数学与科技进步

沈 灏 2012.09.10

haoshen@sjtu.edu.cn

参考文献 （部分）1.M. 克莱因，古今数学思想（全四册），上海科技出版社，2. 张顺燕，数学的 源与流，高等教育出版社，3. 邓东皋等，数学与文化，北京大学出版社，4.G. 哈代，一个数学家的辩白，5. 沈灏，数学在科学中的地位与作用， 超星视频

第一章 . 数学在科学中的地位

1.1. 何谓科学？何谓技术？ 科学 (Science): 是对客观规律的认识、揭示和描述 的系统知识； 技术 (Technoledge): 则是人们为了各种特定的目的 在科学理论指导下从事的种种发明与创造等等 .

“科学”一词源于拉丁文 scientia, 原为“知识”与“学问”之意 .

1.2. 梁启超关于“学”与 “术”的定义

学也者，观察事物而发明真理者也；术也者，取所发现之真理致之用者也 . 譬如以石投水则沉，投以木则浮 . 观察此事实以证明水之右浮力，此物理也 . 应用此真理以驾驶船舶，则航海术也 . 研究人体之组织，辨别各器官之机能，此生理学也 . 应用此真理以疗治疾病，则医术也 . 学与术之区分及其相关系，凡百皆准此 .

梁启超 , 《学与术》， 1911

1.3. 中译名“科学”之由来 明清时期，与 science 意义最相近的中文词语为“格

致”，即“格物致知”之意 , 徐光启称之为“格物穷理之学” .

明治维新时期 , 日本学者西周将 science 译为“科学” ,

其意为“分科之学” . 在古代中国 ,“ 分科之学”与“分科取士”的科举考试

相关，因此，虽然“科学”一词在中国古已有之，然而它只和科举有关，而和 science 无关 .

十九世纪九十年代，康有为首次将“科学”作为science 的译名从日本引入中国 .

自此至 1905 年，“科学”与“格致”并用 .

1905年 , 清政府废科举 , 兴新学 . 自此以后，“科学”逐步取代“格致” , 专以指代science.

1.4. 自然科学与自然哲学 “ 科学”一词 , 原来主要是指自然科学 (Natural

science ）也称自然哲学（ Natural Philosophy） .

例如， Newton 的名著叫作《自然哲学的数学原理》 .

广义的“科学”不但包括自然科学 , 还包括社会科学，人文科学等大类 .

1.5. 科学与技术之间的关系 学为术之体，术为学之用 上述说法不无道理，但失诸片面 : 技术固然要接受科学理论的指导，必须符合科学规律才有可能有所发明，有所创造；

反之 , 技术的进步也会为科学研究提供更多更好的 方法和手段，促进科学的发展 .

1.6. 有“闲”最难

从事科学研究的三个基本条件：

一曰 有“才”；二曰有“财”；三曰有“闲” .

有“闲”最难 .

科学是不讲功利的，而技术是一定要讲功利的 .

从个人来说，研究科学的动机是什么？ 是人的与生俱来的好奇心， 是人们探究未知世界奥秘的无穷无尽的乐趣 .

1. 7. 从事科学研究（做学问）的三个境界：

昨夜西风凋碧树，独上层楼，望断天涯路； 为伊消得人憔悴，衣带渐宽终不悔； 众里寻她千百度，蓦然回首，那人恰在灯火阑珊处 .

-----王国维：《人间词话》

1.8. 科学的一种分类法 : 自然科学—“物理”之学； 社会科学—“事理”之学； 人文科学—“情理”之学； 哲学； 数学 .

1.9.六门基础科学

数 ,理 ,化 ,天 ,地 , 生

1.10. 科学精神

最简洁的表达可概括为两个字：

求 是

1.11. 数学之用

数学的计算功能； 数学是描述科学理论的合适语言； 数学是发现科学规律的锐利武器； 数学是培养学生思维能力的理想载体； 数学的哲学意义； 数学的美学价值 .

第二章 . 代数结构与序结构2.1.集合与一一对应定义 2.1.设 X 与 Y 为两个非空集合 ,f 为从集合X 到集合 Y 的一个对应规则 ,使得对 X中的任意一个元素 x,都有 Y 中惟一的一个元素 y 与之对应 , 则称 f 为从 X 到 Y 的一个映射 (mapping), 而将 y 叫作元素 x 在映射 f作用之下的象 ,记作 y=f(x).

定义 2.2.设 f 为从集合 X到 Y 的一个映射 :

(i)若对 Y 中任一元素 y,都存在 X 中某个元素 x,

使得 y=f(x), 则称 f 为从 X 到 Y 上的一个 满射 (surjection),或称 f 是映上的(surjective);

(ii)若对 X 中任意两个不同元素 s, t, 只要 s≠t,

都有 f(s)≠f(t), 则称 f 为从 X到 Y 的一个单射 (injection);

(iii) 若 f 既是单射又是满射 , 则称 f 为从 X 到 Y 上的一个双射 (bijection),或一一对应 (one to one correspondance).

2.2.集合的基数定义 2.3.设 X与 Y 为两个集合 ,若存在从 X 到 Y 上的一个一一对应 , 则称 X与 Y 的基数(cardinal)或称 X与 Y 等势 ,记作│ X│= │Y│,这里│ X│表示集合 X 的基数 .

若 X 是包含m 格元素的有限集，则定义 X 的基数为 m ，即│ X│=m.

