Прогнозирование орбиты астероида Апофис:роль интеграторов

Смирнов Е.А.ГАО РАН

7 сентября 2011 г.

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Введение

19 июня 2004 года в Kitt Peak Observatory (Аризона) былоткрыт астероид, получивший кодовое имя 2004 MN4(впоследствии Апофис).По начальным расчётам его орбита пересекала орбитуЗемли, и существовала возможность столкновения вапреле 2029 года.После дополнительных наблюдений возможностьсоударения в 2029 году была исключена.Существует вероятность соударения Апофиса с Землёй в2036 и последующих годах.

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Введение

19 июня 2004 года в Kitt Peak Observatory (Аризона) былоткрыт астероид, получивший кодовое имя 2004 MN4(впоследствии Апофис).По начальным расчётам его орбита пересекала орбитуЗемли, и существовала возможность столкновения вапреле 2029 года.После дополнительных наблюдений возможностьсоударения в 2029 году была исключена.Существует вероятность соударения Апофиса с Землёй в2036 и последующих годах.

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Введение

19 июня 2004 года в Kitt Peak Observatory (Аризона) былоткрыт астероид, получивший кодовое имя 2004 MN4(впоследствии Апофис).По начальным расчётам его орбита пересекала орбитуЗемли, и существовала возможность столкновения вапреле 2029 года.После дополнительных наблюдений возможностьсоударения в 2029 году была исключена.Существует вероятность соударения Апофиса с Землёй в2036 и последующих годах.

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Введение

19 июня 2004 года в Kitt Peak Observatory (Аризона) былоткрыт астероид, получивший кодовое имя 2004 MN4(впоследствии Апофис).По начальным расчётам его орбита пересекала орбитуЗемли, и существовала возможность столкновения вапреле 2029 года.После дополнительных наблюдений возможностьсоударения в 2029 году была исключена.Существует вероятность соударения Апофиса с Землёй в2036 и последующих годах.

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Туринская шкала

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Исследования по Апофису

Анализ сближения 2029 года, оценка размера “замочнойскважины” (S. Chesley, Proc. of the IAU. 215 (2006)).Возможные уточнения орбиты после дополнительныхнаблюдений, оценка влияния малых эффектов (J. D. Giorgini

et al. Icarus, V. 193, 1 (2007)).Сравнение элементов орбиты Апофиса различных групписследователей, анализ сближения 2029 года, оценкапогрешности метода Эверхарта (T. A. Vinogradova et al. Solar

System Research. V. 42, 271 (2008)).Возможные двухтельные резонансы и переходы междуними (L.L. Sokolov et al. Solar System Research. V. 43, 319 (2009)).Карта будущих сближений (D. K. Yeomans et al. 1 IAA Plant. Def.

Conf. 1-13 (2010)).Предсказание орбиты Апофиса методамидифференциальной алгебры, анализ минимальногорасстояния методом Монте–Карло (R. Armellin. Cel. M. and Dyn.

Astron. V. 107, 451 (2010))Смирнов Е.А. ГАО РАН

Численное интегрирование

Для прогнозирования орбиты Апофиса используютсяметоды численного интегрирования уравнений движения.При подобных расчетах возникает несколько видовпогрешностей:

неустранимая погрешность в исходных данных,погрешность метода,вычислительная погрешность.

Только использование различных интеграторов может датьобъективный прогноз орбиты.

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Интеграторы

Симплектический интегратор Йошиды 8 порядкаПредиктор–корректор 8 порядкаСамостартующий алгоритм Эрмита 4 и 6 порядковИнтегратор Паркера–СочакиЭкстраполяционный метод Булирша–ШтераИнтегратор Эверхарта 15 порядка

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Тесты

Для проверки результатов, полученных методами численногоинтегрирования, использовались следующие методы:

Интегрирование вперёд-назад по времени.Интегрирование задачи двух тел.Интегрирование задачи трёх тел с известным решением.Интегрирование модельной задачи N тел (Солнечнаясистема).

