广义相对论课堂 20Schwarzschild 时空测地线

2011.11.21

课程安排• 复习内容：标正基构造• 新内容： Schwarzschild 时空应用• 下次课：续• 学习目标分课堂，每课堂最多 6 个• 调查表• 草稿纸——助教

复习、回顾、总结重点

初始条件• 几何 = 位置 + 方向——四速度• 区分 3 维位形空间（ 3 速度）——四维时

空（四速度）• 实现 WEP

Killing 矢量场• 单独一个 Killing 矢量可能无意义

– 整体“平移”• 黎曼几何的对称性数目 = 相互独立的 Killin

g 矢量场的数目• 多个 Killing 矢量场之间独立性

Killing 矢量场独立性问题• 原点平移后转动 Killing 矢量场变化了

– 新的 Killing 矢量场？– 线性组合

• 系数——自由度

运动常数 = 守恒量• d/dτ

• 沿着测地线 =自由粒子运动过程中• 有一个物理量

复习、回顾、总结重点

三种理论 4 种钟尺网格

理论 参考系和坐标系 符号 各个钟、各把尺

牛顿

SR 惯性系 Lorentz 坐标惯性系 skew 坐标加速系正交加速系非正交

t,x,y,zt',x,y,z 或 t,x',y,z

相对静止

GR 任意正交：史瓦西任意非正交： Cook

t,r,θ,Φ

无非是将平直时空（事件集合）用网格点标记

• 数学的威力—— Einstein 求助• 重要的是数学表达了什么物理

线元与度规• Δx2+Δy2=Δx'2+Δy'2

• -Δt2+Δx2=-Δt'2+Δx'2

– Δx''=0 ， =-Δt''2=-Δτ2

– Δt''=0 ， =Δx2=Δs2

– 0

测量意义？

测验• 习题 7.21

• 惯性系 skew 坐标下平直时空线元和度规

从惯性到加速• Δ—— 》 d

从全局惯性到全局坐标• 平直时空匀加速系• 弯曲时空

– 比较异地钟尺运动态无意义——相对于 LIF– 时间总有膨胀 = 弯曲– 空间至少 2 维有弯曲——你的时间是我的时间

和空间的组合

史瓦西时空为例2 维空间必然弯曲

• r 的意义 = 约化周长——角向• r—— 》 rho

– 仅有 1 维– 2 维时

球面• Φ—— 测地线• θ—— 非测地线，除赤道圈

– θ 换成 Φ'– 也用测地线，赤道圈上某一点 P= 第二极点 O' – 相对于北极点 O – OO' 大圆上坐标失效，无能区分不同点——非

全局！– 对比极点（ θ ， Φ ）坐标简并

简单回顾史瓦西时空

静态：静止观者、 ξ

球对称：

第一点 静止观者四速度

基准、固定钟尺

四速度• 分量（ γ ， γV ）？• 固定静止 == 》• 归一化 == 》

物理时间

构造空间标正基• 通常正交坐标系• 对于静止观者归一化即可• 对于运动观者标正条件

物理长度

反省 3 问题• 1 、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有

用的是什么？– 如果不是，请问哪些你没学到？– 如果不确定，请解释原因。

• 2 、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？• 3 、不清楚的原因是

– 讲课不够清楚？– 缺少提问的机会？– 你事先没有准备？– 缺乏课堂讨论？– 其他？

第二点：运动常数（守恒量）的测量意义

重点： e 的测量意义

ξ

ξ

ξξ u

u

r

M/r21

1

g-

1

00

obs

obs

，当

静止钟尺

测量者（观者、钟尺）

本人思考结果• 前面讨论的钟尺网格——不同态• 时间平移不变——全局时间——仅在无穷远对应基准钟

e 的取值范围• 径向 + 固定地点、相对于静止观者

守恒角动量 l的物理意义• 单位质量粒子角动量 L( 因为 L=rv)• 牛顿万有引力（有心力）守恒量 h=r2(dΦ/dt) =Kepler 第二

定律

第三点：利用守恒量得到引力红移

测量公式

重点：固定钟——纯粹引力红移• 固定——静止观者

非固定的一般钟

第四点：测地线方程（组）

径向方程

测试粒子和光线的测地运动三个初积分／运动常数／守恒量

• 单位质量粒子能量 e( 因为在远处 ) ， 无量纲 , 物理意义 !• 单位质量粒子角动量 L( 因为 L=rv)• 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动： 1 。直观地看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称

