数学与科技进步

沈 灏 2013.04.27

haoshen@sjtu.edu.cn

一 .数学在科学中的地位 1.1.何谓科学？何谓技术？ 科学 (Science):是对客观规律的认识、揭示和描述 的系统知识；

技术 (Technoledge):则是人们为了各种特定的目的 在科学理论指导下从事的种种发明与创造等等 .

“ ”科学 一词源于拉丁文 scientia, “ ” “ ”原为 知识 与 学问 之意 .

1.2. “ ” “ ”梁启超关于 学 与 术 的定义

学也者，观察事物而发明真理者也；术也者，取所发现之真理致之用者也 .譬如以石投水则沉，投以木则浮 .观察此事实以证明水之右浮力，此物理也 .应用此真理以驾驶船舶，则航海术也 .研究人体之组织，辨别各器官之机能，此生理学也 .应用此真理以疗治疾病，则医术也 .学与术之区分及其相关系，凡百皆准此 .

梁启超 ,《学与术》， 1911

1.3. “ ”中译名 科学 之由来 明清时期，与 science 意义最相近的中文词语

“ ”为 格致 , “ ”即 格物致知 之意 , “徐光启称之为 格物”穷理之学 .

明治维新时期 ,日本学者西周将 science “译为 科”学 ,

“ ”其意为 分科之学 .

在古代中国 ,“ ” “ ”分科之学 与 分科取士 的科举考试相关 , “ ”因此，虽然 科学 一词在中国古已有之，然而它只和科举有关 ,而和 science无关 .

“ ”十九世纪九十年代，康有为首次将 科学 作为science 的译名从日本引入中国 .

自此至 1905年 ,“ ” “ ”科学 与 格致 并用 .

1905年 ,清政府废科举 ,兴新学 .自此以“ ” “ ”后， 科学 逐步取代 格致 ,专以指代

science.

1.4.自然科学与自然哲学 “ ”科学 一词 ,原来主要是指自然科学 (Natural

science）也称自然哲学（ Natural Philosophy） .

例如， Newton的名著叫作《自然哲学的数学原理》 .

“ ”广义的 科学 不但包括自然科学 ,还包括社会科学，人文科学等大类 .

1.5. 科学与技术之间的关系 学为术之体，术为学之用 上述说法不无道理，但失诸片面 : 技术固然要接受科学理论的指导，必须符合科学规律才有可能有所发明，有所创造；

反之 ,技术的进步也会为科学研究提供更多更好的

方法和手段，促进科学的发展 .

科学是不讲功利的，而技术是一定要讲功利的 .

从个人来说，研究科学的动机是什么？ 是人的与生俱来的好奇心， 是人们探究未知世界奥秘的无穷无尽的乐趣 .

1.8.科学的一种分类法 : —“ ”自然科学 物理 之学； —“ ”社会科学 事理 之学； —“ ”人文科学 情理 之学； 哲学； 数学 .

1.9.六门基础科学

数 ,理 ,化 ,天 ,地 ,生

1.10.科学精神

最简洁的表达可概括为两个字：

求 是

1.11.数学之用

数学的计算功能； 数学是描述科学理论的合适语言； 数学是发现科学规律的锐利武器； 数学是培养学生思维能力的理想载体； 数学的哲学意义； 数学的美学价值 .

二 .数学的计算功能

2.1. 数学为计算提供方法和工具

数学是一门艺术，是一门通过发展概念和技巧以使人们较为轻快地前进，从而避免靠蛮力计算的艺术 .

2.2. 从变中找不变例 2.1. 求前 n 个自然数的和 :

S(n)= 1+2+3+……+n

解： 1 + 2 + 3 +…...+(n-1) + n

n + (n-1) +(n-2) +……+ 2 + 1

-------------------------------------------------

(n+1)+(n+1)+(n+1)+……+(n+1)+(n+1)

因此得： S(n)= n(n+1)/2.

2.3. 待定系数法之应用

例 2.2. 求前 n 个 自然数的 平方之和 .

例 2.3. 设 k 为正整数，求前 n个自然数的 k次方之和 .

逻辑用于证明 ,直觉用于发明 !

2.5.级数求和之例 .

计算： 1 ∕ 2+ 1 ∕ 6+1 ∕ 12 + 1 ∕ 20 + 1 ∕ 30 + 1 ∕ 42 +

1 ∕ 56 + 1 ∕ 72 + 1 ∕ 90

= (1- 1 ∕ 2) + (1 ∕ 2 – 1 ∕ 3) + (1 ∕ 3- 1∕ 4) + (1 ∕ 4 - 1∕ 5)

+ (1 ∕ 5- 1 ∕ 6)+ (1 ∕ 6 – 1 ∕ 7) + (1 ∕ 7 – 1 ∕ 8)

+ (1 ∕ 8 – 1 ∕ 9) + (1∕ 9 - 1 ∕ 10)

= 1 – 1 ∕ 10 = 9 ∕ 10.

2.6. 斐波那契数列

1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 … …，

前后相邻两项之比 趋近于 黄金比：

(√5 – 1) ∕ 2 ≈ 0.618

2.8. 朱载堉 (明朝 ,1536—1611)为了研究乐律学，发明 十二平均律， 用珠算 求 2 的 12次方根的近似值，精确

到 25位有效数字 :

2的 12 次方根 ≈ 1.0594 6309 4359 2952 6456 1825.

2.9. 牛顿 (1642-1727)和莱布尼茨 (1646-1716)发明 微积分 .

