Upload
elliott-grimes
View
38
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
空间向量基本定理. 复习引入. 例 1. 例 2. 课外补充练习. l. A. P. B. 为什么 ?. 得证. 类比平面向量的基本定理 , 在空间中应有一个什么结论 ?. C. M. O. N. O. E. A. D. C. B. 证明思路:先证存在. 然后证唯一性. 注: 空间任意三个不共面向量都可以构成空 间的一个基底 . 如:. 推论. 推论: 设点 O 、 A 、 B 、 C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的有序实数对 x 、 y 、 z 使. O. C. A. P. B. 例 1. 例 2. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
1
例 1 例 2
复习引入空间向量基本定理
课外补充练习
作业:课本 107P B组第 2题
空间向量及其运算(四)共线与共面分析
2
上一节,我们发现: 1.空间一点 P在直线 AB上的充要条件是
________________________________.
空间向量及其运算(四)共线与共面分析
唯一实数 ,t R 使 AP t��������������
AB��������������
2.空间一点 P位于平面 ABC上的充要条件是 ________________________________________________.
或对空间任意一点,存在唯一
实数 ,t R 使OP OA t AB ������������������������������������������
.
唯一有序实数对 ( , )x y ,使 AP xAB yAC ������������������������������������������
.
或对空间任意一点 O, 存在唯一有序实数对 ( , )x y ,
使OP OA xAB yAC ��������������������������������������������������������
. O
A B
C P
lA
PB
O
3
另外,我们还发现: 对于两个不同点 A B、 和直线 AB外一点O ,空间一点
P满足关系式OP xOA yOB ������������������������������������������
,则点 P在直线 AB上的充要条件是 1x y .
(课本 95P 思考)
试证明:对于不共线的三点 A B C、 、 和平面 ABC外的
一点O ,空间一点 P 满足关系式OP xOA yOB zOC ��������������������������������������������������������
,则点 P在平面 ABC内的充要条件是 1x y z . 证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC
��������������������������������������������������������
可变形为 (1 )OP y z OA yOB zOC ��������������������������������������������������������
,
∴ ( ) ( )OP OA y OB OA z OC OA ������������������������������������������������������������������������������������
∴ AP yAB zAC ������������������������������������������
∴ 点 P与 A B C、 、 共面.
4
试证明:对于不共线的三点 A B C、 、 和平面 ABC外的
一点O ,空间一点 P满足关系式OP xOA yOB zOC ��������������������������������������������������������
,则点 P在平面 ABC内的充要条件是 1x y z .
⑵必要性
得证 .
证明:⑴充分性
∵ OP xOA yOB zOC ��������������������������������������������������������
可变形为 (1 )OP y z OA yOB zOC ��������������������������������������������������������
, ∴ ( ) ( )OP OA y OB OA z OC OA
������������������������������������������������������������������������������������∴ AP yAB zAC
������������������������������������������
∴ 点 P与 A B C、 、 共面.
∴ 存在有序实数对 ( , )m n 使 AP mAB nAC ������������������������������������������
∴ ( ) ( )OP OA m OB OA n OC OA
������������������������������������������������������������������������������������∴ (1 )OP m n OA mOB nOC
��������������������������������������������������������
又∵ 点O在平面 ABC外,∴ OA OB OC������������������������������������������、 、 不共面,
∵ OP xOA yOB zOC ��������������������������������������������������������
.
∴ 1 , ,x m n y m z n , ∴ 1x y z
为什么 ?
∵ 点 P在平面 ABC内, 不共线的三点 A B C、 、
5
类比平面向量的基本定理 , 在空间中应有一个什么结论 ?
NO
CM
1e��������������
2e��������������
a��������������
OC OM ON ������������������������������������������
1 1 2 2t e t e ����������������������������
平面向量的基本定理:
如果 1 2,e e����������������������������
是平面内两个不共线的向量,那么对于这
一平面内的任一向量 a,存在唯一的一对实数 1 2,t t 使
1 1 2 2a t e t e �������������������������� ��
.
对向量a进行分解,
2e��������������
1e��������������
a��������������
6
类似地,有空间向量基本定理:
c
a
b
p A
O
然后证唯一性
// , // , //AB b BD a BC c
作p OB BA OC OD OE ������������������������������������������������������������������������������������
DC B xa yb zc
证明思路:先证存在
E
如果三个向量a b c、 、 不共面,那么对于空间任一向
量 p��������������
, 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 , ,x y z 使
p xa yb zc ��������������������������������������������������������
.
