Прикладная физика и математика 2014 №3

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

И МАТЕМАТИКА

APPLIED PHYSICS AND MATHEMATICS

3

∙ 2

01

4

ISSN 2307-1621

Учредители: ООО «Научтехлитиздат» ООО «Мир журналов»Журнал зарегистрирован в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор)

Свидетельство о регистрации: СМИ ПИ ФС77-50415 от 25.06.2012 г.

Подписные индексы: ОАО «Роспечать» 83190«Пресса России» 10363

Главный редактор: Академик РАН А.Н. Лагарьков

Зам. главного редактора д-р физ.-мат. наук А.Л. Рахманов

Редакция: В.Б. Гончарова, Н.Н. Годованец, Е.А. Боброва, И.Ю. Шабловская, В.С. Сердюк

Редакционная коллегия:Гуляев Ю.В., акад. РАН, (Россия)Загородный А.Г., акад. РАН и НАН Украины, (Украина)Лагарьков А.Н., акад. РАН, (Россия)Сигов А.С., акад. РАН, (Россия)Трубецкой К.Н., акад. РАН, (Россия)Хомич В.Ю., акад. РАН, (Россия)Щербаков И.А., акад. РАН, (Россия)Колачевский Н.Н., чл.-корр. РАН, (Россия)Силин В.П., чл.-корр. РАН, (Россия)Трубецков Д.И., чл.-корр. РАН, (Россия)Белоконов И.В. д-р техн. наук, проф., (Россия)Волошин И.Ф., д-р техн. наук, проф., (Россия)Галченко Ю.П., д-р техн. наук, (Россия)Громов Ю.Ю., д-р техн. наук, проф., (Россия)Джанджгава Г.И., д-р техн. наук, проф., (Россия)Джашитов В.Э., д-р техн. наук, проф., (Россия)Зоухди С., д-р наук, проф., (Франция)Калинов А.В., д-р техн. наук, проф., (Россия)Карась В.И., д-р физ-мат наук, проф., (Украина)Кейлин В.Е., д-р техн. наук, проф., (Россия)Ковалев К.Л., д-р техн. наук, проф., (Россия)Красильщик И.С., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)Кусмарцев Ф.В., д-р философии, проф., (Англия)Кушнер А.Г., д-р физ-мат. наук, (Россия)Литвинов Г.Л., канд. физ.-мат. наук, (Россия)Лошак Ж., д-р философии, проф., (Франция)Лычагин В.В., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)Первадчук В.П., д-р техн. наук, проф., (Россия)Рахманов А.Л., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)Реутов В.Г., д-р техн. наук, (Россия)Романовский В.Р., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)Рухадзе А.А., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)Рыбин В.М., д-р техн. наук, проф., (Россия)Самхарадзе Т.Г., д-р техн. наук, проф., (Россия)Сихвола А., д-р наук, проф., (Финляндия) Уруцкоев Л.И., д-р физ-мат наук, проф., (Россия)Цаплин А.И., д-р техн. наук, проф., (Россия)Шалае В., д-р наук, проф., (США)Щелев М.Я., д-р физ.-мат. наук, (Россия)Фишер Л.М., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)

Дизайн и верстка: Б.Е. ГолишниковСтатьи, поступающие в редакцию, рецензируютсяАдрес редакции:

107258, Москва, Алымов пер., д. 17, корп. 2, редакция журнала «Прикладная физика и математика»Тел.: 8 (985) 233-07-98, E-mail: [email protected]Подписано в печать 17.05.2014 г.Формат 60х88 1/8. Бумага мелованная матоваяПечать офсетная. Усл.-печ. л. 16,4. Уч.-изд. л. 16,9. Заказ ПФ-109. Тираж 420 экз.

Издатель: ООО «Научтехлитиздат», 107258, Москва, Алымов пер., д. 17, корп. 2Оригинал-макет и электронная версия подготовлены ООО «Научтехлитиздат»Отпечатано в типографии ООО «Научтехлитиздат»107258, Москва, Алымов пер., д. 17, корп. 2Тел.: 8 (499) 168-21-28

Содержание

ISSN 2307-1621 3 ∙ 2014НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ

ПРикЛАдНАя физикА и мАтемАтикА


С.А. Герасимов

ВзаимодейстВие элементоВ тока, сохранение импульса и псеВдосамодейстВие В магнитостатике 3

П.А. Платонов, О.К. ЧугуновИ.Ф. Новобратская, В.М. АлексеевВ.Н. Маневский, Л.Л. ЛышовЕ.И. Смородкин, Д.А. Кулешов

механизм старения графита под облучением.критический флюенс

нейтронного облучения 8

ПРИКЛАДНАЯ мАтемАтИКА

К. Девиан, Ж. Бертранд

ноВые достижения В области стандартной модели кВантоВой физики В алгебре клиффорда (часть 3) 17

И.А. Конников

использоВание разностной математической модели для расчета поля В слоистых средах 39

И.В. Игнатушина

преподаВание дифференциальной геометрии В отечестВенных педагогических Вузах хх столетия 51

ИСтОРИЯ

ФИЗИКИ И мАтемАтИКИ

Н.Ф. Лазарев

40 лет работы по ядерной проблеме на сВерхсекретном соВетско-немецком объекте 58

праВила оформления, рассмотрения, публикации и рецензироВания статей 72

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 3 · 2014

Founder and Publisher: Ltd. The Publishing House«Nauchtehlitizdat»LLC «World magazines»The journal is registered the Federal Service for Supervision of Communications, Information Technology and Communications (Roskomnadzor)

Certificate of Registration of Media: PI ФС77-50415 from 25.06.2012

Subscription numbers: The Public Corporation «Rospechat» 83190«Pressa Rossii» 10363

Editor in Chief: А.N. Lagarkov, acad. RAS

Deputy Editor in chief: А.L. Rahmanov, Doctor of Phys.-Math. Sciences

Editorial Staff: V.B. Goncharova, N.N. Godovanec, E.A. Bobrova, I.Ju. Shablovskaja, V.S. Serdjuk

Editorial Board:Belokonov I.V. (Russia)Caplin A.I. (Russia)Dzhandzhgava G.I. (Russia) Dzhashitova V.Je. (Russia) Fisher L. (Russia)Galchenko Ju.P. (Russia) Gromov Ju.Ju. (Russia) Guljaev Ju.V. (Russia)Homich V.Ju. (Russia)Kalinov A.V. (Russia) Karas' V.I. (Ukraine) Kejlin V.E. (Russia)Kolachevskij N.N. (Russia) Kovalev K.L. (Russia)Krasil'shhik I.S. (Russia) Kushner A.G. (Russia) Kusmartsev F.V (England) Lagarkov A.N. (Russia)Litvinov G.L. (Russia) Loshak Zh. (France) Lychagin V.V. (Russia) Rahmanov A.L. (Russia) Pervadchuk V.P. (Russia) Reutov V.G. (Russia)Romanovskij V.R. (Russia)Rukhadze A.A. (Russia)Rybin V.M. (Russia) Samkharadze T.G. (Russia)Shalae V. (USA) Shelev M.J. (Russia)Sherbakov I.A. (Russia)Sigov A.S. (Russia)Sihvola А. (Finland) Silin V.P. (Russia)Trubeckoj K.N. (Russia)Trubeckov D.I. (Russia)Uruckoev L.I. (Russia)Voloshin I.F. (Russia) Zagorodnyj A.G. (Ukraine) Zouhdi S. (France)

Design, Make-Up: B.E. GolishnikovArticles submitted articles are reviewedEditorial office address:

107258, Moscow, Alymov per., 17, bldg. 2 editors «Applied Physics and Mathematics»Phone: 8 (985) 233-07-98E-mail: [email protected] to the press: 17.05.2014 г.Format 60х88 1/8. Matt coated paperOffset printing. Conv. printer’s sheets 16,4. Uch.-ed. l. 16,9. The order ПФ-109. Circ. 420 экз. The layout and the electronic version of the journal are made by ltd. The Publishing House «Nauchtehlitizdat»Printed in ltd. The publishing house «Nauchtehlitizdat» 107258, Moscow, Alymov per., 17, bldg. 2Phone: 8 (499) 168-21-28

Content

SCIENTIFIC JOURNALISSN 2307-1621 3 ∙ 2014

AppLIEd phySICS ANd MAThEMATICS

APPLIED PHYSICS

S.A. Gerasimov

InteracrIon of current elements, conservatIon of momentum and pseudo-self-actIon In magnetostatIcs 3

P.A. Platonov, O.K. Chugunov I.F. Novobratskaya, V.M. Alekseev V.Y. Manevsky, L.L. Lishov E.I. Smorodkin, D.A. Kuleshov

graphIte grow old mechanIsm under IrradIatIon. the crItIcal fluence of neutron IrradIatIon 8

APPLIED MAtHEMAtICS

C. Daviau, J. Bertrand

new InsIghts In the standard model of quantumphysIcs In clIfford algebra (part 3) 17

I.A. Konnikovemployment of the dIfference mathematIcal model for computIng the fIeld In layered medIa 39

I.V. Ignatushina

teachIng dIfferentIal geometry In the natIonal educatIonal unIversItIes xx century 51

HIStORY OF PHYSICS AND MAtHEMAtICS

N.F. Lazarev

40 years of work on the top-secret sovIet-german nuclear object 58

rules of consIderatIon, publIcatIon and revIew artIcles 72

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 3 · 2014 3

С.А. ГЕРАСИМОВ – канд. физ.-мат.наук, доцент Южный федеральный университет Российская Федерация, Ростов-на-Дону E-mail: [email protected]

ВЗАИмОДейСтВИе эЛемеНтОВ тОКА, СОхРАНеНИе ИмПуЛьСА И ПСеВДОСАмОДейСтВИе В мАгНИтОСтАтИКе

До сих пор существует мнение, согласно которому третий закон Ньютона в магнитостатике не выполняется. Альтерна-тивная точка зрения ставит под сомнение классическую элек-тродинамику, основанную на законе Био-Савара. Это стало причиной рассмотрения пондеромоторной магнитной силы, с которой одна часть замкнутой электрической цепи действу-ет сама на себя. Величина этой силы определяется значения-

ми векторного потенциала на концах проводника. Показано, что в общем случае эта сила не равна нулю. Существование самодействия является формальным подходом полевой элек-тродинамики и не противоречит законам сохранения.

Ключевые слова: незамкнутая система, элементы тока, сила самодействия, магнитостатика.

S.A. GERASIMOV – Cand. of Phys.-Math. Sciences, Associate Professor Southern Federal University Russian Federation, Rostov-on-Don E-mail: [email protected]

INtERACRION OF CURRENt ELEMENtS, CONSERVAtION OF MOMENtUM AND PSEUDO-SELF-ACtION IN MAGNEtOStAtICS

There exists an opinion accordingly which the Newton’s third law does not hold in magnetostatics. An alternative point of view doubts classical electrodynamics based on the Biot-Sa-vart force law. This is a reason to consider the ponderomo-tive magnetic force by means of which a part of the closed electric circuit acts on itself. The magnitude of such a force is determined by vector potential at ends of the conductor. It is

shown that in general case this force does not equal zero. The existence of self-acting is a formal approach of the modern field electrodynamics and does not contradict to conserva-tion laws.

Keywords: non-reserved system, current elements, self-force, magnetostatics.

ВведениеВопрос о том, какому закону подчиняется взаимо-действие элементарных токов, судя по всему, до кон-ца не закрыт. Сомнения основываются, по существу, на известном факте нарушения принципа равен-ства и коллинеарности действия и противодействия (третьего закона Ньютона), свойственного закону Био-Савара. Известно, правда, что взаимодействие между замкнутыми электрическими контурами это-му закону удовлетворяет. В этом случае сила Био-Савара, с которой взаимодействуют два замкнутых тока, абсолютно эквивалентна так называемой силе Ампера, для которой взаимодействие между эле-ментарными токами подчиняется третьему закону Ньютона [1]. С другой стороны, есть теоретические и экспериментальные основания считать, что маг-нитное взаимодействие двух тел, одно из которых представляет собой замкнутый ток, а другое - не-замкнутый, этому принципу не подчиняется [2].

Разумеется, в природе незамкнутых токов не суще-ствует. Но это вовсе не запрещает нам рассматривать часть незамкнутого тока как составную часть друго-го тела. На этом принципе основано так называемое униполярное вращение [3]. В таком варианте полная сила, действующая на тело, оказалась равной силе, с которой на него действует другое тело, плюс так на-зываемая сила самодействия, с которой, формально говоря, тело действует само на себя. К такому явле-нию нужно относиться, вероятно, как к «псевдоса-модействию», поскольку ни к каким нарушениям за-конов сохранения это не приводит. Сумма всех сил, действующих в замкнутой системе, по-прежнему, равна нулю, а сумма силы действия и самодействия абсолютно эквивалентна полной силе Ампера [4]. Другими словами, эту часть проблемы можно счи-тать решенной и экспериментально, и теоретически. Важно отметить, что при теоретическом решении этой части проблемы никакие расходимости ни силы Био-Савара, ни силы Ампера не возникают.

ПРикЛАдНАя физикА

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 3 · 2014 ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 3 · 20144


Нерешенной и противоречащей полевой электро-динамике считается задача вычисления силы, дей-ствующей на незамкнутый ток со стороны остав-шейся незамкнутой части всего замкнутого тока. Достаточно последовательный расчет, основанный на рассмотрении объемных, а не линейных токов продемонстрировал, что силы, с которыми взаимо-действуют две части одного замкнутого тока равен-ству и коллинеарности действия и противодействия не удовлетворяют [5]. Это послужило основанием для утверждения о некорректности силы Био-Савара. Обращает на себя внимание работа, в которой так на-зываемая сила самодействия обнаружена и измере-на экспериментально [6]. При этом авторы сначала попытались доказать, что единственно правильной является сила Ампера, а закон Био-Савара приводит к ошибочным результатам [7]. Отдавая должное об-стоятельности, точности и аккуратности выполнения измерений [6], следует признать неполноту конеч-ного результата, содержащегося в этих исследова-ниях. Дело в том, что выделить силу самодействия, на обнаружение которой претендуют противореча-щие сами себе авторы [6, 7] из полной силы в боль-шинстве случаев практически невозможно. И самое основное: соответствие существования силы само-действия закону сохранения импульса не только не установлено, но даже не рассматривалось.

Опасность, возникшая в результате отсутствия ре-шения проблемы, очевидна: авторы, ставящие под со-мнение полевую электродинамику ссылаясь на кажу-щееся нарушение третьего закона Ньютона, на самом деле допускают существование только продольных сил, а значит и «продольных электромагнитных волн».

Магнитное взаимодействие токовРассмотрим замкнутый проводник, по объему которо-го течет электрический ток плотности j(r) (см. рис. 1). Решение задачи, основанное на рассмотрении линей-ных элементов тока, в общем случае приводит к расхо-димости силы Био-Савара [8, 9] и, потому, физически некорректно. Вызывает вполне обоснованные нарека-ния и рассмотрение некоторых частных примеров, в которых расходимости компенсируют друг друга [10]. Будем полагать, что проводник состоит из двух взаи-модействующих частей SC и CS. Нас будет интересо-вать сила FS, с которой одна часть цепи, скажем SC, действует сама на себя. Объемный элемент тока j(r2)dV2, положение которого задается радиус-вектором r2,

со стороны элемента j(r1)dV1 с радиус-вектором r1 ис-пытывает действие силы Био-Савара

d R dVdVF j r j r R12

0

12

3

2 1 12 1 2

4= × ×µπ[ ( ) [ ( ) ]] , (1)

где R12=r2–r1. Интегрирование этого выражения по всем V1VSC дает значение силы dFSC-2, с которой часть проводника SC действует на элемент объема dV2, принадлежащий той же части SC. В свою оче-редь, интегрирование dFSC–2 по всем V2VSC опреде-ляет так называемую силу самодействия [6]:

F j r j r RS

V

dVR

dVVscsc

= × ×∫∫µπ0

2

2 1 12

12

3

1

4

[ ( ) [ ( ) ]] . (2)

Меняя порядок интегрирования и учитывая, что

∇ =−2

12

12

12

3

1

R RR , (3)

можно получить

F j r j rS dVRdV

VscVsc

=− ∇ +∫∫µπ0

1 1 2 2

12

2

4

1 ( ) ( ( ) )

+ ∫∫R j r j r

12 2 1

12

3

1 2

( ( ) ( ))

RdVdV

VscVsc

. (5)

Поскольку R12 = - R21, то подинтегральное вы-ражение во втором интеграле выражения (5) анти-симметрично при перестановке r1 и r2, поэтому это слагаемое равно нулю. Если теперь принять во вни-мание правило дифференцирования по координатам элемента тока ds2:

( (( ))) ( ) ( ( ) )∇ = ∇ + ∇2

12 12

2 2

12

1 1j r j r j rR R R , (6)

и учесть уравнение непрерывности

∇ =2 0j r( ) , (7)

РИС. 1



справедливое не только для проводника, но и для ис-точника тока, то получается выражение

F j r j rS dV

RdV

VscVsc

=− ∇∫∫µπ0

1 1 2

2

12

2

4( ) ( (

( ))) , (8)

допускающее использование теоремы Гаусса. Инте-грал по объему VSC части проводника SC от дивер-генции векторной функции j(r2)/R12 равен поверх-ностному интегралу от этой функции по замкнутой поверхности SSC+S+C, ограничивающей объем VSC. Поэтому

F j r j r sS

S

S

dV dR

Ssc S CVsc

=− −

−+ +∫∫µ

π0

1 1

1

1

4( )

( ( ) )

, (9)

где R1–S – расстояние от элемента объема dV1 до эле-мента поверхности ds, положение которого опреде-ляется радиус-вектором r1–S. Через боковую поверх-ность проводника SSC ток не течет:

( ( ) )j r s1

0− =S SCd . (10)

Поэтому, после перемены порядка интегрирова-ния выражение (9) приобретает вид

F j r s j rS S S

S

d dVR

VscS

=− +∫∫µπ0 1 1

41

( ( ) )( )

+ ∫∫( ( ) )( )

j r s j rC C

C

d dVR

VscC

1 1

1

. (11)

Здесь, R1S=rS–r1 и R1C=rC–r1. Заметим, что сила FS зависит только от значений

A r j r( )

( )S

dVRSVsc

= ∫µπ0 1 1

14

, (12)

A r j r( )

( )C

dVRCVsc

= ∫µπ0 1 1

14

, (13)

векторного потенциала распределения тока j(r) в точках rS и rC поверхностей S и C, разделяющих про-водник на две части:

F A r j r s A r j r sS S S S C C Cd dS C

=− −∫ ∫( )( ( ) ) ( )( ( ) ) . (14)

Теперь становится понятной бессмысленность проведения численных расчетов, сопряженных с шестикратным интегрированием силы самодей-ствия (2) по объему проводника. Кроме того, прене-брежение аналитическими расчетами потребовало допущений, касающихся плотности тока в прово-днике [6]. К таким доказательствам существования силы самодействия следует относиться лишь с той точностью, которую допускают разного рода мо-

дели и, конечно, точность проведения численных расчетов.

Если направления токов j(rS) и j(rC) нормальны к поверхностям S и C ( ( ) ) ( )

( ( ) ) ( ) ,

j r s rj r s r

S S S S

C C C C

d j dsd j ds

=−

= (15)

а распределение тока однородно по сечению прово-дника, то

F A r A rS S Cj ds j dsS S C C

S C

= −∫ ∫( ) ( ) . (16)

Можно ввести средние значения векторного потенциала

A A r

A A r

S

S

S S

C

C

C C

S ds

S dsS

C

=

=

∫∫

1

1

( )

( ) .

(17)

Это дает

F A AS S CI= −( ) , (18)

где I – полный ток, текущий в цепи. Значения векторных потенциалов определяются

распределением тока не только вблизи границ S и C. Чтобы убедиться, что в общем случае сила FS отлич-на от нуля, достаточно рассмотреть пример, когда об-ласть SC симметрична. В этом случае составляющие векторных потенциалов, коллинеарные направлению симметрии, отличаются только знаком, а перпенди-кулярные – равны.

Приведенные выше расчеты и рассуждения нельзя назвать слишком сложными или недоступ-ными, хотя они и принципиально отличаются от других [5–9]. Проблема, вероятно, возникла из-за активного несогласия с нарушением третьего за-кона Ньютона в магнитостатике. Например, едва ли можно считать обоснованной попытку допол-нить силу Био-Савара слагаемым, которое делает этот закон удовлетворяющим принципу равенства и коллинеарности действия и противодействия. При внимательном рассмотрении оказывается, что этот добавок, так или иначе, сводится к силе само-дейсвия. Термины «сила самодействия» (self-force) или «момент сил самодейсвия» (self-torque) вводят-ся не впервые. Попытки разобраться с этим только на первый взгляд кажущимся странным явлением предпринимались и ранее [11]. Называть же упомя-нутые выше термины и понятия некорректными, а вычисление силы, с которой часть проводника дей-ствует сама на себя, лишенным смысла, по меньшей мере, преждевременно.



Псевдосамодействие и сохранение импульсаОсновным недостатком предыдущих расчетов и их интерпретации [5–9] явился достаточно очевидный факт. Действие одной части проводника самой на себя рассматривалось в отрыве от всей системы. Ве-роятно, именно такой подход и спровоцировал актив-ное неприятие самодействия или псевдосамодейсвия. Если бы настоящее изложение заканчивалось только вычислением силы самодействия (18) или (14), едва ли оно могло рассчитывать на полноту.

Для всего проводника поверхности S и C, разуме-ется, отсутствуют, и, поскольку ток через боковую поверхность всего проводника не течет, то интеграл (9) становится равным нулю:

dV dR

S

SS SV SC CS

1 1

1

1

0j r j r s( )

( ( ) )−

−+∫∫ =

. (19)

С другой стороны, полная сила, действующая на замкнутый изолированный проводник, складывается из силы действия Fa, с которой часть CS действует на SC, силы самодействия FS, с которой выделенная часть SC действует сама на себя, силы противодей-ствия Fr, с которой SC действует на CS и силы само-действия F′S, с которой оставшаяся часть CS действу-ет сама на себя:

µπ0

2 1 2 1

4 ( , )dV dVVsc Vsc∫ ∫ +f r r

+ +∫ ∫dV dVVsc Vcs

2 1 2 1f r r( , )

+ +∫ ∫dV dVVcs Vsc

2 1 2 1f r r( , )

+ =∫ ∫dV dVVcs Vcs

2 1 2 10f r r( , ) , (20)

или

F F F Fa s r s+ + + ′ =0 , (21)

где

f r r j r j r R( ) [ ( ) [ ( ) ]]/,1 2 2 1 12 12

3= × × R , (22)

и

′=− ′ − ′∫ ∫F A r j r s A r j r sS S S S C C Cd dS C

( )( ( ) ) ( )( ( ) ) , (23)

′ = ∫A r j r( )

( )S

S

dVR

Vcs

µπ0 1 1

4 1

, (24)

′ = ∫A r j r( )

( )C

C

dVR

Vcs

µπ0 1 1

4 1

, (25)

по аналогии с предыдущими вычислениями. Сумма всех сил действующих в замкнутой си-

стеме (21), включая силы самодействия (14) и (24), оказалась равной нулю, что, по существу, и означает выполнение закона сохранения импульса.

Без следующего замечания смысл силы FS может быть неправильно истолкован. Измерены могут быть только полные силы Fa + FS или Fr + F′S, действующие на ту или другую часть проводника, и не существует способа выделить, скажем, силу самодействия. Дру-гое дело, что в ряде случаев сила действия или сила противодействия может быть пренебрежимо мала. Вполне возможно, что именно это и происходило при измерении силы самодействия [6].

Устранено одно из основных противоречий, про-воцирующих сомнительные выводы [5, 7–9]. Зам-кнутый изолированный проводник не сдвинется с места, какой бы величины ток по нему не циркули-ровал, а это в полном соответствии с законом сохра-нения импульса. Однако, самый важный результат в другом. На часть проводника, обозначенную как SC, действует суммарная сила Fa + FS, равная по ве-личине и противоположная по направлению полной силе Fr + F′S, действующей на тело CS. Если угодно, к этому можно относиться как к подтверждению справедливости третьего закона Ньютона, правда, в несколько обобщенном виде. Оснований для пере-смотра основных положений полевой электродина-мики, очевидно, нет никаких.

Заключение

Становится очевидной бессмысленность прове-дения основательных измерений и расчетов, если их единственной целью является попытка опреде-лить силу самодействия. Судя по всему, неудачной следует считать и попытку утвердить третий закон Ньютона в магнитостатике ценой потери высших членов разложения силы в ряд по степеням R12 [12]. Что касается эквивалентности сил Био-Савара и Ампера, то тут добавить к известному [13] совер-шенно нечего. Повторять известный результат нет никакой необходимости. Даже в случае взаимо-действия двух частей одного и того же проводника сила Ампера приводит к тому же самому результа-ту, что и суммарная сила Био-Савара, разумеется, с учетом псевдосамодействия. С третьим же законом



Ньютона в его современной формулировке следует обращаться следующим образом: векторная сумма всех сил, действующих в изолированной (замкну-той) системе равна нулю. В понятии силы самодей-ствия нет ничего странного и необычного. Если мы к силе относимся как величине характеризующей воздействие на тело других тел, то в данном слу-чае на каждый элемент тока действуют другие эле-менты. Нет противоречия и в том случае, если под силой понимается минус градиент потенциальной энергии взаимодействия элементов тока [1]. Кстати говоря, если бы мы вычислили силу самодействия таким образом, мы бы получили абсолютно такой же результат.

Литература

1. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989. 620 с.

2. Gerasimov S.A. Self-Interaction and Vector Potential in Magnetostatics. Physica Scripta. 1997. Vol. 56. 3–4. PP. 462–464.

3. Gerasimov S.A., Gorokhovikov S.L., Grigorian M.A. A Special Feature of Unipolar Rotation // Technical Phys-ics Letters. 2005. Vol. 31. 1. PP. 79–80.

4. Герасимов С.А., Прядченко В.В. Псевдосамодей-ствие и правило эквивалентности в магнитостатике // Прикладная физика. 2010. 2. С. 22–24.

5. Graneau N. The Finite Size of the Metallic Current Element. Physics Letters A. 1990. Vol. 147. 2–3. PP. 92–96.

6. Cavalleri G., Bettoni G., Tonni E., Spavieri G. Experi-mental Proof of Standard Electrodynamics of Measuring the Self-Force on a Part of a Current Loop // Physical Review E. 1998. Vol. 58. 2. PP. 2505–2517.

7. Cavalleri G., Spavieri G., Spinelli G. The Ampere and Biot-Savart Force Laws. European Journal of Physics. 1996. Vol. 17. No. 4. PP. 205–207.

8. Christodoulides C. Comparison of the Ampere and Biot-Savart Magnetic Force Laws in Their Line-Cur-rent-Elements Forms. American Journal of Physics. 1998. Vol. 56. 4. PP. 357–362.

9. Pappas P.T., Moyssides P.G. On the Fundamental Laws of Electrodynamics. Physics Letters A. 1985. Vol. 111A. 4. PP. 193–198.

10. Герасимов С.А. Вращательный момент самодей-ствия в классической электродинамике // Вопросы прикладной физики. 2006. 13. С. 52–57.

11. Serra-Valls F., Gago-Bousquet G. Conducting Spiral as an Acyclic or Unipolar Machine. American Journal of Physics. 1970. Vol. 38. 11. PP. 1273–1276.

12. Christodoulides C. Equivalence of the Ampere and Biot-Savart Force Laws in Magnetostatics. Journal of Physics A. 1987. Vol. 20. 8. PP. 2037–2042.

13. Герасимов С.А. Правило эквивалентности в полевой и силовой магнитостатике // Известия СГУ. Физика. 2007. Т. 7. 1. С. 40–43.

References

1. Tamm I.E. Osnovy teorii elektrichestva [Fundamentals of the Theory of Electricity]. M.: Nauka [Moscow: Publish-ing house «Science»], 1989. 620 p.

2. Gerasimov S.A. Self-Interaction and Vector Potential in Magnetostatics. Physica Scripta. 1997. Vol. 56. 3–4. PP. 462–464.

3. Gerasimov S.A., Gorokhovikov S.L., Grigorian M.A. A Special Feature of Unipolar Rotation. Technical Phys-ics Letters. 2005. Vol. 31. 1. PP. 79–80.

4. Gerasimov S.A., Priadchenko V.V. Psevdosamodeistvie i pravilo ekvivalentnosti v magnitostatike [Pseudo-self-ac-tion and Equivalence Rule in Magnetostatics]. Prikladnaja fizika [Applied Physics]. 2010. 2. PP. 22–24.

5. Graneau N. The Finite Size of the Metallic Current Element. Physics Letters A. 1990. Vol. 147. 2–3. PP. 92–96.

6. Cavalleri G., Bettoni G., Tonni E., Spavieri G. Experi-mental Proof of Standard Electrodynamics of Measuring the Self-Force on a Part of a Current Loop. Physical Re-view E. 1998. Vol. 58. 2. PP. 2505–2517.

7. Cavalleri G., Spavieri G., Spinelli G. The Ampere and Biot-Savart Force Laws. European Journal of Physics. 1996. Vol. 17. 4. PP. 205–207.

8. Christodoulides C. Comparison of the Ampere and Biot-Savart Magnetic Force Laws in Their Line-Current-Ele-ments Forms. American Journal of Physics. 1998. Vol. 56. 4. PP. 357–362.

9. Pappas P.T., Moyssides P.G. On the Fundamental Laws of Electrodynamics. Physics Letters A. 1985. Vol. 111A. 4. PP. 193–198.

10. Gerasimov S.A. Vraschatelnii moment samodeistvia v klassitcheskoi electrodinamike [Self-torque in Classical Electrodynamics]. Voprosi prikladnoi fiziki [Problems of Applied Physics]. 2006. 13. PP. 52–57.

11. Serra-Valls F., Gago-Bousquet G. Conducting Spiral as an Acyclic or Unipolar Machine. American Journal of Phys-ics. 1970. Vol. 38. 11. PP. 1273–1276.

12. Christodoulides C. Equivalence of the Ampere and Biot-Savart Force Laws in Magnetostatics. Journal of Physics A. 1987. Vol. 20. 8. PP. 2037–2042.

13. Gerasimov S.A. Pravilo ekvivalentnosti v polevoi i silovoi magnetostatike [The Equivalence Rule in Field and Force Magnetostatics]. Isvestia SGU. Fizika. [Communications of Saratov State University. Physics]. 2007. Vol. 7. 1. PP. 40–43.

Сведения об авторе Information about the author

герасимов Сергей Анатольевичканд. физ.-мат. наук, доцент

E-mail: [email protected]Южный федеральный университет

344090, Российская Федерация, Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5

Gerasimov Sergey AnatolievichCand. of Phys.-Math. Sciences, Associate ProfessorE-mail: [email protected] Federal University344090, Russian Federation, Rostov-on-Don, Zorge av., 5



П.А. ПЛАТОНОВ, О.К. ЧУГУНОВ, И.Ф. НОВОБРАТСКАя, В.М. АЛЕКСЕЕВВ.Н. МАНЕВСКИй, Л.Л. ЛышОВ, Е.И. СМОРОДКИН, Д.А. КУЛЕшОВНИЦ «Курчатовcкий институт», москва, Российская Федерация

мехАНИЗм СтАРеНИЯ гРАФИтА ПОД ОбЛучеНИем. КРИтИчеСКИй ФЛЮеНС НейтРОННОгО ОбЛучеНИЯ

В 1964 году в «горячей лаборатории» (позже, отделе) Курча-товского института была образована группа исследования графита. П.А. Платонов был назначен ее руководителем. По-сле 10 лет исследований были (совместно с НИКИЭТ – глав-ным конструктором РБМК) были созданы «Нормы расчета на прочность типовых узлов и деталей из графита», которые актуальны до настоящего времени. В 1970 году в России была принята программа по созданию высокотемпературных газо-охлаждаемых реакторов (ВТГР) проект ВГ-400. Началась ра-бота по исследованию радиационной стойкости графита при высоких температурах облучения (до 900 °С). Эксперименты по облучению графита в основном проводились на реакторах МР, СМ-2 и «быстром реакторе» БР-10. Руководителем работ был назначен Я.И. Штромбах, помощником – В.М. Алексеев. В этот период Б.А. Гуровичем были поведены уникальные экс-перименты по электронно-микроскопическому исследова-нию деградации структуры графита при облучении. Эти экс-перименты позволили нам понять сам механизм деградации

структуры графита – за счет образования сетки микротрещин по границам кристаллитов. В процессе всех проводимых ис-следований стало ясно, что графиты различных марок под облучением ведут себя по-разному, и необходим был единый критерий оценки радиационной стойкости графита. В каче-стве такого критерия П.А. Платоновым был предложен кри-терий критического флюенса нейтронного облучения (Fкр) – флюенс нейтронов, при котором объем графита после стадий усадки и распухания возвращается к своему исходному зна-чению. На этой стадии облучения все физико-механические свойства графита начинают быстро ухудшаться и графит теря-ет свою стойкость как конструкционный материал. Этот кри-терий был принят в качестве основного критерия для оценки радиационной стойкости графита в «Методике оценки оста-точного ресурса графитовой кладки реактора РБМК».

Ключевые слова: графит, флюенс нейтронов, графитовая кладка, физико-механические свойства.

P.A. PLAtONOV, O.K. ChUGUNOV, I.F. NOVOBRAtSKAYA, V.M. ALEKSEEVV.Y. MANEVSKY, L.L. LIShOV, E.I. SMORODKIN, D.A. KULEShOVNRC «Kurchatov Institute» , Moscow, Russian Federation

GRAPHItE GROw OLD MECHANISM UNDER IRRADIAtION. tHE CRItICAL FLUENCE OF NEUtRON IRRADIAtION

In 1964 year in «hot» laboratory of «Kurchatov Institute» (later department) the group of graphite research has been organized. P.A. Platonov was assignment as a head this group. «The stress analyses cod of graphite details» has been worked (together with RDIPI – main designer) after 10 years of graphite research. They are actual for the present time. The program of creation of high temperature graphite reactors (HTGR) in Russia has been declared in 1970 year (project VG-400).Work on research of ra-diation stability of graphite under high irradiation temperatures (up to 900 oC) has began. The experiments on irradiation carry out mainly in MR,SM-2 and fast reactor BR-10. Ya. I .Shtrombakh (together with V.M . Alekseev as an assistant) was assignment as a head of this work. The unique experiments on electron – mi-croscopic research of graphite structure degradation has been performed by B.A. Gurovich in this period. These result permit as to understand the mechanism of graphite structure degrada-

tion due to creation of inter crystalline cracks. In process of all these experiments it became clear that the graphite behavior of different grades differ from each to other. The main single crite-rion was need to describe the process of graphite degradation on neutron irradiation for different grads. Such criterion was suggested by P.A. Platonov. That was critical fluence of neutron irradiation (Fкр) – neutron fluence when the volume of graphite after shrinkage and swelling came back to its initial value. At this stage of irradiation all properties of graphite changes rapidly and graphite looses its capacity as design material. This criterion has been accepted as main criterion for estimation of irradia-tion stability of graphite in « Technique of estimation of residual resource of RBMK -1000 reactor graphite stack».

Keywords: graphite, neutron fluence, graphite stack, physical-mechanical properties.

Исследования радиационной стойкости графита нача-лись с шестидесятых годов. В 1964 г. в «горячей» мате-риаловедческой лаборатории ИАЭ им. И.В. Курчатова (позднее отдел (отделение) радиационного материало-ведения (ОРМ)) была создана группа исследования ре-акторного графита. Начальником группы и руководи-телем работ по графиту был назначен П.А. Платонов.

На этой стадии были разработаны методики из-мерения свойств графита, методики и устройства для облучения графита при заданной температуре. Иссле-довали образцы реакторного графита марки Б-15, из которого были изготовлены кладки промышленных

реакторов. Исследования велись в широком диапа-зоне температуры (от 100 до 500 °С) и было впервые показана для отечественного графита усадка графи-та (уплотнение) при температуре выше 300 °С, в чем многие специалисты (в том числе и в НИИГрафите) сомневались. Этот результат имел большое значение, так как показывал, что усадка графита будет длитель-ным процессом и необходимо регулярно восстанав-ливать размер отверстия в графитовых блоках. Были впервые получены также данные по ползучести отече-ственного графита. Используя данные по ползучести и формоизменению, впервые П.А. Платоновым был



сделан расчет напряжений, возникающих в результа-те градиентов температуры и нейтронного потока, и было показано, что эти напряжения могут привести к растрескиванию графитовых блоков [1]. Эти расчеты были приближенными, позднее В.Н. Маневским была разработана корректная методика и программа расче-та напряженно-деформированного состояния (НДС) графитовых блоков. Расчетная модель и программа В.Н. Маневским постоянно совершенствовалась и в настоящее время это единственная аттестованная про-грамма расчета на прочность графитовых блоков [2, 3].

К концу шестидесятых годов была создана экспе-риментальная база для облучения образцов графита в нескольких каналах реактора МР при регулируемой температуре, для чего была создана специальная газо-вакуумная система. Была создана также специальная газовая петля для исследования окисления графита в потоке инертного газа, содержащего пары воды для имитации поведения графитовой кладки при нали-чии протечек из каналов. В этот период уже начались исследования применительно к разработке реактора РБМК и исследования графита также были ориенти-рованы на эту задачу. В связи с этим директора ИАЭ А.П. Александрова беспокоил вопрос о взаимодей-ствии циркониевого канала и графитовых блоков при «усадке» блока и «распухании» канала вследствие радиационной ползучести. В связи с этим в центр ак-тивной зоны реактора МР была установлена модель графитовой ячейки реактора РБМК с циркониевым каналом, загруженным мощной ТВС. Модель была спроектирована таким образом, что воспроизводились градиенты температуры и потока нейтронов типичные для блока РБМК, но при высоком уровне нейтронного потока. Испытания были доведены до контакта канала с блоком и разрушения последнего. Данные этих ис-пытаний позволили позже В.Н. Маневскому верифи-цировать свои расчетные программы.

В этот период в группу вошли В.И. Карпухин и О.К. Чугунов, который занимался исследованием пи-рографита (квазимонокристалла) [4–7]. В результате этих работ были получены важные для понимания механизма радиационного повреждения, результаты зависимости радиационного формоизменения от раз-меров кристаллитов графита (рис. 1).

Такой значительный объем работ мог быть выпол-нен только при условии активного участия коллектива и руководства реактора МР (В.В. Гончаров, Е.П. Ря-занцев, П.И. Шавров, И.П. Фролов-Домнин и др.).

В 1968 г. горячая лаборатория была переиме-нована в сектор 69, а вскоре, при очередной реор-ганизации ИАЭ, на базе сектора был организован отдел радиационного материаловедения (ОРМ), вошедший в состав отделения исследовательских

реакторов и технологий (директор В.В. Гончаров). Начальником ОРМ был назначен П.А. Платонов, он же некоторое время возглавлял лабораторию графита, организованную на базе группы. Однако, в связи с тем, что возникла проблема циркониевых каналов РБМК, П.А. Платонов переключился на эту тематику, возглавив лабораторию исследования циркониевых сплавов и передав лабораторию ис-следования графита В.И. Карпухину, оставаясь (до настоящего времени) научным руководителем этого направления.

В.И. Карпухин привлек в лабораторию ряд мо-лодых специалистов (Я.И. Штромбах, Ф.Ф. Жердев, Е.И. Трофимчук, В.Ф. Викторов, С.П. Бородько, В.Ю. Дегтярев, В.М. Алексеев и др.), что позволило в последующие 10 лет провести значительный объ-ем исследований, на основе результатов которых со-вместно с НИКИЭТ были созданы «Нормы расчета на прочность изделий из графита», действующие до сегодняшнего времени. В процессе получения дан-ных для норм прочности были надежно определены основные свойства графита под действием облуче-ния в диапазоне температур 300–600 °С и доз об-лучения вплоть до флюенса нейтронов 2,4∙1022 см–2

РИС. 1 • Относительное формоизменение образцов пи-рографита с различной термообработкой, в зависимо-сти от температуры облучения

нейтронного потока. Испытания были доведены до контакта канала с блоком и

разрушения последнего. Данные этих испытаний позволили позже В.Н.Маневскому

верифицировать свои расчетные программы.

В этот период в группу вошли В.И.Карпухин и О.К.Чугунов, который занимался

исследованием пирографита (квазимонокристалла) [4-7]. В результате этих работ были

получены важные для понимания механизма радиационного повреждения, результаты

зависимости радиационного формоизменения от размеров кристаллитов графита (рисунок

1).

Рисунок 1 – Относительное формоизменение образцов пирографита с различной

термообработкой, в зависимости от температуры облучения

Такой значительный объем работ мог быть выполнен только при условии

активного участия коллектива и руководства реактора МР (В.В.Гончаров, Е.П.Рязанцев,

П.И.Шавров, И.П.Фролов-Домнин и др.)

В 1968 г. горячая лаборатория была переименована в сектор 69, а вскоре, при

очередной реорганизации ИАЭ, на базе сектора был организован отдел радиационного

материаловедения (ОРМ), вошедший в состав отделения исследовательских реакторов и

технологий (директор В.В.Гончаров). Начальником ОРМ был назначен П.А.Платонов, он

же некоторое время возглавлял лабораторию графита, организованную на базе группы.

4



(Ен > 0,18 МэВ). Работами по созданию Норм проч-ности руководил О.К. Чугунов [8–10].

В период середины 70-х и 80-х годов, в связи с тем, что были приняты решения о создании высоко-температурных газоохлаждаемых реакторов (ВТГР), в лаборатории исследования графита были разверну-ты работы по исследованию радиационной стойкости графита при высоких температурах. Основными ис-полнителями работ по высокотемпературному облу-чению графита в реакторах МР, СМ-2 и БР-10 были Я.И. Штромбах (руководитель работ) и В.М. Алек-сеев. Ими были получены результаты исследования графита при высокотемпературном облучении стан-дартного реакторного графита и графита ГР-1, рассма-тривавшегося в качестве кандидатного материала для отражателя ВТГР. Исследовали также некоторые мар-ки матричного графита для шаровых твэлов [11–14].

Так как поведение различных марок графита су-щественно различается, нужен был критерий их оценки. Именно в этот период П.А. Платоновым был сформулирован критерий деградации графита, так называемый критический флюенс нейтронов – флю-енс при котором объем графита после радиационной усадки возвращается к исходному значению. При дальнейшем облучении за счет межкристаллитного растрескивания происходит быстрое распухание и быстрая деградация всех свойств: теплопроводно-сти, прочности, упругих свойств [8, 15] (рис. 2).

В этот период Б.А. Гуровичем были проведены уникальные электронномикроскопические исследо-вания реакторного графита, наглядно показавшие этапы межкристаллитного растрескивания, вызыва-ющего деградацию материала (рис. 3).

Исследования Я.И. Штромбаха и Б.А. Гуровича позволили сформулировать направление разработки графита радиационно-стойкого при высокой темпе-ратуре облучения. Исследования радиационного по-вреждения графита при высокой температуре облу-чения показали, что переход к стадии «вторичного» распухания после достижения максимума усадки при повышении температуры смещается в сторону мень-шего флюенса нейтронов, соответственно, уменьша-ется и критический флюенс [14] (рис. 4).

К сожалению, все работы по исследованию графи-та при облучении в исследовательских реакторах (как применительно к РБМК, так и ВТГР) вскоре после Чернобыльской аварии были свернуты, и возродились уже в середине 90-х годов в связи с необходимостью продления срока службы – сначала промышленных реакторов, а затем и АЭС с реакторами РБМК.

В работах лаборатории исследования графита в се-редине 1980-х годов был важный этап, позволивший в дальнейшем четко сформулировать критерии пре-дельного состояния графитовых кладок в целом. Это анализ поведения кладки промышленного реактора АВ-3. В графитовых блоках этого реактора появились

РИС. 2 • Определение критического флюенса нейтронов графита ГР-280, облученного при температуре 500-600 °С

F, 1021cm-2

-25

025

5075

100

-5.0

-2.5

0.0

2.5

5.0

05

10

0100

200

300

400

Fкр

E

V

K (k=1/ )

Рисунок 2 – Определение критического флюенса нейтронов графита ГР-280,

облученного при температуре 500-600оС

В этот период Б.А.Гуровичем были проведены уникальные

электронномикроскопические исследования реакторного графита, наглядно показавшие

этапы межкристаллитного растрескивания, вызывающего деградацию материала (рисунок

3).

6



продольные трещины и периферийные каналы стали сильно прогибаться. Анализ показал, что вследствие эксплуатации кладки этого реактора при высокой температуре (>700 °С) внутренние слои графитовых блоков перешли в стадию распухания, вызвав рас-тягивающие напряжения на наружной поверхности графитовых блоков, что в сумме с температурными напряжениями привело к растрескиванию. Раскры-тие трещин под действием внутренних напряжений привело к деформации кладки в целом. Исследование

кернов, отобранных из кладки АВ-3, в том числе, при дооблучении в реакторе МР, подтвердило этот вывод [16]. Таким образом, была выявлена необходимость эксплуатации кладки при возможно более низкой температуре. В результате этого анализа были пред-ложены остальные критерии работоспособности гра-фитовых кладок канальных реакторов: целостность графитовых блоков и предельная стрела прогиба пе-риферийных каналов. Характер изменения параме-тров графитовой кладки АВ-3 показан на рисунке 5.

РИС. 3 • Кинетика деградации графита ГР-280 под действием облучения

РИС. 4 • Температурная зависимость величины критического флюенса нейтронов



Возрождение интенсивного исследования графита в ОРМ связано с продлением срока службы АЭС с реак-торами РБМК сверх назначенного (30 лет) до 40–45 лет.

Уже первое рассмотрение возможности продле-ния срока службы 1-го энергоблока ЛАЭС показало, что критический флюенс нейтронов при температу-ре эксплуатации кладки 500–600 °С (2∙1022 см–2) по-зволяет продлить срок службы кладки максимум до 35 лет. Вместе с тем, исследования кернов, отобран-ных из кладки реактора ЛАЭС-1, показали, что при достигнутом после 29 лет эксплуатации флюенсе 1,8∙1022 см–2 пока еще нет даже тенденции к умень-

шению плотности (рис. 6). Подобный результат был получен при измерении прочности и электросопро-тивления (рис. 7, 8).

То есть кинетика изменения свойств графита, облученного в составе графитовой кладки РБМК, отличается от таковой при облучении в исследова-тельском реакторе МР, данные испытаний в котором вошли в «Нормы расчета на прочность». Наиболее вероятной причиной этого различия является разли-чие в спектрах быстрых нейтронов, что подтвержда-ется теоретическими расчетами. Однако рассматри-вают и различие в соотношении потока нейтронов и

РИС. 5 • Деградация кладки реактора АВ-3

РИС. 6 • Изменение объемной плотности графита кернов, вырезанных из кладки 1-го блока ЛАЭС



гамма излучения, а также влияние напряженно-де-формированного состояния.

Необходимо было найти способ определения критического флюенса нейтронов по данным испы-тания кернов. Анализ данных исследования графита ГР-280 и нескольких графитов зарубежных марок, облученных в различных реакторах и при различных условиях облучения (температура, спектр нейтронов, плотность потока), показал, что соотношение между критическим флюенсом и флюенсом максимума усад-ки составляет одну и ту же величину и колеблется между 1,5 и 1,7, т.е. в пределах точности определения

флюенса нейтронов. Для графита ГР-280 была приня-та средняя для трех реакторов величина 1,55 (табл. 1).

Консервативно было принято, что показанные на рисунке 6 значения изменения плотности при из-мерениях 2002 г. являются максимальными (флюенс нейтронов 1,8∙1022 см2). Таким образом, критический флюенс нейтронов составляет величину ≈ 2,8∙1022 см–2 . Измерения, проведенные позже, подтвердили, что при-нятая величина является консервативной. Однако, в связи с тем, что в графитовой кладке присутствуют блоки с различной температурой графитации, т.е. с различными размерами кристаллитов, то критический

РИС. 8 • Относительное изменение удельного электросопротивления графита кернов, отобранных из кладки 1-го энергоблока ЛАЭС

РИС. 7 • Относительное изменение динамического модуля упругости графита кернов, отобранных из кладки 1-го энергоблока ЛАЭС



флюенс нейтронов для таких блоков будет различным. Часть блоков достигнет критического флюенса рань-ше, чем указанная величина, и они будут эксплуатиро-ваться в закритической области. Тем не менее, они не-которое время будут сохранять несущую способность. Зависимость прочности графита от изменения плот-ности в закритической области показана на рисунке 9.

Различие в скорости достижения максимума усад-ки для графита с разной степенью графитации хоро-шо видно из рисунка 10, где представлены данные о формоизменении графита с различной температурой термообработки – от 1300 до 2400 °С. Вследствие не-равномерности температуры в печи графитации тем-пература отдельных блоков может оказаться ниже на ≈ 200 °С ниже номинальной температуры (≈ 2400 °С), что ведет к понижению флюенса максимума усадки на величину до ≈ (2–3)∙1021 см–2 и, соответственно, к снижению критического флюенса нейтронов.

Испытания кернов, отобранных из различных реакторов на заключительной стадии их эксплуата-ции, показывают, что для графита каждого реактора будет соответствовать собственная величина крити-ческого флюенса нейтронов, что связано не только

со свойствами графита, а и с режимом эксплуатации реакторов. Реакторы, которые эксплуатировались при более высокой температуре графита, будут иметь по-ниженный критический флюенс нейтронов. Анализ показывает, что критический флюенс нейтронов для разных реакторов может колебаться от 2,5∙1022 см–2

до (3,0–3,2)∙1022 см–2. Для обеспечения безопасности необходимо контролировать состояние кладок реакто-ров вплоть до самой остановки. Этим будет завершена история исследования графита канальных реакторов.

Начнется ли новая история (графит ВТГР) – по-кажет время.

Таблица 1. Соотношение между флюенсом достижения максимальной усадки графита и Fкр

Реактор Тобл, °СFкр (∆V / V =0)/

F (∆V / Vmax)

Плотность потока

нейтронов, φ, н/см2∙с

МР 550 1,5 10 14

БР-10 720 1,5 10 15

СМ-2 800 1,7 2 ∙ 10 14

Среднее = 1,55

РИС. 9 • Зависимость прочности графита от изменения плотности

РИС. 10 • Относительное изменение линейных разме-ров образцов графита параллельной вырезки с раз-личной температурой обработки (различной степени структурного совершенства). Температура облучения 500-600ºС

Консервативно было принято, что показанные на рисунке 6 значения изменения

плотности при измерениях 2002 г. являются максимальными (флюенс нейтронов 1,8∙1022

см2). Таким образом, критический флюенс нейтронов составляет величину ≈2,8∙1022 см-2 .

Измерения, проведенные позже, подтвердили, что принятая величина является

консервативной. Однако, в связи с тем, что в графитовой кладке присутствуют блоки с

различной температурой графитации, т.е. с различными размерами кристаллитов, то

критический флюенс нейтронов для таких блоков будет различным. Часть блоков

достигнет критического флюенса раньше, чем указанная величина, и они будут

эксплуатироваться в закритической области. Тем не менее, они некоторое время будут

сохранять несущую способность. Зависимость прочности графита от изменения плотности

в закритической области показана на рисунке 9.

σис

Рисунок 9 - Зависимость прочности графита от изменения плотности

Различие в скорости достижения максимума усадки для графита с разной степенью

графитации хорошо видно из рисунка 10, где представлены данные о формоизменении

графита с различной температурой термообработки – от 1300 до 2400оС. Вследствие

неравномерности температуры в печи графитации температура отдельных блоков может

оказаться ниже на ≈200оС ниже номинальной температуры (≈2400оС), что ведет к

понижению флюенса максимума усадки на величину до ≈(2-3)∙1021 см-2 и, соответственно,

к снижению критического флюенса нейтронов.

12

Рисунок 7 - Относительное изменение линейных размеров образцов графита параллельной

вырезки с различной температурой обработки (различной степени структурного

совершенства). Температура облучения 500-600ºС

Испытания кернов, отобранных из различных реакторов на заключительной стадии

их эксплуатации, показывают, что для графита каждого реактора будет соответствовать

собственная величина критического флюенса нейтронов, что связано не только со

свойствами графита, а и с режимом эксплуатации реакторов. Реакторы, которые

эксплуатировались при более высокой температуре графита, будут иметь пониженный

критический флюенс нейтронов. Анализ показывает, что критический флюенс нейтронов

для разных реакторов может колебаться от 2,5∙1022 см-2 до (3,0-3,2)∙1022 см-2. Для

обеспечения безопасности необходимо контролировать состояние кладок реакторов

вплоть до самой остановки. Этим будет завершена история исследования графита

канальных реакторов.

Начнется ли новая история (графит ВТГР) – покажет время.

13




1. П.А. Платонов. Радиационные повреждения графита в ядерных реакторах. Симпозиум в ин-ституте атомной энергии им. И.В. Курчатова. 30 июня–2 мая 1965 г.

2. Application of three-dimensional and one-dimen-sional problems on thermal-radiation stresses in a hollow cylinder in the calculation of SSS of graph-ite bricks. VANT, series AM, 2(2), 1978.

3. Программа РГБ.2. Расчет метом конечных эле-ментов напряженно-деформированного состо-яния (НДС) и оценка времени до разрушения (появления продольных трещин) элементов ак-тивных зон уран-графитовых реакторов. Автор: Маневский В.Н.. Разработчик: РНЦ «Курчатов-ский институт». Паспорт ПС Рег. депониро-ванного ПС 640; Рег. аттестованного паспор-та ПС 245; Дата регистрации 15.11.2007; Дата выдачи 18.12.2008. Выдан Федеральной служ-бой по экологическому, техниологическому и атомному надзору ФГУ НИЦ ЯРБ.

4. Структурные характеристики пирографита с различной термомеханической обработкой и их изменение под действием облучения в реакто-ре. П.А. Платонов, О.К. Чугунов, С.И. Алексе-ев и др. Препринт ИАЭ-2247. 1972 г.

5. Исследование радиационных дефектов в облу-ченном пирографите. П.А. Платонов, О.К. Чу-гунов, С.И. Алексеев, Б.А. Виндряевский, В.И. Карпухин, Ю.П. Туманов, А.А. Черны-шов. Препринт ИАЭ-2266, 1973.

6. Рентгено-электронные исследования пирогра-фита, облученного нейтронами. Баранов А.Н., Зеленков А.Г., Кулаков В.М. Чугунов О.К. Атомная энергия, т. 46. вып. 5. 1979.

7. Отжиг радиационных дефектов в графите. П.А. Платонов, Е.И. Трофимчук, О.К. Чугунов, С.И. Алексеев, В.И. Карпухин, Ю.П. Туманов. Radiation effects, Vol. 25. 1975. РР. 105–110,

8. Нормы расчета на прочность типовых узлов и деталей из графита уран-графитовых каналь-ных реакторов. НГР-01-90, НИКИЭТ, РНЦ КИ, НИИГРАФИТ, 1991 г. 253 с.

9. Действие облучения на графит ядерных реакто-ров. Гончаров В.В., Платонов П.А., Виргильев Ю.С., Карпухин В.И., Бурдаков Н.С. М., Ато-миздат, 1978 г.

10. Исследование на вязкость разрушения образ-цов крупнозернистого и мелкозернистого гра-фита. Л.Л. Лышов и др. Атомная энергия, т. 54, вып. 6, июнь 1983. С. 408–410.

11. Действие излучения на графит высокотемпера-турных газоохлаждаемых реакторов. П.А. Пла-

тонов, Я.И. Штромбах, В.И. Карпухин, Ю.С. Виргильев, О.К. Чугунов, Е.И. Трофим-чук. Сборник «Атомно-водородная энергетика и технология». Вып. 6. Москва. Энергоатомиз-дат. 1984 г.

12. P.A. Platonov, O.K. Chugunov, V.M. Alekseev et.al. Radiation effect on graphite of high-temper-ature gas-cooled reactors. The reports of the meet-ing of specialists on design graphite moderator for HTGR, Tokyo, Japan, 8–11 September, 1986.

13. Б.А. Гурович, П.А. Платонов, Я.И. Штром-бах и др. электронно-микроскопические исследования образцов пирографита, об-лученных быстрыми нейтронами при темпе-ратурах – 200,400,900,110 и 1270 °С. Вопросы атомной науки и техники. Серия: физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение, 1984. вып. 59). C. 3–37.

14. Ya.I.Shtrombakh, B.A. Gurovich, P.A. Platonov, V.M. Alekseeev. Radiation damage of graphite and carbon-graphite materials. Jorn. of Nucl. Ma-ter., Vol. 225. 1995. PP. 273–301.

15. Доклад «Проблемы продления срока службы графитовых кладок РБМК». П.А. Платонов, О.К. Чугунов, В.Н. Маневский, В.М. Алексеев. 5 международная научно-техническая конфе-ренция «Безопасность, эффективность и эконо-мика атомной энергетики» (МНТК-2006), Мо-сква, 19–21 апреля 2006 г. Сборник докладов.

16. Radiation damage and life-time evaluation of RBMK graphite stack. P.A. Platonov, O.K. Chu-gunov, V.N. Manevsky, V.I. Karpukhin. Proceed-igs of a Specialists Meeting held in Bath, UK, 24–27 September 1995. IAE-TECDOC-901. 1996. PP. 79–90.

References

1. P.A. Platonov. Radiacionnye povrezhdenija grafita v jadernyh reaktorah [Radiation damage of graph-ite in nuclear reactors]. [Simpozium in Institute of atomic energy named after I.V. Kurchatov]. 30 June – 2 May 1965.

2. Application of three-dimensional and one-dimen-sional problems on thermal-radiation stresses in a hollow cylinder in the calculation of SSS of graph-ite bricks. VANT, series AM, 2(2), 1978.

3. Programma RGB.2. Raschet metom konechnyh jelementov naprjazhenno-deformirovannogo sos-tojanija (NDS) i ocenka vremeni do razrushenija (pojavlenija prodol’nyh treshhin) jelementov aktivnyh zon uran-grafitovyh reaktorov. Avtor: Manevskij V.N.. Razrabotchik: RNC «Kurchato-vskij institut». Pasport PS 640; Data registra-cii 15.11.2007. [Program RGB.2. The calculation



of stress and strain state (SSS) with final element method and estimation of time to appearance pro-long cracks in graphite bricks for elements of ac-tive cores of uranium – graphite reactors. Author V.N. Manevsky. Worked out by RNC «Kurchatov institute». Passport PS 640]. The date of regis-tration 15.11.2007.

4. Strukturnye harakteristiki pirografita s razlichnoj termomehanicheskoj obrabotkoj i ih izmenenie pod dejstviem obluchenija v reaktore. [Stricture characteristics of pyrographite with differents ther-mo-mechanical treatment and their changes under reactor irradiation]. P.A. Platonov, O.K. Chugunov at all. [Preprint IAE-2247], 1972.

5. Issledovanie radiacionnyh defektov v obluchen-nom pirografite. [The investigation of irradiation defects in irradiated pyrogaphite]. P.A. Platonov, O.K. Chugunov, S.I. Alekseev, B.A. Vindrjaevskij, V.I. Karpuhin, Ju.P.Tumanov, A.A. Chernyshov. [Preprint IAJe-2266], 1973.

6. Roentgen-jelektronnye issledovanija pirografita, obluchennogo nejtronami. [X-ray and electron investigations of pyrographite after neutron irra-diation]. Baranov A.N., Zelenkov A.G., Kulakov V.M. Chugunov O.K., [Atomic energy]. 1979. Vol. 46. issue 5.

7. Otzhig radiacionnyh defektov v grafite. [The an-nyling of irradiation defects in graphite], P.A. Pla-tonov, E.I. Trofimchuk, O.K. Chugunov, S.I. Alek-seev, V.I. Karpuhin, Ju.P.Tumanov. [Radiation effects], 1975. Vol. 25. PP. 105–110.

