课件制作人基础课部物理教研室赵存虎

2001.6.主要参考资料：清华大学编《大学物理电子课件》

第四篇第四篇（（机械波机械波 ))

第十五章 机械波 1

§15-1 机械波的产生和传播 §15-2 平面简谐波波动方程§15-3 波的能量 能流密度 §15-4 惠更斯原理§15-5 波的迭加原理 波的干涉§15-6 驻波§15-7 多 普 勒 效应*§15-8 相速度和群速度 ( 自学内容 )

(Mechanical Waves)

振动在空间的传播过程叫做波动 .常见的波有 : 机械波 , 电磁波 , …

§15-1 机械波的产生和传播

一、机械波产生的条件波源—振动物体 ;二、横波和纵波的传播过程媒质—传播振动的弹性物质 .

2

( 演示动画 )

(The Mechanical Wave Gives Rise To and Transmission )

横波——质点的振动方向与波的传播方向垂直纵波——质点的振动方向与波的传播方向平行三、机械波的传播机理 : ( 演示动画 )

(1) 波的传播不是媒质质元的运输 , 而是“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动 ;(2) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现——波是振动状态的传播 .

3

四、波面 波线 ： ( 几何描述法 )波面： t 时刻由振动位相相同的各质点所连成的面 , 称为波面 ; 最前面的波面称为波前。波线：波的传播方向，称为波线 。

平面波 球面波

波面 波线 波前

(1) 弹性绳上横波的速度 Tu

1 、波速 u ：在波的传播过程中 , 单位时间内振 动位相在媒质中所传播的距离 . •波速 u 又称相速度 ( 相位传播的速度 )•波速决定于媒质的密度和弹性摸量绳的初始张力

绳的线密度

五、描述机械波的物理量 4

Yu

(2) 固体棒中纵波的速度体密度杨氏弹性模量 l0

l0 + l 长变

F F

0llY

SF

S为横截面积(3) 固体中横波的速度

Gu

切变

F 切

∵G < Y, 固体中 ｕ横波 < ｕ纵波 .( 地震波 )

∵

切变弹性模量体密度

5

(4) 流体中声波的速度0

Bu 容变弹性模量 无声波时的流体密度 V

VS

FB

V

p

p

p

p容变 V-V

RTu

理想气体 :

2 、波长 周期 频率u t 时刻

o x

y(1) 波长

两相邻同相位点之间的距离 , 为一个波长 ..(2) 周期 T 和 频率

单位时间传过媒质中某点的波的个数为频率 .

传播一个完整波所用的时间为一个周期 T ;

A

-A

波的周期和频率等于波源振动的周期和频率 . T=1/ = uT u=

6

§15-2 平面简谐波的波动方程 媒质中各质点的振动位移与该点的位置及时间的函数关系式 , 称为波动方程 ( 也称波动表达式 ).

简谐波 :

当波源作简谐振动时 , 媒质的各质元均作同频率、同振幅简谐振动 , 这样形成的波称为简谐波。

(Wave Equation of Simple Harmonic Plane Wave )

7

一、平面简谐波的波动方程： 条件： 1. 媒质均匀； 2. 媒质中各质元的振动均为简谐振动； 3. 位相相同的质元能组成平面 ( 波面为平面 ) ； 4. 波在传播过程中无能量吸收 . 用 x 表示媒质中各质点在波线上的平衡位置 , y 表示它们的振动位移 ( 相对于各自的平衡位置 ), 设波沿 X 轴正方向传播 .

设 x=0 处质点 ( 不是波源 ) 的振动方程为 :

tAty cos),(00

8

( 初位相 =0)

处在 x < 0 的各质元的振动超前于 x = 0 处质元的振动 .

t

X

Y

0

t + t u

-A

A

x

B

则 t 时刻波线上某一质元 B 点的振动方程为 :

)(cos),(uxtAtxy

y t

Y

0

振动曲线 波动曲线 9

因 B 点为波线上的任意一点 , 故上式即为沿OX 轴正向传播的平面余弦波的波动方程 ( 波动表达式 ).