对向量 p��������������进行分解,
推论
注:空间任意三个不共面向量都可以构成空
间的一个基底 . 如: , ,a b c
7
推论:设点 O、 A、 B、 C是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的有序实数对 x、 y、 z使OP xOA yOB zOC
��������������������������������������������������������
O
A
B
C
P
例 1 例 2 例 3
8
答案 练习
例 1平行六面体中 ,点MC=2AM,A1N=2ND, 设 AB=a,AD=b,AA1=c, 试用 a,b,c表示MN.
分析 :要用 a,b,c表示MN, 只要结合图形 ,充分运用空间向量加法和数乘的运算律即可 .A
B C
D
A1
B1
D1
C1
M
N
9
解 :
A
B C
D
A1
B1
D1
C1
M
N
连 AN,则 MN=MA+ANMA= - AC = - (a+b)1
313
AN=AD+DN=AD - ND = ( 2 b + c )1
3
= (- a + b + c )13
∴MN= MA+AN
例 1平行六面体中 ,点MC=2AM,A1N=2ND, 设 AB=a,AD=b,AA1=c, 试用 a,b,c表示MN.
10
练习 . 空间四边形 OABC 中 ,OA=a,OB=b,OC=c点 M在 OA 上 ,且 OM=2MA,N 为 BC 的中点 ,则MN=( ).O
A
B
C
M
N
(A) a - b + c 12
23
12
(B) - a + b + c 12
23
12
(C) a + b - c 12
23
12
(D) a + b - c 12
23
23
例 3
11
(1) 答案 (2) 答案
例 2( 课本例 ) 如图,已知平行四边形 ABCD, 从平
面 AC 外一点 O 引向量 , ,
, ,
求证:
⑴ 四点 E 、 F 、 G 、 H 共面;
⑵ 平面 EG// 平面 AC.
OE kOA����������������������������
OF kOB����������������������������
OG kOC����������������������������
OH kOD����������������������������
12
例 2 ( 课本例 ) 已知 ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量
A
, , ,OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD 求证:①四点 E 、 F 、 G 、 H 共面;
② 平面 AC// 平面 EG.
B
CD
O
E F
GH
证明:∵ 四边形 ABCD 为① ∴AC AB AD (﹡)
EG OG OE kOC kOA
( )k OC OA kAC(﹡)代入 ( )k AB AD
( )k OB OA OD OA
OF OE OH OE
所以 E 、 F 、 G 、 H 共面。EF EH
13
例 2 已知 ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量 , , ,OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD
求证:①四点 E 、 F 、 G 、 H 共面;② 平面 AC// 平面 EG 。
证明:
由面面平行判定定理的推论得:
②EF OF OE kOB kOA
( )k OB OA kAB
由①知 EG kAC
//EG AC //EF AB
//EG AC面 面
A B
CD
O
E F
GH
14
1. 对于空间任意一点 O ,下列命题正确的是:
(A) 若 ,则 P 、 A 、 B 共线
(B) 若 ,则 P 是 AB 的中点
(C) 若 ,则 P 、 A 、 B 不共线
(D) 若 ,则 P 、 A 、 B 共线
OP OA t AB ������������������������������������������
3OP OA AB ������������������������������������������
OP OA t AB ������������������������������������������
OP OA AB ������������������������������������������
A
2. 已知点 M 在平面 ABC 内,并且对空间任意一点
O , , 则 x的值为 ( )
1( )1 ( )0 ( )3 ( )
3A B C D
OM xOA OB OC1 1
+ +3 3
��������������������������������������������������������
课外补充练习:
作业:课本 107P B组第 2题
D
15
课外补充练习: 1. 下列说明正确的是: (A) 在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B) 在空间共线的向量在平面内不一定共线
(C) 在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D) 在空间共线的向量在平面内一定共线2. 下列说法正确的是: (A) 平面内的任意两个向量都共线
(B) 空间的任意三个向量都不共面
(C) 空间的任意两个向量都共面
(D) 空间的任意三个向量都共面
D
C
16
补充练习 : 已知空间四边形 OABC,对角线 OB、 AC,M和 N分别是 OA、 BC的中点,点 G在MN上,且使MG=2GN,试用基底 表示向量
, ,OA OB OC������������������������������������������
OG
C
O
A
B
M
NG
解:在△ OMG 中,OG OM MG ������������������������������������������ 1 2
2 3OA MN ����������������������������
1 2( )
2 3OA ON OM ������������������������������������������
1 1 1
6 3 3OA OB OC ������������������������������������������