РОБОЧИЙ ЗОШИТ 2 · 2015-06-03 · Практичне заняття №4. Обчислення елементів трикутника за допомогою системи

Міністерство аграрної політики та продовольства України

Аграрно-економічний коледж

Полтавської державної аграрної академії

РОБОЧИЙ ЗОШИТ №2

для практичних занять

з навчальної дисципліни

«Вища математика»

Розділи: «Вступ до математичного аналізу»

«Диференціальне числення функції однієї змінної»

для студентів денної форми навчання

спеціальностей

5.03050901 «Бухгалтерський облік»,

5.03050801 «Фінанси і кредит»

ПОЛТАВА - 2012

2

Укладачі: Сувальська О.В. – викладач вищої категорії природничо-

математичних дисциплін Аграрно-економічного коледжу ПДАА.

Губарь Н.Л. – викладач вищої категорії, викладач-методист,

голова циклової комісії природничо-математичних дисциплін

Аграрно-економічного коледжу ПДАА.

Рецензент: Семенюта А.Ю. – викладач природничо-математичних

дисциплін Аграрно-економічного коледжу ПДАА.

РОЗГЛЯНУТО І СХВАЛЕНО НА ЗАСІДАННІ

ЦИКЛОВОЇ КОМІСІЇ

ПРИРОДНИЧО-МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН

ПРОТОКОЛ № ___ ВІД __________2012Р.

Робочий зошит для практичних занять з навчальної дисципліни «Вища

математика» для студентів спеціальностей «Бухгалтерський облік» та

«Фінанси і кредит» є зошитом з друкованою основою, побудованим згідно

вимог щодо проведення практичних занять та відповідно до програми

навчальної дисципліни у ВНЗ І-ІІ рівнів акредитації.

Робочий зошит №2 складається з передмови, тематичного плану

навчальної дисципліни, переліку практичних занять, практичних робіт з

розділів курсу «Вступ до математичного аналізу», «Диференціальне

числення функції однієї змінної», додатки.

Кожне практичне заняття містить тему, мету, питання для

самопідготовки, план, термінологічний словник ключових понять, зразки

розв’язання типових задач, завдання для практичного виконання та

самостійної роботи.

Самостійна робота в більшості передбачає індивідуальне виконання

завдань.

Робочі зошити №1 – №3 включають в себе 16 практичних занять

передбачених програмою і послідовно доповнюють один одного.

3

ЗМІСТ

Передмова…………………………………………………………………...... ..…4

Тематичний план вивчення дисципліни…………………………………...... ..…5

Перелік практичних занять………………………………………………….. …..6

Розділ 3. Вступ до математичного аналізу ……………………………… ..…7

Практичне заняття №6. Обчислення границь. Дослідження функцій на

неперервність .………………………………………………………………..

…..7

Розділ 4. Диференціальне числення функції однієї змінної …………… ….30

Практичне заняття №7. Обчислення похідних функцій та диференціалів . ….30

Практичне заняття №8. Екстремум функції. Опуклість графіка функції.

Точки перегину ………………………………………………………………

….45

Практичне заняття №9. Розв’язування задач економіки за допомогою

екстремумів …………………………………………………………………..

….59

Практичне заняття №10. Дослідження функцій та побудова графіків …... ….70

Список використаної та рекомендованої літератури………………………. ….89

4

Серед усіх наук, що відкривають людству

шлях до пізнання законів природи, наймогутніша,

найвеличніша наука – математика.

С. Ковалевська

Теорія без практики мертва та безплідна,

практика без теорії неможлива чи згубна. Для теорії

потрібні головним чином знання, для практики, крім

того, і вміння.

Академік О.М.Крилов

Передмова В сучасному суспільстві працевлаштування та досягнення мети будь-якою

людиною найчастіше тісно пов’язано з умінням вдосконалювати: свої

здібності, комунікабельність, фізичний стан, навички уважної розумової

творчої праці. Важливі також: цілеспрямованість, знання іноземних мов,

вільне володіння комп’ютерною технікою, навички логічно і коротко

виражати свої думки, організаційні здібності, культурний рівень.

Стратегічним напрямом розвитку освіти України в ХХІ столітті є

забезпечення інтелектуального і етичного розвитку людини на основі

залучення її в різноманітну, самостійну, доцільну діяльність у різних галузях

знань. Швидке оновлення знань, включаючи базові, ставить перед вищими

навчальними закладами завдання підготувати фахівців, здатних:

– адаптуватися до умов сучасного суспільства, які швидко змінюються;

– самостійно набувати необхідні для успішної роботи знання і навики,

застосовувати їх на практиці для вирішення різноманітних задач;

– самостійно, критично мислити, уміти бачити виникаючі в реальній

дійсності проблеми і шукати раціональні шляхи їх вирішення,

використовуючи сучасні технології.

Значну роль в підготовці сучасного конкурентоспроможного фахівця

відіграє процес вивчення математичних дисциплін.

Основним завданням курсу “Вища математика” є математичне

забезпечення спеціальної підготовки майбутніх економістів, а саме:

ознайомлення студентів з основами математичного апарату, необхідного при

розв’язанні теоретичних і практичних задач, пов’язаних з майбутньою

трудовою діяльністю; набуття студентами уміння самостійно вивчати

навчальну літературу з математики; розвиток логічного мислення і підняття

загального рівня математичної культури; прищеплення навичок

математичного дослідження прикладних завдань. Особлива увага при

вивченні вищої математики приділяється практичним заняттям.

Робочий зошит для практичних занять з навчальної дисципліни «Вища

математика» є зошитом з друкованою основою, призначений для

5

використання студентами економічних спеціальностей денної форми

навчання при вивченні окремих розділів курсу.

У робочому зошиті подано тематичний план вивчення дисципліни,

перелік практичних занять, практичні заняття з розділів курсу «Вступ до

математичного аналізу», «Диференціальне числення функції однієї змінної»,

додатки.

Кожне практичне заняття містить: тему, мету, питання для

самопідготовки, план, термінологічний словник ключових понять, зразки

розв’язання типових задач, добірку завдань для аудиторної та самостійної

роботи.

Для допомоги у підготовці до практичних занять, а також для виконання

самостійної роботи в зошиті подано список рекомендованої літератури.

Тематичний план вивчення дисципліни

№

п/п

Назва розділу, модуля,

теми програми

Обсяг годин

за робочою навчальною

програмою

Всь

ого

аудиторні, з

них

сам

ост

ійні

лекції

Практ

ичні

Вступ 2 2

1 Елементи лінійної алгебри 16 6 6 4

2 Аналітична геометрія 12 4 4 4

3 Вступ до математичного аналізу 10 4 2 4

4 Диференціальне числення функції однієї

змінної

22 4 8 10

5 Диференціальне числення функції

багатьох змінних

12 2 4 6

6 Інтегральне числення 22 4 4 14

7 Диференціальні рівняння 12 2 4 6

Всього 108 28 32 48

6

Перелік практичних занять

Назва розділу, теми практичного заняття Кількість

годин

Розділ 1. Елементи лінійної алгебри 6

Практичне заняття №1. Методи обчислення визначників.

Дії над матрицями 2

Практичне заняття №2. Розв’язування систем лінійних

рівнянь методом Крамера 2

Практичне заняття №3. Метод Гаусса та його застосування 2

Розділ 2. Аналітична геометрія 4

Практичне заняття №4. Обчислення елементів трикутника

за допомогою системи координат 2

Практичне заняття №5. Криві другого порядку. Пряма і

площина в просторі 2

Розділ 3. Вступ до математичного аналізу 2

Практичне заняття №6. Обчислення границь. Дослідження

функцій на неперервність 2

Розділ 4. Диференціальне числення функції однієї змінної 8

Практичне заняття №7. Обчислення похідних функцій та

диференціалів 2

Практичне заняття №8. Екстремум функції. Опуклість

графіка функції. Точки перегину 2

Практичне заняття №9. Розв’язування задач економіки за

допомогою екстремумів 2

Практичне заняття №10. Дослідження функцій та побудова

графіків 2

Розділ 5. Диференціальне числення функції багатьох

змінних 4

Практичне заняття №11. Диференціювання функцій двох

змінних 2

Практичне заняття №12. Знаходження екстремумів функцій

двох змінних 2

Розділ 6. Інтегральне числення 4

Практичне заняття №13. Розв’язування вправ на

інтегрування функцій 2

Практичне заняття №14. Обчислення визначених інтегралів.

Застосування визначеного інтегралу 2

Розділ 7. Диференціальні рівняння 4

Практичне заняття №15. Розв’язування диференціальних

рівнянь з відокремлюваними змінними 2

Практичне заняття №16. Лінійні диференціальні рівняння

першого порядку 2

7

Розділ 3. Вступ до математичного аналізу.

Практичне заняття № 6.

Тема: Обчислення границь. Дослідження функцій на

неперервність.

Мета: закріпити теоретичні знання з теми «Границя функції та

неперервність», набути навички і вміння по обчисленню границь

послідовностей і функцій Навчити студентів досліджувати функції на

неперервність, визначати вид точок розриву функції, схематично

будувати графіки функцій

Питання для самопідготовки:

- Поняття функції, області визначення функції, числової послідовності,

модуля дійсного числа.