二、平面简谐波波动方程的物理意义： 1. O 点在 t 时刻的各振动量 ( 振动位移、振动速度、振动加速度 ) 将在 x/u 时间之后出现在 B点；以位移为例

)0(cosu

tA ])[(cosux

uxtA

10

2. 给定 x (x = x0), 则方程成为 x0 处的振动方程)(cos),( 0

0 uxtAtxy

图 中 b 点 比 a 点 的相位落后 , 令 x=x2-x1

xa b X

u ·

·1x 2x

任一时刻 t ，同一列波的波线上两质元间的位相差 :

3. 给定 t ( 如 t = t0), 则方程确定了 t0 时刻各质元的振动位移x

2

)()( 12

uxt

uxt

ux

11

)(cos),( 00 uxtAtxy

4. x 和 t 都变化时 , 则方程表示各质元在不同时刻的位移分布，即波形图在移动 ( 行波 ) )(cosuxtAy )(cos

uxxttA

t t + t 波形图

-A

A

X

Y

0x

=ut

12

5. 波动方程还反映了波的时间和空间双重周期性 T 为时间周期性 为空间周期性

上式也表明 :t 时刻 x 位置的振动状态 ,经t 时间后传播到了 (x + ut ) 位置 , 故波速 u 也是相位传播的速度 .

三、波沿 X 轴负方向传播：)(cos),(

uxtAtxy

四、以 T 和作为参量的波动方程 :沿 X 轴正方向传播 )(cos

x

TtAy 2

沿 X 轴负方向传播)(cos

xTtAy 2

13

六、媒质中质点的振动速度和加速度 :)2sin(

xtAtyv

)2cos(22

2

xtAtya

)2(u

注意 : 质点的振动速度 v 不是波的传播速度u.

五、波动方程的一般表达式：)2cos(

xtAy

是 t=0 时刻 x=0 处质元振动的位相 , 即初位相 .

例题 : 原《习题集》 p119 2.

32 x

m3

Hzmx 100,5.0

smu /300

例题 1 ：一横波沿绳子传播，其波动表达式为(1)求此波的振幅、波速、频率和波长；(2)求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度；(3)求 x1=0.2m 处和 x2=0.7m 处二质点振动的位相差 .解 : (1) 用“参量比较法”可知 A =0.05m , 2π = =100π, 2π/=2π, =50Hz, =1m, u= =50 m/s,

(2)vm= A =5πm.s-1,

(3) )2100()2100( 21 xtxt

)2100cos(05.0 xty (SI)

am= A 2= 50π2 m.s-2

14

1. 根据行波原理从波形图上可以确定该质点的振动速度方向 ( 如图 ).

-A

A t t + t

X

Y

0

七、由波形图确定 t = t0 时刻某一质点的振动 速度方向和 t = t0 时刻的位相 u

15

2. 根据波形图上该质点的位移和速度方向 , 作旋转矢量图可确定 . 可以看作 t’= t - t0=0 时刻的位相 ( 该点的初位相 ).

例题 2 ：一平面余弦波在 t=0 时刻的波形曲线如图所示，求 O 点处质元的振动初位相 .

y =A cos [ ( t – t0 ) + ]该质点的振动方程与波线上的位置无关 , 为

例题 3 ：一平面余弦波在 t=2s 时刻的波形曲线如图所示，求 p 点处质元的振动方程 .

16

o x

y u解：0t

x=0 点 t=0 时刻 y=0, v >0 故初位相 = -/2

X(m)

o

Y(m) u=200m/s

100m

0.10.05

p

yo

yop 点 t=2s 时刻解： p

vp <0令 t’=t– 2 则 p 点 t=2s 时刻的位相即为 t’ =0 时刻 p 点的初位相

位相 = /3

22

u )(

3)2(2cos1.0 SIty p

故

1 、在行波传播过程中，质元的动能和势能相等，而且同位相。 ( 这与简谐振动质点的动能和势能的关系完全不同 )

§15-3 波的能量 能流密度 一、波的能量 ( 以平面余弦弹性纵波在棒中传播为例 )

棒上 x 处质元的体密度为，质量为 dm ，体积为 dV ，其动能和弹性势能 (证明从略 ) 为：)(sin

21 222

uxtdVAdEdE Pk

总机械能 )(sin222

uxtdVAdE

(Wave Energy, Energy Fluw Density)

17

结论：

动能和势能

其原因是： 当波传播到该质元时，该质元受力而被加速，同时被拉伸 (或压缩 ) ；当拉伸 (或压缩 ) 幅度达最大时，也正是该质元获得的末速度最大的时刻。这个过程进行得很快，以至该质元整体还未离开其平衡位置 .