8. Normy raschjota na prochnost’ tipovyh uzlov i de-talej iz grafita uran-grafitovyh kanal’nyh reakto-rov. NGR-01–90 [Stress analyses codes of typical details made from graphite for uranium-graphite reactors НГР -01–90], NIKIET, RNC KI, NII-GRAFIT, 1991. 253 p.

9. Dejstvie obluchenija na grafit jadernyh reaktorov. [The influence of irradiation on the graphite of nuclear reactors] Goncharov V.V., Platonov P.A., Virgil’ev Ju.S., Karpuhin V.I., Burdakov N.S. M.: Atomizdat [Moscow: Publishing house «Atomiz-dat»], 1978.

10. Issledovanie na vjazkost’ razrushenija obrazcov krupnozernistogo i melkozernistogo grafita. [The

investigation of graphite toughness for large and small grain graphite]. L.L. Lyshov et.al. [Atomic energy] Vol. 54. issue 6, Jun 1983. PP. 408–410.

11. Dejstvie izluchenija na grafit vysokotemperaturnyh gazoohlazhdaemyh reaktorov. [The influence of ir-radiation on the graphite of high temperatures reac-tors] P.A. Platonov, Ja.I.Shtrombah, V.I. Karpuhin, Ju.S.Virgil’ev, O.K. Chugunov, E.I. Trofimchuk. [Collection of Atomic-Hidrogen energy and thech-nology. Issue 6]. M.: Enegoatomizdat [Moscow: Publishing house «Enegoatomizdat»], 1984.

12. P.A. Platonov, O.K. Chugunov, V.M. Alekseev et.al. Radiation effect on graphite of high-temper-ature gas-cooled reactors. The reports of the meet-ing of specialists on design graphite moderator for HTGR, Tokyo, Japan, 8–11 September, 1986.

13. B.A. Gurovich, P.A. Platonov, Ja.I.Shtrombah i dr. jelektronno-mikroskopicheskie issledovani-ja obrazcov pirografita, obluchennyh bystrymi nejtronami pri temperaturah – 200,400,900,110 i 1270 °С. [B.A. Gyrovich, P.A. Platonov, Ja.I. Sh-trombakh et. al. Electron-microscopic investiga-tions of graphite specimens of pyrographite after irradiation with fast neutrons under temperatures irradiation 200, 400, 900 and 1200 zelciy degrees]. [Series: Physics of radiation damage in materials]. 1984, issue 5, 9. PP. 3–37.

14. Ya.I.Shtrombakh, B.A. Gurovich, P.A. Platonov, V.M. Alekseeev. Radiation damage of graphite and carbon-graphite materials. Journal of Nuclear. Ma-ter., Vol. 225. 1995. PP. 273–301.

15. Doklad «Problemy prodlenija sroka sluzhby grafitovyh kladok RBMK». [Report «The prob-lems of prolongation of life time operation of graphite stacks RBMK reactors»]. P.A. Platonov, O.K. Chugunov, V.N. Manevskij, V.M. Alekseev. [5 international conference «Safety, effectiveness and economy of power energetically», MNTK-2006], Moscow, 19–21 April, 2006. Collection of reports.

16. Radiation damage and life-time evaluation of RBMK graphite stack. P.A. Platonov, O.K. Chu-gunov, V.N. Manevsky, V.I. Karpukhin. Proceed-igs of a Specialists Meeting held in Bath, UK, 24–27 September 1995. IAE-TECDOC-901. 1996. PP. 79–90.

Сведения об авторах Information about the authors

Платонов Павел Александровичдоктор техн. наук, профессор

заместитель директора ИРМТ КЦЯТНИЦ «Курчатовский институт»

123182, Москва, Российская Федерацияплощадь Академика Курчатова, 1

E-mail: [email protected]

Platonov Pavel AlexandrovichDoctor of Tech. Sciences ProfessorDeputy Director IRMT KTSYATNRC «Kurchatov Institute»123182, Moscow, Russian FederationAcademician Kurchatov Square, 1E-mail: [email protected]


C. Daviau – Le Moulin de la Lande 44522, Pouille-les-coteaux France, Еmail: [email protected]. BertranD – 15 avenue Danielle Casanova 95210, Saint-Gratien France, Еmail: [email protected]

New iNSiGhtS iN the StaNDarD MoDeL oF quaNtuMPhySiCS iN CLiFForD aLGebra (Part 3)

This is the third of three parts. It presents our conclusions on the preceding two parts.

Keywords: invariance group, gauge invariance, electromagnetism, weak interactions, strong interactions, Clifford algebras, mag-netic monopoles.

К. Девиан – 44522, Франция, Апулия холмы. Мулен де ла Ланде Еmail: [email protected] Ж. БертранД – 95210, Франция, Санкт-Гратиан. 15 пр-т Даниэль Казанова Еmail: [email protected]

НовыЕ ДоСтижЕНия в обЛАСти СтАНДАртНой МоДЕЛи КвАНтовой ФизиКи в АЛГЕбрЕ КЛиФФорДА (ЧАСтЬ 3)

Это вторая часть из трех частей статьи. В ней представлены выводы из двух предыдущих частей.

Keywords: группа инвариантности, калибровочная инвариантность, электромагнетизм, слабые взаимодействия, сильные взаимодействия, алгебры Клиффорда, магнитные монополии.

Прикладная МаТЕМаТика

8. ConclusionStarting from old flaws of the relativistic quantum mechanics, we resume the new insights of the stan-dard model that are allowed by our new way with Clifford algebras. Physics using a principle of minimum is only a part of undulatory physics. Beyond the confrontation between theory and experiment, beyond future applications, the standard model ap-pears both comforted and essential. Only novelties are the leptonic magnetic monopoles.

8.1 Old flaws

The discovery of the spin of the electron goes back to 1926 and was not predicted by the physical theory. Phys-icists have very naturally begun to get round the nov-elty by trying to reduce spinorial waves to tensors that were better known. The study was difficult, the field was cleared by the students of Louis de Broglie, mainly O. Costa de Beauregard [7] and T. Takabayasi [11] who was able to give a set of tensorial equations equivalent to the Dirac equation. These tensorial equations however act

on quantities which are quadratic on the wave. But when we add the waves these tensors do not add. Therefore the spinorial wave itself is essential on the physical point of view, propagating and interfering. Only the solutions of the spinorial wave explain quanta, the true quantum numbers, the true number of bound states and the true energy levels. Let us go to the end of the Takabayasi’s attempt, let us replace completely spinors by a set of ten-sors and let us solve completely the tensorial equations in the case of the hydrogen atom. Should we get the true results, the true number of bound states, the true quantum numbers and the true energy levels? The answer is: no, because true representations of the rotation group SO(3) use only integer numbers, not the half-integer numbers which are necessary to get the true results. These true results are obtained only by taking the representations of

novelty by trying to reduce spinorial waves to tensors that were better known.The study was difficult, the field was cleared by the students of Louis de Broglie,mainly O. Costa de Beauregard [7] and T. Takabayasi [11] who was able to givea set of tensorial equations equivalent to the Dirac equation. These tensorialequations however act on quantities which are quadratic on the wave. But whenwe add the waves these tensors do not add. Therefore the spinorial wave itselfis essential on the physical point of view, propagating and interfering. Only thesolutions of the spinorial wave explain quanta, the true quantum numbers, thetrue number of bound states and the true energy levels. Let us go to the end ofthe Takabayasi’s attempt, let us replace completely spinors by a set of tensorsand let us solve completely the tensorial equations in the case of the hydrogenatom. Should we get the true results, the true number of bound states, the truequantum numbers and the true energy levels? The answer is: no, because truerepresentations of the rotation group SO(3) use only integer numbers, not thehalf-integer numbers which are necessary to get the true results. These trueresults are obtained only by taking the representations of SL(2,C), but then weare in Cl3.

The second reason why scientists did not understand the novelty of thespinorial wave was the difficulty of the mathematical tools. Two different groupsmay be similar in the vicinity of their neutral element. SL(2,C) and L↑

+ ortheir subgroups SU(2) and SO(3) are globally different but locally identical.The present study does not use infinitesimal operators, then it is able to see thedifference between a Lie group and its Lie algebra.

Physical waves imply the use of trigonometric functions, then imply thecomplex exponential function that simplifies calculations. Going into a veryunusual axiomatization, the quantum theory has been locked on the only use ofcomplex numbers. This is equivalent to work only with plane geometry, with aunique i with square -1 that is the generator of all rotations of the Euclideanplane. It is somewhere a ”2D software”. The basic tool of the present studyis a ”3D software”, the Clifford algebra of the 3-dimensional physical space.Next the building of Clifford algebras by recursion on the dimension allowsto use this basic tool in the algebra of space-time as in the algebra of the 6-dimensional space-time which is necessary for physics of the standard model.These algebras present all abilities of the linear spaces built on the complexfield, because they are also linear spaces. But they also allow to use products.The exponential function is then everywhere defined and allows to study a largevariety of undulatory phenomenons. These algebras also allow to use the inverse,when it exists. Indisputable mathematical rules replace then the not well definedtensorial products of hermitian spaces and the operators operating on undefinedlinear spaces.

8.2 Our work

Two kinds of particles, fermions and bosons, are used by the standard model.Each kind of fermion is a quantum object with a wave following the Dirac equa-tion. This is the starting point of our work. Following the initial de Broglie’s

117

, but then we are in Cl3.The second reason why scientists did not understand

the novelty of the spinorial wave was the difficulty of the mathematical tools. Two different groups may be similar in the vicinity of their neutral element.





8.2 Our work


117

and





8.2 Our work


117

or their subgroups SU (2) and SO(3) are globally


ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ENGLISH

different but locally identical. The present study does not use infinitesimal operators, then it is able to see the dif-ference between a Lie group and its Lie algebra.

Physical waves imply the use of trigonometric func-tions, then imply the complex exponential function that simplifies calculations. Going into a very unusual axi-omatization, the quantum theory has been locked on the only use of complex numbers. This is equivalent to work only with plane geometry, with a unique i with square-1 that is the generator of all rotations of the Euclidean plane. It is somewhere a ”2D software”. The basic tool of the present study is a ”3D software”, the Clifford algebra of the 3-dimensional physical space. Next the building of Clifford algebras by recursion on the dimension allows to use this basic tool in the algebra of space-time as in the algebra of the 6- dimensional space-time which is neces-sary for physics of the standard model. These algebras present all abilities of the linear spaces built on the com-plex field, because they are also linear spaces. But they also allow to use products. The exponential function is then everywhere defined and allows to study a large vari-ety of undulatory phenomenons. These algebras also al-low to use the inverse, when it exists. Indisputable math-ematical rules replace then the not well defined tensorial products of hermitian spaces and the operators operating on undefined linear spaces.

8.2 Our work

Two kinds of particles, fermions and bosons, are used by the standard model. Each kind of fermion is a quantum object with a wave following the Dirac equation. This is the starting point of our work. Following the initial de Broglie’s idea of a physical wave linked to the move of any particle, we have introduced a change in the wave equation which concerns only the mass term. This wave equation is nonlinear, homogeneous and has the Dirac equation as linear approximation.

First interesting result, the true sign of the mass-en-ergy comes directly from the wave equation, and from the charge conjugation, which changes the sign of the derivative terms of the wave equation. This form of the charge conjugation was firstly gotten by the standard model itself, which uses, for the Dirac equation, the old frame of Dirac matrices.

The second result was very difficult to get, because the resolution of the Dirac equation is very accurate in the case of bound states of the H atom, and any change in terms of this wave equation could imply disaster. But for each bound state a solution of the linear equation exists such that the Yvon–Takabayasi β angle is everywhere defined and small. This result is very accurate and sur-prising. It means that physical bound states are the rare solutions of the homogeneous nonlinear equation (see

Appendix C). We can therefore understand why there are privileged bound states and why an electron in a H atom is always in one of these states, never in a linear combi-nation of states.

A second frame for the Dirac wave was introduced by D. Hestenes, the Clifford algebra of space-time, which is the second starting point of our work. A comparison between old and new frame is easy if we use the Di-rac matrices as a matrix representation of the space-time vectors. We have reviewed in section 1 and 2 how the relativistic invariance is gotten for fermion waves. These waves appear very different, they are not vectors or ten-sors of the space-time, but a different kind of object, spinors.

The spinorial form of the fermion wave is included in the standard model, it is one of its main features. What we have done here is only to fully account for conse-quences of this fact. The form invariance of the Dirac equation necessitates the use of the





8.2 Our work


117

group that is a sub-set of the Clifford algebra of the physical space, Cl3. We have learned to read all the Dirac theory in this frame. This algebra is isomorphic to the matrix algebra

idea of a physical wave linked to the move of any particle, we have introduceda change in the wave equation which concerns only the mass term. This waveequation is nonlinear, homogeneous and has the Dirac equation as linear ap-proximation.

First interesting result, the true sign of the mass-energy comes directly fromthe wave equation, and from the charge conjugation, which changes the sign ofthe derivative terms of the wave equation. This form of the charge conjuga-tion was firstly gotten by the standard model itself, which uses, for the Diracequation, the old frame of Dirac matrices.

The second result was very difficult to get, because the resolution of theDirac equation is very accurate in the case of bound states of the H atom,and any change in terms of this wave equation could imply disaster. But foreach bound state a solution of the linear equation exists such that the Yvon-Takabayasi β angle is everywhere defined and small. This result is very accurateand surprising. It means that physical bound states are the rare solutionsof the homogeneous nonlinear equation (see Appendix C). We can thereforeunderstand why there are privileged bound states and why an electron in a Hatom is always in one of these states, never in a linear combination of states.

A second frame for the Dirac wave was introduced by D. Hestenes, theClifford algebra of space-time, which is the second starting point of our work. Acomparison between old and new frame is easy if we use the Dirac matrices asa matrix representation of the space-time vectors. We have reviewed in section1 and 2 how the relativistic invariance is gotten for fermion waves. These wavesappear very different, they are not vectors or tensors of the space-time, but adifferent kind of object, spinors.

The spinorial form of the fermion wave is included in the standard model,it is one of its main features. What we have done here is only to fully accountfor consequences of this fact. The form invariance of the Dirac equation neces-sitates the use of the SL(2,C) group that is a sub-set of the Clifford algebra ofthe physical space, Cl3. We have learned to read all the Dirac theory in thisframe. This algebra is isomorphic to the matrix algebra M2(C) of 2×2 complexmatrices. This algebra allows to see its multiplicative group GL(2,C) = Cl∗3 asthe true group of form invariance of the Dirac theory.

Then we have explained in a simple way how this form invariance, that is areinforcement of relativistic invariance, rules not only the Dirac wave equation,but all the electromagnetism (section 4). This is well hidden in the case ofthe electromagnetic field itself because only the SL(2,C) part of the Cl∗3 groupacts upon this boson field (and this is true of any other boson field). Theelectromagnetic field has properties resulting from its antisymmetric buildingfrom a pair of spinors. It is a pure bivector, sum E + i H of a vector E anda pseudo-vector i H, without scalar nor pseudo-scalar term. It rotates under aLorentz rotation but it is insensitive to the ratio r of a dilation nor to the chiralangle. This behaviour is imposed by the form of its invariance under Cl∗3.

More generally boson fields may be gotten by antisymmetric product of aneven number of fermions. Their wave is then a physical wave, a function of spaceand time with value in the even sub-algebra of the Clifford algebra of the usual

118

of 2 × 2 complex matrices. This algebra allows to see its multiplicative group








118

= Cl*3 as the true group of form invariance of the Dirac theory.

Then we have explained in a simple way how this form invariance, that is a reinforcement of relativistic in-variance, rules not only the Dirac wave equation, but all the electromagnetism (section 4). This is well hidden in the case of the electromagnetic field itself because only the





8.2 Our work


117

part of the Cl*3 group acts upon this boson field (and this is true of any other boson field). The elec-tromagnetic field has properties resulting from its anti-symmetric building from a pair of spinors. It is a pure bivector, sum








118

of a vector








118

and a pseudo-vector








118

, without scalar nor pseudo-scalar term. It rotates un-der a Lorentz rotation but it is insensitive to the ratio r of a dilation nor to the chiral angle. This behaviour is imposed by the form of its invariance under Cl*3.

More generally boson fields may be gotten by anti-symmetric product of an even number of fermions. Their wave is then a physical wave, a function of space and time with value in the even sub-algebra of the Clifford algebra of the usual 4-dimensional space-time, or of the complete 6-dimensional space-time. Such a construction was impossible in the old formalism of Dirac matrices, because the wave had values into a linear space which is not an algebra. The frame of Clifford algebras allows to use the internal multiplication and the inverse to build waves of systems of particles. This has interesting physi-cal consequences: all waves are true functions of the space-time into well defined sets. These sets of functions are the Hilbert spaces whose existence is supposed in the



standard model. Clifford algebras have matrix represen-tations, and their elements can always be considered as operators. The use of creation and annihilation operators is a consequence of the fact that products of an even number of elements belong to the same linear space.

The form invariance of the electromagnetism uses a group which fully accounts for two main aspects of the modern physical results: the conservation of the orienta-tion of the time, the conservation of the orientation of the space. These two orientations are not a consequence of the invariance group. The form invariance is only compatible with such conserved orientations, which are a true experimental discovery of the second part of the twentieth century. The oriented space is fully compat-ible with a gauge group which acts differently on left and right waves. The conservation of an oriented time is compatible with laws of thermodynamics.

The extended form invariance allows a better un-derstanding of old questions as: why there is a Planck constant? What is a charge, or a mass, what is the dif-ference between a charge and a mass? Charges appear in terms necessary to link a contravariant vector as A to a covariant vector as qA or to link a

4-dimensional space-time, or of the complete 6-dimensional space-time. Sucha construction was impossible in the old formalism of Dirac matrices, becausethe wave had values into a linear space which is not an algebra. The frameof Clifford algebras allows to use the internal multiplication and the inverse tobuild waves of systems of particles. This has interesting physical consequences:all waves are true functions of the space-time into well defined sets. These setsof functions are the Hilbert spaces whose existence is supposed in the standardmodel. Clifford algebras have matrix representations, and their elements canalways be considered as operators. The use of creation and annihilation opera-tors is a consequence of the fact that products of an even number of elementsbelong to the same linear space.

The form invariance of the electromagnetism uses a group which fully ac-counts for two main aspects of the modern physical results: the conservationof the orientation of the time, the conservation of the orientation of the space.These two orientations are not a consequence of the invariance group. The forminvariance is only compatible with such conserved orientations, which are a trueexperimental discovery of the second part of the twentieth century. The orientedspace is fully compatible with a gauge group which acts differently on left andright waves. The conservation of an oriented time is compatible with laws ofthermodynamics.

The extended form invariance allows a better understanding of old questionsas: why there is a Planck constant? What is a charge, or a mass, what is thedifference between a charge and a mass? Charges appear in terms necessary tolink a contravariant vector as A to a covariant vector as qA or to link a ∇Aj

term to a q(AkAl − AlAk) term of a Yang-Mills gauge group. The invarianceunder Cl∗3 necessitates q = r2q′. Mass appears in a term necessary to link adifferential term to a scalar term in the invariant wave equation. The invarianceunder Cl∗3 necessitates m = rm′. Therefore a charge is not a mass, a mass is nota charge, they have a different behaviour under Cl∗3. These new aspects of oldconcepts comes from the supplementary strains added by a greater invariancegroup. They are fully compatible with classical and relativistic mechanics andelectromagnetism.

Anything in the previous review is compatible with the standard model,particularly with the CPT theorem which is now trivially satisfied. Neverthelessseveral habits must be abandoned. For instance the Planck factor linking propermass to frequency is variable if we consider the full invariance group. Thisis completely hidden if the Planck factor is changed into a constant number.Tensors constructed from the Dirac waves with Dirac matrices do not havea behaviour allowing the full invariance group. This implies to use Cliffordalgebras, only frames where the full invariance group acts. Another bad habitto abandon is the habit to go up or down an index of tensor, because covariantand contravariant vectors vary differently under the full invariance group.

If you have paid the preceding prices to account for the full invariance groupyou are able to get many awards. The first one is the possibility to read theelectro-weak theory in a much simpler way, with a wave which is a function of

119

term to a

4-dimensional space-time, or of the complete 6-dimensional space-time. Sucha construction was impossible in the old formalism of Dirac matrices, becausethe wave had values into a linear space which is not an algebra. The frameof Clifford algebras allows to use the internal multiplication and the inverse tobuild waves of systems of particles. This has interesting physical consequences:all waves are true functions of the space-time into well defined sets. These setsof functions are the Hilbert spaces whose existence is supposed in the standardmodel. Clifford algebras have matrix representations, and their elements canalways be considered as operators. The use of creation and annihilation opera-tors is a consequence of the fact that products of an even number of elementsbelong to the same linear space.

The form invariance of the electromagnetism uses a group which fully ac-counts for two main aspects of the modern physical results: the conservationof the orientation of the time, the conservation of the orientation of the space.These two orientations are not a consequence of the invariance group. The forminvariance is only compatible with such conserved orientations, which are a trueexperimental discovery of the second part of the twentieth century. The orientedspace is fully compatible with a gauge group which acts differently on left andright waves. The conservation of an oriented time is compatible with laws ofthermodynamics.

The extended form invariance allows a better understanding of old questionsas: why there is a Planck constant? What is a charge, or a mass, what is thedifference between a charge and a mass? Charges appear in terms necessary tolink a contravariant vector as A to a covariant vector as qA or to link a ∇Aj

term to a q(AkAl − AlAk) term of a Yang-Mills gauge group. The invarianceunder Cl∗3 necessitates q = r2q′. Mass appears in a term necessary to link adifferential term to a scalar term in the invariant wave equation. The invarianceunder Cl∗3 necessitates m = rm′. Therefore a charge is not a mass, a mass is nota charge, they have a different behaviour under Cl∗3. These new aspects of oldconcepts comes from the supplementary strains added by a greater invariancegroup. They are fully compatible with classical and relativistic mechanics andelectromagnetism.

Anything in the previous review is compatible with the standard model,particularly with the CPT theorem which is now trivially satisfied. Neverthelessseveral habits must be abandoned. For instance the Planck factor linking propermass to frequency is variable if we consider the full invariance group. Thisis completely hidden if the Planck factor is changed into a constant number.Tensors constructed from the Dirac waves with Dirac matrices do not havea behaviour allowing the full invariance group. This implies to use Cliffordalgebras, only frames where the full invariance group acts. Another bad habitto abandon is the habit to go up or down an index of tensor, because covariantand contravariant vectors vary differently under the full invariance group.

If you have paid the preceding prices to account for the full invariance groupyou are able to get many awards. The first one is the possibility to read theelectro-weak theory in a much simpler way, with a wave which is a function of

119

term of a Yang-Mills gauge group. The invariance under Cl*3 necessitates q = r2 q′. Mass appears in a term necessary to link a differential term to a scalar term in the invariant wave equation. The invariance un-der Cl*3 necessitates m = rm′. Therefore a charge is not a mass, a mass is not a charge, they have a different behav-iour under Cl*3. These new aspects of old concepts comes from the supplementary strains added by a greater invari-ance group. They are fully compatible with classical and relativistic mechanics and electromagnetism.

Anything in the previous review is compatible with the standard model, particularly with the CPT theorem which is now trivially satisfied. Nevertheless several habits must be abandoned. For instance the Planck fac-tor linking proper mass to frequency is variable if we consider the full invariance group. This is completely hidden if the Planck factor is changed into a constant number. Tensors constructed from the Dirac waves with Dirac matrices do not have a behaviour allowing the full invariance group. This implies to use Clifford algebras, only frames where the full invariance group acts. An-other bad habit to abandon is the habit to go up or down an index of tensor, because covariant and contravariant vectors vary differently under the full invariance group.

If you have paid the preceding prices to account for the full invariance group you are able to get many awards. The first one is the possibility to read the electro-weak theory in a much simpler way, with a wave which is a function of space-time into a Clifford algebra: first-ly of the usual space-time if you account only for the

electron-neutrino case and secondly of a 6-dimensional space-time to account for all fermions of one genera-tion. In this second case the gauge group is exactly the U (1) × SU (2) × SU (3) group of the standard mod-el, the lepton part of the complete wave sees only the U (1) × SU (2) part of the gauge group. Then electron and neutrino are automatically unable to see strong interac-tions and the right wave of the neutrino does not interact at all. A greater gauge group is not available, this account for the fact that no way exists to transform a quark into a lepton. Then this justifies the empiric construction, in the standard model, of conservative quantum numbers as the baryonic number. Another award is the comprehen-sion of both the existence of exactly three generations of fermions, completely similar and having nevertheless a separate behaviour in the gauge invariance, and of four kinds of neutrinos (see 6.4.1)

The generalization to the complete wave of the geo-metric dilation linked to the electron wave is possible if only two additional dimensions are added to the three usual dimensions of the physical space54. The reward to this new strain on the theory is that this construction in-cludes all parts of the standard model in a closed frame. Moreover the usual space-time is a well bounded part of the complete space-time, bounded by the fact that usual space-time is real in a complete space-time with a natural complex structure (see 6.5). A second award is a unique dimension for the time in the complete space-time, this time is then our usual oriented time, oriented from past to future. Another award is a much more general geo-metric transformation between the intrinsic space- time and the usual space-time, as soon as neutrino and quarks are considered. The study of the wave of all fermions of the first generation introduces, in each point of the space-time, two Clifford algebras and a geometric trans-formation from the intrinsic manifold into the relative manifold. Then the corresponding mathematical tool is two bundles whose fiber is Cl5,1.

8.3 Principle of minimum

Modern physics always uses a principle of minimum. This was first seen by Fermat. He understood that light goes in such a way that the duration of the travel between two points is minimal. This was secondly seen in Hamil-tonian mechanics, where the move of any object is made in a way such that a quantity called action is minimal. These two principles of minimum where united by de Broglie and his discovery of the wave linked to the move

54 We used in [6] two greater Clifford algebras, Cl2,3 and Cl3,4 which cannot allow the relation (6.211) between the reverse in space-time algebra and the reverse in the complete algebra. Relation (6.211) implies to use only Cl5,1 , or Cl1,5 but it happens to be the same algebra.



of any material particle. So the Dirac wave equation of an electron or of other fermions may also be gotten from such a principle of minimum. But why?

Clifford algebra and the form invariance group give a strange answer. The true wave equation of a unique fermion is the invariant form of the wave eqution. And the scalar part of this wave equation is exactly the La-grangian equation. This Lagrangian density is not truly minimal. In fact, it is exactly zero, because the wave equation is homogeneous. The second part of the an-swer comes from the fact that you can get the seven other equations by using the calculus of variations. This is probably not very correctly done, because an as-sumption is made that the infinitesimal variation of the wave is null on a boundary of the integration volume. It is easy to get this assumption in the case of a bound state, but nobody proved that it is always possible for a propagating wave. Since the true link between the La-grangian density and the wave equation is not what we thought, an error there is not very important. The most important consequence is that the wave is more general than the principle of minimum: it is easy to study wave equations which cannot be gotten from a Lagrangian density (see 5.3).

Another part of this strange answer is the non equal-ity between the light speed as limit speed of any Dirac wave and the limit speed of other waves. We have gotten a limit speed different from the light speed in the frame of a wave equation coming not from a Lagrangian den-sity (see 5.3.1).

8.4 theory versus experiment

The world of the particles with magnetic charges is dif-ferent and we are, in the knowledge of this new world, probably no more aware than Colombus after his first journey. We know it exists and this is already something.

The two parts of this book, the theoretical part formed by the six first sections and three appendices, the experi-mental part in one modest section, seem in the same time disconnected and disproportionate. We can expect that more experiments will bring many new properties of the magnetic world.

These two parts are however doubly linked. Firstly probabilities, essential in quantum theory, seem absent here. In our powders, random seems not to play a very big role. When titanium is transformed at some place, all that can be transformed is changed. Random may be the rea-son why results are variable, but to get copper instead of iron, chromium instead of manganese can also come from differences in temperature, pressure, duration of the dis-charge and so on. We know nothing until now about that.

Second link between our two parts, space-time is different on what we thought it was. In the theoretical

part we explained how a second space-time manifold appears, anisotropic, and how the spinor wave makes a bridge between these two manifolds. This bridge can be extended to the complete space-time which allows to include electro-weak and strong interactions. The usual space- time is not the fundamental entity, it is only a part, well defined, of a complete space-time where com-plex numbers appear naturally. The geometric transformation linked to the wave contains a sum of direct and of inverse dilations. It is then very different from simple Lorentz rotations. Geometric transformations are only induced by elements of a group coming from the space algebra. They appear secondary objects, the fundamental one being the wave.

In the experimental part also space seems very dif-ferent on what we thought, since kernels of atoms that we think separated by huge distances in comparison with their own size, seem able to put together their nucleons and to reallocate them as if the distance between them was cancelled.

8.5 Future applications

What will be the applications of magnetic monopoles is also a premature ques- tion and this we are able to imag-ine today will probably have few to share with the very practical applications which will go out laboratories in the future.

Urutskoev who is a nuclear physicist thinks to new nuclear reactors, intrinsi- cally safe, driven by very in-tense magnetic fields. Another exciting possibility is that magnetism may be linked to gravitation. There are some theoretical clues there, because G. Lochak [9] has ex-plained that it is a magnetic photon which is linked to the graviton in the fusion theory of Louis de Broglie.

A third kind of possible practical consequence is about geology. The magnetic monopole of G. Lochak is a kind of excited neutrino. The Sun can produce mag-netic monopoles which will arrive on our Earth, mainly at the magnetic poles. This was experimentally satisfied [1]. These monopoles are likely to induce the same transformations we see at the laboratory, notably to pro-duce hydrogen. This may change the process of fossil-ization and the creation of de- posits. The future of the dynamo creating the Earth’s magnetic field may also be involved if the life-time of monopoles is sufficient.

Evidently if magnetic monopoles are produced in the heart of the Sun, they are able to produce effects on magnetic fields. The study of the magnetic monopoles is perhaps the best way to progress in the comprehension of our Sun.

It is easier, it needs less imagination, to prospect theoretical applications. When Lorentz studied the electron particle he used a classical model of extended



electron, with a mass-energy resulting from the energy of the electric field created by the electron’s charge. If the electron is a point this energy is infinite, which is unfortunate. If the electron is extended, forces com-ing from the distribution of charges are repulsive, then must be offset by forces of attrac- tion. These forces may only be weak forces, since the electron knows only the electro-weak forces.

We can also have a good idea of what will not allow the double space- time manifolds. The existence of a sec-ond space-time manifold changes nothing to properties of the first manifold, this into which we move and ob-serve our universe. We must then not to dream to things we know forbidden by physical laws, as to overtake the limit speed. Accelerate until this limit speed remains im-possible because the mass go to infinite when the speed approaches the limit speed, even if this limit speed is not necessarily equal to the light speed in the void. Anoth-er restriction which has no chance to change is the one linked to the time arrow. Any journey back into past will stay forbidden since the invariance group conserves the orientation of our time.

8.6 improved standard model

The different parts of the work that we present here are strongly interacting and reinforcing one another. The Cl*3 group is easier to see from the invariant form (3.10) of the wave equation. The behaviour of the mass term used in section 4 is a sufficient reason to prefer the nonlinear homogeneous wave equation to its linear ap-proximation, the Dirac equation. We got also the elec-tro-weak gauge group in a much simpler way. It was easy to extend this model from the lepton sector to the quark sector. We can explain not only why there are three completely similar generations (and four neutri-nos55), but also why the different generations must be separately treated in the gauge theory. We can explain why the complete gauge group is the U (1) × SU (2) × SU (3) gauge group found from experiments and why the SU (3) gauge group does not act upon the lepton part of the complete wave, which was before postu-lated. The link between the wave and the space-time geometry is reinforced by the fact that this link survives to the extension of the wave to all fermions of a genera-tion, which necessitates the use of two supplementary dimensions of space.

A greater invariance group implies strong new strains. These news strains imply a better understanding of old concepts and induce the only way to go further. For instance the relation φ′ = M φ is not new, it was used under

55 The fourth neutrino is not able to interact by electro-weak or strong forces, it is then a part of the black matter.

equivalent form since the Pauli equation in the twenty’s. But it indicates to us that the relation between the φ wave and the Weyl’s spinors ξ and η is invariant, that the right and left parts of the wave are invariant, that M and φ are similar. When you know that, it is evident that the wave

of a pair electron-neutrino must read

8.6 Improved standard model

The different parts of the work that we present here are strongly interacting andreinforcing one another. The Cl∗3 group is easier to see from the invariant form(3.10) of the wave equation. The behaviour of the mass term used in section4 is a sufficient reason to prefer the nonlinear homogeneous wave equation toits linear approximation, the Dirac equation. We got also the electro-weakgauge group in a much simpler way. It was easy to extend this model from thelepton sector to the quark sector. We can explain not only why there are threecompletely similar generations (and four neutrinos55), but also why the differentgenerations must be separately treated in the gauge theory. We can explain whythe complete gauge group is the U(1)×SU(2)×SU(3) gauge group found fromexperiments and why the SU(3) gauge group does not act upon the lepton partof the complete wave, which was before postulated. The link between the waveand the space-time geometry is reinforced by the fact that this link survives tothe extension of the wave to all fermions of a generation, which necessitates theuse of two supplementary dimensions of space.

A greater invariance group implies strong new strains. These news strainsimply a better understanding of old concepts and induce the only way to gofurther. For instance the relation φ′ = Mφ is not new, it was used underequivalent form since the Pauli equation in the twenty’s. But it indicates tous that the relation between the φ wave and the Weyl’s spinors ξ and η isinvariant, that the right and left parts of the wave are invariant, that M and φare similar. When you know that, it is evident that the wave of a pair electron-

neutrino must read Ψl =

(φe φn

φn φe

), and this equality gives then the form

of the projectors Pµ. Next these projectors have naturally the U(1) × SU(2)structure of the electroweak gauge group. It is also easy to get the charges ofquarks u and d simply by changing P0 to P ′

0, changing only one coefficient from1 into −1/3. Strains coming from the invariance group imply also that you haveonly one simple way to get a wave with all fermions of one generation, which

is Ψ =

(Ψl Ψr

Ψg Ψb

). But after that if you want again to have the same link

as before between the wave and the geometry of space-time, it is necessary todispose of (6.211). This in fact requires to use the link (2.125), well known in thestandard model, existing between the wave of the particle and the wave of theantiparticle. This link restrict the value of the wave from Cl2,3 = M4(C) to itssub-algebra Cl1,3 and from Cl2,5 = M8(C) to its sub-algebra Cl1,5. It happensthat this Clifford algebra is isomorphic to Cl5,1 and this isomorphism is boththe reason why the non-isomorphic sub-algebras Cl1,3 and Cl3,1 are equallyused, and a reason to be more confident on the standard model and its preceptsissued from a long building out of numerous experiments. Another reason tobe confident both in the standard model and in the use of Clifford algebra isthe link 6.6 between the cancellation of right waves, except the electron wave,

55The fourth neutrino is not able to interact by electro-weak or strong forces, it is then apart of the black matter.

123

,

and this equality gives then the form of the projectors Pµ. Next these projectors have naturally the U (1) × SU (2) structure of the electroweak gauge group. It is also easy to get the charges of quarks u and d simply by changing





(φe φn

φn φe




is Ψ =

(Ψl Ψr

Ψg Ψb




123

, changing only one coefficient from 1 into −1/3. Strains coming from the invariance group imply also that you have only one simple way to get a wave with all

fermions of one generation, which is





(φe φn

φn φe




is Ψ =

(Ψl Ψr

Ψg Ψb




123

.

But after that if you want again to have the same link as before between the wave and the geometry of space-time, it is necessary to dispose of (6.211). This in fact re-quires to use the link (2.125), well known in the standard model, existing between the wave of the particle and the wave of the antiparticle. This link restrict the value of the wave from Cl2,3 =





(φe φn

φn φe




is Ψ =

(Ψl Ψr

Ψg Ψb




123

to its sub-algebra Cl1,3 and from Cl2,5 =





(φe φn

φn φe




is Ψ =

(Ψl Ψr

Ψg Ψb




123

to its sub-algebra Cl1,5 . It happens that this Clifford algebra is isomorphic to Cl5,1 and this isomorphism is both the reason why the non-isomorphic sub-algebras Cl1,3 and Cl3,1 are equally used, and a rea-son to be more confident on the standard model and its precepts issued from a long building out of numerous experiments. Another reason to be confident both in the standard model and in the use of Clifford algebra is the link 6.6 between the cancellation of right waves, except the electron wave, and the existence of a mathematical inverse, used to build waves of systems. This should al-low to build the wave of a proton or a neutron from their internal quarks.

Questions of the initial quantum theory are today nearly forgotten. Why there is a Planck constant and why there are complex numbers were two of them. Since nobody had a clear and simple answer, these questions were put “under the table”. The existence of the Planck factor, that links proper mass to frequency of the wave, is directly linked to supplementary strains of the invariance group. Complex numbers are also simply explained, first by the isomorphism between Cl3 and the algebra generated by Pauli matrices, next by the ma-trix representation of Cl1,3 , finally by the matrix repre-sentation of Cl5,1. This algebra is isomorphic to a sub-algebra of the algebra





(φe φn

φn φe




is Ψ =

(Ψl Ψr

Ψg Ψb




123

of 8 × 8 matrices on the complex field. The complete wave is then a function of the space-time with value into Cl5,1 , this justifies most



of the mathematical apparatus of the standard model. On the physical point of view, this allows to build the boson fields by antisymmetric products of fermions in even number.

New strains used here also explain why old attempts were not successful. We think to the numerous attempts made in the thirty’s to unify mechanics and electromag-netism. Such an unification is limited by the fact that a charge is not a mass when you use the full invariance group. Another attempt, made to unify the different parts of the U (1) × SU (2) × SU (3) gauge group as subgroups of SU (5) or SO(10) had no more success, predicting a possible disintegrating proton which was not experimentally found. The structure of the gauge group comes from the structure of the complete wave and does not change when you increase the energy. The structure of the wave is then fully compatible with pro-tons without disintegration, and more generally with all known aspects of modern physics.

The standard model shall remain so more essential because the wave equations with a mass term are com-patible both with the form invariance and with the gauge invariance. We have then no new particles to await, with the only exception of the leptonic magnetic monopoles that we have yet observed.

a. Calculations in Clifford algebrasa.1 invariant equation and Lagrangian

Let M be an invertible matrix, element of Cl*3, with de-terminant reiθ . Let R and R be Lorentz dilations such as:

and the existence of a mathematical inverse, used to build waves of systems.This should allow to build the wave of a proton or a neutron from their internalquarks.

Questions of the initial quantum theory are today nearly forgotten. Whythere is a Planck constant and why there are complex numbers were two ofthem. Since nobody had a clear and simple answer, these questions were put“under the table”. The existence of the Planck factor, that links proper massto frequency of the wave, is directly linked to supplementary strains of theinvariance group. Complex numbers are also simply explained, first by theisomorphism between Cl3 and the algebra generated by Pauli matrices, nextby the matrix representation of Cl1,3, finally by the matrix representation ofCl5,1. This algebra is isomorphic to a sub-algebra of the algebra M8(C) of8 × 8 matrices on the complex field. The complete wave is then a function ofthe space-time with value into Cl5,1, this justifies most of the mathematicalapparatus of the standard model. On the physical point of view, this allows tobuild the boson fields by antisymmetric products of fermions in even number.

New strains used here also explain why old attempts were not successful. Wethink to the numerous attempts made in the thirty’s to unify mechanics andelectromagnetism. Such an unification is limited by the fact that a charge isnot a mass when you use the full invariance group. Another attempt, made tounify the different parts of the U(1)×SU(2)×SU(3) gauge group as subgroupsof SU(5) or SO(10) had no more success, predicting a possible disintegratingproton which was not experimentally found. The structure of the gauge groupcomes from the structure of the complete wave and does not change when youincrease the energy. The structure of the wave is then fully compatible withprotons without disintegration, and more generally with all known aspects ofmodern physics.

The standard model shall remain so more essential because the wave equa-tions with a mass term are compatible both with the form invariance and withthe gauge invariance. We have then no new particles to await, with the onlyexception of the leptonic magnetic monopoles that we have yet observed.

A Calculations in Clifford algebras

A.1 Invariant equation and Lagrangian

Let M be an invertible matrix, element of Cl∗3, with determinant reiθ. Let Rand R be Lorentz dilations such as :

R : x → x′ = R(x) = MxM† ; R : x → x′ = R(x) = MxM. (A.1)

Let P be the matrix such as:

M =√rei

θ2P (A.2)

and let L and L be dilations such as :

L : x → x′ = L(x) = PxP † ; L : x → x′ = L(x) = PxP . (A.3)

124










M =√rei

θ2P (A.2)



124

(A.1)











M =√rei

θ2P (A.2)



124

(A.2)











M =√rei

θ2P (A.2)



124










M =√rei

θ2P (A.2)



124

(A.3)

We have:We have:

reiθ = det(M) = MM =√rei

θ2P

√rei

θ2P = reiθPP (A.4)

we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)

P is then an element of SL(2,C) and L is a Lorentz rotation. We know, forsuch a rotation, noting (L) the matrix of L in an orthonormal basis and g thesignature-matrix :

g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)

that we have, M t being the transposed matrix 56 of M :

(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :

R(x) = MxM† =√rei

θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)

Multiplying (A.7) by r we get :

(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)

which gives for j = 1, 2, 3 and k = 1, 2, 3:

R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)

Consequently lines as columns of the matrix Rνµ are orthogonal, because we

have, for R and R, with:

Rµ = MσµM† = Rν

µσν ; Rµ = MσµM = Rν

µσν (A.14)

56The transposition exchanges lines and columns of matrices : if M =

(a bc d

)then M t =

(a cb d

). We have, for any matrices A and B, (AB)t = BtAt and det(At) = det(A)

125

We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

(A.4)

we get then

We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

(A.5)

P is then an element of

We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

and L is a Lorentz rota-tion. We know, for such a rotation, noting (L) the matrix of L in an orthonormal basis and g the signature-matrix:

We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

(A.6)

that we have, M t being the transposed matrix56 of M :

We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

(A.7)

But we have also :

We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

(A.8)

therefore

We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

(A.9)

We have also:

We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

(A.10)

We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

(A.11)


We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

(A.12)


We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

(A.13)

Consequently lines as columns of the matrix

We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

are orthogonal, because we have, for R and R, with:

We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

(A.14)

Rµ ·Rν = Rµ ·Rν = δµνρ2 (A.15)

where δ00 = 1, δ11 = δ22 = δ33 = −1, δµν = 0 if µ = ν. We have

φAφ = Aµφσµφ = A0D0 −j=3∑j=1

AjDj

= A0(Dµ

0σµ)−j=3∑j=1

Aj(Dµ

j σµ) (A.16)

But the link between the Dµ and the Dµ is the same as between the Rµ andthe Rµ and we get with (A.13) for j = 1, 2, 3 and k = 1, 2, 3:

D0

0 = D00 ; D

j

0 = −D0j ; D

0

j = −Dj0 ; D

k

j = Djk (A.17)

which gives

φAφ = A0(D0

0 +

j=3∑j=1

Dj

0σj)−j=3∑j=1

Aj(D0

j +

k=3∑k=1

Dk

jσk)

= A0(D00 −

j=3∑j=1

D0jσj)−

j=3∑j=1

Aj(−Dj0 +

k=3∑k=1

Djkσk)

= AνDνµσ

µ (A.18)

The scalar part is then

< φAφ >= Dν0Aν = AµJ

µ (A.19)

The corresponding term with the Dirac matrices is

1

2[(ψγµqAµ)ψ) + (ψγµqAµψ)

†]

=q

2Aµ[ψγ

µψ + (ψγµψ)] = qAµψγµψ

= qAµJµ. (A.20)

We get next

1

2[(ψγµ(−i)∂µψ) + (ψγµ(−i)∂µψ)

†]

=i

2(−ψγµ∂µψ + ∂µψγ

µψ)

=i

2[−ξ†∂0ξ − η†∂0η + (∂0ξ

†)ξ + (∂0η†)η]

+i

2

j=3∑j=1

[−ξ†σj∂jξ + η†σj∂jη + (∂jξ†)σjξ − (∂jη

†)σjη] (A.21)

126

(A.15)

where δ00 = 1, δ11 = δ22 = δ33 = −1, δµν = 0 if µ ≠ ν. We have




AjDj

= A0(Dµ

0σµ)−j=3∑j=1

Aj(Dµ

j σµ) (A.16)


D0

0 = D00 ; D

j

0 = −D0j ; D

0

j = −Dj0 ; D

k

j = Djk (A.17)

which gives

φAφ = A0(D0

0 +

j=3∑j=1

Dj

0σj)−j=3∑j=1

Aj(D0

j +k=3∑k=1

Dk

jσk)

= A0(D00 −

j=3∑j=1

D0jσj)−

j=3∑j=1

Aj(−Dj0 +

k=3∑k=1

Djkσk)

= AνDνµσ

µ (A.18)



µ (A.19)


1


†]

=q

2Aµ[ψγ


= qAµJµ. (A.20)

We get next

1


†]

=i


µψ)

=i

2[−ξ†∂0ξ − η†∂0η + (∂0ξ

†)ξ + (∂0η†)η]

+i

2

j=3∑j=1


†)σjη] (A.21)

126

(A.16)

But the link between the Dµ and the Dµ is the same as between the Rµ and the Rµ and we get with (A.13) for j = 1, 2, 3 and k = 1, 2, 3:

56 The transposition exchanges lines and columns of matrices : if

M =

We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

then M t =

We have:


θ2P

√rei


we get then

PP = 1 ; P = P−1 ; L = L−1 (A.5)


g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(A.6)


(L)−1 = g(L)tg ; (L)g = g(L)t. (A.7)

But we have also :


θ2Px

√re−i θ

2P † = rPxP † = rL(x) (A.8)

therefore

R = rL ; (R) = r(L). (A.9)

We have also:

R(x) = MxM =√rei

θ2Px

√re−i θ

2 P = rPxP = rL(x) (A.10)

R = rL ; (R) = r(L). (A.11)


(R)g = g(R)t ; (R) = g(R)tg. (A.12)


R0

0 = R00 ; R

j

0 = −R0j ; R

0

j = −Rj0 ; R

k

j = Rjk (A.13)





µσν (A.14)


(a bc d

)then M t =

(a cb d


125

. We have, for any matrices A

and B, (AB)t = Bt At and det(At ) = det(A).






AjDj

= A0(Dµ

0σµ)−j=3∑j=1

Aj(Dµ

j σµ) (A.16)


D0

0 = D00 ; D

j

0 = −D0j ; D

0

j = −Dj0 ; D

k

j = Djk (A.17)

which gives

φAφ = A0(D0

0 +

j=3∑j=1

Dj

0σj)−j=3∑j=1

Aj(D0

j +

k=3∑k=1

Dk

jσk)

= A0(D00 −

j=3∑j=1

D0jσj)−

j=3∑j=1

Aj(−Dj0 +

k=3∑k=1

Djkσk)

= AνDνµσ

µ (A.18)



µ (A.19)


1


†]

=q

2Aµ[ψγ


= qAµJµ. (A.20)

We get next

1


†]

=i


µψ)

=i

2[−ξ†∂0ξ − η†∂0η + (∂0ξ

†)ξ + (∂0η†)η]

+i

2

j=3∑j=1


†)σjη] (A.21)

126




AjDj

= A0(Dµ

0σµ)−j=3∑j=1

Aj(Dµ

j σµ) (A.16)


D0

0 = D00 ; D

j

0 = −D0j ; D

0

j = −Dj0 ; D

k

j = Djk (A.17)

which gives

φAφ = A0(D0

0 +

j=3∑j=1

Dj

0σj)−j=3∑j=1

Aj(D0

j +

k=3∑k=1

Dk

jσk)

= A0(D00 −

j=3∑j=1

D0jσj)−

j=3∑j=1

Aj(−Dj0 +

k=3∑k=1

Djkσk)

= AνDνµσ

µ (A.18)



µ (A.19)


1


†]

=q

2Aµ[ψγ


= qAµJµ. (A.20)

We get next

1


†]

=i


µψ)

=i

2[−ξ†∂0ξ − η†∂0η + (∂0ξ

†)ξ + (∂0η†)η]

+i

2

j=3∑j=1


†)σjη] (A.21)

126

(A.17)

which gives




AjDj

= A0(Dµ

0σµ)−j=3∑j=1

Aj(Dµ

j σµ) (A.16)


D0

0 = D00 ; D

j

0 = −D0j ; D

0

j = −Dj0 ; D

k

j = Djk (A.17)

which gives

φAφ = A0(D0

0 +

j=3∑j=1

Dj

0σj)−j=3∑j=1

Aj(D0

j +k=3∑k=1

Dk

jσk)

= A0(D00 −

j=3∑j=1

D0jσj)−

j=3∑j=1

Aj(−Dj0 +

k=3∑k=1

Djkσk)

= AνDνµσ

µ (A.18)



µ (A.19)


1


†]

=q

2Aµ[ψγ


= qAµJµ. (A.20)

We get next

1


†]

=i


µψ)

=i

2[−ξ†∂0ξ − η†∂0η + (∂0ξ

†)ξ + (∂0η†)η]

+i

2

j=3∑j=1


†)σjη] (A.21)

126

(A.18)





AjDj

= A0(Dµ

0σµ)−j=3∑j=1

Aj(Dµ

j σµ) (A.16)


D0

0 = D00 ; D

j

0 = −D0j ; D

0

j = −Dj0 ; D

k

j = Djk (A.17)

which gives

φAφ = A0(D0

0 +

j=3∑j=1

Dj

0σj)−j=3∑j=1

Aj(D0

j +

k=3∑k=1

Dk

jσk)

= A0(D00 −

j=3∑j=1

D0jσj)−

j=3∑j=1

Aj(−Dj0 +

k=3∑k=1

Djkσk)

= AνDνµσ

µ (A.18)



µ (A.19)


1


†]

=q

2Aµ[ψγ


= qAµJµ. (A.20)

We get next

1


†]

=i


µψ)

=i

2[−ξ†∂0ξ − η†∂0η + (∂0ξ

†)ξ + (∂0η†)η]

+i

2

j=3∑j=1


†)σjη] (A.21)

126

(A.19)





AjDj

= A0(Dµ

0σµ)−j=3∑j=1

Aj(Dµ

j σµ) (A.16)


D0

0 = D00 ; D

j

0 = −D0j ; D

0

j = −Dj0 ; D

k

j = Djk (A.17)

which gives

φAφ = A0(D0

0 +

j=3∑j=1

Dj

0σj)−j=3∑j=1

Aj(D0

j +

k=3∑k=1

Dk

jσk)

= A0(D00 −

j=3∑j=1

D0jσj)−

j=3∑j=1

Aj(−Dj0 +

k=3∑k=1

Djkσk)

= AνDνµσ

µ (A.18)



µ (A.19)


1


†]

=q

2Aµ[ψγ


= qAµJµ. (A.20)

We get next

1


†]

=i


µψ)

=i

2[−ξ†∂0ξ − η†∂0η + (∂0ξ

†)ξ + (∂0η†)η]

+i

2

j=3∑j=1


†)σjη] (A.21)

126

(A.20)

We get next




AjDj

= A0(Dµ

0σµ)−j=3∑j=1

Aj(Dµ

j σµ) (A.16)


D0

0 = D00 ; D

j

0 = −D0j ; D

0

j = −Dj0 ; D

k

j = Djk (A.17)

which gives

φAφ = A0(D0

0 +

j=3∑j=1

Dj

0σj)−j=3∑j=1

Aj(D0

j +k=3∑k=1

Dk

jσk)

= A0(D00 −

j=3∑j=1

D0jσj)−

j=3∑j=1

Aj(−Dj0 +

k=3∑k=1

Djkσk)

= AνDνµσ

µ (A.18)



µ (A.19)


1


†]

=q

2Aµ[ψγ


= qAµJµ. (A.20)

We get next

1


†]

=i


µψ)

=i

2[−ξ†∂0ξ − η†∂0η + (∂0ξ

†)ξ + (∂0η†)η]

+i

2

j=3∑j=1


†)σjη] (A.21)

126

(A.21)

which giveswhich gives

1


†] (A.22)

=i

2(ξ1∂0ξ

∗1 + ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 − ξ∗1∂0ξ1 − ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2)

+i

2(ξ1∂1ξ

∗2 + ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 − ξ∗1∂1ξ2 − ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1)

+1

2(−ξ1∂2ξ

∗2 + ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 − ξ∗1∂2ξ2 + ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

+i

2(ξ1∂3ξ

∗1 − ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 − ξ∗1∂3ξ1 + ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2).

In the Pauli algebra we have

φ(∇φ)σ21 (A.23)

= 2i

(η∗1 η∗2−ξ2 ξ1

)(∂0 − ∂3 −∂1 + i∂2

−∂1 − i∂2 ∂0 + ∂3

)(−η1 −ξ∗2−η2 ξ∗1

)

and with (2.91) we get

φ(∇φ)σ21 =

(w3 + w0 − iv3 − iv0 v2 + iv1 + iw2 − w1

v2 − iv1 + iw2 + w1 w3 − w0 − iv3 + iv0

)= (A.24)

2i

η∗1(−∂0η1 + ∂1η2 − i∂2η2 + ∂3η1) η∗1(−∂0ξ∗2 − ∂1ξ

∗1 + i∂2ξ

∗1 + ∂3ξ

∗2)

+η∗2(−∂0η2 + ∂1η1 + i∂2η1 − ∂3η2) +η∗2(∂0ξ∗1 + ∂1ξ

∗2 + i∂2ξ

∗2 + ∂3ξ

∗1)

−ξ2(−∂0η1 + ∂1η2 − i∂2η2 + ∂3η1) −ξ2(−∂0ξ∗2 − ∂1ξ

∗1 + i∂2ξ

∗1 + ∂3ξ

∗2)

+ξ1(−∂0η2 + ∂1η1 + i∂2η1 − ∂3η2) +ξ1(∂0ξ∗1 + ∂1ξ

∗2 + i∂2ξ

∗2 + ∂3ξ

∗1)

.

This gives

w3 + w0 − iv3 − iv0 = (A.25)

2i(−η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1 − iη∗1∂2η2 + iη∗2∂2η1 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2)

w3 − w0 − iv3 + iv0 = (A.26)

2i(ξ2∂0ξ∗2 + ξ1∂0ξ

∗1 + ξ2∂1ξ

∗1 + ξ1∂1ξ

∗2 − iξ2∂2ξ

∗1 + iξ1∂2ξ

∗2 − ξ2∂3ξ

∗2 + ξ1∂3ξ

∗1)

v2 − iv1 + iw2 + w1 = (A.27)

2i(ξ2∂0η1 − ξ1∂0η2 − ξ2∂1η2 + ξ1∂1η1 + iξ2∂2η2 + iξ1∂2η1 − ξ2∂3η1 − ξ∗1∂3η2)

v2 + iv1 + iw2 − w1 = (A.28)

2i(−η∗1∂0ξ∗2 − η∗2∂0ξ

∗1 − η∗1∂1ξ

∗1 + η∗2∂1ξ

∗2 + iη∗1∂2ξ

∗1 + iη∗2∂2ξ

∗2 + η∗1∂3ξ

∗2 + η∗2∂3ξ

∗1).

127

(A.22)


which gives

1


†] (A.22)

=i

2(ξ1∂0ξ

∗1 + ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 − ξ∗1∂0ξ1 − ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2)

+i

2(ξ1∂1ξ

∗2 + ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 − ξ∗1∂1ξ2 − ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1)

+1

2(−ξ1∂2ξ

∗2 + ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 − ξ∗1∂2ξ2 + ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

+i

2(ξ1∂3ξ

∗1 − ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 − ξ∗1∂3ξ1 + ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2).


φ(∇φ)σ21 (A.23)

= 2i

(η∗1 η∗2−ξ2 ξ1

)(∂0 − ∂3 −∂1 + i∂2

−∂1 − i∂2 ∂0 + ∂3

)(−η1 −ξ∗2−η2 ξ∗1

)


φ(∇φ)σ21 =

(w3 + w0 − iv3 − iv0 v2 + iv1 + iw2 − w1

v2 − iv1 + iw2 + w1 w3 − w0 − iv3 + iv0

)= (A.24)

2i

η∗1(−∂0η1 + ∂1η2 − i∂2η2 + ∂3η1) η∗1(−∂0ξ∗2 − ∂1ξ

∗1 + i∂2ξ

∗1 + ∂3ξ

∗2)

+η∗2(−∂0η2 + ∂1η1 + i∂2η1 − ∂3η2) +η∗2(∂0ξ∗1 + ∂1ξ

∗2 + i∂2ξ

∗2 + ∂3ξ

∗1)

−ξ2(−∂0η1 + ∂1η2 − i∂2η2 + ∂3η1) −ξ2(−∂0ξ∗2 − ∂1ξ

∗1 + i∂2ξ

∗1 + ∂3ξ

∗2)

+ξ1(−∂0η2 + ∂1η1 + i∂2η1 − ∂3η2) +ξ1(∂0ξ∗1 + ∂1ξ

∗2 + i∂2ξ

∗2 + ∂3ξ

∗1)

.

This gives

w3 + w0 − iv3 − iv0 = (A.25)


w3 − w0 − iv3 + iv0 = (A.26)

2i(ξ2∂0ξ∗2 + ξ1∂0ξ

∗1 + ξ2∂1ξ

∗1 + ξ1∂1ξ

∗2 − iξ2∂2ξ

∗1 + iξ1∂2ξ

∗2 − ξ2∂3ξ

∗2 + ξ1∂3ξ

∗1)

v2 − iv1 + iw2 + w1 = (A.27)


v2 + iv1 + iw2 − w1 = (A.28)

2i(−η∗1∂0ξ∗2 − η∗2∂0ξ

∗1 − η∗1∂1ξ

∗1 + η∗2∂1ξ

∗2 + iη∗1∂2ξ

∗1 + iη∗2∂2ξ

∗2 + η∗1∂3ξ

∗2 + η∗2∂3ξ

∗1).

127

(A.23)


which gives

1


†] (A.22)

=i

2(ξ1∂0ξ

∗1 + ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 − ξ∗1∂0ξ1 − ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2)

+i

2(ξ1∂1ξ

∗2 + ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 − ξ∗1∂1ξ2 − ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1)

+1

2(−ξ1∂2ξ

∗2 + ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 − ξ∗1∂2ξ2 + ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

+i

2(ξ1∂3ξ

∗1 − ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 − ξ∗1∂3ξ1 + ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2).


φ(∇φ)σ21 (A.23)

= 2i

(η∗1 η∗2−ξ2 ξ1

)(∂0 − ∂3 −∂1 + i∂2

−∂1 − i∂2 ∂0 + ∂3

)(−η1 −ξ∗2−η2 ξ∗1

)


φ(∇φ)σ21 =

(w3 + w0 − iv3 − iv0 v2 + iv1 + iw2 − w1

v2 − iv1 + iw2 + w1 w3 − w0 − iv3 + iv0

)= (A.24)

2i

η∗1(−∂0η1 + ∂1η2 − i∂2η2 + ∂3η1) η∗1(−∂0ξ∗2 − ∂1ξ

∗1 + i∂2ξ

∗1 + ∂3ξ

∗2)

+η∗2(−∂0η2 + ∂1η1 + i∂2η1 − ∂3η2) +η∗2(∂0ξ∗1 + ∂1ξ

∗2 + i∂2ξ

∗2 + ∂3ξ

∗1)

−ξ2(−∂0η1 + ∂1η2 − i∂2η2 + ∂3η1) −ξ2(−∂0ξ∗2 − ∂1ξ

∗1 + i∂2ξ

∗1 + ∂3ξ

∗2)

+ξ1(−∂0η2 + ∂1η1 + i∂2η1 − ∂3η2) +ξ1(∂0ξ∗1 + ∂1ξ

∗2 + i∂2ξ

∗2 + ∂3ξ

∗1)

.

