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第四章 计算机图形处理技术. 第一节 图形变换 4.1.1 窗口 — 视区变换. 1. 窗口 矩形观察框,用以显示感兴趣的图形内容。. 窗口一般用矩形对角坐标表示。涉及图形剪裁技术。 窗口也可定义为圆形、多边形等异型窗口。 窗口可以嵌套。. 窗口. 2. 视区 在图形设备上定义的 矩形区域。. 视区同样用矩形对角坐标表示。 视区应小于等于屏幕区域, 可在同一屏幕上定义多个视区。. 3. 窗口与视区的变换. 若将窗口内容在相应视区上显示,必须进行坐标变换。其变换归结为坐标点的变换。. 窗口与视区的变换. - PowerPoint PPT Presentation
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第四章 计算机图形处理技术
第一节 图形变换4.1.1 窗口—视区变换
1. 窗口 矩形观察框,用以显示感兴趣的图形内容。 窗口一般用矩形对角坐标表示。涉及图形剪裁技术。 窗口也可定义为圆形、多边形等异型窗口。 窗口可以嵌套。
窗口
2. 视区 在图形设备上定义的 矩形区域。
视区同样用矩形对角坐标表示。 视区应小于等于屏幕区域, 可在同一屏幕上定义多个视区。
3. 窗口与视区的变换 若将窗口内容在相应视区上显示,必须进行坐标变换。其变换归结为坐标点的变换。
窗口与视区的变换
)( 112
121 ww
ww
vvvv XX
XX
XXXX
)(Y 112
121 ww
ww
vvvv Y
YY
YYYY
窗口与视区坐标点的变换:
可见:
① 若视区大小不变,窗口缩小或放大,会使图形放大或缩小。
② 若窗口大小不变,视区缩小或放大,则图形会跟随缩小或放大。
③ 若窗口与视区大小相同时,则图形大小比例不变。
④ 若视区与窗口纵横比不同时,则图形会产生伸缩变形。
1. 工程图形的齐次坐标矩阵表示齐次坐标:将一个 n 维向量用 n+1 维向量表示 。
例:平面三角形 A 齐次坐标矩阵表示
1 2
3
o
x
y
1
1
1
33
22
11
yx
yx
yx
A
4.1.2 二维图形的几何变换
若图形 A 经过某种变换后得到图形 B ,则有: B=A·T
T 称为变换矩阵,二维: T 为 3x3 矩阵,三维: T 为 4x4 矩阵。
A
( 1 )比例变换变换矩阵为:
100
00
00
d
a
T
坐标点 (x,y,1) 变换运算:
1
100
00
00
11'' dyaxd
a
yxyx
若 a=d=1 ,为恒等变换,变换后的图形不变;若 a=d≠1 , >1 时为等比例放大, <1 时为等比例缩小;若 a≠d ,图形在 x , y 两个坐标方向以不同的比例变换。
2. 二维图形的基本几何变换
( 2 )对称变换
1
100
0c
0b
11'' dybxcyaxd
a
yxyx
根据 a b c d 不同的取值情况,可以获得不同的对称变换。
①y 轴对称变换
100
010
001
T
1
100
010
001
11'' yxyxyx
②x轴对称
100
010
001
T
1
100
010
001
11'' yxyxyx
③对原点对称
100
010
001
T
1
100
010
001
11'' yxyxyx
④45°线对称
100
001
010
T
1
100
001
010
11'' xyyxyx
⑤-45°线对称
100
001
010
T
1
100
001-
01-0
11'' xyyxyx
( 3 )旋转变换 绕坐标原点旋转,逆时针为正,顺时针为负
100
0cossin
0sincos
T
1cossinsincos
100
0cossin-
0sincos
11''
yxyx
yxyx
( 4 )错切变换
100
01
01
c
b
T
1
100
01
01
11'' ybxcyxc
b
yxyx
其中: c 为 x 方向错切系数, b 为 y 方向错切系数。 ① 当 b=0, x’=x+cy, y’=y 。 y 坐标不变 ,c>0 沿 +x 方向错切; c<0 沿 -x 方向错切。 ② 当 c=0, x’=x, y’=bx+y 。 x 坐标不变, b>0 沿 +y 方向错切; b<0 沿 -y 方向错切。
( 5 )平移变换
1
010
001
ml
T
1
1ml
010
001
11'' mylxyxyx
其中: l 为 x 方向平移量, m 为 y 方向平移量。
二维图形基本变换矩阵讨论:
dc
baT1
实现图形的比例、对称、错切、旋转等基本几何变换;
mlT 2 实现图形平移变换;
q
pT3 实现图形透视变换;
sT 4 实现图形全比例变换, s>1 等比例缩小; 0<s<1 等比例放大。
sml
qdc
pba
T
三维图形变换矩阵 T : 4×4 矩阵
左上角子矩阵:图形的比例、对称、 错切和旋转变换;左下角子矩阵:平移变换;右上角子矩阵:透视变换;右下角子矩阵:比例变换。
snml
rjih
qfed
pcba
T
4.1.3 三维图形的几何变换
1 、比例变换
变换矩阵为:
1000
0j00
00e0
000a
T
111''' jzeyaxTzyxzyx
其中, a , e , j 分别为 x , y , z 方向的比例因子。
相对于 xoy 平面、 yoz 平面和 xoz 平面三个坐标平面的对称变换矩阵分别为:
1000
01-00
0010
0001
xoyT
1000
0100
0010
0001-
yozT
1000
0100
001-0
0001
xozT
2 、对称变换
3 、错切变换
变换矩阵为:
1000
01ih
0f1d
0cb1
T
1
1000
01
01
0cb1
11''' zfycxizybxhzdyxih
fdzyxzyx
d 、 h :沿 x 方向的错切系数;b 、 i :沿 y 方向的错切系数;c 、 f :沿 z 方向的错切系数。
4 、平移变换
1nm
0100
0010
0001
l
T
变换矩阵为:
l , m , n: 为 x , y , z 三个坐标方向的平移量。
5 、旋转变换 ( 1 )绕 x 轴旋转 a 角的变换矩阵:(平行于 yoz 平面)
1000
0cossin0
0sincos0
0001
xT
( 2 )绕 y 轴旋转 a 角的变换矩阵:(平行于 xoz 平面)
1000
0cos0sin
0010
0sin0cos
yT
( 3 )绕 z 轴旋转 a 角的变换矩阵:(平行于 xoy 平面)
1000
0100
00cossin
00sincos
zT
4.1.4 三维头型的投影变换和透视变换
投影变换(三视图)主视图:变换矩阵中坐标 y = 0 ,其它坐标不变:
1000
0100
0000
0001
VT
俯视图 令 z = 0 ,绕 x 顺时针旋转 90° ,再在负 z 方向平移,其变换矩阵为:
100
0100
0010
0001
1000
02
-cos2
sin-0
02
-sin2
-cos0
0001
1000
0000
0010
0001
n
TH
左视图:令 x = 0 ,绕 z 轴逆时针转 90° ,再沿负 x 方向平移,变换矩阵为:
100
0100
0010
0001
1000
0100
002
cos2
sin-
002
sin2
cos
1000
0100
0010
0000
l
TW
a) 一点透视 b) 二点透视 c) 三点透视
透视变换: 是通过视点将三维物体投影到投影面的变换。