G једнак ES = 41,67.

На слици 1.8. су унесене најранија времена почетка и завршетка сваке активности за разматрани пример организације шаховског турнира.

Слика 1.8. Мрежа за организацију шаховског турнира

Најранија времена почетка и завршетка

У налажењу критичног пута потребно је одредити и најкаснији почетак и најкаснији завршетак сваке активности у мрежи. То се израчунава по формули:

LS = LF – μ

при чему се полази од дестинације тако што се ту за најкасније време завршетка узима најраније време завршетка целог пројекта.

У примеру који разматрамо за активности G и F je: LS(G) = LF(G) – μ(G) = 45,17 – 3,50 = 41,67 LS(F) = LF(F) – μ(F) = 45,17 – 17,67 = 27,50

За активности које не завршавају на дестинацији важи следеће правило: најкасније време завршетка активности која води до чвора изједначава се са најмањим бројем из скупа најкаснијих времена почетка активности које воде од чвора. Тако је за активност E:

LS(E) = LF(E) – μ(E) = 41,67 – 23,67 = 18,00 У табели 1.3. су израчунате вредности ES, LS, EF и LF за сваку активност у мрежи.

6

Табела 1.3. Израчунавање критичног пута

У колони табеле 1.3. израчуната је разлика између најкаснијег и најранијег почетка LS - ES за сваку активност. Када је та разлика једнака нули, онда је активност на критичном путу јер нема времена за померање почетка активности а да се не утиче на време за цео пројекат. У табели су такве активности B, E и G, тако да је критични пут B-E-G, односно 1-3-5-6. Очекивано време за комплетирање пројекта једнако је:

дана а варијанса:

и стандардна девијација: σ = 1,46

Сада је могуће израчунавати разне вероватноће у вези са случајном променљивом X = време за комплетирање пројекта. Нпр. вероватноћа да ће пројекат бити завршен за највише 46 дана једнака је:

1.3. АНАЛИЗА ТРОШКОВА

У ранијим разматрањима мреже претпостављало се да је време појединих активности фиксно, односно да нема интервенције за скраћивање времена. Медутим, у практичним ситуацијама пожељно је скратити време потребно за одређену активност. То се може постићи укључивањем посебних ресурса, нпр. ангажовањем већег броја радника. На тај начин се, поред скраћења времена уједно и повећава цена те активности, због чега је потребно успоставити равнотежу између скраћења времена за цео пројекат и увећања цене. Како се то ради биће приказано на следећем примеру. На слици 1.9. приказана је мрежа активности за поправку једне куће:

Slika 1.9. Mrežo za popravku kuće

Активност

ES LS EF LF LS - ES На критичном путу

A 0 19,51 9,83 29,34 19,51 НЕ B 0 0 18,00 18,00 0 ДА C 0 19,50 8,00 27,50 19,50 НЕ D 9,83 29,34 22,16 41,67 19,51 НЕ E 18,00 18,00 41,67 41,67 0 ДА F 8,00 27,50 25,67 45,17 19,50 НЕ G 41,67 41,67 45,17 45,17 0 ДА

7

Табела 1.4. Време и цена активности Активност Време за активност Цена активности ($) Цена

убрзања по дану

Регуларно Убрзано Регуларно

Убрзано

1-2 2 1,5 200 275 150 1-3 1 0,5 150 200 100 1-4 1 0,5 175 250 150 2-5 3 2 750 1.000 250 3-7 3 2 600 700 100 4-6 2 1 500 650 150 5-7 3 1,5 500 1.200 467 6-7 2 1 350 400 50

У табели 1.4. дате су цене појединих активности изводене на стандардни начин, као и по убрзаном поступку укључивањем посебних ресурса (прековременог рада).

Ако се ради на стандардни или регуларни начин време за поправку куће се добија на основу критичног пута 1-2-5-7 мреже на слици 1.9. Оно износи 8 дана. Укупна цена је тада 3.225 $ (збир одговарајуће колоне у табели 1.4).

Претпоставимо да власник куће жели да скрати време поправке. То се постиже убрзавањем активности које су на критичном путу. Из табеле 1.4 види се да је најмања цена по дану за убрзање једнака 150 $ за активност 1-2. Произлази да време за поправку куће може да се скрати за пола дана, а да цена коштања тада износи 3.225 + 75 = 3.300 долара. На слици 1.10. је мрежа за поправку куће са временом од 7,5 дана за цео пројекат. Треба уочити да је критични пут остао непромењен.

Слика 1.10. Мрежа за поправку куће са убрзањем активности 1 -2

Новим редуковањем времена за цео пројекат поправке куће долази до даљег повећања трошкова. Убрзањем активности 2-5 са 3 на 2 дана, укупно време за цео пројекат своди се на 6,5 дана. Цена поправке куће тада постаје 3.300 + 250 = 3.550 долара. Треба уочити да је критични пут остао непромењен.

На сличан начин се, убрзањем појединих активности, може постићи даље редуковање времена потребног за поправку куће. При томе у једном моменту може доћи до промене критичног пута. Укупна цена пројекта расте са редуковањем времена, што руководилац пројекта узима у обзир.

8

1.4. ГЕНТОВ ДИЈАГРАМ И СОФТВЕР MS PROJECT

Гентов (Gantt) дијаграм приказује информацију о пројекту на два начина: • лева страна излаже податке табеларно • десна страна садржи дијаграм Табеларни део се односи на активности пројекта, као што су у ниже приказаном

дијаграму пројекта организације семинара: • развој активности семинара • програм семинара • уредивање семинара • развојна евалуација • евалуација семинара

Ове основне активности састоје се од подактивности као што су за прву активност: • писање водича • припрема материјала Десна страна горњег Гентовог дијаграма приказује ток активности у времену, као и

имена лица задужених за обављање активности, односно задатка. Тако писање водича за семинар почиње од почетка децембра, а за то су задужена три лица: Тери, Сузан и Лен (Terry, Suzanne, Len).

Завршетак пројекта чини писање извештаја, односно резултата семинара, у трећој недељи марта а за то је задужен Тери.

Гентов дијаграм се саставља и за дугорочне пројекте, као што је припрема пописа становништва, организовање великих анкета итд. На следећој слици је један такав Гентов дијаграм који приказује главне етапе четворогодишњег пројекта.

9

Гентов дијаграм се користи за:

• креирање пројекта уношењем активности и потребног времена за сваку активност • успостављање секвенцијалне зависности између активности њиховим повезивањем • додељивање ресурса свакој активности, као што су лица задужена за обављање

појединих задатака • контролу како се пројекат одвија у времену • графичко виђење активности истовремено са детаљним информацијама о сваком

задатку • разбијање активности на подактивности, по потреби

Софтвер Microsoft-a за мрежно планирање је MS PROJECT. У свету се организују курсеви за овладавање овим софтвером у трајању од око 6 дана и по цени од око 650 $. Полазници курсева могу да полажу испит Microsoft Office User Specialist (MOUS), Examination on Microsoft на базичном или експертском нивоу. Certifikati Microsoft-a признати су глобално, тако да имају значаја за добијање запослења у многим деловима света. MS Project је моћна и флексибилна алатка за менаџмент пројеката како једноставних, тако и веома сложених. Она помаже да се праве распореди активности у оквиру пројекта и да се прати њихово извршавање. Инсталирањем овог софтвера на интранет мрежу компаније успоставља се комуникација и размена информација између људи укључених у пројекат.

