ЛЕКЦИЯ 2ВАРИАЦИЯ И КОВАРИАЦИЯ

Курс лекций проф. А. А. Алексеева по психометрике

Sir Francis Galton

16 February 1822 – 17 January 1911

ПРИМЕР ОПИСАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕСТОВЫХ

БАЛЛОВ

СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ И ЕГО СВОЙСТВА

Среднее 1.

2.

3.

4.

(𝑋𝑖 − 𝑋ത)𝑛𝑖=1 = 𝑋𝑖

𝑛𝑖=1 − 𝑋ത𝑛

𝑖=1 = 𝑋𝑖𝑛

𝑖=1 − 𝑛𝑋ത = 𝑋𝑖𝑛

𝑖=1 − 𝑛σ𝑋𝑖𝑛 = 𝑋𝑖 𝑛

𝑖=1 − 𝑋𝑖𝑛

𝑖=1 = 0

1𝑛 (𝑋𝑖 + 𝑐) = 1𝑛𝑛

𝑖=1 𝑋𝑖𝑛

𝑖=1 + 1𝑛 𝑐 𝑛𝑖=1 = 𝑋ത + ൬1𝑛൰𝑛𝑐= 𝑋ത+ 𝑐

𝑐𝑋𝑖𝑛𝑛

𝑖=1 = 𝑐 𝑋𝑖𝑛𝑛

𝑖=1 = 𝑐𝑋ത

ሺ𝑋𝑖 − 𝑋തሻ2𝑛𝑖=1 ≤ ሾ𝑋𝑖 −ሺ𝑋ത+ 𝑐ሻሿ2𝑛

𝑖=1

ДИСПЕРСИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА

1.

2.

3.

𝑠𝑥+𝑐2 = 𝑠𝑥2

𝑠𝑐𝑥2 = 𝑐2𝑠𝑥2

Если 𝑠𝑎2 = 𝑠𝑏2 = 0 при 𝑎 ≠ 𝑏,то 𝑠𝑎+𝑏2 ≠ 0

Дисперсия 𝑠𝑥2 = σሺ𝑋− 𝑋തሻ2𝑁

Стандартное отклонение 𝑠𝑥 = ට𝑠𝑥2

ПРИМЕР РАСЧЕТА КОВАРИАЦИИ И КОРРЕЛЯЦИИ

КРИВАЯ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ПРИМЕР РАСЧЕТА КОВАРИАЦИИ И КОРРЕЛЯЦИИ

ПОНЯТИЕ КОВАРИАЦИИ

Ковариация 𝑐𝑥𝑦 = σሺ𝑋− 𝑋തሻሺ𝑌− 𝑌തሻ𝑁

𝑐𝑥𝑥 = σሺ𝑋− 𝑋തሻሺ𝑋− 𝑋തሻ𝑁 = σሺ𝑋− 𝑋തሻ2𝑁 = 𝑠𝑥2

КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ (ПРОИЗВЕДЕНИЕ МОМЕНТОВ) ПИРСОНА

Коэффициент корреляции 𝑟𝑥𝑦 = с𝑥𝑦𝑠𝑥𝑠𝑦

𝑟𝑥𝑦 = σሺ𝑋− 𝑋തሻሺ𝑌− 𝑌തሻ𝑁ටσሺ𝑋− 𝑋തሻ2𝑁 ටσሺ𝑌− 𝑌തሻ2𝑁

𝑟𝑥𝑦 = 𝑁σ𝑋𝑌−ሺσ𝑋ሻሺσ𝑌ሻඥሾ𝑁σ𝑋2 −ሺσ𝑋ሻ2ሿሾ𝑁σ𝑌2 −ሺσ𝑌ሻ2ሿ

СРЕДНЕЕ ДЛЯ ДИХОТОМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

𝑋ത𝑗 = σ𝑋𝑖.𝑗𝑁 = 𝑝𝑗

ДИСПЕРСИЯ И СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ ДЛЯ ДИХОТОМИЧЕСКИХ ДАННЫХ

𝑠𝑗2 = σ൫𝑋𝑖.𝑗 − 𝑋ത𝑗൯2𝑁 = 𝑝𝑗𝑞𝑗, где 𝑞𝑗 = 1− 𝑝𝑗

𝑠𝑗 = ඥ𝑝𝑗𝑞𝑗

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДИСПЕРСИИ ДЛЯ ДИХОТОМИЧЕСКИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

