第二章 极限与连续•第一节 数列的极限

一。概念的引入

二 数列的定义

三 数列的极限

四 思考题

一、数列的定义定义:按自然数 ,3,2,1 编号依次排列的一列数 ,,,, 21 nxxx (1)

称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数

列的项, nx称为通项(一般项).数列(1)记为 }{ nx .

例如 ;,2,,8,4,2 n

;,2

1,,

8

1,

4

1,

2

1 n

}2{ n

}2

1{ n

. 数列是整标函数 ).(nfxn

;,)1(,,1,1,1 1 n })1{( 1 n

,4

5,

3

4,

2

3, 2 nny

11

二、数列的极限

“ 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”

1 、割圆术：

播放播放—— 刘徽

概念的引入

R

正六边形的面积 1A

正十二边形的面积 2A

S

正三边形的面积 A0

,,,,, 321 nAAAAA0

2 、截丈问题：“ 一尺之棰，日截其半，万世不竭”

;2

11 X第一天截下的杖长为

;2

1

2

122 X为第二天截下的杖长总和

;2

1

2

1

2

12 nnXn 天截下的杖长总和为第

nnX 2

11 1

.11

1, 无限接近于无限增大时当n

xn n

1:)2( nx nn

11

11 可以无限小

此时就说 1 是这个数列的极限。

等价于：对任意给定的无论多么小的正数，

总存在 xn 使得 1nx （ 1

）

比较以下两种说法你能得出什么结？

.11

1,:)1( 无限接近于无限增大时当n

xn n

,100

1给定 ,

100

11

n由 ,100时只要 n ,

100

11 nx有

,1000

1给定 ,1000时只要 n

,10000

11 nx有,

10000

1给定 ,10000时只要 n

,1000

11 nx有

,0给定 .1 成立有 nx

并且 xn 以后的各项都满足（ 1 ）式。例如

定 义 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ( 不 论 它 多 么 小 ) ,

总 存 在 nx , 使 得 ax n ( 1 ) 并 且 nx 以 后 的

所 有 项 均 满 足 （ 1 ） 式 , 那 末 就 称 常 数 a 是 数 列 nx 的

极 限 , 记 为

,lim ax nn

或 ).( nax n

如果数列有极限 称它是收敛的。没有极限 , 就说数列是发散的 .

定 义 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ( 不 论 它 多 么

小 ) , 总 存 在 正 数 N , 使 得 对 于 Nn 时 的 一 切 nx ,

不 等 式 ax n 都 成 立 , 那 末 就 称 常 数 a 是 数 列

nx 的 极 限 , 或 者 称 数 列 nx 收 敛 于 a , 记 为

,lim ax nn

或 ).( nax n

如果数列没有极限 , 就说数列是发散的 .

注意： ;.1 的无限接近与刻划了不等式 axax nn

..2 有关与任意给定的正数N

或者叙述为

数列极限的定义未给出求极限的方法 .

例 1 .1)1(

lim1

n

n n

n证明

证 1nx 1)1( 1

n

n n

n

1

,0任给 n

xn1

1因为 ,1

n

所以 , ,1时当

n

1)1( 1

n

n n

就有 .1)1(

lim1

n

n n

n即

注意：

例 2 .lim),( CxCCx nnn

证明为常数设

证

Cxn CC ,成立

,0任给

所以 ,

0

,n对于一切自然数

.lim Cxnn

说明 : 常数列的极限等于同一常数 .

例 3 证明 2)1

2(lim nn

证明 对任意给定的 >0 ，由

nn

12

12 <

1

n

所以，当取大于 的自然数 n ，必有1

21

2 n

因此 2)1

2(lim nn

截丈问题：

“ 一尺之棰，日截其半，万世不竭”

给出每日所剩木棒长度组成的数列，观察其极限。

思考题