李雅普诺夫第一法 (1/7)

李雅普诺夫第一法 (1/7)

3.2.1 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法又称间接法 , 它是研究动态系统的一次近似数学模型 ( 线性化模型 ) 稳定性的方法。它的基本思路是 :

首先 , 对于非线性系统 , 可先将非线性状态方程在平衡态附近进行线性化 , 即在平衡态求其一次 Taylor 展开式 , 然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系统稳定性。

其次 , 解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值 , 然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统在零输入情况下的稳定性。


下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳定性中的应用。设所讨论的非线性动态系统的状态方程为

x’=f(x)其中 f(x) 为与状态向量 x 同维的关于 x 的非线性向量函数 , 其各元素对 x 有连续的偏导数。

参看课本 P167


李雅普诺夫第一法的基本结论是 :

1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵 A 的所有特征值都具有负实部 , 则原非线性系统的平衡态 xe 渐近稳定 , 而且系统的稳定性与高阶项 R(x) 无关。2. 若线性化系统的系统矩阵 A 的特征值中至少有一个具有正实部 , 则原非线性系统的平衡态 xe 不稳定 , 而且该平衡态的稳定性与高阶项 R(x) 无关。3. 若线性化系统的系统矩阵 A 除有实部为零的特征值外 ,其余特征值都具有负实部 , 则原非线性系统的平衡态 xe的稳定性由高阶项 R(x) 决定。


由上述李雅普诺夫第一法的结论可知 , 该方法与经典控制理论中稳定性判据的思路一致 , 需求解线性化状态方程或线性状态方程的特征值 , 根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。值得指出的区别是 :

经典控制理论讨论的是输出稳定性问题 , 而李雅普诺夫方法讨论状态稳定性问题。由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值 ,因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系统 , 而不能推广至时变系统。

李雅普诺夫第一法 (7/7)—例 5-1

试确定系统在原点处的稳定性。解 1 ：由状态方程知 , 原点为该系统的平衡态。

将系统在原点处线性化 , 则系统矩阵为

12

10)(KK

Aexxx

xf

0,)1( 21

122211

2

2

1

KKxKxxK

xxx

例 3-1 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述 :

因此 , 系统的特征方程为|I-A|=2+K1+K2=0


2. 由李雅普诺夫第一法知 , 原非线性系统的原点为渐近稳定的充分条件为 :K1>0 和 K2>0.

参看课本 P168

李雅普诺夫第二法 (1/3)

3.2.2 李雅普诺夫第二法由李雅普诺夫第一法的结论可知 , 该方法能解决部分弱非线性系统的稳定性判定问题 , 但对强非线性系统的稳定性判定则无能为力 , 而且该方法不易推广到时变系统。

下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳定性分析都适用的李雅普诺夫第二法。


李雅普诺夫第二法又称为直接法。它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。

若系统平衡态渐近稳定 , 则系统经激励后 , 其储存的能量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时 , 其能量达到最小值。反之 , 若平衡态不稳定 , 则系统将不断地从外界吸收能量 , 其储存的能量将越来越大。

基于这样的观点 , 只要能找出一个能合理描述动态系统的 n 维状态的某种形式的能量正性函数 , 通过考察该函数随时间推移是否衰减 , 就可判断系统平衡态的稳定性。


在给出李雅普诺夫稳定性定理之前 , 下面先介绍一些数学预备知识, 然后介绍一些李雅普诺夫稳定性定理的直观意义 , 最后介绍李雅普诺夫稳定性定理

数学预备知识 (1/1)

1. 数学预备知识下面介绍在李雅普诺夫稳定性分析中需应用到的如下数学预备知识 :

函数的正定性二次型函数和对称矩阵的正定性矩阵正定性的判别方法

实函数的正定性 (1/4)— 函数定号性定义

(1) 实函数的正定性实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。

它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正 ,什么条件下恒为负的。下面先给出 n 维向量 x 的标量实函数 V(x) 的正定性定义。

