2013 年同升高效课堂 长沙同升湖实验学校 求学同升 受益终生

授 课：李艳波2013 年 11 月25 日

导数的几何意义

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我国著名数学家 华罗庚曾说过： “ 数缺形时少直观，

形少数时难入微；数形结合百般好， 隔离分家万事休。”

数形结合思想

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1.1.3 导数的几何意义

普通高中课程标准实验教科书（选修 2-2）

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0 00

0 0

( ) ( )( ) lim lim .

x x

f x x f xyf x

x x

导数的定义（瞬时变化率）

1. 复习引入

平均变化率0 0( ) (

.)f x x f xy

x x

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xo

yy=f(x)

P(x0,f(x0))

Q( )

M△ x

△ y 即：当△ x→0 时，割线 PQ 的斜率的极限，就是曲线在点 P 处的切线的斜率，

x

xfxxf

x

y

xx

)()(k 00

00limlim＝所以：

)(, 00 xxfxx

2. 合作探究

x

xfxxf

x

ykPQ

)()( 00

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由此得到曲线 y=f(x) 在点 P( x0 , f(x0) ) 处的切线方程

为：

导数的几何意义

0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x

3. 得出结论

函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x) 在点 P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率 .

即 :0'( )k f x切线

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因此 , 切线的斜率 k=2切线方程为 y-2=2(x-1), 即 y=2x.

例 1: 求曲线 y=f(x)=x2+1 在点 P(1,2) 处的切线方程 .

4. 例题解析

.2)(2

lim

)11(1)1(lim

)()(lim:

2

0

2

0

00

0

x

xx

x

x

x

xfxxfk

x

x

x解

02 yx切线方程为：

求切线方程的步骤；

（ 1 ）确定切点；

（ 2 ）求切线的斜率；

（ 3 ）用点斜式写出切线 方程；

（ 4 ）改为一般式。

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5. 课堂练习：

题型一 : 已知切点横坐标 , 求曲线的切线方程

小结

切点在曲线上，代入曲线中求出纵坐标，然后求出切线斜率 .

【变式 1 】已知函数 ，则 在 处的切线方程为 ________ 。

1)( 2 xxf )(xf ），（ )2(2 f

034 yx答案：

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题型二 : 已知切线的斜率 , 求曲线的切线方程

【变式 2 】与直线 平行的曲线 的切线方程是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

2 4 0x y 2y x

2 +3=0x y 2 3 0x y

2 1 0x y 2 1 0x y

小结

根据平行关系求出斜率，利用斜率求出切点，再利用点斜式求出切线方程 . 答案： D

5. 课堂练习：

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☆ 知识： 1 、导数的几何意义；

☆ 应用： 1 、“切点——斜率——切线”知一求二 2 、求曲线的切线方程一般步骤：

1确定切点

2利用导数求切线斜率

4 改为一般式

☆ 思想： 1 、数形结合， 2 、极限思想； 3 、类比思想

6. 课堂小结：

3点斜式写出切线方程

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谢谢同学们的配合，感谢听课的老师！