This gives

w3 + w0 − iv3 − iv0 = (A.25)


w3 − w0 − iv3 + iv0 = (A.26)

2i(ξ2∂0ξ∗2 + ξ1∂0ξ

∗1 + ξ2∂1ξ

∗1 + ξ1∂1ξ

∗2 − iξ2∂2ξ

∗1 + iξ1∂2ξ

∗2 − ξ2∂3ξ

∗2 + ξ1∂3ξ

∗1)

v2 − iv1 + iw2 + w1 = (A.27)


v2 + iv1 + iw2 − w1 = (A.28)

2i(−η∗1∂0ξ∗2 − η∗2∂0ξ

∗1 − η∗1∂1ξ

∗1 + η∗2∂1ξ

∗2 + iη∗1∂2ξ

∗1 + iη∗2∂2ξ

∗2 + η∗1∂3ξ

∗2 + η∗2∂3ξ

∗1).

127

(A.24)

This gives

which gives

1


†] (A.22)

=i

2(ξ1∂0ξ

∗1 + ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 − ξ∗1∂0ξ1 − ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2)

+i

2(ξ1∂1ξ

∗2 + ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 − ξ∗1∂1ξ2 − ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1)

+1

2(−ξ1∂2ξ

∗2 + ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 − ξ∗1∂2ξ2 + ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

+i

2(ξ1∂3ξ

∗1 − ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 − ξ∗1∂3ξ1 + ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2).


φ(∇φ)σ21 (A.23)

= 2i

(η∗1 η∗2−ξ2 ξ1

)(∂0 − ∂3 −∂1 + i∂2

−∂1 − i∂2 ∂0 + ∂3

)(−η1 −ξ∗2−η2 ξ∗1

)


φ(∇φ)σ21 =

(w3 + w0 − iv3 − iv0 v2 + iv1 + iw2 − w1

v2 − iv1 + iw2 + w1 w3 − w0 − iv3 + iv0

)= (A.24)

2i

η∗1(−∂0η1 + ∂1η2 − i∂2η2 + ∂3η1) η∗1(−∂0ξ∗2 − ∂1ξ

∗1 + i∂2ξ

∗1 + ∂3ξ

∗2)

+η∗2(−∂0η2 + ∂1η1 + i∂2η1 − ∂3η2) +η∗2(∂0ξ∗1 + ∂1ξ

∗2 + i∂2ξ

∗2 + ∂3ξ

∗1)

−ξ2(−∂0η1 + ∂1η2 − i∂2η2 + ∂3η1) −ξ2(−∂0ξ∗2 − ∂1ξ

∗1 + i∂2ξ

∗1 + ∂3ξ

∗2)

+ξ1(−∂0η2 + ∂1η1 + i∂2η1 − ∂3η2) +ξ1(∂0ξ∗1 + ∂1ξ

∗2 + i∂2ξ

∗2 + ∂3ξ

∗1)

.

This gives

w3 + w0 − iv3 − iv0 = (A.25)


w3 − w0 − iv3 + iv0 = (A.26)

2i(ξ2∂0ξ∗2 + ξ1∂0ξ

∗1 + ξ2∂1ξ

∗1 + ξ1∂1ξ

∗2 − iξ2∂2ξ

∗1 + iξ1∂2ξ

∗2 − ξ2∂3ξ

∗2 + ξ1∂3ξ

∗1)

v2 − iv1 + iw2 + w1 = (A.27)


v2 + iv1 + iw2 − w1 = (A.28)

2i(−η∗1∂0ξ∗2 − η∗2∂0ξ

∗1 − η∗1∂1ξ

∗1 + η∗2∂1ξ

∗2 + iη∗1∂2ξ

∗1 + iη∗2∂2ξ

∗2 + η∗1∂3ξ

∗2 + η∗2∂3ξ

∗1).

127

(A.25)

which gives

1


†] (A.22)

=i

2(ξ1∂0ξ

∗1 + ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 − ξ∗1∂0ξ1 − ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2)

+i

2(ξ1∂1ξ

∗2 + ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 − ξ∗1∂1ξ2 − ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1)

+1

2(−ξ1∂2ξ

∗2 + ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 − ξ∗1∂2ξ2 + ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

+i

2(ξ1∂3ξ

∗1 − ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 − ξ∗1∂3ξ1 + ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2).


φ(∇φ)σ21 (A.23)

= 2i

(η∗1 η∗2−ξ2 ξ1

)(∂0 − ∂3 −∂1 + i∂2

−∂1 − i∂2 ∂0 + ∂3

)(−η1 −ξ∗2−η2 ξ∗1

)


φ(∇φ)σ21 =

(w3 + w0 − iv3 − iv0 v2 + iv1 + iw2 − w1

v2 − iv1 + iw2 + w1 w3 − w0 − iv3 + iv0

)= (A.24)

2i

η∗1(−∂0η1 + ∂1η2 − i∂2η2 + ∂3η1) η∗1(−∂0ξ∗2 − ∂1ξ

∗1 + i∂2ξ

∗1 + ∂3ξ

∗2)

+η∗2(−∂0η2 + ∂1η1 + i∂2η1 − ∂3η2) +η∗2(∂0ξ∗1 + ∂1ξ

∗2 + i∂2ξ

∗2 + ∂3ξ

∗1)

−ξ2(−∂0η1 + ∂1η2 − i∂2η2 + ∂3η1) −ξ2(−∂0ξ∗2 − ∂1ξ

∗1 + i∂2ξ

∗1 + ∂3ξ

∗2)

+ξ1(−∂0η2 + ∂1η1 + i∂2η1 − ∂3η2) +ξ1(∂0ξ∗1 + ∂1ξ

∗2 + i∂2ξ

∗2 + ∂3ξ

∗1)

.

This gives

w3 + w0 − iv3 − iv0 = (A.25)


w3 − w0 − iv3 + iv0 = (A.26)

2i(ξ2∂0ξ∗2 + ξ1∂0ξ

∗1 + ξ2∂1ξ

∗1 + ξ1∂1ξ

∗2 − iξ2∂2ξ

∗1 + iξ1∂2ξ

∗2 − ξ2∂3ξ

∗2 + ξ1∂3ξ

∗1)

v2 − iv1 + iw2 + w1 = (A.27)


v2 + iv1 + iw2 − w1 = (A.28)

2i(−η∗1∂0ξ∗2 − η∗2∂0ξ

∗1 − η∗1∂1ξ

∗1 + η∗2∂1ξ

∗2 + iη∗1∂2ξ

∗1 + iη∗2∂2ξ

∗2 + η∗1∂3ξ

∗2 + η∗2∂3ξ

∗1).

127

(A.26)



This gives with (A.22)

Adding and subtracting (A.25) and (A.26) we get

w3 − iv3 =− iη∗1∂0η1 − iη∗2∂0η2 + iξ2∂0ξ∗2 + iξ1∂0ξ

∗1

+ iη∗1∂1η2 + iη∗2∂1η1 + iξ2∂1ξ∗1 + iξ1∂1ξ

∗2 (A.29)

+ η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1 + ξ2∂2ξ∗1 − ξ1∂2ξ

∗2

+ iη∗1∂3η1 − iη∗2∂3η2 − iξ2∂3ξ∗2 + iξ1∂3ξ

∗1

w0 − iv0 =− iη∗1∂0η1 − iη∗2∂0η2 − iξ2∂0ξ∗2 − iξ1∂0ξ

∗1

+ iη∗1∂1η2 + iη∗2∂1η1 − iξ2∂1ξ∗1 − iξ1∂1ξ

∗2 (A.30)

+ η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1 − ξ2∂2ξ∗1 + ξ1∂2ξ

∗2

+ iη∗1∂3η1 − iη∗2∂3η2 + iξ2∂3ξ∗2 − iξ1∂3ξ

∗1 .

Separating the real and the imaginary part of (A.29) we get

2

iw3 = (A.31)

ξ1∂0ξ∗1 + ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 − ξ∗1∂0ξ1 − ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2

+ ξ1∂1ξ∗2 + ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 − ξ∗1∂1ξ2 − ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1

− i(−ξ1∂2ξ∗2 + ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 − ξ∗1∂2ξ2 + ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

+ ξ1∂3ξ∗1 − ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 − ξ∗1∂3ξ1 + ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2


1


†] = w3 (A.32)

and with (A.20) we get (2.100). The Tetrode’s impulse-energy tensor comingfrom the invariance of the Lagrangian density under translations satisfies

−Tµλ =

1

2[(ψγµ(−i∂λ + qAλ)ψ + ((ψγµ(−i∂λ + qAλ)ψ)

†] (A.33)

We get then from (A.32)

w3 = −Tµµ − qψγµAµψ

w3 = −Tµµ − V 0

w3 + V 0 = −tr(T ) (A.34)

Now the imaginary part of (A.29) gives

−2v3 = ∂0(ξ1ξ∗1 + ξ2ξ

∗2 − η1η

∗1 − η2η

∗2) (A.35)

+ ∂1(ξ1ξ∗2 + ξ2ξ

∗1 + η1η

∗2 + η2η

∗1)

+ ∂2i(ξ1ξ∗2 − ξ2ξ

∗1 + η1η

∗2 − η2η

∗1)

+ ∂3(ξ1ξ∗1 − ξ2ξ

∗2 + η1η

∗1 − η2η

∗2)

= ∂µDµ3 = ∇ ·D3 (A.36)

128

(A.32)

and with (A.20) we get (2.100). The Tetrode’s impulse-energy tensor coming from the invariance of the La-grangian density under translations satisfies



∗1

+ iη∗1∂1η2 + iη∗2∂1η1 + iξ2∂1ξ∗1 + iξ1∂1ξ

∗2 (A.29)

+ η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1 + ξ2∂2ξ∗1 − ξ1∂2ξ

∗2

+ iη∗1∂3η1 − iη∗2∂3η2 − iξ2∂3ξ∗2 + iξ1∂3ξ

∗1


∗1

+ iη∗1∂1η2 + iη∗2∂1η1 − iξ2∂1ξ∗1 − iξ1∂1ξ

∗2 (A.30)

+ η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1 − ξ2∂2ξ∗1 + ξ1∂2ξ

∗2

+ iη∗1∂3η1 − iη∗2∂3η2 + iξ2∂3ξ∗2 − iξ1∂3ξ

∗1 .


2

iw3 = (A.31)

ξ1∂0ξ∗1 + ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 − ξ∗1∂0ξ1 − ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2

+ ξ1∂1ξ∗2 + ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 − ξ∗1∂1ξ2 − ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1

− i(−ξ1∂2ξ∗2 + ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 − ξ∗1∂2ξ2 + ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

+ ξ1∂3ξ∗1 − ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 − ξ∗1∂3ξ1 + ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2


1


†] = w3 (A.32)


−Tµλ =

1


†] (A.33)



w3 = −Tµµ − V 0

w3 + V 0 = −tr(T ) (A.34)


−2v3 = ∂0(ξ1ξ∗1 + ξ2ξ

∗2 − η1η

∗1 − η2η

∗2) (A.35)

+ ∂1(ξ1ξ∗2 + ξ2ξ

∗1 + η1η

∗2 + η2η

∗1)

+ ∂2i(ξ1ξ∗2 − ξ2ξ

∗1 + η1η

∗2 − η2η

∗1)

+ ∂3(ξ1ξ∗1 − ξ2ξ

∗2 + η1η

∗1 − η2η

∗2)

= ∂µDµ3 = ∇ ·D3 (A.36)

128



∗1

+ iη∗1∂1η2 + iη∗2∂1η1 + iξ2∂1ξ∗1 + iξ1∂1ξ

∗2 (A.29)

+ η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1 + ξ2∂2ξ∗1 − ξ1∂2ξ

∗2

+ iη∗1∂3η1 − iη∗2∂3η2 − iξ2∂3ξ∗2 + iξ1∂3ξ

∗1


∗1

+ iη∗1∂1η2 + iη∗2∂1η1 − iξ2∂1ξ∗1 − iξ1∂1ξ

∗2 (A.30)

+ η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1 − ξ2∂2ξ∗1 + ξ1∂2ξ

∗2

+ iη∗1∂3η1 − iη∗2∂3η2 + iξ2∂3ξ∗2 − iξ1∂3ξ

∗1 .


2

iw3 = (A.31)

ξ1∂0ξ∗1 + ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 − ξ∗1∂0ξ1 − ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2

+ ξ1∂1ξ∗2 + ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 − ξ∗1∂1ξ2 − ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1

− i(−ξ1∂2ξ∗2 + ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 − ξ∗1∂2ξ2 + ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

+ ξ1∂3ξ∗1 − ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 − ξ∗1∂3ξ1 + ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2


1


†] = w3 (A.32)


−Tµλ =

1


†] (A.33)



w3 = −Tµµ − V 0

w3 + V 0 = −tr(T ) (A.34)


−2v3 = ∂0(ξ1ξ∗1 + ξ2ξ

∗2 − η1η

∗1 − η2η

∗2) (A.35)

+ ∂1(ξ1ξ∗2 + ξ2ξ

∗1 + η1η

∗2 + η2η

∗1)

+ ∂2i(ξ1ξ∗2 − ξ2ξ

∗1 + η1η

∗2 − η2η

∗1)

+ ∂3(ξ1ξ∗1 − ξ2ξ

∗2 + η1η

∗1 − η2η

∗2)

= ∂µDµ3 = ∇ ·D3 (A.36)

128

. (A.33)




∗1

+ iη∗1∂1η2 + iη∗2∂1η1 + iξ2∂1ξ∗1 + iξ1∂1ξ

∗2 (A.29)

+ η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1 + ξ2∂2ξ∗1 − ξ1∂2ξ

∗2

+ iη∗1∂3η1 − iη∗2∂3η2 − iξ2∂3ξ∗2 + iξ1∂3ξ

∗1


∗1

+ iη∗1∂1η2 + iη∗2∂1η1 − iξ2∂1ξ∗1 − iξ1∂1ξ

∗2 (A.30)

+ η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1 − ξ2∂2ξ∗1 + ξ1∂2ξ

∗2

+ iη∗1∂3η1 − iη∗2∂3η2 + iξ2∂3ξ∗2 − iξ1∂3ξ

∗1 .


2

iw3 = (A.31)

ξ1∂0ξ∗1 + ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 − ξ∗1∂0ξ1 − ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2

+ ξ1∂1ξ∗2 + ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 − ξ∗1∂1ξ2 − ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1

− i(−ξ1∂2ξ∗2 + ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 − ξ∗1∂2ξ2 + ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

+ ξ1∂3ξ∗1 − ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 − ξ∗1∂3ξ1 + ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2


1


†] = w3 (A.32)


−Tµλ =

1


†] (A.33)



w3 = −Tµµ − V 0

w3 + V 0 = −tr(T ) (A.34)


−2v3 = ∂0(ξ1ξ∗1 + ξ2ξ

∗2 − η1η

∗1 − η2η

∗2) (A.35)

+ ∂1(ξ1ξ∗2 + ξ2ξ

∗1 + η1η

∗2 + η2η

∗1)

+ ∂2i(ξ1ξ∗2 − ξ2ξ

∗1 + η1η

∗2 − η2η

∗1)

+ ∂3(ξ1ξ∗1 − ξ2ξ

∗2 + η1η

∗1 − η2η

∗2)

= ∂µDµ3 = ∇ ·D3 (A.36)

128

(A.34)


(A.35)

(A.36)


(A.37)

(A.38)

and we get the conservation of the current of probability. From (A.18) we get

(A.39)

(A.40)

which gives

1


†] (A.22)

=i

2(ξ1∂0ξ

∗1 + ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 − ξ∗1∂0ξ1 − ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2)

+i

2(ξ1∂1ξ

∗2 + ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 − ξ∗1∂1ξ2 − ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1)

+1

2(−ξ1∂2ξ

∗2 + ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 − ξ∗1∂2ξ2 + ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

+i

2(ξ1∂3ξ

∗1 − ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 − ξ∗1∂3ξ1 + ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2).


φ(∇φ)σ21 (A.23)

= 2i

(η∗1 η∗2−ξ2 ξ1

)(∂0 − ∂3 −∂1 + i∂2

−∂1 − i∂2 ∂0 + ∂3

)(−η1 −ξ∗2−η2 ξ∗1

)


φ(∇φ)σ21 =

(w3 + w0 − iv3 − iv0 v2 + iv1 + iw2 − w1

v2 − iv1 + iw2 + w1 w3 − w0 − iv3 + iv0

)= (A.24)

2i

η∗1(−∂0η1 + ∂1η2 − i∂2η2 + ∂3η1) η∗1(−∂0ξ∗2 − ∂1ξ

∗1 + i∂2ξ

∗1 + ∂3ξ

∗2)

+η∗2(−∂0η2 + ∂1η1 + i∂2η1 − ∂3η2) +η∗2(∂0ξ∗1 + ∂1ξ

∗2 + i∂2ξ

∗2 + ∂3ξ

∗1)

−ξ2(−∂0η1 + ∂1η2 − i∂2η2 + ∂3η1) −ξ2(−∂0ξ∗2 − ∂1ξ

∗1 + i∂2ξ

∗1 + ∂3ξ

∗2)

+ξ1(−∂0η2 + ∂1η1 + i∂2η1 − ∂3η2) +ξ1(∂0ξ∗1 + ∂1ξ

∗2 + i∂2ξ

∗2 + ∂3ξ

∗1)

.

This gives

w3 + w0 − iv3 − iv0 = (A.25)


w3 − w0 − iv3 + iv0 = (A.26)

2i(ξ2∂0ξ∗2 + ξ1∂0ξ

∗1 + ξ2∂1ξ

∗1 + ξ1∂1ξ

∗2 − iξ2∂2ξ

∗1 + iξ1∂2ξ

∗2 − ξ2∂3ξ

∗2 + ξ1∂3ξ

∗1)

v2 − iv1 + iw2 + w1 = (A.27)


v2 + iv1 + iw2 − w1 = (A.28)

2i(−η∗1∂0ξ∗2 − η∗2∂0ξ

∗1 − η∗1∂1ξ

∗1 + η∗2∂1ξ

∗2 + iη∗1∂2ξ

∗1 + iη∗2∂2ξ

∗2 + η∗1∂3ξ

∗2 + η∗2∂3ξ

∗1).

127

(A.27)

which gives

1


†] (A.22)

=i

2(ξ1∂0ξ

∗1 + ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 − ξ∗1∂0ξ1 − ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2)

+i

2(ξ1∂1ξ

∗2 + ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 − ξ∗1∂1ξ2 − ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1)

+1

2(−ξ1∂2ξ

∗2 + ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 − ξ∗1∂2ξ2 + ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

+i

2(ξ1∂3ξ

∗1 − ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 − ξ∗1∂3ξ1 + ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2).


φ(∇φ)σ21 (A.23)

= 2i

(η∗1 η∗2−ξ2 ξ1

)(∂0 − ∂3 −∂1 + i∂2

−∂1 − i∂2 ∂0 + ∂3

)(−η1 −ξ∗2−η2 ξ∗1

)


φ(∇φ)σ21 =

(w3 + w0 − iv3 − iv0 v2 + iv1 + iw2 − w1

v2 − iv1 + iw2 + w1 w3 − w0 − iv3 + iv0

)= (A.24)

2i

η∗1(−∂0η1 + ∂1η2 − i∂2η2 + ∂3η1) η∗1(−∂0ξ∗2 − ∂1ξ

∗1 + i∂2ξ

∗1 + ∂3ξ

∗2)

+η∗2(−∂0η2 + ∂1η1 + i∂2η1 − ∂3η2) +η∗2(∂0ξ∗1 + ∂1ξ

∗2 + i∂2ξ

∗2 + ∂3ξ

∗1)

−ξ2(−∂0η1 + ∂1η2 − i∂2η2 + ∂3η1) −ξ2(−∂0ξ∗2 − ∂1ξ

∗1 + i∂2ξ

∗1 + ∂3ξ

∗2)

+ξ1(−∂0η2 + ∂1η1 + i∂2η1 − ∂3η2) +ξ1(∂0ξ∗1 + ∂1ξ

∗2 + i∂2ξ

∗2 + ∂3ξ

∗1)

.

This gives

w3 + w0 − iv3 − iv0 = (A.25)


w3 − w0 − iv3 + iv0 = (A.26)

2i(ξ2∂0ξ∗2 + ξ1∂0ξ

∗1 + ξ2∂1ξ

∗1 + ξ1∂1ξ

∗2 − iξ2∂2ξ

∗1 + iξ1∂2ξ

∗2 − ξ2∂3ξ

∗2 + ξ1∂3ξ

∗1)

v2 − iv1 + iw2 + w1 = (A.27)


v2 + iv1 + iw2 − w1 = (A.28)

2i(−η∗1∂0ξ∗2 − η∗2∂0ξ

∗1 − η∗1∂1ξ

∗1 + η∗2∂1ξ

∗2 + iη∗1∂2ξ

∗1 + iη∗2∂2ξ

∗2 + η∗1∂3ξ

∗2 + η∗2∂3ξ

∗1).

127

(A.28)

Adding and subtracting (A.25) and (A.26) we getAdding and subtracting (A.25) and (A.26) we get


∗1

+ iη∗1∂1η2 + iη∗2∂1η1 + iξ2∂1ξ∗1 + iξ1∂1ξ

∗2 (A.29)

+ η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1 + ξ2∂2ξ∗1 − ξ1∂2ξ

∗2

+ iη∗1∂3η1 − iη∗2∂3η2 − iξ2∂3ξ∗2 + iξ1∂3ξ

∗1


∗1

+ iη∗1∂1η2 + iη∗2∂1η1 − iξ2∂1ξ∗1 − iξ1∂1ξ

∗2 (A.30)

+ η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1 − ξ2∂2ξ∗1 + ξ1∂2ξ

∗2

+ iη∗1∂3η1 − iη∗2∂3η2 + iξ2∂3ξ∗2 − iξ1∂3ξ

∗1 .


2

iw3 = (A.31)

ξ1∂0ξ∗1 + ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 − ξ∗1∂0ξ1 − ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2

+ ξ1∂1ξ∗2 + ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 − ξ∗1∂1ξ2 − ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1

− i(−ξ1∂2ξ∗2 + ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 − ξ∗1∂2ξ2 + ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

+ ξ1∂3ξ∗1 − ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 − ξ∗1∂3ξ1 + ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2


1


†] = w3 (A.32)


−Tµλ =

1


†] (A.33)



w3 = −Tµµ − V 0

w3 + V 0 = −tr(T ) (A.34)


−2v3 = ∂0(ξ1ξ∗1 + ξ2ξ

∗2 − η1η

∗1 − η2η

∗2) (A.35)

+ ∂1(ξ1ξ∗2 + ξ2ξ

∗1 + η1η

∗2 + η2η

∗1)

+ ∂2i(ξ1ξ∗2 − ξ2ξ

∗1 + η1η

∗2 − η2η

∗1)

+ ∂3(ξ1ξ∗1 − ξ2ξ

∗2 + η1η

∗1 − η2η

∗2)

= ∂µDµ3 = ∇ ·D3 (A.36)

128

(A.29)



∗1

+ iη∗1∂1η2 + iη∗2∂1η1 + iξ2∂1ξ∗1 + iξ1∂1ξ

∗2 (A.29)

+ η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1 + ξ2∂2ξ∗1 − ξ1∂2ξ

∗2

+ iη∗1∂3η1 − iη∗2∂3η2 − iξ2∂3ξ∗2 + iξ1∂3ξ

∗1


∗1

+ iη∗1∂1η2 + iη∗2∂1η1 − iξ2∂1ξ∗1 − iξ1∂1ξ

∗2 (A.30)

+ η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1 − ξ2∂2ξ∗1 + ξ1∂2ξ

∗2

+ iη∗1∂3η1 − iη∗2∂3η2 + iξ2∂3ξ∗2 − iξ1∂3ξ

∗1 .


2

iw3 = (A.31)

ξ1∂0ξ∗1 + ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 − ξ∗1∂0ξ1 − ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2

+ ξ1∂1ξ∗2 + ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 − ξ∗1∂1ξ2 − ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1

− i(−ξ1∂2ξ∗2 + ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 − ξ∗1∂2ξ2 + ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

+ ξ1∂3ξ∗1 − ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 − ξ∗1∂3ξ1 + ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2


1


†] = w3 (A.32)


−Tµλ =

1


†] (A.33)



w3 = −Tµµ − V 0

w3 + V 0 = −tr(T ) (A.34)


−2v3 = ∂0(ξ1ξ∗1 + ξ2ξ

∗2 − η1η

∗1 − η2η

∗2) (A.35)

+ ∂1(ξ1ξ∗2 + ξ2ξ

∗1 + η1η

∗2 + η2η

∗1)

+ ∂2i(ξ1ξ∗2 − ξ2ξ

∗1 + η1η

∗2 − η2η

∗1)

+ ∂3(ξ1ξ∗1 − ξ2ξ

∗2 + η1η

∗1 − η2η

∗2)

= ∂µDµ3 = ∇ ·D3 (A.36)

128

(A.30)




∗1

+ iη∗1∂1η2 + iη∗2∂1η1 + iξ2∂1ξ∗1 + iξ1∂1ξ

∗2 (A.29)

+ η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1 + ξ2∂2ξ∗1 − ξ1∂2ξ

∗2

+ iη∗1∂3η1 − iη∗2∂3η2 − iξ2∂3ξ∗2 + iξ1∂3ξ

∗1


∗1

+ iη∗1∂1η2 + iη∗2∂1η1 − iξ2∂1ξ∗1 − iξ1∂1ξ

∗2 (A.30)

+ η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1 − ξ2∂2ξ∗1 + ξ1∂2ξ

∗2

+ iη∗1∂3η1 − iη∗2∂3η2 + iξ2∂3ξ∗2 − iξ1∂3ξ

∗1 .


2

iw3 = (A.31)

ξ1∂0ξ∗1 + ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 − ξ∗1∂0ξ1 − ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2

+ ξ1∂1ξ∗2 + ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 − ξ∗1∂1ξ2 − ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1

− i(−ξ1∂2ξ∗2 + ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 − ξ∗1∂2ξ2 + ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

+ ξ1∂3ξ∗1 − ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 − ξ∗1∂3ξ1 + ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2


1


†] = w3 (A.32)


−Tµλ =

1


†] (A.33)



w3 = −Tµµ − V 0

w3 + V 0 = −tr(T ) (A.34)


−2v3 = ∂0(ξ1ξ∗1 + ξ2ξ

∗2 − η1η

∗1 − η2η

∗2) (A.35)

+ ∂1(ξ1ξ∗2 + ξ2ξ

∗1 + η1η

∗2 + η2η

∗1)

+ ∂2i(ξ1ξ∗2 − ξ2ξ

∗1 + η1η

∗2 − η2η

∗1)

+ ∂3(ξ1ξ∗1 − ξ2ξ

∗2 + η1η

∗1 − η2η

∗2)

= ∂µDµ3 = ∇ ·D3 (A.36)

128

(A.31)



∗1

+ iη∗1∂1η2 + iη∗2∂1η1 + iξ2∂1ξ∗1 + iξ1∂1ξ

∗2 (A.29)

+ η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1 + ξ2∂2ξ∗1 − ξ1∂2ξ

∗2

+ iη∗1∂3η1 − iη∗2∂3η2 − iξ2∂3ξ∗2 + iξ1∂3ξ

∗1


∗1

+ iη∗1∂1η2 + iη∗2∂1η1 − iξ2∂1ξ∗1 − iξ1∂1ξ

∗2 (A.30)

+ η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1 − ξ2∂2ξ∗1 + ξ1∂2ξ

∗2

+ iη∗1∂3η1 − iη∗2∂3η2 + iξ2∂3ξ∗2 − iξ1∂3ξ

∗1 .


2

iw3 = (A.31)

ξ1∂0ξ∗1 + ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 − ξ∗1∂0ξ1 − ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2

+ ξ1∂1ξ∗2 + ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 − ξ∗1∂1ξ2 − ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1

− i(−ξ1∂2ξ∗2 + ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 − ξ∗1∂2ξ2 + ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

+ ξ1∂3ξ∗1 − ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 − ξ∗1∂3ξ1 + ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2


1


†] = w3 (A.32)


−Tµλ =

1


†] (A.33)



w3 = −Tµµ − V 0

w3 + V 0 = −tr(T ) (A.34)


−2v3 = ∂0(ξ1ξ∗1 + ξ2ξ

∗2 − η1η

∗1 − η2η

∗2) (A.35)

+ ∂1(ξ1ξ∗2 + ξ2ξ

∗1 + η1η

∗2 + η2η

∗1)

+ ∂2i(ξ1ξ∗2 − ξ2ξ

∗1 + η1η

∗2 − η2η

∗1)

+ ∂3(ξ1ξ∗1 − ξ2ξ

∗2 + η1η

∗1 − η2η

∗2)

= ∂µDµ3 = ∇ ·D3 (A.36)

128Now the imaginary part of (A.30) gives

2v0 = ∂0(ξ1ξ∗1 + ξ2ξ

∗2 + η1η

∗1 + η2η

∗2) (A.37)

+ ∂1(ξ1ξ∗2 + ξ2ξ

∗1 − η1η

∗2 − η2η

∗1)

+ ∂2i(ξ1ξ∗2 − ξ2ξ

∗1 − η1η

∗2 + η2η

∗1)

+ ∂3(ξ1ξ∗1 − ξ2ξ

∗2 − η1η

∗1 + η2η

∗2)

= ∂µDµ0 = ∇ ·D0 (A.38)


qAνDνµσ

µ = φqAφ = V = V µσµ

= V 0 − V 1σ1 − V 2σ2 − V 3σ3 (A.39)

V j = −qAνDνj = −qA ·Dj ; j = 1, 2, 3. (A.40)

The real part of (A.30) gives with (2.95)

2

iw0 = 2iV 3 =

2

iqA ·D3 = (A.41)

− ξ1∂0ξ∗1 − ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 + ξ∗1∂0ξ1 + ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2

− ξ1∂1ξ∗2 − ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 + ξ∗1∂1ξ2 + ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1

− i(ξ1∂2ξ∗2 − ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 + ξ∗1∂2ξ2 − ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

− ξ1∂3ξ∗1 + ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 + ξ∗1∂3ξ1 − ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2

Now adding and subtracting (A.27) and (A.28) we get

v2 + iw2 =iξ2∂0η1 − iξ1∂0η2 − iη∗1∂0ξ∗2 + iη∗2∂0ξ

∗1

− iξ2∂1η2 + iξ1∂1η1 − iη∗1∂1ξ∗1 + iη∗2∂1ξ

∗2 (A.42)

− ξ2∂2η2 − ξ1∂2η1 − η∗1∂2ξ∗1 − η∗2∂2ξ

∗2

− iξ2∂3η1 − iξ1∂3η2 + iη∗1∂3ξ∗2 + iη∗2∂3ξ

∗1

w1 − iv1 =iξ2∂0η1 − iξ1∂0η2 + iη∗1∂0ξ∗2 − iη∗2∂0ξ

∗1

− iξ2∂1η2 + iξ1∂1η1 + iη∗1∂1ξ∗1 − iη∗2∂1ξ

∗2 (A.43)

− ξ2∂2η2 − ξ1∂2η1 + η∗1∂2ξ∗1 + η∗2∂2ξ

∗2

− iξ2∂3η1 − iξ1∂3η2 − iη∗1∂3ξ∗2 − iη∗2∂3ξ

∗1 .

The real part of (A.42) gives

2v2 = ∂0i(−ξ1η2 + ξ2η1 + ξ∗1η∗2 − ξ∗2η

∗1) (A.44)

+ ∂1i(ξ1η1 − ξ2η2 − ξ∗1η∗1 + ξ∗2η

∗2)

+ ∂2(−ξ1η1 − ξ2η2 − ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂3i(−ξ1η2 − ξ2η1 + ξ∗1η∗2 + ξ∗2η

∗1)

= −∂µDµ2 = −∇ ·D2 (A.45)

129


2v0 = ∂0(ξ1ξ∗1 + ξ2ξ

∗2 + η1η

∗1 + η2η

∗2) (A.37)

+ ∂1(ξ1ξ∗2 + ξ2ξ

∗1 − η1η

∗2 − η2η

∗1)

+ ∂2i(ξ1ξ∗2 − ξ2ξ

∗1 − η1η

∗2 + η2η

∗1)

+ ∂3(ξ1ξ∗1 − ξ2ξ

∗2 − η1η

∗1 + η2η

∗2)

= ∂µDµ0 = ∇ ·D0 (A.38)


qAνDνµσ


= V 0 − V 1σ1 − V 2σ2 − V 3σ3 (A.39)

V j = −qAνDνj = −qA ·Dj ; j = 1, 2, 3. (A.40)


2

iw0 = 2iV 3 =

2

iqA ·D3 = (A.41)

− ξ1∂0ξ∗1 − ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 + ξ∗1∂0ξ1 + ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2

− ξ1∂1ξ∗2 − ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 + ξ∗1∂1ξ2 + ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1

− i(ξ1∂2ξ∗2 − ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 + ξ∗1∂2ξ2 − ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

− ξ1∂3ξ∗1 + ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 + ξ∗1∂3ξ1 − ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2



∗1

− iξ2∂1η2 + iξ1∂1η1 − iη∗1∂1ξ∗1 + iη∗2∂1ξ

∗2 (A.42)

− ξ2∂2η2 − ξ1∂2η1 − η∗1∂2ξ∗1 − η∗2∂2ξ

∗2

− iξ2∂3η1 − iξ1∂3η2 + iη∗1∂3ξ∗2 + iη∗2∂3ξ

∗1


∗1

− iξ2∂1η2 + iξ1∂1η1 + iη∗1∂1ξ∗1 − iη∗2∂1ξ

∗2 (A.43)

− ξ2∂2η2 − ξ1∂2η1 + η∗1∂2ξ∗1 + η∗2∂2ξ

∗2

− iξ2∂3η1 − iξ1∂3η2 − iη∗1∂3ξ∗2 − iη∗2∂3ξ

∗1 .


2v2 = ∂0i(−ξ1η2 + ξ2η1 + ξ∗1η∗2 − ξ∗2η

∗1) (A.44)

+ ∂1i(ξ1η1 − ξ2η2 − ξ∗1η∗1 + ξ∗2η

∗2)

+ ∂2(−ξ1η1 − ξ2η2 − ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂3i(−ξ1η2 − ξ2η1 + ξ∗1η∗2 + ξ∗2η

∗1)

= −∂µDµ2 = −∇ ·D2 (A.45)

129

(A.34)





2v0 = ∂0(ξ1ξ∗1 + ξ2ξ

∗2 + η1η

∗1 + η2η

∗2) (A.37)

+ ∂1(ξ1ξ∗2 + ξ2ξ

∗1 − η1η

∗2 − η2η

∗1)

+ ∂2i(ξ1ξ∗2 − ξ2ξ

∗1 − η1η

∗2 + η2η

∗1)

+ ∂3(ξ1ξ∗1 − ξ2ξ

∗2 − η1η

∗1 + η2η

∗2)

= ∂µDµ0 = ∇ ·D0 (A.38)


qAνDνµσ


= V 0 − V 1σ1 − V 2σ2 − V 3σ3 (A.39)

V j = −qAνDνj = −qA ·Dj ; j = 1, 2, 3. (A.40)


2

iw0 = 2iV 3 =

2

iqA ·D3 = (A.41)

− ξ1∂0ξ∗1 − ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 + ξ∗1∂0ξ1 + ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2

− ξ1∂1ξ∗2 − ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 + ξ∗1∂1ξ2 + ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1

− i(ξ1∂2ξ∗2 − ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 + ξ∗1∂2ξ2 − ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

− ξ1∂3ξ∗1 + ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 + ξ∗1∂3ξ1 − ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2



∗1

− iξ2∂1η2 + iξ1∂1η1 − iη∗1∂1ξ∗1 + iη∗2∂1ξ

∗2 (A.42)

− ξ2∂2η2 − ξ1∂2η1 − η∗1∂2ξ∗1 − η∗2∂2ξ

∗2

− iξ2∂3η1 − iξ1∂3η2 + iη∗1∂3ξ∗2 + iη∗2∂3ξ

∗1


∗1

− iξ2∂1η2 + iξ1∂1η1 + iη∗1∂1ξ∗1 − iη∗2∂1ξ

∗2 (A.43)

− ξ2∂2η2 − ξ1∂2η1 + η∗1∂2ξ∗1 + η∗2∂2ξ

∗2

− iξ2∂3η1 − iξ1∂3η2 − iη∗1∂3ξ∗2 − iη∗2∂3ξ

∗1 .


2v2 = ∂0i(−ξ1η2 + ξ2η1 + ξ∗1η∗2 − ξ∗2η

∗1) (A.44)

+ ∂1i(ξ1η1 − ξ2η2 − ξ∗1η∗1 + ξ∗2η

∗2)

+ ∂2(−ξ1η1 − ξ2η2 − ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂3i(−ξ1η2 − ξ2η1 + ξ∗1η∗2 + ξ∗2η

∗1)

= −∂µDµ2 = −∇ ·D2 (A.45)

129

(A.42)


2v0 = ∂0(ξ1ξ∗1 + ξ2ξ

∗2 + η1η

∗1 + η2η

∗2) (A.37)

+ ∂1(ξ1ξ∗2 + ξ2ξ

∗1 − η1η

∗2 − η2η

∗1)

+ ∂2i(ξ1ξ∗2 − ξ2ξ

∗1 − η1η

∗2 + η2η

∗1)

+ ∂3(ξ1ξ∗1 − ξ2ξ

∗2 − η1η

∗1 + η2η

∗2)

= ∂µDµ0 = ∇ ·D0 (A.38)


qAνDνµσ


= V 0 − V 1σ1 − V 2σ2 − V 3σ3 (A.39)

V j = −qAνDνj = −qA ·Dj ; j = 1, 2, 3. (A.40)


2

iw0 = 2iV 3 =

2

iqA ·D3 = (A.41)

− ξ1∂0ξ∗1 − ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 + ξ∗1∂0ξ1 + ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2

− ξ1∂1ξ∗2 − ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 + ξ∗1∂1ξ2 + ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1

− i(ξ1∂2ξ∗2 − ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 + ξ∗1∂2ξ2 − ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

− ξ1∂3ξ∗1 + ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 + ξ∗1∂3ξ1 − ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2



∗1

− iξ2∂1η2 + iξ1∂1η1 − iη∗1∂1ξ∗1 + iη∗2∂1ξ

∗2 (A.42)

− ξ2∂2η2 − ξ1∂2η1 − η∗1∂2ξ∗1 − η∗2∂2ξ

∗2

− iξ2∂3η1 − iξ1∂3η2 + iη∗1∂3ξ∗2 + iη∗2∂3ξ

∗1


∗1

− iξ2∂1η2 + iξ1∂1η1 + iη∗1∂1ξ∗1 − iη∗2∂1ξ

∗2 (A.43)

− ξ2∂2η2 − ξ1∂2η1 + η∗1∂2ξ∗1 + η∗2∂2ξ

∗2

− iξ2∂3η1 − iξ1∂3η2 − iη∗1∂3ξ∗2 − iη∗2∂3ξ

∗1 .


2v2 = ∂0i(−ξ1η2 + ξ2η1 + ξ∗1η∗2 − ξ∗2η

∗1) (A.44)

+ ∂1i(ξ1η1 − ξ2η2 − ξ∗1η∗1 + ξ∗2η

∗2)

+ ∂2(−ξ1η1 − ξ2η2 − ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂3i(−ξ1η2 − ξ2η1 + ξ∗1η∗2 + ξ∗2η

∗1)

= −∂µDµ2 = −∇ ·D2 (A.45)

129

(A.43)


(A.44)

(A.45)

which gives, with (2.93)which gives, with (2.93)

∇ ·D2 = −2v2 = 2V 1 (A.46)

and we get with (A.40)

∇ ·D2 + 2qA ·D1 = 0 (A.47)

which is (2.104). The imaginary part of (A.42) gives with (2.97)

2w2 = 0 = (A.48)

− ξ1∂0η2 + ξ2∂0η1 − η1∂0ξ2 − η2∂0ξ1 − ξ∗1∂0η∗2 + ξ∗2∂0η

∗1 − η∗1∂0ξ

∗2 + η∗2∂0ξ

∗1

+ ξ1∂1η1 − ξ2∂1η2 − η1∂1ξ1 + η2∂1ξ2 + ξ∗1∂1η∗1 − ξ∗2∂1η

∗2 − η∗1∂1ξ

∗1 + η∗2∂1ξ

∗2

+ i(ξ1∂2η1 + ξ2∂2η2 − η1∂2ξ1 − η2∂2ξ2 − ξ∗1∂2η∗1 − ξ∗2∂2η

∗2 + η∗1∂2ξ

∗1 + η∗2∂2ξ

∗2)

− ξ1∂3η2 − ξ2∂3η1 + η1∂3ξ2 − η2∂3ξ1 − ξ∗1∂3η∗2 − ξ∗2∂3η

∗1 + η∗1∂3ξ

∗2 + η∗2∂3ξ

∗1 .


2w1 = 0 = (A.49)

i(−ξ1∂0η2 + ξ2∂0η1 − η1∂0ξ2 + η2∂0ξ1 + ξ∗1∂0η∗2 − ξ∗2∂0η

∗1 + η∗1∂0ξ

∗2 − η∗2∂0ξ

∗1)

+ i(ξ1∂1η1 − ξ2∂1η2 − η1∂1ξ1 + η2∂1ξ2 − ξ∗1∂1η∗1 + ξ∗2∂1η

∗2 + η∗1∂1ξ

∗1 − η∗2∂1ξ

∗2)

− ξ1∂2η1 − ξ2∂2η2 + η1∂2ξ1 + η2∂2ξ2 − ξ∗1∂2η∗1 − ξ∗2∂2η

∗2 + η∗1∂2ξ

∗1 + η∗2∂2ξ

∗2

+ i(−ξ1∂3η2 − ξ2∂3η1 + η1∂3ξ2 + η2∂3ξ1 + ξ∗1∂3η∗2 + ξ∗2∂3η

∗1 − η∗1∂3ξ

∗2 − η∗2∂3ξ

∗1)

The imaginary part of (A.43) gives

−2v1 = ∂0(−ξ1η2 + ξ2η1 − ξ∗1η∗2 + ξ∗2η

∗1) (A.50)

+ ∂1(ξ1η1 − ξ2η2 + ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂2i(ξ1η1 + ξ2η2 − ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂3(−ξ1η2 − ξ2η1 − ξ∗1η∗2 − ξ∗2η

∗1)

= ∂µDµ1 = ∇ ·D1 (A.51)

which gives, with (2.94)

∇ ·D1 = −2v1 = −2V 2 (A.52)


∇ ·D1 − 2qA ·D2 = 0 (A.53)

which is (2.103).

130

(A.46)



∇ ·D2 = −2v2 = 2V 1 (A.46)


∇ ·D2 + 2qA ·D1 = 0 (A.47)


2w2 = 0 = (A.48)

− ξ1∂0η2 + ξ2∂0η1 − η1∂0ξ2 − η2∂0ξ1 − ξ∗1∂0η∗2 + ξ∗2∂0η

∗1 − η∗1∂0ξ

∗2 + η∗2∂0ξ

∗1

+ ξ1∂1η1 − ξ2∂1η2 − η1∂1ξ1 + η2∂1ξ2 + ξ∗1∂1η∗1 − ξ∗2∂1η

∗2 − η∗1∂1ξ

∗1 + η∗2∂1ξ

∗2

+ i(ξ1∂2η1 + ξ2∂2η2 − η1∂2ξ1 − η2∂2ξ2 − ξ∗1∂2η∗1 − ξ∗2∂2η

∗2 + η∗1∂2ξ

∗1 + η∗2∂2ξ

∗2)

− ξ1∂3η2 − ξ2∂3η1 + η1∂3ξ2 − η2∂3ξ1 − ξ∗1∂3η∗2 − ξ∗2∂3η

∗1 + η∗1∂3ξ

∗2 + η∗2∂3ξ

∗1 .


2w1 = 0 = (A.49)

i(−ξ1∂0η2 + ξ2∂0η1 − η1∂0ξ2 + η2∂0ξ1 + ξ∗1∂0η∗2 − ξ∗2∂0η

∗1 + η∗1∂0ξ

∗2 − η∗2∂0ξ

∗1)

+ i(ξ1∂1η1 − ξ2∂1η2 − η1∂1ξ1 + η2∂1ξ2 − ξ∗1∂1η∗1 + ξ∗2∂1η

∗2 + η∗1∂1ξ

∗1 − η∗2∂1ξ

∗2)

− ξ1∂2η1 − ξ2∂2η2 + η1∂2ξ1 + η2∂2ξ2 − ξ∗1∂2η∗1 − ξ∗2∂2η

∗2 + η∗1∂2ξ

∗1 + η∗2∂2ξ

∗2

+ i(−ξ1∂3η2 − ξ2∂3η1 + η1∂3ξ2 + η2∂3ξ1 + ξ∗1∂3η∗2 + ξ∗2∂3η

∗1 − η∗1∂3ξ

∗2 − η∗2∂3ξ

∗1)


−2v1 = ∂0(−ξ1η2 + ξ2η1 − ξ∗1η∗2 + ξ∗2η

∗1) (A.50)

+ ∂1(ξ1η1 − ξ2η2 + ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂2i(ξ1η1 + ξ2η2 − ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂3(−ξ1η2 − ξ2η1 − ξ∗1η∗2 − ξ∗2η

∗1)

= ∂µDµ1 = ∇ ·D1 (A.51)


∇ ·D1 = −2v1 = −2V 2 (A.52)


∇ ·D1 − 2qA ·D2 = 0 (A.53)

which is (2.103).

130

(A.47)




2v0 = ∂0(ξ1ξ∗1 + ξ2ξ

∗2 + η1η

∗1 + η2η

∗2) (A.37)

+ ∂1(ξ1ξ∗2 + ξ2ξ

∗1 − η1η

∗2 − η2η

∗1)

+ ∂2i(ξ1ξ∗2 − ξ2ξ

∗1 − η1η

∗2 + η2η

∗1)

+ ∂3(ξ1ξ∗1 − ξ2ξ

∗2 − η1η

∗1 + η2η

∗2)

= ∂µDµ0 = ∇ ·D0 (A.38)


qAνDνµσ


= V 0 − V 1σ1 − V 2σ2 − V 3σ3 (A.39)

V j = −qAνDνj = −qA ·Dj ; j = 1, 2, 3. (A.40)


2

iw0 = 2iV 3 =

2

iqA ·D3 = (A.41)

− ξ1∂0ξ∗1 − ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 + ξ∗1∂0ξ1 + ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2

− ξ1∂1ξ∗2 − ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 + ξ∗1∂1ξ2 + ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1

− i(ξ1∂2ξ∗2 − ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 + ξ∗1∂2ξ2 − ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

− ξ1∂3ξ∗1 + ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 + ξ∗1∂3ξ1 − ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2



∗1

− iξ2∂1η2 + iξ1∂1η1 − iη∗1∂1ξ∗1 + iη∗2∂1ξ

∗2 (A.42)

− ξ2∂2η2 − ξ1∂2η1 − η∗1∂2ξ∗1 − η∗2∂2ξ

∗2

− iξ2∂3η1 − iξ1∂3η2 + iη∗1∂3ξ∗2 + iη∗2∂3ξ

∗1


∗1

− iξ2∂1η2 + iξ1∂1η1 + iη∗1∂1ξ∗1 − iη∗2∂1ξ

∗2 (A.43)

− ξ2∂2η2 − ξ1∂2η1 + η∗1∂2ξ∗1 + η∗2∂2ξ

∗2

− iξ2∂3η1 − iξ1∂3η2 − iη∗1∂3ξ∗2 − iη∗2∂3ξ

∗1 .


2v2 = ∂0i(−ξ1η2 + ξ2η1 + ξ∗1η∗2 − ξ∗2η

∗1) (A.44)

+ ∂1i(ξ1η1 − ξ2η2 − ξ∗1η∗1 + ξ∗2η

∗2)

+ ∂2(−ξ1η1 − ξ2η2 − ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂3i(−ξ1η2 − ξ2η1 + ξ∗1η∗2 + ξ∗2η

∗1)

= −∂µDµ2 = −∇ ·D2 (A.45)

129

(A.41)


2v0 = ∂0(ξ1ξ∗1 + ξ2ξ

∗2 + η1η

∗1 + η2η

∗2) (A.37)

+ ∂1(ξ1ξ∗2 + ξ2ξ

∗1 − η1η

∗2 − η2η

∗1)

+ ∂2i(ξ1ξ∗2 − ξ2ξ

∗1 − η1η

∗2 + η2η

∗1)

+ ∂3(ξ1ξ∗1 − ξ2ξ

∗2 − η1η

∗1 + η2η

∗2)

= ∂µDµ0 = ∇ ·D0 (A.38)


qAνDνµσ


= V 0 − V 1σ1 − V 2σ2 − V 3σ3 (A.39)

V j = −qAνDνj = −qA ·Dj ; j = 1, 2, 3. (A.40)


2

iw0 = 2iV 3 =

2

iqA ·D3 = (A.41)

− ξ1∂0ξ∗1 − ξ2∂0ξ

∗2 + η1∂0η

∗1 + η2∂0η

∗2 + ξ∗1∂0ξ1 + ξ∗2∂0ξ2 − η∗1∂0η1 − η∗2∂0η2

− ξ1∂1ξ∗2 − ξ2∂1ξ

∗1 − η1∂1η

∗2 − η2∂1η

∗1 + ξ∗1∂1ξ2 + ξ∗2∂1ξ1 + η∗1∂1η2 + η∗2∂1η1

− i(ξ1∂2ξ∗2 − ξ2∂2ξ

∗1 + η1∂2η

∗2 − η2∂2η

∗1 + ξ∗1∂2ξ2 − ξ∗2∂2ξ1 + η∗1∂2η2 − η∗2∂2η1)

− ξ1∂3ξ∗1 + ξ2∂3ξ

∗2 − η1∂3η

∗1 + η2∂3η

∗2 + ξ∗1∂3ξ1 − ξ∗2∂3ξ2 + η∗1∂3η1 − η∗2∂3η2



∗1

− iξ2∂1η2 + iξ1∂1η1 − iη∗1∂1ξ∗1 + iη∗2∂1ξ

∗2 (A.42)

− ξ2∂2η2 − ξ1∂2η1 − η∗1∂2ξ∗1 − η∗2∂2ξ

∗2

− iξ2∂3η1 − iξ1∂3η2 + iη∗1∂3ξ∗2 + iη∗2∂3ξ

∗1


∗1

− iξ2∂1η2 + iξ1∂1η1 + iη∗1∂1ξ∗1 − iη∗2∂1ξ

∗2 (A.43)

− ξ2∂2η2 − ξ1∂2η1 + η∗1∂2ξ∗1 + η∗2∂2ξ

∗2

− iξ2∂3η1 − iξ1∂3η2 − iη∗1∂3ξ∗2 − iη∗2∂3ξ

∗1 .


2v2 = ∂0i(−ξ1η2 + ξ2η1 + ξ∗1η∗2 − ξ∗2η

∗1) (A.44)

+ ∂1i(ξ1η1 − ξ2η2 − ξ∗1η∗1 + ξ∗2η

∗2)

+ ∂2(−ξ1η1 − ξ2η2 − ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂3i(−ξ1η2 − ξ2η1 + ξ∗1η∗2 + ξ∗2η

∗1)

= −∂µDµ2 = −∇ ·D2 (A.45)

129which gives, with (2.93)

∇ ·D2 = −2v2 = 2V 1 (A.46)


∇ ·D2 + 2qA ·D1 = 0 (A.47)


2w2 = 0 = (A.48)

− ξ1∂0η2 + ξ2∂0η1 − η1∂0ξ2 − η2∂0ξ1 − ξ∗1∂0η∗2 + ξ∗2∂0η

∗1 − η∗1∂0ξ

∗2 + η∗2∂0ξ

∗1

+ ξ1∂1η1 − ξ2∂1η2 − η1∂1ξ1 + η2∂1ξ2 + ξ∗1∂1η∗1 − ξ∗2∂1η

∗2 − η∗1∂1ξ

∗1 + η∗2∂1ξ

∗2

+ i(ξ1∂2η1 + ξ2∂2η2 − η1∂2ξ1 − η2∂2ξ2 − ξ∗1∂2η∗1 − ξ∗2∂2η

∗2 + η∗1∂2ξ

∗1 + η∗2∂2ξ

∗2)

− ξ1∂3η2 − ξ2∂3η1 + η1∂3ξ2 − η2∂3ξ1 − ξ∗1∂3η∗2 − ξ∗2∂3η

∗1 + η∗1∂3ξ

∗2 + η∗2∂3ξ

∗1 .


2w1 = 0 = (A.49)

i(−ξ1∂0η2 + ξ2∂0η1 − η1∂0ξ2 + η2∂0ξ1 + ξ∗1∂0η∗2 − ξ∗2∂0η

∗1 + η∗1∂0ξ

∗2 − η∗2∂0ξ

∗1)

+ i(ξ1∂1η1 − ξ2∂1η2 − η1∂1ξ1 + η2∂1ξ2 − ξ∗1∂1η∗1 + ξ∗2∂1η

∗2 + η∗1∂1ξ

∗1 − η∗2∂1ξ

∗2)

− ξ1∂2η1 − ξ2∂2η2 + η1∂2ξ1 + η2∂2ξ2 − ξ∗1∂2η∗1 − ξ∗2∂2η

∗2 + η∗1∂2ξ

∗1 + η∗2∂2ξ

∗2

+ i(−ξ1∂3η2 − ξ2∂3η1 + η1∂3ξ2 + η2∂3ξ1 + ξ∗1∂3η∗2 + ξ∗2∂3η

∗1 − η∗1∂3ξ

∗2 − η∗2∂3ξ

∗1)


−2v1 = ∂0(−ξ1η2 + ξ2η1 − ξ∗1η∗2 + ξ∗2η

∗1) (A.50)

+ ∂1(ξ1η1 − ξ2η2 + ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂2i(ξ1η1 + ξ2η2 − ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂3(−ξ1η2 − ξ2η1 − ξ∗1η∗2 − ξ∗2η

∗1)

= ∂µDµ1 = ∇ ·D1 (A.51)


∇ ·D1 = −2v1 = −2V 2 (A.52)


∇ ·D1 − 2qA ·D2 = 0 (A.53)

which is (2.103).

130

(A.48)



∇ ·D2 = −2v2 = 2V 1 (A.46)


∇ ·D2 + 2qA ·D1 = 0 (A.47)


2w2 = 0 = (A.48)

− ξ1∂0η2 + ξ2∂0η1 − η1∂0ξ2 − η2∂0ξ1 − ξ∗1∂0η∗2 + ξ∗2∂0η

∗1 − η∗1∂0ξ

∗2 + η∗2∂0ξ

∗1

+ ξ1∂1η1 − ξ2∂1η2 − η1∂1ξ1 + η2∂1ξ2 + ξ∗1∂1η∗1 − ξ∗2∂1η

∗2 − η∗1∂1ξ

∗1 + η∗2∂1ξ

∗2

+ i(ξ1∂2η1 + ξ2∂2η2 − η1∂2ξ1 − η2∂2ξ2 − ξ∗1∂2η∗1 − ξ∗2∂2η

∗2 + η∗1∂2ξ

∗1 + η∗2∂2ξ

∗2)

− ξ1∂3η2 − ξ2∂3η1 + η1∂3ξ2 − η2∂3ξ1 − ξ∗1∂3η∗2 − ξ∗2∂3η

∗1 + η∗1∂3ξ

∗2 + η∗2∂3ξ

∗1 .


2w1 = 0 = (A.49)

i(−ξ1∂0η2 + ξ2∂0η1 − η1∂0ξ2 + η2∂0ξ1 + ξ∗1∂0η∗2 − ξ∗2∂0η

∗1 + η∗1∂0ξ

∗2 − η∗2∂0ξ

∗1)

+ i(ξ1∂1η1 − ξ2∂1η2 − η1∂1ξ1 + η2∂1ξ2 − ξ∗1∂1η∗1 + ξ∗2∂1η

∗2 + η∗1∂1ξ

∗1 − η∗2∂1ξ

∗2)

− ξ1∂2η1 − ξ2∂2η2 + η1∂2ξ1 + η2∂2ξ2 − ξ∗1∂2η∗1 − ξ∗2∂2η

∗2 + η∗1∂2ξ

∗1 + η∗2∂2ξ

∗2

+ i(−ξ1∂3η2 − ξ2∂3η1 + η1∂3ξ2 + η2∂3ξ1 + ξ∗1∂3η∗2 + ξ∗2∂3η

∗1 − η∗1∂3ξ

∗2 − η∗2∂3ξ

∗1)


−2v1 = ∂0(−ξ1η2 + ξ2η1 − ξ∗1η∗2 + ξ∗2η

∗1) (A.50)

+ ∂1(ξ1η1 − ξ2η2 + ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂2i(ξ1η1 + ξ2η2 − ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂3(−ξ1η2 − ξ2η1 − ξ∗1η∗2 − ξ∗2η

∗1)

= ∂µDµ1 = ∇ ·D1 (A.51)


∇ ·D1 = −2v1 = −2V 2 (A.52)


∇ ·D1 − 2qA ·D2 = 0 (A.53)

which is (2.103).

130

(A.49)


(A.50)

(A.51)



∇ ·D2 = −2v2 = 2V 1 (A.46)


∇ ·D2 + 2qA ·D1 = 0 (A.47)


2w2 = 0 = (A.48)

− ξ1∂0η2 + ξ2∂0η1 − η1∂0ξ2 − η2∂0ξ1 − ξ∗1∂0η∗2 + ξ∗2∂0η

∗1 − η∗1∂0ξ

∗2 + η∗2∂0ξ

∗1

+ ξ1∂1η1 − ξ2∂1η2 − η1∂1ξ1 + η2∂1ξ2 + ξ∗1∂1η∗1 − ξ∗2∂1η

∗2 − η∗1∂1ξ

∗1 + η∗2∂1ξ

∗2

+ i(ξ1∂2η1 + ξ2∂2η2 − η1∂2ξ1 − η2∂2ξ2 − ξ∗1∂2η∗1 − ξ∗2∂2η

∗2 + η∗1∂2ξ

∗1 + η∗2∂2ξ

∗2)

− ξ1∂3η2 − ξ2∂3η1 + η1∂3ξ2 − η2∂3ξ1 − ξ∗1∂3η∗2 − ξ∗2∂3η

∗1 + η∗1∂3ξ

∗2 + η∗2∂3ξ

∗1 .


2w1 = 0 = (A.49)

i(−ξ1∂0η2 + ξ2∂0η1 − η1∂0ξ2 + η2∂0ξ1 + ξ∗1∂0η∗2 − ξ∗2∂0η

∗1 + η∗1∂0ξ

∗2 − η∗2∂0ξ

∗1)

+ i(ξ1∂1η1 − ξ2∂1η2 − η1∂1ξ1 + η2∂1ξ2 − ξ∗1∂1η∗1 + ξ∗2∂1η

∗2 + η∗1∂1ξ

∗1 − η∗2∂1ξ

∗2)

− ξ1∂2η1 − ξ2∂2η2 + η1∂2ξ1 + η2∂2ξ2 − ξ∗1∂2η∗1 − ξ∗2∂2η

∗2 + η∗1∂2ξ

∗1 + η∗2∂2ξ

∗2

+ i(−ξ1∂3η2 − ξ2∂3η1 + η1∂3ξ2 + η2∂3ξ1 + ξ∗1∂3η∗2 + ξ∗2∂3η

∗1 − η∗1∂3ξ

∗2 − η∗2∂3ξ

∗1)


−2v1 = ∂0(−ξ1η2 + ξ2η1 − ξ∗1η∗2 + ξ∗2η

∗1) (A.50)

+ ∂1(ξ1η1 − ξ2η2 + ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂2i(ξ1η1 + ξ2η2 − ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂3(−ξ1η2 − ξ2η1 − ξ∗1η∗2 − ξ∗2η

∗1)

= ∂µDµ1 = ∇ ·D1 (A.51)


∇ ·D1 = −2v1 = −2V 2 (A.52)


∇ ·D1 − 2qA ·D2 = 0 (A.53)

which is (2.103).

