一、高等数学中极限、导数、微分、积分基本概念及相关知识

实验三 函数极限、导数与积分的计算

实验目的：学习并掌握 Mathematica 中函数极限、导数、积分的计算方法，辅助相关课程的学习。

预备知识：

二、 Mathematica中计算极限、导数、积分的相关命令

边学边做：（一）求下列极限：

（ 1 ）求函数 的一阶导数

x

xx

sinlim

0 x

ee xx

x sinlim

0

x

x x)1

1(lim

2)2

1(lim

x

x x

x

xe

1

0lim

x

x

e1

0

lim

（二）导数计算xy 2sin

（ 2 ）求函数 的三阶导数

（ 3 ）求函数 的一阶、二阶偏导数（ 4 ）求函数 在 处的导数值

xey x sin

32),( yxyxf

123 xxy 1x

（ 5 ）求函数 在 处的二阶导数值 2sin xy

（ 6 ）求隐函数 所确定的函数的导数122 yxdx

dy

（ 7 ）求参数方程 所确定的函数的导数

xby

xax

sin

cos

（三）求下列积分

( 四）计算二重积分 ，其中 D 是由 所围成的区域。

dxxx

x

532 5

1

5dxx 1

0sin xdxx

1

0

sindx

x

x

0dxe x

D

dxdyx

y

4,2,,2 xxxyxy

1 ．连续复利：有一笔贷款 A0=1000元（称本金）以年利率 r=0.1贷出，若以一年为一期计算利息， 1 年末的本利和为 A1=A0（ 1+r）， 2 年末本利和为A2=A1（ 1+r） =A0(1+r)2，… t 年末本利和为At= A0(1+r)t。若一年不是一期，而是一年计息 n期，且以为每期利息来计算，则 t 年末本利和为 At= A0(1+)nt，请给出 1 元贷款在 10年后的本利和

2 ．计算人造卫星轨道的长度： 1970年 4 月 24日，我国发射了第一颗人造卫星，这颗卫星的近地点距离地球表面 439km，远地点距离地球表面 2384km，若取地球的半径为 6371km，请计算人造地球卫星的轨道长度

( 五 ) 应用举例

学生实验：

一、基础部分1 ．求下列函数极限

（ 1 ） （ 2 ） （ 3 ）2 ．求下列积分（ 1 ） （ 2 ） （ 3 ）

（ 4 ）求 的数值解

（ 5 ）计算 由 所围

)1

1

1

3(lim

31 xxx

12

12lim

1

1

0

x

x

x

2)2

1(lim

x

x x

)1()1( 22 xx

dx1

0dxxe x

1 31 x

dx

2

2 421

sindx

xx

xx

DdxdyyxD )( 22 0,1,2 yxxy

3 ．完成导数计算（ 1 ）求 的导函数及其

（ 2 ）求函数 的导数与微分

（ 3 ）设 ，求

（ 4 ）求由参数方程 所确定的函数的导数

19

5

1

1)(

xx

xxf )4(f

)ln( 22 axxy

)ln( 2 yxz 2

22

2

2

,,y

z

yx

z

x

z

3

3

sin2

cos2

y

x

二、应用部分

　（一）已知物体作直线运动，运动方程为，求物体运动的速度和加速度。（二）已知单摆的运动周期为 ，若摆长由２０ cm增加到 20.1cm，问周期大约变化多大。（三）将一物体垂直上抛，其运动方 ，试求：１）物体从 t=1秒到 t=2秒的平均速度；２）物体从 t=1秒到 t=1+△t秒的平均速度２）物体在 t=1时的瞬时速度；３）物体从 t 秒到 t+△t秒的平均速度；４）物体在任意 t 秒时的瞬时速度。

tt

s 23

sin9

g

lT 2

2

2

110 gtts

( 四 ) 求由曲线 y=x2与直线 y=2x+1所围平面图形的面积 .( 五 ) 抛物线 y2=2x把圆 x2+y2=8分成两部分, 求这两部分的面积之比 .( 六 ) 证明 : 把质量为 m 的物体从地球表面升高到 h处所做的功是 , 其中 K 是引力常数 ,M是地球的质量 ,R是地球的半径 .( 七 ) 试计算某建筑物屋盖的拱长 , 已知这个屋盖是跨度为 18m,矢高为 3.6m的抛物线拱 .( 八 ) 求抛物线 y=x2与直线 x-y-2=0之间的最短距离 .

