第 1414章

矩形波导中的简正波Eigen Modes in Rectangular Waveguide

方程通解Maxwell 矩形波导

波

波

TE

TMmn

mn

传输波

雕落波

矩形波导的求解是典型的微分方程法，通解表明：矩形波导的求解是典型的微分方程法，通解表明：在在 zz 方向它有广义传输线功能，即是入射波和反射波方向它有广义传输线功能，即是入射波和反射波的迭加；在的迭加；在 xyxy 方向由于边界条件限制形成很多分立方向由于边界条件限制形成很多分立的的 TETE

mnmn 波波 ((EEzz=0=0)) 和和 TMTMmnmn 波波 ((HHzz=0=0)) 。。在物理上称在物理上称

之为之为离散谱离散谱。有限边界构成离散谱。。有限边界构成离散谱。

m—x方向变化的半周期数；

n—y方向变化的半周期数。

矩形波导中 TE 波和 TM 波的全部集体构成简正波。。

一、简正模理论

简正模 (或简正波 )理论包含三个方面：

1. 完备性

矩形波导中不论放置什么障碍物和边界条件，它们里边存在的是 TEmn 和 TMmn 模式，而且，它们也只能存在 TEmn 和 TMmn 模式，具体情况所不同的仅仅是各种模式的比例与组合。

一、简正模理论

2. 2. 正交性正交性

简正模中各个模式是相互正交的，也就是说，简正模中各个模式是相互正交的，也就是说，它们之间没有功率和能量交换，即各模式相互独立，它们之间没有功率和能量交换，即各模式相互独立，在在 FourierFourier 分析中表明分析中表明

0sin

cossin

0sin

cossin

0

0

pmdyyb

py

b

n

lmdxxa

lx

a

m

b

a

这就保证了每一模的独立性这就保证了每一模的独立性。。

(14-1)

一、简正模理论

3. 3. 传输模和雕落模传输模和雕落模

由于频率的选择，每一种模都有可能成为传输模由于频率的选择，每一种模都有可能成为传输模或雕落模。 或雕落模。

2

22

22

b

n

a

mkkk yxc截止波数

22

2

bn

am

c截止波长

一、简正模理论

传输模

＜ cmn

雕落模

＞ cmn

e j z

c

21

2

0

z

E

e z

c

c

21

2

注意到雕落模 ( 也称截止模 ) ，它是一种快速衰减的振荡模式。也就是说，在不同的 z 处，有同一相位。

当然，雕落模式没有功率和能量传播。

当模式不同，但却有相同的 kc ，我们称为简并模式。最后显示的是 TEmn 和 TMmn 是简并(Degeneration) 的。

一、简正模理论

二、 TE10 波单模存在条件

当 b<a时， m=1 ， n=0 的 λc 最大。 (或者说 fc最低 )

TE10 波——称为矩形波导的主模 ( 或者优势模 )，在绝大多数传输的应用场合我们都希望只传输TE10 波，而其它模式都成雕落模而不传输。

TE10 波单模存在条件是 cmn c＜ ＜ 10

其中，其中， λλc10c10=2a=2a ，，次最大的次最大的 λλcmncmn 将与将与 a/ba/b 之比值之比值有关有关。 。

(14-2)

二、 TE10 波单模存在条件

对于标准波导对于标准波导a b/ .2 2

cmna

m n

2

4 842 2.

a a＜ ＜ 2

在这种情况下在这种情况下

其中，其中， mm，， nn取任意正整数，显然，对式取任意正整数，显然，对式 ((14-14-44)) ，，取取 mm=2=2 ，， nn=0=0 比比 nn=1=1 ，， mm=0=0 的的 λλcc 要大。因此，除要大。因此，除TETE

1010 波之外，第二模是波之外，第二模是 2020 模模 (14-5)

(14-4)

(14-3)

二、 TE10 波单模存在条件

［例 1 ］ BJ-100 波导， a×b=22.86×10.16mm2 ，求单模传输的波长范围和频率范围。

［解］已经知道单模传输条件是

λcmn ＜ λ＜ 2a

c a10 2 4572 . mm

c a20 22 86 . mm

c b01 2 20 32 . mm

二、 TE10 波单模存在条件

c

a b

112 2

2

1 118

mm

c a30

2

315 25 . mm

c

a b

212 2

2

2 11510

. mm

十分明显，第二模式是 λc20=22. 86mm 。因此，单模传输

二、 TE10 波单模存在条件

22 86 4572

6 55 1310

. .

. .

mm mm＜ ＜

＜＜

G f GC C

10 20 50mm30 40

H10H 20

H 01

E 21

E 11

H 21

H 11

H 30

,

, 截 止 区 域

� 单模 工作区

 

图 14-1

(14-6)

处理单模工作区的另一种办法是图解法，它等价处理单模工作区的另一种办法是图解法，它等价于 于

二、 TE10 波单模存在条件

22 2

4＜

m

a

n

b

m x n y2 2 2 2 4 ＜

(14-7)

(14-8)

其中，其中， x=λ/ax=λ/a ，， y=λ/by=λ/b 。。

于是可以写出于是可以写出

二、 TE10 波单模存在条件

TE10 波

TE01 波

TE20 波

TE11 波

TE21 波

m=1,n=0

m=0,n=1

m=2,n=0

m=1,n=1

m=2,n=1

x<2

y<2

x<1

圆）4

1(122 yx

椭圆）4

1(44 22 yx

二、 TE10 波单模存在条件

画出工作模式图，以刚才的数字例子 BJ-100 波导 a=22.86mm ， b=10.16mm 。

yb a

a

bx

2 25.