微分可用来求变化率： … … …切线的斜率；速度和加速度；

积分可用来求 不规则图形的面积和体积 ; 运动物体所走的路程； … … … …

2.10. 计算数学与计算机 十九世纪中叶以前的数学大家一般都是计算能手， L.Euler (1707-1783)与 K.Gauss（ 1777-1855)都在其一生中把很大精力花在数值计算以及计算方法的改进上 .自电子计算机问世以后，即能以过去计算专家所无法比拟的速度与规模进行数值计算 .π的数值计算曾长期作为判断计算技术水平的一个标准 .

十九世纪中叶 ,π的近似值算到 400位 .英国计算

家W.Shanks（ 1812-1882）花了二十多年时光， 把π算到 707位，传为美谈 .不过到 1946年通过计 算机发现第 528位是错误的 .1949年由计算机求π

的近似值 ,一下子精确到小数点后 2000多位 ,十年 后推进到十万位，二十年后天推进到一百万位 .

三 .数学是描述科学规律的合适语言

万物皆数 .

--(古希腊）毕达哥拉斯

大自然是一部书 , 这部书使用数学的语言写成的 . --意大利）伽利略

没有哪一门科学能比数学更为清晰的阐明自然界 的和谐性 . —保罗 .卡洛斯

如果物理定律在数学形式上不美 ,那就是一种 理

论还不够成熟的标志 ,说明理论有缺陷 , 需要改进 .

我没有试图直接解决某一物理问题 ,而只是试图 寻找某种优美的数学 .

（英）狄拉克

数学之所以有高的声誉 ,还有一个理由 ,那就是数 学给予精确自然科学以某种可靠性 .没有数学 ,这 些科学是达不到这种可靠性的 .

理论科学家在他探索理论时 ,就不得不愈来愈从纯 粹数学的形式考虑 ,因为实验家的物理实验不能把 他提高到最抽象的领域中去 .

我们这个世界的图景可以由音乐的音符组成 ,也可 ”由数学的公式组成 . —（美）爱因斯坦

3.1. 天文学 天文学的研究对象是最纯洁 ,最美好 ,最有意义的 问题 .无论是研究宇宙的旋转 ,天体的运行 ,还是研 究天体的大小 ,相互之间的距离变化 ,都可以使人 得到一种美的享受 .天文学的研究目的就是为了 寻求宇宙是如何遵循数和数的关系和谐的运行 ,

即宇宙可以用数学关系来描述 ,却无法用别的方 法所替代 .

—（波兰 )哥白尼 :《天体运行论》

3.2.圆锥曲线理论（古希腊）与天体力学 开普勒是世界上第一个用数学公式描述天体运动的人 .他使天文学从古希腊的静态几何学转化为动力学 . 开普勒三定律证明了毕达哥拉斯主义核心的数学原理 .

现象的数学结构提供了理解现象的钥匙 .

开普勒行星运动三定律： (a). 行星在椭圆轨道上绕太阳运动，太阳位于此椭 圆的一个焦点上； (b). 从太阳到星星的向径在相等的时间内扫过相同 的面积； (c). 行星绕太阳公转的周期的平方与椭圆轨道的半 长轴的立方成正比 .

3.3.伽利略与力学科学的建立

除了牛顿之外，伽利略要算是近代科学最伟大的奠基者了 . 与亚里士多德不同，伽利略认为，科学必须寻求数学描述，而不是物理解释 . 这个方法开创了科学的新纪元和物理科学数学化的进程 . 伽利略建立了力学科学，设计和树立了近代科学的思维模式 .

1650 年前后，在科学家头脑中占据最主要地位 的问题是： 能否在伽利略的地上物体运动定律和开普勒的天体运动定律之间建立一种联系？

他们确信 , 上帝用数学化的思想和方式设计了世界 .

4.4.

万有引力定律 牛顿在伽利略和开普勒工作的基础上，发现

了万有引力定律 , 给出了万有引力公式：

F = G • Mm ∕ r 2

这是一个伟大的发现 . 世界上从来没有运 用方程式到到过如此程度的单一化和统一化 . 牛顿的功绩在于，他为宇宙奠定了新秩序，以最确凿的证据证明了自然界是按数学设计的 .

1679年 , 牛顿证明： (1)行星以一个焦点为力的中心的圆锥曲线轨道上运动 (开普勒定律） ,由此可推出平方反比律；

(2)反过来 ,如果假定在给定初始条件下解得唯一性 ,

则由平方反比律也可推出 (行星 )做圆锥曲线轨道

运动 ;

(3) 从 1684年到 1687年的写书过程中 ,牛顿发现 , 引力与物体质量成正比 ,引力与质量有恒定联系 .

“ ”由此得出引力的 万有性 .

3.5. 牛顿的万有引力的思想从 1666年开始酝酿到 1687年巨著出版，整整经历了二十年 .在这期间许 多人都有引力概念，并知道平方反比律 .胡克甚至 说他能根据平方反比律对行星运动做出完善的解 释 .但这需要真正过硬的数学功夫 ,胡克等人是不具 备的 ,在当时只有牛顿才能完成这项伟业 ,其结果就 是《原理》一书的诞生 .

第三章 .数学是描述科学规律的合适语言

3.6. 自然哲学的数学原理 近代科学诞生的标志是 1687年牛顿《自然哲学的

数学原理》一书的出版 . 牛顿真正给近代科学确定了 前所未有的特征： (1)给出一般的、普遍的概念、理论和体系 ,特别是万 有引力 ;

(2)建立数学模型 ,给出数学解法 ,导出定量的规律； (3)根据数学模型可以通过观察和实验检验的预言； (4)提出新问题，为未来学科发展指明方向 .