Стартовањем програма MS Project otvara se njegov glavni prozor prikazan na slici 1.11.

Слика 1.11. MS Project – главни прозор

10

У колону „Task Name" уноси се име активности. У разматраном примеру мреже активности за организацију шаховског турнира су биле: a, b, c, d, e, f и g, са временом трајања од 10, 18, 8, 12, 24, 18 и 3 дана, респективно. Ова времена ћемо попунити у колони „Duration". Поред тога, додаћемо их као последњу активност с временом трајања од једног дана и одредити време почетка пројекта за 4. новембар 2002. године. После попуњавања podataka o aktivnostima, MS Project израчунава времена завршетка сваке активности, као и целог пројекта. На слици 8.12. види се да пројекат организације шаховског турнира, чија прва активност почиње у понедељак 04.11.2002, има завршетак у понедељак, 06.01.2003.

Слика 1.12. MS Project - пример организације шаховског турнира

Слика 1.13. Гентов дијаграм

Гентов дијаграм на слици 1.13. показује одвијање активности у времену. Активност а, за коју је потребно 10 радних дана, почиње у понедељак 4. новембра и завршава се у петак 15. новембра. Активност b за коју треба 18 радних дана, што значи три радне недеље и још три радна дана четврте недеље, почиње у понедељак 4. новембра и завршава се у среду 27. новембра.

Дужина целог пројекта је 46 радних дана. Мрежни дијаграм активности добија се избором опције Network Diagram, у главном

прозору MS Project-a.

Слика 1.14. Мрежни дијаграм

11

Мрежни дијаграм на слици 1.14. приказује за сваку активност време почетка и завршетка, и трајање. Приказан је редослед активности, а критични пут је означен црвеном бојом.

Издвајање критичног пута постиже се из главног менија избором Project /Filtered/Critical:

чиме се добија:

Критичне активности су b, e и g. Извештај о њима (слика 1.15) добија се из главног

прозора избором: View/Reports/Overview/Critical Tasks:

Слика 8.15. Критичне активности

12

При ПЕРТ анализи уносе се за сваку активност оптимистичко, највероватније и песимистичко трајање:

MS Project за оптимистичка времена израчунава датум почетка и завршетка сваке активности

и конструише одговарајући Гентов дијаграм:

Оптимистичко време за активност а је 7 радних дана, што значи да обухвата једну радну недељу плус два радна дана друге недеље. Пошто активност а почиње у понедељак 4. новембра, то је њен оптимистички завршетак у уторак 11. новембра. Активност b, чије оптимистичко трајање износи 16 дана, а то је три недеље по пет радних дана плус један дан четврте недеље, има оптимистички датум завршетка у понедељак 25. новембра.

Највероватнија времена имају следеће датуме почетка и завршетка активности у пројекту:

Критични пут је b-e-g-h:

13

критични пут:

Песимистичка времена имају следече датуме почетка и завршетка активности у пројекту:

Критични пут је исто b-e-g-h:

MS Project на основу унетих података израчунава очекивана времена за сваку активност:

Оптимистичко време трајања активности a je o = 7, највероватније време је n = 10, a песимистичко је p = 12. На основу тога је очекивано време активности а једнако:

MS Project има велике могућности практичне примене. За његово коришћење може

добро да послужи уграђени Help:

Top Level Tasks as of Sun 20.01.02 nm3

14

1.5. ПРИМЕРИ 1. Дата је ЦПМ мрежа с временима, за сваку активност, израженим у данима и исписаним на одговарајућим гранама мреже.

а) Ако догађај 1, односно почетак пројекта, стартује 11. новембра 2002. године, одредити време почетка и завршетка сваке активности у мрежи. б) Приказати Гентов дијаграм. в) Одредити критични пут пројекта и потребан број радних дана за цео пројекат. Решење:

а) Време почетка и завршетка сваке активности у мрежи:

б) Gentov dijagram:

15

в)

Критични пут је 1-3-6-8-10. Потребно време за цео пројекат једнако је: 2 + 6 + 3 + 5 = 16 дана.

2. Дата је ЦПМ мрежа с временима, за сваку активност, израженим у данима и исписаним на одговарајућим гранама мреже.

а) Ако догађај 1, односно почетак пројекта, стартује 4. новембра 2002. године, одредити време почетка и завршетка сваке активности у мрежи. б) Приказати Гентов дијаграм. в) Одредити критични пут пројекта и потребан број радних дана за цео пројекат.

3. Дати су следећи подаци за активности пројекта:

Активности Процена времена Претходни догађај Следећи догађај o n p 1 A 2 6 8 10 1 B 3 12 14 15 1 C 4 8 9 10 2 D 5 9 11 15 3 E 5 20 23 27 4 F 6 15 18 22 5 G 6 4 5 6

где је: o = оптимистичка процена n = највероватнија p = песимистичка

а) Одредити критични пут пројекта и потребан број радних дана за цео пројекат за све три процене времена. б) Израчунати очекиване вредности и варијансе времена за сваку активност.

16

Решење: а)

Критични пут је b-e-g, а потребан број дана је:

36 оптимистичка процена 42 највероватнија 48 песимистичка

б) За активност А је:

док је варијанса:

4. Дата је мрежа активности за поправку куће, као и табела времена и цена појединих активности:

Одредити:

а) цену коштања и време поправке куће б) најмању цену коштања ако се време скрати за један дан в) најмању цену коштања ако се време скрати за два дана

активност o n P mi sigma var a 6 8 10 8.00 0.67 0.44 b 12 14 15 13.83 0.50 0.25 c 8 9 10 9.00 0.33 0.11 d 9 11 15 11.33 1.00 1.00 e 20 23 27 23.17 1.17 1.36 f 15 18 22 18.17 1.17 1.36 g 4 5 6 5.00 0.33 0.11

17

Табела: Време и цена активности

5. Дати су следећи подаци за активности пројекта

Активности Процена времена Претходни догађај Следећи догађај o n p 1 A 2 5 7 9 1 B 4 5 9 11 2 C 3 6 9 12 2 D 4 4 9 9 3 E 5 6 8 13 4 F 5 7 7 9 5 G 6 4 7 10

где су времена изражена у данима, а почетак целог пројекта је планиран за 28.10.2002. године.