空集的基数为零，即│Φ.

定义 2.4.设X与Y 为两个集合，若X存在某个子集U使得 │U│= │Y│ ，则称 X 的基数不小于 Y 的基数，记作 │X│ ≥│Y│.

若│X│ ≥│Y│ 但对 Y 的任一子集V ，都不存在从 V到X 上的一一对应，则称 X 的基数大于 Y

的基数，记作 │X│ >│Y│.

命题 2.1.若│ X│ ≥│Y│ 与│ Y│ ≥│X│同时成立，则必 │X│ =│Y│.

2.3.可数集

定义 2.5.令 N表示由全体正整数组成的集合 .设X 为任一集合，若 │X│= │N│ ，则称 X 为可数集 (countable set),否则称 X 为不可数集 .

例 2.1.(i) 全体偶数的集合是可数集 ;

(ii) 全体 3 的倍数组成的集合是可数集； (iii)令 S={7t+5 │t 为任意正整数 } ， 则 S 为可数集 .

思考题 .1.令 Q 表示由全体有理数组成的集合 , 证明： Q 是可数集 .

思考题 :

1.令 Q 表示由全体有理数组成的集合 ,

证明： Q 是可数集 .

2. 证明 : 有限集不可能与其真子集基数相同； 无限集必与它的某个真子集基数相同 .

扩展阅读：全体实数组成的集合记作 R ，证明：R 是不可数集 .

•实数集R 的基数叫作连续统势 .

思考题 3. 证明：全体实数的集合R 与全体复数组成的集合 C 的基数相同，即│C│= │R│.

2.4.偏序关系与偏序集定义 2.6.令 S 为一个非空集合 ,在 S 上给定一个关系 ,记作“ ≤” ,若“ ≤”具有下述性质： (i) 自反性 :对 S 中任意元素想 x, 都有 x≤x;

(ii)反对称性 :由 x≤y 与 y ≤x 都成立必有 x=y ；(iii)传递性 :由 x≤y 与 y ≤z同时成立必有 x≤z.

则称“ ≤”为集合 S 上的一个偏序关 (partial ordering), 而把序对 (S, ≤) 叫作一个偏序集(partially ordered set).

例 2.2.设 n 为给定之正整数， S 为由 n 的全体正因数组成的集合，则 S 关于整数的整除关系构成一个偏序集 .

例 2.3. 设 A 为给定之有限集， S 为由 A 的全体子集 ( 包括 S 本身与空集Φ ）组成的集合，则S 关于集合的包含关系构成一个偏序集 .

2.5. 全序集若 x≤y 但 x≠y ，则记作 x<y.

定义 2.7.设 (S, ≤) 为一个偏序集，若对 S

中任意两个不同元素 x与 y ，在 x <y与 y<x两式之中必有且只有一式成立，则称（ S, ≤）为一个全序集 (totally ordered set).

例 2.4. 全体实数的集合 R 关于实数的小于等于关系是一个全序集（ R,≤ ）；全体正整数集合 N 关于此“≤”也构成一个全序集 .

思考题 4：举出一些你在专业学习或生活中用到的偏序关系和偏序集以及全序集之例 .

2.6.复数域的公理化通常用 C表示全体附属的集合，在 C 上定义有两个基本的代数运算 :加法和乘法 .复数关于这两种运算具有下述基本性质： 1 ）加法交换律 : 对任意元素 a,b都有 a+b= b+a ； 2 ）加法结合律：对任意元素 a,b,c,都有 (a+b)+c= a+(b+c);

3 ）零元存在 : 对任意元素 a ，都有 0+a= a ； 4 ）负元存在 : 对任意元素 a,都存在某个元素 x使得 a+x= 0 ， x 叫做 a 的负元，记作 – a ； 5 ）乘法交换律：对任意元素 a， b都有 a·b= b·a ； 6 ）乘法结合律：对任意元素 a,b,c,都有 (a·b) ·c= a ·(b · c);

·· ·) · ·

7)单位元存在 : 对任意元素 a ，都有 1·a= a ； 8)逆元存在 : 对任意非零元素 a,都存在某个元素 x

使得 a · x= 1 ， x 叫做 a 的逆元，记作 1 A a ； 9)乘法对于加法的分配律 : 对任意元素 a,b,c,都有 a·(b +c)= a ·b+a· c.

定义 2.8.复数集 C 关于复数加法和乘法这两种基本运算构成的代数系统 (C, +, ·) 叫作复数域 , 有时为了方便 , 也常常简单地用 C表示复数域 .

2.7. 数域问题：是否只有全体复数的集合 C 关于复数的加法与乘法构成的代数系统才具有 2.6 中的全部九条性质？

定义 2.9. 设 K 为复数集 C 的至少包含两个元素的子集，若 K 关于加法与 乘法这两种代数运算封闭并且具有 2.6 中的 9 条性质，则称 代数系统 （ K, +, · ）为一个数域，或 简单地称 K 为一个数域 .(number field).

例 2.5.令 R 表示全体实数的集合，则 (R,+, · ) 是一个 数域，叫做实数域 (the field of real numbers).

例 2.6.令 Q 表示全体有理数的集合 , 则 (Q, +, · )也 是一个数域，叫做有理数域 (the field of rational

numbers).

