Анализ траекторий для космической экспедиции к астероиду Апофис с

возвращением к Земле

Научный семинар, посвященный 100-летию со дня рождения проф. П.Е. Эльясберга,

Таруса, Россия, 17-19 июня, 2014 г.В.В. Ивашкин

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, МГТУ им. Н.Э.БауманаИ.В. Крылов, А. Лан

МГТУ им. Н.Э.Баумана

2

Содержание

1. Введение………………… ……………………………………...…3 2. Случай экспедиции с комбинированной двигательной установкой большой и малой тяги.…………………………… 7 2а. Схема полета………………………………………………..……7 2б. Постановка задачи………………………………..……..………8 2в. Геоцентрический разгон КА …………………….…….………9 2г. Гелиоцентрическое движение КА. Математическая модель ………………………………………10 2д. Результаты анализа ………...………………………………….11 3. Случай экспедиции с двигательной установкой большой

тяги. …………………………………………………………………..17

4. Исследование движения КА вокруг астероида….…….……..21 5. Выводы……………..……………………………………………..28

3

I. ВВЕДЕНИЕ

Проблема астероидно-кометной опасности для Земли. 1. Ивашкин В.В., Крылов И.В. Оптимальные траектории перелета КА с малой электро-реактивной тягой к астероиду Апофис // Доклады Академии Наук, 2012. Т. 445, № 1. С. 32-36. 2. Ивашкин В.В., Крылов И.В., Лан А. Оптимальные траектории для экспедиции КА к астероиду Апофис с возвращением к Земле // Астрономический Вестник, 2013. Т. 47. № 4. С. 361-372. 3. Ивашкин В.В., Крылов И.В. Оптимизация траекторий перелета космического аппарата с большой и малой тягой к астероиду Апофис // Косм. Иссл., 2014. Т. 52. №2. C.113–124.

4

I. ВВЕДЕНИЕ

4. Ивашкин В.В., Крылов И.В., Лан А. Анализ оптимальных траекторий экспедиции КА к астероиду Апофис с возвращением к Земле // Международный научный журнал "Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества". Кубанский Государственный университет, 2013. № 4. T. 3. C. 80-84.5. Ivashkin V.V., and Lang A. Optimal Spacecraft Trajectories for Flight to Asteroid Apophis with Return to Earth Using Chemical High Thrust Engines // 2nd IAA Conference on Dynamics and Control of Space Systems. Roma, Italy, March 24-26, 2014. Proceedings. Paper IAA-AAS-DyCoSS2-14-15-02. 15 p.

5

6. Ивашкин В.В., Крылов И.В., Лан А. Анализ характеристик траекторий для полета космического аппарата к астероиду Апофис с возвращением к Земле // XII Забабахинские научные чтения ЗНЧ-2014, РФЯЦ – ВНИИТФ, Снежинск, Россия, 2-6 июня, 2014. Тезисы докладов. Доклад 1-40. С. 15-16.

6

I. ВВЕДЕНИЕ

В настоящей работе определяются и исследуются энергетически оптимальные траектории полета КА для экспедиции на астероид Апофис, включающей: полет к Апофису, пребывание у астероида некоторое время и последующее возвращение к Земле. Предполагается, что для выведения и разгона у Земли используется РН типа «Союз» с разгонным блоком «Фрегат». Исследованы две группы полетов:- Oдна группа включает полеты КА с использованием химических двигателей большой тяги для разгона от Земли и электро-ракетных двигателей малой тяги для межпланетного полета; - Другая группа включает полеты КА с использованием только химических двигателей большой тяги. - Рассмотрены полеты в 2019-2022 гг. Основной вывод: экспедиция может быть осуществлена в обоих случаях, хотя полезная масса заметно больше в первом случае.