2)( hR

MmKW

实验三内容详解：

一、利用 Limit 函数求极限

1 ．命令格式 Limit[f(x),x->a, 选择项 ]求左极限，加选择项“ Direction->1”求右极限，加选择项“ Direction->-1”格式中的 a 既可以是某一个常数，也可以是无穷大 Infinity

2 ．边学边做

求下列极限：(1) ； (2) ； (3)

(4) ； (5) ； (6)

x

xx

sinlim

0 x

ee xx

x sinlim

0

x

xe

1

0lim

x

x

e1

0

lim

x

x x)1

1(lim

2)2

1(lim

x

x x

(1)Clear[x]Limit[Sin[x]/x,x->0]

(2)Clear[x]Limit[(Exp[x]-Exp[-x])/Sin[x],x->0]

(3)Clear[x]Limit[E^(-1/x),x->0, Direction->-1]

(4)Clear[x]Limit[E^(-1/x),x->0, Direction->1]

(5)Clear[x]Limit[(1+(1/x))^x,x->Infinity](6) f[x_]:=(1+(2/x))^(x+2) Limit[f[x], x->Infinity]

解 (1) Clear[x] Limit[Sin[x]/x,x->0] (2) Limit[(Exp[x]-Exp[-x])/Sin[x],x->0] (3) Limit[E^(-1/x),x->0, Direction->-1] (4) Limit[E^(-1/x),x->0, Direction->1] (5) Limit[(1+(1/x))^x,x->Infinity] (6) f[x_]:=(1+(2/x))^(x+2) Limit[f[x], x->Infinity]

二、利用 D 函数求导数，微分1 ．命令汇总

命 令 功 能 D[f[x],x] 计算一元函数导数 df/dx

D[f[x],{x,n}] 计算一元函数高阶导数 f(n)(x)

D[f,{x,n},{y,m}] 求函数 f 对 x 的 n 阶，对 y 的 m阶混合偏导数

Dt[f] 求函数 f 的全微分 DFxy[f_,x_,y_]:=Solve[D[f,x]==0,y′[x]]

自定义函数用于隐函数求导

Dxyt[y_,x_,t_]:=D[y,t]/D[x,t]

自定义函数用于求参数方程所确定的导数

特别强调：若用自定义函数写出求导函数时，求导时亦可采用数学中的通用记号 来表示导数。ff ,

2 ．边学边做（ 1 ） D[Sin[2^x],x]即求 函数的一阶导数（ 2 ） D[Exp[x]*Sin[x],{x,3}]即求函数 的三阶导数 （ 3 ）求函数 的一阶、二阶偏导数解 f[x_,y_]:=x^2*y^3; Z1=D[f[x,y],{x,1}] Z2=D[f[x,y],{y,1}] Z11=D[f[x,y],{x,2}] Z12=D[f[x,y],{x,1},{y,1}] Z21=D[f[x,y],{y,1},{x,1}] Z22=D[f[x,y],{y,2}]

xy 2sin

xey x sin32),( yxyxf

(4)H=D[x3-2x+1,x];H/.x->1 即求函数 在 x=1处的导数值(5)f[x_]:=Sin[x^2]N[f″[Pi]]求函数 在 处的二阶导数值(6)求隐函数 所确定的函数的导数DFxy[f_,x_,y_]:=Solve[D[f,x]==0,y’[x]]DFxy[x^2+(y[x])^2-1,x,y](7)求参数方程 所确定的函数的导数Dxyt[y_,x_,t_]:=D[y,t]/D[x,t]Dxyt[a*Cos[t],b*Sin[t],t]