130

(A.52)



∇ ·D2 = −2v2 = 2V 1 (A.46)


∇ ·D2 + 2qA ·D1 = 0 (A.47)


2w2 = 0 = (A.48)

− ξ1∂0η2 + ξ2∂0η1 − η1∂0ξ2 − η2∂0ξ1 − ξ∗1∂0η∗2 + ξ∗2∂0η

∗1 − η∗1∂0ξ

∗2 + η∗2∂0ξ

∗1

+ ξ1∂1η1 − ξ2∂1η2 − η1∂1ξ1 + η2∂1ξ2 + ξ∗1∂1η∗1 − ξ∗2∂1η

∗2 − η∗1∂1ξ

∗1 + η∗2∂1ξ

∗2

+ i(ξ1∂2η1 + ξ2∂2η2 − η1∂2ξ1 − η2∂2ξ2 − ξ∗1∂2η∗1 − ξ∗2∂2η

∗2 + η∗1∂2ξ

∗1 + η∗2∂2ξ

∗2)

− ξ1∂3η2 − ξ2∂3η1 + η1∂3ξ2 − η2∂3ξ1 − ξ∗1∂3η∗2 − ξ∗2∂3η

∗1 + η∗1∂3ξ

∗2 + η∗2∂3ξ

∗1 .


2w1 = 0 = (A.49)

i(−ξ1∂0η2 + ξ2∂0η1 − η1∂0ξ2 + η2∂0ξ1 + ξ∗1∂0η∗2 − ξ∗2∂0η

∗1 + η∗1∂0ξ

∗2 − η∗2∂0ξ

∗1)

+ i(ξ1∂1η1 − ξ2∂1η2 − η1∂1ξ1 + η2∂1ξ2 − ξ∗1∂1η∗1 + ξ∗2∂1η

∗2 + η∗1∂1ξ

∗1 − η∗2∂1ξ

∗2)

− ξ1∂2η1 − ξ2∂2η2 + η1∂2ξ1 + η2∂2ξ2 − ξ∗1∂2η∗1 − ξ∗2∂2η

∗2 + η∗1∂2ξ

∗1 + η∗2∂2ξ

∗2

+ i(−ξ1∂3η2 − ξ2∂3η1 + η1∂3ξ2 + η2∂3ξ1 + ξ∗1∂3η∗2 + ξ∗2∂3η

∗1 − η∗1∂3ξ

∗2 − η∗2∂3ξ

∗1)


−2v1 = ∂0(−ξ1η2 + ξ2η1 − ξ∗1η∗2 + ξ∗2η

∗1) (A.50)

+ ∂1(ξ1η1 − ξ2η2 + ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂2i(ξ1η1 + ξ2η2 − ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂3(−ξ1η2 − ξ2η1 − ξ∗1η∗2 − ξ∗2η

∗1)

= ∂µDµ1 = ∇ ·D1 (A.51)


∇ ·D1 = −2v1 = −2V 2 (A.52)


∇ ·D1 − 2qA ·D2 = 0 (A.53)

which is (2.103).

130

(A.53)

which is (2.103).


∇ ·D2 = −2v2 = 2V 1 (A.46)


∇ ·D2 + 2qA ·D1 = 0 (A.47)


2w2 = 0 = (A.48)

− ξ1∂0η2 + ξ2∂0η1 − η1∂0ξ2 − η2∂0ξ1 − ξ∗1∂0η∗2 + ξ∗2∂0η

∗1 − η∗1∂0ξ

∗2 + η∗2∂0ξ

∗1

+ ξ1∂1η1 − ξ2∂1η2 − η1∂1ξ1 + η2∂1ξ2 + ξ∗1∂1η∗1 − ξ∗2∂1η

∗2 − η∗1∂1ξ

∗1 + η∗2∂1ξ

∗2

+ i(ξ1∂2η1 + ξ2∂2η2 − η1∂2ξ1 − η2∂2ξ2 − ξ∗1∂2η∗1 − ξ∗2∂2η

∗2 + η∗1∂2ξ

∗1 + η∗2∂2ξ

∗2)

− ξ1∂3η2 − ξ2∂3η1 + η1∂3ξ2 − η2∂3ξ1 − ξ∗1∂3η∗2 − ξ∗2∂3η

∗1 + η∗1∂3ξ

∗2 + η∗2∂3ξ

∗1 .


2w1 = 0 = (A.49)

i(−ξ1∂0η2 + ξ2∂0η1 − η1∂0ξ2 + η2∂0ξ1 + ξ∗1∂0η∗2 − ξ∗2∂0η

∗1 + η∗1∂0ξ

∗2 − η∗2∂0ξ

∗1)

+ i(ξ1∂1η1 − ξ2∂1η2 − η1∂1ξ1 + η2∂1ξ2 − ξ∗1∂1η∗1 + ξ∗2∂1η

∗2 + η∗1∂1ξ

∗1 − η∗2∂1ξ

∗2)

− ξ1∂2η1 − ξ2∂2η2 + η1∂2ξ1 + η2∂2ξ2 − ξ∗1∂2η∗1 − ξ∗2∂2η

∗2 + η∗1∂2ξ

∗1 + η∗2∂2ξ

∗2

+ i(−ξ1∂3η2 − ξ2∂3η1 + η1∂3ξ2 + η2∂3ξ1 + ξ∗1∂3η∗2 + ξ∗2∂3η

∗1 − η∗1∂3ξ

∗2 − η∗2∂3ξ

∗1)


−2v1 = ∂0(−ξ1η2 + ξ2η1 − ξ∗1η∗2 + ξ∗2η

∗1) (A.50)

+ ∂1(ξ1η1 − ξ2η2 + ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂2i(ξ1η1 + ξ2η2 − ξ∗1η∗1 − ξ∗2η

∗2)

+ ∂3(−ξ1η2 − ξ2η1 − ξ∗1η∗2 − ξ∗2η

∗1)

= ∂µDµ1 = ∇ ·D1 (A.51)


∇ ·D1 = −2v1 = −2V 2 (A.52)


∇ ·D1 − 2qA ·D2 = 0 (A.53)

which is (2.103).

130



A.2 Calculation of the reverse in Cl5,1

Here, as in 1.5, indexes µ, ν, ρ . . . have value 0, 1, 2, 3 and indexes a, b, c, d, e have value 0, 1, 2, 3, 4, 5. We get57


Here, as in 1.5, indexes µ, ν, ρ . . . have value 0, 1, 2, 3 and indexes a, b, c, d, e havevalue 0, 1, 2, 3, 4, 5. We get57

Λµν = ΛµΛν =

(0 −γµγµ 0

)(0 −γνγν 0

)=

(−γµν 00 −γµν

)(A.54)

Λµνρ = ΛµνΛρ =


)(0 −γργρ 0

)=

(0 γµνρ

−γµνρ 0

)(A.55)

Λ0123 = Λ01Λ23 =

(γ0123 00 γ0123

)=

(i 00 i

), i =

(iI2 00 −iI2

)(A.56)

We get also

Λ45 = Λ4Λ5 =

(0 I4I4 0

)(0 −ii 0

)=

(i 00 −i

)= −Λ54 (A.57)

Λ012345 =

(i 00 i

)(i 00 −i

)=

(−I4 00 I4

)(A.58)

Λ01235 = Λ0123Λ5 =

(i 00 i

)(0 −ii 0

)=

(0 I4

−I4 0

). (A.59)

Similarly we get58

Λµ4 =

(−γµ 00 γµ

); Λµ5 =

(iγµ 00 iγµ

)(A.60)

Λµν4 =

(0 −γµν

−γµν 0

); Λµν5 =

(0 γµν i

−γµν i 0

)(A.61)

Λµνρ4 =

(γµνρ 00 −γµνρ

); Λµνρ5 =

(γµνρi 00 γµνρi

)(A.62)

Λµ45 =

(0 γµiγµi 0

); Λµν45 =

(−γµν i 0

0 γµν i

)(A.63)

Λµνρ45 =

(0 −γµνρi

−γµνρi 0

); Λ01234 =

(0 ii 0

)(A.64)

Scalar and pseudo-scalar terms read

αI8 + ωΛ012345 =

((α− ω)I4 0

0 (α+ ω)I4

)(A.65)

αI8 − ωΛ012345 =

((α+ ω)I4 0

0 (α− ω)I4

)(A.66)

57I2, I4, I8 are unit matrices. The identification process allowing to include R in each realClifford algebra allows to read a instead of aIn for any complex number a.

58i anti-commutes with any odd element in space-time algebra and commutes with any evenelement.

131

We get also

(A.57)

(A.58)

(A.59)

Similarly we get58

(A.60)

(A.61)

(A.62)

(A.63)

(A.64)




Λµν = ΛµΛν =

(0 −γµγµ 0

)(0 −γνγν 0

)=


)(A.54)



)(0 −γργρ 0

)=

(0 γµνρ

−γµνρ 0

)(A.55)

Λ0123 = Λ01Λ23 =

(γ0123 00 γ0123

)=

(i 00 i

), i =

(iI2 00 −iI2

)(A.56)

We get also

Λ45 = Λ4Λ5 =

(0 I4I4 0

)(0 −ii 0

)=

(i 00 −i

)= −Λ54 (A.57)

Λ012345 =

(i 00 i

)(i 00 −i

)=

(−I4 00 I4

)(A.58)

Λ01235 = Λ0123Λ5 =

(i 00 i

)(0 −ii 0

)=

(0 I4

−I4 0

). (A.59)

Similarly we get58

Λµ4 =

(−γµ 00 γµ

); Λµ5 =

(iγµ 00 iγµ

)(A.60)

Λµν4 =

(0 −γµν

−γµν 0

); Λµν5 =

(0 γµν i

−γµν i 0

)(A.61)

Λµνρ4 =


); Λµνρ5 =


)(A.62)

Λµ45 =

(0 γµiγµi 0

); Λµν45 =

(−γµν i 0

0 γµν i

)(A.63)

Λµνρ45 =

(0 −γµνρi

−γµνρi 0

); Λ01234 =

(0 ii 0

)(A.64)


αI8 + ωΛ012345 =

((α− ω)I4 0

0 (α+ ω)I4

)(A.65)

αI8 − ωΛ012345 =

((α+ ω)I4 0

0 (α− ω)I4

)(A.66)



131

(A.65)

57 I2 , I4 , I8 are unit matrices. The identification process allowing to include R in each real Clifford algebra allows to read a instead of aIn for any complex number a.

58 i anti-commutes with any odd element in space-time algebra and commutes with any even element.

(A.66)



Λµν = ΛµΛν =

(0 −γµγµ 0

)(0 −γνγν 0

)=


)(A.54)



)(0 −γργρ 0

)=

(0 γµνρ

−γµνρ 0

)(A.55)

Λ0123 = Λ01Λ23 =

(γ0123 00 γ0123

)=

(i 00 i

), i =

(iI2 00 −iI2

)(A.56)

We get also

Λ45 = Λ4Λ5 =

(0 I4I4 0

)(0 −ii 0

)=

(i 00 −i

)= −Λ54 (A.57)

Λ012345 =

(i 00 i

)(i 00 −i

)=

(−I4 00 I4

)(A.58)

Λ01235 = Λ0123Λ5 =

(i 00 i

)(0 −ii 0

)=

(0 I4

−I4 0

). (A.59)

Similarly we get58

Λµ4 =

(−γµ 00 γµ

); Λµ5 =

(iγµ 00 iγµ

)(A.60)

Λµν4 =

(0 −γµν

−γµν 0

); Λµν5 =

(0 γµν i

−γµν i 0

)(A.61)

Λµνρ4 =


); Λµνρ5 =


)(A.62)

Λµ45 =

(0 γµiγµi 0

); Λµν45 =

(−γµν i 0

0 γµν i

)(A.63)

Λµνρ45 =

(0 −γµνρi

−γµνρi 0

); Λ01234 =

(0 ii 0

)(A.64)


αI8 + ωΛ012345 =

((α− ω)I4 0

0 (α+ ω)I4

)(A.65)

αI8 − ωΛ012345 =

((α+ ω)I4 0

0 (α− ω)I4

)(A.66)



131

For the calculation of the 1-vector termFor the calculation of the 1-vector term

NaΛa = N4Λ4 +N5Λ5 +NµΛµ

we let

β = N4 ; δ = N5 ; a = Nµγµ. (A.67)

This gives

NaΛa =

(0 βI4 − δi− a

βI4 + δi+ a 0

). (A.68)

For the calculation of the 2-vector term

NabΛab = N45Λ45 +Nµ4Λµ4 +Nµ5Λµ5 +NµνΛµν

we let

ε = N45 ; b = Nµ4γµ ; c = Nµ5γµ ; A = Nµνγµν (A.69)

This gives with (A.54) and (A.60)

NabΛab =

(εi− b+ ic−A 0

0 −εi+ b+ ic−A

). (A.70)


NabcΛabc = Nµ45Λµ45 +Nµν4Λµν4 +Nµν5Λµν5 +NµνρΛµνρ

we let

d = Nµ45γµ ; B = Nµν4γµν ; C = Nµν5γµν ; ie = Nµνργµνρ (A.71)


NabcΛabc =

(0 di−B+ iC+ ie

−id−B− iC− ie 0

). (A.72)


NabcdΛabcd = Nµν45Λµν45 +Nµνρ4Λµνρ4 +Nµνρ5Λµνρ5 +N0123Λ0123

we let

D = Nµν45γµν ; if = Nµνρ4γµνρ ; ig = Nµνρ5γµνρ ; ζ = N0123 (A.73)


NabcdΛabcd =

(−iD+ if + g + ζi 0

0 iD− if + g + ζi

). (A.74)

132

we let



we let

β = N4 ; δ = N5 ; a = Nµγµ. (A.67)

This gives

NaΛa =

(0 βI4 − δi− a

βI4 + δi+ a 0

). (A.68)



we let



NabΛab =

(εi− b+ ic−A 0

0 −εi+ b+ ic−A

). (A.70)



we let



NabcΛabc =

(0 di−B+ iC+ ie


). (A.72)



we let



NabcdΛabcd =

(−iD+ if + g + ζi 0


). (A.74)

132

(A.67)

This gives



we let

β = N4 ; δ = N5 ; a = Nµγµ. (A.67)

This gives

NaΛa =

(0 βI4 − δi− a

βI4 + δi+ a 0

). (A.68)



we let



NabΛab =

(εi− b+ ic−A 0

0 −εi+ b+ ic−A

). (A.70)



we let



NabcΛabc =

(0 di−B+ iC+ ie


). (A.72)



we let



NabcdΛabcd =

(−iD+ if + g + ζi 0


). (A.74)

132

(A.68)




we let

β = N4 ; δ = N5 ; a = Nµγµ. (A.67)

This gives

NaΛa =

(0 βI4 − δi− a

βI4 + δi+ a 0

). (A.68)



we let



NabΛab =

(εi− b+ ic−A 0

0 −εi+ b+ ic−A

). (A.70)



we let



NabcΛabc =

(0 di−B+ iC+ ie


). (A.72)



we let



NabcdΛabcd =

(−iD+ if + g + ζi 0


). (A.74)

132

we let



we let

β = N4 ; δ = N5 ; a = Nµγµ. (A.67)

This gives

NaΛa =

(0 βI4 − δi− a

βI4 + δi+ a 0

). (A.68)



we let



NabΛab =

(εi− b+ ic−A 0

0 −εi+ b+ ic−A

). (A.70)



we let



NabcΛabc =

(0 di−B+ iC+ ie


). (A.72)



we let



NabcdΛabcd =

(−iD+ if + g + ζi 0


). (A.74)

132

(A.69)




we let

β = N4 ; δ = N5 ; a = Nµγµ. (A.67)

This gives

NaΛa =

(0 βI4 − δi− a

βI4 + δi+ a 0

). (A.68)



we let



NabΛab =

(εi− b+ ic−A 0

0 −εi+ b+ ic−A

). (A.70)



we let



NabcΛabc =

(0 di−B+ iC+ ie


). (A.72)



we let



NabcdΛabcd =

(−iD+ if + g + ζi 0


). (A.74)

132

(A.70)




we let

β = N4 ; δ = N5 ; a = Nµγµ. (A.67)

This gives

NaΛa =

(0 βI4 − δi− a

βI4 + δi+ a 0

). (A.68)



we let



NabΛab =

(εi− b+ ic−A 0

0 −εi+ b+ ic−A

). (A.70)



we let



NabcΛabc =

(0 di−B+ iC+ ie


). (A.72)



we let



NabcdΛabcd =

(−iD+ if + g + ζi 0


). (A.74)

132



we let

β = N4 ; δ = N5 ; a = Nµγµ. (A.67)

This gives

NaΛa =

(0 βI4 − δi− a

βI4 + δi+ a 0

). (A.68)



we let



NabΛab =

(εi− b+ ic−A 0

0 −εi+ b+ ic−A

). (A.70)



we let



NabcΛabc =

(0 di−B+ iC+ ie


). (A.72)



we let



NabcdΛabcd =

(−iD+ if + g + ζi 0


). (A.74)

132

we let



we let

β = N4 ; δ = N5 ; a = Nµγµ. (A.67)

This gives

NaΛa =

(0 βI4 − δi− a

βI4 + δi+ a 0

). (A.68)



we let



NabΛab =

(εi− b+ ic−A 0

0 −εi+ b+ ic−A

). (A.70)



we let



NabcΛabc =

(0 di−B+ iC+ ie


). (A.72)



we let



NabcdΛabcd =

(−iD+ if + g + ζi 0


). (A.74)

132



we let

β = N4 ; δ = N5 ; a = Nµγµ. (A.67)

This gives

NaΛa =

(0 βI4 − δi− a

βI4 + δi+ a 0

). (A.68)



we let



NabΛab =

(εi− b+ ic−A 0

0 −εi+ b+ ic−A

). (A.70)



we let



NabcΛabc =

(0 di−B+ iC+ ie


). (A.72)



we let



NabcdΛabcd =

(−iD+ if + g + ζi 0


). (A.74)

132

(A.71)

(A.54)

(A.55)

(A.56)



Λµν = ΛµΛν =

(0 −γµγµ 0

)(0 −γνγν 0

)=


)(A.54)



)(0 −γργρ 0

)=

(0 γµνρ

−γµνρ 0

)(A.55)

Λ0123 = Λ01Λ23 =

(γ0123 00 γ0123

)=

(i 00 i

), i =

(iI2 00 −iI2

)(A.56)

We get also

Λ45 = Λ4Λ5 =

(0 I4I4 0

)(0 −ii 0

)=

(i 00 −i

)= −Λ54 (A.57)

Λ012345 =

(i 00 i

)(i 00 −i

)=

(−I4 00 I4

)(A.58)

Λ01235 = Λ0123Λ5 =

(i 00 i

)(0 −ii 0

)=

(0 I4

−I4 0

). (A.59)

Similarly we get58

Λµ4 =

(−γµ 00 γµ

); Λµ5 =

(iγµ 00 iγµ

)(A.60)

Λµν4 =

(0 −γµν

−γµν 0

); Λµν5 =

(0 γµν i

−γµν i 0

)(A.61)

Λµνρ4 =


); Λµνρ5 =


)(A.62)

Λµ45 =

(0 γµiγµi 0

); Λµν45 =

(−γµν i 0

0 γµν i

)(A.63)

Λµνρ45 =

(0 −γµνρi

−γµνρi 0

); Λ01234 =

(0 ii 0

)(A.64)


αI8 + ωΛ012345 =

((α− ω)I4 0

0 (α+ ω)I4

)(A.65)

αI8 − ωΛ012345 =

((α+ ω)I4 0

0 (α− ω)I4

)(A.66)



131



Λµν = ΛµΛν =

(0 −γµγµ 0

)(0 −γνγν 0

)=


)(A.54)



)(0 −γργρ 0

)=

(0 γµνρ

−γµνρ 0

)(A.55)

Λ0123 = Λ01Λ23 =

(γ0123 00 γ0123

)=

(i 00 i

), i =

(iI2 00 −iI2

)(A.56)

We get also

Λ45 = Λ4Λ5 =

(0 I4I4 0

)(0 −ii 0

)=

(i 00 −i

)= −Λ54 (A.57)

Λ012345 =

(i 00 i

)(i 00 −i

)=

(−I4 00 I4

)(A.58)

Λ01235 = Λ0123Λ5 =

(i 00 i

)(0 −ii 0

)=

(0 I4

−I4 0

). (A.59)

Similarly we get58

Λµ4 =

(−γµ 00 γµ

); Λµ5 =

(iγµ 00 iγµ

)(A.60)

Λµν4 =

(0 −γµν

−γµν 0

); Λµν5 =

(0 γµν i

−γµν i 0

)(A.61)

Λµνρ4 =


); Λµνρ5 =


)(A.62)

Λµ45 =

(0 γµiγµi 0

); Λµν45 =

(−γµν i 0

0 γµν i

)(A.63)

Λµνρ45 =

(0 −γµνρi

−γµνρi 0

); Λ01234 =

(0 ii 0

)(A.64)


αI8 + ωΛ012345 =

((α− ω)I4 0

0 (α+ ω)I4

)(A.65)

αI8 − ωΛ012345 =

((α+ ω)I4 0

0 (α− ω)I4

)(A.66)



131



Λµν = ΛµΛν =

(0 −γµγµ 0

)(0 −γνγν 0

)=


)(A.54)



)(0 −γργρ 0

)=

(0 γµνρ

−γµνρ 0

)(A.55)

Λ0123 = Λ01Λ23 =

(γ0123 00 γ0123

)=

(i 00 i

), i =

(iI2 00 −iI2

)(A.56)

We get also

Λ45 = Λ4Λ5 =

(0 I4I4 0

)(0 −ii 0

)=

(i 00 −i

)= −Λ54 (A.57)

Λ012345 =

(i 00 i

)(i 00 −i

)=

(−I4 00 I4

)(A.58)

Λ01235 = Λ0123Λ5 =

(i 00 i

)(0 −ii 0

)=

(0 I4

−I4 0

). (A.59)

Similarly we get58

Λµ4 =

(−γµ 00 γµ

); Λµ5 =

(iγµ 00 iγµ

)(A.60)

Λµν4 =

(0 −γµν

−γµν 0

); Λµν5 =

(0 γµν i

−γµν i 0

)(A.61)

Λµνρ4 =


); Λµνρ5 =


)(A.62)

Λµ45 =

(0 γµiγµi 0

); Λµν45 =

(−γµν i 0

0 γµν i

)(A.63)

Λµνρ45 =

(0 −γµνρi

−γµνρi 0

); Λ01234 =

(0 ii 0

)(A.64)


αI8 + ωΛ012345 =

((α− ω)I4 0

0 (α+ ω)I4

)(A.65)

αI8 − ωΛ012345 =

((α+ ω)I4 0

0 (α− ω)I4

)(A.66)



131



Λµν = ΛµΛν =

(0 −γµγµ 0

)(0 −γνγν 0

)=


)(A.54)



)(0 −γργρ 0

)=

(0 γµνρ

−γµνρ 0

)(A.55)

Λ0123 = Λ01Λ23 =

(γ0123 00 γ0123

)=

(i 00 i

), i =

(iI2 00 −iI2

)(A.56)

We get also

Λ45 = Λ4Λ5 =

(0 I4I4 0

)(0 −ii 0

)=

(i 00 −i

)= −Λ54 (A.57)

Λ012345 =

(i 00 i

)(i 00 −i

)=

(−I4 00 I4

)(A.58)

Λ01235 = Λ0123Λ5 =

(i 00 i

)(0 −ii 0

)=

(0 I4

−I4 0

). (A.59)

Similarly we get58

Λµ4 =

(−γµ 00 γµ

); Λµ5 =

(iγµ 00 iγµ

)(A.60)

Λµν4 =

(0 −γµν

−γµν 0

); Λµν5 =

(0 γµν i

−γµν i 0

)(A.61)

Λµνρ4 =


); Λµνρ5 =


)(A.62)

Λµ45 =

(0 γµiγµi 0

); Λµν45 =

(−γµν i 0

0 γµν i

)(A.63)

Λµνρ45 =

(0 −γµνρi

−γµνρi 0

); Λ01234 =

(0 ii 0

)(A.64)


αI8 + ωΛ012345 =

((α− ω)I4 0

0 (α+ ω)I4

)(A.65)

αI8 − ωΛ012345 =

((α+ ω)I4 0

0 (α− ω)I4

)(A.66)



131



Λµν = ΛµΛν =

(0 −γµγµ 0

)(0 −γνγν 0

)=


)(A.54)



)(0 −γργρ 0

)=

(0 γµνρ

−γµνρ 0

)(A.55)

Λ0123 = Λ01Λ23 =

(γ0123 00 γ0123

)=

(i 00 i

), i =

(iI2 00 −iI2

)(A.56)

We get also

Λ45 = Λ4Λ5 =

(0 I4I4 0

)(0 −ii 0

)=

(i 00 −i

)= −Λ54 (A.57)

Λ012345 =

(i 00 i

)(i 00 −i

)=

(−I4 00 I4

)(A.58)

Λ01235 = Λ0123Λ5 =

(i 00 i

)(0 −ii 0

)=

(0 I4

−I4 0

). (A.59)

Similarly we get58

Λµ4 =

(−γµ 00 γµ

); Λµ5 =

(iγµ 00 iγµ

)(A.60)

Λµν4 =

(0 −γµν

−γµν 0

); Λµν5 =

(0 γµν i

−γµν i 0

)(A.61)

Λµνρ4 =


); Λµνρ5 =


)(A.62)

Λµ45 =

(0 γµiγµi 0

); Λµν45 =

(−γµν i 0

0 γµν i

)(A.63)

Λµνρ45 =

(0 −γµνρi

−γµνρi 0

); Λ01234 =

(0 ii 0

)(A.64)


αI8 + ωΛ012345 =

((α− ω)I4 0

0 (α+ ω)I4

)(A.65)

αI8 − ωΛ012345 =

((α+ ω)I4 0

0 (α− ω)I4

)(A.66)



131



Λµν = ΛµΛν =

(0 −γµγµ 0

)(0 −γνγν 0

)=


)(A.54)



)(0 −γργρ 0

)=

(0 γµνρ

−γµνρ 0

)(A.55)

Λ0123 = Λ01Λ23 =

(γ0123 00 γ0123

)=

(i 00 i

), i =

(iI2 00 −iI2

)(A.56)

We get also

Λ45 = Λ4Λ5 =

(0 I4I4 0

)(0 −ii 0

)=

(i 00 −i

)= −Λ54 (A.57)

Λ012345 =

(i 00 i

)(i 00 −i

)=

(−I4 00 I4

)(A.58)

Λ01235 = Λ0123Λ5 =

(i 00 i

)(0 −ii 0

)=

(0 I4

−I4 0

). (A.59)

Similarly we get58

Λµ4 =

(−γµ 00 γµ

); Λµ5 =

(iγµ 00 iγµ

)(A.60)

Λµν4 =

(0 −γµν

−γµν 0

); Λµν5 =

(0 γµν i

−γµν i 0

)(A.61)

Λµνρ4 =


); Λµνρ5 =


)(A.62)

Λµ45 =

(0 γµiγµi 0

); Λµν45 =

(−γµν i 0

0 γµν i

)(A.63)

Λµνρ45 =

(0 −γµνρi

−γµνρi 0

); Λ01234 =

(0 ii 0

)(A.64)


αI8 + ωΛ012345 =

((α− ω)I4 0

0 (α+ ω)I4

)(A.65)

αI8 − ωΛ012345 =

((α+ ω)I4 0

0 (α− ω)I4

)(A.66)



131



Λµν = ΛµΛν =

(0 −γµγµ 0

)(0 −γνγν 0

)=


)(A.54)



)(0 −γργρ 0

)=

(0 γµνρ

−γµνρ 0

)(A.55)

Λ0123 = Λ01Λ23 =

(γ0123 00 γ0123

)=

(i 00 i

), i =

(iI2 00 −iI2

)(A.56)

We get also

Λ45 = Λ4Λ5 =

(0 I4I4 0

)(0 −ii 0

)=

(i 00 −i

)= −Λ54 (A.57)

Λ012345 =

(i 00 i

)(i 00 −i

)=

(−I4 00 I4

)(A.58)

Λ01235 = Λ0123Λ5 =

(i 00 i

)(0 −ii 0

)=

(0 I4

−I4 0

). (A.59)

Similarly we get58

Λµ4 =

(−γµ 00 γµ

); Λµ5 =

(iγµ 00 iγµ

)(A.60)

Λµν4 =

(0 −γµν

−γµν 0

); Λµν5 =

(0 γµν i

−γµν i 0

)(A.61)

Λµνρ4 =


); Λµνρ5 =


)(A.62)

Λµ45 =

(0 γµiγµi 0

); Λµν45 =

(−γµν i 0

0 γµν i

)(A.63)

Λµνρ45 =

(0 −γµνρi

−γµνρi 0

); Λ01234 =

(0 ii 0

)(A.64)


αI8 + ωΛ012345 =

((α− ω)I4 0

0 (α+ ω)I4

)(A.65)

αI8 − ωΛ012345 =

((α+ ω)I4 0

0 (α− ω)I4

)(A.66)



131



Λµν = ΛµΛν =

(0 −γµγµ 0

)(0 −γνγν 0

)=


)(A.54)



)(0 −γργρ 0

)=

(0 γµνρ

−γµνρ 0

)(A.55)

Λ0123 = Λ01Λ23 =

(γ0123 00 γ0123

)=

(i 00 i

), i =

(iI2 00 −iI2

)(A.56)

We get also

Λ45 = Λ4Λ5 =

(0 I4I4 0

)(0 −ii 0

)=

(i 00 −i

)= −Λ54 (A.57)

Λ012345 =

(i 00 i

)(i 00 −i

)=

(−I4 00 I4

)(A.58)

Λ01235 = Λ0123Λ5 =

(i 00 i

)(0 −ii 0

)=

(0 I4

−I4 0

). (A.59)

Similarly we get58

Λµ4 =

(−γµ 00 γµ

); Λµ5 =

(iγµ 00 iγµ

)(A.60)

Λµν4 =

(0 −γµν

−γµν 0

); Λµν5 =

(0 γµν i

−γµν i 0

)(A.61)

Λµνρ4 =


); Λµνρ5 =


)(A.62)

Λµ45 =

(0 γµiγµi 0

); Λµν45 =

(−γµν i 0

0 γµν i

)(A.63)

Λµνρ45 =

(0 −γµνρi

−γµνρi 0

); Λ01234 =

(0 ii 0

)(A.64)


αI8 + ωΛ012345 =

((α− ω)I4 0

0 (α+ ω)I4

)(A.65)

αI8 − ωΛ012345 =

((α+ ω)I4 0

0 (α− ω)I4

)(A.66)



131






we let

β = N4 ; δ = N5 ; a = Nµγµ. (A.67)

This gives

NaΛa =

(0 βI4 − δi− a

βI4 + δi+ a 0

). (A.68)



we let



NabΛab =

(εi− b+ ic−A 0

0 −εi+ b+ ic−A

). (A.70)



we let



NabcΛabc =

(0 di−B+ iC+ ie


). (A.72)



we let



NabcdΛabcd =

(−iD+ if + g + ζi 0


). (A.74)

132

(A.72)




we let

β = N4 ; δ = N5 ; a = Nµγµ. (A.67)

This gives

NaΛa =

(0 βI4 − δi− a

βI4 + δi+ a 0

). (A.68)



we let



NabΛab =

(εi− b+ ic−A 0

0 −εi+ b+ ic−A

). (A.70)



we let



NabcΛabc =

(0 di−B+ iC+ ie


). (A.72)



we let



NabcdΛabcd =

(−iD+ if + g + ζi 0


). (A.74)

132



we let

β = N4 ; δ = N5 ; a = Nµγµ. (A.67)

This gives

NaΛa =

(0 βI4 − δi− a

βI4 + δi+ a 0

). (A.68)



we let



NabΛab =

(εi− b+ ic−A 0

0 −εi+ b+ ic−A

). (A.70)



we let



NabcΛabc =

(0 di−B+ iC+ ie


). (A.72)



we let



NabcdΛabcd =

(−iD+ if + g + ζi 0


). (A.74)

132

we let



we let

β = N4 ; δ = N5 ; a = Nµγµ. (A.67)

This gives

NaΛa =

(0 βI4 − δi− a

βI4 + δi+ a 0

). (A.68)



we let



NabΛab =

(εi− b+ ic−A 0

0 −εi+ b+ ic−A

). (A.70)



we let



NabcΛabc =

(0 di−B+ iC+ ie


). (A.72)



we let



NabcdΛabcd =

(−iD+ if + g + ζi 0


). (A.74)

132

(A.73)



we let

β = N4 ; δ = N5 ; a = Nµγµ. (A.67)

This gives

NaΛa =

(0 βI4 − δi− a

βI4 + δi+ a 0

). (A.68)



we let



NabΛab =

(εi− b+ ic−A 0

0 −εi+ b+ ic−A

). (A.70)



we let



NabcΛabc =

(0 di−B+ iC+ ie


). (A.72)



we let



NabcdΛabcd =

(−iD+ if + g + ζi 0


). (A.74)

132




we let

β = N4 ; δ = N5 ; a = Nµγµ. (A.67)

This gives

NaΛa =

(0 βI4 − δi− a

βI4 + δi+ a 0

). (A.68)



we let



NabΛab =

(εi− b+ ic−A 0

0 −εi+ b+ ic−A

). (A.70)



we let



NabcΛabc =

(0 di−B+ iC+ ie


). (A.72)



we let



NabcdΛabcd =

(−iD+ if + g + ζi 0


). (A.74)

132(A.74)

For the calculation of the pseudo-vector termFor the calculation of the pseudo-vector term

NabcdeΛabcde = Nµνρ45Λµνρ45 +N01234Λ01234 +N01235Λ01235

we let

ih = Nµνρ45γµνρ ; η = N01234 ; θ = N01235 (A.75)


NabcdeΛabcde =

(0 −h+ ηi+ θI4

−h+ ηi− θI4

). (A.76)

We then get

Ψ =

(Ψl Ψr

Ψg Ψb

)(A.77)

=

(α− ω)I4 + (−b+ g)− (A+ iD) (β + θ)I4 − (a+ h) + (−B+ iC)+i(c+ f) + (ζ + ε)i +i(−d+ e) + (−δ + η)i

(β − θ)I4 + (a− h)− (B+ iC) (α+ ω)I4 + (b+ g) + (−A+ iD)−i(d+ e) + (δ + η)i +i(c− f) + (ζ − ε)i

This implies

Ψl = (α− ω)I4 + (−b+ g)− (A+ iD) + i(c+ f) + (ζ + ε)i (A.78)

Ψr = (β + θ)I4 − (a+ h) + (−B+ iC) + i(−d+ e) + (−δ + η)i (A.79)

Ψg = (β − θ)I4 + (a− h)− (B+ iC)− i(d+ e) + (δ + η)i (A.80)

Ψb = (α+ ω)I4 + (b+ g) + (−A+ iD) + i(c− f) + (ζ − ε)i (A.81)

In Cl1,3 the reverse of

A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4

isA =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4

we must change the sign of bivectors A, B, iC, iD, and trivectors ic, id, ie, ifand we then get

Ψl = (α− ω)I4 + (−b+ g) + (A+ iD)− i(c+ f) + (ζ + ε)i (A.82)

Ψr = (β + θ)I4 − (a+ h) + (B− iC) + i(d− e) + (−δ + η)i (A.83)

Ψg = (β − θ)I4 + (a− h) + (B+ iC) + i(d+ e) + (δ + η)i (A.84)

Ψb = (α+ ω)I4 + (b+ g) + (A− iD) + i(−c+ f) + (ζ − ε)i (A.85)

The reverse, in Cl5,1 now, of

A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4 + < A >5 + < A >6

133

For the calculation of the pseudo-vector term


we let



NabcdeΛabcde =

(0 −h+ ηi+ θI4

−h+ ηi− θI4

). (A.76)

We then get

Ψ =

(Ψl Ψr

Ψg Ψb

)(A.77)

=



This implies






A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4

isA =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4







A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4 + < A >5 + < A >6

133

we let



we let



NabcdeΛabcde =

(0 −h+ ηi+ θI4

−h+ ηi− θI4

). (A.76)

We then get

Ψ =

(Ψl Ψr

Ψg Ψb

)(A.77)

=



This implies






A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4

isA =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4







A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4 + < A >5 + < A >6

133

(A.75)




we let



NabcdeΛabcde =

(0 −h+ ηi+ θI4

−h+ ηi− θI4

). (A.76)

We then get

Ψ =

(Ψl Ψr

Ψg Ψb

)(A.77)

=



This implies






A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4

isA =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4







A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4 + < A >5 + < A >6

133

.(A.76)

We then get



we let



NabcdeΛabcde =

(0 −h+ ηi+ θI4

−h+ ηi− θI4

). (A.76)

We then get

Ψ =

(Ψl Ψr

Ψg Ψb

)(A.77)

=



This implies






A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4

isA =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4







A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4 + < A >5 + < A >6

133

(A.77)

This implies



we let



NabcdeΛabcde =

(0 −h+ ηi+ θI4

−h+ ηi− θI4

). (A.76)

We then get

Ψ =

(Ψl Ψr

Ψg Ψb

)(A.77)

=



This implies






A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4

isA =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4







A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4 + < A >5 + < A >6

133




we let



NabcdeΛabcde =

(0 −h+ ηi+ θI4

−h+ ηi− θI4

). (A.76)

We then get

Ψ =

(Ψl Ψr

Ψg Ψb

)(A.77)

=



This implies






A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4

isA =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4







A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4 + < A >5 + < A >6

133

is



we let



NabcdeΛabcde =

(0 −h+ ηi+ θI4

−h+ ηi− θI4

). (A.76)

We then get

Ψ =

(Ψl Ψr

Ψg Ψb

)(A.77)

=



This implies






A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4

isA =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4







A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4 + < A >5 + < A >6

133

we must change the sign of bivectors A, B, iC, iD, and trivectors ic, id, ie, if and we then get



we let



NabcdeΛabcde =

(0 −h+ ηi+ θI4

−h+ ηi− θI4

). (A.76)

We then get

Ψ =

(Ψl Ψr

Ψg Ψb

)(A.77)

=



This implies






A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4

isA =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4







A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4 + < A >5 + < A >6

133




we let



NabcdeΛabcde =

(0 −h+ ηi+ θI4

−h+ ηi− θI4

). (A.76)

We then get

Ψ =

(Ψl Ψr

Ψg Ψb

)(A.77)

=



This implies






A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4

isA =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4







A =< A >0 + < A >1 + < A >2 + < A >3 + < A >4 + < A >5 + < A >6

133

(A.78) (A.79) (A.80) (A.81)

(A.82)

(A.83)

(A.84)

(A.85)



isis

A =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4 + < A >5 − < A >6

Only terms which change sign, with (A.65), (A.70) and (A.72), are scalars ε andω, vectors b, c, d, e and bivectors A, B, C59. We then get from (A.77)

Ψ =

(α+ ω)I4 + (b+ g) + (A− iD) (β + θ)I4 − (a+ h) + (B− iC)+i(−c+ f) + (ζ − ε)i +i(d− e) + (−δ + η)i

(β − θ)I4 + (a− h) + (B+ iC) (α− ω)I4 + (−b+ g) + (A+ iD)+i(d+ e) + (δ + η)i −i(c+ f) + (ζ + ε)i

=

(Ψb Ψr

Ψg Ψl

). (A.86)

And we have proved (6.211).

B Calculations for the gauge invariance

The operators P0 in (6.13) and (7.26) and P ′0 in (6.135) have the form (7.26).

They satisfyP0(Ψ) = aΨγ21 + bP−(Ψ)i.

Applied to

Ψ =

(φe φn

φn φe

)=

√2

ξ1e −η∗2e 0 −η∗2nξ2e η∗1e 0 η∗1nη1n 0 η1e −ξ∗2eη2n 0 η2e ξ∗1e

(B.1)

this gives

P0(Ψ) = ia

(φeσ3 φnσ3

φnσ3 φeσ3

)+ ib

(φeR 0

0 −φeR

)(B.2)

P0(Ψ) = i√2

(a+ b)ξ1e (−a)(−η∗2e) 0 (−a)(−η∗2n)(a+ b)ξ2e (−a)η∗1e 0 (−a)η∗1n

aη1n 0 aη1e −(a+ b)(−ξ∗2e)aη2n 0 aη2e −(a+ b)ξ∗1e

(B.3)

P0(Ψ) =bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21 (B.4)

Since by exp(a0P0)

ξe → eia0(a+b)ξe; ηe → eia

0aηe; ηn → eia0aηn (B.5)

59These changes of sign are not the same in Cl5,1 as in Cl1,3. Differences are corrected bythe fact that the reversion in Cl5,1 also exchanges the place of Ψl and Ψb terms.

134

Only terms which change sign, with (A.65), (A.70) and (A.72), are scalars and ω, vectors b, c, d, e and bivectors A, B, C59. We then get from (A.77)

is

A =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4 + < A >5 − < A >6


Ψ =



=

(Ψb Ψr

Ψg Ψl

). (A.86)





Applied to

Ψ =

(φe φn

φn φe

)=

√2


(B.1)

this gives

P0(Ψ) = ia

(φeσ3 φnσ3

φnσ3 φeσ3

)+ ib

(φeR 0

0 −φeR

)(B.2)

P0(Ψ) = i√2



(B.3)

P0(Ψ) =bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21 (B.4)

Since by exp(a0P0)




134

(A.86)


B. Calculations for the gauge invarianceThe operators P0 in (6.13) and (7.26) and P0′ in (6.135) have the form (7.26). They satisfy

is

A =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4 + < A >5 − < A >6


Ψ =



=

(Ψb Ψr

Ψg Ψl

). (A.86)





Applied to

Ψ =

(φe φn

φn φe

)=

√2


(B.1)

this gives

P0(Ψ) = ia

(φeσ3 φnσ3

φnσ3 φeσ3

)+ ib

(φeR 0

0 −φeR

)(B.2)

P0(Ψ) = i√2



(B.3)

P0(Ψ) =bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21 (B.4)

Since by exp(a0P0)




134

Applied to

is

A =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4 + < A >5 − < A >6


Ψ =



=

(Ψb Ψr

Ψg Ψl

). (A.86)





Applied to

Ψ =

(φe φn

φn φe

)=

√2


(B.1)

this gives

P0(Ψ) = ia

(φeσ3 φnσ3

φnσ3 φeσ3

)+ ib

(φeR 0

0 −φeR

)(B.2)

P0(Ψ) = i√2



(B.3)

P0(Ψ) =bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21 (B.4)

Since by exp(a0P0)




134

(B.1)

this gives

Since by exp(a0 P0 )

is

A =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4 + < A >5 − < A >6


Ψ =



=

(Ψb Ψr

Ψg Ψl

). (A.86)





Applied to

Ψ =

(φe φn

φn φe

)=

√2


(B.1)

this gives

P0(Ψ) = ia

(φeσ3 φnσ3

φnσ3 φeσ3

)+ ib

(φeR 0

0 −φeR

)(B.2)

P0(Ψ) = i√2



(B.3)

P0(Ψ) =bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21 (B.4)

Since by exp(a0P0)




134

(B.5)

we getwe get

[exp(a0P0)](Ψ) = ea0 b

2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.6)

We then get

∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]

= ∂µa0 b

2iea

0 b2 iΨea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

+ ea0 b

2 iΨ∂µa0(a+

b

2)γ21e

a0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 i[

bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21]e

a0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 iP0(Ψ)ea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ea0 b

2 i[∂µa0P0(Ψ) + ∂µΨ]ea

0(a+ b2 )γ21 . (B.7)

The gauge transformation defined as

B′µ = Bµ − 2

g1∂µa

0 (B.8)

Ψ′ = [exp(a0P0)](Ψ) = ea0 b

2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.9)

gives:

DµΨ = ∂µΨ+g12BµP0(Ψ) (B.10)

D′µΨ

′ = ∂µΨ′ + (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ′) (B.11)

= ∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]+ (

g12Bµ − ∂µa

0)[b

2iΨ′ +Ψ′(a+

b

2)γ21] (B.12)

= ea0 b

2 i[∂µa0P0(Ψ) + ∂µΨ+ (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ)]ea0(a+ b

2 )γ21

= ea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21 . (B.13)

We deduce:

D′Ψ′ = γµD′µΨ

′ = γµea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21

= e−a0 b2 i(DΨ)ea

0(a+ b2 )γ21 (B.14)

because i anti-commutes with each γµ. Next we have

Ψ′ = ea0(a+ b

2 )γ21Ψea0 b

2 i

= e−a0(a+ b2 )γ21Ψea

0 b2 i (B.15)

Ψ′D′Ψ′ = e−a0(a+ b2 )γ21Ψea

0 b2 ie−a0 b

2 i(DΨ)ea0(a+ b

2 )γ21

= e−a0(a+ b2 )γ21Ψ(DΨ)ea

0(a+ b2 )γ21 . (B.16)

135

(B.6)

59 These changes of sign are not the same in Cl5,1 as in Cl1,3 . Dif-ferences are corrected by the fact that the reversion in Cl5,1 also exchanges the place of Ψl and Ψb terms.

We then get


gives:(B.4)

is

A =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4 + < A >5 − < A >6


Ψ =



=

(Ψb Ψr

Ψg Ψl

). (A.86)





Applied to

Ψ =

(φe φn

φn φe

)=

√2


(B.1)

this gives

P0(Ψ) = ia

(φeσ3 φnσ3

φnσ3 φeσ3

)+ ib

(φeR 0

0 −φeR

)(B.2)

P0(Ψ) = i√2



(B.3)

P0(Ψ) =bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21 (B.4)

Since by exp(a0P0)




134

is

A =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4 + < A >5 − < A >6


Ψ =



=

(Ψb Ψr

Ψg Ψl

). (A.86)





Applied to

Ψ =

(φe φn

φn φe

)=

√2


(B.1)

this gives

P0(Ψ) = ia

(φeσ3 φnσ3

φnσ3 φeσ3

)+ ib

(φeR 0

0 −φeR

)(B.2)

P0(Ψ) = i√2



(B.3)

P0(Ψ) =bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21 (B.4)

Since by exp(a0P0)




134

is

A =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4 + < A >5 − < A >6


Ψ =



=

(Ψb Ψr

Ψg Ψl

). (A.86)





Applied to

Ψ =

(φe φn

φn φe

)=

√2


(B.1)

this gives

P0(Ψ) = ia

(φeσ3 φnσ3

φnσ3 φeσ3

)+ ib

(φeR 0

0 −φeR

)(B.2)

P0(Ψ) = i√2



(B.3)

P0(Ψ) =bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21 (B.4)

Since by exp(a0P0)




134

(B.3)

(B.2)

is

A =< A >0 + < A >1 − < A >2 − < A >3 + < A >4 + < A >5 − < A >6


Ψ =



=

(Ψb Ψr

Ψg Ψl

). (A.86)





Applied to

Ψ =

(φe φn

φn φe

)=

√2


(B.1)

this gives

P0(Ψ) = ia

(φeσ3 φnσ3

φnσ3 φeσ3

)+ ib

(φeR 0

0 −φeR

)(B.2)

P0(Ψ) = i√2



(B.3)

P0(Ψ) =bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21 (B.4)

Since by exp(a0P0)




134

we get


2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.6)

We then get

∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]

= ∂µa0 b

2iea

0 b2 iΨea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

+ ea0 b

2 iΨ∂µa0(a+

b

2)γ21e

a0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 i[

bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21]e

a0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 iP0(Ψ)ea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ea0 b


0(a+ b2 )γ21 . (B.7)


B′µ = Bµ − 2

g1∂µa

0 (B.8)

Ψ′ = [exp(a0P0)](Ψ) = ea0 b

2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.9)

gives:


D′µΨ

′ = ∂µΨ′ + (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ′) (B.11)

= ∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]+ (

g12Bµ − ∂µa

0)[b

2iΨ′ +Ψ′(a+

b

2)γ21] (B.12)

= ea0 b

2 i[∂µa0P0(Ψ) + ∂µΨ+ (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ)]ea0(a+ b

2 )γ21

= ea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21 . (B.13)

We deduce:


′ = γµea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 (B.14)


Ψ′ = ea0(a+ b

2 )γ21Ψea0 b

2 i


0 b2 i (B.15)


0 b2 ie−a0 b

2 i(DΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 . (B.16)

135

we get


2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.6)

We then get

∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]

= ∂µa0 b

2iea

0 b2 iΨea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

+ ea0 b

2 iΨ∂µa0(a+

b

2)γ21e

a0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 i[

bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21]e

a0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 iP0(Ψ)ea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ea0 b


0(a+ b2 )γ21 . (B.7)


B′µ = Bµ − 2

g1∂µa

0 (B.8)

Ψ′ = [exp(a0P0)](Ψ) = ea0 b

2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.9)

gives:


D′µΨ

′ = ∂µΨ′ + (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ′) (B.11)

= ∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]+ (

g12Bµ − ∂µa

0)[b

2iΨ′ +Ψ′(a+

b

2)γ21] (B.12)

= ea0 b

2 i[∂µa0P0(Ψ) + ∂µΨ+ (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ)]ea0(a+ b

2 )γ21

= ea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21 . (B.13)

We deduce:


′ = γµea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 (B.14)


Ψ′ = ea0(a+ b

2 )γ21Ψea0 b

2 i


0 b2 i (B.15)


0 b2 ie−a0 b

2 i(DΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 . (B.16)

135

we get


2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.6)

We then get

∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]

= ∂µa0 b

2iea

0 b2 iΨea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

+ ea0 b

2 iΨ∂µa0(a+

b

2)γ21e

a0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 i[

bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21]e

a0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 iP0(Ψ)ea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ea0 b


0(a+ b2 )γ21 . (B.7)


B′µ = Bµ − 2

g1∂µa

0 (B.8)

Ψ′ = [exp(a0P0)](Ψ) = ea0 b

2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.9)

gives:


D′µΨ

′ = ∂µΨ′ + (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ′) (B.11)

= ∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]+ (

g12Bµ − ∂µa

0)[b

2iΨ′ +Ψ′(a+

b

2)γ21] (B.12)

= ea0 b

2 i[∂µa0P0(Ψ) + ∂µΨ+ (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ)]ea0(a+ b

2 )γ21

= ea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21 . (B.13)

We deduce:


′ = γµea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 (B.14)


Ψ′ = ea0(a+ b

2 )γ21Ψea0 b

2 i


0 b2 i (B.15)


0 b2 ie−a0 b

2 i(DΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 . (B.16)

135

we get


2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.6)

We then get

∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]

= ∂µa0 b

2iea

0 b2 iΨea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

+ ea0 b

2 iΨ∂µa0(a+

b

2)γ21e

a0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 i[

bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21]e

a0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 iP0(Ψ)ea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ea0 b


0(a+ b2 )γ21 . (B.7)


B′µ = Bµ − 2

g1∂µa

0 (B.8)

Ψ′ = [exp(a0P0)](Ψ) = ea0 b

2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.9)

gives:


D′µΨ

′ = ∂µΨ′ + (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ′) (B.11)

= ∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]+ (

g12Bµ − ∂µa

0)[b

2iΨ′ +Ψ′(a+

b

2)γ21] (B.12)

= ea0 b

2 i[∂µa0P0(Ψ) + ∂µΨ+ (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ)]ea0(a+ b

2 )γ21

= ea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21 . (B.13)

We deduce:


′ = γµea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 (B.14)


Ψ′ = ea0(a+ b

2 )γ21Ψea0 b

2 i


0 b2 i (B.15)


0 b2 ie−a0 b

2 i(DΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 . (B.16)

135

(B.7)

we get


2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.6)

We then get

∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]

= ∂µa0 b

2iea

0 b2 iΨea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

+ ea0 b

2 iΨ∂µa0(a+

b

2)γ21e

a0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 i[

bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21]e

a0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 iP0(Ψ)ea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ea0 b


0(a+ b2 )γ21 . (B.7)


B′µ = Bµ − 2

g1∂µa

0 (B.8)

Ψ′ = [exp(a0P0)](Ψ) = ea0 b

2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.9)

gives:


D′µΨ

′ = ∂µΨ′ + (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ′) (B.11)

= ∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]+ (

g12Bµ − ∂µa

0)[b

2iΨ′ +Ψ′(a+

b

2)γ21] (B.12)

= ea0 b

2 i[∂µa0P0(Ψ) + ∂µΨ+ (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ)]ea0(a+ b

2 )γ21

= ea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21 . (B.13)

We deduce:


′ = γµea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 (B.14)


Ψ′ = ea0(a+ b

2 )γ21Ψea0 b

2 i


0 b2 i (B.15)


0 b2 ie−a0 b

2 i(DΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 . (B.16)

135

(B.8)

(B.9)

we get


2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.6)

We then get

∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]

= ∂µa0 b

2iea

0 b2 iΨea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

+ ea0 b

2 iΨ∂µa0(a+

b

2)γ21e

a0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 i[

bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21]e

a0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 iP0(Ψ)ea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ea0 b


0(a+ b2 )γ21 . (B.7)


B′µ = Bµ − 2

g1∂µa

0 (B.8)

Ψ′ = [exp(a0P0)](Ψ) = ea0 b

2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.9)

gives:


D′µΨ

′ = ∂µΨ′ + (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ′) (B.11)

= ∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]+ (

g12Bµ − ∂µa

0)[b

2iΨ′ +Ψ′(a+

b

2)γ21] (B.12)

= ea0 b

2 i[∂µa0P0(Ψ) + ∂µΨ+ (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ)]ea0(a+ b

2 )γ21

= ea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21 . (B.13)

We deduce:


′ = γµea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 (B.14)


Ψ′ = ea0(a+ b

2 )γ21Ψea0 b

2 i


0 b2 i (B.15)


0 b2 ie−a0 b

2 i(DΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 . (B.16)

135

we get


2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.6)

We then get

∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]

= ∂µa0 b

2iea

0 b2 iΨea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

+ ea0 b

2 iΨ∂µa0(a+

b

2)γ21e

a0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 i[

bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21]e

a0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 iP0(Ψ)ea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ea0 b


0(a+ b2 )γ21 . (B.7)


B′µ = Bµ − 2

g1∂µa

0 (B.8)

Ψ′ = [exp(a0P0)](Ψ) = ea0 b

2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.9)

gives:


D′µΨ

′ = ∂µΨ′ + (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ′) (B.11)

= ∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]+ (

g12Bµ − ∂µa

0)[b

2iΨ′ +Ψ′(a+

b

2)γ21] (B.12)

= ea0 b

2 i[∂µa0P0(Ψ) + ∂µΨ+ (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ)]ea0(a+ b

2 )γ21

= ea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21 . (B.13)

We deduce:


′ = γµea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 (B.14)


Ψ′ = ea0(a+ b

2 )γ21Ψea0 b

2 i


0 b2 i (B.15)


0 b2 ie−a0 b

2 i(DΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 . (B.16)

135

we get


2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.6)

We then get

∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]

= ∂µa0 b

2iea

0 b2 iΨea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

+ ea0 b

2 iΨ∂µa0(a+

b

2)γ21e

a0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 i[

bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21]e

a0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 iP0(Ψ)ea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ea0 b


0(a+ b2 )γ21 . (B.7)


B′µ = Bµ − 2

g1∂µa

0 (B.8)

Ψ′ = [exp(a0P0)](Ψ) = ea0 b

2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.9)

gives:


D′µΨ

′ = ∂µΨ′ + (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ′) (B.11)

= ∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]+ (

g12Bµ − ∂µa

0)[b

2iΨ′ +Ψ′(a+

b

2)γ21] (B.12)

= ea0 b

2 i[∂µa0P0(Ψ) + ∂µΨ+ (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ)]ea0(a+ b

2 )γ21

= ea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21 . (B.13)

We deduce:


′ = γµea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 (B.14)


Ψ′ = ea0(a+ b

2 )γ21Ψea0 b

2 i


0 b2 i (B.15)


0 b2 ie−a0 b

2 i(DΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 . (B.16)

135

we get


2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.6)

We then get

∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]

= ∂µa0 b

2iea

0 b2 iΨea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

+ ea0 b

2 iΨ∂µa0(a+

b

2)γ21e

a0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 i[

bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21]e

a0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 iP0(Ψ)ea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ea0 b


0(a+ b2 )γ21 . (B.7)


B′µ = Bµ − 2

g1∂µa

0 (B.8)

Ψ′ = [exp(a0P0)](Ψ) = ea0 b

2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.9)

gives:


D′µΨ

′ = ∂µΨ′ + (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ′) (B.11)

= ∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]+ (

g12Bµ − ∂µa

0)[b

2iΨ′ +Ψ′(a+

b

2)γ21] (B.12)

= ea0 b

2 i[∂µa0P0(Ψ) + ∂µΨ+ (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ)]ea0(a+ b

2 )γ21

= ea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21 . (B.13)

We deduce:


′ = γµea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 (B.14)


Ψ′ = ea0(a+ b

2 )γ21Ψea0 b

2 i


0 b2 i (B.15)


0 b2 ie−a0 b

2 i(DΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 . (B.16)

135

we get


2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.6)

We then get

∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]

= ∂µa0 b

2iea

0 b2 iΨea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

+ ea0 b

2 iΨ∂µa0(a+

b

2)γ21e

a0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 i[

bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21]e

a0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 iP0(Ψ)ea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ea0 b


0(a+ b2 )γ21 . (B.7)


B′µ = Bµ − 2

g1∂µa

0 (B.8)

Ψ′ = [exp(a0P0)](Ψ) = ea0 b

2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.9)

gives:


D′µΨ

′ = ∂µΨ′ + (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ′) (B.11)

= ∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]+ (

g12Bµ − ∂µa

0)[b

2iΨ′ +Ψ′(a+

b

2)γ21] (B.12)

= ea0 b

2 i[∂µa0P0(Ψ) + ∂µΨ+ (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ)]ea0(a+ b

2 )γ21

= ea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21 . (B.13)

We deduce:


′ = γµea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 (B.14)


Ψ′ = ea0(a+ b

2 )γ21Ψea0 b

2 i


0 b2 i (B.15)


0 b2 ie−a0 b

2 i(DΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 . (B.16)

135

(B.12)

(B.10)

(B.11)

(B.13)



We deduce:

we get


2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.6)

We then get

∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]

= ∂µa0 b

2iea

0 b2 iΨea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

+ ea0 b

2 iΨ∂µa0(a+

b

2)γ21e

a0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 i[

bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21]e

a0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 iP0(Ψ)ea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ea0 b


0(a+ b2 )γ21 . (B.7)


B′µ = Bµ − 2

g1∂µa

0 (B.8)

Ψ′ = [exp(a0P0)](Ψ) = ea0 b

2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.9)

gives:


D′µΨ

′ = ∂µΨ′ + (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ′) (B.11)

= ∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]+ (

g12Bµ − ∂µa

0)[b

2iΨ′ +Ψ′(a+

b

2)γ21] (B.12)

= ea0 b

2 i[∂µa0P0(Ψ) + ∂µΨ+ (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ)]ea0(a+ b

2 )γ21

= ea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21 . (B.13)

We deduce:


′ = γµea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 (B.14)


Ψ′ = ea0(a+ b

2 )γ21Ψea0 b

2 i


0 b2 i (B.15)


0 b2 ie−a0 b

2 i(DΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 . (B.16)

135

(B.14)

because i anti-commutes with each γµ . Next we have

we get


2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.6)

We then get

∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]

= ∂µa0 b

2iea

0 b2 iΨea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

+ ea0 b

2 iΨ∂µa0(a+

b

2)γ21e

a0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 i[

bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21]e

a0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 iP0(Ψ)ea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ea0 b


0(a+ b2 )γ21 . (B.7)


B′µ = Bµ − 2

g1∂µa

0 (B.8)

Ψ′ = [exp(a0P0)](Ψ) = ea0 b

2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.9)

gives:


D′µΨ

′ = ∂µΨ′ + (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ′) (B.11)

= ∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]+ (

g12Bµ − ∂µa

0)[b

2iΨ′ +Ψ′(a+

b

2)γ21] (B.12)

= ea0 b

2 i[∂µa0P0(Ψ) + ∂µΨ+ (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ)]ea0(a+ b