а) Унети податке у MS Project. б) Одредити датуме почетка и завршетка сваке активности према оптимистичкој, а затим према песимистичкој процени потребног времена. в) Приказати Гентов дијаграм према оптимистичкој процени потребног времена. г) Израчунати очекивана времена свих активности у пројекту. д) Приказати мрежни дијаграм према очекиваној процени потребног времена. ђ) Приказати Гентов дијаграм према очекиваној процени потребног времена. е) Одредити критични пут пројекта и потребан број радних дана за цео пројекат.

Решење: а)

б) Датуми почетка и завршетка сваке активности према оптимистичкој процени потребног времена:

Активност

Време за активност Цена активности ($) Регуларно Убрзано Регуларно Убрзано

1-2 3 2 200 300 1-3 2 1,5 150 200 1-4 2 1,5 180 240 2-5 4 3 800 1.000 3-7 3 2 600 700 4-6 3 2 500 650 5-7 3 1,5 500 1.200 6-7 2 1 350 400

18

Датуми почетка и завршетка сваке активности према песимистичкој процени потребног времена

в) Гентов дијаграм према оптимистичкој процени потребног времена:

г) Очекивана времена свих активности у пројекту:

д) Мрежни дијаграм према очекиваној процени потребног времена:

19

ђ) Гентов дијаграм према очекиваној процени потребног времена:

е)

Критични пут пројекта је A-C-E-G, а потребан број радних дана за цео пројекат износи 31.5. 6. Конструисати ПЕРТ_ЦПМ мрежни дијаграм за следеће активности:

7. За пројекат из претходног задатка израчунате су следеће очекиване вредности потребног времена у данима:

Израчунати: а) ES и LS за сваку активност б) EF и LF за сваку активност в) Критични пут пројекта

Активност Претходна активност A - B - C - D A E B F A G C, D H E I G, H J I,F

Активност Очекивано време A 3 B 5 C 6 D 2 E 8 F 5 G 9 H 5 I 7 J 8

20

Активност Претходна активност A - B - C A D A,B E B,C F A G C, D H E I G, H J I,F K J,H L I,K M L, H

2.ВИШЕКРИТЕРИЈУМСКО ОДЛУЧИВАЊЕ

2.1. ФОРМУЛАЦИЈА ПРОБЛЕМА

Једнострано разматрање већине проблема како у економији, политици, финансијском или производном сектору, тако и оних са којима се срећемо у свакодневном животу, нецелисходно је или чак неизводљиво. Најчешће је проблеме потребно размотрити са више страна и пажљиво анализирати могуће опције, решења и њихове последице. На пример, приликом куповине кола нико не доноси одлуку само на основу цене, већ су значајни критеријуми поузданост и сигурност возила, потрошња горива, субјективни естетски утисак, време испоруке, сервисна мрежа и дужина гаранције, итд. Наиме, доношење одлуке када постоји више критеријума и алтернатива није нимало лак задатак и често доводи до несагласности при одлучивању, па се мора наћи оптимално решење. У последње време све већа пажња посвећује се оваквим проблемима који припадају вишекритеријумском одлучивању, које користећи разне методе помаже доносиоцу одлуке (појединцу или групи) да се определи за најбољу могућу одлуку под датим околностима. У оквиру вишекритеријумског одлучивања постоји вишеатрибутивно и вишециљно одлучивање. Ако су у посматраном проблему алтернативе експлицитно дефинисане, тада се користе методе вишеатрибутивног одлучивања, док у случају када су алтернативе дефинисане имплицитно, преко скупа ограничења, користе се методе вишециљног одлучивања.

Вишеатрибутивно одлучивање користи се у ситуацијама када имамо више критеријума и алтернатива, као и када је за сваки критеријум и за сваку алтернативу дата вредност, односно атрибут. Подаци који се користе у вишеатрибутивном одлучивању смештају се у матрицу одлучивања, где колоне описују критеријуме а врсте алтернативе. На пример, ако желимо да одлучимо где да идемо на летовање, а критеријуми су: цена, врста превоза, удаљеност плаже, услови смештаја, забавни живот, док су алтернативе: Дубровник, Анталија, Будва, Лименарија, сусрећемо се са вишеатрибутивним проблемом одлучивања. Матрица одлучивања код овог проблема ће нпр. у првој врсти садржати све вредности критеријума који се односе на Дубровник итд. Вредности критеријума за анализирану алтернативу могу бити квалитативне и квантитативне природе, па у случају квалитативних вредности неопходно је извршити квантификацију. Доносилац одлуке се, на основу свог знања и искуства, одлучује за одређени скуп критеријума помоћу којих описује посматране алтернативе, те користећи неку од метода вишеатрибутивног одлучивања долази до одлуке, односно опредељује се за најбољу (оптималну) алтернативу. Такође, важно је напоменути да се вишекритеријумско одлучивање користи за доношење одлука у условима извесности,

21

односно када су све чињенице везане за посматрани проблем познате. У наредном делу биће представљене најзначајније методе вишеатрибутивног одлучивања и то:

• метода AHP (Analytic Hierarchy Process) • метода ELECTRE (ELimination Et Choix Traduisant la REalite) • метода PROMETHEE (PReference Organizaion METHod for Enrichment Evaluation) У случају када је могуће изразити преференције између свих парова посматраних

критеријума и алтернатива посебно помоћу 9 тачака, препоручује се примена AHP методе. Коришћење методе ELECTRE захтева да се сваком критеријуму додели тежина. А ако

постоји потреба да се сваки критеријум посебно опише, најподесније је применити PROMETHEE методу. Свака од наведених метода даје потпуни поредак алтернатива.

Вишециљно одлучивање омогућава постојање више функција циља за дати скуп ограничења. Овакав тип проблема своди се на једнокритеријумски проблем одлучивања где се најчешће користи линеарно програмирање или симплекс метода за сваку функцију циља и дата ограничења посебно.

2.2. МЕТОДА AHP

Метода аналитичких хијерархијских процеса развијена је 70-их година прошлог века и користи се у проблемима одлучивања када постоји већи број критеријума и алтернатива. Ова метода израчунава значаје (тежине) анализираних критеријума и алтернатива и као крајњи резултат даје потпуни поредак алтернатива.

Примена ове методе прво захтева да се разматрани проблем представи у облику хијерархијске структуре да би се затим по нивоима дефинисале даље акције. На пример, ако решавани проблем садржи три нивоа тј. циљ, критеријуме и алтернативе, тада се хијерархијска структура графички представља на начин приказан на слици 2.1.

Слика 2.1. Хијерархијска структура

Други и врло битан корак ове методе је исказивање преференција од стране доносиоца одлуке. Оне се појединачно односе на чланове парова критеријума и алтернатива. Преференције се изражавају помоћу нумеричке скале од 1 до 9 која је дата у следећој табели:

22

Доносилац одлуке исказује преференције на основу расположивог објективног знања или на основу сопственог веровања, процене или расположивих информација. Верификација конзистентности исказаних преференција врши се помоћу индекса конзистентности C.I., чија вредност треба да буде мања од 0,1 да би дате оцене биле прихваћене као адекватне. У овом кораку формирају се одговарајуће табеле преференција за сваки ниво хијерархије. Табеле преференција садрже исказане преференције од стране доносиоца одлука за сваки пар критеријума и алтернатива. На основу исказаних преференција израчунава се поредак критеријума и алтернатива. У случају проблема који је представљен сликом 1.1, применом методе AHP прво се израчунава поредак критеријума, затим се израчунава поредак алтернатива за сваки критеријум посебно и на крају се врши синтеза добијених резултата, односно добија се потпуни поредак алтернатива. Ова метода детаљно је представљена у следећем примеру.

