16
1 例1 例2 例例例例 例例例例例例例 例例例例例例 例例:例例 107 P B例例 2例 例例例例例例例例(例)例例例例例例例

例 1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

空间向量基本定理. 复习引入. 例 1. 例 2. 课外补充练习. l. A. P. B. 为什么 ?. 得证. 类比平面向量的基本定理 , 在空间中应有一个什么结论 ?. C. M. O. N. O. E. A. D. C. B. 证明思路:先证存在. 然后证唯一性. 注: 空间任意三个不共面向量都可以构成空 间的一个基底 . 如:. 推论. 推论: 设点 O 、 A 、 B 、 C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的有序实数对 x 、 y 、 z 使. O. C. A. P. B. 例 1. 例 2. - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: 例 1

1

例 1 例 2

复习引入空间向量基本定理

课外补充练习

作业:课本 107P B组第 2题

空间向量及其运算(四)共线与共面分析

Page 2: 例 1

2

上一节,我们发现: 1.空间一点 P在直线 AB上的充要条件是

________________________________.

空间向量及其运算(四)共线与共面分析

唯一实数 ,t R 使 AP t��������������

AB��������������

2.空间一点 P位于平面 ABC上的充要条件是 ________________________________________________.

或对空间任意一点,存在唯一

实数 ,t R 使OP OA t AB ������������������������������������������

.

唯一有序实数对 ( , )x y ,使 AP xAB yAC ������������������������������������������

.

或对空间任意一点 O, 存在唯一有序实数对 ( , )x y ,

使OP OA xAB yAC ��������������������������������������������������������

. O

A B

C P

lA

PB

O

Page 3: 例 1

3

另外,我们还发现: 对于两个不同点 A B、 和直线 AB外一点O ,空间一点

P满足关系式OP xOA yOB ������������������������������������������

,则点 P在直线 AB上的充要条件是 1x y .

(课本 95P 思考)

试证明:对于不共线的三点 A B C、 、 和平面 ABC外的

一点O ,空间一点 P 满足关系式OP xOA yOB zOC ��������������������������������������������������������

,则点 P在平面 ABC内的充要条件是 1x y z . 证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC

��������������������������������������������������������

可变形为 (1 )OP y z OA yOB zOC ��������������������������������������������������������

,

∴ ( ) ( )OP OA y OB OA z OC OA ������������������������������������������������������������������������������������

∴ AP yAB zAC ������������������������������������������

∴ 点 P与 A B C、 、 共面.

Page 4: 例 1

4

试证明:对于不共线的三点 A B C、 、 和平面 ABC外的

一点O ,空间一点 P满足关系式OP xOA yOB zOC ��������������������������������������������������������

,则点 P在平面 ABC内的充要条件是 1x y z .

⑵必要性

得证 .

证明:⑴充分性

∵ OP xOA yOB zOC ��������������������������������������������������������

可变形为 (1 )OP y z OA yOB zOC ��������������������������������������������������������

, ∴ ( ) ( )OP OA y OB OA z OC OA

������������������������������������������������������������������������������������∴ AP yAB zAC

������������������������������������������

∴ 点 P与 A B C、 、 共面.

∴ 存在有序实数对 ( , )m n 使 AP mAB nAC ������������������������������������������

∴ ( ) ( )OP OA m OB OA n OC OA

������������������������������������������������������������������������������������∴ (1 )OP m n OA mOB nOC

��������������������������������������������������������

又∵ 点O在平面 ABC外,∴ OA OB OC������������������������������������������、 、 不共面,

∵ OP xOA yOB zOC ��������������������������������������������������������

.

∴ 1 , ,x m n y m z n , ∴ 1x y z

为什么 ?

∵ 点 P在平面 ABC内, 不共线的三点 A B C、 、

Page 5: 例 1

5

类比平面向量的基本定理 , 在空间中应有一个什么结论 ?

NO

CM

1e��������������

2e��������������

a��������������

OC OM ON ������������������������������������������

1 1 2 2t e t e ����������������������������

平面向量的基本定理:

如果 1 2,e e����������������������������

是平面内两个不共线的向量,那么对于这

一平面内的任一向量 a,存在唯一的一对实数 1 2,t t 使

1 1 2 2a t e t e �������������������������� ��

.

对向量a进行分解,

2e��������������

1e��������������

a��������������

Page 6: 例 1

6

类似地,有空间向量基本定理:

c

a

b

p A

O

然后证唯一性

// , // , //AB b BD a BC c

作p OB BA OC OD OE ������������������������������������������������������������������������������������

DC B xa yb zc

证明思路:先证存在

E

如果三个向量a b c、 、 不共面,那么对于空间任一向

量 p��������������

, 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 , ,x y z 使

p xa yb zc ��������������������������������������������������������

.