例 2.6.令 Q(i)={ a+bi|a,b 为有理数 } ，则 Q(i) 也是一个数域，叫做 Gauss 数域 .

关于数域的判别法则：定理 2.1. 设 K 为复数集 C 的至少包含两个元素的子集，若 K 关于四则运算封闭，则 K 是一个数域 .

思考题 5. 设 n 为 整数， 令

Q (√n)={ a+ b √n |a,b 为有理数 } ，

则 Q (√n) 为数域 .

思考题 6. 证明：有理数域是最小的数域，即任意一个数域都包含有理数域 .

2.8. 域定义 2.10. 设 F 为至少包含两个元素的集合 , 在 F 上定义两个二元运算，叫做加法和乘法，分别记作 +

与 · . 若 F 关于这两个代数运算封闭，并且满足以下 八条公理： 1 ）加法交换律 : 对 F 中任意元素 a,b 都有 a+b= b+a ； 2 ）加法结合律：对 F 中任意元素 a,b,c, 都有 (a+b)+c= a+(b+c);

3 ）零元存在 : 对 F 中 任意元素 a ，都有 0+a= a ； 4 ）负元存在 : 对 F 中任意元素 a, 都存在某个元素 x 使得 a+x= 0 ， x 叫做 a 的负元，记作 – a ； 5 ）乘法交换律：对 F 中任意元素 a， b 都有 a·b= b·a ；

6 ）乘法结合律：对 F 中 任意元素 a,b,c, 都有 (a·b) ·c= a ·(b · c);

7)单位元存在 : 对任意元素 a ，都有 1·a= a ；

8)逆元存在 : 对任意非零元素 a, 都存在某个元素 x

使得 a · x= 1 ， x 叫做 a 的逆元，记作 1 A a ；

9)乘法对于加法的分配律 : 对任意元素 a,b,c,都有 a·(b +c)= a ·b+a· c.

则称 代数系统 (F, +, · ) 为一个域 , 或 简单地称 F

为一个域 (field ).

显然，每一个数域都是域 .

下面我们构造一个只有两个元素的域 .令 F= { 0,1} ， 规定加法如下： 0+0 = 0 ； 0+1 =,0； 1+ 0 = 1， 1+1 = 0.

再规定乘法如下： 0 ·0 = 0 ； 0·1 = 0 ； 1·0 = 0 ； 1·1 = 1.

不难验证 , (F, +, · ) 关于这两种代数运算封闭 , 并 且满足全部八条公理，因此这是 一个域 .

思考题 7. 设 p 为任意素数，证明：都存在一个正好具有 p 个元素的域 .

包含有限多个元素的域叫 有限域 .

有限域理论在计算机科学，信息科学和通信工程中有极其重要的应用 .

2.9. 整数环

定义 2.11. 令 Z 表示全体整数组成的集合，则 Z 关于复数的加法和乘法运算 具有除去性质 8) 之外的其余八条性质 . 因此， (Z, +, · ) 不是一个 数域 ,但它还是具有相当好性质的一个代数系统 , 叫做整数环 .

带余除法 定理 2.2. 任给整数 a 和正整数 b ，存在唯一一对整 数 q 与 r ，使得

a = q · b+ r ， 0 ≤ r ≤ b – 1.

2.10. 多项式环 定义 2. 设 R 为实数域，令 R[x]表示不定元 x 的全体实 系数多项式所组成的集合 . 考虑 R[x] 关于多项式加法“ +” 与乘 (R[x], +, ·法“ ·” 所组成的代数系统 (R[x], +, · ). 不难证明， (R[x], +, · ) 满足除去 8 ）以 外的全部八条公理 . ， (R[x], +, · ) 叫做实数域上的一元多项式环 .

思考题 8. 证明： (R[x], +, · ) 满足除去 8 ）以外的全部八条公理 .

思考题 9. 设 f(x) 与 g( x ）为 R[x] 中的两个多项式且g(x)≠ 0, 证明：存在多项式 q(x) 与 r(x)使得

f(x)= q(x) g(x) + r(x),

其中 r(x)= 0 或者 r(x) 的次数小于 g(x)d 的次数 .

第三章 . 数学的计算功能

3.1. 数学为计算提供方法和工具

数学是一门艺术，是一门通过发展概念和技巧以使人们较为轻快地前进，从而避免靠蛮力计算的艺术 .

3.2. 从变中找不变例 3.1. 求前 n 个自然数的和 :

S(n)= 1+2+3+……+n

解： 1 + 2 + 3 +…...+(n-1) + n

n + (n-1) +(n-2) +……+ 2 + 1

-------------------------------------------------

(n+1)+(n+1)+(n+1)+……+(n+1)+(n+1)

因此得： S(n)= n(n+1)/2.

3.3. 待定系数法之应用

例 3.2. 求前 n 个 自然数的 平方之和 .

例 3.3. 设 k 为正整数，求前 n 个自然数的 k 次方之和 .

直觉用于发明，逻辑用于证明 !

3.5.级数求和之例 .

例 3.4. 计算： 1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90

= (1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+(1/5-1/6)+

(1/6-1/7)+(1/7-1/8)+(1/8-1/9)+(1/9-1/10)

= 1-1/10= 9/10.

3.6. 斐波那契数列

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,90,145，… … … …

3.9.朱载堉 ( 明朝 ,1536—1611) 为了研究乐律学，发明十二平均律， 用珠算 求 2 的 12 次方根的近似值，精确到 25 位有效数字 :

2的 12 次方根 ≈ 1.0594 6309 4359 2952 6456 1825.