定义 3-5 设 xRn, 是 Rn 中包含原点的一个区域 , 若实函数V(x) 对任意 n 维非零向量 x 都有 V(x)>0; 当且仅当 x=0 时 ,才有 V(x)=0,

则称函数 V(x) 为区域上的正定函数。


从定义可知 , 所谓正定函数 , 即指除零点外恒为正值的标量函数。由正定函数的定义 , 我们相应地可定义负定函数、非负定 ( 又称半正定或正半定 ) 函数、非正定函数 ( 又称半负定或负半定 ) 和不定函数。

参看课本 P169


定义 3-6 设 xRn, 是 Rn 中包含原点的一个区域 , 若实函数V(x) 对任意 n 维非零向量 x, 都有 V(x)<0; 当且仅当 x=0时 ,才有 V(x)=0, 则称函数 V(x) 为区域上的负定函数。

若对任意 n 维非零向量 x, 都有 V(x)≥0, 且 V(0)=0, 则称函数 V(x) 为区域上的非负定函数。若对任意 n 维非零向量 x, 都有 V(x)≤0, 且 V(0)=0, 则称函数 V(x) 为区域上的非正定函数。若无论取多么小的原点的某个邻域 ,V(x) 可为正值也可为负值 , 则称函数 V(x) 为不定函数。

实函数的正定性 (4/4)

下面是几个在由变量 x1和 x2 组成的 2 维线性空间中的正定函数、负定函数等的例子。1) 正定函数 2

22

2122

21 )2(2 xxxxx

2) 负定函数 21

221

22

21 5)2(2 xxxxx

3) 非负定函数 221

22 )2(2 xxx

4) 非正定函数 221

21 )2(3 xxx

5) 不定函数 221

221

22

21 )2()2(23 xxxxxx

二次型函数和对称矩阵的正定性 (1/4)

(2) 二次型函数和对称矩阵的正定性二次型函数是一类特殊形式函数。

设 V(x) 为关于 n 维变量向量 x 的实二次型函数 , 则其可以表示为

其中 aij(i=1,2,…,n,j=i,…,n) 为实常数。

211 1 12 1 2 1 1

222 2 2 2

2

1

( ) ...

......

n n

n n

nn n

n n

ij i ji j i

V a x a x x a x x

a x a x x

a x

a x x

x


由线性代数知识知 , 实二次型函数 V(x) 又可表示为V(x)=xPx

其中 P 称为二次型函数 V(x) 的权矩阵 , 它为如下 nn 维实对称矩阵 :

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

P

...2/2/............

2/...2/2/...2/

21

22212

11211


二次型函数与一般函数一样 , 具有正定、负定、非负定、非正定和不定等定号性概念。二次型函数 V(x) 和它的对称权矩阵 P 是一一对应的。因此 , 由二次型函数的正定性同样可定义对称矩阵 P 的正定性。

定义 3-8 设对称矩阵 P 为二次型函数 V(x) 的权矩阵 ,当V(x) 分别为正定、负定、非负定、非正定与不定时 , 则称对称矩阵 P相应为正定、负定、非负定、非正定与不定。 □

二次型函数和对称矩阵的正定性 (4/4)-- 矩阵定号性定义因此 , 由上述定义就可将判别二次型函数的正定性转换成为判别对称矩阵的正定性。

对称矩阵 P 为正定、负定、非负定与非正定时 ,并可分别记为P>0, P<0, P≥0, P≤0 。

矩阵正定性的判别方法 (1/5)

(3) 矩阵正定性的判别方法判别矩阵的正定性 ( 定号性 ) 的方法主要有

塞尔维斯特判别法、矩阵特征值判别法和合同变换法。

下面分别介绍。

矩阵正定性的判别方法 (2/5)-- 塞尔维斯特定理定理 3-1(塞尔维斯特定理 ) (1) 实对称矩阵 P 为正定的充要条件是 P 的各阶顺序主子式均大于零 , 即