123 xxy

122 yx

xby

xax

sin

cos

2sin xy

三、利用 Integrate 函数求不定积分及定积分1 ．命令汇总命 令 功 能

Intrgrate[f[x],x] 求不定积分

Integrate[f[x],{x,a,b}] 计算定积分

NIntegrate[f[x],{x,a,b}] 可求如上定积分的数值解（ f(x) 的原函数不能用有限形式表示的积分）

Integrate[f[x],{x,a,Infinity}] 计算广义积分

Integrate[f[x],{x,-Infinity,b}] 计算广义积分

Integrate[f[x],{x,-Infinity,Infinity}] 计算广义积分

Integrate[f[x,y],{x, 下限 , 上限 },{y,下限 , 上限 }]

计算二重积分

dxxf )(

b

adxxf )(

adxxf )(

bdxxf )(

dxxf )(

2 ．边学边做(1)f1=(x+1)/(x^2+3*x+5) f2=Integrate[f1,x] (2)Integrate[x^5,{x,1,2}] (3)f3=Integrate[x*Sin[x],{x,0,1}] 输出 -cos[1]+sin[1]，此为精确值 C=N[f3] 输出结果为 0.301169，此为近似值(4)NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,1}]

(5)Integrate[Exp[-x],{x,0,+Infinity}]

(6)计算二重积分 , 其中 D 是由

所围成的区域。

解一： Integrate[y/x,{x,2,4},{y,x,2x}] 解二： Integrate[y/x,{y,x,2x}] Integrate[%,{x,2,4}]

D

dxdyx

y

4,2,,2 xxxyxy

四、应用举例1 ．连续复利：有一笔贷款 A0=1000元（称本金）以年利率 r=0.1贷出，若以一年为一期计算利息， 1 年末的本利和为A1=A0（ 1+r）， 2 年末本利和为A2=A1（ 1+r） =A0(1+r)2，… t 年末本利和为 At= A0(1+r)t。若一年不是一期，而是一年计息 n 期，且以为每期利息来计算，则 t 年末本利和为 At= A0(1+)nt，下面给出 1 元贷款在 10年后的本利和

若每年结算一次（ n=1） A0=1； r=0. 1； t=10; A[n_,t_,r_]:=A0*(1+r/n)^(n*t) A[1,t,r] \输出结果为 2.59374

每月结算一次（ n=12）A[12,t,r] \输出结果为 2.70704每天结算一次（ n=365）A[365,t,r] \输出结果为 2.71791每小时结算一次（ n=365*24）A[365*24,t,r] \输出结果为 2.71827每秒结算一次（ n=365*24*3600）A[365*24*3600,t,r] \输出结果为 2.71828由计算结果可知，1 元贷款 10年后本利和越来越接

近 e ，事实上 Limt[(1+0.1/n)^(10n),n->Infinity]=e

2 ．计算人造卫星轨道的长度： 1970年 4 月 24日，我国发射了第一颗人造卫星，这颗卫星的近地点距离地球表面 439km，远地点距离地球表面 2384km，若取地球的半径为 6371km，请计算人造地球卫星的轨道长度解 人造地球卫星的轨道可视为平面上的椭圆，其参数方程为 x=acost， y=bsint，（ 0≤t≤2π），a ， b 分别是长，短半轴。由计算参数方程的弧长公式，椭圆长度可表为定积分

，该积分称为椭圆积分，它无法用解析方法计算下面用 NIntegrate计算a=6371+2384， b=6371+439;f[x_]:=a^2*Sin[t]^2+b^2*Cos[t]^2;lenth=4NIntegrate[f[t],{t,0,Pi/2}] \ km

2

0

2222 )cossin(4

dttbtaL

3.86498108