3.10. 牛顿 (1642-1727) 和莱布尼茨 (1646-1716) 发明 微积分 .

微分可用来求变化率： 切线的斜率；速度和加速度；… … …

积分可用来求 不规则图形的面积和体积 ; 运动物体所走的路程； … … … …

3.11. 计算数学与计算机 十九世纪中叶以前的数学大家一般都是计算能手， L.Euler (1707-1783)与 K.Gauss（ 1777-1855)都在其一生中把很大精力花在数值计算以及计算方法的改进上 . 自电子计算机问世以后，即能以过去计算专家所无法比拟的速度与规模进行数值计算 .π 的数值计算曾长期作为判断计算技术水平的一个标准 .

十九世纪中叶 ,π 的近似值算到 400位 .英国计算 家W.Shanks（ 1812-1882 ）花了二十多年时光， 把π算到 707 位，传为美谈 . 不过到 1946 年通过计 算机发现第 528 位是错误的 .1949 年由计算机求π

的近似值 , 一下子精确到小数点后 2000多位 , 十年 后推进到十万位，二十年后天推进到一百万位 .

第四章 . 数学是描述科学规律的合适语言

大自然是一部书 , 这部书使用数学的语言写成的 .

--- （意大利）伽利略

没有哪一门科学能比数学更为清晰的阐明自然界 的和谐性 .

—保罗 .卡洛斯

如果物理定律在数学形式上不美 ,那就是一种理 论还不够成熟的标志 ,说明理论有缺陷 , 需要改进 .

我没有试图直接解决某一物理问题 , 而只是试图 寻找某种优美的数学 .

（英）狄拉克

数学之所以有高的声誉 , 还有一个理由 ,那就是数 学给予精确自然科学以某种可靠性 .没有数学 ,这 些科学是达不到这种可靠性的 .

理论科学家在他探索理论时 ,就不得不愈来愈从纯 粹数学的形式考虑 , 因为实验家的物理实验不能把 他提高到最抽象的领域中去 .

我们这个世界的图景可以由音乐的音符组成 , 也可 由数学的公式组成” . — （美）爱因斯坦

4.1. 天文学 天文学的研究对象是最纯洁 , 最美好 , 最有意义的 问题 . 无论是研究宇宙的旋转 ,天体的运行 , 还是研 究天体的大小 , 相互之间的距离变化 ,都可以使人 得到一种美的享受 .天文学的研究目的就是为了 寻求宇宙是如何遵循数和数的关系和谐的运行 ,

即宇宙可以用数学关系来描述 ,却无法用别的方 法所替代 .

— （波兰 ) 哥白尼 : 《天体运行论》

4.2.圆锥曲线理论（古希腊）与天体力学 开普勒是世界上第一个用数学公式描述天体运动的人 .他使天文学从古希腊的静态几何学转化为动力学 . 开普勒三定律证明了毕达哥拉斯主义核心的数学原理 .

现象的数学结构提供了理解现象的钥匙 .

开普勒行星运动三定律： (a). 行星在椭圆轨道上绕太阳运动，太阳位于此椭 圆的一个焦点上； (b). 从太阳到星星的向径在相等的时间内扫过相同 的面积； (c). 行星绕太阳公转的周期的平方与椭圆轨道的半 长轴的立方成正比 .

4.3.伽利略与力学科学的建立

除了牛顿之外，伽利略要算是近代科学最伟大的奠基者了 . 与亚里士多德不同，伽利略认为，科学必须寻求数学描述，而不是物理解释 . 这个方法开创了科学的新纪元和物理科学数学化的进程 . 伽利略建立了力学科学，设计和树立了近代科学的思维模式 .

1650 年前后，在科学家头脑中占据最主要地位 的问题是： 能否在伽利略的地上物体运动定律和开普勒的天体运动定律之间建立一种联系？

他们确信 , 上帝数学化地设计了世界 .

4.4.

万有引力定律 牛顿在伽利略和开普勒工作的基础上，发现了万

有引力定律 ,给出了万有引力公式：

F = G • Mm/r2

这是一个伟大的发现 . 世界上从来没有运 用方程式到到过如此程度的单一化和统一化 .牛顿的功绩在于，他为宇宙奠定了新秩序，以最确凿的证据证明了自然界是按数学设计的 .

1679年 , 牛顿证明： (1)行星以一个焦点为力的中心的圆锥曲线轨道上运动 (开普勒定律） , 由此可推出平方反比律；

(2)反过来 , 如果假定在给定初始条件下解得唯一性 ,

则由平方反比律也可推出 (行星 )做圆锥曲线轨道 运动 ;

(3) 从 1684 年到 1687 年的写书过程中 ,牛顿发现 , 引力与物体质量成正比 , 引力与质量有恒定联系由此得出引力的“万有性” .

牛顿的万有引力的思想从 1666 年开始酝酿到 1687 年巨著出版，整整经历了二十年 . 在这期间许 多人都有引力概念，并知道平方反比律 .胡克甚至 说他能根据平方反比律对行星运动做出完善的解 释 . 但这需要真正过硬的数学功夫 ,胡克等人是不具 备的 , 在当时只有牛顿才能完成这项伟业 , 其结果就 是《原理》一书的诞生 .