7

2а. Случай комбинированной двигательной установки большой и малой тяги

Основные этапы такой экспедиции к Апофису: Выведение КА на переходную орбиту ИСЗ; затем –

геоцентрический разгон КА двигателями большой тяги (ДБТ), время t[t0, t1];

Гелиоцентрический перелёт КА от Земли к Апофису с двигателями малой тяги (ДМТ), t[t1, t2] (в момент t2 выравниваются координаты и скорости КА и астероида);

Приастероидный этап, t[t2, t3]: выход КА на орбиту спутника астероида, пребывание КА у астероида и на его поверхности, отлёт КА от астероида, у Апофиса остается мини-спутник

для наблюдений и измерений; Гелиоцентрический перелёт КА от Апофиса к Земле с ДМТ,

t[t3, t4] (в конечный момент выравниваются координаты КА и Земли);

Отделение СА, вход в атмосферу Земли, торможение, посадка

8

2б. Постановка задачиПри условии выполнения требований схемы перелёта и

полагая, что Начальное время t1 [25.06.2019; 27.09.2022]; Общее время экспедиции t4 – t1 = 730 суток, Время пребывания у астероида t3 – t2 = 30 сут, ДМТ имеет мощность в струе N=3.75 квт, скорость

истечения we=25 км/с,необходимо определить: Граничные времена экспедиции t1, t2 , t3, t4 , величину и направление вектора скорости «на беско-

нечности» при геоцентрическом разгоне, а также программы управления ДМТ на [t1, t2] и [t3, t4], чтобы

масса КА в конечный момент mf была максимальной.

9

2в. Геоцентрический разгон КА с большой тягой

Выведение KA на низкую околоземную орбиту осуществляется ракетой «Союз – ФГ», которая обеспечивает доставку массы 7130 кг на высоту 200 км.

Для геоцентрического разгона КА до второй космической скорости или до гиперболической скорости используется разгонный блок «Фрегат», оснащенный двигателями с большой тяги. Скорость истечения частиц в реактивной струе W ~ 3.2 км/с.

После разгона КА движется к границе сферы действия Земли. Далее – гелиоцентрический полет к Астероиду.

10

2г. Гелиоцентрическое движение КА. Математическая модель

var,,

,,)3(

Earth-Apophis 2.

,,

,,)2(

Apophis-Earth 1.

: conditionsBoundary

)1(

:y trajectorSpacecraft

44E4

3A33A3

2A22A2

1E11E1

3

vrr

vvrr

vvrr

lvvrr

ur

rv

vr

t

tt

tt

Vtt

m

1

2

дв

2

дв

Functional for IT:

4 1 3

Functional for PCT:

5 max, j 2,4.

Limitation for case of PCT:

26 0

where:

2

max

( ) min, , .

( ) ( )

( ) , ,

ti

i

ti

j j

J u dt i

J m t

NF F

W

F

m

WN

F

F u

11

2д. Результаты анализа

Задача решается в три этапа. Сначала - для случая идеальной неограниченной по величине тяги при заданной мощности ДУ, при нулевой скорости на бесконечности после разгона от Земли. Затем находится оптимальная скорость на бесконечности V∞. На заключительном, 3 этапе учитывается ограничение на тягу двигателя.

На 1 и 2 этапах для обоих гелиоцентрических участков Земля-Апофис и Апофис-Земля при заданных граничных временах участков находятся оптимальные траектории с минимальными значениями функционала J. На третьем зтапе максимизируется конечная масса КА.

Решение задач отыскивается на основе комбинированного метода c применением на конечном этапе принципа максимума с методом продолжения по параметру [Ивашкин, Крылов. ДАН, 2012, т. 445. № 1, с. 32-36].

12

2д. Численные результаты - 1. Перелёт Земля - Апофис

Рис.1. Зависимости функционала J1 (t1) для различных времен продолжительности перелёта Земля - Апофис в сутках – для идеальной тяги, нулевой скорости на бесконечности после разгона от Земли.

0 1 2 3-6.5

-6.25

-6

-5.75

-5.5

-5.25

-5

-4.75

-4.5

-4.25

-4

185

230

275

320

365410500

545

log(J1)[км2/сек 3]

(t1 – 1.01.2020), годы455

13

2д. Численные результаты - 2. Перелёт Апофис - Земля

Рис. 2. Зависимости функционала J3(t3) для различных времен продолжительности перелёта Апофис - Земля в сутках - для идеальной тяги, нулевой скорости на бесконечности после разгона от Земли

-2 -1 0 1 2 3-9

-8.5

-8

-7.5

-7

-6.5

-6

-5.5

-5

-4.5

-4log(J3)[км2/сек3] 3 ] 185

230275

365

320

410

455

500

545

(t3 – 1.01.2020), годы

14

2д. Численные результаты - 3. Оптимальный функционал

Рис. 3. Суммарный оптимальный функционал J1 + J3 (t1) при продолжительности экспедиции 2 года - для идеальной тяги, нулевой скорости на бесконечности после разгона от Земли.

