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数学序論 2-2

教育・総合科学学術院

石井仁司

１５号館０３教室, ２０１３年１０月１５日

石井仁司 (早大) 数学序論 2-2 10/15/2013 1 / 31

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...1 リテラシー

...2 集合論の逆理

...3 高木関数

...4 変形高木関数

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リテラシーの幾つか

日本数学会のホーム・ページ:

http://mathsoc.jp/index.html

アメリカ数学会のホーム・ページ:

http://www.ams.org/

アメリカ数学会の数学雑誌等の検索サイト:

http://www.ams.org/mathscinet/

数学史関係のサイト:

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/

Wikipedia

arXiv:

http://arxiv.org/

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集合論の逆理

•集合とは，「もの」の集まりのことである．この「もの」のことを集合の要素（元）という．このように集合を捉えるとき，素朴集合論という．

•xが集合X の元（あるいは，要素）であることを

x ∈ X

と表す．Y がX の部分集合であることを

Y ⊂ X (あるいは X ⊃ Y )

と表す．これは

y ∈ Y =⇒ (ならば) y ∈ X

が成り立つことである．

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•素朴集合論としては，集合も「もの」の一つであると考えられる．そこで，全ての集合の集まりを考える．

これをXと表す．Xは再び集合である．従って，XはXの要素である．

X ∈ X

が成り立つ．このX は相当に大きな集合と言える．授業で考えているよ

うな集合Aは，A ∈ Aという性質を持たない．例えば，実数全体の集

合を Rと表すが，Rは実数ではない．従って，R ̸∈ Rとなる．また，∅ ̸∈ ∅, {1, 2} ̸∈ {1, 2}等．•実は，A ∈ Aとなるような大きな集合Aを考えると，問題が生じるこ

とが以前から知られている．このことは，Bertrand Arthur W.

Russell(1872-1970)によって，明快に指摘された．これはラッセルの逆

理と呼ばれている． 以下に，この逆理を説明する．

石井仁司 (早大) 数学序論 2-2 10/15/2013 5 / 31

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•集合の全体X を二種類に分類する．A ∈ X が

A ̸∈ A

をみたすとき，Aは普通の集合であるといい，普通の集合の全体をH と

表す．A ∈ X が

A ∈ A

を満たすとき，Aは異常な集合であるといい，異常な集合の全体を I と

表す．このとき，

X = H ∪ I, H ∩ I = ∅

が成り立つ．H は集合であるから，H ∈ X となる．

•そこで，H が普通の集合であるか，異常な集合であるかを考える．Hが仮に普通の集合であるとする．普通の集合の全体がH であるから，

H ∈ H

が成り立つ．すなわち，H は異常な集合である．石井仁司 (早大) 数学序論 2-2 10/15/2013 6 / 31

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こんどは，H は異常な集合であると仮定する．

H ∈ H

が成り立つ．H は普通の集合全体であり，上の式はH は普通の集合で

あると言っている．

•以上より，H は普通の集合であり，しかも異常な集合である．これは，集合の集合X を普通の集合と異常な集合の二つに分類したのに，H は

どちらでもあるということになり，矛盾である．

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•この逆理は 1901年 5月に発見されたとのことである．これに類似の集

合論に対する逆理は Cantor自身によって，ラッセルの逆理の発見以前

に，発見された (1895-1897年)とのことである．

•カントールは集合論の基礎を 1870年代に築いたようである．1890年

代の終わりには，カントール自身でその基礎に逆理（矛盾）が存在する

ことに気づくに至った．この問題は，その後，多くの数学者を悩ませる

こととなった．

石井仁司 (早大) 数学序論 2-2 10/15/2013 8 / 31

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序に，より古典的な逆理を挙げる．.嘘つきの逆理..

......

クレタ人のエピメニデスは，すべてのクレタ人が嘘つきである，と

いった．

では，エピメニデスは正直な嘘つきなのか？

•これは，あくまでも論理（論理学）の逆理であり，世の中では私は嘘はつきません

と言っておいて，嘘を平気でつくことはよくあることで，気を付けない

と危険なこともある．

石井仁司 (早大) 数学序論 2-2 10/15/2013 9 / 31

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.ツェノン (Zeno)の逆理..

......