第三章 . 数学是描述科学规律的合适语言

4.5. 自然哲学的数学原理 近代科学诞生的标志是 1687 年牛顿《自然哲学的 数学原理》一书的出版 . 牛顿真正给近代科学确定了 前所未有的特征： (1)给出一般的、普遍的概念、理论和体系 , 特别是万 有引力 ;

(2)建立数学模型 ,给出数学解法 , 导出定量的规律； (3)根据数学模型可以通过观察和实验检验的预言； (4)提出新问题，为未来学科发展指明方向 .

牛顿不仅为物理学和力学奠定基础，而且通过数学化使之成为精密科学 .这就使物理学或力学不再停

留在一方面是哲学思辨、另一方面是唯象的经验，两方面脱节的前科学阶段 . 而在由前科学上升为科学、由哲学进化为科学、由定性精密化为定量的过程中，数学起了关键作用 .

4.6. 拉格朗日与他的《分析力学》 18 世纪的数学家和科学家继承牛顿的思想继续前进 . 拉格朗日的《分析力学》是牛顿数学方法的典范，对力学作了完全数学化的处理 .

这种方法也用到了流体力学、弹性力学和电磁

学 . 定量的数学化方法构成了科学的本质 . 真理大 多存在于数学中，数学支配一切，自然法则就是 数学法则 ,18 世纪最伟大的智者对此深信不疑 .

4.7. 无用与有用之间

方程 X^2+1=0 的求根 - -

复数与复数的几何表示 复数理论与复变函数论 流体力学， 空气动力学， 麦克斯韦的电磁理论……

4.8. 方程的根式解问题

一元三次方程 ( 卡当公式 );

一元四次方程 ( 费拉里公式 ).

一元五次方程的求根公式是否存在？

4.9.群论 ( 关于对称性的理论）与量子力学

阿贝尔 (1802-1829) 证明，一般的 5 次或5 次以上的代数方程不存在根式解 ;伽罗华 (1811-1832) 进一步给出一种方法，利用这种方法，可以判断给定的一个任意次数的代数方程是否可以根式解 . 由此诞生了纯粹数学的一个极其重要的分支—群论 .

这一高度抽象的数学理论后来成了研究量子力学的最合适的数学语言和工具 .

4.10非欧几何（罗巴切夫斯基 ,1793-1856), （黎曼 ,1826-1866)) 与爱因斯坦的相对论 .

4.11. 数学与生物学 孟德尔 (1822—1884)于 1865 年发现遗传定律 ,

但知道 1900 年前后才被重新发现 ,这是生物学上一大突破 ,做数学上也刺激了数量遗传学的发展 , 于是 , 生物学与数学正式结合在一起 .1939年 , 数学生物学成为一门正式学科而今 , 分子生物学 ,DNA测序 , 种群遗传 , 生物分类等等 , 数学在生物科学上的应用方兴未艾 ,前程无限 .

4.12. 数学与经济学 作为一门科学 , 首先需要搞清基本概念 , 描述可观的经济现象 ,阐述经济是如何发展的 , 然后仿照自然科学的方法建立经济模型 , 研究其中规律 , 特别是变量之间的函数关系以及各种量如何演化的微分方程 .

若由此再沿着数学化道路发展 , 即得抽象的数理经济学 ;若沿着联系实际的道路往前 ,就会得出符合实际的经济学结论 ,这首先需要对函数或方程的系数按实际情况进行估算 ,这时还需要运用统计工具及其他数学方法来确定 .确定之后还需解方程以得出结论 .

诺贝尔经济学奖获得者大多是数学家或数学功底深厚的经济学家 .

一个典型的例子 : 《美丽心灵》中的纳什

第五章 . 数学是探索未知世界的锐利武器 无用之用，众用之基 .

------ （明朝）徐光启

数学是科学的大门和钥匙 , 忽视数学必将伤害所有的知识 , 因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事

物的 . —— （英） R .培根

没有哪一门科学能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性 .

—保罗 .卡洛斯

数学的发展和国家的繁荣昌盛密切相关 .

—— （法）拿破仑

音乐能激发或抚慰情怀， 绘画能使人赏心悦目， 诗歌能动人心弦， 哲学能使人获得智慧， 科技可以改善物质生活， 而数学则能提供以上的一切 .

—— （美）克莱因

5.1. 海王星的发现

天王星於 1781年 3 月 13 日被威廉 .赫歇尔发现 . 但是到 1830年 , 对天王星的观察与理论之间有了不能容忍的误差 , 已经达到 20”,1850 年更达到 2’. 从表面上看 ,似乎万有引力定律的正确性已值得怀疑 .

两位青年数学家—

剑桥大学 23 大学生亚当斯 (1819-1892) 和法国青年数学家勒威亚 (1811-1877) 认为 ,偏差是由某个未知行星的扰动所引起 .

亚当斯经过近两年的思考和计算，证明天王星运行上的偏差是由一未知行星的摄动引起，他将结果通知英国有关机构，但未受到重视 .

法国勒威耶于同年 (1945 年）研究同一问题 ,完成了两个报告，发表于 1946年 6月 1 日与 8月 31日 .