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Тестирование: задача двух тел

Рассматривалась безразмерная задача двух тел (массацентрального тела и гравитационная константа полагалисьравными единице). Для проверки вычислялась нормированнаяразность кеплеровой энергии до и после интегрирования:

δ =E − E0

E0,

где δ — нормированная разность, E0,E — кеплерова энергия дои после интегрирования.

Интегратор РазностьПК-8 6.41 · 10−10

Йошиды 9.36 · 10−15

Паркера–Сочаки 3.72 · 10−10

Булирша–Штера 4.29 · 10−15

Эрмита 6.23 · 10−8

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Тестирование: интегрирование Солнечной системы

Оценивалась разность между положением планет иэфемеридами DE405.

Интегратор РазностьПК-8 2.53 · 10−11

Йошиды 3.81 · 10−11

Паркера–Сочаки 7.42 · 10−10

Булирша–Штера 3.59 · 10−12

Эрмита 3.85 · 10−7

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Тестирование: интегрирование Солнечной системы

∆ =∑i

E − Ei

Ei

Интегратор РазностьПК-8 2.53 · 10−11

Йошиды 3.81 · 10−11

Паркера–Сочаки 7.42 · 10−10

Булирша–Штера 3.59 · 10−12

Эрмита 3.85 · 10−7

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Тестирование: интегрирование Солнечной системы

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Модель

Гелиоцентрическая прямоугольная система координат.Эфемериды DE405.Учитывались возмущения от всех планет и Плутона.Учитывалась несферичность Земли до гармоники второгопорядка.Не учитывались эффект Ярковского и солнечное давление.

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Определение погрешности

Для вычисления погрешности интегрировались орбиты10000 виртуальных астероидов с начальными данными,взятыми по нормальныму распределению и находящимисяв пределах погрешности исходных данных.За ошибку было принято среднеквадратичное отклонениеминимального расстояния между Землей и Апофисом отаналогичной величины для номинальной орбиты.

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Расстояние между Землёй и Апофисом

Метод Расстояние (а.е.) Расстояние (км)Эрмита 6 0.00025603283 38300±1800Йошиды 8 0.00025476945 38110±1290

ПК-8 0.00025498335 38150±1420Паркера–Сочаки 0.00025555822 38230±2920Булирша–Штера 0.00025481646 38120±940

Эверхарта 0.00025555822 37650±3490

Таблица: Минимальное расстояние между центром Земли иАпофисом 13 апреля 2029 года, с ошибкой 3σ

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Расхождения в интеграторах

2 4 5 4 0 0 0 2 4 5 6 0 0 0 2 4 5 8 0 0 0 2 4 6 0 0 0 0 2 4 6 2 0 0 0 2 4 6 4 0 0 0- 3 , 0 x 1 0 - 2

- 2 , 0 x 1 0 - 2

- 1 , 0 x 1 0 - 2

0 , 0

1 , 0 x 1 0 - 2

2 , 0 x 1 0 - 2

3 , 0 x 1 0 - 2���

�����

J D

Рис.: Расхождения между интеграторами при обычном шагеСмирнов Е.А. ГАО РАН

Расхождения в интеграторах

2 4 5 4 0 0 0 2 4 5 5 5 0 0 2 4 5 7 0 0 0 2 4 5 8 5 0 0 2 4 6 0 0 0 0 2 4 6 1 5 0 0- 6 , 0 x 1 0 - 5

- 4 , 0 x 1 0 - 5

- 2 , 0 x 1 0 - 5

0 , 0

2 , 0 x 1 0 - 5

4 , 0 x 1 0 - 5

6 , 0 x 1 0 - 5���

�����

J D

Рис.: Расхождения между интеграторами при уменьшенном шагеСмирнов Е.А. ГАО РАН

Изменение минимального расстояния

Смирнов Е.А. ГАО РАН

АпофисБудущие сближения

a (а.е.) Дата сближения Расст. (км)0.9223398648 2036.4.13.35881 13600.9223400472 2037.4.13.65132 34020.9223402057 2038.4.13.96329 79900.9223406409 2042.4.12.98387 679370.9223401205 2046.4.13.31502 510.9223397906 2049.4.13.20936 213510.9223399286 2051.4.14.11641 87140.9223398232 2056.4.14.04911 172833

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Выводы

1 Оценена точность интеграторов на примере модельныхзадач двух и трех тел, а также задачи N тел (на примереСолнечной Системы). Наиболее оптимальными дляпрогнозирования орбиты Апофиса методами оказалисьметоды Булирша-Штера, ПК-8 и Йошиды.

