Κεφάλαιο 2.1

1. Η αντίσταση του αέρα λόγω της σταθερής ταχύτητας ανά σταθε-ρή δύναμη και κατά συνέπεια το έργο της είναι:

W = ΑΧ = 4υ Χ ή W = 4-30-50J ή W = 6000J

2. Α. Η δυναμική ενέργεια του σώματος είναι: U = m g h = 1010-20J ή U = 2.000J.

Β. Η δυναμική ενέργεια μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση: U = m g x

Έτσ ι το ζητούμενο διάγραμμα είναι το παρακάτω:

I (J)Α

20(1(1

ν x(m)

3. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας βρίσκουμε:

ηιυ2 - WT = 0 ή ~ ιιιυο = Τ · x ή

1 2

mu; 0 — · 1000 152

- ή χ = — m ή χ = 15m 7500

4. Το σώμα κινείται μόνο με την επίδραση του βάρους του. Έτσ ι βρίσκουμε:

1 2 1 2 0 + WB = — mu ή mgh = — mu ή

και με αντικατάσταση u = 20m/s

Στο ύψος h το σώμα είχε μόνο δυναμική ενέργεια η οποία μετατρέ-πεται αρχικά σε κινητική ενέργεια και τελικά σε θερμότητα.

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας

5. Επε ιδή ο γερανός ανεβάζει το κ ιβώτιο με σταθερή τ α χ ύ τ η τ α , πρέπε ι να ασκεί δύναμη

F = Β ή F = m g (α) Επ ίσης για τη σταθερή τ α χ ύ τ η τ α ανόδου έχουμε:

s · h υ = - η υ = — (β)

Έ τ σ ι η ζητούμενη ισχύς είναι P = F u που με τη βοήθεια των (α) και (β) γ ίνετα ι :

Ρ = mg — = 2000 • 10 — W ή Ρ = 10.000W t 120

6. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας βρίσκουμε:

0 + WB - WT = j ran2 ή mgh - Τ(ΑΓ) = - j πιυ2 ή

π^(ΑΓ)ημ30 - μπψ • (ΑΓ) = — ιτιυ2 ή

2g(AΓ)ημ30 - 2μg(AΓ) = υ2 και με αντ ικατάσταση: u = 6 m / s .

7. Α. Επε ιδή το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα είναι T = F και κατά συνέπεια: W T = W F = F x = 40-5J ή W T = 200J .

Β. Ο ζητούμενος ρυθμός αφού η εμφανιζόμενη θερμότητα εκφράζε-ται από το έργο της τριβής είναι:

WT , χ που επειδή t = — γ ίνετα ι :

t υ

WT W x · υ 2 0 0 · 4 Τ , , — L = — 1 = — - — J / s η W T = 160J/s

8. Η δ ιατήρηση της ενέργε ιας γ ια την αρχική και την τελική θέση της μπάλας μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την εμφανιζόμενη θερμό-τητα Q ως εξής:

m g h ! + 0 = mgh 2 + 0 + Q ή Q = mg (h [ - h 2) = 2· 10 (20 - 18)J ή Q = 40J

Έ τ σ ι το ζητούμενο ποσοστό είναι:

Q 40 100 = 100 = 10% nigh, 400

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας

9. Η οριζόντ ια δύναμη F που ασκεί ο μαθητής είναι ίση με την τρ ιβή Τ, ώστε το κ ιβώτιο να κ ινε ί τα ι με σταθερή ταχύτητα . Δηλαδή: F = Τ = μ ι ι ^ = 0,5· 100-ΙΟΝ ή

F = 5 0 0 Ν Η προσφερόμενη ενέργεια ε ίναι ίση με το έργο της δύναμης F.

Έ τ σ ι βρίσκουμε: Προσφερόμενη ενέργεια = W F = F x = 5 0 0 10J = 5.000J.

10. Α. Το έργο του βάρους το οπο ίο είναι δύναμη συντηρητική εξαρτάται α π ό την κ α τ α κ ό ρ υ φ η απόσταση της αρχικής και της τελικής θέσης και όχι α π ό τη διαδρομή. Έ τ σ ι βρίσκουμε: W B = Bh = mgh = 80· 10-300 0,2J ή W B = 48000J .

Β. Ο ζητούμενος ρυθμός είναι :

W„ = 4 « 0 < * > , i s ή * β . 8 0 J / s

t 1 0 - 6 0 t

11. Α. Επε ιδή η δύναμη ε ίναι σταθερή έχουμε: W F = F-x = 4-10J ή W F = 40J .

x ( m )

Β. Στην περίπτωση αυτή το έργο της δύναμης υπολογίζεται γραφικά από το δ ιάγραμμα F-x.