Пример

Доносилац одлуке за своје будуће запослење има четири алтернативе: A1 - ЕФФ банка, А2 - КЦ банка, А3 - ЕРС банка, А4 - МРФ банка. Нека су критеријуми за избор једне алтернативе (банке): C1 - месечна нето зарада, C2 - могућност напредовања, C3 - просечан број дневних радних сати, C4 - могућност добијања бонуса, C5 - позиција радног места. Подаци за анализиране алтернативе и критеријуме представљени су у следећој табели:

Критеријуми C2, C4 и C5 морају се квантификовати. После квантификације добија се табела:

Скала Дефиниција 1 Једнако значајни критеријуми 3 Незнатно већа важност једног у односу на други 5 Значајнија важност једног према другом 7 Показује доминацију 9 Екстремна важност

2,4,6,8 Међувредности ако је неопходно учинити компромис Реципрочне вредности ових бројева

Исказују предност другог критеријума у односу на први

зарада напредовање радни сати

бонус позиција

ЕФФ банка 55.000 да 8 не ниска КЦ банка 58.000 да 8 не средња ЕРС банка 61.000 да 10 да висока МРФ банка 72.000 не 12 да висока

23

У следећем кораку доносилац одлуке изражава преференције помоћу девет тачака за све парове критеријума:

Затим се израчунава збир елемената сваке колоне посебно:

На крају се сваки елемент одређене колоне дели са збиром елемената посматране колоне. После тога сабирају се елементи по врстама и сваки добијени збир се дели са бројем разматраних критеријума. На тај начин се посматрана табела проширује са две нове колоне.

На основу података добијених у претходној табели, јасно је да доносилац одлуке највећи значај даје критријуму C1 (зараде) због тежине 0,3741 која је у добијеном скупу критеријума највећа, затим највећи значај придаје критеријумима C4, C2, C5 и C3, редом.

Следећи корак је оцењивање алтернатива за сваки критеријум посебно. Алтернативе се оцењују на претходно приказани начин.

Преференције доносиоца одлуке према банкама у односу на зараде, као и поредак алтернатива (банака) у односу на зараде, представљен је у следеће две табеле:

ЕФФ банка КЦ банка ЕРС банка МРФ банка ЕФФ банка 1,00 1/2 1/3 КЦ банка 2,00 1,00 1/2 ЕРС банка 3,00 2,00 1,00 МРФ банка 6,00 7,00 4,00 1,00

зарада напредовање радни сати бонус позиција ЕФФ банка 55.000 1 8 0 0 КЦ банка 58.000 1 8 0 1 ЕРС банка 61.000 1 10 1 2 МРФ банка 72.000 0 12 1 2

зарада напредовање радни сати бонус позиција зарада 1,00 2,00 3,00 3,00 3,00 напредовање 1/2 1,00 4,00 1/3 1,00 радни сати 1/3 1/4 1,00 1/3 1/4 бонус 1/3 3,00 3,00 1,00 2,00 позиција 1/3 1,00 4,00 1/2 1,00

зарада напредовање радни сати бонус позиција зарада 1,00 2,00 3,00 3,00 3,00 напредовање 0,50 1,00 4,00 0,33 1,00 радни сати 0,33 0,25 1,00 0.33 0,25 бонус 0,33 3,00 3,00 1,00 2,00 позиција 0,33 1,00 4,00 0,50 1,00 сума 2,5 7,25 15,00 5,17 7,25

зарада напред р. сати бонус поз. сума сума/5 зарада 0,4000 0,2759 0,2000 0,5806 0,4138 1,8727 0,3741 напредовање 0,2000 0,1379 0,2667 0,0645 0,1379 0,8070 0,1614 радни сати 0,1333 0,0345 0,0667 0,0645 0,0345 0,3335 0,0667 бонус 0,1333 0,4138 0,2000 0,1935 0,2759 1,2165 0,2433 позиција 0,1333 0,1379 0,2667 0,0968 0,1379 0,7726 0,1545

24

ЕФФ банка КЦ банка ЕРС банка МРФ банка ЕФФ банка 0,0833 0,0476 0,0571 0,1069 КЦ банка 0,1667 0,0952 0,0857 0,0916 ЕРС банка 0,2500 0,1905 0,1714 0,1603 МРФ банка 0,5000 0,6667 0,6857 0,6412

Анализом добијених података, највећу тежину има МРФ банка када је посматрана зарада. Поредак алтернатива у односу на C1 је:

А4 (0,6234) А3 (0,1931) А2 (0,1098) А1 (0,0737)

У оквиру следећих табела дате су преференције и поредак посматраних алтернатива у односу на C2 (напредовање):

ЕФФ банка Комерц. банка ЕРС банка МРФ банка сума/4 ЕФФ банка 0,3214 0,3214 0,3214 0,3214 0,3214 КЦ банка 0,3214 0,3214 0,3214 0,3214 0,3214 ЕРС банка 0,3214 0,3214 0,3214 0,3214 0,3214 МРФ банка 0,0357 0,0357 0,0357 0,0357 0,0359

Поредак алтернатива је: А1 (0,3214) А2 (0,3214) А3 (0,3214) А4 (0,0357) Следећим табелама представљене су преференције и поредак алтернатива у односу на C3

(радни сати):

ЕФФ банка КЦ банка ЕРС банка МРФ банка ЕФФ банка 1,00 1,00 4,00 6,00 КЦ банка 1,00 1,00 4,00 6,00 ЕРС банка 1/4 1/4 1,00 2,00 МРФ банка 1/6 1/6 1/2 1,00

ЕФФ банка КЦ банка ЕРС банка МРФ банка сума/4 ЕФФ банка 0,4138 0,4138 0,4211 0,4000 0,4122 КЦ банка 0,4138 0,4138 0,4211 0,4000 0,4122 ЕРС банка 0,1034 0,1034 0,1053 0,1333 0,1114 МРФ банка 0,0690 0,0690 0,0526 0,0667 0,0643

ЕФФ банка КЦ банка ЕРС банка МРФ банка ЕФФ банка 1,00 1,00 1,00 9,00 КЦ банка 1,00 1,00 1,00 9,00 ЕРС банка 1,00 1,00 1,00 9,00 МРФ банка 1/9 1/9 1/9 1

25

Поредак алтернатива је: А1 (0,4122) А2 (0,4122) А3 (0,1114) А4 (0,0643) Следећим табелама представљене су преференције и поредак алтернатива у односу на C4

