Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при

вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном

пространстве с применением в вариационных задачах

Автор: Смирнов Михаил 11 класс

Научный руководитель:

Секацкая Е. Г., учитель математики и информатики шк.№21

Научный консультант:

Степаненко В. А., доцент кафедры высшей математики СФУ

Определение :Телесный угол- часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью, в частности трехгранный и многогранный углы ограничены соответственно тремя и многими плоскими гранями, сходящимися в вершине телесного угла.

Определение : Мерой многогранного угла называется

площадь, ограниченная сферическим многоугольником, полученным пересечением граней многогранного угла сферой с радиусом, равным единице и с центром – в вершине многогранного угла.

Вычислить сумму внутренних (телесных) углов при вершинах произвольной треугольной пирамиды («малая проблема Циха»), а далее – и произвольного выпуклого многогранника в трехмерном

пространстве («большая проблема Циха»). В данной работе мы предлагаем вам решение этих проблем.Цель научной работы: вычислить сумму телесных углов при

вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве. Применить полученные формулы при решении некой экстремальной

задачи.

Определение : Стерадиан – единица измерения телесного угла.Стерадиан - телесный угол, вырезающий на сфере, описанной вокруг вершины угла, поверхность, площадь которой равна квадрату радиуса сферы. Полная сфера образует телесный угол, равный 4

Цих советовал решать задачу геометрически, рассматривая разнотипные фигуры на сфере (три остроугольных и три- трапециоподобных фигуры), не рассматривая диаметрально противоположную ситуацию

Идея решения. Отличие от подхода Циха

Мы же рассматриваем три однотипные тупоугольные фигуры- внешние углы к сферическому треугольнику- “ломтики”, и рассматриванием диаметрально противоположную ситуацию(на другом полюсе).

Угол COD есть величина двугранного угла «ломтика» сферы ACBDA, и он равен углу между касательными прямыми к “меридианам” ABC и ADB в их общей точке A.Он соответствует сферическому углуCAD, обозначает sCAD или sA.

Лемма о площади “ломтика”. Следствие

22 R

22 R

Найдем площадь «ломтика» ACBDA.- внешнего сферического угла треугольника на сфере.

Доказательство: Пусть COD= рад, тогда из простой пропорции

2 - 4 - ?

получаем SABCDA=

Что и требовалось доказать.

Следствие:

В случае единичной сферы (R=1) : SABCDA =2

Лемма 1: SABCDA=

ABCSНапомним, что площадь измеряет в стерадианах величину искомого трехгранного угла

,,

Лемма 2:Величина трехгранного телесного угла OABC вычисляется по формуле

OABC= S = 2-(++)

- внешние сферические углы к внешнему сферическому треугольнику ABC.

.,, 321 lllДоказательство:Обозначим “ломтики” Как отмечалось выше, вся сфера состоит из трех ломтиков

и двух равных сферических треугольников.

сфlll SSSSS 2321

Поэтому

(2+2+2)+2S =4.Поделим на2 .

+++S =2, где S -мера трехгранного угла, тогда

OABC=S =2-(++)=2---

Что и требовалось доказать

.,, 321 lll

OABCD = S4-ка =2-(1+2+3+4)

сфникllll SSSSSS 424321

(21+22+23+24)+2S4-ка= 4.

Поделим обе части равенства на 2.1+2+3+4+S4-ка=2, где S4-ка-мера четырехгранного угла, то

OABCD = S4-ка =2-(1+2+3+4)=2-1-2-3-4, где n – внешние углы.

Итак, OABCD = S4-ка =2-(1+2+3+4)

Лемма о вычислении четырехгранного телесного угла

Доказательство:

Лемма 3:

Гипотеза – индуктивное предположение для n- гранного угла.

OABCD= Sn=2-(1+2+…+n),

n

iinS

1

2 OA1A2...An=

OABC= S =2-(++).

OABCD = S4-ка =2-(1+2+3+4)

Лемма 4:

Решение «Малой проблемы Циха» Выражение телесных углов через внешние перпендикуляры граней

OCAOAB

n-гранный (телесный) угол измеряется с помощью двугранных, образованных его гранями, а измерение двугранных углов мы сводим к углам между внешними перпендикулярами к его граням.

Посмотрим вдоль (навстречу) оси OA , мы увидим ситуацию, изображенную на рисунке.

Очевидно, что двугранный

равен углу между векторами

- внешними перпендикулярами к соответственным граням , и

как углы с соответственно перпендикулярными сторонами ( и оба одновременно тупые или острые).

BOAиAOC

A=A1,B=A3,C=A2,

1321 , AOAAOA 21AOA 13AOA 1OAПо лучу OA1 пересекается ,(т.е.

)

Рассмотрим в точке A1 их внешние перпендикуляры

1321 AOAиAOA

.

1321

1321

1

,

cos

AOAAOA

AOAAOA

Косинус угла между ними определяется по формуле

а сам внешний угол при вершине A1:

1321

1321

1

,

arccos

AOAAOA

AOAAOA

2OA 3221 AOAAOA

3221

3221

2

,

arccos

AOAAOA

AOAAOA

3OA 1332 AOAAOA

1332

1332

3

,

arccos

AOAAOA

AOAAOA

Аналогично, в точке A2(=С):

И в точке A3(=B) :

.