- Зростаюча (спадна) послідовність.

- Окіл точки х0, поняття границі функції, односторонні границі.

- Геометричний зміст границі функції.

- Нескінченно великі, нескінченно малі функції.

- Основні теореми про границі функцій.

- Перша та друга важливі границі.

- Поняття неперервності функції в точці, на проміжку, точки розриву.

План практичного заняття

1. Розв’язування вправ на функції. Обчислення границь послідовностей.

2. Обчислення границь дробово-раціональних функцій в точці і на

нескінченності.

3. Обчислення границь функцій, що містять корені.

4. Розв’язання вправ на використання першої та другої визначних

границь.

5. Дослідження функції на неперервність. Знаходження точок розриву

функції, та визначення їх виду.

8

Термінологічний словник ключових понять

Функція — це така відповідність між множинами D та E, при якій

кожному значенню змінної Dx відповідає одне й тільки одне значення Ey .

Область визначення функції — це множина всіх значень аргументу, для

яких можна обчислити значення функції.

Послідовність — це числова функція nfy , область визначення якої є

множина натурального ряду чисел.

Границя а послідовності хn — це таке число а, для якого при довільному

,0 яким би малим воно не було, існує номер N, такий, що для всіх номерів

Nn виконується нерівність axn .

Нескінченно мала величина — це така послідовність ,n для якої .0lim

nn

Нескінченно велика величина — це така послідовність хn, для якої при

довільному числі М ,0 M яким би великим воно не бу-

ло, існує номер N такий, що при всіх Nn виконується нерівність .Mxn

Границя функції — а) Число b називається границею функції xf при

ax , якщо для будь-якого числа 0 існує число 0 , таке що при

axax i виконується нерівність bxf (означення границі функції

«мовою »).

б) Число b називається границею функції xf при ax , якщо для будь-

якої послідовності значень аргументу axx nn , , що має границею число а,

відповідна послідовність значень функції nxf має границею число b

(означення границі функції «мовою послідовностей»).

Односторонні границі функції — а) Якщо при axax функція має

границю, то ця границя називається лівосторонньою границею функції в

точці ax .

б) Якщо при axax функція має границю, то ця границя називається

правосторонньою границею функції в точці .ax

Лівостороння та правостороння границі функції в точці є односторонніми

границями цієї функції.

Перша особлива границя — .1sin

lim0

x

x

x

Друга особлива границя — .1

1lim ex

x

x

Функція неперервна в точці, якщо в цій точці нескінченно малому

приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції. Функція

9

є неперервною на проміжку, якщо вона неперервна в кожній точці цього

проміжку.

Точка розриву функції — це точка х = х0, в якій порушується хоча б одна з

умов рівності xfxfxfxxxx

)(limlim00 00

.

Точка розриву 1-го роду — а) Точка х = х0 називається точкою розриву 1-го

роду (розрив неусувний) для функції ,xfy якщо односторонні границі

(зліва і справа) функції у цій точці існують, але не рівні між собою, тобто

.limlim00 00

xfxfxxxx

б) Точка х = х0 називається точкою розриву 1-го роду (розрив усувний)

для функції ,xfy якщо односторонні границі функції у цій точці існують,

рівні між собою, але не дорівнюють значенню функції у цій точці, або

функція у цій точці не існує, тобто

.000

limlim00

xfxfxfxxxx

Точка розриву 2-го роду — точка х = х0 називається точкою розриву 2-го

роду для функції ,xfy якщо в цій точці не існує хоча б одна з

односторонніх границь (зліва чи справа).

Завдання для практичного виконання:

Приклад 1. Знайти область визначення функції

1

1ln

x

xy .

Розв’язання.

Функція визначена, якщо 01x та .01 x Таким чином, областю

визначення функції є: (– 1, 1) (1, + ).

Приклад 2. Знайти область визначення функцій

1) 2

13arcsin321

xxy ;

2)

44

2ln2

хx

хy .


10

Приклад 3. Визначити, яка із заданих функцій парна чи непарна:

а) xxxy sin232 ; б) ;22 xxy в) .52 xxy


а) Оскільки xfxxxxxxxf sin2sin2 3232 , то функція

непарна.

Приклад 4 . Довести, що границею послідовності 5

32

n

nxn є число а = 2.


Задамо число ,0 тоді

5

7

5

7

5

102322

5

32

nnn

nn

n

naxn .

З нерівності axn маємо 5

7

n або .5

7

n Звідки

5

7

N .

Приклад 5. Знайти .726

6532

23

limnn

nnn

n

11


726

6531

726

653

22

323

2

23

limlimnn

n

nnnn

nn

nnn

nn

.

Приклад 6. Знайти

.1

1...

32

1

21

1lim

nnn


.1011

11

1

11...

3

1

2

1

2

11

1

1...

32

1

21

1

lim

limlim

n

nnnn

n

nn

Приклад 7. Знайти 173

12

72lim

n

n n

n


Виконавши перетворення і використавши формулу en

n

n

11lim ,

знаходимо:

122

24limlimlim

)173(12

8

8

12

)173(12

8

8

12

173173

12

13624

12

13624)173(

12

8

8

12

11lim

8

12

11lim

12

812lim

12

72lim

eeeeen

nn

n

n

n

n

n

nn

n

n

nn

n

nnn

n

nn

n

n

n

n

n

n


23

83lim

n

n n

n


12


1314lim

2

2

2

xx

xx

x


За теоремою про границю частки дістанемо

111

11

15348

13284

1521722

132142

)15172(lim

)1314(lim

15172

1314lim

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

xx

xx

xx

x

x

x.


37lim

2

2

2

xx

xx

x



92

2

3lim

xx

x

x


Тут чисельник та знаменник дробу прямують до нуля при 3x

(невизначеність вигляду

0

0). Оскільки

3

33

3

92

2

xx

xx

xx

x

x

x 3 при ,3x

то .23

3

9limlim

32

2

3

x

x

xx

x

xx

Звідси .23

92

2

3lim

xx

x

x


1314lim

2

2

1

xx

xx

x

13



0

1

123

23

1lim

xxx

xxx

x


Розкладемо на множники чисельник та знаменник дробу:

.02

0

1

1

11

11

11

11

1

1

lim

limlimlim

1

2

2

12

2

123

23

1

x

x

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

x

xxx


0

0

10020

100023

3

10lim

xxx

x

x

.


14


024lim

0

x

x

x


Помножимо чисельник та знаменник дробу на суму :24 x

.4

1

24

1

24

44

24

2424limlimlim

000

xxx

x

xx

xx

xxx


915lim

3

x

xx

x


15


.0

0115 3

0lim

x

x

x


Покладемо ,1 5yx тоді


43223

23

lim

xxx

xxx

x


Поділимо чисельник та знаменник на старший степінь х, тобто на х3:

.4

1

1234

4321

1234

432

32

32

23

23

limlim

xxx

xxx

xxx

xxx

xx


1314lim

2

2

xx

xx

x

16



3438 22

lim xxxxx

.


Помножимо та поділимо заданий вираз на 382 xx 342 xx

.22

4

341

381

4

3438

4

3438

3438

3438

34383438

3438

22

2222

22

22

2222

22

lim

limlim

lim

lim

xxxx

xxxx

x

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxxxxx

xxxx

x

xx

x

x


1

3

1

03lim

x

x

x


Якщо ,03x то .3

12;02,

3

11

3

1

03

3

1

lim

x

x

x xx

Якщо ,03x то .02;2,3

11

3

1

03

3

1

lim

x

x

x xx

Приклад 22. .2

11

2

1

22

2sin

2sin2

0

0cos12

2

02

2

02

0limlimlim

x

x

x

x

x

x

xxx

17

Приклад 23.

.0

02sin1

2lim

x

x

x


Для того щоб скористатися першою особливою границею, потрібно

виконати таку заміну змінної х, щоб нова змінна прямувала до нуля,

наприклад .yx

.8

1

416

4sin2

4sin2

2cos1

22sin1

0

2sin1

2

2

02

2

0

20

20

2

limlim

limlimlim

y

y

y

y

y

y

y

y

y

x

yx

yx

x

x

yy

yyx

Приклад 24. xtgxctgx

74lim0


Для обчислення границі цієї функції використаємо дві з основних формул

тригонометрії x

xctgx

sin

cos і

x

xtgx

cos

sin , а також першу важливу границю

.1sin

lim0

x

x

x Маємо

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxtgxctg

xxxxxx

44

4sin

77

7sin

lim4sin

7sinlim1

4sin

7sinlim

7cos

4coslim

7cos

7sin

4sin

4coslim74lim

000000

.4

7

4

7

1

1

4

7lim

4

4sinlim

7

7sinlim

4

7lim

4

4sin7

7sin

lim0

0

0

00

x

x

x

xx

x

xx

x

x

x

x

xx

x

Приклад 25. xxtgx

5sin3lim0


18

Приклад 26. 12

2

3lim

x

x x

x


.1

1

31

21

21

31

12

1

31

2

3

10

22

23

2

2

12

12

lim

limlim

ee

e

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Приклад 27. Дослідити на неперервність функцію .sin xy


Область визначення функції .sin RDxy

Візьмемо довільне ,0 RDx надамо 0x приросту ,x тоді приріст функції

y буде

.2

cos2

sin2sinsin 00000

xx

xxxxxfxxfy

Розглянемо

.02

cos

2

2sin

2cos

2sin2 0

00

00limlimlim

xx

x

xx

xx

xy

xxx

Звідси функція xy sin неперервна ,0 Rx тобто на всій області

визначення.

