§1.3 函数的极限

燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪

第 1 章

一、函数极限的定义

1. 自变量趋于无穷大时函数的极限

2. 自变量趋于有限值时函数的极限

,)(xfy 对于

0( 4) x x

0(5) x x 0(6) x x

(1) x ( 2) x

(3) x

自变量的变化过程有六种形式 :

XX

A

Ao x

y

)(xfy A

1. 自变量趋于无穷大时函数的极限 定义 1 设函数

xxf 当)( 大于某一正数时有定义 ,

若 ,0X ,)(, AxfXx 有时当

则称常数 时的极限 ,

Axfx

)(lim )()( xAxf 当或

几何解释 :

AxfA )(XxXx 或

记作

,0

xxf 当)(A 为函数

当 x< － X 或 x>X 时，函数 y=f (x) 的图形完全落在以直线 y=A 为中心线，宽为 2ε 的带形区域内．

例 1. 证明 .01

lim xx

证 : 01 x x

1

取 ,1

X ,时当 Xx 10 ,

x 因此 1

lim 0.x x

就有

故 ,0 欲使 ,01 x

只要 1x

.即可

o x

y

xy

1

两种特殊情况 :

Axfx

)(lim ,0 ,0X 当 Xx 时 , 有 Axf )(

Axfx

)(lim ,0 ,0X 当 Xx 时 , 有 Axf )(

2. 自变量趋于有限值时函数的极限(1) 0xx 时函数极限的定义

引例 . 测量正方形面积 . 面积为 A )边长为( 真值 : ;0x

边长

面积 2x

直接观测值

间接观测值任给精度 ,

要求 Ax2

确定直接观测值精度 :

0xx0xA

x

点 a的 邻域 . a

),( xa axa

x ax

)(aa

我们称集合

定义 2 设函数 )(xf 在点 0x 的某去心邻域内有定义 ,

,0 ,0 当 00 xx 时 , 有

Axf )(

则称常数 A 为函数

)(xf 当 0xx 时的极限 ,

Axfxx

)(lim0

或 )()( 0xxAxf 当

即 ,0 ,0 当 ),( 0 xx

时 , 有

若记作

Axf )(

Axfxx

)(lim0

),(U xa

ax0

其中 , a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .

去心 邻域 .

左 邻域 : ,),( aa 右 邻域 : .),( aa

称集合 为点 a的

1. 函数极限与 f (x) 在点 x0 是否有定义无关2.δ 与任意给定的 ε 有关

极限存在 函数在局部有界

这表明 :

注意 :

几何解释 :

0x

A

AA

x0x

y )(xfy

函数 y=f (x) 的图形完全落在以直线 y=A 为中心线 ,宽为 2ε 的带形区域内．

00 xx当 时 ,

例 2. 证明

0

limx xc c

211

lim2

1

xx

x

证 Axf )( 2112

xx 21 x

故 ,0 取 , 当 10 x 时 , 必有

2112

xx

因此 211

lim2

1

xx

x

1 x

由极限的定义容易证明

(c 为常数 ),0

000

lim , limsin 0 , lim cos 1x x xx

x x x x

(2) 左极限与右极限左极限 : 0( 0)f x Axf

xx

)(lim

0

,0 ,0 当 ),( 00 xxx

时 , 有 .)( Axf

右极限 : 0( 0)f x Axfxx

)(lim0

,0 ,0 当 ),( 00 xxx

时 , 有 .)( Axf

由定义 2 以及左右极限的定义容易得到

Axfxx

)(lim0

Axfxfxxxx

)(lim)(lim00

例 3. 设函数

0,10,00,1

)(xxxxx

xf

讨论 0x 时 )(xf 的极限是否存在 .

x

y

o 11xy

11xy

解 因为

)(lim0

xfx

)1(lim0

x

x1

)(lim0

xfx

)1(lim0

x

x1

显然 (0 0) (0 0) ,f f 所以 )(lim0

xfx

不存在 .

关于函数极限，也有类似于数列极限的重要结论 .

表示 x 的某个变化过程中函数的极限．

定理 2（有界性）在一点收敛的函数必在该点附近有界．

定理 3（夹逼准则）

且

( ) ( ) ( ) ,a x f x b x x I 设在区间 I上

lim ( ) lim ( )a x b x A

则 lim ( )f x A

lim ( )f x

定理 1（唯一性）若函数的极限存在，则这极限是唯一的 .

在自变量的某个变化过程中，

内容小结

1. 函数极限的 "" 或"" X 定义

2. 函数极限的性质 :唯一性、有界性、夹逼准则

与左右极限等价定理思考与练习

1. 若极限 )(lim0

xfxx

存在 , )()(lim 00

xfxfxx

2. 设函数 )(xf 且 )(lim1xf

x存在 , 则

. a 3

是否一定有

, 1

2 1, 1

a x x

x x

？

不一定 !