2,1

1,3

3,2

21

13

32

AOA

AOA

AOA

1,33,2

1,3,3,2arccos

3,22,1

3,2,2,1arccos

1,32,1

1,3,2,1(arccos2

Обозначим для удобства векторы

Тогда

OA1A2A3=

Воспользуемся симметрией скалярного умножения abba

,, и перепишем более удобно полученную формулу:

).

2,11,3

2,1,1,3arccos

1,33,2

1,3,3,2arccos

3,22,1

3,2,2,1(arccos2 OA1A2A3=

1,,1

1,,,1arccos2

3

1

iiii

iiii

i

Последнюю запись формализуем:

OA1A2A3= .

.1,1,,1,1,11 nnnn

1,,1

1,,,1arccos2

1

iiii

iiiin

i

OA1A2...An= , где

Аналогично, когда угол n-гранный, получаем:

Сумма телесных углов при вершинах треугольной пирамиды

321431

321431

241321

241321 ,

arccos

,

arccos2

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

241431

241431 ,

arccos

AAAAAA

AAAAAA

342132

342132

412342

412342 ,

arccos

,

arccos2

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

A1A2A3A4

A2A1A4A3

A3A1A2A4

314234

314234

124234

124234 ,

arccos

,

arccos2

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

A4A1A3A2=

412132

412132 ,

arccos

AAAAAA

AAAAAA

143423

143423

213423

213423 ,

arccos

,

arccos2

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

213143

213143 ,

arccos

AAAAAA

AAAAAA

124314

124314 ,

arccos

AAAAAA

AAAAAA

321431

321431

241321

241321 ,

arccos

,

28

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

412342

412342

241431

241431 ,

arccos

,

arccos

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

143423

143423

342132

342132 ,

arccos

,

arccos

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

Искомая сумма:

A1A2A3A4+ A2A1A4A3+ A3A1A2A4+ A4A1A3A2=

142,134arccos134,123arccos123,142arccos28

.341,324arccos231,243arccos243,214arccos

Перепишем еще более удобно:

(1234)+ (2143)+ (3124)+ (4132)=

Пример 1: Рассмотрим пирамиду А1А2А3А4 , а затем вычислим единичные векторы внешних перпендикуляров к ее граням:

).3

1,

3

1,

3

1(243

),0,0,1(134

)1,0,0(123

),0,1,0(142

4

1iAi=

.3

1arccos65

3

1arccos638

3

1arccos3

2

328

3

1arccos3

22228

Пример 2: (усложненный пример 1)

Рассмотрим октаэдр с центром в начале координат, тогда

(1,1,1);(-1,1,1);(-1,-1,1);(1,-1,1) координаты внешних перпендикуляров его граней.

Нормируем эти векторы:

,3

1arccos4

3

1

3

2arccos

3

1

3

2arccos

3

1

3

2arccos

3

2

3

1arccos

Вычислим сумму арккосинусов соответствующих попарных скалярных произведений:

3

1arccos42 = -величина одного телесного угла. Таким образом, искомая сумма всех телесных углов равна

6

1i

.3

1arccos2412 Ai

тогда

которое сводится к более простому

Заметим, что октаэдр состоит из 8 одинаковых пирамид из примера 1, тогда должно выполняться тождество:

,3

1arccos24124

3

1arccos658

,3

1arccos2

3

1arccos

а последнее эквивалентно .

3

1

3

1

.

Решение «Большой проблемы Циха»Сумма телесных углов n – гранника

С учетом соотношения Эйлера: Г+В-Р=2 , где Г- количество граней,В-вершин, Р-ребер многогранника, для задания выпуклого n-гранникамало задать число граней, нужно указать еще и число вершин.Например, у куба и фигуры, составленной из двух треугольных пирамидчисло граней одинаково (6), а числа вершин различны ( 8 и 5, соответственно).

Пусть в трехмерном пространстве задан выпуклый n-гранник с m-вершинами,тогда сумма всех его телесных углов при m вершинах представляется следующей формулой:

m

i 1

2

1

1,,,1arccos22nm

ji jjjjnA

где n- число граней , а индекс j пробегает количество всех ребер.

Цихом поставлена еще задача на экстремум: среди всех выпуклых n- гранников (m- вершинников) найти те, сумма телесных углов которых минимальна и максимальна.Пример 1: Дана прямоугольная пирамида с вершинами на осях координат. Три вершины фиксированы: (1;0;0), (0;1;0) и (0;0;0), а четвертая движется по оси OZ и имеет координаты (0;0;h).

Выпишем внешние единичные нормали для всех трех координатных граней : (0,-1,0),(0,0,-1),(-1,0,0) и для наклонной грани:

.12

1,

12,

12 222

hh

h

h

h

2

Заметим, кроме того, что угол A1 равен ( очевидно), углы A2 и

A3 равны, поэтому достаточно найти только угол A2и угол A4.

Вычислим их.