对向量 p��������������进行分解,

推论

注:空间任意三个不共面向量都可以构成空

间的一个基底 . 如: , ,a b c

Page 7: 例 1

7

推论:设点 O、 A、 B、 C是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的有序实数对 x、 y、 z使OP xOA yOB zOC

��������������������������������������������������������

O

A

B

C

P

例 1 例 2 例 3

Page 8: 例 1

8

答案 练习

例 1平行六面体中 ,点MC=2AM,A1N=2ND, 设 AB=a,AD=b,AA1=c, 试用 a,b,c表示MN.

分析 :要用 a,b,c表示MN, 只要结合图形 ,充分运用空间向量加法和数乘的运算律即可 .A

B C

D

A1

B1

D1

C1

M

N

Page 9: 例 1

9

解 :

A

B C

D

A1

B1

D1

C1

M

N

连 AN,则 MN=MA+ANMA= - AC = - (a+b)1

313

AN=AD+DN=AD - ND = ( 2 b + c )1

3

= (- a + b + c )13

∴MN= MA+AN

例 1平行六面体中 ,点MC=2AM,A1N=2ND, 设 AB=a,AD=b,AA1=c, 试用 a,b,c表示MN.

Page 10: 例 1

10

练习 . 空间四边形 OABC 中 ,OA=a,OB=b,OC=c点 M在 OA 上 ,且 OM=2MA,N 为 BC 的中点 ,则MN=( ).O

A

B

C

M

N

(A) a - b + c 12

23

12

(B) - a + b + c 12

23

12

(C) a + b - c 12

23

12

(D) a + b - c 12

23

23

例 3

Page 11: 例 1

11

(1) 答案 (2) 答案

例 2( 课本例 ) 如图,已知平行四边形 ABCD, 从平

面 AC 外一点 O 引向量     ,     ,

, ,

求证:

⑴ 四点 E 、 F 、 G 、 H 共面;

⑵ 平面 EG// 平面 AC.

 

OE kOA����������������������������

OF kOB����������������������������

OG kOC����������������������������

OH kOD����������������������������

Page 12: 例 1

12

例 2 ( 课本例 ) 已知 ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量

A

, , ,OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD 求证:①四点 E 、 F 、 G 、 H 共面;

② 平面 AC// 平面 EG.

B

CD

O

E F

GH

证明:∵ 四边形 ABCD 为① ∴AC AB AD (﹡)

EG OG OE kOC kOA

( )k OC OA kAC(﹡)代入 ( )k AB AD

( )k OB OA OD OA

OF OE OH OE

所以 E 、 F 、 G 、 H 共面。EF EH

Page 13: 例 1

13

例 2 已知 ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量 , , ,OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD

求证:①四点 E 、 F 、 G 、 H 共面;② 平面 AC// 平面 EG 。

证明:

由面面平行判定定理的推论得:

②EF OF OE kOB kOA

( )k OB OA kAB

由①知 EG kAC

//EG AC //EF AB

//EG AC面 面

A B

CD

O

E F

GH

Page 14: 例 1

14

1. 对于空间任意一点 O ,下列命题正确的是:

(A) 若        ,则 P 、 A 、 B 共线

(B) 若        ,则 P 是 AB 的中点

(C) 若        ,则 P 、 A 、 B 不共线

(D) 若        ,则 P 、 A 、 B 共线

OP OA t AB ������������������������������������������

3OP OA AB ������������������������������������������

OP OA t AB ������������������������������������������

OP OA AB ������������������������������������������

A

2. 已知点 M 在平面 ABC 内,并且对空间任意一点

O ,          , 则 x的值为 ( )

1( )1 ( )0 ( )3 ( )

3A B C D

OM xOA OB OC1 1

+ +3 3

��������������������������������������������������������

课外补充练习:

作业:课本 107P B组第 2题

D

Page 15: 例 1

15

课外补充练习: 1. 下列说明正确的是: (A) 在平面内共线的向量在空间不一定共线

(B) 在空间共线的向量在平面内不一定共线

(C) 在平面内共线的向量在空间一定不共线

(D) 在空间共线的向量在平面内一定共线2. 下列说法正确的是: (A) 平面内的任意两个向量都共线

(B) 空间的任意三个向量都不共面

(C) 空间的任意两个向量都共面

(D) 空间的任意三个向量都共面

D

C

Page 16: 例 1

16

补充练习 : 已知空间四边形 OABC,对角线 OB、 AC,M和 N分别是 OA、 BC的中点,点 G在MN上,且使MG=2GN,试用基底 表示向量

, ,OA OB OC������������������������������������������

OG

C

O

A

B

M

NG

解:在△ OMG 中,OG OM MG ������������������������������������������ 1 2

2 3OA MN ����������������������������

1 2( )

2 3OA ON OM ������������������������������������������

1 1 1

6 3 3OA OB OC ������������������������������������������