Фигуры из кубиков

Докладчик: Коган Александра, 5 «А» классНаучный руководитель-Митусова С.В.

Многие из нас в детстве играли в кубики. Строили башни, крепости, домики, но все они не так просты как кажутся. От того как вы их поставите меняется многое...

В нашей работе  фигурой  из кубиков называется фигура, которую можно построить из кубиков одинакового размера. Для определенности будем считать, что длина ребра кубика равна 1.Причем,

 1) фигуры рассматриваются только связанные (любые две точки такой фигуры можно соединить кривой, целиком лежащей в этой фигуре). 2) "Связь" осуществляется с помощью прилегания грани к грани.  

Например, такие фигуры

В данной работе для фиксированного числа кубиков находятся фигуры минимальной и максимальной площадей поверхности и фигуры максимального диаметра. Диаметр - это наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащим фигуре. 

Примеры диаметров различных фигур из кубиков

Пусть число кубиков равно n, если n = 1,2, или 3, то фигур получается очень мало. С ростом n число фигур быстро растет.

Фигуры максимальной площади поверхности

Фигура максимальной площади получается, если при подсоединении каждого кубика используется минимальное число граней т. е. 2. Если n=1, то S=6=2+4,если n=2, то S=10=2+4+4 т. е.

Максимальная площадь поверхности S=2+4n.

Например максимальную площадь будет иметь простая фигура - "паровозик" (кубики идущие в ряд друг за другом), но это не единственная фигура. 

Максимальную площадь поверхности будут иметь фигуры типа «змейка»

Фигуры максимального диаметра. 

Фигура "паровозик" обладает еще одним интересным свойством – она имеет максимальный диаметр, потому что там задействованы все кубики.

Это единственная фигура, обладающая этим свойством.

Фигуры минимальной площади поверхности.  

Чтобы получить фигуру минимальной площади  поверхности надо, чтобы кубики соприкасались максимальным числом граней. Для n=1,2 или 3 площадь поверхности всех возможных фигур совпадают. При n>=4 будут разные площади поверхности. Если n=

то фигура минимальной площади поверхности будет кубом с ребром , длиною m. Площадь грани равна

Так как у куба 6 граней, площадь поверхности куба, а значит, и

минимальная площадь поверхности равна 6

𝑚2

Если количество кубиков не равно , то выбираем m, так чтобы было меньше n. Составляем куб с ребром m. Оставшиеся кубики  приставляем так, как будто мы стремимся построить еще один куб вокруг того куба, причем укладываем кубики компактно. Общую формулу для нахождения минимальной поверхности вычислить сложно, поэтому рассматриваются конкретные примеры, из которых становится понятен алгоритм вычисления минимальной площади поверхности.

𝑚3 𝑚3

Примеры фигур минимальной площади для n=18-26.

При n=18 площадь минимальной поверхности S(18)=6*4+9*2=42

При n=19 площадь минимальной поверхности S(19)=S(18)+4=42+4=46

При n=18 площадь минимальной поверхности S(20)=S(19)+2=46+2=48

При n=21 площадь минимальной поверхности S(21)=S(20)+2=48+2=50

При n=22 площадь минимальной поверхности S(22)=S(21)=50

При n=23 площадь минимальной поверхности S(23)=S(22)+2=50+2=52

При n=24 площадь минимальной поверхности S(24)=S(23)=52

При n=25 площадь минимальной поверхности S(25)=S(24)+2=52+2=54

При n=26 площадь минимальной поверхности S(26)=S(25)=54

Выводы.

Таким образом, в работе 1) Найден способ построения фигуры максимальной

площади поверхности. Найдена формула максимальной площади поверхности.

2) Найдена фигура максимального диаметра3) Указан алгоритм нахождения минимальной площади

поверхности. Найдена формула нахождения минимальной площади поверхности для числа кубиков, равного Вычислены минимальные площади поверхности при n=18-26.

Спасибо за внимание!