牛顿不仅为物理学和力学奠定基础，而且通过数

学化使之成为精密科学 .这就使物理学或力学不再停

留在一方面是哲学思辨、另一方面是唯象的经验，两方面脱节的前科学阶段 . 而在由前科学上升为科

学、由哲学进化为科学、由定性精密化为定量的过程中，数学起了关键作用 .

3.7. 拉格朗日与他的《分析力学》 18世纪的数学家和科学家继承牛顿的思想继续前进 . 拉格朗日的《分析力学》是牛顿数学方法的典范，对力学作了完全数学化的处理 .

这种方法也用到了流体力学、弹性力学和电磁

学 .定量的数学化方法构成了科学的本质 .真理大 多存在于数学中，数学支配一切，自然法则就是 数学法则 ,18世纪最伟大的智者对此深信不疑 .

3.8.无用与有用之间

方程 X^2+1=0的求根 - -

复数与复数的几何表示 复数理论与复变函数论 流体力学， 空气动力学， 麦克斯韦的电磁理论……

3.9. 方程的根式解问题

一元三次方程 (卡当公式 );

一元四次方程 (费拉里公式 ).

一元五次方程的求根公式是否存在？

3.10.群论 ( 关于对称性的理论）与量子力学

阿贝尔 (1802-1829)证明，一般的 5 次或 5次以上的代数方程不存在根式解 ;伽罗华 (1811-1832)进一步给出一种方法，利用这种方法，可以判断给定的一个任意次数的代数方程是否可以根式解 . 由此诞生了纯粹数学的一个极其重要的分支—群论 .

这一高度抽象的数学理论后来成了研究量子力学的最合适的数学语言和工具 .

3.11.数学与生物学 孟德尔 (1822—1884)于 1865年发现遗传定律 ,但知道 1900年前后才被重新发现 ,这是生物学上一大突破 ,做数学上也刺激了数量遗传学的发展 ,于是 ,生物学与数学正式结合在一起 .1939年 ,数学生物学成为一门正式学科而今 ,分子生物学 ,DNA测序 ,种群遗传 ,生物分类等等 ,数学在生物科学上的应用方兴未艾 ,前程无限 .

3.12. 数学与经济学 作为一门科学 ,首先需要搞清基本概念 ,描述可观的经济现象 ,阐述经济是如何发展的 ,然后仿照自然科学的方法建立经济模型 ,研究其中规律 ,特别是变量之间的函数关系以及各种量如何演化的微分方程 .

若由此再沿着数学化道路发展 ,即得抽象的数理经济学 ;若沿着联系实际的道路往前 ,就会得出符合实际的经济学结论 ,这首先需要对函数或方程的系数按实际情况进行估算 ,这时还需要运用统计工具及其他数学方法来确定 .确定之后还需解方程以得出结论 .

诺贝尔经济学奖获得者大多是数学家或数学功底深厚的经济学家 .

一个典型的例子 :《美丽心灵》中的纳什

四 .数学是探索未知世界的锐利武器

无用之用，众用之基 .

------（明朝）徐光启

数学是科学的大门和钥匙 , 忽视数学必将伤害所有的知识 , 因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的 . ——（英） R .培根

没有哪一门科学能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性 .

—保罗 .卡洛斯

数学的发展和国家的繁荣昌盛密切相关 .

——（法）拿破仑

音乐能激发或抚慰情怀， 绘画能使人赏心悦目， 诗歌能动人心弦， 哲学能使人获得智慧， 科技可以改善物质生活， 而数学则能提供以上的一切 .

——（美）克莱因

4.1. 海王星的发现

天王星於 1781年 3月 13日被威廉 .赫歇尔发现 . 但是到 1830年 ,对天王星的观察与理论之间有了不能容忍的误差 ,已经达到 20”,1850年更达到 2’.从表面上看 ,似乎万有引力定律的正确性已值得怀疑 .

—两位青年数学家 剑桥大学 23大学生亚当斯 (1819-1892)和法国青年数学家勒威亚 (1811-1877)认为 ,偏差是由某个未知行星的扰动所引起 .

亚当斯经过近两年的思考和计算，证明天王星运行上的偏差是由一未知行星的摄动引起，他将结果通知英国有关机构，但未受到重视 .

法国勒威耶于同年 (1945年）研究同一问题 ,完成了两个报告，发表于 1946年 6月 1日与 8月 31日 .

1836年 9月 18日，勒威耶致信柏林天文台天文学家加耳 ,告诉他未知行星的坐标 .加耳在 9月 23日收到来信的当天晚上 ,将望远镜对准宝瓶座内勒威耶所指的那一点，看到一颗星不在星图上面 ,这正是那颗未知行星 .9月 25日 .加耳给勒威耶去信说 :“先生 ,你给我们指出位置的那颗行星是真实存在的 .”这颗星就是海王星 .

——海王星 由数学家计算出来的行星 .

加耳在 9月 23日收到来信的当天晚上 ,将望远镜对准宝瓶座内勒威耶所指的那一点，看到一颗星不在星图上面 ,这正是那颗未知行星 .9月 25日 .加耳给勒威耶去信说 :“先生 ,你给我们指出位置的那颗行星是真实存在的 .”这颗星就是海王星 .

——海王星 由数学家计算出来的行星 .