Приклад 28. Показати, що при х = 4 функція 4

x

xy має розрив.


Знаходимо .4

,4

limlim0404

x

x

x

x

xx

19

Таким чином, функція при 4x не має ні правої, ні лівої скінченної

границі. Звідси, х = 4 є точкою розриву 2-го роду.

Приклад 29. Дослідити на неперервність функцію 5

252

x

xy .


У точці х = 5 функція має невизначеність .0

0

В інших точках дріб

скорочується на х – 5, оскільки .05 x Звідси, при 5x .5 xy Легко

показати, що

.10limlim0505

yyxx

Таким чином, при х = 5 функція має усувний розрив. Його можна усунути,

якщо домовитися, що при х = 5 у = 10.

Звідси можна вважати, що функція 5

252

x

xy неперервна при всіх

значеннях х, якщо вважати, що рівність 55

252

x

x

x справджується при всіх

значеннях х, включаючи і саму точку х = 5. У цьому випадку графіком

функції буде пряма лінія .5 xy

Приклад 30. Дослідіть функцію3

2

x

xy на неперервність на всій

числовій прямій.


20

Домашня самостійна робота.

Завдання 1. Знайти область визначення функцій:

1) 5log 2 xy ;

2) 1arccos

15log 2

11

x

xxy ;

3) 15arcsin5

1

x

xy .


21

Завдання 2. Побудувати графіки функцій:

а) y = sin x + 2; б) y = –2 x2, в)

4

π cos xy , г) 1

3

1 xy .


22

Завдання 3. Знайти границі функцій згідно свого варіанту

(№ варіанту –порядковий номер по журналу):

1. 1)25152

252542

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 = 2, б) x0 = 5, в) x0 = ;

2)xx

x

x

35

1

1lim ; 3) xxctg

x

26sin

0lim

; 4)

35

5

4lim

n

n

n

n.

2. 1)282

82672

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 =1, б) x0 = -4, в) x0 = ;

2)2

84

2lim

x

xx

x; 3)

x

xarctg

x 5

7

0lim

; 4)

54

32

52lim

n

n

n

n.

3. 1)5015

251522

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 = 5, б) x0 = -5, в) x0 = ;

2)xx

x

x

62

4

4lim ; 3)

xtg

xtg

x 4

5

0lim

; 4)

32

63

13lim

n

n

n

n.

23

4. 1)532

8532

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 = -2, б) x0 = 1, в) x0 = ;

2)3

42

3lim

x

xx

x; 3)

xtg

x

x 2

3sin

0lim

; 4)

4

45

35lim

n

n

n

n.

5. 1)583

71362

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 = -2, б) x0 = -1, в) x0 = ;

2)6

93

6lim

x

xx

x; 3)

x

x

x 4

8arcsin

0lim

; 4)

15

34

14lim

n

n

n

n.

6. 1) 34

7432

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 =2, б) x0 =-1, в) x0 = ;

2)3

51

3lim

x

xx

x; 3)

x

xarctg

x 5

7

0lim

; 4)

33

62

32lim

n

n

n

n.

7. 1) 232

2082

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 = -1, б) x0 = -2, в) x0 = ;

2)xx

x

x

182

8

8lim ;3)

x

x

x 5

4sin

0lim

; 4)

127

72

82lim

n

n

n

n.

8. 1) 2110

61042

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 = -2, б) x0 =3, в) x0 = ;

2)7

217

7lim

x

xx

x;3)

x

x

x 5sin

3sin

0lim

; 4)

83

102

42lim

n

n

n

n.

9. 1) 1514

172032

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 = -3, б) x0 = -1, в) x0 = ;

2)xx

x

x

816

4

4lim ;3)

x

x

x 18

17arcsin

0lim

; 4)

73

174

84lim

n

n

n

n.

10. 1) 15172

13142

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 =2, б) x0 =1, в) x0 = ;

2)3

915

3lim

x

xx

x; 3) xxtgctg

x

74

0lim

; 4)

173

12

72lim

n

n

n

n.

11. 1) 8103

202

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 =4, б) x0 = -4, в) x0 = ;

24

2)68

1

1lim

xx

x

x;3) xxctg

x

2sin6

0lim

; 4)

112

9

8lim

n

n

n

n.

12. 1) 8103

561282

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 =2, б) x0 = -2, в) x0 = ;

2)xx

x

x

1016

3

3lim ; 3)

xarctg

x

x 5

7

0lim

; 4)

83

172

12lim

n

n

n

n.

13. 1) 2732

322

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 =2, б) x0 =3, в) x0 = ;

2)3

28

3lim

x

xx

x; 3)

xtg

xtg

x 19

17

0lim

; 4)

178

104

94lim

n

n

n

n.

14. 1) 2673

81242

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 =3, б) x0 =2, в) x0 = ;

2)xx

x

x

137

3

3lim ; 3)

xtg

xtg

x 9

5

0lim

; 4)

123

84

14lim

n

n

n

n.

15. 1) 10122

21202

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 =1, б) x0 = -1, в) x0 = ;

2)7

59

7lim

x

xx

x; 3)

x

x

x 7arcsin

2

0lim

; 4)

146

72

42lim

n

n

n

n.

16. 1) 1543

3522

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 =2, б) x0 =3, в) x0 = ;

2)4

71

4lim

x

xx

x;3)

xarctg

x

x 4

3

0lim

; 4)

23

52

32lim

n

n

n

n.

17. 1) 62

2742

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 =0, б) x0 =2, в) x0 = ;

2)xx

x

x

62

2

2lim ;3)

x

xtg

x 5sin

2

0lim

; 4)

72

43

23lim

n

n

n

n.

18. 1)65

3522

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 =4, б) x0 = -3, в) x0 = ;

2)х

xx

x

5

91

5lim ; 3)

xctg

xctg

x 3

5

0lim

; 4)

23

4

6lim

n

n

n

n.

25

19. 1)252

101132

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 = -3, б) x0 = -2, в) x0 = ;

2)xx

x

x

73

2

2lim ; 3)

x

x

x 2arcsin

4

0lim

; 4)

3

65

35lim

n

n

n

n.

20. 1)472

81432

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 =2, б) x0 =4, в) x0 = ;

2)2

37

2lim

x

xx

x; 3) xxctgtg

x

32

0lim

; 4)

53

34

54lim

n

n

n

n.

21. 1)25152

252542

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 = 3, б) x0 = 5, в) x0 = ;

2)xx

x

x

35

1

1lim ;3) xxctg

x

62sin

0lim

; 4)

32

5

4lim

n

n

n

n.

22. 1)282

82672

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 =-1, б) x0 = -4, в) x0 = ;

2)2

84

2lim

x

xx

x; 3)

x

xarctg

x 6

7

0lim

; 4)

52

32

52lim

n

n

n

n.

23. 1)5015

251522

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 = 3, б) x0 = -5, в) x0 = ;

2)xx

x

x

62

4

4lim ; 3)

xtg

xtg

x 4

3

0lim

; 4)

3

63

13lim

n

n

n

n.

24. 1)532

8532

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 = 2, б) x0 = 1, в) x0 = ;

2)3

42

3lim

x

xx

x; 3)

xtg

x

x 2

4sin

0lim

; 4)

42

45

35lim

n

n

n

n.

25. 1)583

71362

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 = 2, б) x0 = -1, в) x0 = ;

2)6

93

6lim

x

xx

x; 3)

x

x

x 4

6arcsin

0lim

; 4)

15

34

14lim

n

n

n

n.

26. 1) 34

7432

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 =-2, б) x0 =-1, в) x0 = ;

26

2)3

51

3lim

x

xx

x; 3)

x

xarctg

x 3

7

0lim

; 4)

34

62

32lim

n

n

n

n.

27. 1) 232

2082

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 = 1, б) x0 = -2, в) x0 = ;

2)xx

x

x

182

8

8lim ;3)

x

x

x 5

3sin

0lim

; 4)

125

72

82lim

n

n

n

n.

28. 1) 2110

61042

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 = -2, б) x0 =3, в) x0 = ;

2)7

217

7lim

x

xx

x;3)

x

x

x 5sin

3sin

0lim

; 4)

83

102

42lim

n

n

n

n.

29. 1) 1514

172032

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 = 3, б) x0 = -1, в) x0 = ;

2)xx

x

x

816

4

4lim ;3)

x

x

x 8

7arcsin

0lim

; 4)

72

174

84lim

n

n

n

n.

30. 1) 15172

13142

2

lim0

xx

xx

xx при: а) x0 =-2, б) x0 =1, в) x0 = ;

2)3

915

3lim

x

xx

x; 3) xxtgctg

x

53

0lim

; 4)

73

12

72lim

n

n

n

n.


27

28

29

30

Розділ 4. Диференціальне числення функції однієї

змінної.


Тема: Обчислення похідних функцій. Застосування диферен-

ціалу до наближених обчислень.