1836年 9月 18 日，勒威耶致信柏林天文台天文学家加耳 ,告诉他未知行星的坐标 .加耳在 9月 23 日收到来信的当天晚上 , 将望远镜对准宝瓶座内勒威耶所指的那一点，看到一颗星不在星图上面 ,这正是那颗未知行星 .9月 25日 .加耳给勒威耶去信说 :“先生 ,你给我们指出位置的那颗行星是真实存在的 .”这颗星就是海王星 .

海王星——由数学家计算出来的行星 .

加耳在 9月 23 日收到来信的当天晚上 , 将望远镜对准宝瓶座内勒威耶所指的那一点，看到一颗星不在星图上面 ,这正是那颗未知行星 .9月 25日 .加耳给勒威耶去信说 :“先生 ,你给我们指出位置的那颗行星是真实存在的 .”这颗星就是海王星 .

海王星——由数学家计算出来的行星 .

5.2.Radon变换与 CT扫描技术A.M.卡马克试图寻找一个不经手术而能准确确定

一个体内物体的位置和密度的方法，在那时，只有X-射线（ x- 光透视）可以利用，但它只给出 2 维图像 .

在平面上有一密度不均匀的物体，我们不能看见里面的阴影部分，但是通过射现穿过它，来看一下从另一边出来多少，我们能测量出沿一条直线的物质总量，问题是如何从该信息重现物体内部的密度 .

在平面上有一密度不均匀的物体，我们不能看见里面的阴影部分，但是通过射现穿过它，来看一下从另一边出来多少，我们能测量出沿一条直线的物质总量，问题是如何从该信息重现物体内部的密度 .

这个问题的数学解在第一次世界大战时期即已得到 ,这就是著名的 Radon变换 . 由于 Radon 的解答 ,卡马克明白了用 X-射线从许多不同角度照射 ,就能决定体内目标的位置和形态 . 由此导致了 CAT扫描技术的产生，即人体器官的 3 维成像技术 .

如今，这一原理已扩张为磁共振图像扫描技术它 的分辨率更高 . 在这两个技术中 , 本质上只是大量测量 1 维和 2维的度量，然后应用 Radon变换重造 3 维图像 .卡马克对 Radon变换的应用远不限于医学 .

如今，这一原理已扩张为磁共振图像扫描技术它 的分辨率更高 . 在这两个技术中 , 本质上只是大量测量 1 维和 2 维的度量，然后应用 Radon变换重造 3 维图像 .卡马克对 Radon变换的应用远不限于医学 .

在古人类学中，它已被用于某个生活在大约 290万年前的 Pless夫人的检测 ,对 Pless夫人耳室的 CAT扫描确定了用其它方法认为是正确的结论，我们的曾曾曾直至第 N 代曾祖母是直立行走的 .

Radon变换用于海洋学 ,可以测定海洋的度 .1958年 ,天文学家用它来描绘过一张月球亮度分布图 .

卡马克因此获得 1979 年度诺贝尔生物与医学奖 .

5.3. 近世代数与纠错码理论

A. 美国 70 年代初发射“旅行者”号宇宙飞船，成功地应用了纠错码技术，使宇宙飞船在 30亿公里之外向地面传回了天王星，海王星等星体的天文图象天王星的九个卫星的光环以及海王星的 6 个卫星的光环等极其宝贵的资料。

纠错码技术在通信与数字技术中广泛使用 , 包括：图像记录技术： CD,DVD 等；数字音频技术： CD（ Compact Disk小型唱片）；

计算机技术，存储技术（包括半导体，存储设备， 磁带设备，磁盘设备，光盘设备等）

广播技术（卫星广播，地面广播，电缆）卫星通信，移动通信技术

5.5. 数论和代数在密码学中的应用(1)信息安全：信息保密；信息的完整性（防攻击 与身份认证）

(2)公钥密码学； 密码学一次伟大的革命（ Diffie和 Hellman

1976 ）

数论在公钥密码学的应用基于大整数的素因子分解 , 著名的例子是 RSA 体制 ( Rivest, Shamir 和 Adleman 1977 ).

如果已知素数 p和 q, 求乘积 n=pq, 是十分简单的。但若n 是一个非常大的正整数，要给出 n 的素因子分解，计算量是十分大的 . 密码体制的可靠性，主要决定于计算的复杂性 .

数论和代数在密码学中的应用(1)信息安全：信息保密；信息的完整性（防攻击与身份认证）

(2)公钥密码学；这是密码学一次伟大的革命（ Diffie和 Hellman 1976 ）

4. 数学的教育作用 --- 数学是培养和训练学生思维能力的理想载体 计算能力； 几何直观能力； 逻辑思维能力； 精确 , 严密 , 简洁的表达能力； 在表面上无关的事物间发现本质联系的能力

比萨斜塔实验； 马尔萨斯人口理论； 达尔文进化论； 门捷列夫元素周期律 .

5. 数学的哲学意义

6. 数学的美学价值春秋时的管仲和古希腊 P一 thagoras 发现：

5 度音程的弦长之比为 2:3

音乐不外是发出声音的代数 ---( 法国 )M.Mersenne

乐也者，声音之学也；律也者，数度之学也 --- 朱载堉

朱载堉（ 1536-1611 ）与十二平均律

C #C D #D E F #F G #G A #A B (C)

总 结 数学的作用1. 数学提供计算的工具和方法；2. 数学是描述科学理论的合适语言；3. 数学是发现科学规律的锐利武器；4. 数学是训练科学思维的有效载体；5. 数学的哲学意义；6. 数学的美学价值 .