4.2. 化学元素周期律在门捷列夫的发现之前数十年 ,科学家才从化合物中分离出元素 ,定出大约 60种元素的性质 .纽兰兹、迈尔等科学家已经发现元素之间隐藏着某种秩序的征兆 .1866年 , “ ”纽兰兹提出 八行周期律 理论 ,指出当元素按原子量递增顺序排列时 ,每八个元素的性质相类似 .门捷列夫更进一步 ,他花了数年时间进行研究分析 ,按质量、性质、与氢碳氧合成的方式、形成的盐类、结晶的形状等将元素分类 ,在卡片上列出元素及其性质 ,反复重排数百次 .1869年终于发现关键所在 ,提出 8点研究报告：

(1)若按原子量排列 , 元素的性质显然具有周期 性； (2)拥有类似性质的元素，不是原子量类似 (即位于 周期表上同一横列的临近位置 )，就是原子量按 规律增加 (即位于周期表同一纵行 )； (3)周期表上的纵行代表原子价 , “ ”即元素 结合力 ;

(4)自然界最常发现的元素通常具有低原子量以及 明确的性质；

(5) 元素的原子量决定其性质； (6) 许多未知的元素是可以预期的； (7) 在得知元素在周期表上的适当位置及领进元素 的原子量后，有时可修正该元素的原子量； (8) 从元素的原子量可预测元素的特定性质属性》 .

门捷列夫大胆地将周期表作为进行特定预测的工具 .当元素的性质与按照原子量预测的性质不符时 ,他会认为是原子量有误 ,而非周期表有误例如 ,将原本公认的铀的原子量加倍 ,而将钛的原子量从 52 下调到 48.

周期律与周期表在 20年内得到认同，主要归功于门捷 列夫的预测 .他预测三种元素 (类铝、类硼和类矽 )的原 子量 , 详述其性质并填入周期表的特定空格 .1875年 , 布 瓦博德朗发现元素镓，其化学性质十分接近类铝 ,只是 其原子量比门捷列夫预测的轻 .门捷列夫坚持是布瓦博 德朗的测量有误 , 布瓦博德朗在重新实验后发现 , 门捷 列夫的预测比他第一次测量还精密 .

4.3.Radon变换与 CT扫描技术A.M.卡马克试图寻找一个不经手术而能准确确定一个体内物体的位置和密度的方法，在那时，只有X-射线（ x-光透视）可以利用，但它只给出 2 维图像 .

在平面上有一密度不均匀的物体，我们不能看见里面的阴影部分，但是通过射现穿过它，来看一下从另一边出来多少，我们能测量出沿一条直线的物质总量，问题是如何从该信息重现物体内部的密度 .

在平面上有一密度不均匀的物体，我们不能看见里面的阴影部分，但是通过射现穿过它，来看一下从另一边出来多少，我们能测量出沿一条直线的物质总量，问题是如何从该信息重现物体内部的密度 .

这个问题的数学解在第一次世界大战时期即已得到 ,这就是著名的 Radon变换 .由于 Radon的解答 ,卡马克明白了用 X-射线从许多不同角度照射 ,就能决定体内目标的位置和形态 .由此导致了CAT扫描技术的产生，即人体器官的 3 维成像技术 .

如今，这一原理已扩张为磁共振图像扫描 技术它 的分辨率更高 .在这两个技术中 ,本质上只

是大量测量 1 维和 2维的度量，然后应用 Radon变换重造 3 维图像 .卡马克对 Radon变换的应用远不限于医学 .

在古人类学中 ,它已被用于某个生活在大约290万年前的 Pless夫人的检测 ,对 Pless夫人耳室的CAT扫描确定了用其它方法认为是正确的结论 .

Radon变换用于海洋学 ,可以测定海洋的度 .1958年 ,天文学家用它来描绘过一张月球亮度分布图 .

卡马克因此获得 1979年度诺贝尔生物与医学奖 .

4.4.近世代数与纠错码理论

美国 70 “ ”年代初发射 旅行者 号宇宙飞船 ,成功地应用了纠错码技术 ,使宇宙飞船在 30亿公里之外向地面 传回了天王星 , 海王星等星体的天文图象天王星的 九个卫星的光环以及海王星的 6个卫星的光环等极其宝贵的资料 .

纠错码技术在通信与数字技术中广泛使用 ,包括：图像记录技术： CD,DVD等；数字音频技术： CD（ Compact Disk小型唱片）；

计算机技术，存储技术（包括半导体，存储设备，

磁带设备，磁盘设备，光盘设备等）广播技术（卫星广播，地面广播，电缆）卫星通信，移动通信技术 .

4.5.数论和代数在密码学中的应用(1)信息安全：信息保密；信息的完整性

（防攻击 与身份认证）

(2)公钥密码学； 密码学一次伟大的革命（ Diffie和 Hellman

1976）

数论在公钥密码学的应用基于大整数的素因子分解 ,著名的例子是 RSA体制 ( Rivest, Shamir 和 Adleman 1977 ).

如果已知素数 p和 q, 求乘积 n=pq,是十分简单的。但若n是一个非常大的正整数，要给出 n的素因子分解，计算量是十分大的 .密码体制的可靠性，主要决定于计算的复杂性 .

数论和代数在密码学中的应用(1)信息安全：信息保密；信息的完整性（防攻击与身份认证）

(2)公钥密码学；这是密码学一次伟大的革命（ Diffie和 Hellman 1976）

五 .数学是培养和训练思维能力的理想载体

5.数学是培养学生思维能力的理想载体

思维能力： 计算能力； 几何直观能力； 逻辑思维能力； 精确 ,严密 ,简洁的表达能力； 在表面上无关的事物间发现本质联系的能力 .

‘昔人云： 鸳鸯绣出从君看，不把金针度与人 .’