-0.5 0 0.5 1-6.2

-6.1

-6

-5.9

-5.8

-5.7

-5.6

-5.5log(J1+ J3)[км2/сек3]

TE

(t1 – 1.01.2020), годы

15

2д. Численные результаты-1. Характеристики экспедиции с кусочно-постоянной тягой

Полезная масса КА у Земли (без ДУ):

mP =mКА= m(t4) – m* – k(m(t1) – m(t4))=993 кг.

Оценка полезной массы с учетом коррекции - 980 кг.

t1 (opt), дата ∆t1

(opt), сут m(t2), кг

22.04.2020 368 1391

t3 (opt), дата ∆t3

(opt), сут mf =m(t4), кг

25.05.2021 332 1343

Табл. 1. Характеристики траектории Земля-Апофис-Земля с ДМТ, суммарное время полета ∆t=730 сут.

16

2д. Численные результаты - 1. Траектории КА

Рис. 4, Рис. 5. Орбиты Апофиса, Земли, а также оптимальные траектории перелёта Земля-Апофис и Апофис-Земля с малой тягой (точки P1, P2, P3, P4 соответствуют моментам t 1, t 2, t 3, t 4).

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

0

Y, a.u.

X, a.u.

Earth

Apophis

SC

P1

P2

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

0

Y, a.u.

X, a.u.

Earth

ApophisSC

P3

P4

17

3. Случай экспедиции с двигательной установкой большой тяги - aСхема полета аналогична предыдущему случаю, но все маневры

делаются с помощью химических двигателей большой тяги (ДБТ «Фрегата» у Земли и дополнительного ДБТ для дальнего космоса, со скоростью истечения ~3 км/с). На гелиоцентричес-ких участках полет – пассивный, есть только малые коррекции.

В данном случае при задании граничных времен экспедиции гелиоцентрические орбиты для перелета от Земли к Апофису и от Апофиса к Земле определялись двукратным решением задачи Эйлера-Ламберта (с учетом возможности совершения одного пассивного витка по орбите). При этом вычислялись скорости: V1 - при отлете от Земли, V2 - при подлете к Апофису, V3 - при отлете от Апофиса, V4 - при подлете к Земле. Эти скорости определяют импульсы :

∆V1 для разгона от Земли, ∆V2 для торможения у Апофиса, ∆V3 для разгона от Апофиса, а также массы КА и оптимальные траектории с максимальной полезной массой - для различных времен экспедиции .

18

3. Случай экспедиции с двигательной установкой большой тяги - b

ИД: (t4–t1)[390; 730] сут; t3–t2=7 сут; t1 [1.05.2019; 31.12.2020]; Полезная масса КА в функции от полного времени mP=mКА (∆t) :

<1витка: 180 кг(∆t=420 сут); 182 кг (∆t=450 сут); >1витка:186 кг (∆t=540 сут); 180 кг(∆t=630сут); 235 кг (∆t=660 сут); 265кг (∆t=690сут); 224 кг (∆t=730сут)

∆t=t4 – t1 , cут t1 , дата ∆t1 , сут

690 24.05.2019 335

∆t3 , сут t4 , дата mf /mP кг

348 13.04.2021 513/265

Табл. 2. Характеристики траектории Земля-Апофис-Земля с ДБТ, суммарное время полета ∆t=690 сут.

19

3. Случай экспедиции с двигательной установкой большой тяги - c

Рис 6, Рис. 7. Орбиты Апофиса, Земли, а также оптимальные траектории перелёта Земля-Апофис и Апофис-Земля в случае большой тяги (точки P1, P2, P3, P4 соответствуют моментам t 1, t 2, t 3, t 4).