Έ τ σ ι W F = j 10 · 10J ή W F = 50J

12. Α. Το έργο της F είναι ίσο με το έργο της παράλληλης προς την κίνηση συνιστώσα της Fx .

Δηλαδή: WF = WFx = F · συν60 · x = 50 · — · 10J ή W F = 250J

Β. Από το θεώρημα μεταβολής της κ ινητ ικής ενέργειας έχουμε:

1 0 + Wp = — πιυ ή υ = F 2

υ = 5 m / s .

2 - ι 2 W f . . - - - ' και με αντ ικατασταση βρίσκουμε: m

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας

υ2 13. Α. Από την εΕίσωση της κ ινηματ ικής hm a x = — βρίσκουμε γ ια

2g την αρχική τ α χ ύ τ η τ α υ 0 της πέτρας : υ0 = V2ghmax ή V0V800m / S· Από τη όιατήρηοη της μηχανικής ενέργειας έχουμε:

1 2 λ ^ 1 2 ' ^ 2 - m« 0 + 0 = - - πιυ0 + mgx η - πιυ0 = mgx 2 2 2 4

- 8 0 0 ή x = — m ή χ = 20m

1 10 Β. Στο ζητούμενο ύψος χ ' το σώμα έχει τ α χ ύ τ η τ α υ, ώστε

πιυ = i πιυ0 ή ν = ^ Vs00m / s.

Έ τ σ ι α π ό τη δ ιατήρηση της μηχανικής ενέργειας έχουμε:

1 2 1 2 — πιυ0 + 0 = — πιυ + mgx' ή

, υ2 - υ 2 8 0 0 - 2 0 0 , , χ = = m η χ = 30m 29 20

14. Α. Από το θεώρημα μεταβολής της κ ινητ ικής ενέργειας βρί-σκουμε:

1 2 p 1 2 -— m«n - F · χ = — πιυ η 2 0 2

« = ν mug - 2F ,

και με αντ ικατασταση v=8m/s . m

Β. Για τη ζητούμενη απόσταση έχουμε:

. — muo — · 4 · ΙΟ2

1 2 ο υ ο — πιυ0 — F • χ = 0 η x = — = — m ή x=20m 2 0 F 10

15. Από το θεώρημα μεταβολής της κ ινητ ικής ενέργε ιας έχουμε:

1 ? 0 + WF = — mv (α)

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας

Το έργο της μεταβλητής δύναμης F υπολογ ίζετα ι γραφικά :

F(N)A 8 ·

x<m)

wF = w, - w2 - - — 2 - 2 )J ή W F = 30J.

Έ τ σ ι από τη σχέση (α) βρίσκουμε:

2 W. m = 2 · 30 kg ή m = 15kg

F X 8 0 0 8

-2 10

16. Το σώμα ε π ι τ α χ ύ ν ε τ α ι πρός τα επάνω με την επ ίδραση των δυνάμεων Ρσυνθ, Τ και ι τ^ημθ. Για την τριβή Τ βρίσκουμε:

Τ = μΡκ ή Τ = μ (Γημθ + mgouv9) = 0 ,4 (100-0,6 + 5-100,8)Ν ή Τ = 4 0 Ν

Έ τ σ ι α π ό το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας έχουμε:

1 2 0 + Ρσυνθ · χ - Τ · χ - ι ι^ημθχ = — πιυ ή

υ = 2Ρσυνθ • χ - 2Τ • χ - 2 τ τ ^ μ θ • χ

m

και με αντ ικατάσταση βρίσκουμε: υ = yflOm / s

17. Α. Η μπάλα κ ινε ί τα ι μόνο με την επίδραση του βάρους, οπότε :

0 + mgH = πιυ2 ή υ = ^/2gH ή υ = 2 0 m / s

Β. Έ χ ο υ μ ε ότι:

= ΡΒ = Β • υ = mgu. AU _ WB

At At

Διατήρηση της μηχανικής ενεργείας

Αλλά η μπάλα κάνει ελεύθερη πτώαη, οπότε: υ = gt. Ετσι καταλήγουμε στη σχέση:

AU 2 , AU = mg · gt = mg t η = lOOt At At

1 .2

( a )

Από τη σχέση Η = — gt βρίσκουμε ότι ο χρόνος κίνησης της μπάλας

είναι: t = ή t = 2 s.

Έ τ σ ι το ζητούμενο δ ιάγραμμα (σχέση α) είναι:

Δϋ ΔΙ

w Α

200

18. Από το θεώρημα μεταβολής της κ ινητ ικής ενέργε ιας έχουμε:

0 + WF = — πιυ2 (α) 2

Το έργο της μεταβλητής δύναμης F υπολογ ίζετα ι α π ό το αντ ίστο ιχο εμβαδό. Έ τ σ ι :

WF = • 10J ή WF = 30J.