吾辈言几何之学，政与此异 . ‘因反其语曰： 金针度’去从君用，未把鸳鸯绣与人 .—徐光启

唐朝延续隋朝数学教育 , 制定了明算科的数学教育制度 , 在国子监中设算学馆 , 以中国汉唐千余年间陆续

出现的十部数学著作 ( 李淳风等注释 ) 为教科书 :

1. 周髀算经； 2. 九章算术； 3. 孙子算经； 4. 五曹算经； 5. 夏侯阳 算经； 6. 张邱建算经； 7. 海岛算经； 8. 五经算术； 9. 缀术； 10. 缉古算经。

第六章 . 数学的哲学意义

中国近三百年来思想、学问皆趋于精密细致科学化 ,一般学者认为系受西洋天主教耶稣会教士来华之影响 ,其立论有二：

(一 )中国大考据家祖师顾亭林考证古音著作有《音学五书》，阎若琚之考证古文《尚书》有《古文尚书疏证》，此种学问方法（考据方法）完全系受利玛窦来华影响。(二 )考据学方法，系当时受西洋算学天文学影响。

胡适《考证学方法的来历》， 1934年 1月

六 .数学的哲学意义

6.1.数学与哲学 数学与哲学的交互影响是人类文化中最深刻的部分 .“没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度；而没有这两者，人们什么也看不透 .”哲学为人类文明提供了理性精神，而对理性精神贯彻最彻底的是数学 .数学中提出来的问题又促进了哲学的发展 .

6.2.数学对哲学家的影响

数学是认识自然的工具，重要数学理论的产生往往都会带来自然科学的巨大进步，加深人们对自然和社会的认识，并从而影响人们的世界观 . 在西方哲学史上，绝大多数有重大影响的哲学家在创建哲学体系时都受过数学的影响，甚至是决定性的影响 .

6.3.世界是依照数学的模式设计的

M.克莱因说 :“从毕达哥拉斯开始 , 所有哲学家都认为世界是依照数学设计的 .”毕达哥拉斯是最早提出自然界数学模式的哲学家 . 他认为数十万物的本原 ,多样的世界统一于数 , 万物都具有数的规定性 , 数的规律与宇宙的规律是一致的 . “毕达哥拉斯 数本”原的思想是西方哲学史上形而上学的萌芽 ,对古希腊乃至整个西方哲学和科学的发展都具有重大意义 .

6.4.从毕达哥拉斯到芝诺

埃利亚学派的巴门尼德（前 570—前 480年）和芝诺（前 490—前 425年）都曾是毕达哥拉斯学派成员 .巴门尼德受毕氏影响 , 毕达哥拉斯学抛开个体事物质的差异 , 只抽取其共同具有的数量关系 .巴门尼德研习数学，抽象思维能力极高，最终提出在当时最为抽象的哲学范畴 ---“ ”存在 .芝诺捍卫和发展了巴门尼德的观点 ,芝诺悖论的提出与数学的影响有关 .

6.5. 留基伯与 德莫克里德

由留基伯（前 500-前 440 年）开创和由与 德莫克里德（前 460—前 370年）建立的原子论哲学，是希腊早期各派自然真学的综合，将早期希腊的自然哲学推上顶峰 . 原子论者重视研究原子的形状、大小、次序、位置和排列，这些都属于物体的数量关系和空间形式，想用量来说明质，和毕氏学派的基本思想一致 .

6.6. 柏拉图和亚里斯多德

这两位公认的古希腊最伟大哲学家 ,他们的哲学体系都深受数学的影响 ,尤其是柏拉图理念论的提出和亚里斯多德形式逻辑的创立 .

6.7. 奥古斯丁 (354-430年 )和阿奎那 (1225-1274年 )

这是两位最伟大的基督教神学家 ,深受柏拉图和亚里斯多德影响 ,从而都深受数学的影响 ,提出 : “理性在这里开始成为表述上帝行为的工具 , 神的学说

”要用数学的理性来论证 .

6.8.笛卡尔和莱布尼茨近代哲学家探索认得认识能力的界限和认识的规律，在数学影响下产生了唯理论学派，认为数学思维的严密性是认识的最高目的 . 唯理论的两位最杰

—出代表 笛卡尔和莱布尼茨正是伟大的数学家 .另一位代表人物斯宾诺莎，其代表作《伦理学》是仿照几何学的体例写出的 .他确信哲学上的一切，包括伦理、道德等等，都可以用几何的方法证明 .

6.9.胡塞尔和罗素

胡塞尔和罗素是两位对当代哲学产生最大影响的哲学家 .胡塞尔以数学论文获得博士学位 , 其早期著作都是从算术即逻辑出发 , 由此提出其现象学概念 ,发展成现象学哲学流派 . 罗素是大数学家 ,为追求确定性而企图给数学奠定一个稳固的基础 .由此出发 , —发现了它的哲学方法 分析方法 ,开创了现代分析哲学这个巨大的哲学流派 .

七 . 数学的美学价值

音乐和数学之间有着天然的、奇妙而又十分深刻的本质 联系 .孔子闻《韶》乐 ,赞曰 :“尽美也 , ”又尽善也 ,称颂 备至 ,三月不知肉味 ;伯牙弹琴 ,高山流水 ,子期知音 ,传为 千古佳话 . 美妙的音乐之声之所以动人心弦 , 余音绕梁 ,

发人深思 , 其奥秘就蕴藏在数字之间和谐、协调、简单 而又深刻的关系与秩序之中 .

伽利略有言 : “大自然是一部书 ,这部书是用数学语 言写成的 .”

古今中外 ,多少艺术大师、科学巨匠、圣贤先哲 , 为 用数学语言寻求音乐之奥秘、解读艺术之规律 ,殚 精竭虑 , 探微索隐 , 留下了丰厚的文化遗产 ,这是人 类文明史上的瑰宝 .