20

3. Случай экспедиции с двигатель-ной установкой большой тяги - d

Табл. 3. Оценка полезной массы КА при уточненных исходных данных для РН «Союз-ФГ», «Союз-2», Зенит»:

t «Союз-ФГ»

m0=7130 кг«Союз-2»

m0=8250 кг

«Зенит»

m0=14000 кг

450 сут 158 кг 208 кг 545 кг

690 сут 230 кг 301 кг 685 кг

21

4. Исследование движения КА вокруг астероида - a

В соответствии с рассмотренной схемой полета полагаем, что после подлета КА к астероиду он переходит на орбиту его спутника радиусом около 500 м и, двигаясь по этой орбите в течение ~ 7 сут, исследует астероид. Предполагается также выведение мини-аппарата на более удаленную орбиту спутника астероида (радиусом несколько км), чтобы он после отлета основного КА к Земле продолжил проводить измерения в течение нескольких лет. Имея в виду эту схему экспедиции, был выполнен анализ динамики движения КА вокруг астероида. При этом были учтены два типа возмущений: притяжение удаленных небесных тел (Солнце, Земля, Венера, Юпитер) и влияние несферичности Апофиса.

22

4. Исследование движения КА вокруг астероида - b

Начальная орбита КА взята круговой с радиусом в диапазоне 0.5-5 км. Для анализа влияния несферичности астероида на данном этапе использована приближенная модель однородного удлиненного эллипсоида вращения вокруг оси минимального момента инерции. Рассмотрены случаи, когда удлинение, т.е. отношение большой и малой полуосей эллипсоида, меняется в диапазоне = (1.1; 1.5; 2). Ниже даются результаты для удлинения = 2.

The effect of the far celestial bodies gravity

(the initial asteroid position corresponding to the SC optimal trajectory with u>2π,t = 690 days).

Fig. 8. Distance to the asteroid

center r, r0=0.5 km

(effect of far bodies gravity).

If initial radius increases as much as two times, the variations of the SC motion increases at about one and a half order, being small enough and increasing to ~ 25 m for r0=5 km.

Figures 9-12 give the variation of the distance r as well as the semi-major axis a, inclination i, and ascending node Ω of the spacecraft orbit during 5 years for initial circular orbit with the radius 1 km, and for the same asteroid initial position, effect of far bodies.

The effect of the no-spherical structure of the asteroid

We used an approximate model of homogeneous ellipsoid of rotation around its axis of minimal moment of inertia, that is a prolate spheroid.

Figure 13. Distance to the asteroid

center r, during 7 days, for

r0=0.5 km, under effect of

ellipsoid gravity, for c/a=2

Figure 14. Distance to the asteroid

center r, during 5 years, for

r0=1 km, under effect of

ellipsoid gravity.

26

4. Исследование движения КА вокруг астероида - c

Рис. 15, 16. Расстояние до центра масс астероида r, а также расстояние в перицентре rp в течение 7 сут, для начального

радиуса r0=0.5 км при совместном влиянии далеких небесных тел и несферичности астероида.

27

4. Исследование движения КА вокруг астероида - d

Рис. 17. Расстояние до центра масс астероида r в течение 5 лет, для начального радиуса r0= 2 км при совместном влиянии далеких

небесных тел и несферичности астероида.

Анализ эволюции орбиты показывает, что орбита КА довольно стабильна в рамках рассмотренной модели астероида.

28

5. Выводы Использование РН «Союз-ФГ» с блоком «Фрегат» и двигателя

малой электрореактивной тяги позволяет осуществить за два года экспедицию к астероиду Апофис и вернуться назад к Земле в 2019-2022 гг с пребыванием КА у астероида в течение ~ месяц, вернув к Земле аппарат с полезной массой ~ 1000 кг.

При полете только с обычными химическими двигателями большой тяги и использовании для выведения и разгона ракет типа «Союз-ФГ», «Союз-2», «Зенит» и разгонного блока «Фрегат» также можно осуществить в 2019-2021 гг экспедицию к астероиду и назад, правда, полезная масса КА здесь меньше, ~200-680 кг.

Выполненный анализ орбитального движения КА вокруг астероида показал, что в рамках принятой модели астероида можно выбрать достаточно стабильную орбиту спутника

астероида. Спасибо за внимание!