18

2 、质元总机械能随时间作周期性变化，表明质元在不断地接受和放出能量，质元并未随波而去，即 : 机械波只传播能量，不传播物质 .二、能流密度1 、 能 量 密 度 ： )(sin222

uxtA

dVdEw

平均能量密度： 22

0 211 Awdt

Tw

T

( 对所有弹性行波都适用 )

2 、 能 流 密 度 ： 19

单位时间内通过垂直于波传播方向单位面积的平均能量 , 称为能流密度 , 也称波的强度 .

uAuwI 22

21

3 、波的吸收： 波的能量在传播过程中，部分被媒质吸收。平面波强度衰减的规律为 xeII 20

在、、 u 一定时，波的强度与振幅的平方成正比 .

称为吸收系数* 四、声强级以 1000 Hz 时的 I 下作为基准声强 I

0

010log10

IIL 单位 :分贝 (db) 100020 20000

I 上 =1

I 下 =10-12

··

o

I (W / m2)

(Hz)

§ 15-4 惠 更 斯 原理 媒质中波传到的各点，都可看作开始发射子波的子波源 ( 点波源 ) ；在以后的任一时刻，这些子波波面的包络面就是实际的波在该时刻的波前 .

( Huygens' Principle)

20

t

· ·

·

·

· ··

·

···

·

·

··

t + t

平面波

t+t 时 刻 波面

ut

波传播方向····

·t 时刻波面

球面波

( 几何描述法 )

波的反射和折射 ( 自学 )

不足 : 惠更斯原理未说明各子波在传播中对某一点的振动有多大贡献 .光学中菲涅耳作了补充 .

21a)惠更斯原理的实质是媒质中任一质元的振动将直接引起邻近各质元的振动，因而在波动中任一质元都可看成新的波源； b) 该原理对非均匀媒质也成立，只是波前的形状和传播方向可能发生变化。

§15-5 波 的 干涉一、波传播的独立性 媒质中同时有几列波时，每列波都将保持自己原有的特性 ( 传播方向、振动方向、频率等 ) ，不受其它波的影响 . 二、波的叠加原理 在几列波互相交叠的区域中某质元的振动是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成 .三、波的干涉

1. 干涉现象：波在相遇区域叠加时，在空间出现稳定的振动加强和减弱分布 .

(The Interference of Wave)

( 演示动画 )

22

2. 相干条件(1) 频率相同； (2) 有恒定的相位差 ；(3) 振动方向相同 .

3. 相干波加强和减弱的条件 S1 y10 = A10cos( t + 1)

S2 y20 = A20cos( t + 2)

设两列波的振动方向垂直于屏幕面( 满足相 干 条 件 的 波 称 相 干波 )

s2

s1

r2

r1

p

两列相干波在 p 点的分振动方程：)2cos( 1111 rtAy

)2cos( 2222 rtAy

pp

23

其中 A1<A10 A2<A20 ( 波的吸收所至 )两列相干波在 p 点的合振动方程 ：

y = y1 + y2 = A cos ( t + )

cos2 2122

21 AAAAA 合振幅：

相位差 : )(21212 rr

强度： 22

21 uAI

相干加强、减弱条件 :1.) 加强条件 k2 (k =0, 1, 2, 3, …)

cos2 2121 IIII

24

2.)减弱条件 )12( k (k =0, 1, 2, 3, …)

•若 A1 = A2 , 则 A=2A1

•若 A1=A2 , 则 A= A1 -A2 =

0若相干波源 s1 和 s2 的初位相相同 , 即 2=1且令 (r2 - r1)= ( 称为波程差 ) ，减弱条件： =± (2k+1) · /2 (k =0, 1, 2, 3, …)

加强条件： =±2 k·/2 (k =0, 1, 2, 3, …)

则 ：

注意：上述相干加强和减弱条件在光的 干涉、衍射中有很重要应用 .

Imax = 4 I1

Imin= 0

25

已知相干波源 s1 比 s2的位相超前 /2,每列波在二者连线上各点的强度均为 I0 ,分别求图中 p 和 p’ 点合成波的强度 .

.p 例题 1 ： 。 。s2 s1

r2

r1 3/4

.p's2 s1 。 。 3/4 r2

r1P 点 ： )(2

1212 rr

2

432

2

00000 42 IIIIII p

P' 点 ： )

43(2

202 0000 IIIII p

26

a ·

* 波 的衍射：波传播过程中遇到障碍物时 , 能绕过障碍物的边缘而传播的现象。

波腹

波节

oA

-A

y

x

o x

y2A

-2A

§15-6 驻波u u

一、驻波：两列相干波沿相反方向传播时叠加形成的波。(Standing Wave)

27( 动画 )

设 x = 0 处两波振动初位相均为 0(讨论方便 ) ，则： )2cos(1 xtAy 沿 X 轴 正 向 的波 )2cos(2 xtAy 沿 X 轴负向的波

t xAyyy cos2cos221 合振动

二、物理意义：1. x 点的质元作振幅为 的简谐振动；xA

2cos2

2. 同一时刻，凡 为正值的各质元的位 相都相同；

x2cos

28

凡为负值的各质元的位相也都相同 .3. 因为振动相位中没有位置坐标 x, 表明没有相位的传播 , 所以称之为“驻波” .