𝑠𝑥2 = σሺ𝑋− 𝑋തሻ2𝑁 = σሺ𝑋− 𝑝ሻ2𝑁

𝑠𝑥2 = σ𝑋2𝑁 + σ𝑝2𝑁 − 2𝑝σ𝑋𝑁 ; σ𝑋2𝑁 = σ𝑋𝑁 = 𝑝

𝑠𝑥2 = 𝑝+ σ𝑝2𝑁 − 2𝑝2; σ𝑝2𝑁 = 𝑁𝑝2𝑁 = 𝑝2

𝑠𝑥2 = 𝑝+ 𝑝2 − 2𝑝2 = 𝑝− 𝑝2 = 𝑝ሺ1− 𝑝ሻ= 𝑝𝑞

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДИСПЕРСИИ ДЛЯ СОСТАВНЫХ ОЦЕНОК

𝑠𝑥+𝑦2 = σሾሺ𝑋𝑖 + 𝑌𝑖ሻ−ሺ𝑋ത+ 𝑌തሻሿ2𝑁

𝑠𝑥+𝑦2 = σሾሺ𝑋𝑖 − 𝑋തሻ+ሺ𝑌𝑖 − 𝑌തሻሿ2𝑁

𝑠𝑥+𝑦2 = σሺ𝑋𝑖 − 𝑋തሻ2𝑁 + 2σሺ𝑋𝑖 − 𝑋തሻሺ𝑌𝑖 − 𝑌തሻ𝑁 + σሺ𝑌𝑖 − 𝑌തሻ2𝑁

𝑠𝑥+𝑦2 = 𝑠𝑥2 + 𝑠𝑦2 + 2𝑐𝑥𝑦; 𝑐𝑥𝑦 = 𝑟𝑥𝑦𝑠𝑥𝑠𝑦

𝑠𝑥+𝑦2 = 𝑠𝑥2 + 𝑠𝑦2 + 2𝑟𝑥𝑦𝑠𝑥𝑠𝑦

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДИСПЕРСИИ ДЛЯ СОСТАВНЫХ ОЦЕНОК (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

𝑠𝑥+𝑦+𝑧2 = 𝑠𝑥2 + 𝑠𝑦2 + 𝑠𝑧2 + 2𝑟𝑥𝑦𝑠𝑥𝑠𝑦 + 2𝑟𝑥𝑧𝑠𝑥𝑠𝑧 + 2𝑟𝑦𝑧𝑠𝑦𝑠𝑧

𝑠𝑋2 = 𝑠12 + 𝑠22 + ⋯+ 𝑠𝑁2 + 2𝑟1.2𝑠1𝑠2 + ⋯+ 2𝑟𝑁,𝑁−1𝑠𝑁𝑠𝑁−1

𝑠𝑋2 = 𝑠𝑖2 + 2 𝑟𝑖𝑗𝑠𝑖𝑠𝑗𝑖<𝑗

ДИСПЕРСИОННО-КОВАРИАЦИОННАЯ МАТРИЦА ДЛЯ ПРИМЕРА С ДИХОТОМИЧЕСКИ

ОЦЕНИВАЕМЫМИ ЗАДАНИЯМИ

Задание

Задание

1 2 3 4 5

1 0,25 0,10 0,00 0,00 -0,05

2 0,24 0,06 -0,08 0,02

3 0,24 0,08 0,08

4 0,16 0,06

5 0,21

Сумма дисперсий = 1,10

Удвоенная сумма ковариаций = 2(0,27) = 0,54

Дисперсия составных оценок = 1,10 + 0,54 = 1,64

Z-БАЛЛЫ

Расчет z-баллов: zСвойства z-баллов:Корреляция z-баллов:Преобразование z-баллов:T z

ТАБЛИЦА ЧАСТОТ ДЛЯ ОЦЕНОК 50 ИСПЫТУЕМЫХ ПО ТЕСТУ ИЗ 10 ЗАДАНИЙ

X f(X) cf(X) p(X) cp(X)

10 1 50 0,02 1,00

9 2 49 0,04 0,98

8 3 47 0,06 0,94

7 5 44 0,10 0,88

6 6 39 0,12 0,78

5 12 33 0,24 0,66

4 11 21 0,22 0,42

3 5 10 0,10 0,20

2 3 5 0,06 0,10

1 2 2 0,04 0,04

0 0 0 0,00 0,00

ПРОЦЕНТИЛЬНЫЙ РАНГ

P 100%,где кумулятивная частота для

всех оценок, ниже интересующего нас балла; частота оценок в интересующем нас интервале; N – число испытуемых в выборке.