2 )γ21

= ea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21 . (B.13)

We deduce:


′ = γµea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 (B.14)


Ψ′ = ea0(a+ b

2 )γ21Ψea0 b

2 i


0 b2 i (B.15)


0 b2 ie−a0 b

2 i(DΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 . (B.16)

135

(B.15)

we get


2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.6)

We then get

∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]

= ∂µa0 b

2iea

0 b2 iΨea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

+ ea0 b

2 iΨ∂µa0(a+

b

2)γ21e

a0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 i[

bi

2Ψ + Ψ(a+

b

2)γ21]e

a0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ∂µa0ea

0 b2 iP0(Ψ)ea

0(a+ b2 )γ21 + ea

0 b2 i∂µΨea

0(a+ b2 )γ21

= ea0 b


0(a+ b2 )γ21 . (B.7)


B′µ = Bµ − 2

g1∂µa

0 (B.8)

Ψ′ = [exp(a0P0)](Ψ) = ea0 b

2 iΨea0(a+ b

2 )γ21 (B.9)

gives:


D′µΨ

′ = ∂µΨ′ + (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ′) (B.11)

= ∂µ

[[exp(a0P0)](Ψ)

]+ (

g12Bµ − ∂µa

0)[b

2iΨ′ +Ψ′(a+

b

2)γ21] (B.12)

= ea0 b

2 i[∂µa0P0(Ψ) + ∂µΨ+ (

g12Bµ − ∂µa

0)P0(Ψ)]ea0(a+ b

2 )γ21

= ea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21 . (B.13)

We deduce:


′ = γµea0 b

2 i(DµΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 (B.14)


Ψ′ = ea0(a+ b

2 )γ21Ψea0 b

2 i


0 b2 i (B.15)


0 b2 ie−a0 b

2 i(DΨ)ea0(a+ b

2 )γ21


0(a+ b2 )γ21 . (B.16)

135

(B.16)

We also have:

(B.17)then we get

We also have:

det(Ψ′) = det(ea0 b

2 i) det(Ψ) det(ea0(a+ b

2 )γ21) = det(Ψ) (B.17)

then we get

ρ′ =√

det(Ψ′) =√det(Ψ) = ρ. (B.18)

and finally:

Ψ′(D′Ψ′)γ012 +mρ′

= e−a0(a+ b2 )γ21 [Ψ(DΨ)γ012 +mρ]ea

0(a+ b2 )γ21 = 0. (B.19)

In the case of the magnetic monopole the leptonic wave is:

Ψ =

(φL φn

φn φL

)=

√2

0 −η∗2L ξ1n −η∗2n0 η∗1L ξ2n η∗1nη1n −ξ∗2n η1L 0η2n ξ∗1n η2L 0

(B.20)

this gives

P0(Ψ) = aΨγ21 + bP−(Ψ)i

= i√2

0 −a(−η∗2L) (a− b)ξ1n −a(−η∗2n)0 −aη∗1L (a− b)ξ2n −aη∗1n

aη1n (−a+ b)(−ξ∗2n) aη1L 0aη2n (−a+ b)ξ∗1n aη2L 0

(B.21)

= − b

2iΨ+Ψ(a− b

2)γ21. (B.22)

The rest of the calculation is the same, with only the change of b into −b.It is P1 and P2 that are the operators changing ρ because they mix ηe and

ηn. We consider for instance:

S = aP1; c = cos(a); s = sin(a) (B.23)

de = det(φe); den = 2

∣∣∣∣ξ1e −η∗2nξ2e η∗1n

∣∣∣∣ . (B.24)

We have

[exp(S)](Ψ) = ΨR +ΨL(c+ sγ3i) (B.25)

=√2

ξ1e c(−η∗2e) + is(−η∗2n) 0 c(−η∗2n) + is(−η∗2e)ξ2e cη∗1e + isη∗1n 0 cη∗1n + isη∗1e

cη1n − isη1e 0 cη1e − isη1n 0cη2n − isη2e 0 cη2e − isη2n 0

We then get

ρ′ =√|cde + isden|2 + ρ2L. (B.26)

136

(B.18)

and finally:

We also have:



2 )γ21) = det(Ψ) (B.17)

then we get

ρ′ =√det(Ψ′) =

√det(Ψ) = ρ. (B.18)

and finally:

Ψ′(D′Ψ′)γ012 +mρ′

= e−a0(a+ b2 )γ21 [Ψ(DΨ)γ012 +mρ]ea

0(a+ b2 )γ21 = 0. (B.19)


Ψ =

(φL φn

φn φL

)=

√2


(B.20)

this gives

P0(Ψ) = aΨγ21 + bP−(Ψ)i

= i√2



(B.21)

= − b

2iΨ+Ψ(a− b

2)γ21. (B.22)



S = aP1; c = cos(a); s = sin(a) (B.23)


∣∣∣∣ξ1e −η∗2nξ2e η∗1n

∣∣∣∣ . (B.24)

We have

[exp(S)](Ψ) = ΨR +ΨL(c+ sγ3i) (B.25)

=√2



We then get

ρ′ =√|cde + isden|2 + ρ2L. (B.26)

136

(B.19)


We also have:



2 )γ21) = det(Ψ) (B.17)

then we get

ρ′ =√det(Ψ′) =

√det(Ψ) = ρ. (B.18)

and finally:

Ψ′(D′Ψ′)γ012 +mρ′

= e−a0(a+ b2 )γ21 [Ψ(DΨ)γ012 +mρ]ea

0(a+ b2 )γ21 = 0. (B.19)


Ψ =

(φL φn

φn φL

)=

√2


(B.20)

this gives

P0(Ψ) = aΨγ21 + bP−(Ψ)i

= i√2



(B.21)

= − b

2iΨ+Ψ(a− b

2)γ21. (B.22)



S = aP1; c = cos(a); s = sin(a) (B.23)


∣∣∣∣ξ1e −η∗2nξ2e η∗1n

∣∣∣∣ . (B.24)

We have

[exp(S)](Ψ) = ΨR +ΨL(c+ sγ3i) (B.25)

=√2



We then get

ρ′ =√|cde + isden|2 + ρ2L. (B.26)

136

(B.20)

this gives

We also have:



2 )γ21) = det(Ψ) (B.17)

then we get

ρ′ =√det(Ψ′) =

√det(Ψ) = ρ. (B.18)

and finally:

Ψ′(D′Ψ′)γ012 +mρ′

= e−a0(a+ b2 )γ21 [Ψ(DΨ)γ012 +mρ]ea

0(a+ b2 )γ21 = 0. (B.19)


Ψ =

(φL φn

φn φL

)=

√2


(B.20)

this gives

P0(Ψ) = aΨγ21 + bP−(Ψ)i

= i√2



(B.21)

= − b

2iΨ+Ψ(a− b

2)γ21. (B.22)



S = aP1; c = cos(a); s = sin(a) (B.23)


∣∣∣∣ξ1e −η∗2nξ2e η∗1n

∣∣∣∣ . (B.24)

We have

[exp(S)](Ψ) = ΨR +ΨL(c+ sγ3i) (B.25)

=√2



We then get

ρ′ =√|cde + isden|2 + ρ2L. (B.26)

136

We also have:



2 )γ21) = det(Ψ) (B.17)

then we get

ρ′ =√det(Ψ′) =

√det(Ψ) = ρ. (B.18)

and finally:

Ψ′(D′Ψ′)γ012 +mρ′

= e−a0(a+ b2 )γ21 [Ψ(DΨ)γ012 +mρ]ea

0(a+ b2 )γ21 = 0. (B.19)


Ψ =

(φL φn

φn φL

)=

√2


(B.20)

this gives

P0(Ψ) = aΨγ21 + bP−(Ψ)i

= i√2



(B.21)

= − b

2iΨ+Ψ(a− b

2)γ21. (B.22)



S = aP1; c = cos(a); s = sin(a) (B.23)


∣∣∣∣ξ1e −η∗2nξ2e η∗1n

∣∣∣∣ . (B.24)

We have

[exp(S)](Ψ) = ΨR +ΨL(c+ sγ3i) (B.25)

=√2



We then get

ρ′ =√|cde + isden|2 + ρ2L. (B.26)

136

(B.21)

We also have:



2 )γ21) = det(Ψ) (B.17)

then we get

ρ′ =√det(Ψ′) =

√det(Ψ) = ρ. (B.18)

and finally:

Ψ′(D′Ψ′)γ012 +mρ′

= e−a0(a+ b2 )γ21 [Ψ(DΨ)γ012 +mρ]ea

0(a+ b2 )γ21 = 0. (B.19)


Ψ =

(φL φn

φn φL

)=

√2


(B.20)

this gives

P0(Ψ) = aΨγ21 + bP−(Ψ)i

= i√2



(B.21)

= − b

2iΨ+Ψ(a− b

2)γ21. (B.22)



S = aP1; c = cos(a); s = sin(a) (B.23)


∣∣∣∣ξ1e −η∗2nξ2e η∗1n

∣∣∣∣ . (B.24)

We have

[exp(S)](Ψ) = ΨR +ΨL(c+ sγ3i) (B.25)

=√2



We then get

ρ′ =√|cde + isden|2 + ρ2L. (B.26)

136

(B.22)

The rest of the calculation is the same, with only the change of b into −b.

It is P1 and P2 that are the operators changing ρ be-cause they mix ηe and ηn . We consider for instance:

We also have:



2 )γ21) = det(Ψ) (B.17)

then we get

ρ′ =√det(Ψ′) =

√det(Ψ) = ρ. (B.18)

and finally:

Ψ′(D′Ψ′)γ012 +mρ′

= e−a0(a+ b2 )γ21 [Ψ(DΨ)γ012 +mρ]ea

0(a+ b2 )γ21 = 0. (B.19)


Ψ =

(φL φn

φn φL

)=

√2


(B.20)

this gives

P0(Ψ) = aΨγ21 + bP−(Ψ)i

= i√2



(B.21)

= − b

2iΨ+Ψ(a− b

2)γ21. (B.22)



S = aP1; c = cos(a); s = sin(a) (B.23)


∣∣∣∣ξ1e −η∗2nξ2e η∗1n

∣∣∣∣ . (B.24)

We have

[exp(S)](Ψ) = ΨR +ΨL(c+ sγ3i) (B.25)

=√2



We then get

ρ′ =√|cde + isden|2 + ρ2L. (B.26)

136

(B.23)

We also have:



2 )γ21) = det(Ψ) (B.17)

then we get

ρ′ =√det(Ψ′) =

√det(Ψ) = ρ. (B.18)

and finally:

Ψ′(D′Ψ′)γ012 +mρ′

= e−a0(a+ b2 )γ21 [Ψ(DΨ)γ012 +mρ]ea

0(a+ b2 )γ21 = 0. (B.19)


Ψ =

(φL φn

φn φL

)=

√2


(B.20)

this gives

P0(Ψ) = aΨγ21 + bP−(Ψ)i

= i√2



(B.21)

= − b

2iΨ+Ψ(a− b

2)γ21. (B.22)



S = aP1; c = cos(a); s = sin(a) (B.23)


∣∣∣∣ξ1e −η∗2nξ2e η∗1n

∣∣∣∣ . (B.24)

We have

[exp(S)](Ψ) = ΨR +ΨL(c+ sγ3i) (B.25)

=√2



We then get

ρ′ =√|cde + isden|2 + ρ2L. (B.26)

136

(B.24)

We have

We then get

(B.26)

C. The hydrogen atomWe study the resolution of the homogeneous nonlin-ear equation for the hydrogen atom. Our resolution uses a method separating the variables in spherical coordinates. The solutions are very near particular solutions of the Dirac equation which are not the usual ones, and which have a Yvon-Takabayasi angle everywhere defined and small.

The hydrogen atom is the jewel of the Dirac theory. The solutions calculated by C.G. Darwin [2], that we may find into newer reports [10], are proper values of an ad hoc operator, coming from the non-relativistic theory, operator that is not the total angular momentum operator. These so-lutions have as only physical explanation that they give the expected number of states, the true formula for the energy levels, and to have the expected non-relativistic approxima-tions. This was considered very satisfying. The Darwin’s solutions suffer the disadvantage, for most of them, to have a Yvon-Takabayasi angle that is not everywhere defined and small. Therefore they cannot be linear approximations of the solutions for our homogeneous nonlinear equation.

We got previously [4] other solutions of the Dirac equation, that have a Yvon-Takabayasi angle everywhere defined and small, and so that may be the linear approxi-mations of the solutions for our nonlinear equation.

C.1 Separating variables

To solve the Dirac equation (2.42) or the homogeneous nonlinear equation (3.10), in the case of the hydrogen atom, two methods exist. We shall use here, not the ini-tial method based on the non-relativistic wave equations, but the new method invented more recently by H. Krüger [8], classical method on the mathematical point of view for an equation with partial derivatives, separating the variables in spherical coordinates:

We also have:



2 )γ21) = det(Ψ) (B.17)

then we get

ρ′ =√det(Ψ′) =

√det(Ψ) = ρ. (B.18)

and finally:

Ψ′(D′Ψ′)γ012 +mρ′

= e−a0(a+ b2 )γ21 [Ψ(DΨ)γ012 +mρ]ea

0(a+ b2 )γ21 = 0. (B.19)


Ψ =

(φL φn

φn φL

)=

√2


(B.20)

this gives

P0(Ψ) = aΨγ21 + bP−(Ψ)i

= i√2



(B.21)

= − b

2iΨ+Ψ(a− b

2)γ21. (B.22)



S = aP1; c = cos(a); s = sin(a) (B.23)


∣∣∣∣ξ1e −η∗2nξ2e η∗1n

∣∣∣∣ . (B.24)

We have

[exp(S)](Ψ) = ΨR +ΨL(c+ sγ3i) (B.25)

=√2



We then get

ρ′ =√|cde + isden|2 + ρ2L. (B.26)

136

We also have:



2 )γ21) = det(Ψ) (B.17)

then we get

ρ′ =√det(Ψ′) =

√det(Ψ) = ρ. (B.18)

and finally:

Ψ′(D′Ψ′)γ012 +mρ′

= e−a0(a+ b2 )γ21 [Ψ(DΨ)γ012 +mρ]ea

0(a+ b2 )γ21 = 0. (B.19)


Ψ =

(φL φn

φn φL

)=

√2


(B.20)

this gives

P0(Ψ) = aΨγ21 + bP−(Ψ)i

= i√2



(B.21)

= − b

2iΨ+Ψ(a− b

2)γ21. (B.22)



S = aP1; c = cos(a); s = sin(a) (B.23)


∣∣∣∣ξ1e −η∗2nξ2e η∗1n

∣∣∣∣ . (B.24)

We have

[exp(S)](Ψ) = ΨR +ΨL(c+ sγ3i) (B.25)

=√2



We then get

ρ′ =√|cde + isden|2 + ρ2L. (B.26)

136

We also have:



2 )γ21) = det(Ψ) (B.17)

then we get

ρ′ =√det(Ψ′) =

√det(Ψ) = ρ. (B.18)

and finally:

Ψ′(D′Ψ′)γ012 +mρ′

= e−a0(a+ b2 )γ21 [Ψ(DΨ)γ012 +mρ]ea

0(a+ b2 )γ21 = 0. (B.19)


Ψ =

(φL φn

φn φL

)=

√2


(B.20)

this gives

P0(Ψ) = aΨγ21 + bP−(Ψ)i

= i√2



(B.21)

= − b

2iΨ+Ψ(a− b

2)γ21. (B.22)



S = aP1; c = cos(a); s = sin(a) (B.23)


∣∣∣∣ξ1e −η∗2nξ2e η∗1n

∣∣∣∣ . (B.24)

We have

[exp(S)](Ψ) = ΨR +ΨL(c+ sγ3i) (B.25)

=√2



We then get

ρ′ =√|cde + isden|2 + ρ2L. (B.26)

136

We also have:



2 )γ21) = det(Ψ) (B.17)

then we get

ρ′ =√det(Ψ′) =

√det(Ψ) = ρ. (B.18)

and finally:

Ψ′(D′Ψ′)γ012 +mρ′

= e−a0(a+ b2 )γ21 [Ψ(DΨ)γ012 +mρ]ea

0(a+ b2 )γ21 = 0. (B.19)


Ψ =

(φL φn

φn φL

)=

√2


(B.20)

this gives

P0(Ψ) = aΨγ21 + bP−(Ψ)i

= i√2



(B.21)

= − b

2iΨ+Ψ(a− b

2)γ21. (B.22)



S = aP1; c = cos(a); s = sin(a) (B.23)


∣∣∣∣ξ1e −η∗2nξ2e η∗1n

∣∣∣∣ . (B.24)

We have

[exp(S)](Ψ) = ΨR +ΨL(c+ sγ3i) (B.25)

=√2



We then get

ρ′ =√

|cde + isden|2 + ρ2L. (B.26)

136

C The hydrogen atom

We study the resolution of the homogeneous nonlinear equation forthe hydrogen atom. Our resolution uses a method separating the vari-ables in spherical coordinates. The solutions are very near particularsolutions of the Dirac equation which are not the usual ones, andwhich have a Yvon-Takabayasi angle everywhere defined and small.

The hydrogen atom is the jewel of the Dirac theory. The solutions calculatedby C. G. Darwin [2], that we may find into newer reports [10], are propervalues of an ad hoc operator, coming from the non-relativistic theory, operatorthat is not the total angular momentum operator. These solutions have asonly physical explanation that they give the expected number of states, thetrue formula for the energy levels, and to have the expected non-relativisticapproximations. This was considered very satisfying. The Darwin’s solutionssuffer the disadvantage, for most of them, to have a Yvon-Takabayasi anglethat is not everywhere defined and small. Therefore they cannot be linearapproximations of the solutions for our homogeneous nonlinear equation.

We got previously [4] other solutions of the Dirac equation, that have aYvon-Takabayasi angle everywhere defined and small, and so that may be thelinear approximations of the solutions for our nonlinear equation.


To solve the Dirac equation (2.42) or the homogeneous nonlinear equation (3.10),in the case of the hydrogen atom, two methods exist. We shall use here, not theinitial method based on the non-relativistic wave equations, but the new methodinvented more recently by H. Kruger [8], classical method on the mathematicalpoint of view for an equation with partial derivatives, separating the variablesin spherical coordinates:

x1 = r sin θ cosϕ ; x2 = r sin θ sinϕ ; x3 = r cos θ (C.1)

We use the following notations60:

i1 = σ23 = iσ1 ; i2 = σ31 = iσ2 ; i3 = σ12 = iσ3 (C.2)

S = e−ϕ2 i3e−

θ2 i2 ; Ω = r−1(sin θ)−

12S (C.3)

∂′ = σ3∂r +1

rσ1∂θ +

1

r sin θσ2∂ϕ. (C.4)

H. Kruger got the remarkable identity:

∂ = Ω∂′Ω−1 (C.5)

that, with:

∇′ = ∂0 − ∂′ = ∂0 − (σ3∂r +1

rσ1∂θ +

1

r sin θσ2∂ϕ) (C.6)

60S has nothing to do with the tensor S3 and Ω must not be confused with the relativisticinvariants Ω1 and Ω2 studied in section 2.

C The hydrogen atom








i1 = σ23 = iσ1 ; i2 = σ31 = iσ2 ; i3 = σ12 = iσ3 (C.2)

S = e−ϕ2 i3e−

θ2 i2 ; Ω = r−1(sin θ)−

12S (C.3)

∂′ = σ3∂r +1

rσ1∂θ +

1



∂ = Ω∂′Ω−1 (C.5)

that, with:

∇′ = ∂0 − ∂′ = ∂0 − (σ3∂r +1

rσ1∂θ +

1



C The hydrogen atom








i1 = σ23 = iσ1 ; i2 = σ31 = iσ2 ; i3 = σ12 = iσ3 (C.2)

S = e−ϕ2 i3e−

θ2 i2 ; Ω = r−1(sin θ)−

12S (C.3)

∂′ = σ3∂r +1

rσ1∂θ +

1



∂ = Ω∂′Ω−1 (C.5)

that, with:

∇′ = ∂0 − ∂′ = ∂0 − (σ3∂r +1

rσ1∂θ +

1



(C.1)

(B.25)




C The hydrogen atom








i1 = σ23 = iσ1 ; i2 = σ31 = iσ2 ; i3 = σ12 = iσ3 (C.2)

S = e−ϕ2 i3e−

θ2 i2 ; Ω = r−1(sin θ)−

12S (C.3)

∂′ = σ3∂r +1

rσ1∂θ +

1



∂ = Ω∂′Ω−1 (C.5)

that, with:

∇′ = ∂0 − ∂′ = ∂0 − (σ3∂r +1

rσ1∂θ +

1



H. Kru¨ger got the remarkable identity:

C The hydrogen atom








i1 = σ23 = iσ1 ; i2 = σ31 = iσ2 ; i3 = σ12 = iσ3 (C.2)

S = e−ϕ2 i3e−

θ2 i2 ; Ω = r−1(sin θ)−

12S (C.3)

∂′ = σ3∂r +1

rσ1∂θ +

1



∂ = Ω∂′Ω−1 (C.5)

that, with:

∇′ = ∂0 − ∂′ = ∂0 − (σ3∂r +1

rσ1∂θ +

1



(C.5)

that, with:

C The hydrogen atom








i1 = σ23 = iσ1 ; i2 = σ31 = iσ2 ; i3 = σ12 = iσ3 (C.2)

S = e−ϕ2 i3e−

θ2 i2 ; Ω = r−1(sin θ)−

12S (C.3)

∂′ = σ3∂r +1

rσ1∂θ +

1



∂ = Ω∂′Ω−1 (C.5)

that, with:

∇′ = ∂0 − ∂′ = ∂0 − (σ3∂r +1

rσ1∂θ +

1



(C.6)

also givesalso gives

Ω−1∇ = ∇′Ω−1. (C.7)

Into the wave equations (2.42) or (3.10), to separate the temporal variable x0 =ct and the angular variable ϕ from the radial variable r and the angular variableθ we let:

φ = ΩXe(λϕ−Ex0+δ)i3 (C.8)

where X is a function, with value into the Pauli algebra, of r and θ alone, cE isthe electron’s energy, δ is an arbitrary phase which plays no role as the equations(2.42) and (3.10) are electric gauge invariant. λ is a real constant. We get then

Ω−1φ = Xe(λϕ−Ex0+δ)i3 (C.9)

Ω−1φ = Xe(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.10)

We also have:

ρeiβ = det(φ) = det(Ω) det(X) det[e(λϕ−Ex0+δ)i3 ]

det(Ω) = r−2(sin θ)−1 ; det[e(λϕ−Ex0+δ)i3 ] = 1

ρeiβ =det(X)

r2 sin θ. (C.11)

So, if we let:

ρXeiβX = det(X) (C.12)

we get:

ρ =ρX

r2 sin θ; β = βX . (C.13)

Thus with (C.8) for the wave, the Yvon-Takabayasi angle does not depend ontime nor on the ϕ angle, only on r and θ. It is why the separation of variables,in the linear case or in the nonlinear case, may begin in the same way. We have

∇′Ω−1φ = (∂0 − σ3∂r −1

rσ1∂θ −

1

r sin θσ2∂ϕ)[Xe(λϕ−Ex0+δ)i3 ] (C.14)

∂0(Xe(λϕ−Ex0+δ)i3) = −EXi3e(λϕ−Ex0+δ)i3 (C.15)

∂r(Xe(λϕ−Ex0+δ)i3) = (∂rX)e(λϕ−Ex0+δ)i3 (C.16)

∂θ(Xe(λϕ−Ex0+δ)i3) = (∂θX)e(λϕ−Ex0+δ)i3 (C.17)

∂ϕ(Xe(λϕ−Ex0+δ)i3) = λXi3e(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.18)

We get then:

∇φ = Ω(−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.19)

138

(C.7)

Into the wave equations (2.42) or (3.10), to separate the temporal variable x0 = ct and the angular variable ϕ from the radial variable r and the angular variable θ we let:

also gives

Ω−1∇ = ∇′Ω−1. (C.7)





Ω−1φ = Xe(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.10)

We also have:



ρeiβ =det(X)

r2 sin θ. (C.11)

So, if we let:


we get:

ρ =ρX

r2 sin θ; β = βX . (C.13)


∇′Ω−1φ = (∂0 − σ3∂r −1

rσ1∂θ −

1






We get then:

∇φ = Ω(−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.19)

138

(C.8)

where X is a function, with value into the Pauli algebra, of r and θ alone,

also gives

Ω−1∇ = ∇′Ω−1. (C.7)





Ω−1φ = Xe(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.10)

We also have:



ρeiβ =det(X)

r2 sin θ. (C.11)

So, if we let:


we get:

ρ =ρX

r2 sin θ; β = βX . (C.13)


∇′Ω−1φ = (∂0 − σ3∂r −1

rσ1∂θ −

1






We get then:

∇φ = Ω(−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.19)

138

is the electron’s energy, δ is an ar-bitrary phase which plays no role as the equations (2.42) and (3.10) are electric gauge invariant. λ is a real con-stant. We get then

also gives

Ω−1∇ = ∇′Ω−1. (C.7)





Ω−1φ = Xe(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.10)

We also have:



ρeiβ =det(X)

r2 sin θ. (C.11)

So, if we let:


we get:

ρ =ρX

r2 sin θ; β = βX . (C.13)


∇′Ω−1φ = (∂0 − σ3∂r −1

rσ1∂θ −

1






We get then:

∇φ = Ω(−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.19)

138

(C.9)

also gives

Ω−1∇ = ∇′Ω−1. (C.7)





Ω−1φ = Xe(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.10)

We also have:



ρeiβ =det(X)

r2 sin θ. (C.11)

So, if we let:


we get:

ρ =ρX

r2 sin θ; β = βX . (C.13)


∇′Ω−1φ = (∂0 − σ3∂r −1

rσ1∂θ −

1






We get then:

∇φ = Ω(−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.19)

138

(C.10)

We also have:

also gives

Ω−1∇ = ∇′Ω−1. (C.7)





Ω−1φ = Xe(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.10)

We also have:



ρeiβ =det(X)

r2 sin θ. (C.11)

So, if we let:


we get:

ρ =ρX

r2 sin θ; β = βX . (C.13)


∇′Ω−1φ = (∂0 − σ3∂r −1

rσ1∂θ −

1






We get then:

∇φ = Ω(−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.19)

138

(C.11)

So, if we let:

also gives

Ω−1∇ = ∇′Ω−1. (C.7)





Ω−1φ = Xe(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.10)

We also have:



ρeiβ =det(X)

r2 sin θ. (C.11)

So, if we let:


we get:

ρ =ρX

r2 sin θ; β = βX . (C.13)


∇′Ω−1φ = (∂0 − σ3∂r −1

rσ1∂θ −

1






We get then:

∇φ = Ω(−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.19)

138

(C.12)

we get:

also gives

Ω−1∇ = ∇′Ω−1. (C.7)





Ω−1φ = Xe(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.10)

We also have:



ρeiβ =det(X)

r2 sin θ. (C.11)

So, if we let:


we get:

ρ =ρX

r2 sin θ; β = βX . (C.13)


∇′Ω−1φ = (∂0 − σ3∂r −1

rσ1∂θ −

1






We get then:

∇φ = Ω(−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.19)

138

(C.13)

Thus with (C.8) for the wave, the Yvon-Takabayasi angle does not depend on time nor on the ϕ angle, only on r and θ. It is why the separation of variables, in the

60 S has nothing to do with the tensor S3 and Ω must not be con-fused with the relativistic invariants Ω1 and Ω2 studied in sec-tion 2.

linear case or in the nonlinear case, may begin in the same way. We have

also gives

Ω−1∇ = ∇′Ω−1. (C.7)





Ω−1φ = Xe(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.10)

We also have:



ρeiβ =det(X)

r2 sin θ. (C.11)

So, if we let:


we get:

ρ =ρX

r2 sin θ; β = βX . (C.13)


∇′Ω−1φ = (∂0 − σ3∂r −1

rσ1∂θ −

1






We get then:

∇φ = Ω(−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.19)

138

also gives

Ω−1∇ = ∇′Ω−1. (C.7)





Ω−1φ = Xe(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.10)

We also have:



ρeiβ =det(X)

r2 sin θ. (C.11)

So, if we let:


we get:

ρ =ρX

r2 sin θ; β = βX . (C.13)


∇′Ω−1φ = (∂0 − σ3∂r −1

rσ1∂θ −

1






We get then:

∇φ = Ω(−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.19)

138

(C.14)

also gives

Ω−1∇ = ∇′Ω−1. (C.7)





Ω−1φ = Xe(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.10)

We also have:



ρeiβ =det(X)

r2 sin θ. (C.11)

So, if we let:


we get:

ρ =ρX

r2 sin θ; β = βX . (C.13)


∇′Ω−1φ = (∂0 − σ3∂r −1

rσ1∂θ −

1






We get then:

∇φ = Ω(−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.19)

138

(C.15)

(C.16)

(C.17)

(C.18)

We get then:

also gives

Ω−1∇ = ∇′Ω−1. (C.7)





Ω−1φ = Xe(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.10)

We also have:



ρeiβ =det(X)

r2 sin θ. (C.11)

So, if we let:


we get:

ρ =ρX

r2 sin θ; β = βX . (C.13)


∇′Ω−1φ = (∂0 − σ3∂r −1

rσ1∂θ −

1






We get then:

∇φ = Ω(−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.19)

138

also gives

Ω−1∇ = ∇′Ω−1. (C.7)





Ω−1φ = Xe(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.10)

We also have:



ρeiβ =det(X)

r2 sin θ. (C.11)

So, if we let:


we get:

ρ =ρX

r2 sin θ; β = βX . (C.13)


∇′Ω−1φ = (∂0 − σ3∂r −1

rσ1∂θ −

1






We get then:

∇φ = Ω(−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.19)

138

(C.19)

For the hydrogen atom, we have:For the hydrogen atom, we have:

qA = qA0 = −α

r; α =

e2

c(C.20)

where α is the fine structure constant. We have:

qAφσ12 = −α

rφi3 = −α

rΩXe(λϕ−Ex0+δ)i3i3

= Ω(−α

rXi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.21)

So the homogeneous nonlinear equation (3.10) becomes

−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3 −

α

rXi3 +me−iβXi3 = 0 (C.22)

that is to say:

(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ

r sin θσ2Xi3 = me−iβXi3 (C.23)

while the Dirac equation gives:

(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ

r sin θσ2Xi3 = mXi3. (C.24)

We let now:

X =

(a −b∗

c d∗

)(C.25)

where a, b, c, d are functions with complex value of the real variables r and θ.We get then:

X =

(d −c∗

b a∗.

)(C.26)

We get then:

e−iβXi3 = ie−iβXσ3 = ie−iβ

(a b∗

c −d∗

)(C.27)

Xi3 =

(d −c∗

b a∗

)(i 00 −i

)=

(id ic∗

ib −ia∗

)(C.28)

σ3∂rX =

(1 00 −1

)(∂rd −∂rc

∗

∂rb ∂ra∗

)=

(∂rd −∂rc

∗

−∂rb −∂ra∗

)(C.29)

σ1∂θX =

(0 11 0

)(∂θd −∂θc

∗

∂θb ∂θa∗

)=

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)(C.30)

139

(C.20)


For the hydrogen atom, we have:

qA = qA0 = −α

r; α =

e2

c(C.20)


qAφσ12 = −α

rφi3 = −α


= Ω(−α

rXi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.21)


−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3 −

α


that is to say:

(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ



(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ


We let now:

X =

(a −b∗

c d∗

)(C.25)


X =

(d −c∗

b a∗.

)(C.26)

We get then:


(a b∗

c −d∗

)(C.27)

Xi3 =

(d −c∗

b a∗

)(i 00 −i

)=

(id ic∗

ib −ia∗

)(C.28)

σ3∂rX =

(1 00 −1

)(∂rd −∂rc

∗

∂rb ∂ra∗

)=

(∂rd −∂rc

∗


)(C.29)

σ1∂θX =

(0 11 0

)(∂θd −∂θc

∗

∂θb ∂θa∗

)=

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)(C.30)

139

(C.21)



qA = qA0 = −α

r; α =

e2

c(C.20)


qAφσ12 = −α

rφi3 = −α


= Ω(−α

rXi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.21)


−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3 −

α


that is to say:

(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ



(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ


We let now:

X =

(a −b∗

c d∗

)(C.25)


X =

(d −c∗

b a∗.

)(C.26)

We get then:


(a b∗

c −d∗

)(C.27)

Xi3 =

(d −c∗

b a∗

)(i 00 −i

)=

(id ic∗

ib −ia∗

)(C.28)

σ3∂rX =

(1 00 −1

)(∂rd −∂rc

∗

∂rb ∂ra∗

)=

(∂rd −∂rc

∗


)(C.29)

σ1∂θX =

(0 11 0

)(∂θd −∂θc

∗

∂θb ∂θa∗

)=

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)(C.30)

139


qA = qA0 = −α

r; α =

e2

c(C.20)


qAφσ12 = −α

rφi3 = −α


= Ω(−α

rXi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.21)


−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3 −

α


that is to say:

(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ



(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ


We let now:

X =

(a −b∗

c d∗

)(C.25)


X =

(d −c∗

b a∗.

)(C.26)

We get then:


(a b∗

c −d∗

)(C.27)

Xi3 =

(d −c∗

b a∗

)(i 00 −i

)=

(id ic∗

ib −ia∗

)(C.28)

σ3∂rX =

(1 00 −1

)(∂rd −∂rc

∗

∂rb ∂ra∗

)=

(∂rd −∂rc

∗


)(C.29)

σ1∂θX =

(0 11 0

)(∂θd −∂θc

∗

∂θb ∂θa∗

)=

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)(C.30)

139

(C.22)

that is to say:


qA = qA0 = −α

r; α =

e2

c(C.20)


qAφσ12 = −α

rφi3 = −α


= Ω(−α

rXi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.21)


−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3 −

α


that is to say:

(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ



(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ


We let now:

X =

(a −b∗

c d∗

)(C.25)


X =

(d −c∗

b a∗.

)(C.26)

We get then:


(a b∗

c −d∗

)(C.27)

Xi3 =

(d −c∗

b a∗

)(i 00 −i

)=

(id ic∗

ib −ia∗

)(C.28)

σ3∂rX =

(1 00 −1

)(∂rd −∂rc

∗

∂rb ∂ra∗

)=

(∂rd −∂rc

∗


)(C.29)

σ1∂θX =

(0 11 0

)(∂θd −∂θc

∗

∂θb ∂θa∗

)=

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)(C.30)

139


qA = qA0 = −α

r; α =

e2

c(C.20)


qAφσ12 = −α

rφi3 = −α


= Ω(−α

rXi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.21)


−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3 −

α


that is to say:

(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ



(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ


We let now:

X =

(a −b∗

c d∗

)(C.25)


X =

(d −c∗

b a∗.

)(C.26)

We get then:


(a b∗

c −d∗

)(C.27)

Xi3 =

(d −c∗

b a∗

)(i 00 −i

)=

(id ic∗

ib −ia∗

)(C.28)

σ3∂rX =

(1 00 −1

)(∂rd −∂rc

∗

∂rb ∂ra∗

)=

(∂rd −∂rc

∗


)(C.29)

σ1∂θX =

(0 11 0

)(∂θd −∂θc

∗

∂θb ∂θa∗

)=

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)(C.30)

139

(C.23)



qA = qA0 = −α

r; α =

e2

c(C.20)


qAφσ12 = −α

rφi3 = −α


= Ω(−α

rXi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.21)


−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3 −

α


that is to say:

(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ



(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ


We let now:

X =

(a −b∗

c d∗

)(C.25)


X =

(d −c∗

b a∗.

)(C.26)

We get then:


(a b∗

c −d∗

)(C.27)

Xi3 =

(d −c∗

b a∗

)(i 00 −i

)=

(id ic∗

ib −ia∗

)(C.28)

σ3∂rX =

(1 00 −1

)(∂rd −∂rc

∗

∂rb ∂ra∗

)=

(∂rd −∂rc

∗


)(C.29)

σ1∂θX =

(0 11 0

)(∂θd −∂θc

∗

∂θb ∂θa∗

)=

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)(C.30)

139


qA = qA0 = −α

r; α =

e2

c(C.20)


qAφσ12 = −α

rφi3 = −α


= Ω(−α

rXi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.21)


−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3 −

α


that is to say:

(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ



(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ


We let now:

X =

(a −b∗

c d∗

)(C.25)


X =

(d −c∗

b a∗.

)(C.26)

We get then:


(a b∗

c −d∗

)(C.27)

Xi3 =

(d −c∗

b a∗

)(i 00 −i

)=

(id ic∗

ib −ia∗

)(C.28)

σ3∂rX =

(1 00 −1

)(∂rd −∂rc

∗

∂rb ∂ra∗

)=

(∂rd −∂rc

∗


)(C.29)

σ1∂θX =

(0 11 0

)(∂θd −∂θc

∗

∂θb ∂θa∗

)=

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)(C.30)

139

(C.24)

(C.2)(C.3)

(C.4)



We let now:


qA = qA0 = −α

r; α =

e2

c(C.20)


qAφσ12 = −α

rφi3 = −α


= Ω(−α

rXi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.21)


−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3 −

α


that is to say:

(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ



(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ


We let now:

X =

(a −b∗

c d∗

)(C.25)


X =

(d −c∗

b a∗.

)(C.26)

We get then:


(a b∗

c −d∗

)(C.27)

Xi3 =

(d −c∗

b a∗

)(i 00 −i

)=

(id ic∗

ib −ia∗

)(C.28)

σ3∂rX =

(1 00 −1

)(∂rd −∂rc

∗

∂rb ∂ra∗

)=

(∂rd −∂rc

∗


)(C.29)

σ1∂θX =

(0 11 0

)(∂θd −∂θc

∗

∂θb ∂θa∗

)=

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)(C.30)

139

(C.25)

where a, b, c, d are functions with complex value of the real variables r and θ. We get then:


qA = qA0 = −α

r; α =

e2

c(C.20)


qAφσ12 = −α

rφi3 = −α


= Ω(−α

rXi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.21)


−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3 −

α


that is to say:

(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ



(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ


We let now:

X =

(a −b∗

c d∗

)(C.25)


X =

(d −c∗

b a∗.

)(C.26)

We get then:


(a b∗

c −d∗

)(C.27)

Xi3 =

(d −c∗

b a∗

)(i 00 −i

)=

(id ic∗

ib −ia∗

)(C.28)

σ3∂rX =

(1 00 −1

)(∂rd −∂rc

∗

∂rb ∂ra∗

)=

(∂rd −∂rc

∗


)(C.29)

σ1∂θX =

(0 11 0

)(∂θd −∂θc

∗

∂θb ∂θa∗

)=

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)(C.30)

139

(C.26)

We get then:

(C.27)

(C.28)

(C.29)

(C.30)

(C.31)

Consequently the nonlinear equation (3.10) becomes:

(C.32)

Conjugating equations with *, we get the system:

(C.33)

In addition we have:

(C.34)

so we get:

(C.35)

For the four equations (C.33) there are only two an-gular operators, so we let:

(C.36)

where A, B, C and D are functions of r whilst U and V are functions of θ. The system (C.33) becomes:

(C.37)

So if a κ constant exists such as:

(C.38)

the system (C.37) becomes:

(C.39)

To get the system equivalent to the Dirac equation, from the same process, it is enough to replace β by 0, this does not change the angular system (C.38), while in the place of (C.39) we get the system:

(C.40)


qA = qA0 = −α

r; α =

e2

c(C.20)


qAφσ12 = −α

rφi3 = −α


= Ω(−α

rXi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.21)


−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3 −

α


that is to say:

(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ



(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ


We let now:

X =

(a −b∗

c d∗

)(C.25)


X =

(d −c∗

b a∗.

)(C.26)

We get then:


(a b∗

c −d∗

)(C.27)

Xi3 =

(d −c∗

b a∗

)(i 00 −i

)=

(id ic∗

ib −ia∗

)(C.28)

σ3∂rX =

(1 00 −1

)(∂rd −∂rc

∗

∂rb ∂ra∗

)=

(∂rd −∂rc

∗


)(C.29)

σ1∂θX =

(0 11 0

)(∂θd −∂θc

∗

∂θb ∂θa∗

)=

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)(C.30)

139


qA = qA0 = −α

r; α =

e2

c(C.20)


qAφσ12 = −α

rφi3 = −α


= Ω(−α

rXi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.21)


−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3 −

α


that is to say:

(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ



(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ


We let now:

X =

(a −b∗

c d∗

)(C.25)


X =

(d −c∗

b a∗.

)(C.26)

We get then:


(a b∗

c −d∗

)(C.27)

Xi3 =

(d −c∗

b a∗

)(i 00 −i

)=

(id ic∗

ib −ia∗

)(C.28)

σ3∂rX =

(1 00 −1

)(∂rd −∂rc

∗

∂rb ∂ra∗

)=

(∂rd −∂rc

∗


)(C.29)

σ1∂θX =

(0 11 0

)(∂θd −∂θc

∗

∂θb ∂θa∗

)=

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)(C.30)

139


qA = qA0 = −α

r; α =

e2

c(C.20)


qAφσ12 = −α

rφi3 = −α


= Ω(−α

rXi3)e

(λϕ−Ex0+δ)i3 . (C.21)


−EXi3 − σ3∂rX − 1

rσ1∂θX − λ

r sin θσ2Xi3 −

α


that is to say:

(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ



(E +α

r)Xi3 + σ3∂rX +

1

rσ1∂θX +

λ


We let now:

X =

(a −b∗

c d∗

)(C.25)


X =

(d −c∗

b a∗.

)(C.26)

We get then:


(a b∗

c −d∗

)(C.27)

Xi3 =

(d −c∗

b a∗

)(i 00 −i

)=

(id ic∗

ib −ia∗

)(C.28)

σ3∂rX =

(1 00 −1

)(∂rd −∂rc

∗

∂rb ∂ra∗

)=

(∂rd −∂rc

∗


)(C.29)

σ1∂θX =

(0 11 0

)(∂θd −∂θc

∗

∂θb ∂θa∗

)=

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)(C.30)

139

σ2Xi3 = i2Xσ3 =

(0 1−1 0

)(d −c∗

b a∗

)(1 00 −1

)=

(b −a∗

−d −c∗

). (C.31)


(E +α

r)

(id ic∗

ib −ia∗

)+

(∂rd −∂rc

∗


)+

1

r

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)

+λ

r sin θ

(b −a∗

−d −c∗

)= ime−iβ

(a b∗

c −d∗

). (C.32)


i(E +α

r)d+ ∂rd+

1

r(∂θ +

λ

sin θ)b = ime−iβa

−i(E +α

r)c− ∂rc+

1

r(∂θ −

λ

sin θ)a = −imeiβb (C.33)

i(E +α

r)b− ∂rb+

1

r(∂θ −

λ

sin θ)d = ime−iβc

−i(E +α

r)a+ ∂ra+

1

r(∂θ +

λ

sin θ)c = −imeiβd.


ρeiβ = det(φ) =det(X)

r2 sin θ=

ad∗ + cb∗

r2 sin θ(C.34)

so we get:

eiβ =ad∗ + cb∗

|ad∗ + cb∗|(C.35)

For the four equations (C.33) there are only two angular operators, so we let:

a = AU ; b = BV ; c = CV ; d = DU (C.36)

where A, B, C and D are functions of r whilst U and V are functions of θ. Thesystem (C.33) becomes:

i(E +α

r)DU +D′U +

1

r(V ′ +

λ

sin θV )B = ime−iβAU

−i(E +α

r)CV − C ′V +

1

r(U ′ − λ

sin θU)A = −imeiβBV (C.37)

i(E +α

r)BV −B′V +

1

r(U ′ − λ

sin θU)D = ime−iβCV

−i(E +α

r)AU +A′U +

1

r(V ′ +

λ

sin θV )C = −imeiβDU.


U ′ − λ

sin θU = −κV ; V ′ +

λ

sin θV = κU (C.38)

140

σ2Xi3 = i2Xσ3 =

(0 1−1 0

)(d −c∗

b a∗

)(1 00 −1

)=

(b −a∗

−d −c∗

). (C.31)


(E +α

r)

(id ic∗

ib −ia∗

)+

(∂rd −∂rc

∗


)+

1

r

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)

+λ

r sin θ

(b −a∗

−d −c∗

)= ime−iβ

(a b∗

c −d∗

). (C.32)


i(E +α

r)d+ ∂rd+

1

r(∂θ +

λ


−i(E +α

r)c− ∂rc+

1

r(∂θ −

λ


i(E +α

r)b− ∂rb+

1

r(∂θ −

λ


−i(E +α

r)a+ ∂ra+

1

r(∂θ +

λ




r2 sin θ=

ad∗ + cb∗

r2 sin θ(C.34)

so we get:

eiβ =ad∗ + cb∗

|ad∗ + cb∗|(C.35)


a = AU ; b = BV ; c = CV ; d = DU (C.36)


i(E +α

r)DU +D′U +

1

r(V ′ +

λ


−i(E +α

r)CV − C ′V +

1

r(U ′ − λ


i(E +α

r)BV −B′V +

1

r(U ′ − λ


−i(E +α

r)AU +A′U +

1

r(V ′ +

λ



U ′ − λ


λ


140

σ2Xi3 = i2Xσ3 =

(0 1−1 0

)(d −c∗

b a∗

)(1 00 −1

)=

(b −a∗

−d −c∗

). (C.31)


(E +α

r)

(id ic∗

ib −ia∗

)+

(∂rd −∂rc

∗


)+

1

r

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)

+λ

r sin θ

(b −a∗

−d −c∗

)= ime−iβ

(a b∗

c −d∗

). (C.32)


i(E +α

r)d+ ∂rd+

1

r(∂θ +

λ


−i(E +α

r)c− ∂rc+

1

r(∂θ −

λ


i(E +α

r)b− ∂rb+

1

r(∂θ −

λ


−i(E +α

r)a+ ∂ra+

1

r(∂θ +

λ




r2 sin θ=

ad∗ + cb∗

r2 sin θ(C.34)

so we get:

eiβ =ad∗ + cb∗

|ad∗ + cb∗|(C.35)


a = AU ; b = BV ; c = CV ; d = DU (C.36)


i(E +α

r)DU +D′U +

1

r(V ′ +

λ


−i(E +α

r)CV − C ′V +

1

r(U ′ − λ


i(E +α

r)BV −B′V +

1

r(U ′ − λ


−i(E +α

r)AU +A′U +

1

r(V ′ +

λ



U ′ − λ


λ


140

σ2Xi3 = i2Xσ3 =

(0 1−1 0

)(d −c∗

b a∗

)(1 00 −1

)=

(b −a∗

−d −c∗

). (C.31)


(E +α

r)

(id ic∗

ib −ia∗

)+

(∂rd −∂rc

∗


)+

1

r

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)

+λ

r sin θ

(b −a∗

−d −c∗

)= ime−iβ

(a b∗

c −d∗

). (C.32)


i(E +α

r)d+ ∂rd+

1

r(∂θ +

λ


−i(E +α

r)c− ∂rc+

1

r(∂θ −

λ


i(E +α

r)b− ∂rb+

1

r(∂θ −

λ


−i(E +α

r)a+ ∂ra+

1

r(∂θ +

λ




r2 sin θ=

ad∗ + cb∗

r2 sin θ(C.34)

so we get:

eiβ =ad∗ + cb∗

|ad∗ + cb∗|(C.35)


a = AU ; b = BV ; c = CV ; d = DU (C.36)


i(E +α

r)DU +D′U +

1

r(V ′ +

λ


−i(E +α

r)CV − C ′V +

1

r(U ′ − λ


i(E +α

r)BV −B′V +

1

r(U ′ − λ


−i(E +α

r)AU +A′U +

1

r(V ′ +

λ



U ′ − λ


λ


140

σ2Xi3 = i2Xσ3 =

(0 1−1 0

)(d −c∗

b a∗

)(1 00 −1

)=

(b −a∗

−d −c∗

). (C.31)


(E +α

r)

(id ic∗

ib −ia∗

)+

(∂rd −∂rc

∗


)+

1

r

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)

+λ

r sin θ

(b −a∗

−d −c∗

)= ime−iβ

(a b∗

c −d∗

). (C.32)


i(E +α

r)d+ ∂rd+

1

r(∂θ +

λ


−i(E +α

r)c− ∂rc+

1

r(∂θ −

λ


i(E +α

r)b− ∂rb+

1

r(∂θ −

λ


−i(E +α

r)a+ ∂ra+

1

r(∂θ +

λ




r2 sin θ=

ad∗ + cb∗

r2 sin θ(C.34)

so we get:

eiβ =ad∗ + cb∗

|ad∗ + cb∗|(C.35)


a = AU ; b = BV ; c = CV ; d = DU (C.36)


i(E +α

r)DU +D′U +

1

r(V ′ +

λ


−i(E +α

r)CV − C ′V +

1

r(U ′ − λ


i(E +α

r)BV −B′V +

1

r(U ′ − λ


−i(E +α

r)AU +A′U +

1

r(V ′ +

λ



U ′ − λ


λ


140

σ2Xi3 = i2Xσ3 =

(0 1−1 0

)(d −c∗

b a∗

)(1 00 −1

)=

(b −a∗

−d −c∗

). (C.31)


(E +α

r)

(id ic∗

ib −ia∗

)+

(∂rd −∂rc

∗


)+

1

r

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)

+λ

r sin θ

(b −a∗

−d −c∗

)= ime−iβ

(a b∗

c −d∗

). (C.32)


i(E +α

r)d+ ∂rd+

1

r(∂θ +

λ


−i(E +α

r)c− ∂rc+

1

r(∂θ −

λ


i(E +α

r)b− ∂rb+

1

r(∂θ −

λ


−i(E +α

r)a+ ∂ra+

1

r(∂θ +

λ




r2 sin θ=

ad∗ + cb∗

r2 sin θ(C.34)

so we get:

eiβ =ad∗ + cb∗

|ad∗ + cb∗|(C.35)


a = AU ; b = BV ; c = CV ; d = DU (C.36)


i(E +α

r)DU +D′U +

1

r(V ′ +

λ


−i(E +α

r)CV − C ′V +

1

r(U ′ − λ


i(E +α

r)BV −B′V +

1

r(U ′ − λ


−i(E +α

r)AU +A′U +

1

r(V ′ +

λ



U ′ − λ


λ


140

σ2Xi3 = i2Xσ3 =

(0 1−1 0

)(d −c∗

b a∗

)(1 00 −1

)=

(b −a∗

−d −c∗

). (C.31)


(E +α

r)

(id ic∗

ib −ia∗

)+

(∂rd −∂rc

∗


)+

1

r

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)

+λ

r sin θ

(b −a∗

−d −c∗

)= ime−iβ

(a b∗

c −d∗

). (C.32)


i(E +α

r)d+ ∂rd+

1

r(∂θ +

λ


−i(E +α

r)c− ∂rc+

1

r(∂θ −

λ


i(E +α

r)b− ∂rb+

1

r(∂θ −

λ


−i(E +α

r)a+ ∂ra+

1

r(∂θ +

λ




r2 sin θ=

ad∗ + cb∗

r2 sin θ(C.34)

so we get:

eiβ =ad∗ + cb∗

|ad∗ + cb∗|(C.35)


a = AU ; b = BV ; c = CV ; d = DU (C.36)


i(E +α

r)DU +D′U +

1

r(V ′ +

λ


−i(E +α

r)CV − C ′V +

1

r(U ′ − λ


i(E +α

r)BV −B′V +

1

r(U ′ − λ


−i(E +α

r)AU +A′U +

1

r(V ′ +

λ



U ′ − λ


λ


140

σ2Xi3 = i2Xσ3 =

(0 1−1 0

)(d −c∗

b a∗

)(1 00 −1

)=

(b −a∗

−d −c∗

). (C.31)


(E +α

r)

(id ic∗

ib −ia∗

)+

(∂rd −∂rc

∗


)+

1

r

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)

+λ

r sin θ

(b −a∗

−d −c∗

)= ime−iβ

(a b∗

c −d∗

). (C.32)


i(E +α

r)d+ ∂rd+

1

r(∂θ +

λ


−i(E +α

r)c− ∂rc+

1

r(∂θ −

λ


i(E +α

r)b− ∂rb+

1

r(∂θ −

λ


−i(E +α

r)a+ ∂ra+

1

r(∂θ +

λ




r2 sin θ=

ad∗ + cb∗

r2 sin θ(C.34)

so we get:

eiβ =ad∗ + cb∗

|ad∗ + cb∗|(C.35)


a = AU ; b = BV ; c = CV ; d = DU (C.36)


i(E +α

r)DU +D′U +

1

r(V ′ +

λ


−i(E +α

r)CV − C ′V +

1

r(U ′ − λ


i(E +α

r)BV −B′V +

1

r(U ′ − λ


−i(E +α

r)AU +A′U +

1

r(V ′ +

λ



U ′ − λ


λ


140

σ2Xi3 = i2Xσ3 =

(0 1−1 0

)(d −c∗

b a∗

)(1 00 −1

)=

(b −a∗

−d −c∗

). (C.31)


(E +α

r)

(id ic∗

ib −ia∗

)+

(∂rd −∂rc

∗


)+

1

r

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)

+λ

r sin θ

(b −a∗

−d −c∗

)= ime−iβ

(a b∗

c −d∗

). (C.32)


i(E +α

r)d+ ∂rd+

1

r(∂θ +

λ


−i(E +α

r)c− ∂rc+

1

r(∂θ −

λ


i(E +α

r)b− ∂rb+

1

r(∂θ −

λ


−i(E +α

r)a+ ∂ra+

1

r(∂θ +

λ




r2 sin θ=

ad∗ + cb∗

r2 sin θ(C.34)

so we get:

eiβ =ad∗ + cb∗

|ad∗ + cb∗|(C.35)


a = AU ; b = BV ; c = CV ; d = DU (C.36)


i(E +α

r)DU +D′U +

1

r(V ′ +

λ


−i(E +α

r)CV − C ′V +

1

r(U ′ − λ


i(E +α

r)BV −B′V +

1

r(U ′ − λ


−i(E +α

r)AU +A′U +

1

r(V ′ +

λ



U ′ − λ


λ


140σ2Xi3 = i2Xσ3 =

(0 1−1 0

)(d −c∗

b a∗

)(1 00 −1

)=

(b −a∗

−d −c∗

). (C.31)


(E +α

r)

(id ic∗

ib −ia∗

)+

(∂rd −∂rc

∗


)+

1

r

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)

+λ

r sin θ

(b −a∗

−d −c∗

)= ime−iβ

(a b∗

c −d∗

). (C.32)


i(E +α

r)d+ ∂rd+

1

r(∂θ +

λ


−i(E +α

r)c− ∂rc+

1

r(∂θ −

λ


i(E +α

r)b− ∂rb+

1

r(∂θ −

λ


−i(E +α

r)a+ ∂ra+

1

r(∂θ +

λ




r2 sin θ=

ad∗ + cb∗

r2 sin θ(C.34)

so we get:

eiβ =ad∗ + cb∗

|ad∗ + cb∗|(C.35)


a = AU ; b = BV ; c = CV ; d = DU (C.36)


i(E +α

r)DU +D′U +

1

r(V ′ +

λ


−i(E +α

r)CV − C ′V +

1

r(U ′ − λ


i(E +α

r)BV −B′V +

1

r(U ′ − λ


−i(E +α

r)AU +A′U +

1

r(V ′ +

λ



U ′ − λ


λ


140

σ2Xi3 = i2Xσ3 =

(0 1−1 0

)(d −c∗

b a∗

)(1 00 −1

)=

(b −a∗

−d −c∗

). (C.31)


(E +α

r)

(id ic∗

ib −ia∗

)+

(∂rd −∂rc

∗


)+

1

r

(∂θb ∂θa

∗

∂θd −∂θc∗

)

+λ

r sin θ

(b −a∗

−d −c∗

)= ime−iβ

(a b∗

c −d∗

). (C.32)


i(E +α

r)d+ ∂rd+

1

r(∂θ +

λ


−i(E +α

r)c− ∂rc+

1

r(∂θ −

λ


i(E +α

r)b− ∂rb+

1

r(∂θ −

λ


−i(E +α

r)a+ ∂ra+

1

r(∂θ +

λ




r2 sin θ=

ad∗ + cb∗

r2 sin θ(C.34)

so we get:

eiβ =ad∗ + cb∗

|ad∗ + cb∗|(C.35)


a = AU ; b = BV ; c = CV ; d = DU (C.36)


i(E +α

r)DU +D′U +

1

r(V ′ +

λ


−i(E +α

r)CV − C ′V +

1

r(U ′ − λ


i(E +α

r)BV −B′V +

1

r(U ′ − λ


−i(E +α

r)AU +A′U +

1

r(V ′ +

λ



U ′ − λ


λ


140


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = ime−iβA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ

rA = −imeiβB (C.39)

i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = ime−iβC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imeiβD

To get the system equivalent to the Dirac equation, from the same process, itis enough to replace β by 0, this does not change the angular system (C.38),while in the place of (C.39) we get the system:

i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = imA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ

rA = −imB (C.40)

i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = imC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imD

C.2 Angular momentum operators

We established in [4] the form that, in space-time algebra, the angular momen-tum operators take. With the Pauli algebra, we have (a detailed calculation isin [5] A.3):

J1φ = (d1 +1

2σ23)φσ21 ; d1 = x2∂3 − x3∂2 = − sinϕ ∂θ −

cosϕ

tan θ∂ϕ (C.41)

J2φ = (d2 +1

2σ31)φσ21 ; d2 = x3∂1 − x1∂3 = cosϕ ∂θ −

sinϕ

tan θ∂ϕ (C.42)

J3φ = (d3 +1

2σ12)φσ21 ; d3 = x1∂2 − x2∂1 = ∂ϕ. (C.43)

Of course we also have

J2 = J21 + J2

2 + J23 . (C.44)

We get then

J3φ = λφ ⇐⇒ φ = φ(x0, r, θ)eλϕi3 . (C.45)

So the wave φ satisfying (C.8) is a proper vector of J3 and λ is the magneticquantum number. More, always for a φ wave satisfying (C.8), we have:

J2φ = j(j + 1)φ (C.46)

141


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = ime−iβA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ


i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = ime−iβC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imeiβD


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = imA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ

rA = −imB (C.40)

i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = imC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imD



J1φ = (d1 +1

2σ23)φσ21 ; d1 = x2∂3 − x3∂2 = − sinϕ ∂θ −

cosϕ

tan θ∂ϕ (C.41)

J2φ = (d2 +1

2σ31)φσ21 ; d2 = x3∂1 − x1∂3 = cosϕ ∂θ −

sinϕ

tan θ∂ϕ (C.42)

J3φ = (d3 +1

2σ12)φσ21 ; d3 = x1∂2 − x2∂1 = ∂ϕ. (C.43)


J2 = J21 + J2

2 + J23 . (C.44)

We get then

J3φ = λφ ⇐⇒ φ = φ(x0, r, θ)eλϕi3 . (C.45)


J2φ = j(j + 1)φ (C.46)

141




We established in [4] the form that, in space-time al-gebra, the angular momentum operators take. With the Pauli algebra, we have (a detailed calculation is in [5] A.3):

(C.41)

(C.42)

(C.43)


(C.44)

We get then

(C.45)

So the wave φ satisfying (C.8) is a proper vector of J3 and λ is the magnetic quantum number. More, always for a φ wave satisfying (C.8), we have:

(C.46)

if and only if

(C.47)But (C.38) implies at the second order

(C.48)

(C.49)

(C.50)

Consequently φ is a proper vector of J 2 , with the proper value j ( j + 1), if and only if

(C.51)

With (C.3) and (C.8) we can see that the change of ϕ into ϕ + 2π conserves the value of the wave if and only

if λ has a half-odd value. General results on angular mo-mentum operators imply then:

(C.52)

To solve the angular system, if λ > 0 we let, with C = C (θ):

(C.53)

If λ< 0 we let:

(C.54)

The angular system (C.38) is then equivalent [3] to the differential equation:

(C.55)

The change of variable:

(C.56)

gives then the differential equation of the Gegenbauer’s polynomials:61

(C.57)

And we get, as only integrable solution:

(C.58)with:

(C.59)

61 When we solve the Dirac equation with the Darwin’s method, that is to say with the ad- hoc operators, we get Legendre’s polynomials and spherical harmonics. Here, working with φ, that is to say with the Weyl spinors ξ and η, we get the Gegen-bauer’s polynomials, and it is the degree of the Gegenbauer’s polynomial which is the needed quantum number.