Мета: закріпити теоретичні знання з теми «Похідна функції. Диференціал

функції», набути навички і вміння по обчисленню похідних заданих

функцій, користуючись таблицею похідних і правилами

диференціювання функцій; набути навички і вміння по наближеному

обчисленню значень виразів за допомогою диференціала функції і

формули наближених обчислень.


- Приріст аргументу, приріст функції, границя функції в точці.

- Основні теореми про границі.

- Поняття похідної функції, геометричний і механічний зміст похідної.

- Таблиця похідних.

- Основні правила диференціювання функції.

- Похідні вищих порядків.

- Поняття диференціалу функції. Знаходження диференціала функції

через похідну.

- Формула наближеного обчислення значення функції за допомогою

диференціала.


1. Знаходження похідної суми, добутку і частки функцій.

2. Знаходження похідної складеної і оберненої функцій. Обчислення

похідних функцій заданих неявно і параметрично.

3. Розв’язування вправ на обчислення диференціала функції.

31

4. Застосування диференціала до наближених обчислень.

5. Застосування похідної та диференціала до розв’язування задач з

економіки.


Похідна функція – це границя відношення приросту функції до приросту

аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

x

хfxхf

x

fхf

xx

)()(limlim)(' 00

000

Геометричний зміст похідної – похідна xf чисельно дорівнює

кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції xfy у точці

з абсцисою х.

kx

fхf

x

tglim)('

00

Механічний (фізичний) зміст похідної – Миттєвою швидкістю тіла, що

рухається вздовж лінії s=f(t), називається похідна функції s = f(t) за часом t:

Похідна другого порядку від функції xfy – похідна від похідної

першого порядку y . Позначається ,, xfy 2

2

dx

yd.

Похідна n-го порядку – похідна від похідної (n–1)-го порядку 1ny .

Позначається n

nnn

dx

ydxfy ,, .

Диференціал функції однієї змінної – це добуток xxf .

Застосування диференціалу до наближених обчислень –

xxfxfxxf .

Застосування похідної та диференціала до розв’язування задач з

економіки.

а) Задача про продуктивність праці.

Нехай функція и=и(t) виражає кількість виробленої продукції и за час t.

Тоді середня продуктивність праці в момент t0 визначається як границя

середньої продуктивності праці за час від t0 до t0+∆t при ∆t→0, тобто

tut

uWW

tcep

t

00limlim .

Похідна обсягу виробленої продукції щодо часу и'(t0) – це

продуктивність праці в момент часу t0.

б) Граничний ефект виробництва.

32

Граничні витрати. Витрати виробництва К будемо розглядати як

функцію випущеної продукції х. Нехай ∆х – приріст продукції, тоді ∆К –

приріст витрат виробництва і х

К

- середній приріст витрат виробництва на

одиницю продукції.

Похідна К'=х

К

x

0lim виражає граничні витрати виробництва і наближено

характеризує додаткові затрати на виробництво одиниці додаткової

продукції.

Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількості продукції,

що випускається) х і визначаються не постійними виробничими затратами,

а тільки змінними (на сировину, паливо і т.п.).

Граничний виторг. Нехай U(х) – виторг від продажу х одиниць товару.

Тоді границя

xUх

xU

x

0lim називається граничним виторгом. Аналогічно

визначаються граничний прибуток, граничний продукт, гранична корисність,

гранична ціна.

Якщо функція у=f(х) моделює деякий економічний процес, то похідна

xf

х

xf

x

0lim виступає як швидкість зміни цього процесу з часом або

стосовно іншого досліджуваного фактора, тобто характеризує його

граничний ефект.


Приклад 1. Знайти похідні суми, добутку і частки функцій:

а) xxxy ln3 32 , б) хxy 3 , в) х

xy

13 , г)

12

2

x

xxf


а) xxxy ln3 32

Дана функція є алгебраїчною сумою функцій, тому

xxxy ln3 3

1

2 .

xxx

xxxy

1

3

16

1

3

123

3 2

3

2

.

б) хxy 3

33

в) х

xy

13

Для знаходження похідної скористаємося формулою 2

///

v

uvvu

v

u

.

xx

x

x

xxxx

x

xxxxxy

2

1352

1)13(23

2

/)()13(/)13()(/

г) 12

2

x

xxf


1 23 ххху , 35

9

1

3

2xxy , ),4(2 хху

)123( 2 ххху


34

Приклад 3. Знайти похідні складених функцій:

а) 3 235 1126 xxxy ; б) 32sin xy , в) 5

2

5 1

35ln

x

xy ,

г)

1ln

2xxy , д) xxtgy cosln

2

1 2


а) 3 235 1126 xxxy

Диференціюємо функцію за формулою unuu nn 1

1363011263

213630

11263

211261126

3

2

11261126

24

3 35

24

3

135351

3

235

3

2353 235

xxxxx

xx

xxxxxxxxx

xxxxxxy

б) 32sin xy

в) 5

2

5 1

35ln

x

xy

1

2

35

2

1

5

35

5

5

21ln35ln

5

2

1

35ln

1

35ln

5

4

5

45

5

2

55

2

5

x

x

x

x

x

xxx

x

x

x

xy

г) 1ln 2 xxy .

35

д) xxtgy cosln2

1 2

Приклад 4 . xtgxy sin .


Маємо:

xx

xtgy

yxxtgy cos

sin

1,sinlnln x

xx

xsinln

cos

11sinln

cos

122

,

x

xxx

xyy

xtgsinln

cos

11sinsinln

cos

11

22.

Приклад 5. Знайти похідну xy з рівняння 0ln 23 yexyx .


Продиференціювавши за х обидві частини рівняння, дістанемо

023 22

yy xeyexy

yx .

Звідки

y

y

yex

yxxyey

2

2

1

32

.

Приклад 6. Обчислити похідну для функції yx arcsin .


Задана функція обернена до функції xy sin .

Згідно з теоремою про похідну оберненої функції можна записати

Якщо в останньому виразі замість у записати х, то дістанемо

36

21

1arcsin

xx

.

Приклад 7 . Знайти диференціал dy функції 2xy :

1) при довільних значеннях х та x ;

2) при х = 20, x = 0,1.


1) xxxxdy

22 ;

2) якщо х = 20, x = 0,1, то 41,0202 dy .

Приклад 8. Знайти диференціал dy функції 132 xtgxy .


Приклад 9. Знайти диференціали першого порядку таких функцій:

2

23435

1,

12

1,arcsin,4sinln,2,1

х

ху

xyxухухуху


37

Приклад 10. Знайти диференціали другого порядку для функцій

xyxxу cosln,10342


Приклад 11. Обчислити наближено 27 .


Перетворимо вираз, що стоїть під знаком радикала:

25

212522527 , звідки

25

215

25

212527

.

38

При обчисленні 25

21 введемо функцію xxf , тоді

xxf

2

1 .

Формула xxfxfxxf у нашому випадку запишеться так:

xx

xxx 2

1, де

25

2,1 xx .

Інакше 04,125

11

25

2

12

11

25

21 .

Дістанемо 2,504,1527 .

Приклад 12. Обчислити наближено значення 51,0sinarc .


Розглянемо функцію xy arcsin . Візьмемо х=0,5, x =0,01 та, застосовуючи

формулу xxxxx

arcsinarcsin)(arcsin , одержимо

513,0011,0

601,0

5,01

15,0arcsin51,0arcsin

2

.

Приклад 13. Обчислити наближено за допомогою диференціала:

07,1arctg , 101030 ,


39

Приклад 14. Функцію y від x задано параметричними рівняннями:

t

tay

tax0

sin

cos.

Знайти похідну dx

dy: а) при будь-якому t ; б) при

4

t .


а)

tctg

ta

ta

ta

tay x

sin

cos

cos

sin; б) 1

4

4ctgy

tx

.

Приклад 15. Обсяг продукції и (ум. од.) цеху протягом робочого дня є

функцією и= –t3–5t

2+75t+425, де t – час (год.). Знайти продуктивність праці

через 2 год. від початку роботи.

Розв'язання.

Продуктивність праці визначається похідною и'(t). Тоді

и'(t)=(–t3–5t

2+75t+425)'= –3t

2–10t+75.

Знаходимо: продуктивність праці у момент часу t=2, тоді

и'(t)=–3∙22–10∙2+75=–36–20+75=19(од.)

Відповідь. Продуктивність праці через 2 год. від початку роботи становить

19 одиниць.

Приклад 16. На основі статистичних досліджень фірма встановила

функцію прибутку від ціни р за одиницю продукції: f(р)=–50р2+500р.

Визначити граничний прибуток фірми залежно від ціни р, розрахувати його

при р =2: р=5; р=10 (тис. грн.).


40

Граничний прибуток визначається похідною f'(р). Тоді

f'(р)=(–50р2+500р)'= –100р+500,

обчислюємо

f '(2)=–100∙2+500=300 (тис. грн.),

f '(5)=–100∙5+500=0,

f '(10)=–100∙10+500=–500 (тис. грн.).

Висновок. 1) При збільшенні ціни одиниці продукції до 5 тис.грн.

прибуток зростатиме і буде найбільшим при р=5 тис.грн.; f(5)=1250 тис. грн.

