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第第 22 章 计算机图形处理技章 计算机图形处理技术术

第第 22 章 计算机图形处理技章 计算机图形处理技术术

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2.2.3 三维图形的几何变换 一、基本变换 三维图形的几何变换与二维图形类似，其基本变换也包

括平移变换、比例变换、旋转变换、对称变换、错切变换等，同时通过基本变换的组合可以实现复杂变换。

1 、平移变换 平移变换是使立体在三维空间移动一个位置，而形状保持

不变。与二维平移变换相类似，平移变换矩阵为：

其中， l ， m ， n 分别为沿 x ， y ， z 方向上的平移量。

1

0100

0010

0001

nml

3

2、比例变换 比例变换使立体在三维空间中沿 x、y、z坐标轴进行放大、缩小等变换。比例变换矩阵为：

其中，a，e，j分别为沿x，y，z方向的比例因子。它们的作用是使物体产生比例变换，当各变比相同时，称为全比例变换。

1000

000

000

000

j

e

a

4

3 、旋转变换 三维图形旋转变换是指空间物体绕某坐标轴旋转，三维变换

可以看成是由三个二维旋转变换组合而成，并分别取 x ， y ，z 为旋转轴。我们规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向为右手螺旋方向，即从该轴向原点看，是逆时针方向。如图所示。

x

yy

x

y

x

o

α

γ

β

o o

z z z

5

（ 1 ）绕 x 轴正向旋转 角 变换矩阵为

（ 2 ）绕 y 轴正向旋转 角 变换矩阵为

1000

0cossin0

0sincos0

0001

T

1000

0cos0sin

0010

0sin0cos

T

6

（ 3 ）绕 z 轴正向旋转 角 变换矩阵为

立体分别绕 x 、 y 、 z 轴旋转 90 的变换结果如图所示。

（ a ）原图 （ b ）绕 x 轴旋转 90 度 （ c ）绕 y 轴旋转 90 度 （ d ）绕 z 轴旋转 90 度

1000

0100

00cossin

00sincos

T

z

y

x

y

z

x

y

zx

y

z

x

oo

o

7

4 、对称变换 对称变换包括对坐标原点，对坐标轴和对坐标平面的对

称，下面主要介绍立体对坐标平面的对称变换。 （ 1 ）对 xOy 坐标平面的对称变换

变换矩阵为

1000

0100

0010

0001

T

8

（ 2 ）对 xOz 坐标平面的对称变换 变换矩阵为

（ 3 ）对 yOz 坐标平面的对称变换 变换矩阵为

1000

0100

0010

0001

T

1000

0100

0010

0001

T

9

5 、错切变换 与二维空间的错切变换功能相似，三维空间的错切变换可使空间立体

上某个面沿 x 、 y 、 z 三个方向发生错移变形，其变换矩阵一般表示为

根据这些元素所在的列，判断出沿哪个坐标轴发生错切。若 d 、 h 不为 0 ，则沿 x 轴方向有错切；若 b 、 i 不为 0 ，则沿 y 轴方向有错切；若 c 、 f 不为 0 ，则沿 z 轴方向有错切。我们还可以根据这些元素所在的行，判断出是关于哪个变量的错切。比如， b 、 c 是关于变量 x 的错切； d 、 f 是关于

变量 y 的错切； h 、 i 是关于变量 z 的错切。错切变 换按错切方向的不同，可有 6 种情况 , 即分别沿 x 、 y 、 z 的正、负方向错切。（书 P81 表 4-1 ）

1000

01

01

01

ih

fd

cb

T

10

二、逆变换 所谓逆变换即是与上述的基本变换过程相反的变换，如以三维图形的逆变

换为例，对平移的逆变换就是把 移回到原处 。其矩阵表达式为：

对 x 轴旋转的逆变换是用－ 代替 ，所产生的变换为：

其他一些几何变换的逆变换与此类似， 再此不再一一介绍。

*** zyx zyx

1***1 zyxzyx

1

0100

0010

0001

nml

1***1 zyxzyx

1000

0cossin0

0sincos0

0001

）（）（）（）（

11

三、三维图形的组合变换 与二维组合变换一样，通过三维组合变换可以实现对三维

物体的复杂变换。下面我们以绕任意轴旋转变换为例进行说明。

假设空间任意轴 P1P2 由 A （ x1 ， y1 ， z1 ）及其方向数（ n1 ， n2 ， n3 ）定义，空间一点 A （ x ， y ， z ）绕轴P1P2 旋转 角，得到新点 A* （ x* ， y* ， z* ），即