アキレスというのは，古代ギリシャ神話に出てくる英雄のことであるが，

今，亀がアキレスよりも少し前にいて，同時にスタートする．そうする

と，アキレスが亀の出発した点に到達したとき，亀も出発地点よりは少

し前方にいる．また，アキレスがその亀の位置まで到達したとき，亀も

またその前方にいる．このように考えていくと，永遠にアキレスは亀を

追い抜けないことになる．

しかし，実際には，アキレスは亀を追い抜いてしまう．なぜか？

ツェノンはギリシャの哲学者で，BC490–BC425 ころの人である．エピ

メニデスはギリシャのクレタ島の人で，BC600, BC500ころの人とのこ

とである．

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高木関数

•多項式，指数関数，対数関数，三角関数の cosx, sinx等はすべて連続

関数であり，そして，これらの関数は導関数も持つ．

•すべての関数が導関数を持つわけではない．例えば，関数 f(x) = |x|は x = 0で微分係数を持たない．

f(h) − f(0)

h=

|h|h

=

{1 (h > 0)

−1 (h < 0)

となるから，微分係数は存在しない．(下の図も参照)

O

y

x

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•関数 f : R → Rを

f(x) =

0 (x ≤ 0),

1 (x > 0)

とおいて，定めるとき，この関数 f は x = 0では不連続である．一方，

x ̸= 0では連続である．

O

y

x

1

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•つぎに関数 f(x)を

f(x) =

{1 (x が有理数)

0 (x が無理数)

と定義する．この関数は数学者ディリクレ (Dirichlet, 1805–1859)に因

んでディリクレ関数と呼ばれる．この関数 y = f(x)のグラフを xy 平

面上に描くことは難しい．この関数はすべての xで不連続な関数である．

•一方，連続関数 f(x)のうちに，どの xに対しても微分係数を持たない関数が知られている．

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このような関数を想い描くことは難しい．ディリクレ関数もすべての x

に対して，微分係数を持たないが，この関数は不連続な関数である．こ

のような連続関数のうちでよく知られたものに数学者の名前を冠したワ

イエルシュトラス関数，高木関数がある．ワイエルシュトラス

(Weierstrass, 1815–1897)はドイツの数学者であり，一方の高木関数は，

整数論における優れた研究と日本における整数論の伝統を育んだ数学者

として名高い高木貞治 (1875–1960)に因んでいる．高木関数の一つの定

義は無限級数として与えられる．

石井仁司 (早大) 数学序論 2-2 10/15/2013 14 / 31

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•高木関数はつぎのように定義される．まず．関数ψ ∈ C(R)を

ψ(x) = minn∈Z

|x− n|

とおいて定義する．

O

y

x

1

この関数ψは周期 1の周期関数であり，0 ≤ ψ(x) ≤ 12をみたす．

石井仁司 (早大) 数学序論 2-2 10/15/2013 15 / 31

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そこで

T (x) :=∞∑

n=0

ψ(2nx)

2n= ψ(x) +

1

2ψ(2x) +

1

22ψ(22x) + · · ·

とおいて高木関数 T : R → Rを定義する．

O

y

x1

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高木関数 T も周期 1の周期関数である．つぎの不等式

(2) ψ(x) ≤ T (x) ≤∞∑

n=0

2−n−1 = 1 ∀x ∈ R

が成り立つ．特に，0 ≤ x ≤ 1に対しては

max{x, 1 − x} ≤ T (x) ≤ 1

が成り立つ．.定理 (高木関数)........T は R上で連続関数であるが，すべての x ∈ Rで微分不可能である．

連続性の証明は簡単であるが，微分不可能性を証明するのは厄介である．

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変形高木関数

•高木関数を少し変形すると微分不可能性の証明がし易くなる．以下に，（私が）変形高木関数と呼ぶものを紹介する．

•関数ψ : R → Rは前節と同じとする：

ψ(x) := min{|x− n| : n ∈ Z}.