(бонус):

ЕФФ банка КЦ банка ЕРС банка МРФ банка ЕФФ банка 1,00 1,00 1/4 1/4 КЦ банка 1,00 1,00 1/4 1/4 ЕРС банка 4,00 4,00 1,00 1,00 МРФ банка 4,00 4,00 1,00 1,00

ЕФФ банка КЦ банка ЕРС банка МРФ банка сума/4 ЕФФ банка 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 КЦ банка 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 ЕРС банка 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 МРФ банка 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4

Поредак алтернатива је: А3 (0,4) А4 (0,4) А2 (0,1) А1 (0,1)

Следећим табелама представљена је оцена алтернатива у односу на C5 (позиција):

ЕФФ банка КЦ банка ЕРС банка МРФ банка ЕФФ банка 1,00 1/2 1/4 1/4 КЦ банка 2,00 1,00 1/2 1/2 ЕРС банка 4,00 2,00 1,00 1,00 МРФ банка 4,00 2,00 1,00 1,00

ЕФФ банка КЦ банка ЕРС банка МРФ банка сума/4

ЕФФ банка 0,0909 0,0909 0,0909 0,0909 0,0909 КЦ банка 0,1818 0,1818 0,1818 0.1818 0,1818 ЕРС банка 0,3636 0,3636 0,3636 0,3636 0,3636 МРФ банка 0,3636 0,3636 0,3636 0,3636 0,3636

Поредак алтернатива је: А4 (0,3636) А3 (0,3636) А2 (0,1818) А1 (0,0909)

Када је израчунат поредак (тежине) свих критеријума и поредак свих алтернатива у односу на сваки критеријум појединачно, могуће је израчунати тежине за сваку алтернативу - на тај начин се добија потпуни поредак алтернатива за исказане преференције од стране доносиоца одлуке. На пример, тежина t1 за алтернативу А1 израчунава се као збир пет

26

сабирака (број сабирака је једнак броју критеријума), који су представљени као производ два елемента; тако чиниоци 0,3741 и 0,0737 у првом сабирку за t1 представљају тежину за C1 и тежину за A1, у оквиру C1, слично 0,1614 је тежина за C2 a 0,3214 je тежина за A1 у оквиру C2 итд. Дакле,

t1 = 0,3741 * 0,0737 + 0,1614 * 0,3214 + 0,0667 * 0,4122 + 0,2433 * 0,1 + 0,1545 * 0,0909 = 0,1453,

t2 = 0,3741 * 0,1098 + 0,1614 * 0,3214 + 0,0667 * 0,4122 + 0,2433 * 0,1 + 0,1545 * 0,1818 = 0,1729,

t3 = 0,3741 * 0,1931 + 0,1614 * 0,3214 + 0,0667 * 0,1114 + 0,2433 * 0,4 + 0,1545 * 0,3636 = 0,2850,

t4 = 0,3741 * 0,6234 + 0,1614 * 0,0357 + 0,0667 * 0,0643 + 0,2433 * 0,4 + 0,1545 * 0,3636 = 0,3968.

Добијене вредности тј., t2, t3 и t4 представљају тежине за алтернативе A1, A2, A3 и A4, редом. Како алтернатива А4 има највећу тежину то значи да МРФ банка највише одговара преференцијама доносиоца одлука за будуће запослење. Дакле, поредак и тежине које одговарају разматраним алтернативама јесу:

A4 (t4 = 0,3968) A3 (t3 = 0,2850) A2 (t2 = 0,1729) A1 (tl = 0,1453)

Софтверски пакет Expert Choice је развијен за примену методе AHP и он је у знатној мери олакшао практичну примену поменуте методе.

2.3. МЕТОДА ELECTRE

Primena metode ELECTRE захтева формирање: • матрице одлучивања, • тежина критеријума, • нормализоване матрице, • тежинске матрице, • скупова сагласних и несагласних критеријума, • сагласне матрице, индекса сагласности, матрице сагласне доминације, • несагласне матрице, индекса несагласности, матрице несагласне доминације, • матрице агрегатне доминације

Елементи матрице одлучивања и тежине критеријума представљају улазне податке методе ELECTRE. Матрица одлучивања означена са О садржи прикупљене податке који се односе на изабране критеријуме и алтернативе. Дакле, ако су посматрани критеријуми обележени са C1, C2,..., Cn а алтернативе са A1, A2, ... , Am, матрица одлучивања О је типа mxn, тако редови (врсте) поменуте матрице садрже податке који се односе на алтернативе а колоне на критеријуме. Потребни подаци могу се представити на следечи начин

oij, i = 1,..., m j = 1,..., n je вредност i-те алтернативе за j-ти критеријум, a tј j = 1,..., n je тежина за j-ти критеријум, збир тежина за све критеријуме мора да буде једнака 1.

27

Наведена метода биће представљена на једноставном примеру избора банке за подизање стамбеног кредита од стране физичког лица.

Пример

Нека су релевантни критеријуми за стамбени кредит: висина каматне стопе(%), минимално учешће(%) и провизија за обраду кредитног захтева (%), са тежинама 0,6, 0,3 и 0,1, редом. Поставља се питање која од анализираних банака (Кредитна банка, Сигурна банка, Покрајинска банка, РФС банка) нуди најповољнији стамбени кредит са становишта физичког лица?

Ако је C1 – висина каматне стопе (%), C2 – минимално учешће (%), C3 – провизија за обраду кредитног захтева (%), t1 = 0,6, t2 = 0,3, t3 = 0,1 A1 – Кредитна банка, A2 – Сигурна банка A3 – Покрајинска банка A4 – РФС банка тада је матрица одлучивања

Следећи корак је израчунавање нормализоване матрице N, која се добија када се сваки елемент подели с нормом критеријума.

Сваки елемент прве колоне дели се нормом првог критеријума, тј. са

сваки елемент друге колоне дели се с нормом другог критеријума која износи 18,03 итд. Нормализација се врши да би сви елементи матрице одлучивања били у интервалу (0,1), односно да се направи њихов просек и на тај начин изврши „уједначавање" вредности атрибута.

После нормализоване матрице N израчунава се тежинска нормализована матрица Т, која се добија као производ нормализоване матрице и квадратне матрице нxн која на главној дијагонали садржи тежине критеријума, а изнад и испод главне дијагонале налазе се нуле.

Помоћу тежинске нормализоване матрице Т израчунавају се скупови сагласних и

несагласних критеријума у односу на све парове алтернатива. Скуп сагласних критеријума за алтернативе p и q представља се као

Spq = {Cк | opk ≤ oqk, k ∈ {l,2,...,n} = K, p,q ∈ {l,2,...,m}}

28

док је скуп несагласних критеријума за алтернативе p и q Npq = C/Spq, где je C = {C1, C2,..., Cn}. Скупови сагласних и несагласних критеријума одредују се на поменути начин када је од интереса да анализирани критеријум има минималне вредности, што је случај са сва три критеријума у датом примеру.