三、波腹和波节：波腹处 1|2cos| x

波节处 0|2cos| x

29

,2kx …2,1,0k

,4

)12( kx …2,1,0k

例题 2 ：在弦线上有一简谐波 )](3

)2002.0

(2cos[100.2 21 SIxty

为在此弦线上形成驻波，并在 x=0 处为波节，则此弦线上的另一简谐波表达式为 y2=?

解：设另一简谐波为 )]()2002.0

(2cos[100.2 22 SIxty

则位相差 ]3

)2002.0

(2[])2002.0

(2[ xtxt

3204

x

因 x=0 处为波节，所以 即 34

32 或

)](3

2)2002.0

(2cos[100.2 22 SIxty 故

四、半波损失媒质 1 与媒质 2 比较，密度和波速 u 的乘积 u 大者称为波密媒质，反之称为波疏媒质 .

入射波 u反射波u媒质 1

X0

媒质 2

半波损失：波从波疏媒质入射到波密媒质界面时，反射波在界面处的位相比入射波落后 ( 位相突变 ) ，这一现象称为半波损失 .

30

L XO

Y

B例题 3 ：已知入射波 )(])(2cos[1 SIxTtAy

在固定端 B 点发生反射，则反射波表达式为 y2=?)(])(2cos[ '

2 SIxTtAy

解：设反射波为

])(2[])(2[ ' LTtL

Tt则 在 x=L处

L4'

)(])2(2cos[2 SILxTtAy

解得

当波源 S 和接收器 R 有相对运动时 , 接收器所测得的频率 R 不等于波源振动频率 S 的现象。一、机械波的多普勒效应• 参考系 : 媒质

• S 为波源振动频率也为波的频率 , R 为接收频率1. 波源和接收器都静止 (VS =0, VR =0) R = S = u /

S R

• 符号规定 : S 和 R 相互靠近时，波源 S 相对媒质的速度 VS 和接收器 R 相对媒质的速度 VR均为正值 . S 和 R远离时， VS 和 VR 均为负值 ;

VS VR

§15-7 多 普 勒 效应 (Doppler Effect)

31

S = u / 2. 波源静止 ,接收器运动 (VS =0, 设 VR > 0 )

R

RVu

SR

uV )1(

3. 接收器静止 , 波源运动 (VR =0 , 设 VS >0)

RvRRRR

•若 VR= -u, 则 R =0VS=0

S

S´SVS

RVR=0

实

S= u / ,R = u / 实 ,

(若 VR<0, 则 R < S )

32

s

R

uVu/

s

R

uVu

实 = - VST

SS

R Vuuu

实

•若 VS= u, 则 R ，波前“聚拢” . (音障 )4. 接收器、波源都运动 ( 设 VS 、 VR 均 >0)

SS

RR Vu

Vu

· ·Su

VS

· ·• 若波源速度超过波速 (VS>u)☆ 超音速飞机会在空气 中激起冲击波

(若 Vs<0 则 R < S )

33=u/ S VS /S = （ u VS ）

/S

SR

cV

cV

cos1

1 2

2

V : S 与 R 相对速度的绝对值 1. 纵向效应

二、光波的多普勒效应

SR VcVc

22

2. 横向效应 SR cVc

22

横向效应频移 (=R-S) << 纵向效应的频移三、多普勒效应的应用

RS

R 参照系V

· ·

34

本章学习指导 (重点内容 )一 . 平面简谐波的波动方程：)2cos(

xtAy “-” 沿 X 轴正向“+” 沿 X 轴负向

•各量的物理意义；•同一列波上两质元间的振动位相差 )(2

12 xx

•简谐行波的传播特征：质元在原位振动；只传能量和位相；波的频率等于质元振动频率。二 . 由波形图确定振动速度方向、位相、 波动方程.叁 波的干涉： 相干条件；合振动强度；相干加强减弱条件 .

四 . 驻波

35

txAy cos2cos2