主要参考书

课程管理与考核

2 、测验 1 15 %

3 、测验 2 15 %

4 、期末考试 50 %

绪 言

5 、课程小论文 10 %

1 、平时作业 10 %

第一章 基本概念和基本规律

§1.1 电路模型和基本变量

基本要求：

建立电路模型的概念

建立分布参数与集中参数的概念

了解电路集中化判据的概念

掌握支路电流、电压的参考方向与其真实方向的关系

了解器件建模的概念

§1.1 电路模型和基本变量

1 、电路模型

工程上实际电气装置品种繁多 ,千差万别。 实际元件 电气器件 电气装置

进行科学抽象的概括： 用数学模型表示电气器件外部功能。 模型元件 电路元件 电路模型

模型元件是实际器件的理想化，反映实际电气器件的主要电磁性能。

模型元件按一定规则组合，使之具有实际装置的主要电磁性能，这种组合就是电路模型。

根据电路模型得出的数学关系又能反映实际器件和装置的基本物理规律。

电器装置用电路模型近似表示是有条件的，条件变了，电路模型也要作相应的改变。

课程将仅对电路模型进行分析和计算。

§1.1 电路模型和基本变量

2 、电路参数

称电阻、电容、电感为电路参数。（ 1 ）分布参数

在电路中三种参数是连续分布的，即在电路的任何部分都既有电阻，又有电容，又有电感。如两根并行导线：

§1.1 电路模型和基本变量

0L x0R x

0G x 0C x

R0 单位长度的电阻， G0单位长度的电导，L0 单位长度的电感， C0单位长度的电容。

△ x 分得愈小，就愈接近实际情况。 称这种连续分布的电路参数为分布参数， 这样的电路为分布参数电路。

§1.1 电路模型和基本变量

0L x0R x

0G x 0C x

如果电源频率 f 很高，波长 λ很短，当 λ 与电路的尺寸 l 可以相比拟，甚至更小时，电源中电流或电荷的分布发生的变化，就不能及时影响到整个电路，电路中不同部分的电磁场，以及电流、电荷的变化将按距离的远近而不同，各处的电压也不同。

分布参数电路，除了有时间变化以外，还有空间变化，电路中的电流和电压既是时间的函数，又是距离的函数， 即 i= i(x,t)， u = u(x,t) 。

分布参数电路中的电流和电压关系必须用偏微分方程来描述。

§1.1 电路模型和基本变量

l

（ 2 ）集中参数

若电源的频率 f 不高，电路元件及电路的各向最大尺寸 l 远小于电源最高频率 f 的波长 λ 时，电磁场的变化传布整个电路所需的时间 τ= l /c 远小于一个周期 T ，在此短暂的时间里，电流、电荷和电磁场的分布都未来得及发生显著变化，电路参数的分布性对电路性能的影响并不明显，分布参数的影响可以集中起来表示。

电阻、电容、电感都集中到一点，能量损耗、电场储能、磁场储能过程也分别集中在电阻、电容、电感元件中进行。

§1.1 电路模型和基本变量

l

称这些电阻、电容、电感元件为集中参数元件，由集中参数元件组成的电路为集中参数电路。

电路的这种近似处理的方法和物理力学中将物体看成质点是相仿的。

集中化判据： λ ＞ 10 l

集中参数电路中的电压、电流为时间的函数 u=u(t) ， i=i(t) ，电路可用常微分方程来描述。

课程将只讨论集中参数电路。

§1.1 电路模型和基本变量

音频信号

f ： 20Hz~25kHz ， λ=3×108/25×103=12000m

对实验室仪器而言，可不必考虑分布参数。

实验室电子仪器的尺寸 l ： 3~30cm ，允许信号波长 λ=30~300cm ，则 f = c/λ=3×1011/λ

f ： 108Hz~109Hz （ 100兆 ~1000 兆）

在实验室，一般情况下 500兆频率的信号，可作集中参数电路来处理。

§1.1 电路模型和基本变量

信号频率继续升高，分布参数将上升到主导地位。

信号频率到微波波段（称超高频或射频）， f > 1010 Hz ， 1mm≤λ≤10cm 。 在这种情况下，电路概念完全被破坏，只能

用电磁场理论分析各种现象。 如天线，它的下端有电流，顶端电流为零。

§1.1 电路模型和基本变量

设联接于电视接收天线与电视机间的平行双导线 ( 称传输线 ) 没有损耗，并延伸至无限长( 这样可不涉及反射波 ) ，若天线端口 A点感生了频率为 100MHz ，即 =2π×108rad/s 的电压 uA=Umsint ，在距 A点 1.5m 处 B点的电压uB 相对于 A点的电压 uA 将延迟