2) Якщо ціна одиниці продукції, починаючи з 5 тис.грн.,

збільшуватиметься, то прибуток фірми зменшуватиметься. Так, при р=8 тис.

грн. прибуток фірми дорівнюватиме f(8)=–50∙82+500∙8=800 (тис.грн.). У

цьому випадку фірма зазнає порівняно з оптимальним варіантом збитків на

1250–800=450 (тис. грн.)


Приклад 1. Знайдіть похідні заданих функцій (№ варіанту –порядковий

номер по журналу):

1. а)xxexy sin2 б)

12

31 2

x

xy в)

5

4

4 25

3

xe

xxy

2. 822

2sin)14

1)3ln)

xyв

x

xyбexxya x

3. xyвx

xyбxxtgxya ln1sin)

25

81)cos2)

2

4. xx eyвx

xyбexxya 2sin

337 )

1

71))

5. 3

5

3ln1)43

41))1(sin2) xyв

x

xyбxxarctgxya

6. x

yвx

xxyбexxya x

2sin2

1)

24

58))1(arcsin3)

45

7. xyвx

xxyбarctgxxxya sin1ln)

23

4)3ln)

543

8. 85

102 sin)23

1))1ln(371) xyв

x

xyбxxxya

9. 5

22

2)4()

16

62)cos)5(

4) xtgyв

x

xxyбxx

xya

10. xyвx

xxyб

xxxya

1sin)

4

3)

5

ln23) 6

3

11. xyвx

xxyб

xxxxya

1cos)

5

4)

3

ln4sin3) 5

2

41

12. 11ln)2

63)arccos5sin) 2

4

3

xeyв

x

xyбxxxya

13. 5

6

4

26ln1)

1

35)arcsin

4) xyв

x

xyбxx

xya

14. 12)18

47)ln7

1) 2

2

6

xtgyв

x

xyбxx

xya

15. xyвx

xyбxe

xya x 21sin)

52

42)5

4

73) 2

32

16. 1arcsin)13

61)

4

sin2) 2

2

43

xyв

x

xyб

xxxya

17. 32ln

1)

1

93)cos

1

5

1)

2

23

xyв

x

xyбxx

xxya

18. )4(sin

10)

3

41)32)

23

423

xyв

x

xyбexxya x

19. xx eyвx

xyбxexxya sin2

34 4)

52

43)5cos)

20. 4

6

22)

38

71)

4

14sin3) xtgyв

x

xyбxe

xxya x

21. xyвx

xyб

xxxya 4ln1)

3

64)7

1arccos)

35

22. 32sin

1)

4

63)cos2

3

1

7

1)

2

24

xyв

x

xyбx

xxya x

23. )4(cos

5)

2

41)32)

22

334

xyв

x

xyбexxxya x

24. xx eyвx

xyбxexxya cos2

33 4)

53

45)7cos)

25. 21ln)2

41)arcsincos5) 3

3

3

xeyв

x

xyбxxxxya

26. 46

52

39ln1)

1

34)arcsin

4)

xyв

x

xyбxx

xya

27. 12)49

35)ln7

15) 2

22

5

xctgyв

x

xyбxx

xya

28. xtgyвx

xyбex

xxya x 31)

82

41)6

3

72) 2

32

3

29. x

yвx

xxyбexxya x

2cos4

1)

26

34))12(arccos3)

43

30. tgxyвx

xxyбarcctgxxxya

1ln)

25

2)4ln) 2

534


42

Приклад 2. Розв’яжіть приклади згідно свого варіанту (№ варіанту –

остання цифра порядкового номера по журналу):

1. Обчисліть наближене значення n а , замінивши в точці х=х0 приріст

функції n xy диференціалом.

1) n=3, a=502, x0=512 6) n=3, a=349, x0=343

2) n=4, a=267, x0=256 7) n=4, a=605, x0=625

3) n=5, a=234, x0=243 8) n=5, a=255, x0=243

4) n=6, a=685, x0=729 9) n=6, a=773, x0=729

43

5) n=7, a=142, x0=128 10) n=7, a=156, x0=128

2. Обчисліть наближено (Для логарифма 0043.0100

4343,0'lg

x

Mx )

1) 93,0arctg , 61sin , 101lg 6) 745,0arccos , 32cos , 1003lg

2) 707,0arcsin , 46cos , 102lg 7) 12,1arcctg , 47sin , 98lg

3) 45,0arccos , 61ctg , 99lg 8) 63,0arccos , 46ctg , 1011lg

4) 06,1arcctg , 63tg , 1001lg 9) 47,0arcsin , 28tg , 999lg

5) 89,0arctg , 29cos , 12lg 10) 96,0arcctg , 31sin , 105lg


44


Тема: Екстремум функції. Опуклість графіка функції. Точки

перегину.

45

Мета: закріпити теоретичні знання з теми «Дослідження функції на

екстремум», набути навички і вміння знаходити інтервали

монотонності, екстремуми функції, проміжки опуклості графіка

функції, точки перегину.


- Поняття зростаючої, спадної функції.

- Дослідження функції на зростання (спадання).

- Екстремум функції. Дослідження функції на екстремум.

- Опуклість і вгнутість функції. Точки перегину. Дослідження функції на

опуклість, вгнутість.

- Найбільше й найменше значення функції на відрізку.


1. Розв’язування вправ на знаходження інтервалів монотонності і

екстремумів функції.

2. Застосування похідної до дослідження функції на опуклість (вгнутість)

графіка функції.

3. Розв’язування задач на найбільше найменше значення функції на

відрізку.




x

хfxхf

x

fхf

xx

)()(limlim)(' 00

000

Екстремуми функції – а) При значенні х1 аргументу х функція f (x) має

максимум f (x1), якщо в деякому околі точки х1 виконується нерівність

11 xxxfxf . б) При значенні х2 аргументу х функція f (x) має мінімум f

(x2), якщо в деякому околі точки х2 виконується нерівність 22 xxxfxf .

Максимум або мінімум функції називається екстремумом функції.

46

Опуклість та вгнутість кривої – крива на проміжку називається

опуклою (угнутою), якщо всі точки кривої лежать нижче (вище) від будь-якої

її дотичної на цьому проміжку.

Точка перегину – точка, яка відокремлює опуклу частину кривої від

вгнутої.

Асимптота кривої – пряма , якщо відстань від змінної точки М кривої до

цієї прямої при віддаленні точки М у нескінченність прямує до нуля.

Еластичність функції yEx –границя відношення відносного приросту

функції у до відносного приросту змінної х при 0x .


Приклад 1. Знайти проміжки зростання та спадання функції 28 xxy .


Область визначення функції – уся числова вісь x .

Знайдемо похідну xy 28 . Функція диференційована на проміжку

x .

Для визначення проміжку зростання функції розв’яжемо нерівність

,028 x 4x , тобто функція зростає на проміжку 4 x .

При визначенні проміжку спадання функції маємо 8 – 2х < 0, тобто

x4 .

Приклад 2. Знайти інтервали зростання та спадання функції

xxy 1 .


Приклад 3. Дослідити на максимум і мінімум функцію 1323

23

xxx

y .


1. Знаходимо першу похідну 342 xxy .

47

2. Знаходимо дійсні корені рівняння 00342 xfxx . Звідки

3,1 21 xx .

Похідна скрізь неперервна. Значить, інших критичних точок для заданої

функції не існує.

3. Досліджуємо критичні значення. Для цього область визначення функції

, здобутими критичними точками розбиваємо на три інтервали

1, , (1, 3), ( ,3 ).

Виберемо в кожному інтервалі по одній точці і обчислимо значення

похідної в цих точках:

030,1,0 yx ;

0132422,3,12 2 yx ;

01134444,,34 2 yx .

Знак похідної на кожному з трьох інтервалів збігається зі знаком похідної

в обраній точці відповідного інтервалу (табл. 1).

Таблиця.1

х (– , 1) 1 (1, 3) 3 (3, + )

y + 0 – 0 +

у 3

71max y 13min y

З таблиці видно: при переході (зліва направо) через значення

х = 1 похідна змінює знак з «+» на «–». Звідси, при х = 1 функція має

максимум:

3

711312

3

11 2

3

max y .

При переході через значення х = 3 похідна змінює знак з «–» на «+».

Звідси, при х = 3 функція має мінімум:

1133323

33 2

3

min у .

Відповідь: 3

71max y , 13min у .

Приклад 4 . Дослідити на екстремум функцію 21 xxy .


48

Приклад 5. Знайти інтервали опуклості та вгнутості графіка функції 2xey .


Маємо 22

2

14,2 2 xx exyxey

.

Друга похідна y перетворюється в нуль, коли

49

02

12 x , звідки 2

1,

2

121 xx .

При переході через точки х1 і х2 друга похідна змінює знак. Таким чином,

точки

eM

1,

2

11 і

eM

1,

2

12 є точками перегину графіка функції.

Результати дослідження заносимо в табл. 2.

Таблиця 2

х

2

1,

2

1

2

1,

2

1 2

1

,

2

1

y + 0 – 0 +

у Перегин Перегин

Із цієї таблиці бачимо, що графік функції на інтервалах

2

1, і

,

2

1 вгнутий, а на інтервалі

2

1,

2

1 – опуклий.

Приклад 6. Знайти інтервали опуклості та вгнутості графіка функції

1564 234 хxxxy .