0||...002221

12112111 PΔ

pppp

ΔpΔ n

其中 pij 为实对称矩阵 P 的第 i 行第 j 列元素。(2) 实对称矩阵 P 为负定的充要条件是 P 的各阶顺序主子式满足

niii

i ,...,2,100

为奇数为偶数

矩阵正定性的判别方法 (2/5)— 矩阵定号性判定定理

定理 3-2 实对称矩阵 P 为正定、负定、非负定与非正定的充分必要条件是 P 的所有特征值分别大于零、小于零、大于等于零与小于等于零 ; 实对称矩阵 P 为不定的充分必要条件是 P 的特征值有正有负。 □

定理 3-3 实对称矩阵 P必定可经合同变换化成对角线矩阵 ,则 P 为正定、负定、非负定与非正定的充分必要条件是的所有对角线元素分别大于零、小于零、大于等于零与小于等于零 ; P 为不定的充分必要条件是的对角线元素有正有负。

矩阵正定性的判别方法 (3/5)— 矩阵定号性判定定理

定理 3-3 中的合同变换是指对对称矩阵的同样序号的行和列同时作同样的初等变换。上述三种判别实对称矩阵 P 的定号性的方法 , 各有千秋。但总的说来 ,

基于塞尔维斯特定理的方法计算量较大 , 若将该方法推广到判别非负定性和非正定性 , 则计算量成指数性地增加。特征值判别法需求解高阶特征方程以获得特征值 ,计算较复杂 ,计算量也较大。合同变换法对矩阵只作初等变换 ,计算简单 ,便于应用。

矩阵正定性的判别方法 (4/5)—例 5-2

例 3-2 试用合同变换法判别下列实对称矩阵 P 的定号性 :

521-231-1-1-1

P

解先对对称矩阵 P作合同变换如下

矩阵正定性的判别方法 (5/5)—例 5-2

2/700020001

410120001

511-1201-01

521-231-1-1-1

)3(2/)2()3(:

)3(2/)2()3(:

)3()1()3(:

)3()1()3(:

)2()1()2(:

)2()1()2(:

行

列

行

列

行

列P

因此 , 由定理 3-3知 , 矩阵 P 为正定矩阵。

李雅普诺夫稳定性定理的直观意义 (1/5)

2. 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义从平衡态的定义可知 , 平衡态是使得系统静止不动 ( 导数为零 , 即运动变化的趋势为零 ) 的状态。

从能量的观点来说 ,静止不动即不存在运动变化所需要的能量 , 即变化所需的能量为零。通过分析状态变化所反映的能量变化关系可以分析出状态的变迁或演变 , 可以分析出平衡态是否稳定或不稳定。下面通过一刚体运动的能量变化来简介李雅普诺夫稳定性定理的直观意义。


右图所示动力学系统的平衡态在一定范围内为渐近稳定的平衡态。对该平衡态的邻域 , 可定义其能量 ( 动能 +势能 ) 函数如下 :

h

渐近稳定平衡态

mg

v

f

x

0)cos(2121

2

2

xmgxm

mghmvV

其中 x 为位移 , x’为速度 ,两者且选为状态变量。在图中所示状态 ,v=-x’, 由牛顿第二定律可知 , 其运动满足如下方程 :

m(-x’’)=mgcos-fmgsin其中 f 为摩擦阻尼系数。

因此 , 有mx’’=-mg(cos-fsin)

因此 , 能量的变化趋势 ( 导数 ) 为V’=mx’x’’+mgx’cos

=-mgx’(cos-fsin)+mgx’cos

=mgx’fsin


h

渐近稳定平衡态

mg

v

f

x

当取值为 [0,90], 由于 v 的方向与 x相反， x’为负 , 因此上式恒小于零。即渐近稳定的平衡态 , 其正定的能量函数的导数 ( 变化趋势 ) 为负。

对小球向上运动时亦可作同样分析。

从直观物理意义的角度 , 也非常易于理解。由于物体运动所受到的摩擦力作负功 , 由能量守恒定律可知 ,物体的能量将随物体运动减少 , 即其导数 ( 变化趋势 ) 为负。