7.1. 三分损益律

公元前六世纪 ,古希腊伟大数学家和哲学家毕达哥拉斯也发现了五度音程的弦长之比为 2:3, 由此奠

“ ”定了西方 五度律 的数学基础 .

春秋时代齐国名相管仲已经知道高五度音程的两弦长之比为 2/3,低五度音程的弦长之比为 4/3,由

“ ”此确立了我国传统的 三分损益律 的数学基础 .

7.2.数学与音乐的关系 1570年 ,英国数学家 John Dee(1527-1608)在

“ ”为《几何原本》第一部英译本所作的 序 中说 :“音”乐是一门数学科学 .

1636年 ,法国数学家和音乐理论家 M. Mersenne

(1588-1648）在其名著《和声学通论》中说 :“音 乐不外就是发出声音的代数 .”1650年 ,耶稣会传教士 A.Kircher（ 1601-1680）在其《音乐学通

“ ”论》一书中将音乐看作 从属于数学的学科 .

1636年 ,法国数学家和音乐理论家 M. Mersenne

(1588-1648）在其名著《和声学通论》中说 :“音 乐不外就是发出声音的代数 .”1650年 ,耶稣会传教士 A.Kircher（ 1601-1680）在其《音乐

“ ”学通论》一书中将音乐看作 从属于数学的学科 .

7.3.朱载堉关于乐学与律学的定义论述 .

明代朱载堉在其音乐专著《律吕精义》中明确地将“ ” “ ” 音乐定义为 乐学 和 律学 两个分支学科的总

称 ,指出 :

“乐也者 ,声音之学也 ; 律也者 , ”数度之学也 .

“ ”此处 数度 指的是数学和计量学 .“ ” “乐学 和 律” “ ”学 合称 乐律学 .

7.4. 朱载堉简介 朱载堉 (1536-1611)是明代杰出音乐家、艺术家和 科学家 . 他的成就代表了明代艺术和科学的高峰 .

朱载堉是明太祖朱元璋 (1328 -1398)九世孙 , 明仁

宗朱高炽 (1378-1425)七世孙 , 郑恭王朱厚 烷 (1518-1591)长子 , 1545 “年十岁时被册封为 郑世 ” 子 .“ ” 王子载堉 的名字早在几百年前就传 遍 了欧洲学术界 .

从现代观点看 ,“ ”乐学 即指音乐中歌唱和演奏的艺术 ,包括和声学、对位法、曲式学、配器法、作曲法

“ ”以及记谱法等内容； 律学 即运用数学手段和简便仪器来总结已有音乐体系的乐音高低的规律或法 则或创建新的音乐体系的学科 .因此 ,“ ”律学 也可 “ ”称为 数理音乐学 .

很明显 , 朱载堉关于音乐与数学关系的论述比较全面 ,也比较科学 .

7.5.朱载堉在学术上的贡献

朱载堉在学术上最大的贡献是在音乐理论上首先提出了十二平均律 ,由此彻底解决了中外音乐界思索了两千多年的返宫和转调问题 .

 

为解决这一世界性难题 , 他涉足艺术科学和自然科学的 广泛领域 ,攻克了一道又一道难关 , 攀上了一座又一座 高峰 , 在乐律学、声学、数学和天文学等领域都取得 杰出成就 ,谱写出一篇又一篇华美乐章 , 使当时的中国 在律学和声学等领域的研究中 , 居于世界领先地位 .

7.6.新法密率之创建 

自古及今 ,无论中外 ,都重视音乐 ,我国尤甚 .古希腊“ ” “主要教育内容的 四艺 即 数学 , 音乐 , 几何 , 天文

”学 ,其中之一便是音乐 ,其余三者也都与音乐相关 .

孔子 (公元前 551-前 479年 ) “ ”兴办 私学 , “以 六” 艺 (礼、乐、射、御、书、数 )作为传授的主要课程 .这是具有划时代意义的教育制度和模式的变革 . 音乐和数学也都在其中 .

7.7. 六代之乐 夏、商、周时期 ,奴隶制度得到完善和发展 , 为奴隶主 阶级服务的乐舞 , 规模宏大 . 夏之《大夏》、商之《大 濩》 、周之《大武》 , 都是奴隶主阶级 用于重大典礼 场合的大型音乐舞蹈作品 .

上述《大夏》、《大濩》与《大武》 ,连同传说中尧舜时代的《云门》、《咸池》与《大韶》这三部乐舞 ,世“ ”称 六代之乐 .

7.8. 周公制礼作乐

武王伐纣获胜 ,建立周朝 ,得周公辅佐 ,“ ”制礼作乐 , 历 代皇朝建立之时做的头等大事 , “ ”便是 制律修历 , 此 “ ”处 律 指乐律 , “ ”历 指历法 .

7.9.曾侯乙编钟

1978年 ,湖北随州发掘战国时期的曾侯乙墓 , 墓葬中的一套大型编钟由 64件大小不等的铜钟组合而成 ,分三层悬挂于曲尺型铜木结构之支架之上 .三层彩绘架梁由六个青铜武士俑双手和头顶托举 ,承受着总重两千五百多公斤的整套铜钟 ,历经两千多年 ,出土时仍矗立如故 ,何等壮观 !

更令人叹为观止者为其无与伦比之音乐科学成就 :

每一口钟都铸有错金篆体铭文 , 计两千八百余字 ,分标音铭文和乐律铭文两类 , 分别 记录各钟发音所属调 (律 )之阶名 . 敲击时 , 各钟均可发出构成小三度关系之二音 .

敲击时 , 各钟均可发出构成小三度关系之二音 .将铭 文与出土后的实际科学测音对照 , 全套编钟音色优 美 ,音律准确 ,基本音阶结构与现今国际通用之C大 调七声音阶相同 , 总音域达五个八度以上 , 中心音 域十二半音齐备 , 可自由转调 ,能奏由五声、六声或 七声音阶构成之各种乐曲 .