50

Приклад 7. Визначити на проміжку

2

3,3 найбільше й найменше

значення функції 333 xxy .


1. Знаходимо максимуми й мінімуми функції на проміжку

2

3,3 :

1,1,033,33 21

22 xxxxy ;

061,6 yxy .

Таким чином, у точці х = 1 маємо мінімум: 11min y .

Далі, 061 y , тобто в точці х = = –1 маємо максимум: 51max y .

2. Визначаємо значення функції на кінцях проміжку:

153,8

15

2

3

yy .

3. Таким чином, найбільше значення заданої функції на проміжку

2

3,3

є: 5)1(max yyнайб , а найменше – 153 yyнайм .

Приклад 8. Знайти найбільше та найменше значення функції 23 xxxf

на сегменті 3,2 .


51

Приклад 9. Визначити асимптоти кривої x

xxy

122 .


1. Оскільки

xx

x

xxy

xxx

12lim

12limlim

0

2

00,

то пряма х = 0 (вісь Ох) є вертикальною асимптотою.

2. Нехай похила асимптота має рівняння bkxy , тоді

.21

2limlim

;112

1limlim2

xxyb

xxx

yk

xx

xx

Отже, пряма 2 xy — похила асимптота для графіка функції

Приклад 10. Знайти асимптоти кривої 2

3

x

xy .


52

Самостійне розв’язування вправ.

І варіант ІІ варіант

Дослідити задані функції на зростання (спадання) та екстремуми. Знайти

проміжки опуклості (вгнутості) графіка функції і точки перегину.

45 24 xxy 5,12205,8 23 xxxy


53


54

Завдання 1. Знайти найменше та найбільше значення функції )(xfy на

відрізку ];[ ba (№ варіанту – порядковий номер по журналу):

1. ].3;0[),22ln( 2 xxy 2. ].5;0[),1/(3 2 xxy

3. ].0;2/1[,)1/()12( 2 xxy 4. ].2;2[,)2( 1 xexy

5. ].2/3;1[),42ln( 2 xxy 6. ].1;1[),1/( 23 xxxy

7. ].2;1[,)/)1(( 3xxy 8. ].1;0[,3xxy

9. ].1;0[,4 xey 10. ].2;1[,/)4( 23 xxy

11. ].0;2[, xxey 12. ].1;2[,)2( xexy

13. ].3;0[,)1( xexy 14. ].2;2[),9/( 2 xxy

15. ].;/1[,/)ln1( eexxy 16. ].3;1[,24 xxey

17. ].1;3[,/)8( 45 xxy 18. ].2;1[,12

x

x

e

ey

19. ].1;/1[,ln 2exxy 20. ].0;4[,13 xexy

21. ].3;1[),1/()22( 2 xxxy 22. ].3;5/4[,)1( 3 2 xxy

23. ].3;3[,26 xxey 24. ].4;1[,/)(ln xxy

25. ].1;3[,2163 34 xxy 26. ].2;1[,155 45 xxxy

27. ].5;0[,)3( xexy 28. ].2/;0[,cos2/3 xy

29. ].4;1[,108 4 xxy 30. ].20;16[,764/ 32 xxy


55

56

Завдання 2. Знайти екстремуми функцій, точки перегину та

інтервали опуклості і вгнутості графіків функцій (№ варіанту – остання

цифра порядкового номера по журналу).

1. а) 3649143

1 23 xxxy , б) 1

12

x

y

2. а) 1191432520

1 23 xxxy , б) 1

12

x

y

3. а) 5,12205,8 23 xxxy , б) 42

x

xy

4. а) 5469163

1 23 xxxy , б) x

xy

42

5. а) 1872152920

1 23 xxxy , б) 127

12

xx

y

6. а) 5,17265,9 23 xxxy , б) xxy

7. а) 14583

1 23 xxxy , б) 3 xxy

8. а) 75551920

1 23 xxxy , б) 1ln 2 xy

9. а) 5,125,2 23 xxxy , б) 12

3

x

xy

10. а) 2833183

1 23 xxxy , б) 2

36

x

xy


57

58

59


Тема: Розв’язання задач економіки за допомогою екстремумів.

Мета: закріпити теоретичні знання з теми «Дослідження функції на

екстремум», набути навички і вміння розв’язувати економічні задачі за

допомогою екстремумів і диференціального числення.


- Поняття зростаючої, спадної функції.


- Екстремум функції. Дослідження функції на екстремум.

- Опуклість і вгнутість функції. Точки перегину. Дослідження функції на

опуклість, вгнутість.

- Найбільше й найменше значення функції на відрізку.

- Функції, що використовуються в економіці.


1. Розв’язування прикладних задач на застосування похідної та відносної

похідної (еластичності).

2. Дослідження динаміки функцій в економічних процесах.




x

хfxхf

x

fхf

xx

)()(limlim)(' 00

000






60





вгнутої.



Граничні витрати виробництва виражаються похідною К'=х

К

x

0lim , яка

наближено характеризує додаткові затрати на виробництво одиниці

додаткової продукції. Граничні витрати залежать від рівня виробництва

(кількості продукції, що випускається) х і визначаються не постійними

виробничими затратами, а тільки змінними (на сировину, паливо і т.п.).

Еластичність функції yEx –границя відношення відносного приросту

функції у до відносного приросту змінної х при 0x .

))(( xfEx

)(

lim)(

)(

lim00 xf

x

x

хf

x

x

xf

xf

xx

x

xf

xf

x

x

)(lim

)( 0.)(

)(xf

xf

x

Еластичність функції показує наближено, на скільки відсотків зміниться

функція у = f(x) при зміні незалежної змінної х на 1%:

x

xxfE

х

fx

))(( .

1) Якщо 1))(( xfEx , то функція називається нееластичною (відносний її

приріст спадає) tgtg1)(xfEx (рис. 1).

2) Якщо 1))(( xfEx , то функція називається еластичною (відносний

приріст її зростає) 1))(( xfEx tgtg (рис. 2).

Геометрична ілюстрація

х

у

х

у

О х

f(x)

f(x)

х

Рис. 1 Рис. 2

.tg

tg

)(

)(

)(

)())((

x

xf

xf

xf

xfxxfEx

61


При розв’язування практичних економічних задач особлива увага

приділяється вмінню інтерпретувати знайдені результати.

У задачах фінансового змісту функція, яка моделює деяку фінансову

залежність (сумарні витрати, загальна вартість виробленого продукту,

попит на товар, сумарний виторг тощо), задана. Потрібно дослідити її на

максимум (мінімум) й інтерпретувати результати.

Приклад 1. Загальна вартість вироблених q одиниць деякого продукту

визначається функцією С=100000+1500q+0,2q2 (грн.). Скільки одиниць

продукції потрібно виробити, щоб мінімізувати середню вартість одиниці

продукції?


Середня вартість одиниці продукції визначається діленням загальної

вартості на кількість вироблених одиниць. Наприклад, якщо загальна

вартість десяти одиниць продукції дорівнює 275 грн., то середня вартість

одиниці продукції становить 275:10=27,5 (грн.).

Записавши функцію (математичну модель), яка визначає середню

вартість одиниці продукції:

qqq

Cqf 2,015000

100000 , досліджуємо її.

Дослідження моделі, 2,0100000 2 qqf .

Якщо 0 qf , то 2,0100000 2 q або 50000020

1000002 б

q .

Звідси 11,707q (од.).

Перевіряємо критичну точку за допомогою другої похідної:

000056,011,70720000011,707;200000 33 fqqf

Таким чином, мінімум досягається при 11,707q .

Інтерпретація. Виходячи з економічного змісту задачі, одержаний

результат можна заокруглити до цілих одиниць, 707q од. Мінімальна

середня вартість одиниці продукції дорівнює:

f(707)=100000:707+1500+0,2∙707=1782 (грн.).

Економічні задачі на дослідження функціональних залежностей між

величинами мають специфічні особливості. При розв'язуванні таких задач

використовується поняття еластичності функції (відносної похідної

функції).

В економіці розглядають кілька видів еластичності.

62

1. Еластичність попиту щодо ціни:

q

p

dp

dq

p

dp

q

dqqEp ,

Еластичність попиту щодо ціни наближено визначає, як зміниться попит

на даний товар, якщо його ціна зросте на 1% і характеризує чутливість

споживачів до зміни цін на продукцію.

У більшості випадків функція попиту є спадною, оскільки з підвищенням

ціни на товар попит на нього знижується. У таких випадках

0dp

dq

Щоб виключити від'ємні числа при визначенні еластичності попиту,

приймається, що

qq

p

dp

dq

q

pqEp

Якщо цінова еластичність попиту за абсолютною величиною більша за

одиницю, то попит називають еластичним (цілком еластичним у разі

нескінченно великої еластичності попиту).

Якщо цінова еластичність попиту за абсолютною величиною менша від

одиниці, то попит називають нееластичним (цілком нееластичним у разі

нульової еластичності попиту). Схему, що ілюструє зазначену

закономірність, зображено на рис. 3.

Ep(q)

– О

Еластичнийпопит

Нееластичнийпопит

– 1

Рис. 3

І, нарешті, якщо цінова еластичність попиту за абсолютною величиною

дорівнює одиниці, то говорять про попит з одиничною еластичністю.