O

y

x

1

関数ψは周期 1の周期関数である．そのグラフは，区間

..., [−1, −1/2], [0, 1/2], [1, 3/2], ....上では傾き 1の直線に一致し，

区間 ..., [−1/2, 0], [1/2, 1], [3/2, 2], ...上では傾き−1の直線に一致

する．石井仁司 (早大) 数学序論 2-2 10/15/2013 18 / 31

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•変形高木関数 S : R → Rをつぎで定義する．

S(x) :=

∞∑k=0

1

8kψ((4 · 8)kx)

=ψ(x) +1

8ψ(32x) +

1

82ψ(322x) +

1

83ψ(323x) + · · ·

石井仁司 (早大) 数学序論 2-2 10/15/2013 19 / 31

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•補助的に，ψn ϕn, χn : R → Rをつぎで定義する．

ψn(x) :=1

8nψ(32nx),

ϕn(x) :=

n∑k=0

ψk(x) =

n∑k=0

1

8kψ((4 · 8)kx)

=ψ(x) +1

8ψ(32x) +

1

82ψ(322x) + · · · +

1

8nψ(32nx),

χn(x) :=

∞∑k=n+1

ψk(x).

このとき，

S(x) =

∞∑k=0

ψk(x) = ϕn(x) + χn(x)

が成り立つ．

石井仁司 (早大) 数学序論 2-2 10/15/2013 20 / 31

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.命題 1........S ∈ C(R).

.証明...

......

まず，

0 ≤ ψ(x) ≤1

2

が成り立つので，

0 ≤ ψn(x) ≤1

2 · 8n

が成り立つ．∞∑

n=0

1

2 · 8n< ∞ (収束する).

それぞれのψnは R上の連続関数である．ワイエルシュトラースの判定法によれば，Sは R上で一様収束する．したがって，Sは R上の連続関数である．

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.定理 2........Sは R上すべての点で微分不可能．

.補題 3..

......

f : R → Rが x0で微分可能であれば，あるM > 0に対して

|f(x) − f(x0)| ≤ M |x− x0| (∀x ∈ [x0 − 1/M, x0 + 1/M ])

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. . . . . .

.証明...

......

x0で微分可能であれば，ある δ > 0に対して∣∣∣∣f(x) − f(x0)

x− x0− f ′(x0)

∣∣∣∣ < 1 (∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ))

したがって，x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)ならば，∣∣∣∣f(x) − f(x0)

x− x0

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣f(x) − f(x0)

x− x0− f ′(x0) + f ′(x0)

∣∣∣∣≤

∣∣∣∣f(x) − f(x0)

x− x0− f ′(x0)

∣∣∣∣ + |f ′(x0)|

< 1 + |f ′(x0)|.

石井仁司 (早大) 数学序論 2-2 10/15/2013 23 / 31

. . . . . .

.証明 (続き)...

......

M > 0を大きく取り，

1 + |f ′(x0)| < M,1

M< δ

が成り立つようにできる．このとき，∣∣∣∣f(x) − f(x0)

x− x0

∣∣∣∣ ≤ M (∀x ∈ [x0 − 1/M, x0 + 1/M ]).

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この補題の対偶として，すぐにつぎが分かる．.補題 4..

......

x0 ∈ Rとする．任意のM > 0に対して

|f(x) − f(x0)| > M |x− x0|

となる x ∈ [x0 − 1/M, x0 +1/M ]が存在するならば，f : R → Rはx0で微分不可能である．

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.定理 2 の証明...

......

•もう一度繰り返す．ψ(x) := min{|x− n| : n ∈ Z}.

O

y

x

1

ψn(x) :=1

8nψ(32nx),

ϕn(x) :=

n∑k=0

ψk(x) =

n∑k=0

1

8kψ((4 · 8)kx)

=ψ(x) +1

8ψ(32x) +

1

82ψ(322x) + · · · +

1

8nψ(32nx),

χn(x) :=

∞∑k=n+1

ψk(x),

S(x) =

∞∑k=0

ψk(x) = ϕn(x) + χn(x).

石井仁司 (早大) 数学序論 2-2 10/15/2013 26 / 31

. . . . . .

.証明 (続き)...

......