Скуп сагласних критеријума, када је од интереса да посматрани критеријум има максималне вредности, облика је:

Spq = {Cк | opk ≥ oqk, k ∈ K, p,q ∈ {l,2,...,m}}

На пример, за пар алтернатива (А1, А2) у посматраном задатку трећи критеријум биће

сагласан ако је о13 ≤ о23, у супротном је несагласан. Како посматрамо пар алтернатива (А,, А2), то у матрици Т анализирамо прву и другу

врсту и како је 0,288 ≤ 0,3 то је први критеријум сагласан, а како није 0,165 ≤ 0,084 и 0,082 ≤ 0 то су други и трећи критеријум несагласани. Дакле, S12 = {C1} и N12 = {C2, C3} на исти начин се одређују преостали скупови сагласних и несагласних критеријума. Тако се добија:

S13 = {C2} N13 = {C1,C3} S14 = {C1,C2} N14 = {C3} S21 = {C2,C3} N21 = {C1} S23 = {C2,C3} N23 = {C1} S24 = {C1,C2, C3} N24 = {} S31 = {C1,C2, C3} N31 = {} S32 = {C1} N32 = {C2,C3} S34 = {C1,C2,C3} N34 = {} S41 = {C2, C3} N41 = {C1} S42 = {} N42 = {C1,C2, C3} S43 = {C2, C3} N43 = {C1}

После одређених скупова сагласних и несагласних критеријума израчунава се матрица сагласности Smxm. Елемент sij i,j = 1, 2,..., m матрице S добија се као збир тежина сагласних критеријума из Sij.

Тако на пример s21 = 0,3 + 0,1 је збир тежина другог и трећег критеријума, пошто је S21

= {C2, C3} или s14 = 0,6 + 0,3 јер је S14 = {Cp C2}, итд. Када се израчуна матрица сагласности S могуће је израчунати и просечан индекс

сагласности тј. Indexs = (збир свих елемената матрице S)/(m * (m - 1)), тако је Indexs = (0,6 + 0,3 + 0,9 + 0,4 + 0,4 + 1 + 1 + 0,6 + 1 + 0,4 + 0,4)/12 = 0,58.

Помоћу просечног индекса сагласности (Indexs) израчуната је матрица сагласне доминације Ds која је типа mxm и састоји се од 0 i 1. Ако је одговарајући елемент матрице S већи или једнак од Indexs, тада је одговарајући елемент матрице Ds једнак 1, у супротном је једнак 0. Тако је

29

На пример dЅ14 = 1, јер је s14 = 0,9 > 0,58, dЅ41 = 0, јер je s41 = 0,4 < 0,58 итд. Следећи корак је рачунање матрице несагласности Ns

Елемент nsij матрице Ns израчунава се на следећи начин:

(Q је скуп чији су елементи бројеви који представљају индексе несагласних критеријума из посматраног скупа Nij). На пример:

Затим се израчунава просечни индекс несагласности IndexN = (1 + 1 + 1 + 0,11 +0,22

+ 1 + 0,75 + 1 + l)/3 * 4 = 7,08/12 = 0,59. Помоћу просечног индекса несагласносит (IndexN) израчунава се матрица несагласне доминације DN која је типа mxm и састоји се од 0 i 1. Ако је одговарајући елемент матрице Ns већи или једнак од IndexN, тада је одговарајући елемент матрице DN једнак 0, у супротном је једнак 1. Тако је

30

Матрица агрегатне добија се када се помноже одговарајући елементи (елементи са

истом адресом) матрице DЅ и DN, тако DA je:

Добијена матрица указује да алтернатива А1 (Кредитна банка) и алтернатива А4 (РФС банка) не доминирају ни над једном алтернативом, јер су све нуле у првој и четвртој врсти, алтернатива А2 (Сигурна банка) доминира над алтернатвом А4 (РФС банка), а алтернатива А3 (Покрајинска банка) доминира над алтернативама А1 (Кредитна банка) и А4 (РФС банка). Дакле, најбоље је подићи стамбени кредит код Покрајинске банке за посматране критеријуме и предложене тежинске факторе.

2.4. МЕТОДА PROMETHEE

Метода PROMETHEE развијена је 90-их година прошлог века; прилично је једноставна и сем улазних података који се односе на посматране алтернативе и критеријуме захтева да се сваком критеријуму додели тежина и да се опише једним типом општег критеријума.

Постоји више варијанти овога метода од којих се овде разматра само једна. Улазни подаци смештају се у табелу или матрицу одлучивања О, типа rxk, где свака од r врста описује једну алтернативу (a1,...,ar), a свака од k колона (c1,...,ck) један критеријум. Тежине критеријума су (t1,...,tk).

Циљ је да се између алтернатива успостави тотални поредак. Типови општег критеријума се представљају функцијом F(x):

Тип 1

Тип 2

Тип 3

Тип 4

Тип 5

На основу општег критеријума израчунавају се преференције алтернативе ai у односу на алтернативу aj и критеријум cu

31

У горњој формули је О(i, u) вредност критеријума cu за алтернативу ai. При томе критеријум cu може да захтева максимум, као код остварења профита, или минимум ако су трошкови у питању.

Преференције узимају вредности из интервала [0, 1]. • Тада нема преференције, тј. алтернативе се налазе у релацији

индиференције. • 1Тада постоји строга преференција алтернативе а, у односу на

алтернативу aј. Једна од предности методе PROMETHEE је што има могућност модификације кроз

представљање сваког критеријума помоћу једног од општих критеријума, где је за сваки општи критеријум неопходно дефинисати параметре за сваки проблем посебно.

Када је сваки критеријум описан помоћу општег критеријума, могуће је израчунати преференције за сваки пар алтернатива у односу на сваки критеријум; након тога израчунава се индекс преференције IР који се за било који пар алтернатива израчунава на следећи начин:

За индекс преференције било ког пара алтернативе a и b (тј. за IP(a, b)) важи:

0 ≤ IP (a, b) ≤ 1 IP (a, a)= 0

IP (a, b) ≠ IP (b, a) IP (a, b) ≈ 0 слаба преференција a у односу на b за све критеријуме IP (a, b) ≈ 1 јака преференција a у односу на b за све критеријуме

После израчунатих индекса преференције израчунава се позитивни (излазни) и негативни (улазни) ток за сваку алтернааву по формулама, редом:

Што је већи излазни ток, то алтернатива а доминира над осталим алтернативама и што је мањи улазни ток, то мањи број преосталих алтернатива доминира над а. Разлика излазног и улазног тока представља чисти ток,тј. T(a) = T+(a) – T-(a), који се користи код рангирања алтернатива. Следећим примером детаљно ће се објаснити метода PROMETHEE.

Пример За дату матрицу одлучивања и тежине критеријума t1 = 0,3, t2 = 0,2, t3 = 0,5, извршити

избор најприхватљивије алтернативе применом методе PROMETHEE. Критеријум се односи на максимуме.