其中， T 为绕任意轴旋转的组合变换矩阵，构造矩阵 T的步骤如下：

1***1 zyxTzyx

12

（ 1 ） 将点 A 与旋转轴 P1P2 一起作平移变换，使旋转轴 P1P2 过原点， P1 与原点重合。

1

0100

0010

0001

111

1

zyx

T

13

（ 2 ） 令 P1P2 轴首先绕 x 轴旋转 角，使其与 xOz 平面共面，然后再绕 y 轴旋转 角，使其与 z 轴重合。

1000

0cossin0

0sincos0

0001

2

T

1000

0cos0sin

0010

0sin0cos

）（）（

）（）（

14

（ 3 ） 将 A 点绕 z 轴（即 P1P2 轴）旋转 角。

（ 4 ） 求步骤（ 2 ）和步骤（ 1 ）的逆变换，将旋转轴 A

A’ 恢复为原来的位置。那么，绕任意轴 P1P2 旋转的组合变换矩阵为

T=T1T2T3T2-1T1

-1

1000

0100

00cossin

00sincos

3

T

15

例 4：已知一立方体 A（ 1， 1， 1）， B（ 1，1， 0）， C（ 0， 1， 0）， D（ 0， 1， 1），试写出该立方体

1.绕 y轴顺时针旋转 90度的变换矩阵；2.绕 x轴逆时针旋转 180度的变换矩阵；3.变换后 A点的坐标。

16

090

1000

0001

0010

0100

1000

0cos0sin

0010

0sin0cos

1

T

解：（ 1）、绕 Y轴顺时针旋转

0180

1000

0100

0010

0001

1000

0cossin0

0sincos0

0001

2

T

（ 2）、绕 X轴逆时针旋转

17

1000

0001

0010

0100

1000

0100

0010

0001

1000

0001

0010

0100

21TTT

1,1,1,1

1000

0001

0010

0100

1,1,1,11,,,1,,,

Tzyxzyx AAAAAA

（ 3 ）、变换后坐标

则变换后 A点的坐标为：

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四、投影变换 投影就是从投影中心发出射线，经过三维物体上的每一点后，与投影平面

相交所形成的交点集合，这个集合又称为三维物体在二维投影平面上的平面几何投影（简称投影）。

根据投影中心与投影平面的距离，投影可分为平行投影、透视投影。当投影中心（射线源）与投影平面的距离为有限时，则投影为透视投影；若此距离为无穷大，则投影为平行投影。平行投影的一个特点是投影线彼此平行，当投影线垂直于投影平面时，为正平行投影；否则为斜平行投影。透视投影的特点是投影线彼此成放射状照射四周空间，正透视投影要求存在一条投影中心线垂直于投影平面，且要求其他透视线对称于投影中心线，否则为斜透视

投影。

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斜透视投影三点透视二点透视一点透视

正透视投影透视投影

斜二测斜等测

斜平行投影

正三轴测正二轴测正等轴测

正轴测投影

侧视图俯视图主视图

正投影

正平行投影平行投影

投影

透视投影的图形与眼睛观察景物的原理及效果是一致的，因而常用于图形的真实效果显示。由于平行投影后直线间的平行关系不变，因而它常用于三维图形交互和生成工程图的视图。

20

本课程只介绍正投影中的三面视图及正轴侧投影中的正等轴侧投影。

在机械设计图中经常用来表达物体形状的三面视图即主视图、俯视图、侧视图均属于正投影。工程制图中的正投影就是按平行正投影绘制的，它取物体的主要坐标轴方向（长、宽、高方向）作为投影方向。它的特点是物体的投影能反映实形，即能直接反映物体在投影面方位的尺寸大小。

21

（一）正投影 1 、三面投影

x

z

y

V W

H

22

（ 1 ） V面投影 它的投影线与 y 轴平行，投影平面为 xOz 平面 (V面 )，即 y=0 ，它

的变换矩阵为 :

（ 2 ）H面投影 投影线与 z 轴平行，投影平面为 xoy 平面（H面），即 z=0 ，变换

矩阵为：

1000

0100

0000

0001

pvT

1000

0000

0010

0001

pHT

23

（ 3 ）、W面投影 投影线与 x 轴平行，投影平面为 yoz 平面（W面），即 x=0 ，

变换矩阵为：

2 、三面投影的展开 在机械制图中，获得三面投影图后，还需将它们展开，得出在同

一平面上的三面视图。变换过程为：

1000

0100

0010

0000

pwT

24

25

V面投影图保持不变，即主视图。H面投影图绕 x 轴顺时针旋转 90 度，可得到与 xOz 平面重合的视图，为了保持与主视图有一定的距离，再沿 z 轴的负方向平移 zp得到俯视图。W面投影图绕 z 轴逆时针旋转 90 度，得到与 xOz 平面重合的视图。为了保持与主视图之间的距离，再沿 x 轴负方向平移 xp距离得到左视图。