Приклад 2. Якщо функція попиту q=10-р, то еластичність попиту за

формулою qq

p

dp

dq

q

pqEp

дорівнює:

p

p

p

p

dp

dq

q

pqEp

101

10

Тоді, при р = 2, 4

1

8

22 qE .

Це означає, що при ціні р = 2 підвищення її на 1% знизить попит на 4

1%.

2. Еластичність попиту за доходом:

63

q

I

dI

dq

I

dI

q

dqqЕ

i / ,

що виражає відносну зміну (у відсотках) розміру попиту на будь-яке

благо в разі зміни доходу споживачів цього блага на 1%. Додатна

еластичність попиту за доходом характеризує нормальні (якісні) товари, а

від’ємна – малоцінні (низькоякісні) товари.

Наприклад, високий додатний коефіцієнт попиту за доходом у галузі

означає, що її внесок у економічне зростання більший, ніж частка у структурі

економіки, і вона має шанси на розширення й розвиток у майбутньому.

Навпаки, якщо коефіцієнт еластичності попиту на продукцію галузі за

доходом має невелике додатне чи від’ємне значення, то на неї очікує застій і

перспектива скорочення виробництва.

3. Перехресна еластичність попиту за ціною:

j

i

j

i

j

j

i

ijj q

p

dp

dq

p

dp

q

dqqEp / ,

що характеризує відносну зміну (у відсотках) розміру попиту на одне

благо в разі зміни ціни на інше благо (яке заміщує або доповнює його у

споживанні) на 1%. Додатна перехресна еластичність попиту за ціною

свідчить про заміщуваність благ, а від’ємна – про доповнюваність.

Приклад 3. Залежність між собівартістю одиниці продукції у (тис.грн.) і

випуском продукції х (млрд. грн.) виражається функцією у=–0,5х+80. Знайти

еластичність собівартості при випуску продукції 60 млрд грн.


За формулою )(уEx )()(

xfxf

x знаходимо:

160805,0

5,0)(

х

х

х

хуEx

При х=60 6,0)(60 уEx , тобто при випуску продукції 60 млрд грн.

збільшення його на 1% призведе до зниження собівартості на 0,6%.

Приклад 4. Обсяг продукції и (ум.од.) цеху упродовж робочого дня

визначається функцією: 320805 23 tttu , де t – час (год.).

Знайти продуктивність праці через дві години від початку роботи.


64

Приклад 5. Залежність між витратами виробництва у (ум.од.) та обсягом

випущеної продукції х (од.) виражається функцією 304,010 xxy . Визначити

середні і граничні витрати при обсязі продукції, що дорівнює 5 одиниць.


65

Приклад 6. Функція попиту DQ і пропозиції SQ від ціни р виражаються,

відповідно, рівняннями: 1,7 pQpQ SD .

Знайти: 1) рівноважну ціну; 2) еластичність попиту і пропозиції для цієї

ціни; 3) зміну доходу (у процентах) при збільшенні ціни на 5% від

рівноважної.


66

67

Дослідження динаміки функцій в економічних процесах.

В економіці розглядають такі функціональні залежності:

—між попитом DQ на даний товар і його ціною р : DQ = f ( р ) ;

—між попитом DQ на даний товар і доходом r від його реалізації (при

умові, що фактори, від яких залежить попит на товар, не змінюються):

DQ=f ( r ) ;

—між пропозицією SQ на деякий товар і його ціною р: SQ =f ( р ) ;

—між витратами виробництва К та обсягом продукції Q:К=f ( Q ) ; ,

—між виторгом V від продажу товару і попитом q: V=f ( q) ;

— між фінансовими нагромадженнями підприємства А та обсягом

випуску продукції Q: А= f ( Q ) .

Особливістю пропонованої системи задач є те, що в них, як правило,

задана функціональна залежність між величинами в економічних,

фінансових ситуаціях. Вимагається дослідити цю залежність при виконанні

певних вимог.

Розглянемо задачі двох видів:

1) на дослідження зміни функціональної залежності (зростає або спадає)

при виконанні певних вимог;

2) на дослідження динаміки зміни цієї залежності (зростає або спадає

повільніше чи швидше).

Приклад 7. Підприємство виробляє за місяць х одиниць продукції.

Залежність фінансових нагромаджень підприємства від обсягу випуску

продукції виражається формулою А(х)=–0,01х3+300х–500. При яких

значеннях х одиниць продукції фінансові нагромадження підприємства

зменшуються?


А'(х)=–0,03х2+300. Якшо А'(х)<0, то –0,03х

2+300<0, 3х

2–30000>0, або

х2–10000>0. Нерівність справедлива при х<–100 і х>100.

Інтерпретація. Якщо випуск продукції перевищує 100 одиниць, фінансові

нагромадження підприємства зменшуються.

Приклад 8. На підприємстві змінні витрати місячного обсягу (х тонн)

випуску продукції визначаються функцією: 300802

9

10

1 23 хххК . Як

змінюються витрати залежно від випуску продукції щомісяця?

Розв'язання

68


Завдання. Функція попиту DQ і пропозиції SQ від ціни р виражаються,

відповідно, рівняннями: 43,310 pQpQ SD .

Знайти: 1) рівноважну ціну; 2) еластичність попиту і пропозиції для цієї

ціни; 3) зміну доходу (у процентах) при збільшенні ціни на 5% від

рівноважної.


69

70


Тема: Дослідження функцій та побудова графіків.

Мета: узагальнити та систематизувати теоретичні знання з теми «Похідна

функції та її застосування», набути навички і вміння проводити повне

дослідження функції за допомогою похідної та навчитися будувати

графіки функцій.


- Область визначення функції.

- Парні (непарні) функції.

- Періодичні функції.

- Нулі функції.


- Екстремум функції. Необхідна і достатні умови дослідження функції на

екстремум.

- Опуклість (вгнутість) функції на інтервалі. Точки перегину.

- Види асимптот графіка функції, їх знаходження.


1. Дослідження функції за допомогою похідної

2. Побудова графіків функцій за проведеним дослідженням


Функція – це така відповідність між множинами D та E, при якій кожному

значенню змінної Dx відповідає одне й тільки одне значення Ey .

Область визначення функції – це множина всіх значень аргументу, для

яких можна обчислити значення функції.




71







вгнутої.



Загальна схема дослідження функції за допомогою похідної.

1. Знайти область визначення функції.

2. З’ясувати , чи є функція парною, непарною, періодичною.

3. Знайти нулі функції, т/б точки перетину графіка функції з осями

координат, (якщо це не важко).

4. Дослідити функцію на неперервність, знайти точки розриву функції,

якщо вони існують, і знайти односторонні границі в точках розриву.

5. Знайти проміжки монотонності функції.

6. Знайти екстремуми функції.

7. Знайти проміжки опуклості графіка функції і точки перегину.

8. Знайти асимптоти графіка функції, якщо вони існують.

9. Побудувати графік, використовуючи знайдені результати

дослідження.


Приклад 1. Дослідити функцію 2

1

12

x

xy і побудувати її графік.


1. Знаходимо область визначення функції. Функція існує при всіх

значеннях х за винятком значення х = 1. Звідси її область визначення

xx 1;1 .

2. Дослідимо функцію на парність та непарність. Підставивши замість

значень х значення (-х), отримаємо:

21

12

x

xxy =

xyxy

x

x

21

12

Отже, функція ні парна, ні непарна. Дана функція не є періодичною.

72

3. Знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат:

з віссю Ох: у = 0,

0;

2

1,

2

1,012,0

1

122

xxx

x;

з віссю Оу: х = 0, 1;0,11

1

y .

4. Точка х = 1 є точкою розриву функції. Дослідимо її характер:

2

01

20101 1lim

1

1

12limlim

xx

xy

x

xx.

Як ліворуч, так і праворуч точки х = 1 маємо нескінченний розрив.

Точка х = 1 – точка розриву другого роду.

5-6. Знаходимо точки екстремуму та інтервали зростання і спадання

функції, результати заносимо у табл. 1:

0;

1

2

1

12121234

2

yx

x

x

xxxy

002 xx – критична точка.

При yx 1 не існує, але у цій точці сама функція теж не існує. Дослідимо

критичну точку х = 0 на екстремум:

при

04

1

8

21 yx ;

при

08

8/1

1

2

1yx .

Таблиця 1

х 0, 0 (0, 1) 1 ,1

y – 0 + Не існує –

у ymin (–1) Не існує

Проходячи через критичну точку зліва направо, похідна змінює знак з

«–» на «+», через це в точці х = 0 функція має мінімум:

11

1min

y .

У точці х = 1 функція не визначена. При x1 0 xy , отже, функція

на цьому інтервалі спадає.

7. Точки перегину та інтервали опуклості й вгнутості графіка функції

знаходимо за допомогою другої похідної:

73

0;

1

122

1

161246

23

yx

x

x

xxxy

2

10122 xx ;

при х = 1 y не існує, але в цій точці не існує і сама функція.

Дослідимо точку 2

1x :

при

0

8

1

2

1221

4yx ;

при 021

20 yx .

Друга похідна, проходячи через 2

1x , змінює знак, отже, точка перетину

кривої з цією абсцисою є точкою перегину.