За три задата критеријума бирамо типове општег критеријума и параметре.

C1 C2 C3 Тип 1 4 2 m 0,4 n 1

32

Следећи корак је одређивање преференције за све парове и све критеријуме редом. При томе се вредност ј-тог критеријума i-те алтернативе обележава са Cj(aj), односно:

Cj(aj) = О(i,j)

C1 Тип 1

C2 Тип 4 n=1

(a1, as) x = C2(a1) – C2(aѕ) P1(a1, as) (a1, a2) 7-8 = -1 0 (a1, a3) 7-6,5 = 0,5 1/2 (a1, a4) 7-7,2 = -0,2 0 (a1, a5) 7-8,8 = -1,8 0

C3 Тип 2 m = 0,4

(a1, as) x = C3(a1) – C3(aѕ) P1(a1, as) (a1, a2) 1,2 -1,6 = -0,4 0 (a1, a3) 1,2-0,8 = 0,4 0 (a1, a4) 1,2-0,6 = 0,6 1 (a1, a5) 1,2-1,7 =-0,5 0

C1 Тип 1

(a2, as) x = C1(a2) – C1(aѕ) P1(a2, as) (a2, a1) -0,5 0 (a2, a3) -0,2 0 (a2, a4) -0,3 0 (a2, a5) 0,1 1

C2 Тип 4 n = 1

(a2, as) x = C3(a2) – C3(aѕ) P2(a2, as) (a2, a1) 1 1 (a2, a3) 1,5 1 (a2, a4) 0,8 1/2 (a2, a5) -0,8 0

C3 Тип 2 m = 0,4

(a2, as) x = C2(a2) – C2(aѕ) P3(a2, as) (a2, a1) 0,4 0 (a2, a3) 0,8 1 (a2, a4) 1 1 (a2, a5) -0,1 0

(a1, as) x = C1(a1) – C1(aѕ) P1(a1, as) (a1, a2) 1,7-1,2 = 0,5 1 (a1, a3) 1,7-1,4 = 0,3 1 (a1, a4) 1,7-1,5 = 0,2 1 (a1, a5) 1,7-1,1 = 0,6 1

33

C1 Тип 1 (a3, as) x = C1(a3) – C1(aѕ) P1(a3, as) (a3, a1) -0,3 0 (a3, a2) 0,2 1 (a3, a4) -0,1 0 (a3, a5) 0,3 1

C2 Тип 4 n=1

(a3, as) x = C2(a3) – C2(aѕ) P2(a3, as) (a3, a1) -0,5 0 (a3, a2) -1,5 0 (a3, a4) -0,7 0 (a3, a5) -2,3 0

C3 Тип 2 m = 0,4

(a3, as) x = C3(a3) – C3(aѕ) P3(a3, as) (a3, a1) -0,4 0 (a3, a2) -0,8 0 (a3, a4) 0,2 0 (a3, a5) -0,9 0

C1 Тип 1

(a4, as) x = C1(a4) – C1(aѕ) P1(a4, as) (a4, a1) -0,2 0 (a4, a2) 0,3 1 (a4, a3) 0,1 1 (a4, a5) 0,4 1

C2 Тип 4 n = 1

(a4, as) x = C2(a4) – C2(aѕ) P2(a4, as) (a4, a1) 0,2 1/2 (a4, a2) -0,8 0 (a4, a3) 0,7 1/2 (a4, a5) -1,6 0

C3 Тип 2 m = 0,4

(a4, as) x = C3(a4) – C3(aѕ) P3(a4, as) (a4, a1) -0,6 0 (a4, a2) -1 0 (a4, a3) -0,2 0 (a4, a5) -1,1 0

C1 Тип 1

(a5, as) x = C1(a5) – C1(aѕ) P1(a5, as) (a5, a1) -0,6 0 (a5, a2) -0,1 0 (a5, a3) -0,3 0 (a5, a4) -0,4 0

34

C2 Тип 4 n = 1 (a5, as) x = C2(a5) – C2(aѕ) P2(a5, as) (a5, a1) 1,8 1 (a5, a2) 0,8 1/2 (a5, a3) 2,3 1 (a5, a4) 1,6 1

C3 Тип 2 m = 0,4

(a5, as) x = C3(a5) – C3(aѕ) P2(a5, as) (a5, a1) 0,5 1 (a5, a2) 0,1 0 (a5, a3) 0,9 1 (a5, a4) 1,1 1

Потпуни поредак алтернатива добија се помоћу чистог тока који се добија помоћу излазног и улазног тока који се израчунавају помоћу индекса преференција. На пример, индекс преференције за пар (a1, a2) израчунава се на следећи начин:

IP(a1, a2) = t1 * P1(a1, a2) + t2 * P2(a1, a2) + t3 * P3(a1, a2) = 0,3 * 1 + 0,2 * 0 + 0,5 * 0 = 0,3. Наредна табела садржи израчунате индексе преференција, улазне T-, излазне T+ и

чисте токове T. а1 а2 а3 а4 а5 T+ T а1 0 0,3 0,4 0,8 0,3 0,450 0,075 а2 0,7 0 0,7 0,6 0,3 0,575 0,325 а3 0 0,3 0 0 0,3 0,150 -0,400 а4 0,1 0,3 0,4 0 0,3 0,275 -0,250 а5 0,7 0,1 0,7 0,7 0 0,550 0,250 T- 0,375 0,250 0,550 0,525 0,300

На основу добијених вредности чистих токова за алтернативе, успоставља се њихов потпуни поредак на приказан начин, одакле је јасно да је а2 најбоља алтернатива.

2.5. ПРИМЕРИ 1. Будући студент имао је дилему око избора факултета. Алтемативе и критеријуми с којима се суочио представљене су у следећој табели:

Програм Дужина трајања Савременост у настави Цена АлфаБета 3 4 4 3.000 Факултет за бизнис 4 3 4 2.500 Економски 3 4 3 1.200 ФФА 4 3 3 2.990

T поредак а1 0,075 3 а2 0,325 1 а3 -0,400 5 а4 -0,250 4 а5 0,250 2

35

Користећи методу AHP изабрати факултет који највише одговара студенту сходно његовим преференцијама (програм и савременост у настави студент субјективно оцењује оценама од 1 до 5).

Решење:

Коришћењем дате табеле одлучивања и преференција за критеријуме и алтернативе, које је формирао доносилац одлука, дати су резултати добијени помоћу познатог софтвера Expert Choice.

2. Компанија која се бави производњом бицикала решила је да своје производе рекламира на следеће начине:

А1 – оглашавање у новинама Neivs, A2 – оглашавање у новинама Herald, A3 – оглашавање на билбордима (Panels), A4 – oоглашавање поштом (Mailing), A5 – слање рекламе на приватне и-мејлове (CMM), A6 – оглашавање путем TВ-a (NCB).