• 2 。教材 9.22 ， L=0 ，初始 dφ/dτ=0 ，则以后沿测地线处处为 dφ/dτ=0 ， φ=Const.在一个平面上

• 3. 解测地线方程，附录 B ， LightmanP404• 可以证明平面运动是稳定的 ,小扰动后回• 坐标轴重新取向，约定在赤道面上讨论 θ=π/2• 第三个初积分，四速度归一 /0 化，即线元• 四速度只有三个非零分量，利用三个初积分方程，可用

e,L 表达

第五点：有效势能曲线

分析原理

第六点：轨道类型

史瓦西几何• 球对称曲率源（引力源），例如球对称星球，地

球和太阳可近似，忽略自转和扁率• 最大对称，与物质径向分布无关，牛顿定理 GR版

• 静态，但是星体不一定静止，球对称塌缩， Birkhoff 定理

• 外部真空的几何，内部非真空解取决于物态方程，平滑地在星体表面相接，图

• 渐近平直；星体中心相对于遥远静止观者 (t,dr) 静止 . 与宇宙学 R-W 度规衔结是另一种几何

史瓦西线元• 史瓦西坐标、史瓦西度规，几何化单位 .7428• 静态，时间 t 平移不变， Killing 矢量 ξ=(1,0,0,0)• 球对称，球极坐标角： φ 平移不变， Killing 矢量 η =(0,0

0,1) θ• r=P/2π ，约化周长，约化 Planck 常数 h ，面积；半径不

可以直接测量（到中心） ,Δr 可测，在长度上意义见下页• 静态弱场， Weiberg3.4gtt ， M 是质量，可以证明M 是星

体及其引力场的总能量 Weinberg8.2 ，也就是说利用Kepler 定律测到的引力质量不仅仅是牛顿力学认为的组成粒子质量之和， 22.4节 ;M=0 平直时空

• 几何只取决于 M ，与物质径向分布无关，牛顿定理 GR版• 度规仅仅依赖于 r,r->∞渐进平直时空

史瓦西坐标 r

• r=0, r=2M （史瓦西半径，引力半径）在星体内，除非（球对称）黑洞 ,此线元可以描述 2M>r>0

• r在无穷远，固有长度，微分（利用 local光速为1 得到，因为等效原理），潮汐径向拉伸，越近拉伸越厉害 , r->2M；反看则为潮汐横向挤压

• 有限固有长度 ( 物理 ,默认 ) ，公式，数值举例• 给定 t ，空间部分，嵌入图（三维欧式透视），

大 r侧近似为抛物面方程，投影到平面

史瓦西坐标 t

• t在无穷远 far-away time ，固有时，越深势阱时钟越慢• 微分时间，用 dt 过渡， r->2M• 脉冲 duration （持续时间）和频率关系 =>红移，数值举

例• 引力场中两个不同地点，静止观者，否则含运动时间膨胀• 教材， u*u=-1注意观者非测地运动，为什么定义 u=dx/dτ

是四速度，沿袭自 LIF 中标准正交基下， E=-p*u ， u 用 ξ表达，利用沿着光线（测地线）守恒量

• 弱场下和等效原理推导的近似结果一致• 光线可以非径向传播（例如后面讲的散射轨道），没有碰撞散射（有可能改变频率）等自由运动，以上分析适用于任意度规 g_00

有效势与径向方程• 量纲 ,t, τ*c,M*G/c*c,L/c引入M 为单位的 r,L; 粒子• 写成牛顿力学机械能守恒的形式 9.32, 系列方程对非测地

线运动也成立，即 -1=u*u ，只是 e,L 不再是守恒量，无法利用势能曲线简单分析

• 第二项为横向动能 =离心势能 , 由离心力导出，方向与引力相反 ,dτ->dt

• 第四项为相对论修正项，吸引，相对论引力比牛顿强，本质因为光速极限（由 EP=>-1=u*u)

• 利用（有效）势能曲线分析运动轨道及其稳定性，平方项总是大于等于 0

• 图形，牛顿（二三项）和相对论的有效势，分别主导小、中、大 R 曲线形状， R->0,R->∞

• 特殊点，微分画出曲线

给定 M ，首先按照角动量分类• 牛顿 L=0径向可到达 r=0, 实际情况星体表面阻挡－－外力，不再有机械能守恒分析；径向远离， E≥0 可逃逸到无穷远（势能为 0) ，E<0 会回落

• L≠0 不可到达 r=0 ，• 1 。 E≥0散射，双曲线 (E>0) 或抛物线 (E=0)• 2 。 E<0椭圆束缚轨道• 3 。特别地，势能曲线最低点 E=V_min=-

1/2L^2( 与熟知结果一致 ) 圆周，且稳定

GR情况• 1.R->0,V->-L^2/R^3->-∞;R->∞,V->-1/R->0; 中间 V-

>L^2/2R^2• 2.0=V,R01,02=;L≥4；随 L 分别为减函 2<R01<4 、增函

数 >4• 3.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max= 下标指的是 V 最小最

大 Rmin>Rmax;L≥3.46;Vmax给出给定 e 粒子的俘获截面• 4. d^2V/dR^2><=0• 按单位质量角动量分类 L=l/M• 1.L<3.46,两种轨道 : 向外 ε>0逃逸，其余投入或回落• 2.L=3.46, 同上＋拐点 R=L^2/2处 ε=V 不稳定圆周轨道• 3.3.46<L≤4, 最高点不稳定 + 最低点稳定圆周＋束缚