Αντ ικαθ ιστώντας στη σχέση (α) βρίσκουμε:

υ = J 2 * ή υ = V30m / s m

19. Α. Από το θεώρημα μεταβολής της κ ινητ ικής ενέργε ιας μεταξύ των σημείων Γ και Δ έχουμε:

1 2 1 2 — πιυΓ - WT = 0 ή — πιυΓ — μ π ^ = 0 ή

υΓ = τ ] 2 μ ^ και με αντ ικατάσταση υΓ = y[60m / s .

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας

Β. Αρκεί να φέρουμε το οώμα στο σημείο Α με μηδενική ταχύτητα . Αυτό σημαίνει ότι η απα ι τούμενη ενέργεια είναι ίση με τη δυνα-μική ενέργε ια του σώματος στο σημείο Α και το έργο της τριβής W T α π ό το Δ έως το Γ. Δηλαδή: W a j n m = U A + W T .

1 2 , 1 , Αλλα U A = - m u r ο π ω ς και WT = — ιηυρ·. 2 2

Έ τ σ ι : W„ = 2 - i m £ = 2 · - · 2 · 60J ή 2 Γ 2

W "rt 120J

20. Α. Για τη ζητούμενη κ ινητ ική ενέργεια έχουμε:

^32 · ΙΟ 3 λ 2 1 7 1 7 Κ = — πιυ = — 65 ΙΟ7 · 2 : 3600

J ή

Κ = 2,57· 10 l o J Β. Η ωφέλ 'μη ισχύς είναι το 50% της αποδ ιδόμενης , δηλαδή:

Ρ = 2 2 · 1 0 3 Η Ρ = 22-745 ,7-10 3 W ή Ρ = 16405 103W. Ό μ ω ς η ωφέλιμη ενέργεια που αποδ ίδουν οι μηχανές μετατρέπε-ται σε κ ινητ ική ενέργεια του κρουαζερόπλοιου . Έ τ σ ι :

Κ Ρ = — ή t = — Κ 2,57 · 10 ίο

16405 · 10 s ή

t = 1,57-10 s ή t = 2 6 m i n

21. Α. Το σώμα θα εγκαταλε ίψε ι το οριζόντ ιο επ ίπεδο όταν η κ α τ α κ ό ρ υ φ η συνιστώσα της F γίνει ίση με το βάρος του, οπότε FK = 0. Δηλαδή όταν: Ρη μ θ = ιη§ ή (10 + 5 χ ) 0 , 8 = 2 0 , από την οποία βρίσκουμε x = 3m.

Β. Γράφουμε το θεώρημα μεταβο-λής της κινητικής ενέργειας για τη διαδρομή των 3m και έχουμε:

0 + WFo>M) - w T = J m " 2 («)

Για την τριβή Τ έχουμε: Τ = μΡκ

= μ ( π ^ - Ρ η μ θ ) ή Τ = 0 , 2 5 [ 2 0 - (10 + 5 χ ) 0 , 8 ] ή Τ = 3 - χ

ΓσυνΟ

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας

Επίσης Fouv0 = (lO + 5x)O,6 ή FODV0 = 6 + 3X. Από τα αντίστοιχα δ ιαγράμματα βρίσκουμε το έργο της Τ και της Fouv0.

Τ(Ν)Λ

WT= f3-3= 4,5J

Fni)vO(N) 18 IS

W F < n ,ve= J i Y A 3 = 31,5J

x(m) *(m)

Αντικαθιστούμε στην (α) και βρίσκουμε:

2Wf θ - 2WT . r~ t2 1 2 5 - ή υ = 3v3m / s m

22. A. To ζητούμενο έργο υπολογίζεται γραφικά :

F(NU

20 30 *(m)

1 WF = - · 30 • 30J ή WF = 450J

B. To σώμα α π ο κ τ ά μέγιστη ταχύτητα , όταν: I F = 0 ή mg = 30 - x ή x = 20m. Από το θεώρημα μεταβολής της κ ινητ ικής ενέργε ιας γ ια τη δια-δρομή χ έχουμε:

1 2 0 + WF - mgx = — πιυ ή

3 0 + 1 0 20 - 10 · 20 = - 1υ2 ή υ = 20m / s 2 2

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας

Γ. Μέγ ιστη ανύψωση χμ έχουμε όταν η τ α χ ύ τ η τ α γίνει μηδέν. 0 + W F - mgx ( i = 0 ή

w - 3 0 - 3 0 W F . 2 mg 1 1 0

m ή x = 45m

Δ. To σώμα επιστρέφει εκτελώντας ελεύθερη πτώση από ύψος χμ. Έ τ σ ι :

0 + mgx(1 = ^ πιυ'2 ή υ' = ^2gx f l ή

υ' = 30m / s .