2 Различными методами вычислено минимальноерасстояние между астероидом Апофис и Землёй 13 апреля2029 года и его ошибка. Оно составило 38113±1290 км,38145±1420 км, 38300±1800 км, 37650±3490 км,38230±2920 и 38120±940 для методов Йошиды, ПК-8,Эрмита, Эверхарта, Паркера–Сочаки и Булирша–Штера,соответственно.

3 Проведён анализ различий в расстояниях между центромЗемли и Апофисом до и после сближения 13 апреля 2029года, вычисленных различными интеграторами.

4 Рассчитаны возможные сближения и соударения Апофисас Землёй до 2056 года.

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Выводы

1 Оценена точность интеграторов на примере модельныхзадач двух и трех тел, а также задачи N тел (на примереСолнечной Системы). Наиболее оптимальными дляпрогнозирования орбиты Апофиса методами оказалисьметоды Булирша-Штера, ПК-8 и Йошиды.

2 Различными методами вычислено минимальноерасстояние между астероидом Апофис и Землёй 13 апреля2029 года и его ошибка. Оно составило 38113±1290 км,38145±1420 км, 38300±1800 км, 37650±3490 км,38230±2920 и 38120±940 для методов Йошиды, ПК-8,Эрмита, Эверхарта, Паркера–Сочаки и Булирша–Штера,соответственно.

3 Проведён анализ различий в расстояниях между центромЗемли и Апофисом до и после сближения 13 апреля 2029года, вычисленных различными интеграторами.

4 Рассчитаны возможные сближения и соударения Апофисас Землёй до 2056 года.

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Выводы

1 Оценена точность интеграторов на примере модельныхзадач двух и трех тел, а также задачи N тел (на примереСолнечной Системы). Наиболее оптимальными дляпрогнозирования орбиты Апофиса методами оказалисьметоды Булирша-Штера, ПК-8 и Йошиды.

2 Различными методами вычислено минимальноерасстояние между астероидом Апофис и Землёй 13 апреля2029 года и его ошибка. Оно составило 38113±1290 км,38145±1420 км, 38300±1800 км, 37650±3490 км,38230±2920 и 38120±940 для методов Йошиды, ПК-8,Эрмита, Эверхарта, Паркера–Сочаки и Булирша–Штера,соответственно.

3 Проведён анализ различий в расстояниях между центромЗемли и Апофисом до и после сближения 13 апреля 2029года, вычисленных различными интеграторами.

4 Рассчитаны возможные сближения и соударения Апофисас Землёй до 2056 года.

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Выводы

1 Оценена точность интеграторов на примере модельныхзадач двух и трех тел, а также задачи N тел (на примереСолнечной Системы). Наиболее оптимальными дляпрогнозирования орбиты Апофиса методами оказалисьметоды Булирша-Штера, ПК-8 и Йошиды.

2 Различными методами вычислено минимальноерасстояние между астероидом Апофис и Землёй 13 апреля2029 года и его ошибка. Оно составило 38113±1290 км,38145±1420 км, 38300±1800 км, 37650±3490 км,38230±2920 и 38120±940 для методов Йошиды, ПК-8,Эрмита, Эверхарта, Паркера–Сочаки и Булирша–Штера,соответственно.

3 Проведён анализ различий в расстояниях между центромЗемли и Апофисом до и после сближения 13 апреля 2029года, вычисленных различными интеграторами.

4 Рассчитаны возможные сближения и соударения Апофисас Землёй до 2056 года.

Смирнов Е.А. ГАО РАН

Благодарности

Автор приносит благодарность О.М. Кочетовой, Л.Л. Соколову,И.И. Шевченко и В.А. Шору за замечания и комментарии кработе.

Смирнов Е.А. ГАО РАН