因此三面投影的展开图应该是投影变换矩阵、旋转变换矩阵和平移变换矩阵三者的复合变换。

26

(1) 主视图。 又称前视图、正视图、正面投影等。它的变换矩阵为

（ 2 ）俯视图。又称平面图、水平投影。

1000

0100

0000

0001

vT

1000

0000

0010

0001

HT

1000

090cos90sin0

090sin90cos0

0001

）（）（）（）（

100

0100

0010

0001

pz

100

0000

0100

0001

pz

27

（ 3 ）侧视图。又称左视图、侧面投影。

根据上述三个视图的变换矩阵，即可根据一个三维物体的各角点的坐标值，获得它的三视图的顶点的坐标，生成三视图。例如立体 A ，其主视图的各点坐标值为：

A*=A

1000

0100

0010

0000

wT

1000

0100

0090cos90sin

0090sin90cos

100

0100

0010

0001

px

100

0100

0001

0000

px

1000

0100

0000

0001

1

1

1

222

111

nnn

v

zyx

zyx

zyx

T

1000

0100

0000

0001

vT

从上述视图的变换矩阵中发现，第二列元素均为 0 ，即变换后 y均为0 ，这是由于变换后三

个投影均落在 XOZ平面内。

28

其俯视图的各点坐标值为： A*=A

其侧视图的各点坐标值为： A*=A

100

0000

0100

0001

1

1

1

222

111

pnnn

H

zzyx

zyx

zyx

T

100

0100

0001

0000

1

1

1

222

111

pnnn

H

xzyx

zyx

zyx

T

29

（二）正轴侧投影 正轴测投影图产生的过程如下图所示：将图（ a ）中所示的立方体直接向V面投影，得到（ b ）图；将立方体绕 z 轴正转 角，再向V面投影，得到（ c ）图；将立方体先绕 z 轴逆时针旋转 角，再绕 x 轴顺时针旋转 角，然后向V面投影。得到（ d ）图，即立方体的正轴测投影图。

• （ a ） （ b ） （ c ） （ d ）

x

y

zV

W

H

30

在上式中，只要给 、 不同的值，就可得到不同的正轴测投影图。

可以证明当 ， 为正等轴侧投影，代入矩阵中得到正等轴测投影变换矩阵为

1000

0100

00cossin

00sincos

T

1000

0cossin0

0sincos0

0001

1000

0100

0000

0001

1000

0cos00

0sincos0sin

0sinsin0cos

1000

0816.000

0408.00707.0

0408.00707.0

T

45 2644.35

31

（三）透视投影变换 透视图是采用中心投影法得到的图形，即通过投影中心

（视点），将空间立体投射到二维平面（投影面）上产生的图形。具有真实感的效果，近大远小。

一般变换矩阵中， p、 q、 r为透视参数。赋给它们非零数值将产生透视效果。

s

r

q

p

n

j

f

c

m

i

e

b

l

h

d

a

32

透视投影的视线（投影线）是从视点（观察点）出发，视线是不平行的。不平行于投影平面的视线汇聚的一点称为灭点，在坐标轴上的灭点叫做主灭点。主灭点数和投影平面切割坐标轴的数量相对应。按照主灭点的个数，透视投影可分为一点透视、二点透视和三点透视。

33

作业：已知一四棱锥 A（ 1,0,1）， B（ 1,0,0）， C（ 0,0,0）， D（ 0,0,1），试写出该四棱锥1.绕 y轴顺时针旋转 90度的变换矩阵；2.绕 x轴逆时针旋转 180度的变换矩阵；3.变换后 A、 B、 C、 D各点的坐标。

34

090

1000

0001

0010

0100

1000

0cos0sin

0010

0sin0cos

1

T

解：（ 1）、绕 y轴顺时针旋转

0180

1000

0100

0010

0001

1000

0cossin0

0sincos0

0001

2

T

（ 2）、绕 x轴逆时针旋转

35

1000

0001

0010

0100

1000

0100

0010

0001

1000

0001

0010

0100

21TTT

1001

1000

1100

1101

1000

0001

0010

0100

1100

1000

1001

1101

1

1

1

1

1

1

1

1

T

zyx

zyx

zyx

zyx

'z'y'x

'z'y'x

'z'y'x

'z'y'x

DDD

CCC

BBB

AAA

DDD

CCC

BBB

AAA

（3 ）、

则变换后 A、 B、 C、 D各点的坐标分别为：（ -1， 0， -1）、（ 0， 0， -1）、（ 0， 0， 0）、（

-1， 0， 0）