相当于相位落后 t0=2π×108×5×10-9=π rad ，于是 B点的电压 uB= Umsin(t-π)=-Umsint= - uA 。

90 8

1.55 10 s

3 10t

与 A点的线间电压反相。这信号的波长

8

8

3 103m

10

A到 B这段传输线能不能看作集中参数电路？

§1.1 电路模型和基本变量

CuAu

Bu

AC

B

电视接收天线

传输线

若 C点距 A点较近为 0.015m ，从 A点到 C点的传输时间是 5×10-11s 相位落后 2π×108×5×10-11=10-2×π rad=1.8˚

在任意时刻 t均可认为 uC≈uA ，即可以将该段传输线看作是集中参数电路。这是AC 间的距离远小于信号波长的缘故。

§1.1 电路模型和基本变量

CuAu

Bu

AC

B

电视接收天线

传输线

电流： d

d

qi

t （单位时间内通过导体横截面的电量）

电压： d

d

wu

q （单位正电荷由一点转移到另一点获

得或失去的能量 ）

3 、基本变量（电路变量、网络变量）

电荷 q 和磁通 也可作为一对基本变量

§1.1 电路模型和基本变量

一般选用电流 i 和电压 u 作为基本变量

4 、参考方向

电压的参考极性也任意选定，经计算，电压值为正，说明参考极性与真实极性一致，否则相反。

电流的参考方向可任意给定，并在电路图上用箭头表示。电流的参考方向一经选定，就不再改变。经过计算，电流值为正，则电流的参考方向与真实方向一致；电流值为负，说明参考方向与真实方向相反。

§1.1 电路模型和基本变量

a

b

电路元件

i

u

一致参考方向：

电流和电压的参考方向，也可用双脚标表示： iba ， uba 。

电流从标有“ +”号的端点流入，从“ -”号端流出元件。

一致参考方向也称关联参考方向。

在一致参考方向下 P(t) = u(t) i(t) > 0 吸收功率 P(t) = u(t) i(t) < 0 发出功率

§1.1 电路模型和基本变量

a

b

电路元件

i

u

§1.2 基尔霍夫定律

牢固掌握基尔霍夫定律

基本要求：

能正确和熟练地应用 KCL和 KVL列写电路方程

§1.2 基尔霍夫定律

1 、有关术语

基尔霍夫定律概括了电路中电流和电压分别遵循的基本规律，是用以分析和计算电路的基本依据。

KCL适用于电路中的任一“节点”， KVL适用于电路中的任一“回路”。

（ 1 ）支路：二端元件（ 2 ）节点：元件的端点 （ 3 ）回路：电路中任一闭合路经（ 4 ）网孔：内部不含组成回路以外支路的回路（ 5 ）网络：含元件较多的电路

ⓐ

1i

2i 3i

4i 5iⓑ ⓒ

ⓓ

网孔的概念仅适用于平面电路。平面电路是指支路间没有交叉点的电路。右图为非平面电路。

§1.2 基尔霍夫定律

2 、基尔霍夫电流定律

对于任一集中参数电路中的任一节点，在任一瞬间，流出（或流入）该节点的所有支路电流的代数和等于零。

1

( ) 0n

kk

i t

KCL反映了电路中会合到任一节点的各电流间相互约束关系。

§1.2 基尔霍夫定律

（基尔霍夫第一定律） KCL

对右图所示电路应用 KCL, 取流出节点的支路电流为正，流入节点的支路电流为负，则有

KCL 的实质是电流连续性原理在集中参数电路中的表现。所谓电流连续性：在任何一个无限小的时间间隔里，流入节点和流出节点的电流必然是相等的，或在节点上不可能有电荷的积累，即每个节点上电荷守恒。

§1.2 基尔霍夫定律

请同学们现在列写

根据 KCL写出的电路方程称为 KCL方程

ⓐ

1i

2i 3i

4i 5iⓑ ⓒ

ⓓ

KCL 的重要性和普遍性还体现在该定律与电路中元件的性质无关，即不管电路中的元件是 R 、L 、 C 、 M 、受控源、电源，也不管这些元件是线性、时变、非时变、…

KCL 的也适用于广义节点，即适合于一个闭合面。右图所示电路，根据 KCL设流入节点的电流为负，则

-i1-i2-i3=0

应用 KCL 时必须注意和电流的两套符号打交道。

§1.2 基尔霍夫定律

3i

1i

2i

3 、基尔霍夫电压定律

对于任一集中参数电路中的任一回路，在任一瞬间，沿该回路的所有支路电压的代数和等于零。

1

( ) 0n

kk

u t

KVL反映了回路中各支路电压间的相互约束关系。

§1.2 基尔霍夫定律

（基尔霍夫第二定律） KVL

应用 KVL 时，应指定回路的绕行方向 ( 可任意选取，可取顺时针方向，也可取逆时针方向 ) 。当支路电压的参考方向与回路绕行方向一致时，该支路电压取正号，反之取负号。

对右图所示电路应用 KVL, 取支路电压方向与回路方向一致时为正，否则为负，则有：

KVL 实质上是能量守恒定律在集中参数电路中的反映。单位正电荷在电场作用下，由任一点出发，沿任意路经绕行一周又回到原出发点，它获得的能量（即电位升）必然等于在同一过程中所失去的能量（即电位降）。

§1.2 基尔霍夫定律

请同学们现在列写

根据 KVL写出的电路方程称为 KVL方程

3

1

2

4

5

6

12

KVL 的重要性和普遍性也体现在该定律与回路中元件的性质无关。

KCL 、 KVL 只对电路中各元件相互连接时，提出了结构约束条件。因此，对电路只要画出线图即可得方程。

例：右图所示电路中 Ec=12V ， Rc=5kΩ ，Re=1 kΩ ， Ic=1mA ， Ib=0.02mA ，

求： Uce及 c点、 e点的电位 c 、 e 。

请同学们现在求解

§1.2 基尔霍夫定律

bI

cI

eI

c

be

b1R

b2R

cR

eR

cE

cE