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = ime−iβA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ


i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = ime−iβC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imeiβD


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = imA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ

rA = −imB (C.40)

i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = imC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imD



J1φ = (d1 +1

2σ23)φσ21 ; d1 = x2∂3 − x3∂2 = − sinϕ ∂θ −

cosϕ

tan θ∂ϕ (C.41)

J2φ = (d2 +1

2σ31)φσ21 ; d2 = x3∂1 − x1∂3 = cosϕ ∂θ −

sinϕ

tan θ∂ϕ (C.42)

J3φ = (d3 +1

2σ12)φσ21 ; d3 = x1∂2 − x2∂1 = ∂ϕ. (C.43)


J2 = J21 + J2

2 + J23 . (C.44)

We get then

J3φ = λφ ⇐⇒ φ = φ(x0, r, θ)eλϕi3 . (C.45)


J2φ = j(j + 1)φ (C.46)

141


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = ime−iβA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ


i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = ime−iβC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imeiβD


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = imA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ

rA = −imB (C.40)

i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = imC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imD



J1φ = (d1 +1

2σ23)φσ21 ; d1 = x2∂3 − x3∂2 = − sinϕ ∂θ −

cosϕ

tan θ∂ϕ (C.41)

J2φ = (d2 +1

2σ31)φσ21 ; d2 = x3∂1 − x1∂3 = cosϕ ∂θ −

sinϕ

tan θ∂ϕ (C.42)

J3φ = (d3 +1

2σ12)φσ21 ; d3 = x1∂2 − x2∂1 = ∂ϕ. (C.43)


J2 = J21 + J2

2 + J23 . (C.44)

We get then

J3φ = λφ ⇐⇒ φ = φ(x0, r, θ)eλϕi3 . (C.45)


J2φ = j(j + 1)φ (C.46)

141


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = ime−iβA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ


i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = ime−iβC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imeiβD


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = imA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ

rA = −imB (C.40)

i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = imC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imD



J1φ = (d1 +1

2σ23)φσ21 ; d1 = x2∂3 − x3∂2 = − sinϕ ∂θ −

cosϕ

tan θ∂ϕ (C.41)

J2φ = (d2 +1

2σ31)φσ21 ; d2 = x3∂1 − x1∂3 = cosϕ ∂θ −

sinϕ

tan θ∂ϕ (C.42)

J3φ = (d3 +1

2σ12)φσ21 ; d3 = x1∂2 − x2∂1 = ∂ϕ. (C.43)


J2 = J21 + J2

2 + J23 . (C.44)

We get then

J3φ = λφ ⇐⇒ φ = φ(x0, r, θ)eλϕi3 . (C.45)


J2φ = j(j + 1)φ (C.46)

141


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = ime−iβA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ


i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = ime−iβC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imeiβD


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = imA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ

rA = −imB (C.40)

i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = imC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imD



J1φ = (d1 +1

2σ23)φσ21 ; d1 = x2∂3 − x3∂2 = − sinϕ ∂θ −

cosϕ

tan θ∂ϕ (C.41)

J2φ = (d2 +1

2σ31)φσ21 ; d2 = x3∂1 − x1∂3 = cosϕ ∂θ −

sinϕ

tan θ∂ϕ (C.42)

J3φ = (d3 +1

2σ12)φσ21 ; d3 = x1∂2 − x2∂1 = ∂ϕ. (C.43)


J2 = J21 + J2

2 + J23 . (C.44)

We get then

J3φ = λφ ⇐⇒ φ = φ(x0, r, θ)eλϕi3 . (C.45)


J2φ = j(j + 1)φ (C.46)

141


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = ime−iβA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ


i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = ime−iβC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imeiβD


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = imA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ

rA = −imB (C.40)

i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = imC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imD



J1φ = (d1 +1

2σ23)φσ21 ; d1 = x2∂3 − x3∂2 = − sinϕ ∂θ −

cosϕ

tan θ∂ϕ (C.41)

J2φ = (d2 +1

2σ31)φσ21 ; d2 = x3∂1 − x1∂3 = cosϕ ∂θ −

sinϕ

tan θ∂ϕ (C.42)

J3φ = (d3 +1

2σ12)φσ21 ; d3 = x1∂2 − x2∂1 = ∂ϕ. (C.43)


J2 = J21 + J2

2 + J23 . (C.44)

We get then

J3φ = λφ ⇐⇒ φ = φ(x0, r, θ)eλϕi3 . (C.45)


J2φ = j(j + 1)φ (C.46)

141


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = ime−iβA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ


i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = ime−iβC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imeiβD


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = imA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ

rA = −imB (C.40)

i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = imC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imD



J1φ = (d1 +1

2σ23)φσ21 ; d1 = x2∂3 − x3∂2 = − sinϕ ∂θ −

cosϕ

tan θ∂ϕ (C.41)

J2φ = (d2 +1

2σ31)φσ21 ; d2 = x3∂1 − x1∂3 = cosϕ ∂θ −

sinϕ

tan θ∂ϕ (C.42)

J3φ = (d3 +1

2σ12)φσ21 ; d3 = x1∂2 − x2∂1 = ∂ϕ. (C.43)


J2 = J21 + J2

2 + J23 . (C.44)

We get then

J3φ = λφ ⇐⇒ φ = φ(x0, r, θ)eλϕi3 . (C.45)


J2φ = j(j + 1)φ (C.46)

141


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = ime−iβA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ


i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = ime−iβC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imeiβD


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = imA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ

rA = −imB (C.40)

i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = imC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imD



J1φ = (d1 +1

2σ23)φσ21 ; d1 = x2∂3 − x3∂2 = − sinϕ ∂θ −

cosϕ

tan θ∂ϕ (C.41)

J2φ = (d2 +1

2σ31)φσ21 ; d2 = x3∂1 − x1∂3 = cosϕ ∂θ −

sinϕ

tan θ∂ϕ (C.42)

J3φ = (d3 +1

2σ12)φσ21 ; d3 = x1∂2 − x2∂1 = ∂ϕ. (C.43)


J2 = J21 + J2

2 + J23 . (C.44)

We get then

J3φ = λφ ⇐⇒ φ = φ(x0, r, θ)eλϕi3 . (C.45)


J2φ = j(j + 1)φ (C.46)

141


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = ime−iβA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ


i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = ime−iβC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imeiβD


i(E +α

r)D +D′ +

κ

rB = imA

−i(E +α

r)C − C ′ − κ

rA = −imB (C.40)

i(E +α

r)B −B′ − κ

rD = imC

−i(E +α

r)A+A′ +

κ

rC = −imD



J1φ = (d1 +1

2σ23)φσ21 ; d1 = x2∂3 − x3∂2 = − sinϕ ∂θ −

cosϕ

tan θ∂ϕ (C.41)

J2φ = (d2 +1

2σ31)φσ21 ; d2 = x3∂1 − x1∂3 = cosϕ ∂θ −

sinϕ

tan θ∂ϕ (C.42)

J3φ = (d3 +1

2σ12)φσ21 ; d3 = x1∂2 − x2∂1 = ∂ϕ. (C.43)


J2 = J21 + J2

2 + J23 . (C.44)

We get then

J3φ = λφ ⇐⇒ φ = φ(x0, r, θ)eλϕi3 . (C.45)


J2φ = j(j + 1)φ (C.46)

141

if and only if

∂2θθX + [(j +

1

2)2 − λ2

sin2 θ]X − λ

cos θ

sin2 θσ12Xσ12 = 0. (C.47)

But (C.38) implies at the second order

0 = U ′′ + (κ2 − λ2

sin2 θ)U + λ

cos θ

sin2 θU (C.48)

0 = V ′′ + (κ2 − λ2

sin2 θ)V − λ

cos θ

sin2 θV (C.49)

0 = ∂2θθX + (κ2 − λ2

sin2 θ)X − λ

cos θ

sin2 θσ12Xσ12 (C.50)

Consequently φ is a proper vector of J2, with the proper value j(j + 1), if andonly if

κ2 = (j +1

2)2 ; |κ| = j +

1

2; j = |κ| − 1

2. (C.51)

With (C.3) and (C.8) we can see that the change of ϕ into ϕ + 2π conservesthe value of the wave if and only if λ has a half-odd value. General results onangular momentum operators imply then:

j =1

2,3

2,5

2, · · · ; κ = ±1, ± 2, ± 3, · · · ; λ = −j, − j + 1, · · · j − 1, j.

(C.52)

To solve the angular system, if λ > 0 we let, with C = C(θ):

U = sinλ θ[sin(θ

2)C ′ − (κ+

1

2− λ) cos(

θ

2)C]

V = sinλ θ[cos(θ

2)C ′ + (κ+

1

2− λ) sin(

θ

2)C].

(C.53)

If λ < 0 we let:

U = sin−λ θ[cos(θ

2)C ′ + (κ+

1

2+ λ) sin(

θ

2)C]

V = sin−λ θ[− sin(θ

2)C ′ + (κ+

1

2+ λ) cos(

θ

2)C]

(C.54)

The angular system (C.38) is then equivalent [3] to the differential equation :

0 = C ′′ +2|λ|tan θ

C ′ + [(κ+1

2)2 − λ2]C (C.55)


z = cos θ ; f(z) = C[θ(z)] (C.56)

142

if and only if

∂2θθX + [(j +

1

2)2 − λ2

sin2 θ]X − λ

cos θ

sin2 θσ12Xσ12 = 0. (C.47)


0 = U ′′ + (κ2 − λ2

sin2 θ)U + λ

cos θ

sin2 θU (C.48)

0 = V ′′ + (κ2 − λ2

sin2 θ)V − λ

cos θ

sin2 θV (C.49)

0 = ∂2θθX + (κ2 − λ2

sin2 θ)X − λ

cos θ



κ2 = (j +1

2)2 ; |κ| = j +

1

2; j = |κ| − 1

2. (C.51)


j =1

2,3

2,5

2, · · · ; κ = ±1, ± 2, ± 3, · · · ; λ = −j, − j + 1, · · · j − 1, j.

(C.52)


U = sinλ θ[sin(θ

2)C ′ − (κ+

1

2− λ) cos(

θ

2)C]

V = sinλ θ[cos(θ

2)C ′ + (κ+

1

2− λ) sin(

θ

2)C].

(C.53)

If λ < 0 we let:


2)C ′ + (κ+

1

2+ λ) sin(

θ

2)C]


2)C ′ + (κ+

1

2+ λ) cos(

θ

2)C]

(C.54)


0 = C ′′ +2|λ|tan θ

C ′ + [(κ+1

2)2 − λ2]C (C.55)


z = cos θ ; f(z) = C[θ(z)] (C.56)

142

if and only if

∂2θθX + [(j +

1

2)2 − λ2

sin2 θ]X − λ

cos θ

sin2 θσ12Xσ12 = 0. (C.47)


0 = U ′′ + (κ2 − λ2

sin2 θ)U + λ

cos θ

sin2 θU (C.48)

0 = V ′′ + (κ2 − λ2

sin2 θ)V − λ

cos θ

sin2 θV (C.49)

0 = ∂2θθX + (κ2 − λ2

sin2 θ)X − λ

cos θ



κ2 = (j +1

2)2 ; |κ| = j +

1

2; j = |κ| − 1

2. (C.51)


j =1

2,3

2,5

2, · · · ; κ = ±1, ± 2, ± 3, · · · ; λ = −j, − j + 1, · · · j − 1, j.

(C.52)


U = sinλ θ[sin(θ

2)C ′ − (κ+

1

2− λ) cos(

θ

2)C]

V = sinλ θ[cos(θ

2)C ′ + (κ+

1

2− λ) sin(

θ

2)C].

(C.53)

If λ < 0 we let:


2)C ′ + (κ+

1

2+ λ) sin(

θ

2)C]


2)C ′ + (κ+

1

2+ λ) cos(

θ

2)C]

(C.54)


0 = C ′′ +2|λ|tan θ

C ′ + [(κ+1

2)2 − λ2]C (C.55)


z = cos θ ; f(z) = C[θ(z)] (C.56)

142

if and only if

∂2θθX + [(j +

1

2)2 − λ2

sin2 θ]X − λ

cos θ

sin2 θσ12Xσ12 = 0. (C.47)


0 = U ′′ + (κ2 − λ2

sin2 θ)U + λ

cos θ

sin2 θU (C.48)

0 = V ′′ + (κ2 − λ2

sin2 θ)V − λ

cos θ

sin2 θV (C.49)

0 = ∂2θθX + (κ2 − λ2

sin2 θ)X − λ

cos θ



κ2 = (j +1

2)2 ; |κ| = j +

1

2; j = |κ| − 1

2. (C.51)


j =1

2,3

2,5

2, · · · ; κ = ±1, ± 2, ± 3, · · · ; λ = −j, − j + 1, · · · j − 1, j.

(C.52)


U = sinλ θ[sin(θ

2)C ′ − (κ+

1

2− λ) cos(

θ

2)C]

V = sinλ θ[cos(θ

2)C ′ + (κ+

1

2− λ) sin(

θ

2)C].

(C.53)

If λ < 0 we let:


2)C ′ + (κ+

1

2+ λ) sin(

θ

2)C]


2)C ′ + (κ+

1

2+ λ) cos(

θ

2)C]

(C.54)


0 = C ′′ +2|λ|tan θ

C ′ + [(κ+1

2)2 − λ2]C (C.55)


z = cos θ ; f(z) = C[θ(z)] (C.56)

142

if and only if

∂2θθX + [(j +

1

2)2 − λ2

sin2 θ]X − λ

cos θ

sin2 θσ12Xσ12 = 0. (C.47)


0 = U ′′ + (κ2 − λ2

sin2 θ)U + λ

cos θ

sin2 θU (C.48)

0 = V ′′ + (κ2 − λ2

sin2 θ)V − λ

cos θ

sin2 θV (C.49)

0 = ∂2θθX + (κ2 − λ2

sin2 θ)X − λ

cos θ



κ2 = (j +1

2)2 ; |κ| = j +

1

2; j = |κ| − 1

2. (C.51)


j =1

2,3

2,5

2, · · · ; κ = ±1, ± 2, ± 3, · · · ; λ = −j, − j + 1, · · · j − 1, j.

(C.52)


U = sinλ θ[sin(θ

2)C ′ − (κ+

1

2− λ) cos(

θ

2)C]

V = sinλ θ[cos(θ

2)C ′ + (κ+

1

2− λ) sin(

θ

2)C].

(C.53)

If λ < 0 we let:


2)C ′ + (κ+

1

2+ λ) sin(

θ

2)C]


2)C ′ + (κ+

1

2+ λ) cos(

θ

2)C]

(C.54)


0 = C ′′ +2|λ|tan θ

C ′ + [(κ+1

2)2 − λ2]C (C.55)


z = cos θ ; f(z) = C[θ(z)] (C.56)

142

if and only if

∂2θθX + [(j +

1

2)2 − λ2

sin2 θ]X − λ

cos θ

sin2 θσ12Xσ12 = 0. (C.47)


0 = U ′′ + (κ2 − λ2

sin2 θ)U + λ

cos θ

sin2 θU (C.48)

0 = V ′′ + (κ2 − λ2

sin2 θ)V − λ

cos θ

sin2 θV (C.49)

0 = ∂2θθX + (κ2 − λ2

sin2 θ)X − λ

cos θ



κ2 = (j +1

2)2 ; |κ| = j +

1

2; j = |κ| − 1

2. (C.51)


j =1

2,3

2,5

2, · · · ; κ = ±1, ± 2, ± 3, · · · ; λ = −j, − j + 1, · · · j − 1, j.

(C.52)


U = sinλ θ[sin(θ

2)C ′ − (κ+

1

2− λ) cos(

θ

2)C]

V = sinλ θ[cos(θ

2)C ′ + (κ+

1

2− λ) sin(

θ

2)C].

(C.53)

If λ < 0 we let:


2)C ′ + (κ+

1

2+ λ) sin(

θ

2)C]


2)C ′ + (κ+

1

2+ λ) cos(

θ

2)C]

(C.54)


0 = C ′′ +2|λ|tan θ

C ′ + [(κ+1

2)2 − λ2]C (C.55)


z = cos θ ; f(z) = C[θ(z)] (C.56)

142

if and only if

∂2θθX + [(j +

1

2)2 − λ2

sin2 θ]X − λ

cos θ

sin2 θσ12Xσ12 = 0. (C.47)


0 = U ′′ + (κ2 − λ2

sin2 θ)U + λ

cos θ

sin2 θU (C.48)

0 = V ′′ + (κ2 − λ2

sin2 θ)V − λ

cos θ

sin2 θV (C.49)

0 = ∂2θθX + (κ2 − λ2

sin2 θ)X − λ

cos θ



κ2 = (j +1

2)2 ; |κ| = j +

1

2; j = |κ| − 1

2. (C.51)


j =1

2,3

2,5

2, · · · ; κ = ±1, ± 2, ± 3, · · · ; λ = −j, − j + 1, · · · j − 1, j.

(C.52)


U = sinλ θ[sin(θ

2)C ′ − (κ+

1

2− λ) cos(

θ

2)C]

V = sinλ θ[cos(θ

2)C ′ + (κ+

1

2− λ) sin(

θ

2)C].

(C.53)

If λ < 0 we let:


2)C ′ + (κ+

1

2+ λ) sin(

θ

2)C]


2)C ′ + (κ+

1

2+ λ) cos(

θ

2)C]

(C.54)


0 = C ′′ +2|λ|tan θ

C ′ + [(κ+1

2)2 − λ2]C (C.55)


z = cos θ ; f(z) = C[θ(z)] (C.56)

142

if and only if

∂2θθX + [(j +

1

2)2 − λ2

sin2 θ]X − λ

cos θ

sin2 θσ12Xσ12 = 0. (C.47)


0 = U ′′ + (κ2 − λ2

sin2 θ)U + λ

cos θ

sin2 θU (C.48)

0 = V ′′ + (κ2 − λ2

sin2 θ)V − λ

cos θ

sin2 θV (C.49)

0 = ∂2θθX + (κ2 − λ2

sin2 θ)X − λ

cos θ



κ2 = (j +1

2)2 ; |κ| = j +

1

2; j = |κ| − 1

2. (C.51)


j =1

2,3

2,5

2, · · · ; κ = ±1, ± 2, ± 3, · · · ; λ = −j, − j + 1, · · · j − 1, j.

(C.52)


U = sinλ θ[sin(θ

2)C ′ − (κ+

1

2− λ) cos(

θ

2)C]

V = sinλ θ[cos(θ

2)C ′ + (κ+

1

2− λ) sin(

θ

2)C].

(C.53)

If λ < 0 we let:


2)C ′ + (κ+

1

2+ λ) sin(

θ

2)C]


2)C ′ + (κ+

1

2+ λ) cos(

θ

2)C]

(C.54)


0 = C ′′ +2|λ|tan θ

C ′ + [(κ+1

2)2 − λ2]C (C.55)


z = cos θ ; f(z) = C[θ(z)] (C.56)

142

if and only if

∂2θθX + [(j +

1

2)2 − λ2

sin2 θ]X − λ

cos θ

sin2 θσ12Xσ12 = 0. (C.47)


0 = U ′′ + (κ2 − λ2

sin2 θ)U + λ

cos θ

sin2 θU (C.48)

0 = V ′′ + (κ2 − λ2

sin2 θ)V − λ

cos θ

sin2 θV (C.49)

0 = ∂2θθX + (κ2 − λ2

sin2 θ)X − λ

cos θ



κ2 = (j +1

2)2 ; |κ| = j +

1

2; j = |κ| − 1

2. (C.51)


j =1

2,3

2,5

2, · · · ; κ = ±1, ± 2, ± 3, · · · ; λ = −j, − j + 1, · · · j − 1, j.

(C.52)


U = sinλ θ[sin(θ

2)C ′ − (κ+

1

2− λ) cos(

θ

2)C]

V = sinλ θ[cos(θ

2)C ′ + (κ+

1

2− λ) sin(

θ

2)C].

(C.53)

If λ < 0 we let:


2)C ′ + (κ+

1

2+ λ) sin(

θ

2)C]


2)C ′ + (κ+

1

2+ λ) cos(

θ

2)C]

(C.54)


0 = C ′′ +2|λ|tan θ

C ′ + [(κ+1

2)2 − λ2]C (C.55)


z = cos θ ; f(z) = C[θ(z)] (C.56)

142gives then the differential equation of the Gegenbauer’s polynomials:61

0 = f ′′(z)− 1 + 2|λ|1− z2

zf ′(z) +(κ+ 1

2 )2 − λ2

1− z2f(z). (C.57)


C(θ)

C(0)=

∞∑n=0

(|λ| − κ− 12 )n(|λ|+ κ+ 1

2 )n

( 12 + |λ|)nn!sin2n(

θ

2) (C.58)

with:

(a)0 = 1 , (a)n = a(a+ 1) . . . (a+ n− 1). (C.59)

The C(0) factor is a factor of U and V , its phase may be absorbed by the δ in(C.8), and its amplitude may be transferred on the radial functions. We cantake therefore C(0) = 1, this gives:

C(θ) =∞∑

n=0

(|λ| − κ− 12 )n(|λ|+ κ+ 1

2 )n

( 12 + |λ|)nn!sin2n(

θ

2) . (C.60)

Since we have the conditions (C.52) on λ and κ, an integer n always exists suchas

|λ|+ n = |κ+1

2| (C.61)

and this forces the (C.60) series to be a finite sum, so U and V are integrable.And since U and V have real values, we have:

eiβ =AD∗U2 + CB∗V 2

|AD∗U2 + CB∗V 2|(C.62)

C.3 Resolution of the linear radial system

We make the change of radial variable:

x = mr ; ε =E

m; a(x) = A(r) = A(

x

m) (C.63)

b(x) = B(r) ; c(x) = C(r) ; d(x) = D(r).

The radial system (C.40) becomes:

i(ε+α

x)d+ d′ +

κ

xb = ia

−i(ε+α

x)c− c′ − κ

xa = −ib (C.64)

i(ε+α

x)b− b′ − κ

xd = ic

−i(ε+α

x)a+ a′ +

κ

xc = −id.

61When we solve the Dirac equation with the Darwin’s method, that is to say with the ad-hoc operators, we get Legendre’s polynomials and spherical harmonics. Here, working withφ, that is to say with the Weyl spinors ξ and η, we get the Gegenbauer’s polynomials, and itis the degree of the Gegenbauer’s polynomial which is the needed quantum number.

143


0 = f ′′(z)− 1 + 2|λ|1− z2

zf ′(z) +(κ+ 1

2 )2 − λ2

1− z2f(z). (C.57)


C(θ)

C(0)=

∞∑n=0

(|λ| − κ− 12 )n(|λ|+ κ+ 1

2 )n

( 12 + |λ|)nn!sin2n(

θ

2) (C.58)

with:

(a)0 = 1 , (a)n = a(a+ 1) . . . (a+ n− 1). (C.59)


C(θ) =∞∑

n=0

(|λ| − κ− 12 )n(|λ|+ κ+ 1

2 )n

( 12 + |λ|)nn!sin2n(

θ

2) . (C.60)


|λ|+ n = |κ+1

2| (C.61)



|AD∗U2 + CB∗V 2|(C.62)



x = mr ; ε =E

m; a(x) = A(r) = A(

x

m) (C.63)

b(x) = B(r) ; c(x) = C(r) ; d(x) = D(r).


i(ε+α

x)d+ d′ +

κ

xb = ia

−i(ε+α

x)c− c′ − κ

xa = −ib (C.64)

i(ε+α

x)b− b′ − κ

xd = ic

−i(ε+α

x)a+ a′ +

κ

xc = −id.


143


0 = f ′′(z)− 1 + 2|λ|1− z2

zf ′(z) +(κ+ 1

2 )2 − λ2

1− z2f(z). (C.57)


C(θ)

C(0)=

∞∑n=0

(|λ| − κ− 12 )n(|λ|+ κ+ 1

2 )n

( 12 + |λ|)nn!sin2n(

θ

2) (C.58)

with:

(a)0 = 1 , (a)n = a(a+ 1) . . . (a+ n− 1). (C.59)


C(θ) =∞∑

n=0

(|λ| − κ− 12 )n(|λ|+ κ+ 1

2 )n

( 12 + |λ|)nn!sin2n(

θ

2) . (C.60)


|λ|+ n = |κ+1

2| (C.61)



|AD∗U2 + CB∗V 2|(C.62)



x = mr ; ε =E

m; a(x) = A(r) = A(

x

m) (C.63)

b(x) = B(r) ; c(x) = C(r) ; d(x) = D(r).


i(ε+α

x)d+ d′ +

κ

xb = ia

−i(ε+α

x)c− c′ − κ

xa = −ib (C.64)

i(ε+α

x)b− b′ − κ

xd = ic

−i(ε+α

x)a+ a′ +

κ

xc = −id.


143


0 = f ′′(z)− 1 + 2|λ|1− z2

zf ′(z) +(κ+ 1

2 )2 − λ2

1− z2f(z). (C.57)


C(θ)

C(0)=

∞∑n=0

(|λ| − κ− 12 )n(|λ|+ κ+ 1

2 )n

( 12 + |λ|)nn!sin2n(

θ

2) (C.58)

with:

(a)0 = 1 , (a)n = a(a+ 1) . . . (a+ n− 1). (C.59)


C(θ) =∞∑

n=0

(|λ| − κ− 12 )n(|λ|+ κ+ 1

2 )n

( 12 + |λ|)nn!sin2n(

θ

2) . (C.60)


|λ|+ n = |κ+1

2| (C.61)



|AD∗U2 + CB∗V 2|(C.62)



x = mr ; ε =E

m; a(x) = A(r) = A(

x

m) (C.63)

b(x) = B(r) ; c(x) = C(r) ; d(x) = D(r).


i(ε+α

x)d+ d′ +

κ

xb = ia

−i(ε+α

x)c− c′ − κ

xa = −ib (C.64)

i(ε+α

x)b− b′ − κ

xd = ic

−i(ε+α

x)a+ a′ +

κ

xc = −id.


143



The C (0) factor is a factor of U and V , its phase may be absorbed by the δ in (C.8), and its amplitude may be transferred on the radial functions. We can take therefore C (0) = 1, this gives:

(C.60)

Since we have the conditions (C.52) on λ and κ, an integer n always exists such as

(C.61)

and this forces the (C.60) series to be a finite sum, so U and V are integrable. And since U and V have real values, we have:

(C.62)



(C.63)


(C.64)

Adding and subtracting, we get:

(C.65)

We let then:

(C.66)

and the radial system becomes:

(C.67)

Adding and subtracting equations (C.67), then divid-ing by i these equations where i is a factor, we get the two separated systems:

(C.68)

(C.69)

These two systems are exchanged by replacing − in-dexes by + indexes and vice versa, and by changing κ to −κ, so it is enough to study one of the two systems.

We let now:

(C.70)

Dividing the first of the two equations (C.68) by Dividing the first of the two equations (C.68) by

√1− ε e−Λx and the second

by√1 + ε e−Λx, we get:

−Λ(ϕ1 + ϕ2) +α

x

√1 + ε

1− ε(ϕ1 + ϕ2) + Λ(ϕ1 − ϕ2)

− ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 − ϕ2) = 0

Λ(ϕ1 − ϕ2) +α

x

√1− ε

1 + ε(ϕ1 − ϕ2)− Λ(ϕ1 + ϕ2)

+ ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 + ϕ2) = 0 (C.71)

But we have:√

1 + ε

1− ε=

1 + ε

Λ;

√1− ε

1 + ε=

1− ε

Λ(C.72)

and we let:

c1 =α

Λ; c2 =

αε

Λ. (C.73)

We get then, adding and subtracting the equations (C.71):

−2Λϕ2+c1 − κ

xϕ1 +

c2xϕ2 + ϕ′

2 = 0 (C.74)

c1 + κ

xϕ2 +

c2xϕ1 − ϕ′

1 = 0.

We make then the change of variable:

z = 2Λx ; f1(z) = ϕ1(x) ; f2(z) = ϕ2(x) (C.75)

this puts the system (C.74) on the form:

−f2+c1 − κ

zf1 +

c2zf2 + f ′

2 = 0 (C.76)

c1 + κ

zf2 +

c2zf1 − f ′

1 = 0.

We develop now in series:

f1(z) =

∞∑m=0

amzs+m ; f2(z) =

∞∑m=0

bmzs+m. (C.77)

The system (C.76) gives, for the coefficients of zs−1:

(c1 − κ)a0 + (c2 + s)b0 = 0 (C.78)

(c2 − s)a0 + (c1 + κ)b0 = 0

145

and the second by Dividing the first of the two equations (C.68) by

√1− ε e−Λx and the second


−Λ(ϕ1 + ϕ2) +α

x

√1 + ε

1− ε(ϕ1 + ϕ2) + Λ(ϕ1 − ϕ2)

− ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 − ϕ2) = 0

Λ(ϕ1 − ϕ2) +α

x

√1− ε

1 + ε(ϕ1 − ϕ2)− Λ(ϕ1 + ϕ2)

+ ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 + ϕ2) = 0 (C.71)

But we have:√

1 + ε

1− ε=

1 + ε

Λ;

√1− ε

1 + ε=

1− ε

Λ(C.72)

and we let:

c1 =α

Λ; c2 =

αε

Λ. (C.73)


−2Λϕ2+c1 − κ

xϕ1 +

c2xϕ2 + ϕ′

2 = 0 (C.74)

c1 + κ

xϕ2 +

c2xϕ1 − ϕ′

1 = 0.


z = 2Λx ; f1(z) = ϕ1(x) ; f2(z) = ϕ2(x) (C.75)


−f2+c1 − κ

zf1 +

c2zf2 + f ′

2 = 0 (C.76)

c1 + κ

zf2 +

c2zf1 − f ′

1 = 0.


f1(z) =

∞∑m=0

amzs+m ; f2(z) =

∞∑m=0

bmzs+m. (C.77)


(c1 − κ)a0 + (c2 + s)b0 = 0 (C.78)

(c2 − s)a0 + (c1 + κ)b0 = 0

145

, we get:

(C.71)


0 = f ′′(z)− 1 + 2|λ|1− z2

zf ′(z) +(κ+ 1

2 )2 − λ2

1− z2f(z). (C.57)


C(θ)

C(0)=

∞∑n=0

(|λ| − κ− 12 )n(|λ|+ κ+ 1

2 )n

( 12 + |λ|)nn!sin2n(

θ

2) (C.58)

with:

(a)0 = 1 , (a)n = a(a+ 1) . . . (a+ n− 1). (C.59)


C(θ) =

∞∑n=0

(|λ| − κ− 12 )n(|λ|+ κ+ 1

2 )n

( 12 + |λ|)nn!sin2n(

θ

2) . (C.60)


|λ|+ n = |κ+1

2| (C.61)



|AD∗U2 + CB∗V 2|(C.62)



x = mr ; ε =E

m; a(x) = A(r) = A(

x

m) (C.63)

b(x) = B(r) ; c(x) = C(r) ; d(x) = D(r).


i(ε+α

x)d+ d′ +

κ

xb = ia

−i(ε+α

x)c− c′ − κ

xa = −ib (C.64)

i(ε+α

x)b− b′ − κ

xd = ic

−i(ε+α

x)a+ a′ +

κ

xc = −id.


143


0 = f ′′(z)− 1 + 2|λ|1− z2

zf ′(z) +(κ+ 1

2 )2 − λ2

1− z2f(z). (C.57)


C(θ)

C(0)=

∞∑n=0

(|λ| − κ− 12 )n(|λ|+ κ+ 1

2 )n

( 12 + |λ|)nn!sin2n(

θ

2) (C.58)

with:

(a)0 = 1 , (a)n = a(a+ 1) . . . (a+ n− 1). (C.59)


C(θ) =∞∑

n=0

(|λ| − κ− 12 )n(|λ|+ κ+ 1

2 )n

( 12 + |λ|)nn!sin2n(

θ

2) . (C.60)


|λ|+ n = |κ+1

2| (C.61)



|AD∗U2 + CB∗V 2|(C.62)



x = mr ; ε =E

m; a(x) = A(r) = A(

x

m) (C.63)

b(x) = B(r) ; c(x) = C(r) ; d(x) = D(r).


i(ε+α

x)d+ d′ +

κ

xb = ia

−i(ε+α

x)c− c′ − κ

xa = −ib (C.64)

i(ε+α

x)b− b′ − κ

xd = ic

−i(ε+α

x)a+ a′ +

κ

xc = −id.


143


0 = f ′′(z)− 1 + 2|λ|1− z2

zf ′(z) +(κ+ 1

2 )2 − λ2

1− z2f(z). (C.57)


C(θ)

C(0)=

∞∑n=0

(|λ| − κ− 12 )n(|λ|+ κ+ 1

2 )n

( 12 + |λ|)nn!sin2n(

θ

2) (C.58)

with:

(a)0 = 1 , (a)n = a(a+ 1) . . . (a+ n− 1). (C.59)


C(θ) =∞∑

n=0

(|λ| − κ− 12 )n(|λ|+ κ+ 1

2 )n

( 12 + |λ|)nn!sin2n(

θ

2) . (C.60)


|λ|+ n = |κ+1

2| (C.61)



|AD∗U2 + CB∗V 2|(C.62)



x = mr ; ε =E

m; a(x) = A(r) = A(

x

m) (C.63)

b(x) = B(r) ; c(x) = C(r) ; d(x) = D(r).


i(ε+α

x)d+ d′ +

κ

xb = ia

−i(ε+α

x)c− c′ − κ

xa = −ib (C.64)

i(ε+α

x)b− b′ − κ

xd = ic

−i(ε+α

x)a+ a′ +

κ

xc = −id.


143


0 = f ′′(z)− 1 + 2|λ|1− z2

zf ′(z) +(κ+ 1

2 )2 − λ2

1− z2f(z). (C.57)


C(θ)

C(0)=

∞∑n=0

(|λ| − κ− 12 )n(|λ|+ κ+ 1

2 )n

( 12 + |λ|)nn!sin2n(

θ

2) (C.58)

with:

(a)0 = 1 , (a)n = a(a+ 1) . . . (a+ n− 1). (C.59)


C(θ) =∞∑

n=0

(|λ| − κ− 12 )n(|λ|+ κ+ 1

2 )n

( 12 + |λ|)nn!sin2n(

θ

2) . (C.60)


|λ|+ n = |κ+1

2| (C.61)



|AD∗U2 + CB∗V 2|(C.62)



x = mr ; ε =E

m; a(x) = A(r) = A(

x

m) (C.63)

b(x) = B(r) ; c(x) = C(r) ; d(x) = D(r).


i(ε+α

x)d+ d′ +

κ

xb = ia

−i(ε+α

x)c− c′ − κ

xa = −ib (C.64)

i(ε+α

x)b− b′ − κ

xd = ic

−i(ε+α

x)a+ a′ +

κ

xc = −id.


143


0 = f ′′(z)− 1 + 2|λ|1− z2

zf ′(z) +(κ+ 1

2 )2 − λ2

1− z2f(z). (C.57)


C(θ)

C(0)=

∞∑n=0

(|λ| − κ− 12 )n(|λ|+ κ+ 1

2 )n

( 12 + |λ|)nn!sin2n(

θ

2) (C.58)

with:

(a)0 = 1 , (a)n = a(a+ 1) . . . (a+ n− 1). (C.59)


C(θ) =∞∑

n=0

(|λ| − κ− 12 )n(|λ|+ κ+ 1

2 )n

( 12 + |λ|)nn!sin2n(

θ

2) . (C.60)


|λ|+ n = |κ+1

2| (C.61)



|AD∗U2 + CB∗V 2|(C.62)



x = mr ; ε =E

m; a(x) = A(r) = A(

x

m) (C.63)

b(x) = B(r) ; c(x) = C(r) ; d(x) = D(r).


i(ε+α

x)d+ d′ +

κ

xb = ia

−i(ε+α

x)c− c′ − κ

xa = −ib (C.64)

i(ε+α

x)b− b′ − κ

xd = ic

−i(ε+α

x)a+ a′ +

κ

xc = −id.


143


i(ε+α

x)(d− c) + (d− c)′ − κ

x(a− b) = i(a− b)

−i(ε+α

x)(a− b) + (a− b)′ − κ

x(d− c) = −i(d− c) (C.65)

i(ε+α

x)(c+ d) + (c+ d)′ +

κ

x(a+ b) = i(a+ b)

i(ε+α

x)(a+ b)− (a+ b)′ − κ

x(c+ d) = i(c+ d).

We let then:

a− b = F− + iG− ; a+ b = F+ + iG+

d− c = F− − iG− ; c+ d = F+ − iG+ (C.66)


i(ε+α

x)(F− − iG−) + (F− − iG−)

′ − κ

x(F− + iG−) = i(F− + iG−) (C.67)

−i(ε+α

x)(F− + iG−) + (F− + iG−)

′ − κ

x(F− − iG−) = −i(F− − iG−)

i(ε+α

x)(F+ − iG+) + (F+ − iG+)

′ +κ

x(F+ + iG+) = i(F+ + iG+)

i(ε+α

x)(F+ + iG+)− (F+ + iG+)

′ − κ

x(F+ − iG+) = i(F+ − iG+).

Adding and subtracting equations (C.67), then dividing by i these equationswhere i is a factor, we get the two separated systems:

(−1 + ε+α

x)F− −G′

− − κ

xG− = 0

(1 + ε+α

x)G− + F ′

− − κ

xF− = 0 (C.68)

(−1 + ε+α

x)F+ −G′

+ +κ

xG+ = 0

(1 + ε+α

x)G+ + F ′

+ +κ

xF+ = 0. (C.69)

These two systems are exchanged by replacing − indexes by + indexes and viceversa, and by changing κ to −κ, so it is enough to study one of the two systems.We let now:

F− =√1 + ε e−Λx(ϕ1 + ϕ2) ; Λ =

√1− ε2 (C.70)

G− =√1− ε e−Λx(ϕ1 − ϕ2)

144


i(ε+α

x)(d− c) + (d− c)′ − κ

x(a− b) = i(a− b)

−i(ε+α

x)(a− b) + (a− b)′ − κ

x(d− c) = −i(d− c) (C.65)

i(ε+α

x)(c+ d) + (c+ d)′ +

κ

x(a+ b) = i(a+ b)

i(ε+α

x)(a+ b)− (a+ b)′ − κ

x(c+ d) = i(c+ d).

We let then:

a− b = F− + iG− ; a+ b = F+ + iG+

d− c = F− − iG− ; c+ d = F+ − iG+ (C.66)


i(ε+α

x)(F− − iG−) + (F− − iG−)

′ − κ

x(F− + iG−) = i(F− + iG−) (C.67)

−i(ε+α

x)(F− + iG−) + (F− + iG−)

′ − κ

x(F− − iG−) = −i(F− − iG−)

i(ε+α

x)(F+ − iG+) + (F+ − iG+)

′ +κ

x(F+ + iG+) = i(F+ + iG+)

i(ε+α

x)(F+ + iG+)− (F+ + iG+)

′ − κ

x(F+ − iG+) = i(F+ − iG+).


(−1 + ε+α

x)F− −G′

− − κ

xG− = 0

(1 + ε+α

x)G− + F ′

− − κ

xF− = 0 (C.68)

(−1 + ε+α

x)F+ −G′

+ +κ

xG+ = 0

(1 + ε+α

x)G+ + F ′

+ +κ

xF+ = 0. (C.69)


F− =√1 + ε e−Λx(ϕ1 + ϕ2) ; Λ =

√1− ε2 (C.70)

G− =√1− ε e−Λx(ϕ1 − ϕ2)

144


i(ε+α

x)(d− c) + (d− c)′ − κ

x(a− b) = i(a− b)

−i(ε+α

x)(a− b) + (a− b)′ − κ

x(d− c) = −i(d− c) (C.65)

i(ε+α

x)(c+ d) + (c+ d)′ +

κ

x(a+ b) = i(a+ b)

i(ε+α

x)(a+ b)− (a+ b)′ − κ

x(c+ d) = i(c+ d).

We let then:

a− b = F− + iG− ; a+ b = F+ + iG+

d− c = F− − iG− ; c+ d = F+ − iG+ (C.66)


i(ε+α

x)(F− − iG−) + (F− − iG−)

′ − κ

x(F− + iG−) = i(F− + iG−) (C.67)

−i(ε+α

x)(F− + iG−) + (F− + iG−)

′ − κ

x(F− − iG−) = −i(F− − iG−)

i(ε+α

x)(F+ − iG+) + (F+ − iG+)

′ +κ

x(F+ + iG+) = i(F+ + iG+)

i(ε+α

x)(F+ + iG+)− (F+ + iG+)

′ − κ

x(F+ − iG+) = i(F+ − iG+).


(−1 + ε+α

x)F− −G′

− − κ

xG− = 0

(1 + ε+α

x)G− + F ′

− − κ

xF− = 0 (C.68)

(−1 + ε+α

x)F+ −G′

+ +κ

xG+ = 0

(1 + ε+α

x)G+ + F ′

+ +κ

xF+ = 0. (C.69)


F− =√1 + ε e−Λx(ϕ1 + ϕ2) ; Λ =

√1− ε2 (C.70)

G− =√1− ε e−Λx(ϕ1 − ϕ2)

144


i(ε+α

x)(d− c) + (d− c)′ − κ

x(a− b) = i(a− b)

−i(ε+α

x)(a− b) + (a− b)′ − κ

x(d− c) = −i(d− c) (C.65)

i(ε+α

x)(c+ d) + (c+ d)′ +

κ

x(a+ b) = i(a+ b)

i(ε+α

x)(a+ b)− (a+ b)′ − κ

x(c+ d) = i(c+ d).

We let then:

a− b = F− + iG− ; a+ b = F+ + iG+

d− c = F− − iG− ; c+ d = F+ − iG+ (C.66)


i(ε+α

x)(F− − iG−) + (F− − iG−)

′ − κ

x(F− + iG−) = i(F− + iG−) (C.67)

−i(ε+α

x)(F− + iG−) + (F− + iG−)

′ − κ

x(F− − iG−) = −i(F− − iG−)

i(ε+α

x)(F+ − iG+) + (F+ − iG+)

′ +κ

x(F+ + iG+) = i(F+ + iG+)

i(ε+α

x)(F+ + iG+)− (F+ + iG+)

′ − κ

x(F+ − iG+) = i(F+ − iG+).


(−1 + ε+α

x)F− −G′

− − κ

xG− = 0

(1 + ε+α

x)G− + F ′

− − κ

xF− = 0 (C.68)

(−1 + ε+α

x)F+ −G′

+ +κ

xG+ = 0

(1 + ε+α

x)G+ + F ′

+ +κ

xF+ = 0. (C.69)


F− =√1 + ε e−Λx(ϕ1 + ϕ2) ; Λ =

√1− ε2 (C.70)

G− =√1− ε e−Λx(ϕ1 − ϕ2)

144


i(ε+α

x)(d− c) + (d− c)′ − κ

x(a− b) = i(a− b)

−i(ε+α

x)(a− b) + (a− b)′ − κ

x(d− c) = −i(d− c) (C.65)

i(ε+α

x)(c+ d) + (c+ d)′ +

κ

x(a+ b) = i(a+ b)

i(ε+α

x)(a+ b)− (a+ b)′ − κ

x(c+ d) = i(c+ d).

We let then:

a− b = F− + iG− ; a+ b = F+ + iG+

d− c = F− − iG− ; c+ d = F+ − iG+ (C.66)


i(ε+α

x)(F− − iG−) + (F− − iG−)

′ − κ

x(F− + iG−) = i(F− + iG−) (C.67)

−i(ε+α

x)(F− + iG−) + (F− + iG−)

′ − κ

x(F− − iG−) = −i(F− − iG−)

i(ε+α

x)(F+ − iG+) + (F+ − iG+)

′ +κ

x(F+ + iG+) = i(F+ + iG+)

i(ε+α

x)(F+ + iG+)− (F+ + iG+)

′ − κ

x(F+ − iG+) = i(F+ − iG+).


(−1 + ε+α

x)F− −G′

− − κ

xG− = 0

(1 + ε+α

x)G− + F ′

− − κ

xF− = 0 (C.68)

(−1 + ε+α

x)F+ −G′

+ +κ

xG+ = 0

(1 + ε+α

x)G+ + F ′

+ +κ

xF+ = 0. (C.69)


F− =√1 + ε e−Λx(ϕ1 + ϕ2) ; Λ =

√1− ε2 (C.70)

G− =√1− ε e−Λx(ϕ1 − ϕ2)

144


i(ε+α

x)(d− c) + (d− c)′ − κ

x(a− b) = i(a− b)

−i(ε+α

x)(a− b) + (a− b)′ − κ

x(d− c) = −i(d− c) (C.65)

i(ε+α

x)(c+ d) + (c+ d)′ +

κ

x(a+ b) = i(a+ b)

i(ε+α

x)(a+ b)− (a+ b)′ − κ

x(c+ d) = i(c+ d).

We let then:

a− b = F− + iG− ; a+ b = F+ + iG+

d− c = F− − iG− ; c+ d = F+ − iG+ (C.66)


i(ε+α

x)(F− − iG−) + (F− − iG−)

′ − κ

x(F− + iG−) = i(F− + iG−) (C.67)

−i(ε+α

x)(F− + iG−) + (F− + iG−)

′ − κ

x(F− − iG−) = −i(F− − iG−)

i(ε+α

x)(F+ − iG+) + (F+ − iG+)

′ +κ

x(F+ + iG+) = i(F+ + iG+)

i(ε+α

x)(F+ + iG+)− (F+ + iG+)

′ − κ

x(F+ − iG+) = i(F+ − iG+).


(−1 + ε+α

x)F− −G′

− − κ

xG− = 0

(1 + ε+α

x)G− + F ′

− − κ

xF− = 0 (C.68)

(−1 + ε+α

x)F+ −G′

+ +κ

xG+ = 0

(1 + ε+α

x)G+ + F ′

+ +κ

xF+ = 0. (C.69)


F− =√1 + ε e−Λx(ϕ1 + ϕ2) ; Λ =

√1− ε2 (C.70)

G− =√1− ε e−Λx(ϕ1 − ϕ2)

144


i(ε+α

x)(d− c) + (d− c)′ − κ

x(a− b) = i(a− b)

−i(ε+α

x)(a− b) + (a− b)′ − κ

x(d− c) = −i(d− c) (C.65)

i(ε+α

x)(c+ d) + (c+ d)′ +

κ

x(a+ b) = i(a+ b)

i(ε+α

x)(a+ b)− (a+ b)′ − κ

x(c+ d) = i(c+ d).

We let then:

a− b = F− + iG− ; a+ b = F+ + iG+

d− c = F− − iG− ; c+ d = F+ − iG+ (C.66)


i(ε+α

x)(F− − iG−) + (F− − iG−)

′ − κ

x(F− + iG−) = i(F− + iG−) (C.67)

−i(ε+α

x)(F− + iG−) + (F− + iG−)

′ − κ

x(F− − iG−) = −i(F− − iG−)

i(ε+α

x)(F+ − iG+) + (F+ − iG+)

′ +κ

x(F+ + iG+) = i(F+ + iG+)

i(ε+α

x)(F+ + iG+)− (F+ + iG+)

′ − κ

x(F+ − iG+) = i(F+ − iG+).


(−1 + ε+α

x)F− −G′

− − κ

xG− = 0

(1 + ε+α

x)G− + F ′

− − κ

xF− = 0 (C.68)

(−1 + ε+α

x)F+ −G′

+ +κ

xG+ = 0

(1 + ε+α

x)G+ + F ′

+ +κ

xF+ = 0. (C.69)


F− =√1 + ε e−Λx(ϕ1 + ϕ2) ; Λ =

√1− ε2 (C.70)

G− =√1− ε e−Λx(ϕ1 − ϕ2)

144


i(ε+α

x)(d− c) + (d− c)′ − κ

x(a− b) = i(a− b)

−i(ε+α

x)(a− b) + (a− b)′ − κ

x(d− c) = −i(d− c) (C.65)

i(ε+α

x)(c+ d) + (c+ d)′ +

κ

x(a+ b) = i(a+ b)

i(ε+α

x)(a+ b)− (a+ b)′ − κ

x(c+ d) = i(c+ d).

We let then:

a− b = F− + iG− ; a+ b = F+ + iG+

d− c = F− − iG− ; c+ d = F+ − iG+ (C.66)


i(ε+α

x)(F− − iG−) + (F− − iG−)

′ − κ

x(F− + iG−) = i(F− + iG−) (C.67)

−i(ε+α

x)(F− + iG−) + (F− + iG−)

′ − κ

x(F− − iG−) = −i(F− − iG−)

i(ε+α

x)(F+ − iG+) + (F+ − iG+)

′ +κ

x(F+ + iG+) = i(F+ + iG+)

i(ε+α

x)(F+ + iG+)− (F+ + iG+)

′ − κ

x(F+ − iG+) = i(F+ − iG+).


(−1 + ε+α

x)F− −G′

− − κ

xG− = 0

(1 + ε+α

x)G− + F ′

− − κ

xF− = 0 (C.68)

(−1 + ε+α

x)F+ −G′

+ +κ

xG+ = 0

(1 + ε+α

x)G+ + F ′

+ +κ

xF+ = 0. (C.69)


F− =√1 + ε e−Λx(ϕ1 + ϕ2) ; Λ =

√1− ε2 (C.70)

G− =√1− ε e−Λx(ϕ1 − ϕ2)

144


i(ε+α

x)(d− c) + (d− c)′ − κ

x(a− b) = i(a− b)

−i(ε+α

x)(a− b) + (a− b)′ − κ

x(d− c) = −i(d− c) (C.65)

i(ε+α

x)(c+ d) + (c+ d)′ +

κ

x(a+ b) = i(a+ b)

i(ε+α

x)(a+ b)− (a+ b)′ − κ

x(c+ d) = i(c+ d).

We let then:

a− b = F− + iG− ; a+ b = F+ + iG+

d− c = F− − iG− ; c+ d = F+ − iG+ (C.66)


i(ε+α

x)(F− − iG−) + (F− − iG−)

′ − κ

x(F− + iG−) = i(F− + iG−) (C.67)

−i(ε+α

x)(F− + iG−) + (F− + iG−)

′ − κ

x(F− − iG−) = −i(F− − iG−)

i(ε+α

x)(F+ − iG+) + (F+ − iG+)

′ +κ

x(F+ + iG+) = i(F+ + iG+)

i(ε+α

x)(F+ + iG+)− (F+ + iG+)

′ − κ

x(F+ − iG+) = i(F+ − iG+).


(−1 + ε+α

x)F− −G′

− − κ

xG− = 0

(1 + ε+α

x)G− + F ′

− − κ

xF− = 0 (C.68)

(−1 + ε+α

x)F+ −G′

+ +κ

xG+ = 0

(1 + ε+α

x)G+ + F ′

+ +κ

xF+ = 0. (C.69)


F− =√1 + ε e−Λx(ϕ1 + ϕ2) ; Λ =

√1− ε2 (C.70)

G− =√1− ε e−Λx(ϕ1 − ϕ2)

144


i(ε+α

x)(d− c) + (d− c)′ − κ

x(a− b) = i(a− b)

−i(ε+α

x)(a− b) + (a− b)′ − κ

x(d− c) = −i(d− c) (C.65)

i(ε+α

x)(c+ d) + (c+ d)′ +

κ

x(a+ b) = i(a+ b)

i(ε+α

x)(a+ b)− (a+ b)′ − κ

x(c+ d) = i(c+ d).

We let then:

a− b = F− + iG− ; a+ b = F+ + iG+

d− c = F− − iG− ; c+ d = F+ − iG+ (C.66)


i(ε+α

x)(F− − iG−) + (F− − iG−)

′ − κ

x(F− + iG−) = i(F− + iG−) (C.67)

−i(ε+α

x)(F− + iG−) + (F− + iG−)

′ − κ

x(F− − iG−) = −i(F− − iG−)

i(ε+α

x)(F+ − iG+) + (F+ − iG+)

′ +κ

x(F+ + iG+) = i(F+ + iG+)

i(ε+α

x)(F+ + iG+)− (F+ + iG+)

′ − κ

x(F+ − iG+) = i(F+ − iG+).


(−1 + ε+α

x)F− −G′

− − κ

xG− = 0

(1 + ε+α

x)G− + F ′

− − κ

xF− = 0 (C.68)

(−1 + ε+α

x)F+ −G′

+ +κ

xG+ = 0

(1 + ε+α

x)G+ + F ′

+ +κ

xF+ = 0. (C.69)


F− =√1 + ε e−Λx(ϕ1 + ϕ2) ; Λ =

√1− ε2 (C.70)

G− =√1− ε e−Λx(ϕ1 − ϕ2)

144


i(ε+α

x)(d− c) + (d− c)′ − κ

x(a− b) = i(a− b)

−i(ε+α

x)(a− b) + (a− b)′ − κ

x(d− c) = −i(d− c) (C.65)

i(ε+α

x)(c+ d) + (c+ d)′ +

κ

x(a+ b) = i(a+ b)

i(ε+α

x)(a+ b)− (a+ b)′ − κ

x(c+ d) = i(c+ d).

We let then:

a− b = F− + iG− ; a+ b = F+ + iG+

d− c = F− − iG− ; c+ d = F+ − iG+ (C.66)


i(ε+α

x)(F− − iG−) + (F− − iG−)

′ − κ

x(F− + iG−) = i(F− + iG−) (C.67)

−i(ε+α

x)(F− + iG−) + (F− + iG−)

′ − κ

x(F− − iG−) = −i(F− − iG−)

i(ε+α

x)(F+ − iG+) + (F+ − iG+)

′ +κ

x(F+ + iG+) = i(F+ + iG+)

i(ε+α

x)(F+ + iG+)− (F+ + iG+)

′ − κ

x(F+ − iG+) = i(F+ − iG+).


(−1 + ε+α

x)F− −G′

− − κ

xG− = 0

(1 + ε+α

x)G− + F ′

− − κ

xF− = 0 (C.68)

(−1 + ε+α

x)F+ −G′

+ +κ

xG+ = 0

(1 + ε+α

x)G+ + F ′

+ +κ

xF+ = 0. (C.69)


F− =√1 + ε e−Λx(ϕ1 + ϕ2) ; Λ =

√1− ε2 (C.70)

G− =√1− ε e−Λx(ϕ1 − ϕ2)

144


i(ε+α

x)(d− c) + (d− c)′ − κ

x(a− b) = i(a− b)

−i(ε+α

x)(a− b) + (a− b)′ − κ

x(d− c) = −i(d− c) (C.65)

i(ε+α

x)(c+ d) + (c+ d)′ +

κ

x(a+ b) = i(a+ b)

i(ε+α

x)(a+ b)− (a+ b)′ − κ

x(c+ d) = i(c+ d).

We let then:

a− b = F− + iG− ; a+ b = F+ + iG+

d− c = F− − iG− ; c+ d = F+ − iG+ (C.66)


i(ε+α

x)(F− − iG−) + (F− − iG−)

′ − κ

x(F− + iG−) = i(F− + iG−) (C.67)

−i(ε+α

x)(F− + iG−) + (F− + iG−)

′ − κ

x(F− − iG−) = −i(F− − iG−)

i(ε+α

x)(F+ − iG+) + (F+ − iG+)

′ +κ

x(F+ + iG+) = i(F+ + iG+)

i(ε+α

x)(F+ + iG+)− (F+ + iG+)

′ − κ

x(F+ − iG+) = i(F+ − iG+).