•関数ψ周期 1の周期関数である．そのグラフは，区間

..., [−1, −1/2], [0, 1/2], [1, 3/2], ....上では傾き 1の直線に一致し，

区間 ..., [−1/2, 0], [1/2, 1], [3/2, 2], ...上では傾き−1の直線に一致

する．

•ψnは周期 1/32nの周期関数で，そのグラフは区間

[i/32n, i/32n + 1/(2 · 32n)]（i ∈ Z）上で傾き 32n/8n = 4nの直線

に一致し，区間 [i/32n + 1/(2 · 32n), (i+ 1)/32n]（i ∈ Z）上で傾き−32n/8n = −4nの直線に一致する．

石井仁司 (早大) 数学序論 2-2 10/15/2013 27 / 31

. . . . . .

.証明 (続き)...

......

•たとえば，ϕ2(x) = ψ0(x) + ψ1(x) + ψ2(x)

について考えると，区間 [i/(2 · 322), (i+ 1)/(2 · 322)]（i ∈ Z）上で，この関数の微分係数（傾き）は定数で

42 + 4 + 1, 42 + 4 − 1, 42 − 4 + 1, 42 − 4 − 1,

− 42 + 4 + 1, −42 + 4 − 1, −42 − 4 + 1, −42 − 1 − 1

の何れかである．その絶対値の最大値は 42 + 4 + 1であり，最小値は

42 − 4 − 1である．

•もっと一般に，ϕnの区間 [i/(2 · 32n), (i+ 1)/(2 · 32n)]（i ∈ Z）における微分係数は定数で，その絶対値の（iに関する）最小値は

(1)

4n−(4n−1+4n−2+ · · ·+1) = 4n−4n − 1

4 − 1=

2 · 4n

3+

1

3>

2 · 4n

3.

石井仁司 (早大) 数学序論 2-2 10/15/2013 28 / 31

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.証明 (続き)...

......

•x0 ∈ Rを任意に固定する．i ∈ Zをx0 ∈ [i/(2 · 32n), (i+ 1)/(2 · 32n)]となるように定める．y = i/(2 · 32n)（区間の左端）あるいは y = (i+ 1)/(2 · 32n)（区間の右端）とすれば（x0に数直線上で近い方），

(2)1

4 · 32n≤ |x0 − y| ≤

1

2 · 32n

が成り立つ．このような yを y = ynと表す．

ϕn(x0) − ϕn(yn) = ϕ′n(z)(x0 − yn) (直線の方程式)

がすべての z ∈ (i/(2 · 32n), (i+ 1)/(2 · 32n))に対して成り立つ．したがって，(1)より，

(3) |ϕn(x0) − ϕn(yn)| = |ϕ′n(z)||x0 − yn| ≥

2 · 4n

3|x0 − yn|.

石井仁司 (早大) 数学序論 2-2 10/15/2013 29 / 31

. . . . . .

.証明 (続き)...

......

•つぎに χnの大きさを調べる．任意の xに対して，

|χn(x)| ≤∞∑

k=n+1

1

2 · 8k=

1

2 · 8n+1

∞∑k=0

1

8k

=1

2 · 8n+1

1

1 − 18

=4

7 · 8n+1=

1

14 · 8n.

これと (3)より，

|S(x0) − S(yn)| = |ϕn(x0) − ϕn(yn) + χn(x0) − χn(yn)|≥ |ϕn(x0) − ϕn(yn)| − |χn(x0) − χn(yn)|≥ |ϕn(x0) − ϕn(yn)| − |χn(x0)| − |χn(yn)|

≥2 · 4n

3|x0 − yn| −

2

14 · 8n

=

(2

3−

4

7

)4n|x0 − yn| +

4 · 4n

7|x0 − yn| −

1

7 · 8n.

石井仁司 (早大) 数学序論 2-2 10/15/2013 30 / 31

. . . . . .

.証明 (続き)...

......

(2)より，

4 · 4n

7|x0 − yn| ≥

4 · 4n

7

1

4 · 32n≥

1

7 · 8n

となり，したがって，

|S(x0) − S(yn)| ≥(2

3−

4

7

)4n|x0 − yn| =

2 · 4n

21|x0 − yn|.

これより，任意のM > 0に対して，n ∈ N を大きくとれば，

|S(x0) − S(yn)| > M |x0 − yn|, |x0 − yn| ≤1

M.

補題 4 によれば，Sは x0で微分可能でない．x0 ∈ Rは任意だから Sはすべての点で微分不可能．

石井仁司 (早大) 数学序論 2-2 10/15/2013 31 / 31