12arccos

12

1arccos0arccos2

22 h

h

h .

12arccos

12

1arccos

2

322

h

h

hA2=

12arccos

12arccos0arccos2

22 h

h

h

h .12

arccos22

32

h

hA4=

Находим искомую сумму углов ( как функцию параметра h):

.12

arccos412

1arccos25

12arccos2

2

3

212arccos

12

1arccos23

22

222

h

h

h

h

h

h

h

h

,1

1`arccos

2xx

И, наконец, рассмотрим два предельных случая, когда h и h . При h , когда пирамида сплющивается к своему основанию- треугольнику сумма углов равна:

.121

2222

121

4

12

2222

2

222

hh

h

hhh

l

Так как знаменатель строго положителен, знак производной определяет только числитель. Решим уравнение:

.0222 2 h

.

Его корни есть h=1 и h=-1, второй корень не имеет геометрического смысла (0<h<+∞).

При h (0;1) функция монотонно убывает, а при h (1;+∞) функция монотонно возрастает, имея в точкеh=1 минимум, равный

321 AAA

.0arccos41arccos25

При h , когда пирамида вытягивается в вертикальную бесконечную треугольную призму, сумма углов также равна

.3

1arccos65

Заметим, что при h =1 ответ, как и ожидалось, совпадает с полученным(*).

3

1arccos65

.

Используем формулу тогда производная всей суммы равна:

.

0

0

Пример 2.

Рассмотрим правильную пирамиду с вершинами в точках A, B, C, D. Тогда A= B= C.Достаточно вычислить A и затем утроить его. D вычисляется самостоятельно.

DBA

DCA

DCB 1,0,0

CBA

Выпишем внешние единичные нормали

,

, и -основание.

Тогда:

14

21arccos

14

1arccos22

2

2

2 h

h

hA

14

21arccos32

2

2

h

hD

14

21arccos6

14

1arccos68

2

2

2 h

h

h

114

311222

2

hh

hl

Знак определяется величиной

312 h

Решим уравнение: 312 h

2h

2

,2h

корень не имеет геометрического смысла.

и возрастает при

при 2,0h функция убывает

438

3

2

268

2

1arccos0arccos68

20681arccos1arccos680

3

1arccos128

3

1arccos268

9

3arccos

3

1arccos68

)2min(

14

21arccos3

14

1arccos66

2

2

2 h

h

h

Рассмотрим пирамиду АBCO.

(0,-1,0),(0,0,-1),(-1,0,0),

222222222222222222,,

bacacb

ab

bacacb

ac

bacacb

bc

222222222222arccosarccos

22

bacacb

ab

bacacb

acA

222222222222arccosarccos

22

bacacb

bc

bacacb

abB

222222222222arccosarccos

22

bacacb

ac

bacacb

bcC

2

O

Будем варьировать три вершины.Вычислим углы:

222222222222

arccosarccos25bacacb

bc

bacacb

ab

222222arccos

bacacb

ac

Данная сумма углов инвариантна относительно круговой подстановке переменных a, b, c:

Найдем производные :

22

22

22

2

22

2

2222222

cb

cb

ca

c

ba

b

cbcaba

bcla

22

22

22

2

22

2

2222222

ca

ca

cb

c

ab

a

cbcaba

aclb

22

22

22

2

22

2

2222222

ba

ba

bc

b

ac

a

cbcaba

ablc

Обозначим тогда:222 ,, cCbBaA

0

CB

CB

CA

C

BA

B

0

CA

CA

CB

C

AB

A

0

BA

BA

BC

B

AC

A

CBCA

C

BA

B

CACB

C

AB

A

BABC

B

AC

A

Тогда:

.

232344224333223 442444 BCACBABCAACBACBCABCAB 232344224333223 442444 CABACBCABBACBACABCABC 232344224333223 442444 ABCBACABCCBACBABCABCA

66666666 442444 tttttttt

t

Данная система инвариантна относительно круговой подстановки переменных. Следовательно, она имеет решение с одинаковыми координатами, т.е. A=B=C=t, тогда для переменной t получается одно тождество, справедливое при всех значениях t:

общее решение нашей задачи будет (t >0) и, окончательно, получаем a=b=c=

t Cc t,Bb t,Aa 222

Вывод: сумма внутренних углов пирамиды с тремя вершинами на осях координат и четвертой- в началекоординат, минимальна только тогда, когда вершины, лежащие на осях, равноудалены от начала координат.

2S ,,

111S 111 ,,

, где

, где внутренние углы сферического треугольника.

внешние углы сферического треугольника.

Сравнительный анализ

Аналогично и для n-угольника:

....2 21 nS

....21 nS

Заключение

• В ходе работы мы рассматриваем вспомогательные задачи, формулируем и доказываем ряд лемм о вычислении телесных углов; получаем новые формулы, выражающие телесные углы через внешние перпендикуляры граней; вычисляем сумму телесных углов при вершинах треугольной пирамиды, а также получаем формулу для вычисления суммы всех телесных углов выпуклого n-гранника с m-вершинами. Вводим ряд новых обозначений.

• Показываем применение нашего подхода к решению вариационных задач