(−1 + ε+α

x)F− −G′

− − κ

xG− = 0

(1 + ε+α

x)G− + F ′

− − κ

xF− = 0 (C.68)

(−1 + ε+α

x)F+ −G′

+ +κ

xG+ = 0

(1 + ε+α

x)G+ + F ′

+ +κ

xF+ = 0. (C.69)


F− =√1 + ε e−Λx(ϕ1 + ϕ2) ; Λ =

√1− ε2 (C.70)

G− =√1− ε e−Λx(ϕ1 − ϕ2)

144

Dividing the first of the two equations (C.68) by√1− ε e−Λx and the second


−Λ(ϕ1 + ϕ2) +α

x

√1 + ε

1− ε(ϕ1 + ϕ2) + Λ(ϕ1 − ϕ2)

− ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 − ϕ2) = 0

Λ(ϕ1 − ϕ2) +α

x

√1− ε

1 + ε(ϕ1 − ϕ2)− Λ(ϕ1 + ϕ2)

+ ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 + ϕ2) = 0 (C.71)

But we have:√

1 + ε

1− ε=

1 + ε

Λ;

√1− ε

1 + ε=

1− ε

Λ(C.72)

and we let:

c1 =α

Λ; c2 =

αε

Λ. (C.73)


−2Λϕ2+c1 − κ

xϕ1 +

c2xϕ2 + ϕ′

2 = 0 (C.74)

c1 + κ

xϕ2 +

c2xϕ1 − ϕ′

1 = 0.


z = 2Λx ; f1(z) = ϕ1(x) ; f2(z) = ϕ2(x) (C.75)


−f2+c1 − κ

zf1 +

c2zf2 + f ′

2 = 0 (C.76)

c1 + κ

zf2 +

c2zf1 − f ′

1 = 0.


f1(z) =

∞∑m=0

amzs+m ; f2(z) =

∞∑m=0

bmzs+m. (C.77)


(c1 − κ)a0 + (c2 + s)b0 = 0 (C.78)

(c2 − s)a0 + (c1 + κ)b0 = 0

145



−Λ(ϕ1 + ϕ2) +α

x

√1 + ε

1− ε(ϕ1 + ϕ2) + Λ(ϕ1 − ϕ2)

− ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 − ϕ2) = 0

Λ(ϕ1 − ϕ2) +α

x

√1− ε

1 + ε(ϕ1 − ϕ2)− Λ(ϕ1 + ϕ2)

+ ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 + ϕ2) = 0 (C.71)

But we have:√

1 + ε

1− ε=

1 + ε

Λ;

√1− ε

1 + ε=

1− ε

Λ(C.72)

and we let:

c1 =α

Λ; c2 =

αε

Λ. (C.73)


−2Λϕ2+c1 − κ

xϕ1 +

c2xϕ2 + ϕ′

2 = 0 (C.74)

c1 + κ

xϕ2 +

c2xϕ1 − ϕ′

1 = 0.


z = 2Λx ; f1(z) = ϕ1(x) ; f2(z) = ϕ2(x) (C.75)


−f2+c1 − κ

zf1 +

c2zf2 + f ′

2 = 0 (C.76)

c1 + κ

zf2 +

c2zf1 − f ′

1 = 0.


f1(z) =

∞∑m=0

amzs+m ; f2(z) =

∞∑m=0

bmzs+m. (C.77)


(c1 − κ)a0 + (c2 + s)b0 = 0 (C.78)

(c2 − s)a0 + (c1 + κ)b0 = 0

145



−Λ(ϕ1 + ϕ2) +α

x

√1 + ε

1− ε(ϕ1 + ϕ2) + Λ(ϕ1 − ϕ2)

− ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 − ϕ2) = 0

Λ(ϕ1 − ϕ2) +α

x

√1− ε

1 + ε(ϕ1 − ϕ2)− Λ(ϕ1 + ϕ2)

+ ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 + ϕ2) = 0 (C.71)

But we have:√

1 + ε

1− ε=

1 + ε

Λ;

√1− ε

1 + ε=

1− ε

Λ(C.72)

and we let:

c1 =α

Λ; c2 =

αε

Λ. (C.73)


−2Λϕ2+c1 − κ

xϕ1 +

c2xϕ2 + ϕ′

2 = 0 (C.74)

c1 + κ

xϕ2 +

c2xϕ1 − ϕ′

1 = 0.


z = 2Λx ; f1(z) = ϕ1(x) ; f2(z) = ϕ2(x) (C.75)


−f2+c1 − κ

zf1 +

c2zf2 + f ′

2 = 0 (C.76)

c1 + κ

zf2 +

c2zf1 − f ′

1 = 0.


f1(z) =

∞∑m=0

amzs+m ; f2(z) =

∞∑m=0

bmzs+m. (C.77)


(c1 − κ)a0 + (c2 + s)b0 = 0 (C.78)

(c2 − s)a0 + (c1 + κ)b0 = 0

145



−Λ(ϕ1 + ϕ2) +α

x

√1 + ε

1− ε(ϕ1 + ϕ2) + Λ(ϕ1 − ϕ2)

− ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 − ϕ2) = 0

Λ(ϕ1 − ϕ2) +α

x

√1− ε

1 + ε(ϕ1 − ϕ2)− Λ(ϕ1 + ϕ2)

+ ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 + ϕ2) = 0 (C.71)

But we have:√

1 + ε

1− ε=

1 + ε

Λ;

√1− ε

1 + ε=

1− ε

Λ(C.72)

and we let:

c1 =α

Λ; c2 =

αε

Λ. (C.73)


−2Λϕ2+c1 − κ

xϕ1 +

c2xϕ2 + ϕ′

2 = 0 (C.74)

c1 + κ

xϕ2 +

c2xϕ1 − ϕ′

1 = 0.


z = 2Λx ; f1(z) = ϕ1(x) ; f2(z) = ϕ2(x) (C.75)


−f2+c1 − κ

zf1 +

c2zf2 + f ′

2 = 0 (C.76)

c1 + κ

zf2 +

c2zf1 − f ′

1 = 0.


f1(z) =

∞∑m=0

amzs+m ; f2(z) =

∞∑m=0

bmzs+m. (C.77)


(c1 − κ)a0 + (c2 + s)b0 = 0 (C.78)

(c2 − s)a0 + (c1 + κ)b0 = 0

145



But we have:

(C.72)

and we let:

(C.73)


(C.74)


(C.75)


(C.76)


(C.77)

The system (C.76) gives, for the coefficients of z s−1 :

(C.78)

A not null solution exists only if the determinant of this system is null:

(C.79)

But we have, with (C.70) and (C.73):

(C.80)

So we get:

(C.81)

We must take:

(C.82)

to make the wave integrable at the origin. In this case the system (C.78) is reduced to

(C.83)

The system (C.76) gives, for the coefficients of zs+m−1, the system:

(C.84)

This last equation gives:

(C.85)

and the first one becomes:

(C.86)which, with (C.79), gives:

(C.87)

And so we have:

(C.88)

where F is the hypergeometric function. We have also:

(C.89)

The first of the two equations (C.84) becomes:

(C.90)

which implies:

(C.91)



−Λ(ϕ1 + ϕ2) +α

x

√1 + ε

1− ε(ϕ1 + ϕ2) + Λ(ϕ1 − ϕ2)

− ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 − ϕ2) = 0

Λ(ϕ1 − ϕ2) +α

x

√1− ε

1 + ε(ϕ1 − ϕ2)− Λ(ϕ1 + ϕ2)

+ ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 + ϕ2) = 0 (C.71)

But we have:√

1 + ε

1− ε=

1 + ε

Λ;

√1− ε

1 + ε=

1− ε

Λ(C.72)

and we let:

c1 =α

Λ; c2 =

αε

Λ. (C.73)


−2Λϕ2+c1 − κ

xϕ1 +

c2xϕ2 + ϕ′

2 = 0 (C.74)

c1 + κ

xϕ2 +

c2xϕ1 − ϕ′

1 = 0.


z = 2Λx ; f1(z) = ϕ1(x) ; f2(z) = ϕ2(x) (C.75)


−f2+c1 − κ

zf1 +

c2zf2 + f ′

2 = 0 (C.76)

c1 + κ

zf2 +

c2zf1 − f ′

1 = 0.


f1(z) =

∞∑m=0

amzs+m ; f2(z) =

∞∑m=0

bmzs+m. (C.77)


(c1 − κ)a0 + (c2 + s)b0 = 0 (C.78)

(c2 − s)a0 + (c1 + κ)b0 = 0

145



−Λ(ϕ1 + ϕ2) +α

x

√1 + ε

1− ε(ϕ1 + ϕ2) + Λ(ϕ1 − ϕ2)

− ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 − ϕ2) = 0

Λ(ϕ1 − ϕ2) +α

x

√1− ε

1 + ε(ϕ1 − ϕ2)− Λ(ϕ1 + ϕ2)

+ ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 + ϕ2) = 0 (C.71)

But we have:√

1 + ε

1− ε=

1 + ε

Λ;

√1− ε

1 + ε=

1− ε

Λ(C.72)

and we let:

c1 =α

Λ; c2 =

αε

Λ. (C.73)


−2Λϕ2+c1 − κ

xϕ1 +

c2xϕ2 + ϕ′

2 = 0 (C.74)

c1 + κ

xϕ2 +

c2xϕ1 − ϕ′

1 = 0.


z = 2Λx ; f1(z) = ϕ1(x) ; f2(z) = ϕ2(x) (C.75)


−f2+c1 − κ

zf1 +

c2zf2 + f ′

2 = 0 (C.76)

c1 + κ

zf2 +

c2zf1 − f ′

1 = 0.


f1(z) =

∞∑m=0

amzs+m ; f2(z) =

∞∑m=0

bmzs+m. (C.77)


(c1 − κ)a0 + (c2 + s)b0 = 0 (C.78)

(c2 − s)a0 + (c1 + κ)b0 = 0

145



−Λ(ϕ1 + ϕ2) +α

x

√1 + ε

1− ε(ϕ1 + ϕ2) + Λ(ϕ1 − ϕ2)

− ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 − ϕ2) = 0

Λ(ϕ1 − ϕ2) +α

x

√1− ε

1 + ε(ϕ1 − ϕ2)− Λ(ϕ1 + ϕ2)

+ ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 + ϕ2) = 0 (C.71)

But we have:√

1 + ε

1− ε=

1 + ε

Λ;

√1− ε

1 + ε=

1− ε

Λ(C.72)

and we let:

c1 =α

Λ; c2 =

αε

Λ. (C.73)


−2Λϕ2+c1 − κ

xϕ1 +

c2xϕ2 + ϕ′

2 = 0 (C.74)

c1 + κ

xϕ2 +

c2xϕ1 − ϕ′

1 = 0.


z = 2Λx ; f1(z) = ϕ1(x) ; f2(z) = ϕ2(x) (C.75)


−f2+c1 − κ

zf1 +

c2zf2 + f ′

2 = 0 (C.76)

c1 + κ

zf2 +

c2zf1 − f ′

1 = 0.


f1(z) =

∞∑m=0

amzs+m ; f2(z) =

∞∑m=0

bmzs+m. (C.77)


(c1 − κ)a0 + (c2 + s)b0 = 0 (C.78)

(c2 − s)a0 + (c1 + κ)b0 = 0

145



−Λ(ϕ1 + ϕ2) +α

x

√1 + ε

1− ε(ϕ1 + ϕ2) + Λ(ϕ1 − ϕ2)

− ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 − ϕ2) = 0

Λ(ϕ1 − ϕ2) +α

x

√1− ε

1 + ε(ϕ1 − ϕ2)− Λ(ϕ1 + ϕ2)

+ ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 + ϕ2) = 0 (C.71)

But we have:√

1 + ε

1− ε=

1 + ε

Λ;

√1− ε

1 + ε=

1− ε

Λ(C.72)

and we let:

c1 =α

Λ; c2 =

αε

Λ. (C.73)


−2Λϕ2+c1 − κ

xϕ1 +

c2xϕ2 + ϕ′

2 = 0 (C.74)

c1 + κ

xϕ2 +

c2xϕ1 − ϕ′

1 = 0.


z = 2Λx ; f1(z) = ϕ1(x) ; f2(z) = ϕ2(x) (C.75)


−f2+c1 − κ

zf1 +

c2zf2 + f ′

2 = 0 (C.76)

c1 + κ

zf2 +

c2zf1 − f ′

1 = 0.


f1(z) =

∞∑m=0

amzs+m ; f2(z) =

∞∑m=0

bmzs+m. (C.77)


(c1 − κ)a0 + (c2 + s)b0 = 0 (C.78)

(c2 − s)a0 + (c1 + κ)b0 = 0

145



−Λ(ϕ1 + ϕ2) +α

x

√1 + ε

1− ε(ϕ1 + ϕ2) + Λ(ϕ1 − ϕ2)

− ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 − ϕ2) = 0

Λ(ϕ1 − ϕ2) +α

x

√1− ε

1 + ε(ϕ1 − ϕ2)− Λ(ϕ1 + ϕ2)

+ ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 + ϕ2) = 0 (C.71)

But we have:√

1 + ε

1− ε=

1 + ε

Λ;

√1− ε

1 + ε=

1− ε

Λ(C.72)

and we let:

c1 =α

Λ; c2 =

αε

Λ. (C.73)


−2Λϕ2+c1 − κ

xϕ1 +

c2xϕ2 + ϕ′

2 = 0 (C.74)

c1 + κ

xϕ2 +

c2xϕ1 − ϕ′

1 = 0.


z = 2Λx ; f1(z) = ϕ1(x) ; f2(z) = ϕ2(x) (C.75)


−f2+c1 − κ

zf1 +

c2zf2 + f ′

2 = 0 (C.76)

c1 + κ

zf2 +

c2zf1 − f ′

1 = 0.


f1(z) =

∞∑m=0

amzs+m ; f2(z) =

∞∑m=0

bmzs+m. (C.77)


(c1 − κ)a0 + (c2 + s)b0 = 0 (C.78)

(c2 − s)a0 + (c1 + κ)b0 = 0

145



−Λ(ϕ1 + ϕ2) +α

x

√1 + ε

1− ε(ϕ1 + ϕ2) + Λ(ϕ1 − ϕ2)

− ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 − ϕ2) = 0

Λ(ϕ1 − ϕ2) +α

x

√1− ε

1 + ε(ϕ1 − ϕ2)− Λ(ϕ1 + ϕ2)

+ ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 + ϕ2) = 0 (C.71)

But we have:√

1 + ε

1− ε=

1 + ε

Λ;

√1− ε

1 + ε=

1− ε

Λ(C.72)

and we let:

c1 =α

Λ; c2 =

αε

Λ. (C.73)


−2Λϕ2+c1 − κ

xϕ1 +

c2xϕ2 + ϕ′

2 = 0 (C.74)

c1 + κ

xϕ2 +

c2xϕ1 − ϕ′

1 = 0.


z = 2Λx ; f1(z) = ϕ1(x) ; f2(z) = ϕ2(x) (C.75)


−f2+c1 − κ

zf1 +

c2zf2 + f ′

2 = 0 (C.76)

c1 + κ

zf2 +

c2zf1 − f ′

1 = 0.


f1(z) =

∞∑m=0

amzs+m ; f2(z) =

∞∑m=0

bmzs+m. (C.77)


(c1 − κ)a0 + (c2 + s)b0 = 0 (C.78)

(c2 − s)a0 + (c1 + κ)b0 = 0

145



−Λ(ϕ1 + ϕ2) +α

x

√1 + ε

1− ε(ϕ1 + ϕ2) + Λ(ϕ1 − ϕ2)

− ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 − ϕ2) = 0

Λ(ϕ1 − ϕ2) +α

x

√1− ε

1 + ε(ϕ1 − ϕ2)− Λ(ϕ1 + ϕ2)

+ ϕ′1 + ϕ′

2 −κ

x(ϕ1 + ϕ2) = 0 (C.71)

But we have:√

1 + ε

1− ε=

1 + ε

Λ;

√1− ε

1 + ε=

1− ε

Λ(C.72)

and we let:

c1 =α

Λ; c2 =

αε

Λ. (C.73)


−2Λϕ2+c1 − κ

xϕ1 +

c2xϕ2 + ϕ′

2 = 0 (C.74)

c1 + κ

xϕ2 +

c2xϕ1 − ϕ′

1 = 0.


z = 2Λx ; f1(z) = ϕ1(x) ; f2(z) = ϕ2(x) (C.75)


−f2+c1 − κ

zf1 +

c2zf2 + f ′

2 = 0 (C.76)

c1 + κ

zf2 +

c2zf1 − f ′

1 = 0.


f1(z) =

∞∑m=0

amzs+m ; f2(z) =

∞∑m=0

bmzs+m. (C.77)


(c1 − κ)a0 + (c2 + s)b0 = 0 (C.78)

(c2 − s)a0 + (c1 + κ)b0 = 0

145A not null solution exists only if the determinant of this system is null:

0 =

∣∣∣∣c1 − κ c2 + sc2 − s c1 + κ

∣∣∣∣ = c21 − κ2 − c22 + s2 (C.79)


c21 − c22 = α2 (C.80)

So we get:

0 = α2 + s2 − κ2 ; s2 = κ2 − α2 (C.81)

We must take:

s =√κ2 − α2 (C.82)

to make the wave integrable at the origin. In this case the system (C.78) isreduced to

b0 =κ− c1c2 + s

a0 =s− c2c1 + κ

a0. (C.83)


−bm−1+(c1 − κ)am + (c2 + s+m)bm = 0 (C.84)

(c1 + κ)bm + (c2 − s−m)am = 0


am =c1 + κ

−c2 + s+mbm (C.85)


− bm−1 + (c1 − κ)c1 + κ

−c2 + s+mbm + (c2 + s+m)bm = 0

[(c1 − κ)(c1 + κ) + (s+m)2 − c22])bm = (−c2 + s+m)bm−1 (C.86)

which, with (C.79), gives:

bm =−c2 + s+m

(2s+m)mbm−1 =

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

b0. (C.87)

And so we have:

f2(z) = b0zs

∞∑m=0

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

zm = b0zsF (1 + s− c2, 2s+ 1, z) (C.88)


bm =−c2 + s+m

c1 + κam ; bm−1 =

−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1. (C.89)

146


0 =

∣∣∣∣c1 − κ c2 + sc2 − s c1 + κ

∣∣∣∣ = c21 − κ2 − c22 + s2 (C.79)


c21 − c22 = α2 (C.80)

So we get:

0 = α2 + s2 − κ2 ; s2 = κ2 − α2 (C.81)

We must take:

s =√κ2 − α2 (C.82)


b0 =κ− c1c2 + s

a0 =s− c2c1 + κ

a0. (C.83)


−bm−1+(c1 − κ)am + (c2 + s+m)bm = 0 (C.84)

(c1 + κ)bm + (c2 − s−m)am = 0


am =c1 + κ

−c2 + s+mbm (C.85)


− bm−1 + (c1 − κ)c1 + κ

−c2 + s+mbm + (c2 + s+m)bm = 0



bm =−c2 + s+m

(2s+m)mbm−1 =

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

b0. (C.87)

And so we have:

f2(z) = b0zs

∞∑m=0

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

zm = b0zsF (1 + s− c2, 2s+ 1, z) (C.88)


bm =−c2 + s+m

c1 + κam ; bm−1 =

−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1. (C.89)

146


0 =

∣∣∣∣c1 − κ c2 + sc2 − s c1 + κ

∣∣∣∣ = c21 − κ2 − c22 + s2 (C.79)


c21 − c22 = α2 (C.80)

So we get:

0 = α2 + s2 − κ2 ; s2 = κ2 − α2 (C.81)

We must take:

s =√κ2 − α2 (C.82)


b0 =κ− c1c2 + s

a0 =s− c2c1 + κ

a0. (C.83)


−bm−1+(c1 − κ)am + (c2 + s+m)bm = 0 (C.84)

(c1 + κ)bm + (c2 − s−m)am = 0


am =c1 + κ

−c2 + s+mbm (C.85)


− bm−1 + (c1 − κ)c1 + κ

−c2 + s+mbm + (c2 + s+m)bm = 0



bm =−c2 + s+m

(2s+m)mbm−1 =

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

b0. (C.87)

And so we have:

f2(z) = b0zs

∞∑m=0

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

zm = b0zsF (1 + s− c2, 2s+ 1, z) (C.88)


bm =−c2 + s+m

c1 + κam ; bm−1 =

−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1. (C.89)

146


0 =

∣∣∣∣c1 − κ c2 + sc2 − s c1 + κ

∣∣∣∣ = c21 − κ2 − c22 + s2 (C.79)


c21 − c22 = α2 (C.80)

So we get:

0 = α2 + s2 − κ2 ; s2 = κ2 − α2 (C.81)

We must take:

s =√κ2 − α2 (C.82)


b0 =κ− c1c2 + s

a0 =s− c2c1 + κ

a0. (C.83)


−bm−1+(c1 − κ)am + (c2 + s+m)bm = 0 (C.84)

(c1 + κ)bm + (c2 − s−m)am = 0


am =c1 + κ

−c2 + s+mbm (C.85)


− bm−1 + (c1 − κ)c1 + κ

−c2 + s+mbm + (c2 + s+m)bm = 0



bm =−c2 + s+m

(2s+m)mbm−1 =

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

b0. (C.87)

And so we have:

f2(z) = b0zs

∞∑m=0

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

zm = b0zsF (1 + s− c2, 2s+ 1, z) (C.88)


bm =−c2 + s+m

c1 + κam ; bm−1 =

−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1. (C.89)

146


0 =

∣∣∣∣c1 − κ c2 + sc2 − s c1 + κ

∣∣∣∣ = c21 − κ2 − c22 + s2 (C.79)


c21 − c22 = α2 (C.80)

So we get:

0 = α2 + s2 − κ2 ; s2 = κ2 − α2 (C.81)

We must take:

s =√κ2 − α2 (C.82)


b0 =κ− c1c2 + s

a0 =s− c2c1 + κ

a0. (C.83)


−bm−1+(c1 − κ)am + (c2 + s+m)bm = 0 (C.84)

(c1 + κ)bm + (c2 − s−m)am = 0


am =c1 + κ

−c2 + s+mbm (C.85)


− bm−1 + (c1 − κ)c1 + κ

−c2 + s+mbm + (c2 + s+m)bm = 0



bm =−c2 + s+m

(2s+m)mbm−1 =

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

b0. (C.87)

And so we have:

f2(z) = b0zs

∞∑m=0

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

zm = b0zsF (1 + s− c2, 2s+ 1, z) (C.88)


bm =−c2 + s+m

c1 + κam ; bm−1 =

−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1. (C.89)

146


0 =

∣∣∣∣c1 − κ c2 + sc2 − s c1 + κ

∣∣∣∣ = c21 − κ2 − c22 + s2 (C.79)


c21 − c22 = α2 (C.80)

So we get:

0 = α2 + s2 − κ2 ; s2 = κ2 − α2 (C.81)

We must take:

s =√κ2 − α2 (C.82)


b0 =κ− c1c2 + s

a0 =s− c2c1 + κ

a0. (C.83)


−bm−1+(c1 − κ)am + (c2 + s+m)bm = 0 (C.84)

(c1 + κ)bm + (c2 − s−m)am = 0


am =c1 + κ

−c2 + s+mbm (C.85)


− bm−1 + (c1 − κ)c1 + κ

−c2 + s+mbm + (c2 + s+m)bm = 0



bm =−c2 + s+m

(2s+m)mbm−1 =

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

b0. (C.87)

And so we have:

f2(z) = b0zs

∞∑m=0

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

zm = b0zsF (1 + s− c2, 2s+ 1, z) (C.88)


bm =−c2 + s+m

c1 + κam ; bm−1 =

−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1. (C.89)

146


0 =

∣∣∣∣c1 − κ c2 + sc2 − s c1 + κ

∣∣∣∣ = c21 − κ2 − c22 + s2 (C.79)


c21 − c22 = α2 (C.80)

So we get:

0 = α2 + s2 − κ2 ; s2 = κ2 − α2 (C.81)

We must take:

s =√κ2 − α2 (C.82)


b0 =κ− c1c2 + s

a0 =s− c2c1 + κ

a0. (C.83)


−bm−1+(c1 − κ)am + (c2 + s+m)bm = 0 (C.84)

(c1 + κ)bm + (c2 − s−m)am = 0


am =c1 + κ

−c2 + s+mbm (C.85)


− bm−1 + (c1 − κ)c1 + κ

−c2 + s+mbm + (c2 + s+m)bm = 0



bm =−c2 + s+m

(2s+m)mbm−1 =

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

b0. (C.87)

And so we have:

f2(z) = b0zs

∞∑m=0

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

zm = b0zsF (1 + s− c2, 2s+ 1, z) (C.88)


bm =−c2 + s+m

c1 + κam ; bm−1 =

−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1. (C.89)

146


0 =

∣∣∣∣c1 − κ c2 + sc2 − s c1 + κ

∣∣∣∣ = c21 − κ2 − c22 + s2 (C.79)


c21 − c22 = α2 (C.80)

So we get:

0 = α2 + s2 − κ2 ; s2 = κ2 − α2 (C.81)

We must take:

s =√κ2 − α2 (C.82)


b0 =κ− c1c2 + s

a0 =s− c2c1 + κ

a0. (C.83)


−bm−1+(c1 − κ)am + (c2 + s+m)bm = 0 (C.84)

(c1 + κ)bm + (c2 − s−m)am = 0


am =c1 + κ

−c2 + s+mbm (C.85)


− bm−1 + (c1 − κ)c1 + κ

−c2 + s+mbm + (c2 + s+m)bm = 0



bm =−c2 + s+m

(2s+m)mbm−1 =

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

b0. (C.87)

And so we have:

f2(z) = b0zs

∞∑m=0

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

zm = b0zsF (1 + s− c2, 2s+ 1, z) (C.88)


bm =−c2 + s+m

c1 + κam ; bm−1 =

−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1. (C.89)

146


0 =

∣∣∣∣c1 − κ c2 + sc2 − s c1 + κ

∣∣∣∣ = c21 − κ2 − c22 + s2 (C.79)


c21 − c22 = α2 (C.80)

So we get:

0 = α2 + s2 − κ2 ; s2 = κ2 − α2 (C.81)

We must take:

s =√κ2 − α2 (C.82)


b0 =κ− c1c2 + s

a0 =s− c2c1 + κ

a0. (C.83)


−bm−1+(c1 − κ)am + (c2 + s+m)bm = 0 (C.84)

(c1 + κ)bm + (c2 − s−m)am = 0


am =c1 + κ

−c2 + s+mbm (C.85)


− bm−1 + (c1 − κ)c1 + κ

−c2 + s+mbm + (c2 + s+m)bm = 0



bm =−c2 + s+m

(2s+m)mbm−1 =

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

b0. (C.87)

And so we have:

f2(z) = b0zs

∞∑m=0

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

zm = b0zsF (1 + s− c2, 2s+ 1, z) (C.88)


bm =−c2 + s+m

c1 + κam ; bm−1 =

−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1. (C.89)

146


0 =

∣∣∣∣c1 − κ c2 + sc2 − s c1 + κ

∣∣∣∣ = c21 − κ2 − c22 + s2 (C.79)


c21 − c22 = α2 (C.80)

So we get:

0 = α2 + s2 − κ2 ; s2 = κ2 − α2 (C.81)

We must take:

s =√κ2 − α2 (C.82)


b0 =κ− c1c2 + s

a0 =s− c2c1 + κ

a0. (C.83)


−bm−1+(c1 − κ)am + (c2 + s+m)bm = 0 (C.84)

(c1 + κ)bm + (c2 − s−m)am = 0


am =c1 + κ

−c2 + s+mbm (C.85)


− bm−1 + (c1 − κ)c1 + κ

−c2 + s+mbm + (c2 + s+m)bm = 0



bm =−c2 + s+m

(2s+m)mbm−1 =

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

b0. (C.87)

And so we have:

f2(z) = b0zs

∞∑m=0

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

zm = b0zsF (1 + s− c2, 2s+ 1, z) (C.88)


bm =−c2 + s+m

c1 + κam ; bm−1 =

−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1. (C.89)

146


0 =

∣∣∣∣c1 − κ c2 + sc2 − s c1 + κ

∣∣∣∣ = c21 − κ2 − c22 + s2 (C.79)


c21 − c22 = α2 (C.80)

So we get:

0 = α2 + s2 − κ2 ; s2 = κ2 − α2 (C.81)

We must take:

s =√κ2 − α2 (C.82)


b0 =κ− c1c2 + s

a0 =s− c2c1 + κ

a0. (C.83)


−bm−1+(c1 − κ)am + (c2 + s+m)bm = 0 (C.84)

(c1 + κ)bm + (c2 − s−m)am = 0


am =c1 + κ

−c2 + s+mbm (C.85)


− bm−1 + (c1 − κ)c1 + κ

−c2 + s+mbm + (c2 + s+m)bm = 0



bm =−c2 + s+m

(2s+m)mbm−1 =

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

b0. (C.87)

And so we have:

f2(z) = b0zs

∞∑m=0

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

zm = b0zsF (1 + s− c2, 2s+ 1, z) (C.88)


bm =−c2 + s+m

c1 + κam ; bm−1 =

−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1. (C.89)

146


0 =

∣∣∣∣c1 − κ c2 + sc2 − s c1 + κ

∣∣∣∣ = c21 − κ2 − c22 + s2 (C.79)


c21 − c22 = α2 (C.80)

So we get:

0 = α2 + s2 − κ2 ; s2 = κ2 − α2 (C.81)

We must take:

s =√κ2 − α2 (C.82)


b0 =κ− c1c2 + s

a0 =s− c2c1 + κ

a0. (C.83)


−bm−1+(c1 − κ)am + (c2 + s+m)bm = 0 (C.84)

(c1 + κ)bm + (c2 − s−m)am = 0


am =c1 + κ

−c2 + s+mbm (C.85)


− bm−1 + (c1 − κ)c1 + κ

−c2 + s+mbm + (c2 + s+m)bm = 0



bm =−c2 + s+m

(2s+m)mbm−1 =

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

b0. (C.87)

And so we have:

f2(z) = b0zs

∞∑m=0

(−c2 + s+ 1)m(2s+ 1)mm!

zm = b0zsF (1 + s− c2, 2s+ 1, z) (C.88)


bm =−c2 + s+m

c1 + κam ; bm−1 =

−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1. (C.89)

146The first of the two equations (C.84) becomes:

−−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1 + (c1 − κ)am + (c2 + s+m)

−c2 + s+m

c1 + κam = 0

(C.90)

which implies:

am =−c2 + s− 1 +m

(2s+m)mam−1 =

(−c2 + s)m(2s+ 1)mm!

a0 (C.91)

And so we have:

f1(z) = a0zs

∞∑m=0

(−c2 + s)m(2s+ 1)mm!

zm = a0zsF (s− c2, 2s+ 1, z) (C.92)

This hypergeometric function is integrable only if the series are polynomial,62

(up a coefficient, it is a Laguerre’s polynomial) with degree n, that is to say ifan integer n exists such as

−c2 + s+ n = 0 (C.93)

s+ n =εα

Λ(C.94)

which gives, by taking the square ;

(s+ n)2(1− ε2) = ε2α2

(s+ n)2 = [(s+ n)2 + α2]ε2

ε2 =1

1 +α2

(s+ n)2

. (C.95)

And we get the Sommerfeld’s formula for the energy levels:

ε =1√

1 +α2

(s+ n)2

; s =√κ2 − α2 ; |κ| = j +

1

2. (C.96)

With (C.75), (C.83), (C.88) and (C.92), we get now:

ϕ1(x) = a0(2Λx)sF (−n, 2s+ 1, 2Λx) (C.97)

ϕ2(x) =−na0c1 + κ

(2Λx)sF (1− n, 2s+ 1, 2Λx). (C.98)

62The integrability of the wave functions is not optional, but compulsory, since we haveseen in 3.4 that the normalization of the wave comes from the physical fact that the energyof the electron is the energy of its wave.

147


−−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1 + (c1 − κ)am + (c2 + s+m)

−c2 + s+m

c1 + κam = 0

(C.90)

which implies:

am =−c2 + s− 1 +m

(2s+m)mam−1 =

(−c2 + s)m(2s+ 1)mm!

a0 (C.91)

And so we have:

f1(z) = a0zs

∞∑m=0

(−c2 + s)m(2s+ 1)mm!

zm = a0zsF (s− c2, 2s+ 1, z) (C.92)



−c2 + s+ n = 0 (C.93)

s+ n =εα

Λ(C.94)


(s+ n)2(1− ε2) = ε2α2

(s+ n)2 = [(s+ n)2 + α2]ε2

ε2 =1

1 +α2

(s+ n)2

. (C.95)


ε =1√

1 +α2

(s+ n)2

; s =√κ2 − α2 ; |κ| = j +

1

2. (C.96)


ϕ1(x) = a0(2Λx)sF (−n, 2s+ 1, 2Λx) (C.97)

ϕ2(x) =−na0c1 + κ

(2Λx)sF (1− n, 2s+ 1, 2Λx). (C.98)


147


−−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1 + (c1 − κ)am + (c2 + s+m)

−c2 + s+m

c1 + κam = 0

(C.90)

which implies:

am =−c2 + s− 1 +m

(2s+m)mam−1 =

(−c2 + s)m(2s+ 1)mm!

a0 (C.91)

And so we have:

f1(z) = a0zs

∞∑m=0

(−c2 + s)m(2s+ 1)mm!

zm = a0zsF (s− c2, 2s+ 1, z) (C.92)



−c2 + s+ n = 0 (C.93)

s+ n =εα

Λ(C.94)


(s+ n)2(1− ε2) = ε2α2

(s+ n)2 = [(s+ n)2 + α2]ε2

ε2 =1

1 +α2

(s+ n)2

. (C.95)


ε =1√

1 +α2

(s+ n)2

; s =√κ2 − α2 ; |κ| = j +

1

2. (C.96)


ϕ1(x) = a0(2Λx)sF (−n, 2s+ 1, 2Λx) (C.97)

ϕ2(x) =−na0c1 + κ

(2Λx)sF (1− n, 2s+ 1, 2Λx). (C.98)


147



And so we have:

(C.92)

This hypergeometric function is integrable only if the series are polynomial,

62 (up a coefficient, it is a Laguerre’s polynomial) with degree n, that is to say if an integer n exists such as

(C.93)

(C.94)

which gives, by taking the square;

(C.95)


(C.96)


(C.97)

(C.98)

We let, if n > 0:

(C.99)

And we get:

(C.100)

(C.101)

62 The integrability of the wave functions is not optional, but com-pulsory, since we have seen in 3.4 that the normalization of the wave comes from the physical fact that the energy of the elec-tron is the energy of its wave.

We let then:

(C.102)

We get finally:

(C.103)

(C.104)

Since we go from F−, G− to F+ , G+ by replacing κ by −κ, we have also:

(C.105)

(C.106)

where a2 is, as a1 , a complex constant. We get the same condition on the energy when we say that functions F+ and G+ must be polynomials to get integrability of the wave, because (C.96) contains only κ2 . Therefore if the formula (C.96) is satisfied we get polynomials for the four radial functions and the wave is integrable.

C.4 Calculation of the Yvon-Takabayasi angle

We have with (C.62) and (C.63):

(C.107)

With (C.66) we get:

(C.108)

And we get:

(C.109)

With (C.103) to (C.106), we get then, if n > 0:


−−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1 + (c1 − κ)am + (c2 + s+m)

−c2 + s+m

c1 + κam = 0

(C.90)

which implies:

am =−c2 + s− 1 +m

(2s+m)mam−1 =

(−c2 + s)m(2s+ 1)mm!

a0 (C.91)

And so we have:

f1(z) = a0zs

∞∑m=0

(−c2 + s)m(2s+ 1)mm!

zm = a0zsF (s− c2, 2s+ 1, z) (C.92)



−c2 + s+ n = 0 (C.93)

s+ n =εα

Λ(C.94)


(s+ n)2(1− ε2) = ε2α2

(s+ n)2 = [(s+ n)2 + α2]ε2

ε2 =1

1 +α2

(s+ n)2

. (C.95)


ε =1√

1 +α2

(s+ n)2

; s =√κ2 − α2 ; |κ| = j +

1

2. (C.96)


ϕ1(x) = a0(2Λx)sF (−n, 2s+ 1, 2Λx) (C.97)

ϕ2(x) =−na0c1 + κ

(2Λx)sF (1− n, 2s+ 1, 2Λx). (C.98)


147


−−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1 + (c1 − κ)am + (c2 + s+m)

−c2 + s+m

c1 + κam = 0

(C.90)

which implies:

am =−c2 + s− 1 +m

(2s+m)mam−1 =

(−c2 + s)m(2s+ 1)mm!

a0 (C.91)

And so we have:

f1(z) = a0zs

∞∑m=0

(−c2 + s)m(2s+ 1)mm!

zm = a0zsF (s− c2, 2s+ 1, z) (C.92)



−c2 + s+ n = 0 (C.93)

s+ n =εα

Λ(C.94)


(s+ n)2(1− ε2) = ε2α2

(s+ n)2 = [(s+ n)2 + α2]ε2

ε2 =1

1 +α2

(s+ n)2

. (C.95)


ε =1√

1 +α2

(s+ n)2

; s =√κ2 − α2 ; |κ| = j +

1

2. (C.96)


ϕ1(x) = a0(2Λx)sF (−n, 2s+ 1, 2Λx) (C.97)

ϕ2(x) =−na0c1 + κ

(2Λx)sF (1− n, 2s+ 1, 2Λx). (C.98)


147


−−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1 + (c1 − κ)am + (c2 + s+m)

−c2 + s+m

c1 + κam = 0

(C.90)

which implies:

am =−c2 + s− 1 +m

(2s+m)mam−1 =

(−c2 + s)m(2s+ 1)mm!

a0 (C.91)

And so we have:

f1(z) = a0zs

∞∑m=0

(−c2 + s)m(2s+ 1)mm!

zm = a0zsF (s− c2, 2s+ 1, z) (C.92)



−c2 + s+ n = 0 (C.93)

s+ n =εα

Λ(C.94)


(s+ n)2(1− ε2) = ε2α2

(s+ n)2 = [(s+ n)2 + α2]ε2

ε2 =1

1 +α2

(s+ n)2

. (C.95)


ε =1√

1 +α2

(s+ n)2

; s =√κ2 − α2 ; |κ| = j +

1

2. (C.96)


ϕ1(x) = a0(2Λx)sF (−n, 2s+ 1, 2Λx) (C.97)

ϕ2(x) =−na0c1 + κ

(2Λx)sF (1− n, 2s+ 1, 2Λx). (C.98)


147


−−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1 + (c1 − κ)am + (c2 + s+m)

−c2 + s+m

c1 + κam = 0

(C.90)

which implies:

am =−c2 + s− 1 +m

(2s+m)mam−1 =

(−c2 + s)m(2s+ 1)mm!

a0 (C.91)

And so we have:

f1(z) = a0zs

∞∑m=0

(−c2 + s)m(2s+ 1)mm!

zm = a0zsF (s− c2, 2s+ 1, z) (C.92)



−c2 + s+ n = 0 (C.93)

s+ n =εα

Λ(C.94)


(s+ n)2(1− ε2) = ε2α2

(s+ n)2 = [(s+ n)2 + α2]ε2

ε2 =1

1 +α2

(s+ n)2

. (C.95)


ε =1√

1 +α2

(s+ n)2

; s =√κ2 − α2 ; |κ| = j +

1

2. (C.96)


ϕ1(x) = a0(2Λx)sF (−n, 2s+ 1, 2Λx) (C.97)

ϕ2(x) =−na0c1 + κ

(2Λx)sF (1− n, 2s+ 1, 2Λx). (C.98)


147


−−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1 + (c1 − κ)am + (c2 + s+m)

−c2 + s+m

c1 + κam = 0

(C.90)

which implies:

am =−c2 + s− 1 +m

(2s+m)mam−1 =

(−c2 + s)m(2s+ 1)mm!

a0 (C.91)

And so we have:

f1(z) = a0zs

∞∑m=0

(−c2 + s)m(2s+ 1)mm!

zm = a0zsF (s− c2, 2s+ 1, z) (C.92)



−c2 + s+ n = 0 (C.93)

s+ n =εα

Λ(C.94)


(s+ n)2(1− ε2) = ε2α2

(s+ n)2 = [(s+ n)2 + α2]ε2

ε2 =1

1 +α2

(s+ n)2

. (C.95)


ε =1√

1 +α2

(s+ n)2

; s =√

κ2 − α2 ; |κ| = j +1

2. (C.96)


ϕ1(x) = a0(2Λx)sF (−n, 2s+ 1, 2Λx) (C.97)

ϕ2(x) =−na0c1 + κ

(2Λx)sF (1− n, 2s+ 1, 2Λx). (C.98)


147


−−c2 + s+m− 1

c1 + κam−1 + (c1 − κ)am + (c2 + s+m)

−c2 + s+m

c1 + κam = 0

(C.90)

which implies:

am =−c2 + s− 1 +m

(2s+m)mam−1 =

(−c2 + s)m(2s+ 1)mm!

a0 (C.91)

And so we have:

f1(z) = a0zs

∞∑m=0

(−c2 + s)m(2s+ 1)mm!

zm = a0zsF (s− c2, 2s+ 1, z) (C.92)



−c2 + s+ n = 0 (C.93)

s+ n =εα

Λ(C.94)


(s+ n)2(1− ε2) = ε2α2

(s+ n)2 = [(s+ n)2 + α2]ε2

ε2 =1

1 +α2

(s+ n)2

. (C.95)


ε =1√

1 +α2

(s+ n)2

; s =√κ2 − α2 ; |κ| = j +

1

2. (C.96)


ϕ1(x) = a0(2Λx)sF (−n, 2s+ 1, 2Λx) (C.97)

ϕ2(x) =−na0c1 + κ

(2Λx)sF (1− n, 2s+ 1, 2Λx). (C.98)


147

We let, if n > 0:

P1 = F (1− n, 2s+ 1, 2Λx) ; P2 = F (−n, 2s+ 1, 2Λx). (C.99)

And we get:

F− =

√1 + ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.100)

G− =

√1− ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.101)

We let then:

a1 =

√1 + ε

c1 + κa0(2Λ)

s. (C.102)

We get finally:

F− = a1e−Λxxs[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.103)

G− =

√1− ε

1 + εa1e

−Λxxs[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.104)

Since we go from F−, G− to F+, G+ by replacing κ by −κ, we have also:

F+ = a2e−Λxxs[(c1 − κ)P2 − nP1] (C.105)

G+ =

√1− ε

1 + εa2e

−Λxxs[(c1 − κ)P2 + nP1] (C.106)

where a2 is, as a1, a complex constant. We get the same condition on the energywhen we say that functions F+ and G+ must be polynomials to get integrabilityof the wave, because (C.96) contains only κ2. Therefore if the formula (C.96)is satisfied we get polynomials for the four radial functions and the wave isintegrable.



eiβ =ad∗U2 + cb∗V 2

|ad∗U2 + cb∗V 2|. (C.107)

With (C.66) we get:

2a = F+ + F− + i(G+ +G−) ; 2b = F+ − F− + i(G+ −G−)

2d = F+ + F− − i(G+ +G−) ; 2c = F+ − F− − i(G+ −G−). (C.108)

148

We let, if n > 0:

P1 = F (1− n, 2s+ 1, 2Λx) ; P2 = F (−n, 2s+ 1, 2Λx). (C.99)

And we get:

F− =

√1 + ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.100)

G− =

√1− ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.101)

We let then:

a1 =

√1 + ε

c1 + κa0(2Λ)

s. (C.102)

We get finally:

F− = a1e−Λxxs[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.103)

G− =

√1− ε

1 + εa1e

−Λxxs[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.104)


F+ = a2e−Λxxs[(c1 − κ)P2 − nP1] (C.105)

G+ =

√1− ε

1 + εa2e

−Λxxs[(c1 − κ)P2 + nP1] (C.106)





|ad∗U2 + cb∗V 2|. (C.107)

With (C.66) we get:

2a = F+ + F− + i(G+ +G−) ; 2b = F+ − F− + i(G+ −G−)

2d = F+ + F− − i(G+ +G−) ; 2c = F+ − F− − i(G+ −G−). (C.108)

148

We let, if n > 0:

P1 = F (1− n, 2s+ 1, 2Λx) ; P2 = F (−n, 2s+ 1, 2Λx). (C.99)

And we get:

F− =

√1 + ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.100)

G− =

√1− ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.101)

We let then:

a1 =

√1 + ε

c1 + κa0(2Λ)

s. (C.102)

We get finally:

F− = a1e−Λxxs[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.103)

G− =

√1− ε

1 + εa1e

−Λxxs[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.104)


F+ = a2e−Λxxs[(c1 − κ)P2 − nP1] (C.105)

G+ =

√1− ε

1 + εa2e

−Λxxs[(c1 − κ)P2 + nP1] (C.106)





|ad∗U2 + cb∗V 2|. (C.107)

With (C.66) we get:

2a = F+ + F− + i(G+ +G−) ; 2b = F+ − F− + i(G+ −G−)

2d = F+ + F− − i(G+ +G−) ; 2c = F+ − F− − i(G+ −G−). (C.108)

148

We let, if n > 0:

P1 = F (1− n, 2s+ 1, 2Λx) ; P2 = F (−n, 2s+ 1, 2Λx). (C.99)

And we get:

F− =

√1 + ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.100)

G− =

√1− ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.101)

We let then:

a1 =

√1 + ε

c1 + κa0(2Λ)

s. (C.102)

We get finally:

F− = a1e−Λxxs[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.103)

G− =

√1− ε

1 + εa1e

−Λxxs[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.104)


F+ = a2e−Λxxs[(c1 − κ)P2 − nP1] (C.105)

G+ =

√1− ε

1 + εa2e

−Λxxs[(c1 − κ)P2 + nP1] (C.106)





|ad∗U2 + cb∗V 2|. (C.107)

With (C.66) we get:

2a = F+ + F− + i(G+ +G−) ; 2b = F+ − F− + i(G+ −G−)

2d = F+ + F− − i(G+ +G−) ; 2c = F+ − F− − i(G+ −G−). (C.108)

148

We let, if n > 0:

P1 = F (1− n, 2s+ 1, 2Λx) ; P2 = F (−n, 2s+ 1, 2Λx). (C.99)

And we get:

F− =

√1 + ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.100)

G− =

√1− ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.101)

We let then:

a1 =

√1 + ε

c1 + κa0(2Λ)

s. (C.102)

We get finally:

F− = a1e−Λxxs[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.103)

G− =

√1− ε

1 + εa1e

−Λxxs[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.104)


F+ = a2e−Λxxs[(c1 − κ)P2 − nP1] (C.105)

G+ =

√1− ε

1 + εa2e

−Λxxs[(c1 − κ)P2 + nP1] (C.106)





|ad∗U2 + cb∗V 2|. (C.107)

With (C.66) we get:

2a = F+ + F− + i(G+ +G−) ; 2b = F+ − F− + i(G+ −G−)

2d = F+ + F− − i(G+ +G−) ; 2c = F+ − F− − i(G+ −G−). (C.108)

148

We let, if n > 0:

P1 = F (1− n, 2s+ 1, 2Λx) ; P2 = F (−n, 2s+ 1, 2Λx). (C.99)

And we get:

F− =

√1 + ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.100)

G− =

√1− ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.101)

We let then:

a1 =

√1 + ε

c1 + κa0(2Λ)

s. (C.102)

We get finally:

F− = a1e−Λxxs[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.103)

G− =

√1− ε

1 + εa1e

−Λxxs[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.104)


F+ = a2e−Λxxs[(c1 − κ)P2 − nP1] (C.105)

G+ =

√1− ε

1 + εa2e

−Λxxs[(c1 − κ)P2 + nP1] (C.106)





|ad∗U2 + cb∗V 2|. (C.107)

With (C.66) we get:

2a = F+ + F− + i(G+ +G−) ; 2b = F+ − F− + i(G+ −G−)

2d = F+ + F− − i(G+ +G−) ; 2c = F+ − F− − i(G+ −G−). (C.108)

148

We let, if n > 0:

P1 = F (1− n, 2s+ 1, 2Λx) ; P2 = F (−n, 2s+ 1, 2Λx). (C.99)

And we get:

F− =

√1 + ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.100)

G− =

√1− ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.101)

We let then:

a1 =

√1 + ε

c1 + κa0(2Λ)

s. (C.102)

We get finally:

F− = a1e−Λxxs[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.103)

G− =

√1− ε

1 + εa1e

−Λxxs[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.104)


F+ = a2e−Λxxs[(c1 − κ)P2 − nP1] (C.105)

G+ =

√1− ε

1 + εa2e

−Λxxs[(c1 − κ)P2 + nP1] (C.106)





|ad∗U2 + cb∗V 2|. (C.107)

With (C.66) we get:

2a = F+ + F− + i(G+ +G−) ; 2b = F+ − F− + i(G+ −G−)

2d = F+ + F− − i(G+ +G−) ; 2c = F+ − F− − i(G+ −G−). (C.108)

148

We let, if n > 0:

P1 = F (1− n, 2s+ 1, 2Λx) ; P2 = F (−n, 2s+ 1, 2Λx). (C.99)

And we get:

F− =

√1 + ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.100)

G− =

√1− ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.101)

We let then:

a1 =

√1 + ε

c1 + κa0(2Λ)

s. (C.102)

We get finally:

F− = a1e−Λxxs[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.103)

G− =

√1− ε

1 + εa1e

−Λxxs[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.104)


F+ = a2e−Λxxs[(c1 − κ)P2 − nP1] (C.105)

G+ =

√1− ε

1 + εa2e

−Λxxs[(c1 − κ)P2 + nP1] (C.106)





|ad∗U2 + cb∗V 2|. (C.107)

With (C.66) we get:

2a = F+ + F− + i(G+ +G−) ; 2b = F+ − F− + i(G+ −G−)

2d = F+ + F− − i(G+ +G−) ; 2c = F+ − F− − i(G+ −G−). (C.108)

148

We let, if n > 0:

P1 = F (1− n, 2s+ 1, 2Λx) ; P2 = F (−n, 2s+ 1, 2Λx). (C.99)

And we get:

F− =

√1 + ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.100)

G− =

√1− ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.101)

We let then:

a1 =

√1 + ε

c1 + κa0(2Λ)

s. (C.102)

We get finally:

F− = a1e−Λxxs[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.103)

G− =

√1− ε

1 + εa1e

−Λxxs[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.104)


F+ = a2e−Λxxs[(c1 − κ)P2 − nP1] (C.105)

G+ =

√1− ε

1 + εa2e

−Λxxs[(c1 − κ)P2 + nP1] (C.106)





|ad∗U2 + cb∗V 2|. (C.107)

With (C.66) we get:

2a = F+ + F− + i(G+ +G−) ; 2b = F+ − F− + i(G+ −G−)

2d = F+ + F− − i(G+ +G−) ; 2c = F+ − F− − i(G+ −G−). (C.108)

148

We let, if n > 0:

P1 = F (1− n, 2s+ 1, 2Λx) ; P2 = F (−n, 2s+ 1, 2Λx). (C.99)

And we get:

F− =

√1 + ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.100)

G− =

√1− ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.101)

We let then:

a1 =

√1 + ε

c1 + κa0(2Λ)

s. (C.102)

We get finally:

F− = a1e−Λxxs[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.103)

G− =

√1− ε

1 + εa1e

−Λxxs[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.104)


F+ = a2e−Λxxs[(c1 − κ)P2 − nP1] (C.105)

G+ =

√1− ε

1 + εa2e

−Λxxs[(c1 − κ)P2 + nP1] (C.106)





|ad∗U2 + cb∗V 2|. (C.107)

With (C.66) we get:

2a = F+ + F− + i(G+ +G−) ; 2b = F+ − F− + i(G+ −G−)

2d = F+ + F− − i(G+ +G−) ; 2c = F+ − F− − i(G+ −G−). (C.108)

148

We let, if n > 0:

P1 = F (1− n, 2s+ 1, 2Λx) ; P2 = F (−n, 2s+ 1, 2Λx). (C.99)

And we get:

F− =

√1 + ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.100)

G− =

√1− ε

c1 + κa0e

−Λx(2Λx)s[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.101)

We let then:

a1 =

√1 + ε

c1 + κa0(2Λ)

s. (C.102)

We get finally:

F− = a1e−Λxxs[(c1 + κ)P2 − nP1] (C.103)

G− =

√1− ε

1 + εa1e

−Λxxs[(c1 + κ)P2 + nP1]. (C.104)


F+ = a2e−Λxxs[(c1 − κ)P2 − nP1] (C.105)

G+ =

√1− ε

1 + εa2e

−Λxxs[(c1 − κ)P2 + nP1] (C.106)





|ad∗U2 + cb∗V 2|. (C.107)

With (C.66) we get:

2a = F+ + F− + i(G+ +G−) ; 2b = F+ − F− + i(G+ −G−)

2d = F+ + F− − i(G+ +G−) ; 2c = F+ − F− − i(G+ −G−). (C.108)

148

And we get:

4(ad∗U2 + cb∗V 2)

= (F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−)(U

2 + V 2)

+ (F+F∗− + F−F

∗+ −G+G

∗− −G−G

∗+)(U

2 − V 2)

+ i(F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗−)(U

2 − V 2)

+ i(F+G∗− + F−G

∗+ +G+F

∗− +G−F

∗+)(U

2 + V 2) (C.109)


F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗− (C.110)

=2

1 + εe−2Λxx2s

((|a1|2 + |a2|2)[ε(c21 + κ2)P 2

2 + εn2P 21 − 2nc1P1P2]

+(|a2|2 − |a1|2)2κP2(−εc1P2 + nP1)

)

F+F∗− + F−F

∗+ −G+G

∗− −G−G

∗+ (C.111)

= e−2Λxx2s(a1a∗2 + a2a

∗1)

([(c1 − κ)P2 − nP1][(c1 + κ)P2 − nP1]

− 1−ε1+ε ([(c1 − κ)P2 + nP1][(c1 + κ)P2 + nP1]

)

F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗− (C.112)

= 2

√1− ε

1 + εe−2Λxx2s

(|a2|2[(c1 − κ)2P 2

2 − n2P 21 ]

+|a1|2[(c1 + κ)2P 22 − n2P 2

1 ]

)

F+G∗− + F−G

∗+ +G+F

∗− +G−F

∗+ (C.113)


∗1)

√1− ε

1 + ε

([(c1 − κ)P2 − nP1][(c1 + κ)P2 + nP1]+[(c1 + κ)P2 − nP1][(c1 − κ)P2 + nP1]

).

There is a great reduction, that we will let now, if:

a1a∗2 + a2a

∗1 = 0. (C.114)

In addition, we have:

c2 = s+ n =αε

Λ; c1 =

α

Λ=

s+ n

ε=

√(s+ n)2 + α2. (C.115)

We have: s 0, n 0, therefore (s+ n)2 s2, and

c1 =√(s+ n)2 + α2

√s2 + α2 =

√κ2 = |κ| ±κ. (C.116)

So we always have:

c1 − κ 0 ; c1 + κ 0. (C.117)

149

(C.105)

(C.103)




(C.114)


(C.115)

We have: s ≥ 0, n ≥ 0, therefore (s + n)2 ≥ s2 , and

(C.116)So we always have:

(C.117)

If we choose to let:

(C.118)

where k is a real positive constant, we get:

(C.119)

and since:

(C.120)

we get:

(C.121)And this term, which is the sum of two squares, il

always positive, two successive Laguerre’s polynomials having no common zero. Then we get

(C.122)

This allows us to write the Yvon-Takabayasi angle such as:

(C.123)

(C.110)

(C.111)

(C.112)

(C.113)

And we get:

4(ad∗U2 + cb∗V 2)

= (F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−)(U

2 + V 2)

+ (F+F∗− + F−F

∗+ −G+G

∗− −G−G

∗+)(U

2 − V 2)

+ i(F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗−)(U

2 − V 2)

+ i(F+G∗− + F−G

∗+ +G+F

∗− +G−F

∗+)(U

2 + V 2) (C.109)


F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗− (C.110)

=2

1 + εe−2Λxx2s

((|a1|2 + |a2|2)[ε(c21 + κ2)P 2

2 + εn2P 21 − 2nc1P1P2]

+(|a2|2 − |a1|2)2κP2(−εc1P2 + nP1)

)

F+F∗− + F−F

∗+ −G+G

∗− −G−G

∗+ (C.111)


∗1)

([(c1 − κ)P2 − nP1][(c1 + κ)P2 − nP1]

− 1−ε1+ε ([(c1 − κ)P2 + nP1][(c1 + κ)P2 + nP1]

)

F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗− (C.112)

= 2

√1− ε

1 + εe−2Λxx2s

(|a2|2[(c1 − κ)2P 2

2 − n2P 21 ]

+|a1|2[(c1 + κ)2P 22 − n2P 2

1 ]

)

F+G∗− + F−G

∗+ +G+F

∗− +G−F

∗+ (C.113)


∗1)

√1− ε

1 + ε


).


a1a∗2 + a2a

∗1 = 0. (C.114)


c2 = s+ n =αε

Λ; c1 =

α

Λ=

s+ n

ε=

√(s+ n)2 + α2. (C.115)


c1 =√(s+ n)2 + α2

√s2 + α2 =

√κ2 = |κ| ±κ. (C.116)

So we always have:

c1 − κ 0 ; c1 + κ 0. (C.117)

149

And we get:

4(ad∗U2 + cb∗V 2)

= (F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−)(U

2 + V 2)

+ (F+F∗− + F−F

∗+ −G+G

∗− −G−G

∗+)(U

2 − V 2)

+ i(F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗−)(U

2 − V 2)

+ i(F+G∗− + F−G

∗+ +G+F

∗− +G−F

∗+)(U

2 + V 2) (C.109)


F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗− (C.110)

=2

1 + εe−2Λxx2s

((|a1|2 + |a2|2)[ε(c21 + κ2)P 2

2 + εn2P 21 − 2nc1P1P2]

+(|a2|2 − |a1|2)2κP2(−εc1P2 + nP1)

)

F+F∗− + F−F

∗+ −G+G

∗− −G−G

∗+ (C.111)


∗1)

([(c1 − κ)P2 − nP1][(c1 + κ)P2 − nP1]

− 1−ε1+ε ([(c1 − κ)P2 + nP1][(c1 + κ)P2 + nP1]

)

F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗− (C.112)

= 2

√1− ε

1 + εe−2Λxx2s

(|a2|2[(c1 − κ)2P 2

2 − n2P 21 ]

+|a1|2[(c1 + κ)2P 22 − n2P 2

1 ]

)

F+G∗− + F−G

∗+ +G+F

∗− +G−F

∗+ (C.113)


∗1)

√1− ε

1 + ε


).


a1a∗2 + a2a

∗1 = 0. (C.114)


c2 = s+ n =αε

Λ; c1 =

α

Λ=

s+ n

ε=

√(s+ n)2 + α2. (C.115)


c1 =√(s+ n)2 + α2

√s2 + α2 =

√κ2 = |κ| ±κ. (C.116)

So we always have:

c1 − κ 0 ; c1 + κ 0. (C.117)

149

And we get:

4(ad∗U2 + cb∗V 2)

= (F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−)(U

2 + V 2)

+ (F+F∗− + F−F

∗+ −G+G

∗− −G−G

∗+)(U

2 − V 2)

+ i(F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗−)(U

2 − V 2)

+ i(F+G∗− + F−G

∗+ +G+F

∗− +G−F

∗+)(U

2 + V 2) (C.109)


F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗− (C.110)

=2

1 + εe−2Λxx2s

((|a1|2 + |a2|2)[ε(c21 + κ2)P 2

2 + εn2P 21 − 2nc1P1P2]

+(|a2|2 − |a1|2)2κP2(−εc1P2 + nP1)

)

F+F∗− + F−F

∗+ −G+G

∗− −G−G

∗+ (C.111)


∗1)

([(c1 − κ)P2 − nP1][(c1 + κ)P2 − nP1]

− 1−ε1+ε ([(c1 − κ)P2 + nP1][(c1 + κ)P2 + nP1]

)

F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗− (C.112)

= 2

√1− ε

1 + εe−2Λxx2s

(|a2|2[(c1 − κ)2P 2

2 − n2P 21 ]

+|a1|2[(c1 + κ)2P 22 − n2P 2

1 ]

)

F+G∗− + F−G

∗+ +G+F

∗− +G−F

∗+ (C.113)


∗1)

√1− ε

1 + ε


).


a1a∗2 + a2a

∗1 = 0. (C.114)


c2 = s+ n =αε

Λ; c1 =

α

Λ=

s+ n

ε=

√(s+ n)2 + α2. (C.115)


c1 =√(s+ n)2 + α2

√s2 + α2 =

√κ2 = |κ| ±κ. (C.116)

So we always have:

c1 − κ 0 ; c1 + κ 0. (C.117)

149

And we get:

4(ad∗U2 + cb∗V 2)

= (F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−)(U

2 + V 2)

+ (F+F∗− + F−F

∗+ −G+G

∗− −G−G

∗+)(U

2 − V 2)

+ i(F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗−)(U

2 − V 2)

+ i(F+G∗− + F−G

∗+ +G+F

∗− +G−F

∗+)(U

2 + V 2) (C.109)


F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗− (C.110)

=2

1 + εe−2Λxx2s

((|a1|2 + |a2|2)[ε(c21 + κ2)P 2

2 + εn2P 21 − 2nc1P1P2]

+(|a2|2 − |a1|2)2κP2(−εc1P2 + nP1)

)

F+F∗− + F−F

∗+ −G+G

∗− −G−G

∗+ (C.111)


∗1)

([(c1 − κ)P2 − nP1][(c1 + κ)P2 − nP1]

− 1−ε1+ε ([(c1 − κ)P2 + nP1][(c1 + κ)P2 + nP1]

)

F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗− (C.112)

= 2

√1− ε

1 + εe−2Λxx2s

(|a2|2[(c1 − κ)2P 2

2 − n2P 21 ]

+|a1|2[(c1 + κ)2P 22 − n2P 2

1 ]

)

F+G∗− + F−G

∗+ +G+F

∗− +G−F

∗+ (C.113)


∗1)

√1− ε

1 + ε


).


a1a∗2 + a2a

∗1 = 0. (C.114)


c2 = s+ n =αε

Λ; c1 =

α

Λ=

s+ n

ε=

√(s+ n)2 + α2. (C.115)


c1 =√(s+ n)2 + α2

√s2 + α2 =

√κ2 = |κ| ±κ. (C.116)

So we always have:

c1 − κ 0 ; c1 + κ 0. (C.117)

149

And we get:

4(ad∗U2 + cb∗V 2)

= (F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−)(U

2 + V 2)

+ (F+F∗− + F−F

∗+ −G+G

∗− −G−G

∗+)(U

2 − V 2)

+ i(F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗−)(U

2 − V 2)

+ i(F+G∗− + F−G

∗+ +G+F

∗− +G−F

∗+)(U

2 + V 2) (C.109)


F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗− (C.110)

=2

1 + εe−2Λxx2s

((|a1|2 + |a2|2)[ε(c21 + κ2)P 2

2 + εn2P 21 − 2nc1P1P2]

+(|a2|2 − |a1|2)2κP2(−εc1P2 + nP1)

)

F+F∗− + F−F

∗+ −G+G

∗− −G−G

∗+ (C.111)


∗1)

([(c1 − κ)P2 − nP1][(c1 + κ)P2 − nP1]

− 1−ε1+ε ([(c1 − κ)P2 + nP1][(c1 + κ)P2 + nP1]

)

F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗− (C.112)

= 2

√1− ε

1 + εe−2Λxx2s

(|a2|2[(c1 − κ)2P 2

2 − n2P 21 ]

+|a1|2[(c1 + κ)2P 22 − n2P 2

1 ]

)

F+G∗− + F−G

∗+ +G+F

∗− +G−F

∗+ (C.113)


∗1)

√1− ε

1 + ε


).


a1a∗2 + a2a

∗1 = 0. (C.114)


c2 = s+ n =αε

Λ; c1 =

α

Λ=

s+ n

ε=

√(s+ n)2 + α2. (C.115)


c1 =√(s+ n)2 + α2

√s2 + α2 =

√κ2 = |κ| ±κ. (C.116)

So we always have:

c1 − κ 0 ; c1 + κ 0. (C.117)