曾侯乙墓葬地下音乐殿堂之发现与测试结果 ,表明华夏民族在公元前五世纪之前： 已有科学的绝对音高与相对音高概念 ,

已能使用包括七声音阶在内的各类音阶 ,

已可能有多声部演奏之传统和声思维方式 ,

已有较完整之乐律学理论与产生音律制定 音律之物理音响学实践 .

4. 朱载堉虽然远离欧洲，却是一位文艺复兴时代的人 .

-- 李约瑟 p3

、 

5.音乐上的十二平均律是一种数学调音体系，它以严格的相等音程来配置八度内十二个半音 .具体说，十二平均律首先是精确定义八度音程比为 2，再将八度分成 12个相等半音，使任意相邻的两个半音的音程比值为 2的 12次方根，即 12√2.这种调音体系当然是人为的，但它不会使习惯于该体系的耳朵有不悦之音感 ;它的优点是能够旋宫转调 ,特别是在键盘乐器上 ,可以根据需要任意使用所有的键 .

十二平均律最早载于朱载堉于万历十二年 (1584年 )完成的《律学新说》一书 .李纯一根据《律历融通》一书序文的记述 ,确定朱载堉当在 1581年以前就已完成了新法密率的理论与计算 . 十二平均律是各相邻两律之间其频率比都等于 2的十二次方根的一种律制 . 不过朱载堉用振动体长度表示音高 ,而现代则是用频率表示音高 ,因此将长度间的比例关系改换成频率间的比例关系时 ,两者的比值互为倒数 . 新法密率的提出 ,彻底解决了我国律学史上长期未能解决的旋宫转调问题 .

 

新法密率的提出 ,彻底解决了我国律学史上长期未能解决的旋宫转调问题 .

 

大家都知道 ,火器、造纸、印书是中国人的三大发明 ,到了近代 ,西洋人用所有的力量、所有的科学方法完全放上去 ,使这三种东西每一种都有飞速的进步 ,几度的改良 ,而我们却须回过头去跟他们学……习 惟有明朝末年 ,朱载堉先生所发明的十二等律 , 却是一个一做就做到登峰造极的地步的大发明 .他把一协分为十二个相等的半度 ,是个唯一无二的方法 ,直到现在谁也不能推翻它、动摇它 ;他所用的算法 , 直到现在还是照样的做 ;他算出来的数目字 ,直到现在还是直抄了用 ,不必我们自己费心 .

你说这是个小发明么 ?不差 ,和造纸、印书、造炮相比 ,诚然是渺乎小矣 .但全世界闻名各国的乐器 ,有十分之八九都要依着他的方法造 ;即就北平而论 ,至少总有一二千架钢琴 , 却没有一架不用它的方法定律 .这种发明 ,恐怕至少比得上贝尔德电话和爱迪生的留声机吧 .

刘复 (半农 ,1891-1934).

创造性发展的主客观条件为什么集中并体现在朱载堉的学术活动之中 ?学术史上并不是所有的人都能充分运用固有文化宝库的厚富积累 ,从而创造出新成果的 .因为 ,知道遗产的丰富者 ,未必知道其中的各种历史遗留问题 ;知道这些遗留问题的人 ,未必就能根据新的历史条件以及客观现实的需要而善于处理这些问题 .在文化上有所建树的人 , “ ”根基在 学 , “ ”实施展在 才 ;作为才、

“ ”学统帅的关键则是 识 .引导并使朱载堉学有所用、才有所展的是他千思百虑而得的卓越见识 -大师的洞察力 .

我国最早的生律法，亦即确定乐音体系中各音的绝对准确高度及其相互关系的方法，最早见于距今两千六百余年的春秋时期 . • 这便是《管子 地员篇》

“ ” “所记载的 三分损益法 ： 凡将起五音，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以成宫；三分而益之一，为百有八，为徵；不无三分而去乘，适足以是生商；有三分而复于其所，以是生羽；有三分而去其乘，以是生角 .” 这说明， 三分损益法是按振动体长度来进行计算的，是一种弦上求律的方法 .

三分损益法的具体计算如下：设宫音弦长为 81，三分益一，即增加其长度的三分之一，得弦长 108，即其下方的纯四度音，为徵音；再三分损一，即减去次弦长的三分之一，得 72，为次一律上方的纯五度音，即商音；再三分益一，得 96,为羽音；再三分损一，得 64，为角音 .三分损益法生出了徵、羽、宫、商、角五音 .

•《吕氏春秋 音律篇》（成书于公元前 239年）则记载了在三分损益法生五律基础上继续往下推算以生出十二律的顺序：黄钟生林钟 ,林钟生太簇 ,太簇生南吕 ,南吕生姑洗 ,姑洗生应钟 , 应钟生蕤宾 ,蕤宾生大吕 ,大吕生夷则 ,夷则生夹钟 ,夹钟生无射 , 无射生仲吕 .三分所生，益之一分以上生；三分所生，损之一分以下生 .因此，用三分损益法所生出的十二律称作三分损益十二律 . P31.

由三分损益法所生的十二律，实际上是一种不平均律 .它所形成的古代大全音（ 204音分）较十二平均律的全音（ 200音分）要大；古代小半音（ 90音分）较十二平均律的半音（ 100音分）要小 .因此，三分损益法上下相生到第十二

“ ” “律（仲吕）时，就出现 仲吕极不生 ， 黄钟不能”还原 的现象暴露出十二律不能回归本律和无法周而

复始旋宫转调的问题 .