(Vmin<ε<0)• 4.L>4,+散射轨道 0<ε<Vmax

反省 3 问题• 1 、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有

用的是什么？– 如果不是，请问哪些你没学到？– 如果不确定，请解释原因。

• 2 、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？• 3 、不清楚的原因是

– 讲课不够清楚？– 缺少提问的机会？– 你事先没有准备？– 缺乏课堂讨论？– 其他？

势能曲线的分析原理• d/dτ径向方程后，得到 dr/dτ=0 或 d^2r/dτ^2=-

V’= 有效力，所以碰到势垒会反弹；散射和束缚由 d^2r/dτ^2连续性仍然有 d^2r/dτ^2=-V’= 有效力；问题：在 ε=V ， dr/dτ=0 是否可以保持圆周运动？答：不会－－

• 1 。仍然有效力不为 0,V’≠0; 牛顿情况，某个高度上，速度大（小）于圆周速度，离心力大（小）于引力，双曲（抛物）（椭圆）；测地线方程 d^2r/dτ^2 ＝ -Γ^r_tt(u^t)^2-Γ^r_φφ(u^φ)^2-Γ^r_rr(u^r)^2

续• 2.Cauchy 定解，运动方程总是二阶微分方程（例如从

变分原理看 L(v,x) ，所有力学都是从牛顿力学比拟而来），初始位置确定（静态时空）则时空点确定，初始三个速度确定，则定解。即 L, ε决定了一条且仅仅一条测地线（当然，不一定遍历，如一开始就在 V 最高点则只有从 R<R_min 或 R>R_max 过来的圆周运动部分）

• 所以，任意力学中势能曲线可以看成地面上起伏山坡（无磨擦无空气阻力）上粒子运动，地面支承力＋重力＝有效力，即所谓势能曲线分析

六个量• 四个变量 τ,t,r,φ,两两组合数 6 种， 5 个

速度（三个固有速度＋两个坐标速度）＋ 1 个形状量（写成杨辉三角 4 层 4321 ）

• 仅取决于三个方程： e,L,径向方程

径向运动• dφ ／ dτ ＝ 0 ， φ ＝ Const. ，无角动量 L=0,V=-1/R 仅

牛顿势， dτ=±dr/√2(ε+1/r) ， ε≥1/2• 径向自由下落，取负号， ε=0, e=1, 无穷远 e=dt/dτ=γ=1

静止，解得• 教材用 r=0 定标，到黑洞讲；从某个 r 到 2M ，粒子固

有时有限；从无穷远无限• 坐标时间，从某个 r 到 2M 无限， r->2M ， 9.40 最后

一项 ->+∞ ，这是史瓦西坐标在近 2M出错的一个迹象• 例子 9.1 ，径向逃逸（到无穷远 0渐近静止 ,e=1 ）速

度，在施瓦希坐标半径 R处静止观者（只有 u^t 不为零）测量 V,E=γmV(LIF 中消除引力影响，观者自身标架为 LIF 中随动标架）， g_tt*u^t=e=1

圆周轨道• 不稳定圆周轨道 3M<r_max<6M 随 L增大而减• 稳定圆周轨道 r_min>6M 随 L增大而增， L=3.46 最小，三个施瓦西半径

• 定义坐标角速度，实测设计：遥远一圈静止钟( 同步化），接受圆周运动粒子径向光脉冲，因为圆对称，不同 φ光线受的引力时间膨胀一样，测出 Δt ； Δφ＝圆弧长 / 圆周长

• V’=0+ε=V=>9.45 ，也适用于非稳定圆周轨道• 得到与 Kepler 第三定律（圆周轨道）相同形式，

不是固有时角速度，在无穷远回到 Kepler

束缚轨道的形状• 方程，椭圆函数， u=1/R 后，补齐量纲，常数项为牛顿能量＋高阶小量

• 从内转折点 r_1 （近星点）到外转折点 r_2 （远星点） ，再回到内转折点＝ 1 圈 turn

• 一般 1 圈后 Δφ≠2π 不闭合，顺着轨道转动方向进动（相对论修正项为正），每圈进动角相同（因为球对称） δφ ＝ Δφ － 2π ，不闭合的主轴进动椭圆；但对一组 E(L) ， m 圈后Δφ=n(2π)闭合， m≠n ，习题 13

近日点进动• 图 9.5 不同 L （勘误）和 E ，参数取值边界为稳定和不稳定圆周轨道之间，大角动量离星体远、相对论效应小－－太阳系行星近日点进动

• 类似 Binet 方程 , 微扰方法求解， D’inverno 15.3节

• 习题 15 方法，反比于 L^2 （ L越小，越接近引力体越大） , 用天文测量数据表达，半主轴 a越小、偏心率，小行星 Icarus 、水星依次为最 . Einstein: 不但牛顿理论从 GR 中作为一级近似导出，水星进动作为二级近似