再如右图所示的动力学系统 , 其平衡态在一定范围内为不稳定的平衡态。对该平衡态的邻域 , 可定义其能量 ( 动能 +势能 ) 函数如下 :


h

不稳定平衡态

mg

v

f

(h0,v0)

x

0

)cos(21

21

)(21

21

22

022

0

0

xmgmvxm

hhmgmvmvV

由牛顿第二定律可知 , 其运动满足如下方程 :ma=mgcos-fmgsin

因此 , 有mx’’=mg(cos-fsin)

因此 , 能量的变化趋势 ( 导数 ) 为


h

不稳定平衡态

mg

v

f h0

V’=mx’x’’-mgx’cos=mgx’(cos-fsin)-mgx’cos=-mgx’fsin 当取值为 [0,90], 由于 x’为正 , 因此上式恒小于零。

即不稳定的平衡态 , 其负定的能量函数的导数 ( 变化趋势 ) 为负。

李雅普诺夫第二法的基本思想就是通过定义和分析一个在平衡态邻域的关于运动状态的广义能量函数来分析平衡态的稳定性。通过考察该能量函数随时间变化是否衰减来判定平衡态是渐近稳定 ,还是不稳定。基于上述关于函数的定号性的定义和上述物理意义解释 ,下面阐述李雅普诺夫第二法关于

平衡态稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定和不稳定

的几个定理。


(1) 渐近稳定性定理定理 3-4 设系统的状态方程为

x’=f(x,t)其中 xe=0 为其平衡态。

若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数 V(x,t),满足下述条件 :

1) 若 V’(x,t) 为负定的 , 则该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的 ;

2) 更进一步，若随着 ||x||→,有 V(x,t)→,那么该系统在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。 □

渐近稳定性定理 (1/7)

对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明 :

1) 此定理只为判别系统一致渐近稳定的充分条件 , 而非必要条件。也就是说 , 若找到满足上述条件的一个李雅普诺夫函数 , 则系统是一致渐近稳定或大范围一致渐近稳定的。

但是 , 如果我们一时找不到这样的李雅普诺夫函数 ,也并不意味着平衡态就不是渐近稳定的。此时 , 我们或者

o 继续寻找满足条件的李雅普诺夫函数 , 或者o 可利用后续定理的结论来判别平衡态的渐近稳定性。


2) 对于渐近稳定的平衡态 ,满足条件的李雅普诺夫函数总是存在的 , 但并不唯一。3) 对于非线性系统 ,虽然具体的李雅普诺夫函数可证明所讨论的系统在平衡态的邻域内是渐近稳定的 , 但并不意味着在其他的区域系统是或不是渐近稳定的 ;

对于线性系统 , 如果存在着渐近稳定的平衡态 , 则它必是大范围渐近稳定的。


4) 此定理不仅适用于线性系统 , 同样适用于非线性系统 ;既适用于定常系统 , 同样也适用于时变系统。因此李雅普诺夫第二法是判别平衡态稳定性的具有普遍性的方法。

5) 李雅普诺夫第二法的结论并没有指明寻找李雅普诺夫函数的方法。寻找李雅普诺夫函数的方法将依具体的系统和状态方程而具体分析。


对于二阶系统 ,容易给出上述定理的直观几何解释 (右图为李雅普诺夫函数 V(x,t) 为欧氏距离的一个二维系统的 x1-x2相平面图 ) 。


V=C1 V=C2

V=C3

x2

x1

V随t增大,则平衡态不稳定

V随t减少,则平衡态渐近稳定

导函数 V’(x,t) 表征系统的广义能量函数的变化速率。

李雅普诺夫函数 V(x,t)相当于定义为表征系统的某种广义能量的一种正定函数。令 V(x,t) 为不同的常数 , 则相当于在 n 维状态空间上定义了一簇以原点为中心 , 形状相似的同心超球面。