Критеријуми по којима би била изабрана оптимална алтернатива су: C1 – цена оглашавања изражена у 1.000 $, C2 – број људи који су се сусрели са рекламама изражен у 10.000, C3 – укупно трајање рекламне кампање изражено у динарима, C4 – ефекти рекламе изражени помоћу скале од 0 до 100, C5 – број људи из компаније који су укључени у рекламну кампању.

Применом методе PROMETHEE наћи оптималну алтернативу за дату табелу одлучивања.

Criteria C! C2 C3 C4 C5 min/max cost min target max durat. max effic. max manp. min

News 60 900 22 51 8 Herald 30 520 31 13 1 Panels 40 650 20 58 2 Mailing 92 750 60 36 3 CMM 52 780 58 90 1 NCB 80 920 4 75 6

Решењe:

Дефинишемо критеријуме са истим тежинама и типовима према следећој табели.

36

krit. 1 2 3 4 5 тип 5 3 2 5 1 m 20 0 5 10 0 n 100 1000 0 100 0

Добијена је табела индекса преференције.

Потпуни поредак алтернатива почев од најбоље је: 5 2 4 3 1 6

1 - CMM 2 - Herald 3 - Mailing 4 - Panels 5 - News 6 - NCB Овај задатак се може решавати помоћу специјализованих софтвера од којих је један

DecisionLab.

Парцијално рангирање. Метода PROMETHEE I. Извор: htpp://smg.ulb.ac.be

Потпуно рангирање. Метода PROMETHEE II

Извор: htpp://smg.ulb.ac.be

Разлика од горњег резултата је само у рангу четвтог и петог места због другачијих тежина.

а1 а2 а3 а4 а5 а6 T+ T а1 0,000 0,138 0,050 0,071 0,024 0,200 0,097 -0,248 а2 0,425 0,000 0,400 0,305 0,005 0,475 0,322 0,099 а3 0,200 0,104 0,000 0,307 0,000 0,450 0,212 -0,031 а4 0,400 0,275 0,220 0,000 0,000 0,400 0,259 0,032 а5 0,464 0,401 0,475 0,354 0,000 0,431 0,425 0,414 а6 0,235 0,196 0,070 0,098 0,028 0,000 0,125 -0,266 T- 0,345 0,223 0,243 0,227 0,011 0,391

37

Рангирање са промењеним тежинама Извор: htpp://smg.ulb.ac.be

3. Купујући кола Ненадове алтернативе биле су peugeot 307, honda civic и toyota auris, а критеријуми су му били цена, број година гаранције, потрошња горива и максимална брзина коју кола могу да развију. Подаци са којима располаже дати су у следећој табели:

Цена Гаранција Потрошња Брзина 307 18.270 2 4.9 179 civic 18.300 3 5.9 185 auris 16.750 3 5 210

Користећи метод AHP и ELECTREE одредити оптимални избор аутомобила. Решењe: Поштујући преференције доносиоца одлуке једно од решења постављеног задатка је:

38

4. Студент из Сомбора тражећи стан у Београду, који ће да користи за време студирања, као главне критеријуме агенцији за некретнине истакао је удаљеност од факултета, опремљеност стана, цену, постојање централног грејања, величину стана. Помоћу неке методе вишекритерјумског одлучивања изабрати оптималан стан на основу добијених података од агенције, који су смештени у следећој табели:

удаљеност опремљеност цена грејање величина стан 1 3 3 170 1 35 стан 2 5 5 200 1 43 стан 3 1 3 190 0 19

(удаљеност је изражена у кm, опремљеност се оцењује од 1 до 5, цена у еврима, грејање је 1 ако стан има централно грејање, иначе је 0 и величина је изражена бројем m2).

Решење:

Задају се критеријуми за методу PROMETHEE. крит. 1 2 3 4 5 тип 2 1 3 1 2 m 1 0 0 0 10 n 0 1 40 0 0 тежине 0,3 0,1 0,4 0,1 0,1

Критеријум бр. 1.

a1 a2 C(a1) C(a2) х преф. 1 1 3 3 0 0 1 2 3 5 -2 1 1 3 3 1 2 0 2 1 5 3 2 0 2 2 5 5 0 0 2 3 5 1 4 0 3 1 1 3 -2 1 3 2 1 5 -4 1 3 3 1 1 0 0

39

Критеријум бр. 2.

Критеријум бр. 3.

Критеријум бр. 4

Критеријум бр. 5.

a1 a2 C(a1) C(a2) х преф. 1 1 3 3 0 0 1 2 3 5 -2 0 1 3 3 3 0 0 2 1 5 3 2 1 2 2 5 5 0 0 2 3 5 3 2 1 3 1 3 3 0 0 3 2 3 5 -2 0

a1 a2 C(a1) C(a2) х преф. 1 1 170 170 0 0 1 2 170 200 -30 0.75 1 3 170 190 -20 0.5 2 1 200 170 30 0 2 2 200 200 0 0 2 3 200 190 10 0 3 1 190 170 20 0 3 2 190 200 -10 0.25

a1 a2 C(a1) C(a2) х преф. 1 1 1 1 0 0 1 2 1 1 0 0 1 3 1 0 1 1 2 1 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 2 3 1 0 1 1 3 1 0 1 -1 0 3 2 0 1 -1 0 3 3 0 0 0 0

a1 a2 C(a1) C(a2) X преф. 1 1 35 35 0 0 1 2 35 43 -8 0 1 3 35 19 16 1 2 1 43 35 8 0 2 2 43 43 0 0 2 3 43 19 24 1 3 1 19 35 -16 0 3 2 19 43 -24 0 3 3 19 19 0 0

a1 a2 a3 T+ T a1 0 0,6 0,4 0,500 0,300 a2 0,1 0 0,3 0,200 -0,300 a3 0,3 0,4 0 0,35 0 T- 0,2 0,5 0,3

5

40

Потпуни поредак алтернатива почев од најбоље је: a1, a2, a3.

5. Менаџмент компаније треба да донесе одлуку о куповини машина једне од 4 марке M1-M4.

Цена је у еврима, гаранција у годинама, квалитетје од 1 (најгори) до 5 (најбољи), а брзина је број обрађених производа у јединици времена. Решење:

Задају се критеријуми за методу PROMETHEE. крит. 1 2 3 4 тип 3 1 1 2 m 0 0 0 4 n 15000 0 0 0 тежине 0,3 0,1 0,4 0,2 min max max max

Потпуни поредак алтернативе почев од најбољег је: 1, 4, 2, 3.

Цена Гаранција Квалитет Брзинa M1 15.230 2 5 160 M2 13.890 3 4 157 M3 12.640 1 3 145 M4 14.830 3 5 153

al a2 a3 a4 T+ T al 0,000 0,400 0,700 0,200 0,433 0,338 a2 0,127 0,000 0,700 0,019 0,282 0,007 a3 0,052 0,025 0,000 0,044 0,040 -0,660 a4 0,108 0,400 0,700 0,000 0,403 0,315 T- 0,096 0,275 0,700 0,088