aa 2＜＜

从工作模式图清楚看出

或者1 ＜ x＜ 2

二、 TE10 波单模存在条件

0 x

y

1 2

22.25

H90 H 10H 20

E,H21

E,H11

图图 14-2 14-2 工作模式图 工作模式图

三、高次模

对于矩形波导用作传输线时， TE10 波是主模，传输模。其它模式都是高次模，雕落模。在均匀波导中不出现任何高次模，但是一旦波导中有不均匀性，则在不均匀性周围就有高次模存在。

高次模是衰减的模式。其中

a c

21

2

用用 λ>λλ>λcc 。 。

(14-9)

三、高次模

高次波相当流体中的涡旋。涡旋是不流的，但是，它对流体的流动却起到十分重要的作用，涡旋也经常出现在障碍物的周围。

请注意到涡旋在有些场合有利于流体流动，而在有些场合却阻碍流体流动。

波导中的高次模对于主模 TE10 波的作用相当于一个电抗。它在有的场合有利于传输，而有的场合不利于传输。。

三、高次模

涡旋

图 图 14-3 14-3 流体中的涡旋 流体中的涡旋

j B

图 图 14-4 14-4 不均性中高次模对于主模相当于不均性中高次模对于主模相当于jBjB 。 。

三、高次模

a.a. 谐振窗高次模有利于传输 谐振窗高次模有利于传输 b.b. 喇叭高次模造成反喇叭高次模造成反射 射

三、高次模

上面所讨论的是高次模对于主模传输产生的作用。

实际上高次模本身还可起很大作用：当若干高次模传输时构成多模喇叭，多模传输线和多模谐振腔等等。当使主模不传输时，则构成截止衰减器——它是绝对定标的。

四、矩形波导的工程设计

任何工程设计都是处理若干个矛盾因素，矩形波导任何工程设计都是处理若干个矛盾因素，矩形波导有关的矛盾因素是：单模传输，功率容量，衰减，材有关的矛盾因素是：单模传输，功率容量，衰减，材料，加工方便，牢固等几个因素。料，加工方便，牢固等几个因素。

1. 1. 功率容量要求功率容量要求

PE ab

amaxmax

2 2

4801

2

aa

b8.1 ,9.0

2＜即＜

从上面公式可知从上面公式可知 PPmaxmax↑↑ ，，要求要求 aa尽量大，尽量大， bb尽量大尽量大且且

四、矩形波导的工程设计

2. 2. 衰减要求衰减要求

aR

b

b

a a

a

s分贝 米/.

8 686

120

12

2

12

2

2

从衰减角度希望从衰减角度希望 bb尽量大尽量大。。

四、矩形波导的工程设计

3. 3. 单模传输要求单模传输要求

为了传输为了传输 TETE1010 单模，最适范围是单模，最适范围是

为了加宽频带在工作模式图中即为了加宽频带在工作模式图中即 mm 动态曲线的动态曲线的左方左方

a a＜ ＜ 2

b a

b

a≥ 也即 ≤2 2

,

0 x

y

1 2

m s

图 14-5

四、矩形波导的工程设计

4. 材料要求

为了节约材料， a、 b尽量小，为了提高性能最好镀银、铜，如果要节约成本和轻，则最好用铝 Al或不锈钢 (Al 是 Cu 重量的 )。

5. 为了加工方便和牢固 从牢固的角度波导壁要厚一些；而从成本角度则要薄一些。 为了加工方便光洁度公差希望松一些。 最后，可综合列出下表。

四、矩形波导的工程设计

矩形波导工程设计

大大

大大

小小 小小

aa bb b/ab/a 波导壁波导壁 公差光洁度公差光洁度

功率容量功率容量

单模传输单模传输

材料要求材料要求

加工牢固加工牢固

衰 减衰 减8.1

a

a

22

a

b

光洁度高光洁度高

壁厚兼顾壁厚兼顾

成本、牢固成本、牢固 光洁，公差松光洁，公差松

结论 ＜ ＜

≤

材料铜铝 镀银

壁厚

(1)0.555

(3) ( )

(4) 1.0mm 2.0mm

a

b a( ) / /2 1 2

四、矩形波导的工程设计

所以，一般选择所以，一般选择

［例［例 22 ］国前］国前 1010cmcm 标准波导标准波导 BJ32BJ32 ，， ff [2. 60∈[2. 60∈ ，， 3. 3. 95Gc]95Gc]

中心频率中心频率 3.23.2GcGc ，， a×ba×b=72.14×34.04mm=72.14×34.04mm22 检验是否符检验是否符合波导设计标准合波导设计标准 ??

［解］［解］ BJ-32BJ-32 波导如图所示。波导如图所示。

λλ=115. 298=115. 298 ～～ 75. 893mm75. 893mm

a

b

0 75

0 4 0 5

.

. .

～

(14-10)

四、矩形波导的工程设计

图 图 14-6 14-6 BJ-32 WaveguideBJ-32 Waveguide

a

a

＞

＜

0 555. max

min

也即 也即

(14-11)

四、矩形波导的工程设计

显然取 显然取 b=34.04mm 也符合此不等式也符合此不等式

壁厚 壁厚 t=2mm

b a＜ 1

236 07 . mm

显然，显然， aa=72.14mm=72.14mm符合上式不等式范符合上式不等式范围 围

a

a

＞

＜

64

75893

mm

mm.

这时这时 a≈0. 77λ0同时，同时，

四、矩形波导的工程设计

在波导传输中在波导传输中 PPmaxmax 和和 aa均比同轴线优，但频带劣于均比同轴线优，但频带劣于同轴线。 同轴线。

PROBLEMS 14

一、无限长矩形波导截面，在处填充的介质，试分析一、无限长矩形波导截面，在处填充的介质，试分析整个场分布 整个场分布

E Er0

region 2

E0

region 1

bb

zz 00