Знайдемо її ординату:

9,09

8

12

1

12

12

2

y .

Таким чином, точка

9

8;

2

1 – точка перегину.

У точці х = 1 функція не визначена. При 01 yx , значить, графік

функції вгнутий.

Результати дослідження заносимо у табл. 2.

Таблиця 2

х

2

1,

2

1

1,

2

1 1 ,1

y + 0 + Не існує +

у Перегин

(– 8/9) Не існує

8. Вертикальні асимптоти. Пряма х = 1 є вертикальною асимптотою.

Рівняння похилої асимптоти знаходимо у вигляді bkxy :

;0

1

12limlim

2

xx

x

x

xfk

xx

.01

12limlim

2

x

xkxxfb

xx

74

Таким чином, похилою асимптотою є у = 0 (вісь Ох).

На підставі результатів дослідження будуємо графік функції. Для точнішої

побудови візьмемо додатково точки на рис. 1:

(–5; – 0,3),

3,

3

2, (2; 3), (3; 1,3).

y

x1

– 1– 3– 4 – 2

1

– 1

– 2

2

2

3

3 4

2

1

2

1

• •O

Рис. 1

Приклад 2. Дослідити засобами диференціального числення функцію

xfy і побудувати її графік.

4

24

2

2

x

xy


1. Дана функція є дробово-раціональною. Вона визначена на всій

множині дійсних чисел, оскільки знаменник в нуль не обертається, тобто

.;yD

2. Дослідимо функцію на парність та непарність. Підставивши замість

значень х значення (-х), отримаємо:

Дана функція не є періодичною.

3. Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат.

4

24

2

2

x

xy .

75

Знайдемо точки перетину графіка функції з віссю абсцис.

Отже графік функції перетинає вісь Ох в точці А(-2;0).

Знайдемо точки перетину графіка функції з віссю ординат.

Отже, графік функції перетинає вісь Оу в точці В(0;-4).

4. В області визначення дана функція є неперервною, тобто дана функція

неперервна на всій числовій прямій.

5-6. Дослідимо функцію на монотонність. Інтервали монотонності

відокремлюються точками екстремуму та точками розриву функції.

Знаходимо похідну заданої функції:

Знаходимо критичні точки функції:

Отримані дві критичні точки функції

розбивають область визначення функції на

проміжки. З’ясуємо знак похідної на кожному

проміжку: похідна додатня на інтервалах (-∞;-2),

(2;+∞), і від’ємна на інтервалі (-2;2).

Отже, функція зростає на інтервалах (-∞;-2), (;+∞) і спадає на інтервалі

(-2;2).

76

Знайдемо екстремуми функції. Оскільки при переході через критичну

точку х=2, похідна функції змінює знак з мінуса на плюс, то точка х=2 є

точкою мінімуму функції. Знайдемо мінімум функції:

8

8

164

4)2(

224)2(

2

2

min

fy .

Оскільки, при переході через критичну точку х=-2, похідна функції

змінює знак з плюса на мінус, то точка х=-2 є точкою максимуму функції.

Знайдемо максимум функції:

7. Знаходимо інтервали опуклості та вгнутості кривої, що є графіком даної

функції. Ці інтервали відокремлюються точками, в яких друга похідна

дорівнює нулю, і точками розриву функції. Знайдемо похідну другого

порядку і стаціонарні точки. Маємо:

Маємо три стаціонарні точки функції, отже, отримаємо чотири інтервали

на яких з’ясуємо знак другої похідної і відповідно інтервали опуклості та

вгнутості функції. Дістанемо:

Функція вгнута на інтервалах 32;032; , оскільки на цих

інтервалах 0'' у .

77

Функція опукла на інтервалах

;320;32 , так як 0'' у .

Точки 32,32,0 321 xxx є точками

перегину графіка функції.

8. Знаходимо асимптоти кривої. Вертикальних асимптот функція не має.

Шукатимемо похилі та горизонтальні асимптоти у вигляді

kxxfb

x

xfbkxy

xx

)(lim,limkде, .

Маємо:

4

)2(4limk

2

2

xx

x

x

Оскільки знайдена границя дорівнює нескінченності, то задана крива не

має похилої та горизонтальної асимптоти.

9. Будуємо графік даної функції, використовуючи результати

дослідження (рис. 2).

Рис. .2 Графік досліджуваної функції

4

24

2

2

x

xy

Приклад 3. Дослідити функцію xfy і побудувати її графік 3

2

х

ху .


78

79

80

81


Завдання. Дослідити функцію засобами диференціального числення і

побудувати її графік (№ варіанту –порядковий номер по журналу).

1. 3649143

1 23 xxxy , 21

8)(

xxf

.

2. 162073

1 23 xxxy , 16

7)(

2

x

xxf .

3. 1136

1 23 xxxy , 4

6)(

2

x

xxf .

4. 76 23 xxy , 9

3)(

2

x

xxf .

5. 13152 23 xxy , 4

)2(4)(

2

2

x

xxf .

6. 89 23 xxy , 3

2)(

2

xxf .

7. 11123 xxy , 3

5)(

2

2

x

xxf .

8. 433

1 23 xxy , 9

)3(7)(

2

2

x

xxf .

9. 1343 23 xxxy , 5

5)(

2

2

x

xxf .

10. 3452 23 xxxy , 1

1)(

2

2

x

xxf .

11. 233

1 23 xxy , 21

2)(

xxf

.

12. 2833183

1 23 xxxy , 16

4)(

2

x

xxf .

13. 5,125,2 23 xxxy , 4

2)(

2

x

xxf .

14. 75551920

1 23 xxxy , 9

9)(

2

x

xxf .

15. 14583

1 23 xxxy , 4

)2()(

2

2

x

xxf .

16. 5,17265,9 23 xxxy , 3

6)(

2

xxf .

82

17. 1872152920

1 23 xxxy , 3

3)(

2

2

x

xxf .

18. 5469163

1 23 xxxy , 9

)3()(

2

2

x

xxf .

19. 5,12205,8 23 xxxy , 5

)(2

2

x

xxf .

20. 1191432520

1 23 xxxy , 1

1)(

2

2

x

xxf .

21. 14583

1 23 xxxy , 4

)2()(

2

2

x

xxf .

22. 17169 23 xxxy , 6

6)(

2

xxf .

23. 3025205

1 23 xxxy , 4

4)(

2

2

x

xxf .

24. 316102

1 23 xxxy , 4

)2()(

2

2

x

xxf .

25. 12168 23 xxxy , 8

)(2

2

x

xxf .

26. 964246

1 23 xxxy , 2

1)(

2

2

x

xxf .

27. 1543 23 xxxy , 7

7)(

2

2

x

xxf .

28. 346 23 xxxy , 4

4)(

2

2

x

xxf .

29. 232

1 23 xxy , 21

5)(

xxf

.

30. 1624183

1 23 xxxy , 16

8)(

2

x

xxf .


83

84

85

86

87

88

89

Список використаної та рекомендованої

літератури

Основна

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів, Т.1.-

К.:НАУ,2002.

2. Бубняк Т.І. Вища математика: Навчальний посібник. – Львів:“Новий

світ–2000”,2004. 3. Бугір, М. К. Математика для економістів: посібник / М. К. Бугір. – К. :

Академія, 2003. – 520 с.

4. Долгіх, В. М. Вища математика для економістів. Ч. 1. Алгебра та

математичний аналіз: навч. посібник для самостійного вивчення дисципліни :

у 2 ч. / В. М. Долгіх, Т. І. Малютіна ; Державний вищий навчальний заклад

“Українська академія банківської справи Національного банку України”.

Суми : ДВНЗ “УАБС НБУ”, 2009. 97 с.

5. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. –

К.:А.С.К., 2001.

6. Дубовик В.П., Юрик І.І. Збірник задач з вищої математики. –

К.:А.С.К., 2001.

7. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика.

Практикум. .-К.:ЦУЛ, 2003 – 536 с.

8. Пастушенко С.М., Підченко Ю.П. Вища математика. Довідник для

студентів вищих навч.закладів: Навч. посібник. 2-е вид., виправлене і доповн.

-К.: Діал.,2003.

9. Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. – К.: Видавничий центр

“Академія”, 2002.

10. Валєєв К. Г., Джалладова І. А., Лютий О. І. та ін. Вища математика:

Навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц. /— Вид. 2-ге, перероб. і доп. —

К.: КНЕУ, 2002. – 606 с.

11. Валєєв К. Г., Джалладова І. А. Вища математика: Навч. посібник: У 2-

х ч. — К.: КНЕУ, 2001. — Ч. 1. — 546 с.

Додаткова

12. Алгебра і початки аналізу: В 2-ч./Под ред. Яковлєва Г.М. – К.:

13. Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике. – М.

Высш.шк..,1990.

14. Добржицкая И.Т. Краткое руководство к решению задач по высшей

математике. – Минск, 1971.

15. Богомолов М.В. Практичні заняття з математики. – К.: Вища шк..,

1985

16. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. пособие для втузов. – М.:

Высш. шк.., 1990.

Documents

РОБОЧИЙ ЗОШИТ 2 · 2015-06-03 · Практичне заняття №4. Обчислення елементів трикутника за допомогою системи