V’(x,t) 为负定同时也表示系统状态将从现在所处于的在该封闭超球面簇中超球面向原点方向 ( 向内 )运动 , 最后逐渐趋向原点。


V=C1 V=C2

V=C3

x2

x1

V随t增大,则平衡态不稳定

V随t减少,则平衡态渐近稳定

例 3-3 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。渐近稳定性定理 (7/7)--例 3

解显然 , 原点 (0,0) 是给定系统的唯一平衡态 , 如果我们选择正定函数

)()(22

21212

22

21121

xxxxxxxxxx

22

21)( xxV x

为李雅普诺夫函数 ,那么沿任意轨迹 x(t),V(x) 对时间的全导数0)(222)( 22

2212211 xxxxxxV x

是负定函数。此外 , 当 ||x||→时 ,必有 V(x)→ 。因此 , 由定理 3-4知 , 在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。

例 3-4 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。渐近稳定性定理 (8/7)—例 4

解显然 , 原点 (0,0) 是给定系统的唯一平衡态 , 如果我们选择正定函数22

21)( xxV x

为李雅普诺夫函数 ,那么沿任意轨迹 x(t),V(x) 对时间的全导数

212

21

xxxxx

0222)( 222211 xxxxxV x

是负定函数 ,故由定理 3-4知 , 根据所选的李雅普诺夫函数分析不出该平衡态是否渐近稳定或稳定。但这也并不意味着该平衡态就并不渐近稳定。 □

定理 3-4 中严格要求选择的李雅普诺夫函数为正定函数 , 其导数为负定函数。这给该定理的应用 , 特别是寻找适宜的李雅普诺夫函数带来一定困难。下面给出一个定理对上述定理 3-4作一补充 , 以减弱判别条件。


参看课本 P171例 3.4,3.5

(2) 稳定性定理定理 3-5 设系统的状态方程为 x’=f(x,t), 其中 xe=0 为其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数 V(x,t),满足下述条件 :

1) V’(x,t) 为非正定 (半负定 )的 , 则该系统在原点处的平衡态是一致稳定的 ;

2) 更进一步 ,若 V(x,t) 的定义域为 Rn, 对任意的 t0 和任意的x(t0)0,V’(x,t)在 t>t0 时不恒为零 ,那么

该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的 , 否则将仅是一致稳定而非一致渐近稳定。此时 , 随着 ||x||→,有 V(x,t)→, 则该系统在原点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。

稳定性定理 (1/4)

参看课本 P173例 3.6

(3) 不稳定性定理定理 3-6 设系统的状态方程为 x’=f(x,t), 其中 xe=0 为其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数 V(x,t),满足下述条件 :

1) V’(x,t) 为正定的 , 则该系统在原点处的平衡态是不稳定的 ;

2) 若 V’(x,t) 为非负定的 , 且对任意的 t0 和任意的 x(t0)0, V’(x,t)在 t>t0 时不恒为零 ,那么该平衡态 xe 亦是不稳定的。 □

不稳定性定理 (1/2)

例 3-7 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。不稳定性定理 (2/2)—例 5-7

解显然 , 原点 (0,0) 是给定系统的唯一平衡态 , 如果我们选择李雅普诺夫函数为22

21)( xxV x

则

由于 V’(x) 非负定 , 但其只在 x1=0,x2=0 时才恒为零 , 而在其他状态不恒为零 , 因此由定理 3-6的 2) 可知 , 系统的该平衡态为不稳定的。

212

21

xxxxx

0222)( 222211 xxxxxV x

参看课本 P174例 3.8

下面将前面讨论的李雅普诺夫稳定性的判定方法作一小结不稳定性定理 (5/2)— 稳定性定理小结

V(x) V’(x) 结论正定 (>0) 负定 (<0) 该平衡态渐近稳定正定 (>0) 半负定 (0) 且不恒为 0

( 对任意非零的初始状态的解 ) 该平衡态渐近稳定正定 (>0) 半负定 (0) 且恒为 0

( 对某一非零的初始状态的解 )该平衡态稳定但非渐近稳定

正定 (>0) 正定 (>0) 该平衡态不稳定正定 (>0) 半正定 (0) 且不恒为 0

( 对任意非零的初始状态的解 ) 该平衡态不稳定

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李雅普诺夫第一法 (1/7)