庄子 (公元前 369-前 286年 ):

“ ”庄子认为 人籁 (人为创作的音乐 ) “不如 地”籁 (大自然的音响 ),“ ” “ ”地籁 不如 天籁 (宇宙间的音响 )，只有天籁才无所依凭 ,“ 听 之不闻其声，

”视之不见其形，充满天地，苞裹六极 ，提倡一种自然、神化的音乐 .

《乐记》 :我国最早一部具有比较完整体系的音乐理论著作 ,原有 23篇 ,现存前 11篇 ,同时保存在《礼记》和《史记》中 .前八篇论述儒家的音乐美学思想 ,后三篇是有关音乐人物及其言论的记录 . 《乐记》的核心内容是系统地论述了儒家的礼乐思想 ,全书由五篇将礼、乐并列加以论述 ,对礼盒乐的社会功能与作用及其相互关系第一次进行了全面而系统的理论总结 ,这是论述周代社会礼乐文化体系最具价值的灿烂篇章 :

王者功成作乐 ,治定制礼 .

乐者为同 ,礼者为异 .

乐统同 ,礼辨异 .

乐也者 ,情之不可变者也 ;礼也者 ,礼之不可易者也 .

凡音者 ,生人心者也 .情动于中 ,故形于声 ;声成文 ,谓之音 .

审乐以知政 :

是故治世之音安以乐 ,其政和 ;乱世之音怨以怒 ,其政乖 ;亡国之音哀以思 ,其民困 .声音之道 , 与政通矣 .

《乐记》认为音乐是治理国家不可缺少的手段 ,所“ ”谓 先王立乐之方 即 :

乐在宗庙之中 ,君臣上下同听之 ,则莫不和敬 ;在族长乡里之长幼同听之 ,则莫不和顺 ;在闺门之内 ,父子兄弟同听之 ,则莫不和亲 .

乐者 ,天地之和也 (将音乐的谐和看作宇宙万物谐和规律的体现 ).

礼乐刑政 ,四达而不悖 (将音乐与道德、法律、政治同等看待 ,对音乐在国家上层建筑中所起的作用 ,给予高度重视 .

《乐记》还非常强调音乐的伦理教育作用 ,指出音乐必须接受政治与伦理道德的制约 :

是故先王之制礼乐也 ,非以极口腹耳目之欲也 ,将以教民平好恶 ,而反人道之正 .

《乐记》对音乐美感的认识 :

夫乐者 ,乐也 ,人情之所不能免也 .

足以感动人之善心而已矣 .

中国律学发展可分为四个时期 :

三分损益律发现时期 ;

探求新律时期 (公元前 206-1368年 );

十二平均律发明时期 ;

律学研究新时期 .

总 结 数学的作用1. 数学提供计算的工具和方法；2. 数学是描述科学理论的合适语言；3. 数学是发现科学规律的锐利武器；4. 数学是培养科学思维能力的理想载体；5. 数学的哲学意义；6. 数学的美学价值 .

数学在科学和社会中的作用

• 冯 诺尔 曼

数学家（ 1947） 147—166.

1.大部分数学家和其他人会同意数学不是一门经验科学 , 或 者至少它的练习方式在几个决定性的方面不同于经验科学技巧的练习 . 然而 ,它的发展与自然科学密切相关 .它的主要分支之一 ---几何学 , 实际上是作为一门自然的经验科学开始的 . 现代数学的某些最好的灵感 (我认为是最好的一些 )无疑来自于自然科学 . “ ”数学方法渗透并统治着自然科学的 理论 分支 . 在现代经验科学中 , 是否已经变得容易使用数学方法或者接近数学的物理方法已经越来越成为衡量这门科学是否成功的一个重要标准 . 148-149.

2. “ ”在自然科学中贯穿着一条由 假晶现象 构成的 、所有环节都指向数学、 并且几乎等同于科学进步的概念本身的连续不断的链条，这一点已经越来越明显了 .生物学日益被化学和物理学渗透，化学日益被实验物理学和理论物理学渗透，而物理学日益被理论物理高度数学化的形式所渗透 . 149.

3. 不可否认，数学中在那些人们所能想象的最纯的纯数学部分，一些最好的灵感来源于自然科学 .我们将列举两个最不朽的事实 . 149.

4. 第一个例子当然应该是几何学 . 几何学是古代数学的主要部分 .现在 , 几 何学和它的几个分支一起仍然

是现代数学的重要组成部分 .毋庸置疑 , 几何学在古代起源于实际经验 , 而它开始成为一门学科的过程 ,与今天的理论物理学没有什么不同 .除了其他所有证据之外 , “ ”几何学 这一名称本身也表明了这一点 . 149—150.

欧几里得的公设化处理标志着几何学与经验主义分离的伟大一步 , 但是要支持这种观点 ,说这就是造成几何学与经验完全分离的决定性的最后一步则并非那么简单 . 在这方面 ,欧几里得的公理化在一些细枝末节上的确不符合绝对的公理严密性的现代要求，这还是次要的 .更为本质的是：其他那些无疑属于经验科学的学科，比如力学和热力学，常常或多或少地以公设化的处理给出，而在某些作者的介绍中这种处理简直难以与欧几里得的程序相区别 . 我们这个时代理论物理学的经典著作 ---牛顿的《原理》，无论是某些

我们这个时代理论物理学的经典著作 ---牛顿的《原理》，无论是某些最关键部分的精髓还是行文风格都与欧几里得的《原本》非常类似 . 当然，在所有这些例子中 ,公设化表述的最后都有支持那些共设的物理学见解和佐证那些定理的实验证据 .