149If we choose to let:

|a1|2 = (c1 − κ)k ; |a2|2 = (c1 + κ)k (C.118)


F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=2k

1 + εe−2Λxx2s[2εc1(c

21 − κ2)P 2

2 + 2εc1n2P 2

1 − 4n(c21 − κ2)P1P2] (C.119)

and since:

c21 − κ2 = n(n+ 2s) ; εc1 = s+ n (C.120)

we get:

F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

((n+ 2s)[(s+ n)P 2

2 − 2nP1P2] + n(s+ n)P 21

)

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

[(n+ 2s)(

√s+ nP2 −

n√s+ n

P1)2 +

ns2

s+ nP 21

]. (C.121)

And this term, which is the sum of two squares, il always positive, two successiveLaguerre’s polynomials having no common zero. Then we get

F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗−

=2√1− ε2

1 + εe−2Λxx2s

(|a2|2[(c1 − κ)2P 2

2 − n2P 21 ]

+|a1|2[(c1 + κ)2P 22 − n2P 2

1 ]

)

=4c1Λk

1 + εe−2Λxx2s[(c21 − κ2)P 2

2 − n2P 21 ]

=4αnk

1 + εe−2Λxx2s[(n+ 2s)P 2

2 − nP 21 ] (C.122)


tanβ =α[(2s+ n)P 2

2 − nP 21 ]

(n+ 2s)(√s+ nP2 − n√

s+nP1)2 +

ns2

s+nP21

× U2 − V 2

U2 + V 2(C.123)

The denominator contains only sums of squares, which cannot be together null.Consequently, for all the states with a n > 0 quantum number, a solution existssuch that the Yvon-Takabayasi β angle is everywhere defined. In addition thepresence of the fine structure constant, which is small, implies that the β angleis everywhere small. Moreover we now explain why U2 − V 2 is exactly null, forany value of κ and λ, in the plane x1Ox2. We start here from the differentialequation (C.57). If f is a solution, then g defined by g(z) = f(−z) is also asolution. Since there is only one polynomial solution with degree n, up to a realfactor, we get necessarily f(−z) = ±f(z) and f is either an even polynomial or

150


|a1|2 = (c1 − κ)k ; |a2|2 = (c1 + κ)k (C.118)


F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=2k


21 − κ2)P 2

2 + 2εc1n2P 2

1 − 4n(c21 − κ2)P1P2] (C.119)

and since:

c21 − κ2 = n(n+ 2s) ; εc1 = s+ n (C.120)

we get:

F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

((n+ 2s)[(s+ n)P 2

2 − 2nP1P2] + n(s+ n)P 21

)

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

[(n+ 2s)(

√s+ nP2 −

n√s+ n

P1)2 +

ns2

s+ nP 21

]. (C.121)


F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗−

=2√1− ε2

1 + εe−2Λxx2s

(|a2|2[(c1 − κ)2P 2

2 − n2P 21 ]

+|a1|2[(c1 + κ)2P 22 − n2P 2

1 ]

)

=4c1Λk

1 + εe−2Λxx2s[(c21 − κ2)P 2

2 − n2P 21 ]

=4αnk

1 + εe−2Λxx2s[(n+ 2s)P 2

2 − nP 21 ] (C.122)



2 − nP 21 ]

(n+ 2s)(√s+ nP2 − n√

s+nP1)2 +

ns2

s+nP21

× U2 − V 2

U2 + V 2(C.123)


150


|a1|2 = (c1 − κ)k ; |a2|2 = (c1 + κ)k (C.118)


F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=2k


21 − κ2)P 2

2 + 2εc1n2P 2

1 − 4n(c21 − κ2)P1P2] (C.119)

and since:

c21 − κ2 = n(n+ 2s) ; εc1 = s+ n (C.120)

we get:

F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

((n+ 2s)[(s+ n)P 2

2 − 2nP1P2] + n(s+ n)P 21

)

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

[(n+ 2s)(

√s+ nP2 −

n√s+ n

P1)2 +

ns2

s+ nP 21

]. (C.121)


F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗−

=2√1− ε2

1 + εe−2Λxx2s

(|a2|2[(c1 − κ)2P 2

2 − n2P 21 ]

+|a1|2[(c1 + κ)2P 22 − n2P 2

1 ]

)

=4c1Λk

1 + εe−2Λxx2s[(c21 − κ2)P 2

2 − n2P 21 ]

=4αnk

1 + εe−2Λxx2s[(n+ 2s)P 2

2 − nP 21 ] (C.122)



2 − nP 21 ]

(n+ 2s)(√s+ nP2 − n√

s+nP1)2 +

ns2

s+nP21

× U2 − V 2

U2 + V 2(C.123)


150


|a1|2 = (c1 − κ)k ; |a2|2 = (c1 + κ)k (C.118)


F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=2k


21 − κ2)P 2

2 + 2εc1n2P 2

1 − 4n(c21 − κ2)P1P2] (C.119)

and since:

c21 − κ2 = n(n+ 2s) ; εc1 = s+ n (C.120)

we get:

F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

((n+ 2s)[(s+ n)P 2

2 − 2nP1P2] + n(s+ n)P 21

)

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

[(n+ 2s)(

√s+ nP2 −

n√s+ n

P1)2 +

ns2

s+ nP 21

]. (C.121)


F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗−

=2√1− ε2

1 + εe−2Λxx2s

(|a2|2[(c1 − κ)2P 2

2 − n2P 21 ]

+|a1|2[(c1 + κ)2P 22 − n2P 2

1 ]

)

=4c1Λk

1 + εe−2Λxx2s[(c21 − κ2)P 2

2 − n2P 21 ]

=4αnk

1 + εe−2Λxx2s[(n+ 2s)P 2

2 − nP 21 ] (C.122)



2 − nP 21 ]

(n+ 2s)(√s+ nP2 − n√

s+nP1)2 +

ns2

s+nP21

× U2 − V 2

U2 + V 2(C.123)


150

×

×


|a1|2 = (c1 − κ)k ; |a2|2 = (c1 + κ)k (C.118)


F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=2k


21 − κ2)P 2

2 + 2εc1n2P 2

1 − 4n(c21 − κ2)P1P2] (C.119)

and since:

c21 − κ2 = n(n+ 2s) ; εc1 = s+ n (C.120)

we get:

F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

((n+ 2s)[(s+ n)P 2

2 − 2nP1P2] + n(s+ n)P 21

)

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

[(n+ 2s)(

√s+ nP2 −

n√s+ n

P1)2 +

ns2

s+ nP 21

]. (C.121)


F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗−

=2√1− ε2

1 + εe−2Λxx2s

(|a2|2[(c1 − κ)2P 2

2 − n2P 21 ]

+|a1|2[(c1 + κ)2P 22 − n2P 2

1 ]

)

=4c1Λk

1 + εe−2Λxx2s[(c21 − κ2)P 2

2 − n2P 21 ]

=4αnk

1 + εe−2Λxx2s[(n+ 2s)P 2

2 − nP 21 ] (C.122)



2 − nP 21 ]

(n+ 2s)(√s+ nP2 − n√

s+nP1)2 +

ns2

s+nP21

× U2 − V 2

U2 + V 2(C.123)


150


|a1|2 = (c1 − κ)k ; |a2|2 = (c1 + κ)k (C.118)


F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=2k


21 − κ2)P 2

2 + 2εc1n2P 2

1 − 4n(c21 − κ2)P1P2] (C.119)

and since:

c21 − κ2 = n(n+ 2s) ; εc1 = s+ n (C.120)

we get:

F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

((n+ 2s)[(s+ n)P 2

2 − 2nP1P2] + n(s+ n)P 21

)

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

[(n+ 2s)(

√s+ nP2 −

n√s+ n

P1)2 +

ns2

s+ nP 21

]. (C.121)


F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗−

=2√1− ε2

1 + εe−2Λxx2s

(|a2|2[(c1 − κ)2P 2

2 − n2P 21 ]

+|a1|2[(c1 + κ)2P 22 − n2P 2

1 ]

)

=4c1Λk

1 + εe−2Λxx2s[(c21 − κ2)P 2

2 − n2P 21 ]

=4αnk

1 + εe−2Λxx2s[(n+ 2s)P 2

2 − nP 21 ] (C.122)



2 − nP 21 ]

(n+ 2s)(√s+ nP2 − n√

s+nP1)2 +

ns2

s+nP21

× U2 − V 2

U2 + V 2(C.123)


150


|a1|2 = (c1 − κ)k ; |a2|2 = (c1 + κ)k (C.118)


F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=2k


21 − κ2)P 2

2 + 2εc1n2P 2

1 − 4n(c21 − κ2)P1P2] (C.119)

and since:

c21 − κ2 = n(n+ 2s) ; εc1 = s+ n (C.120)

we get:

F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

((n+ 2s)[(s+ n)P 2

2 − 2nP1P2] + n(s+ n)P 21

)

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

[(n+ 2s)(

√s+ nP2 −

n√s+ n

P1)2 +

ns2

s+ nP 21

]. (C.121)


F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗−

=2√1− ε2

1 + εe−2Λxx2s

(|a2|2[(c1 − κ)2P 2

2 − n2P 21 ]

+|a1|2[(c1 + κ)2P 22 − n2P 2

1 ]

)

=4c1Λk

1 + εe−2Λxx2s[(c21 − κ2)P 2

2 − n2P 21 ]

=4αnk

1 + εe−2Λxx2s[(n+ 2s)P 2

2 − nP 21 ] (C.122)



2 − nP 21 ]

(n+ 2s)(√s+ nP2 − n√

s+nP1)2 +

ns2

s+nP21

× U2 − V 2

U2 + V 2(C.123)


150


|a1|2 = (c1 − κ)k ; |a2|2 = (c1 + κ)k (C.118)


F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=2k


21 − κ2)P 2

2 + 2εc1n2P 2

1 − 4n(c21 − κ2)P1P2] (C.119)

and since:

c21 − κ2 = n(n+ 2s) ; εc1 = s+ n (C.120)

we get:

F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

((n+ 2s)[(s+ n)P 2

2 − 2nP1P2] + n(s+ n)P 21

)

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

[(n+ 2s)(

√s+ nP2 −

n√s+ n

P1)2 +

ns2

s+ nP 21

]. (C.121)


F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗−

=2√1− ε2

1 + εe−2Λxx2s

(|a2|2[(c1 − κ)2P 2

2 − n2P 21 ]

+|a1|2[(c1 + κ)2P 22 − n2P 2

1 ]

)

=4c1Λk

1 + εe−2Λxx2s[(c21 − κ2)P 2

2 − n2P 21 ]

=4αnk

1 + εe−2Λxx2s[(n+ 2s)P 2

2 − nP 21 ] (C.122)



2 − nP 21 ]

(n+ 2s)(√s+ nP2 − n√

s+nP1)2 +

ns2

s+nP21

× U2 − V 2

U2 + V 2(C.123)


150


|a1|2 = (c1 − κ)k ; |a2|2 = (c1 + κ)k (C.118)


F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=2k


21 − κ2)P 2

2 + 2εc1n2P 2

1 − 4n(c21 − κ2)P1P2] (C.119)

and since:

c21 − κ2 = n(n+ 2s) ; εc1 = s+ n (C.120)

we get:

F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

((n+ 2s)[(s+ n)P 2

2 − 2nP1P2] + n(s+ n)P 21

)

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

[(n+ 2s)(

√s+ nP2 −

n√s+ n

P1)2 +

ns2

s+ nP 21

]. (C.121)


F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗−

=2√1− ε2

1 + εe−2Λxx2s

(|a2|2[(c1 − κ)2P 2

2 − n2P 21 ]

+|a1|2[(c1 + κ)2P 22 − n2P 2

1 ]

)

=4c1Λk

1 + εe−2Λxx2s[(c21 − κ2)P 2

2 − n2P 21 ]

=4αnk

1 + εe−2Λxx2s[(n+ 2s)P 2

2 − nP 21 ] (C.122)



2 − nP 21 ]

(n+ 2s)(√s+ nP2 − n√

s+nP1)2 +

ns2

s+nP21

× U2 − V 2

U2 + V 2(C.123)


150

×

×


|a1|2 = (c1 − κ)k ; |a2|2 = (c1 + κ)k (C.118)


F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=2k


21 − κ2)P 2

2 + 2εc1n2P 2

1 − 4n(c21 − κ2)P1P2] (C.119)

and since:

c21 − κ2 = n(n+ 2s) ; εc1 = s+ n (C.120)

we get:

F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

((n+ 2s)[(s+ n)P 2

2 − 2nP1P2] + n(s+ n)P 21

)

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

[(n+ 2s)(

√s+ nP2 −

n√s+ n

P1)2 +

ns2

s+ nP 21

]. (C.121)


F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗−

=2√1− ε2

1 + εe−2Λxx2s

(|a2|2[(c1 − κ)2P 2

2 − n2P 21 ]

+|a1|2[(c1 + κ)2P 22 − n2P 2

1 ]

)

=4c1Λk

1 + εe−2Λxx2s[(c21 − κ2)P 2

2 − n2P 21 ]

=4αnk

1 + εe−2Λxx2s[(n+ 2s)P 2

2 − nP 21 ] (C.122)



2 − nP 21 ]

(n+ 2s)(√s+ nP2 − n√

s+nP1)2 +

ns2

s+nP21

× U2 − V 2

U2 + V 2(C.123)


150


|a1|2 = (c1 − κ)k ; |a2|2 = (c1 + κ)k (C.118)


F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=2k


21 − κ2)P 2

2 + 2εc1n2P 2

1 − 4n(c21 − κ2)P1P2] (C.119)

and since:

c21 − κ2 = n(n+ 2s) ; εc1 = s+ n (C.120)

we get:

F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

((n+ 2s)[(s+ n)P 2

2 − 2nP1P2] + n(s+ n)P 21

)

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

[(n+ 2s)(

√s+ nP2 −

n√s+ n

P1)2 +

ns2

s+ nP 21

]. (C.121)


F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗−

=2√1− ε2

1 + εe−2Λxx2s

(|a2|2[(c1 − κ)2P 2

2 − n2P 21 ]

+|a1|2[(c1 + κ)2P 22 − n2P 2

1 ]

)

=4c1Λk

1 + εe−2Λxx2s[(c21 − κ2)P 2

2 − n2P 21 ]

=4αnk

1 + εe−2Λxx2s[(n+ 2s)P 2

2 − nP 21 ] (C.122)



2 − nP 21 ]

(n+ 2s)(√s+ nP2 − n√

s+nP1)2 +

ns2

s+nP21

× U2 − V 2

U2 + V 2(C.123)


150


|a1|2 = (c1 − κ)k ; |a2|2 = (c1 + κ)k (C.118)


F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=2k


21 − κ2)P 2

2 + 2εc1n2P 2

1 − 4n(c21 − κ2)P1P2] (C.119)

and since:

c21 − κ2 = n(n+ 2s) ; εc1 = s+ n (C.120)

we get:

F+F∗+ + F−F

∗− −G+G

∗+ −G−G

∗−

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

((n+ 2s)[(s+ n)P 2

2 − 2nP1P2] + n(s+ n)P 21

)

=4nk

1 + εe−2Λxx2s

[(n+ 2s)(

√s+ nP2 −

n√s+ n

P1)2 +

ns2

s+ nP 21

]. (C.121)


F+G∗+ + F−G

∗− +G+F

∗+ +G−F

∗−

=2√1− ε2

1 + εe−2Λxx2s

(|a2|2[(c1 − κ)2P 2

2 − n2P 21 ]

+|a1|2[(c1 + κ)2P 22 − n2P 2

1 ]

)

=4c1Λk

1 + εe−2Λxx2s[(c21 − κ2)P 2

2 − n2P 21 ]

=4αnk

1 + εe−2Λxx2s[(n+ 2s)P 2

2 − nP 21 ] (C.122)



2 − nP 21 ]

(n+ 2s)(√s+ nP2 − n√

s+nP1)2 +

ns2

s+nP21

× U2 − V 2

U2 + V 2(C.123)


150



an odd polynomial. Therefore C is an even or an odd polynomial of cos θ. Nowfrom (C.53) we get

U2 + V 2 = sin2λθ[C ′2 + (κ+1

2− λ)2C2] (C.124)

U2 − V 2 = sin2λθ[− cos θC ′2 − 2(κ+1

2− λ) sin θC ′C + (κ+

1

2− λ)2 cos θC2]

From (C.54) we get

U2 + V 2 = sin−2λθ[C ′2 + (κ+1

2+ λ)2C2] (C.125)

U2 − V 2 = sin−2λθ[cos θC ′2 + 2(κ+1

2+ λ) sin θC ′C − (κ+

1

2+ λ)2 cos θC2]

This gives

(U2 − V 2)(π

2) = − λ

|λ|(κ+

1

2− |λ|)(C ′C)(

π

2) (C.126)

If C is a constant C ′ = 0. Otherwise either C is an even polynomial of cos θand then C ′ is odd and the product C ′C contains a cos θ factor, or C is anodd polynomial of cos θ and the product C ′C contains also a cos θ factor. Thisfactor is null if θ = π

2 . This proves that

β(π

2) = 0 (C.127)

The solutions of the linear Dirac equation satisfying (C.114) and (C.118) maytherefore be the linear approximations of solutions for the homogeneous non-linear equation. Now if we have a solution φ0 of the nonlinear homogeneousequation (3.10) with a not small value β0 of the Yvon-Takabayasi angle at apoint M0 with coordinates (x0, y0, 0), since the nonlinear homogeneous equa-tion is globally gauge invariant under the chiral gauge (3.31), we let

φ = e−iβ02 φ0 (C.128)

And we get

(φφ)(M0) = e−iβ02 φ0e

−iβ02 φ0 = e−iβ0ρ0e

iβ0 = ρ0. (C.129)

And φ has at this point M0 a null β angle, so the equation (3.10) at this point isexactly the Dirac equation, we get the separation of variables at this point, weget the angular system (C.38) and the radial system (C.39) which is identicalto the radial system (C.40) of the linear equation. Then the β angle is null inall the z = 0 plane and the radial system (3.39) is identical to (C.40) in allthe z = 0 plane. Then the necessity of integrability imposes the existence ofradial polynomials and we get the quantification of the energy levels and theSommerfeld’s formula (C.96)

151

The denominator contains only sums of squares, which cannot be together null. Consequently, for all the states with a n > 0 quantum number, a solution exists such that the Yvon-Takabayasi β angle is everywhere defined. In addition the presence of the fine structure constant, which is small, implies that the β angle is ev-erywhere small. Moreover we now explain why U 2 − V 2 is exactly null, for any value of κ and λ, in the plane x1 Ox2. We start here from the differential equation (C.57). If f is a solution, then g defined by g(z) = f (−z) is also a solution. Since there is only one polynomial solution with degree n, up to a real factor, we get necessarily f (−z) = ± f (z) and f is either an even polynomial or an odd polynomial. Therefore C is an even or an odd polynomial of cos θ. Now from (C.53) we get

(C.124)

From (C.54) we get

(C.125)

This gives

(C.126)

If C is a constant C ′ = 0. Otherwise either C is an even polynomial of cos θ and then C ′ is odd and the product C ′C contains a cos θ factor, or C is an odd poly-nomial of cos θ and the product C ′C contains also a cos θ factor. This factor is null if


U2 + V 2 = sin2λθ[C ′2 + (κ+1

2− λ)2C2] (C.124)

U2 − V 2 = sin2λθ[− cos θC ′2 − 2(κ+1

2− λ) sin θC ′C + (κ+

1

2− λ)2 cos θC2]

From (C.54) we get

U2 + V 2 = sin−2λθ[C ′2 + (κ+1

2+ λ)2C2] (C.125)

U2 − V 2 = sin−2λθ[cos θC ′2 + 2(κ+1

2+ λ) sin θC ′C − (κ+

1

2+ λ)2 cos θC2]

This gives

(U2 − V 2)(π

2) = − λ

|λ|(κ+

1

2− |λ|)(C ′C)(

π

2) (C.126)



β(π

2) = 0 (C.127)


φ = e−iβ02 φ0 (C.128)

And we get

(φφ)(M0) = e−iβ02 φ0e


iβ0 = ρ0. (C.129)


151

. This proves that

(C.127)

The solutions of the linear Dirac equation satisfying (C.114) and (C.118) may therefore be the linear approxi-mations of solutions for the homogeneous nonlinear equation. Now if we have a solution φ0 of the nonlinear homogeneous equation (3.10) with a not small value β0 of the Yvon-Takabayasi angle at a point M0 with coordi-nates (x0 , y0 , 0), since the nonlinear homogeneous equation is globally gauge invariant under the chiral gauge (3.31), we let

(C.128)

And we get

(C.129)

And φ has at this point M0 a null β angle, so the equa-tion (3.10) at this point is exactly the Dirac equation, we get the separation of variables at this point, we get the angular system (C.38) and the radial system (C.39) which is identical to the radial system (C.40) of the linear equation. Then the β angle is null in all the z = 0 plane and the radial system (3.39) is identical to (C.40) in all the z = 0 plane. Then the necessity of integrability im-poses the existence of radial polynomials and we get the quantification of the energy levels and the Sommerfeld’s formula (C.96).

C.5 Radial polynomials with degree 0

To get absolutely all results of the Dirac equation, we have a last thing to explain: why do we get 2n2 differ-ent states with a principal quantum number n = |κ| + n, and we must return to the particular case where radial polynomials are constants. We start directly from (C.64), and we let:

(C.130)

We get from (C.39):

(C.131)

This is equivalent to the set formed by the four fol-lowing systems:

(C.132)

(C.133)


U2 + V 2 = sin2λθ[C ′2 + (κ+1

2− λ)2C2] (C.124)

U2 − V 2 = sin2λθ[− cos θC ′2 − 2(κ+1

2− λ) sin θC ′C + (κ+

1

2− λ)2 cos θC2]

From (C.54) we get

U2 + V 2 = sin−2λθ[C ′2 + (κ+1

2+ λ)2C2] (C.125)

U2 − V 2 = sin−2λθ[cos θC ′2 + 2(κ+1

2+ λ) sin θC ′C − (κ+

1

2+ λ)2 cos θC2]

This gives

(U2 − V 2)(π

2) = − λ

|λ|(κ+

1

2− |λ|)(C ′C)(

π

2) (C.126)



β(π

2) = 0 (C.127)


φ = e−iβ02 φ0 (C.128)

And we get

(φφ)(M0) = e−iβ02 φ0e


iβ0 = ρ0. (C.129)


151


U2 + V 2 = sin2λθ[C ′2 + (κ+1

2− λ)2C2] (C.124)

U2 − V 2 = sin2λθ[− cos θC ′2 − 2(κ+1

2− λ) sin θC ′C + (κ+

1

2− λ)2 cos θC2]

From (C.54) we get

U2 + V 2 = sin−2λθ[C ′2 + (κ+1

2+ λ)2C2] (C.125)

U2 − V 2 = sin−2λθ[cos θC ′2 + 2(κ+1

2+ λ) sin θC ′C − (κ+

1

2+ λ)2 cos θC2]

This gives

(U2 − V 2)(π

2) = − λ

|λ|(κ+

1

2− |λ|)(C ′C)(

π

2) (C.126)



β(π

2) = 0 (C.127)


φ = e−iβ02 φ0 (C.128)

And we get

(φφ)(M0) = e−iβ02 φ0e


iβ0 = ρ0. (C.129)


151


U2 + V 2 = sin2λθ[C ′2 + (κ+1

2− λ)2C2] (C.124)

U2 − V 2 = sin2λθ[− cos θC ′2 − 2(κ+1

2− λ) sin θC ′C + (κ+

1

2− λ)2 cos θC2]

From (C.54) we get

U2 + V 2 = sin−2λθ[C ′2 + (κ+1

2+ λ)2C2] (C.125)

U2 − V 2 = sin−2λθ[cos θC ′2 + 2(κ+1

2+ λ) sin θC ′C − (κ+

1

2+ λ)2 cos θC2]

This gives

(U2 − V 2)(π

2) = − λ

|λ|(κ+

1

2− |λ|)(C ′C)(

π

2) (C.126)



β(π

2) = 0 (C.127)


φ = e−iβ02 φ0 (C.128)

And we get

(φφ)(M0) = e−iβ02 φ0e


iβ0 = ρ0. (C.129)


151


U2 + V 2 = sin2λθ[C ′2 + (κ+1

2− λ)2C2] (C.124)

U2 − V 2 = sin2λθ[− cos θC ′2 − 2(κ+1

2− λ) sin θC ′C + (κ+

1

2− λ)2 cos θC2]

From (C.54) we get

U2 + V 2 = sin−2λθ[C ′2 + (κ+1

2+ λ)2C2] (C.125)

U2 − V 2 = sin−2λθ[cos θC ′2 + 2(κ+1

2+ λ) sin θC ′C − (κ+

1

2+ λ)2 cos θC2]

This gives

(U2 − V 2)(π

2) = − λ

|λ|(κ+

1

2− |λ|)(C ′C)(

π

2) (C.126)



β(π

2) = 0 (C.127)


φ = e−iβ02 φ0 (C.128)

And we get

(φφ)(M0) = e−iβ02 φ0e


iβ0 = ρ0. (C.129)


151


U2 + V 2 = sin2λθ[C ′2 + (κ+1

2− λ)2C2] (C.124)

U2 − V 2 = sin2λθ[− cos θC ′2 − 2(κ+1

2− λ) sin θC ′C + (κ+

1

2− λ)2 cos θC2]

From (C.54) we get

U2 + V 2 = sin−2λθ[C ′2 + (κ+1

2+ λ)2C2] (C.125)

U2 − V 2 = sin−2λθ[cos θC ′2 + 2(κ+1

2+ λ) sin θC ′C − (κ+

1

2+ λ)2 cos θC2]

This gives

(U2 − V 2)(π

2) = − λ

|λ|(κ+

1

2− |λ|)(C ′C)(

π

2) (C.126)



β(π

2) = 0 (C.127)


φ = e−iβ02 φ0 (C.128)

And we get

(φφ)(M0) = e−iβ02 φ0e


iβ0 = ρ0. (C.129)


151


U2 + V 2 = sin2λθ[C ′2 + (κ+1

2− λ)2C2] (C.124)

U2 − V 2 = sin2λθ[− cos θC ′2 − 2(κ+1

2− λ) sin θC ′C + (κ+

1

2− λ)2 cos θC2]

From (C.54) we get

U2 + V 2 = sin−2λθ[C ′2 + (κ+1

2+ λ)2C2] (C.125)

U2 − V 2 = sin−2λθ[cos θC ′2 + 2(κ+1

2+ λ) sin θC ′C − (κ+

1

2+ λ)2 cos θC2]

This gives

(U2 − V 2)(π

2) = − λ

|λ|(κ+

1

2− |λ|)(C ′C)(

π

2) (C.126)



β(π

2) = 0 (C.127)


φ = e−iβ02 φ0 (C.128)

And we get

(φφ)(M0) = e−iβ02 φ0e


iβ0 = ρ0. (C.129)


151


U2 + V 2 = sin2λθ[C ′2 + (κ+1

2− λ)2C2] (C.124)

U2 − V 2 = sin2λθ[− cos θC ′2 − 2(κ+1

2− λ) sin θC ′C + (κ+

1

2− λ)2 cos θC2]

From (C.54) we get

U2 + V 2 = sin−2λθ[C ′2 + (κ+1

2+ λ)2C2] (C.125)

U2 − V 2 = sin−2λθ[cos θC ′2 + 2(κ+1

2+ λ) sin θC ′C − (κ+

1

2+ λ)2 cos θC2]

This gives

(U2 − V 2)(π

2) = − λ

|λ|(κ+

1

2− |λ|)(C ′C)(

π

2) (C.126)



β(π

2) = 0 (C.127)


φ = e−iβ02 φ0 (C.128)

And we get

(φφ)(M0) = e−iβ02 φ0e


iβ0 = ρ0. (C.129)


151


To get absolutely all results of the Dirac equation, we have a last thing toexplain: why do we get 2n2 different states with a principal quantum numbern = |κ|+n, and we must return to the particular case where radial polynomialsare constants. We start directly from (C.64), and we let:

a = a0e−Λxxs ; b = b0e

−Λxxs ; c = c0e−Λxxs ; d = d0e

−Λxxs. (C.130)

We get from (C.39):

e−Λx(iεd0xs + iαd0x

s−1 − Λd0xs + sd0x

s−1 + κb0xs−1) = ia0e

−Λxxs

e−Λx(−iεc0xs − iαc0x

s−1 + Λc0xs − sc0x

s−1 − κa0xs−1) = −ib0e

−Λxxs

e−Λx(iεb0xs + iαb0x

s−1 + Λb0xs − sb0x

s−1 − κd0xs−1) = ic0e

−Λxxs (C.131)

e−Λx(−iεa0xs − iαa0x

s−1 − Λa0xs + sa0x

s−1 + κc0xs−1) = −id0e

−Λxxs.

This is equivalent to the set formed by the four following systems:

κb0 + (iα+ s)d0 = 0

(iα− s)b0 − κd0 = 0 (C.132)

−κa0 − (iα+ s)c0 = 0

−(iα− s)a0 + κc0 = 0 (C.133)

−ia0 + (iε− Λ)d0 = 0

−(iε+ Λ)a0 + id0 = 0 (C.134)

ib0 − (iε− Λ)c0 = 0

(iε+ Λ)b0 − ic0 = 0. (C.135)

The cancellation of the determinant in (C.132) and (C.133) gives again (C.81)and (C.82). The cancellation of the determinant in (C.134) and (C.135) issimply equivalent to Λ2 = 1 − ε2, which comes from the definition of Λ. Eachsystem (C.132) to (C.135) is then reduced into one equation:

κd0 = (iα− s)b0

κc0 = (iα− s)a0

d0 = (ε− iΛ)a0 (C.136)

b0 = (ε+ iΛ)c0.

We get then:

κd0 = κ(ε− iΛ)a0 = (iα− s)b0 = (iα− s)(ε+ iΛ)c0 =(iα− s)2(ε+ iΛ)

κa0.

(C.137)

152





−Λxxs. (C.130)

We get from (C.39):



s−1 + κb0xs−1) = ia0e

−Λxxs



s−1 − κa0xs−1) = −ib0e

−Λxxs



s−1 − κd0xs−1) = ic0e

−Λxxs (C.131)



s−1 + κc0xs−1) = −id0e

−Λxxs.


κb0 + (iα+ s)d0 = 0

(iα− s)b0 − κd0 = 0 (C.132)

−κa0 − (iα+ s)c0 = 0

−(iα− s)a0 + κc0 = 0 (C.133)

−ia0 + (iε− Λ)d0 = 0

−(iε+ Λ)a0 + id0 = 0 (C.134)

ib0 − (iε− Λ)c0 = 0

(iε+ Λ)b0 − ic0 = 0. (C.135)


κd0 = (iα− s)b0

κc0 = (iα− s)a0

d0 = (ε− iΛ)a0 (C.136)

b0 = (ε+ iΛ)c0.

We get then:


κa0.

(C.137)

152





−Λxxs. (C.130)

We get from (C.39):



s−1 + κb0xs−1) = ia0e

−Λxxs



s−1 − κa0xs−1) = −ib0e

−Λxxs



s−1 − κd0xs−1) = ic0e

−Λxxs (C.131)



s−1 + κc0xs−1) = −id0e

−Λxxs.


κb0 + (iα+ s)d0 = 0

(iα− s)b0 − κd0 = 0 (C.132)

−κa0 − (iα+ s)c0 = 0

−(iα− s)a0 + κc0 = 0 (C.133)

−ia0 + (iε− Λ)d0 = 0

−(iε+ Λ)a0 + id0 = 0 (C.134)

ib0 − (iε− Λ)c0 = 0

(iε+ Λ)b0 − ic0 = 0. (C.135)


κd0 = (iα− s)b0

κc0 = (iα− s)a0

d0 = (ε− iΛ)a0 (C.136)

b0 = (ε+ iΛ)c0.

We get then:


κa0.

(C.137)

152





−Λxxs. (C.130)

We get from (C.39):



s−1 + κb0xs−1) = ia0e

−Λxxs



s−1 − κa0xs−1) = −ib0e

−Λxxs



s−1 − κd0xs−1) = ic0e

−Λxxs (C.131)



s−1 + κc0xs−1) = −id0e

−Λxxs.


κb0 + (iα+ s)d0 = 0

(iα− s)b0 − κd0 = 0 (C.132)

−κa0 − (iα+ s)c0 = 0

−(iα− s)a0 + κc0 = 0 (C.133)

−ia0 + (iε− Λ)d0 = 0

−(iε+ Λ)a0 + id0 = 0 (C.134)

ib0 − (iε− Λ)c0 = 0

(iε+ Λ)b0 − ic0 = 0. (C.135)


κd0 = (iα− s)b0

κc0 = (iα− s)a0

d0 = (ε− iΛ)a0 (C.136)

b0 = (ε+ iΛ)c0.

We get then:


κa0.

(C.137)

152





−Λxxs. (C.130)

We get from (C.39):



s−1 + κb0xs−1) = ia0e

−Λxxs



s−1 − κa0xs−1) = −ib0e

−Λxxs



s−1 − κd0xs−1) = ic0e

−Λxxs (C.131)



s−1 + κc0xs−1) = −id0e

−Λxxs.


κb0 + (iα+ s)d0 = 0

(iα− s)b0 − κd0 = 0 (C.132)

−κa0 − (iα+ s)c0 = 0

−(iα− s)a0 + κc0 = 0 (C.133)

−ia0 + (iε− Λ)d0 = 0

−(iε+ Λ)a0 + id0 = 0 (C.134)

ib0 − (iε− Λ)c0 = 0

(iε+ Λ)b0 − ic0 = 0. (C.135)


κd0 = (iα− s)b0

κc0 = (iα− s)a0

d0 = (ε− iΛ)a0 (C.136)

b0 = (ε+ iΛ)c0.

We get then:


κa0.

(C.137)

152





−Λxxs. (C.130)

We get from (C.39):



s−1 + κb0xs−1) = ia0e

−Λxxs



s−1 − κa0xs−1) = −ib0e

−Λxxs



s−1 − κd0xs−1) = ic0e

−Λxxs (C.131)



s−1 + κc0xs−1) = −id0e

−Λxxs.


κb0 + (iα+ s)d0 = 0

(iα− s)b0 − κd0 = 0 (C.132)

−κa0 − (iα+ s)c0 = 0

−(iα− s)a0 + κc0 = 0 (C.133)

−ia0 + (iε− Λ)d0 = 0

−(iε+ Λ)a0 + id0 = 0 (C.134)

ib0 − (iε− Λ)c0 = 0

(iε+ Λ)b0 − ic0 = 0. (C.135)


κd0 = (iα− s)b0

κc0 = (iα− s)a0

d0 = (ε− iΛ)a0 (C.136)

b0 = (ε+ iΛ)c0.

We get then:


κa0.

(C.137)

152





−Λxxs. (C.130)

We get from (C.39):



s−1 + κb0xs−1) = ia0e

−Λxxs



s−1 − κa0xs−1) = −ib0e

−Λxxs



s−1 − κd0xs−1) = ic0e

−Λxxs (C.131)



s−1 + κc0xs−1) = −id0e

−Λxxs.


κb0 + (iα+ s)d0 = 0

(iα− s)b0 − κd0 = 0 (C.132)

−κa0 − (iα+ s)c0 = 0

−(iα− s)a0 + κc0 = 0 (C.133)

−ia0 + (iε− Λ)d0 = 0

−(iε+ Λ)a0 + id0 = 0 (C.134)

ib0 − (iε− Λ)c0 = 0

(iε+ Λ)b0 − ic0 = 0. (C.135)


κd0 = (iα− s)b0

κc0 = (iα− s)a0

d0 = (ε− iΛ)a0 (C.136)

b0 = (ε+ iΛ)c0.

We get then:


κa0.

(C.137)

152





−Λxxs. (C.130)

We get from (C.39):



s−1 + κb0xs−1) = ia0e

−Λxxs



s−1 − κa0xs−1) = −ib0e

−Λxxs



s−1 − κd0xs−1) = ic0e

−Λxxs (C.131)



s−1 + κc0xs−1) = −id0e

−Λxxs.


κb0 + (iα+ s)d0 = 0

(iα− s)b0 − κd0 = 0 (C.132)

−κa0 − (iα+ s)c0 = 0

−(iα− s)a0 + κc0 = 0 (C.133)

−ia0 + (iε− Λ)d0 = 0

−(iε+ Λ)a0 + id0 = 0 (C.134)

ib0 − (iε− Λ)c0 = 0

(iε+ Λ)b0 − ic0 = 0. (C.135)


κd0 = (iα− s)b0

κc0 = (iα− s)a0

d0 = (ε− iΛ)a0 (C.136)

b0 = (ε+ iΛ)c0.

We get then:


κa0.

(C.137)

152





−Λxxs. (C.130)

We get from (C.39):



s−1 + κb0xs−1) = ia0e

−Λxxs



s−1 − κa0xs−1) = −ib0e

−Λxxs



s−1 − κd0xs−1) = ic0e

−Λxxs (C.131)



s−1 + κc0xs−1) = −id0e

−Λxxs.


κb0 + (iα+ s)d0 = 0

(iα− s)b0 − κd0 = 0 (C.132)

−κa0 − (iα+ s)c0 = 0

−(iα− s)a0 + κc0 = 0 (C.133)

−ia0 + (iε− Λ)d0 = 0

−(iε+ Λ)a0 + id0 = 0 (C.134)

ib0 − (iε− Λ)c0 = 0

(iε+ Λ)b0 − ic0 = 0. (C.135)


κd0 = (iα− s)b0

κc0 = (iα− s)a0

d0 = (ε− iΛ)a0 (C.136)

b0 = (ε+ iΛ)c0.

We get then:


κa0.

(C.137)

152





−Λxxs. (C.130)

We get from (C.39):



s−1 + κb0xs−1) = ia0e

−Λxxs



s−1 − κa0xs−1) = −ib0e

−Λxxs



s−1 − κd0xs−1) = ic0e

−Λxxs (C.131)



s−1 + κc0xs−1) = −id0e

−Λxxs.


κb0 + (iα+ s)d0 = 0

(iα− s)b0 − κd0 = 0 (C.132)

−κa0 − (iα+ s)c0 = 0

−(iα− s)a0 + κc0 = 0 (C.133)

−ia0 + (iε− Λ)d0 = 0

−(iε+ Λ)a0 + id0 = 0 (C.134)

ib0 − (iε− Λ)c0 = 0

(iε+ Λ)b0 − ic0 = 0. (C.135)


κd0 = (iα− s)b0

κc0 = (iα− s)a0

d0 = (ε− iΛ)a0 (C.136)

b0 = (ε+ iΛ)c0.

We get then:


κa0.

(C.137)

152





−Λxxs. (C.130)

We get from (C.39):



s−1 + κb0xs−1) = ia0e

−Λxxs



s−1 − κa0xs−1) = −ib0e

−Λxxs



s−1 − κd0xs−1) = ic0e

−Λxxs (C.131)



s−1 + κc0xs−1) = −id0e

−Λxxs.


κb0 + (iα+ s)d0 = 0

(iα− s)b0 − κd0 = 0 (C.132)

−κa0 − (iα+ s)c0 = 0

−(iα− s)a0 + κc0 = 0 (C.133)

−ia0 + (iε− Λ)d0 = 0

−(iε+ Λ)a0 + id0 = 0 (C.134)

ib0 − (iε− Λ)c0 = 0

(iε+ Λ)b0 − ic0 = 0. (C.135)


κd0 = (iα− s)b0

κc0 = (iα− s)a0

d0 = (ε− iΛ)a0 (C.136)

b0 = (ε+ iΛ)c0.

We get then:


κa0.

(C.137)

152



(C.134)

(C.135)

The cancellation of the determinant in (C.132) and (C.133) gives again (C.81) and (C.82). The cancella-tion of the determinant in (C.134) and (C.135) is simply equivalent to





−Λxxs. (C.130)

We get from (C.39):



s−1 + κb0xs−1) = ia0e

−Λxxs



s−1 − κa0xs−1) = −ib0e

−Λxxs



s−1 − κd0xs−1) = ic0e

−Λxxs (C.131)



s−1 + κc0xs−1) = −id0e

−Λxxs.


κb0 + (iα+ s)d0 = 0

(iα− s)b0 − κd0 = 0 (C.132)

−κa0 − (iα+ s)c0 = 0

−(iα− s)a0 + κc0 = 0 (C.133)

−ia0 + (iε− Λ)d0 = 0

−(iε+ Λ)a0 + id0 = 0 (C.134)

ib0 − (iε− Λ)c0 = 0

(iε+ Λ)b0 − ic0 = 0. (C.135)


κd0 = (iα− s)b0

κc0 = (iα− s)a0

d0 = (ε− iΛ)a0 (C.136)

b0 = (ε+ iΛ)c0.

We get then:


κa0.

(C.137)

152

, which comes from the defi-nition of Λ. Each system (C.132) to (C.135) is then re-duced into one equation:

(C.136)

We get then:

(C.137)

We have a not null solution only if:

(C.138)

Since


κ(ε− iΛ) =(iα− s)2(ε+ iΛ)

κ

κ2(ε− iΛ)2 = (s− iα)2

κ(ε− iΛ) = ±(s− iα). (C.138)

Since ε, s, Λ and α are positive, we finally get

|κ| = s

ε=

α

Λ. (C.139)

This last equality gives again the formula of energy levels (C.96) with n = 0.Since κ comes with its absolute value, we can equally have κ < 0 or κ > 0. Butthe calculation of solutions by C. G. Darwin, who works with real constants,not with complex constants at this stage of his computation, forbids to κ to benegative, and it is that thing that allows, for a given principal quantum numbern = n+ |κ|, to get n(n+1)+n(n−1) = 2n2 states. Whatever really happens isthat to change sign in κ comes to change V into −V . And if we change the signof κ and V , then a, b, c, d are invariant if n = 0, and the wave is unchanged.To change the sign of κ brings no more solutions and we can use only solutionswith κ > 0, in the case n = 0. And this allows to get the good number of states.

The formula obtained for the energy levels does not account for the Lambeffect, which gives, if n > 0, a very small split between energy levels withsame other quantum numbers but with opposite signs of κ. If the formula(C.96) was not the same for two opposite values of κ we should not be able toget four polynomial radial functions with only one condition which gives thequantification of the energy levels. Here also the standard model has already ananswer, with the polarization of the void. But the calculation must be revised,both to avoid divergent integrals and to use our solutions instead of Darwin’ssolutions coming from the non-relativistic Pauli equation.

References

[1] G. Bardout, G. Lochak, and D. Fargue. Sur la presence de monopoles legersau pole nord. Ann. Fond. Louis de Broglie, 32:551, 2007.

[2] C.G.Darwin. Proc. R. Soc. Lond., 118:554, 1928.

[3] C. Daviau. Equation de Dirac non lineaire. PhD thesis, Universite deNantes, 1993.

[4] C. Daviau. Sur l’equation de dirac dans l’algebre de pauli. Ann. Fond. L.de Broglie, 22(1):87–103, 1997.

[5] C. Daviau. Double Space-Time and more. JePublie, Pouille-les-coteaux,2012.

153

and α are positive, we finally get

(C.139)

This last equality gives again the formula of energy levels (C.96) with n = 0. Since κ comes with its absolute value, we can equally have κ < 0 or κ > 0. But the calcu-lation of solutions by C.G. Darwin, who works with real constants, not with complex constants at this stage of his computation, forbids to κ to be negative, and it is that thing

that allows, for a given principal quantum number n = n + |κ|, to get n(n + 1) + n(n − 1) = 2n2 states. Whatever re-ally happens is that to change sign in κ comes to change V into −V . And if we change the sign of κ and V , then a, b, c, d are invariant if n = 0, and the wave is unchanged. To change the sign of κ brings no more solutions and we can use only solutions with κ > 0, in the case n = 0. And this allows to get the good number of states.

The formula obtained for the energy levels does not account for the Lamb effect, which gives, if n > 0, a very small split between energy levels with same other quan-tum numbers but with opposite signs of κ. If the formula (C.96) was not the same for two opposite values of κ we should not be able to get four polynomial radial functions with only one condition which gives the quantification of the energy levels. Here also the standard model has already an answer, with the polarization of the void. But the calculation must be revised, both to avoid divergent integrals and to use our solutions instead of Darwin’s so-lutions coming from the non-relativistic Pauli equation.

References1. G. Bardout, G. Lochak, and D. Fargue. Sur la présence

de monopoles légers au pole nord. Ann. Fond. Louis de Broglie, 32:551, 2007.

2. C.G.Darwin. Proc. R. Soc. Lond., 118:554, 1928.3. C. Daviau. Equation de Dirac non linéaire. PhD thesis,

Université de Nantes, 1993.4. C. Daviau. Sur l’équation de dirac dans l’algébre de

pauli. Ann. Fond. L. de Broglie, 22(1):87–103, 1997.5. C. Daviau. Double Space-Time and more. JePublie,

Pouillé-les-coteaux, 2012.6. C. Daviau. Invariant quantum wave equations and dou-

ble space-time. Adv. in Imaging and Electron Physics, 179, chapter 1:1–137, 2013.

7. O. Costa de Beauregard. Sur un tenseur encore ininter-prété en théorie de dirac. Ann. Fond. Louis de Broglie, 14-3:335–342, 1989.

8. H. Krüger. New solutions of the dirac equation for cen-tral fields. In D. Hestenes and A. Weingartshofer, edi-tors, The Electron. Kluwer, Dor- drecht, 1991.

9. G. Lochak. “photons électriques” and “photons magné-tiques” dans la théorie du photon de de broglie. Ann. Fond. Louis de Broglie, 33:107–127, 2008.

10. M. E. Rose. Relativistic electron theory. John Wiley and sons, New-York, London, 1960.

11. T. Takabayasi. Relativistic hydrodynamics of the Dirac matter. Theor. Phys. Suppl., 4, 1957.

Сведения об авторах Information about the authors

К. Девиан44522, Франция, Апулия холмы. Мулен де ла Ланде

Еmail: [email protected]Ж. Бертранд

95210, Франция, Санкт-Гратиан 15 пр-т Даниэль Казанова

Еmail: [email protected]

Claude Daviau44522, Pouille-les-coteaux. FranceЕmail: [email protected] Bertrand15 avenue Danielle Casanova 95210, Saint-Gratien France, Еmail: [email protected]





−Λxxs. (C.130)

We get from (C.39):



s−1 + κb0xs−1) = ia0e

−Λxxs



s−1 − κa0xs−1) = −ib0e

−Λxxs



s−1 − κd0xs−1) = ic0e

−Λxxs (C.131)



s−1 + κc0xs−1) = −id0e

−Λxxs.


κb0 + (iα+ s)d0 = 0

(iα− s)b0 − κd0 = 0 (C.132)

−κa0 − (iα+ s)c0 = 0

−(iα− s)a0 + κc0 = 0 (C.133)

−ia0 + (iε− Λ)d0 = 0

−(iε+ Λ)a0 + id0 = 0 (C.134)

ib0 − (iε− Λ)c0 = 0

(iε+ Λ)b0 − ic0 = 0. (C.135)


κd0 = (iα− s)b0

κc0 = (iα− s)a0

d0 = (ε− iΛ)a0 (C.136)

b0 = (ε+ iΛ)c0.

We get then:


κa0.

(C.137)

152





−Λxxs. (C.130)

We get from (C.39):



s−1 + κb0xs−1) = ia0e

−Λxxs



s−1 − κa0xs−1) = −ib0e

−Λxxs



s−1 − κd0xs−1) = ic0e

−Λxxs (C.131)



s−1 + κc0xs−1) = −id0e

−Λxxs.


κb0 + (iα+ s)d0 = 0

(iα− s)b0 − κd0 = 0 (C.132)

−κa0 − (iα+ s)c0 = 0

−(iα− s)a0 + κc0 = 0 (C.133)

−ia0 + (iε− Λ)d0 = 0

−(iε+ Λ)a0 + id0 = 0 (C.134)

ib0 − (iε− Λ)c0 = 0

(iε+ Λ)b0 − ic0 = 0. (C.135)


κd0 = (iα− s)b0

κc0 = (iα− s)a0

d0 = (ε− iΛ)a0 (C.136)

b0 = (ε+ iΛ)c0.

We get then:


κa0.

(C.137)

152





−Λxxs. (C.130)

We get from (C.39):



s−1 + κb0xs−1) = ia0e

−Λxxs



s−1 − κa0xs−1) = −ib0e

−Λxxs



s−1 − κd0xs−1) = ic0e

−Λxxs (C.131)



s−1 + κc0xs−1) = −id0e

−Λxxs.


κb0 + (iα+ s)d0 = 0

(iα− s)b0 − κd0 = 0 (C.132)

−κa0 − (iα+ s)c0 = 0

−(iα− s)a0 + κc0 = 0 (C.133)

−ia0 + (iε− Λ)d0 = 0

−(iε+ Λ)a0 + id0 = 0 (C.134)

ib0 − (iε− Λ)c0 = 0

(iε+ Λ)b0 − ic0 = 0. (C.135)


κd0 = (iα− s)b0

κc0 = (iα− s)a0

d0 = (ε− iΛ)a0 (C.136)

b0 = (ε+ iΛ)c0.

We get then:


κa0.

(C.137)

152





−Λxxs. (C.130)

We get from (C.39):



s−1 + κb0xs−1) = ia0e

−Λxxs



s−1 − κa0xs−1) = −ib0e

−Λxxs



s−1 − κd0xs−1) = ic0e

−Λxxs (C.131)



s−1 + κc0xs−1) = −id0e

−Λxxs.


κb0 + (iα+ s)d0 = 0

(iα− s)b0 − κd0 = 0 (C.132)

−κa0 − (iα+ s)c0 = 0

−(iα− s)a0 + κc0 = 0 (C.133)

−ia0 + (iε− Λ)d0 = 0

−(iε+ Λ)a0 + id0 = 0 (C.134)

ib0 − (iε− Λ)c0 = 0

(iε+ Λ)b0 − ic0 = 0. (C.135)


κd0 = (iα− s)b0

κc0 = (iα− s)a0

d0 = (ε− iΛ)a0 (C.136)

b0 = (ε+ iΛ)c0.

We get then:


κa0.

(C.137)

152



κ

κ2(ε− iΛ)2 = (s− iα)2

κ(ε− iΛ) = ±(s− iα). (C.138)


|κ| = s

ε=

α

Λ. (C.139)



References






153



κ

κ2(ε− iΛ)2 = (s− iα)2

κ(ε− iΛ) = ±(s− iα). (C.138)


|κ| = s

ε=

α

Λ. (C.139)



References






153


ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

И.А. КОННИКОВ – доктор техн. наук Санкт-Петербург, Российская Федерация, E-mail: [email protected]

ИСПользованИе РазноСтной математИчеСкой моделИ для РаСчета Поля в СлоИСтых СРедах

На примере электромагнитного поля проводится сравни-тельный анализ методов решения волнового уравнения для плоскослоистых сред. Изложена суть метода эквивалентной постоянной распространения, обладающего сравнительно широким частотным диапазоном и небольшой вычислитель-ной емкостью. Показано, что метод эквивалентной постоян-ной распространения позволяет свести решение волнового уравнения к решению уравнений Лапласа для электриче-ского и магнитного потенциалов поля. Рассмотрены мето-ды решения уравнения Лапласа для плоскослоистых сред, основанные на использовании тождества Вебера-Липшица и на использовании свойств θ-функции, и сформулированы положения, требующие дальнейшего изучения. Отмечено, что точность известных технологий вычисления функции Грина повышается, если они используют метод разностной

математической модели слоистой среды; изложена суть ме-тода. Описан вычислительный эксперимент, проведенный для сравнительного исследования способов формирования такой модели; экспериментально подтверждена получив-шая ранее теоретическое обоснование гипотеза о зависи-мости погрешности расчета функции Грина от локальной погрешности аппроксимации математической модели пло-скослоистой среды. Эвристически обоснована гипотеза о распространимости результатов эксперимента на область корректного использования метода эквивалентной посто-янной распространения.

Ключевые слова: функция Грина, уравнение Лапласа, вол-новое уравнение, эквивалентная постоянная распростра-нения.

I.A. KONNIKOV – Doctor of Techn. Science Saint Petersburg, Russian Federation, E-mail: [email protected]

EMPLOYMENT OF THE DiFFERENcE MATHEMATicAL MODEL FOR cOMPUTiNG THE FiELD iN LAYERED MEDiA

A comparative analysis of methods of solving in the wave equation is carried out, the electromagnetic field in flat-lay-ered media being an instance. The gist of the method of the equivalent propagation constant is set out as the method is characteristic of a fairly wide frequency band and a com-paratively little computational capacity. It is shown that the method of the equivalent propagation constant enables to reduce solving in the wave equation to solving in the Laplace equation for the electric and magnetic potentials of the field. The considered methods of solving in the Laplace equation for flat-layered media are based upon the employment of the Weber-Lipchitz identity and the employment of properties of the θ-function, the aspects demanding further exploration are formulated. The precision of long-established techniques of

computing Green’s function is reported to rise if the method of difference mathematical model is employed; the gist of the method is set out. Diverse ways of construction of this math-ematical model are explored by means of a computational experiment which also enables to confirm a statement about dependence of the error of computing Green’s function on the local inaccuracy of approximation of the flat-layered medium’s mathematical model. The hypothesis about the validity of the obtained results all over the domain of correct employment of the method of the equivalent propagation constant is found-ed heuristically.

Кey words: Green function, Laplace equation, wave equation, equivalent propagation constant.

ВведениеРешение многих задач прикладной физики сводит-ся к решению волнового уравнения с последующим вычислением поля реального источника известной формы и размеров через функцию Грина; при этом в качестве физической модели среды, где располо-жен источник поля, нередко принимается слоистая среда, состоящая из произвольного числа плоскопа-раллельных слоев.

Как известно [1], строгое аналитическое ре-шение волнового уравнения на частоте w>0 для электромагнитного поля элементарного источника, который находится на плоской границе двух полу-пространств, описывается интегралом на действи-тельной полуоси от комплекснозначной функции, известным как решение Зоммерфельда. Для пло-

скослоистых сред решение описывается интеграла-ми того же типа1.

Методы вычисления интегралов указанного типа (S-интегралов) хорошо известны. Значения интегра-лов вычисляются приближенно, для чего применя-ются различные численные схемы, либо асимпто-тические методы (чаще всего это – метод перевала), либо их комбинации. Для решения многих приклад-ных задач и, особенно, для проведения научных ис-следований такие методы обычно являются вполне приемлемыми. Однако, опуская детальный разбор известных методов вычисления S-интегралов, обоб-щая полученные к настоящему времени результаты,

1 В англоязычной литературе интегралы этого типа извест-ны как Sommerfeld-type integrals (см., например, [2, 3]); в данной статье они именуются S-интегралами.



можно констатировать, что для некоторых техни-ческих приложений S-интегралы все же мало при-годны для практического использования в качестве математической модели электромагнитного поля в плоскослоистой среде. В частности, для решения проектных задач радиоэлектроники (например, для количественной оценки перекрестных помех), когда поле требуется вычислять сотни и даже тысячи раз, при использовании компьютеров широко доступ-ного класса S-интегралы совершенно непригодны вследствие непомерно высоких затрат машинного времени. Тем же недостатком обладают и хорошо известные методы расчета поля, использующие про-странственную дискретизацию моделируемого объ-екта на мелкой сетке. Наиболее известным и широко используемым, по-видимому, является метод FDTD2 (метод конечной разности во временной области), предложенный, по-видимому, в [4]. Однако, как спра-ведливо отмечается в [5], метод FDTD требует зна-чительных вычислительных ресурсов. Так например, при решении конкретной задачи [6] с использовани-ем метода ILCM3 удалось добиться быстродействия на 3 десятичных порядка большего, чем при исполь-зовании методов FDTD и МОМ4 [7].

При реализации метода ILCM [6, 8] требуется решение интегрального уравнения, что может по-требовать немалых вычислительных ресурсов. Даже специальная адаптация метода ILCM под конкретные задачи, требующие многократного вычисления поля, (например, задачи расчета помехонесущего поля и оценки внутренней электромагнитной совместимо-сти в микросхемах и на печатных платах) не приво-дит к необходимому и достаточному снижению вре-мени счета и является лишь паллиативом.

Заслуживает особого внимания модифицирован-ный метод эквивалентной схемы частичного элемен-та (PEEС-method)5 [9, 10], разработку которого, по-видимому, можно считать в основном завершенной. Метод ориентирован на задачи электроники для ча-стоты ω > 0 и для расчетов во временной области. Однако, как отмечается в [11], метод PEEС не учиты-вает излучение и время распространения электро-магнитной волны; необходимость анализа структур, размеры которых сравнимы с длиной волны, потре-бовала серьезно усложнить метод. Гибридный FDTD/PEEC-метод, предложенный в [11], также не облада-ет достаточным быстродействием, приемлемым при решении ряда проектных задач электроники, и не сможет существенно изменить ситуацию.

2 FDTD – Finite Difference Time Domain.3 ILCM – Intermediate Level Circuit Model.4 MOM – Method Of Moments.5 PEEC – Partial Element Equivalent Circuit.

Реальной альтернативой названным методам рас-чета поля в некоторых случаях может явиться метод эквивалентной постоянной распространения (ЭПР), ориентированный приблизительно на тот же частот-ный диапазон, что и метод PEEС, но обладающий су-щественно меньшей вычислительной емкостью. Метод ЭПР в надлежащей модификации был предложен в [12] и затем развит в [13, 14] применительно к задаче расче-та перекрестных помех в коммутационных проводни-ках электронного модуля. Cуть метода в следующем.

Метод ЭПРОписание метода ЭПР и дальнейшее изложение материала проведем на репрезентативном примере электромагнитного поля. В соответствии с назван-ным методом функция Грина G, которая является решением волнового уравнения относительно потен-циала поля элементарного источника, для слоистой среды должна описываться выражением того же вида, что и для однородной среды:

G R M i k R R

M i k R R

epc

epc

//

( ) ( )

( )

= − +

+

1

2

exp

exp ,

(1)

где амплитудные множители M1= A1 η /( 4πε ε0 e ),

M2= A2 η /( 4πε ε0 e ); η ω( , , , )x y z0 0 0 – известная по ус-

ловиям задачи плотность распределения заряда по объему источника поля6; A

1( , , , )x y z ω

и A

2( , , , )x y z ω –

зависящие от координат и частоты амплитудные coмножители, позволяющие учесть граничные усло-вия в начале и в конце канала распространения элек-тромагнитной волны (т.е. на поверхности источника поля и в точке, где поле вычисляется); x, y, z – абсцис-са, ордината и аппликата точки, где вычисляется поле; x

0, y

0, z

0 – абсцисса, ордината и аппликата точ-

ки, где расположен элементарный источник поля; R r z z= + −2 2( )0 – расстояние от элементарного источника поля до точки, где вычисляется поле; r x x y y= − + −( ) ( )2 2

0 0 – расстояние в азимуталь-ной плоскости между элементарным источником поля и точкой, в которой поле вычисляется (азиму-тальное расстояние); σe – «кажущаяся» активная проводимость слоистой среды с учетом влияния всех слоев; εe и μe – эквивалентные относительные диэ-лектрическая и магнитная проницаемости слоистой среды, соответственно; константа Кулона ε π0 = ( )−

10 369/ ; константа Био-Савара µ π0 = ⋅ −

4 107;

ω – угловая частота; π = 3.14159...; i – мнимая едини-ца (мнимое число, удовлетворяющее соотношению i2 1= − ); k r iepc e e e e( ) = +ε ε µ µ ω µ µ σ ω0 0 0

2 – ЭПР;

6 При неизвестном законе распределения заряда плот-ность η считается равномерной.



слои считаются гомогенными, неограниченными в азимутальном направлении и имеющими плоскопа-раллельные границы раздела.

Методы расчета «кажущейся» активной проводи-мости хорошо известны в геологии. Известны как прямые методы расчета «кажущейся» активной про-водимости для изотропных и анизотропных [15, 16 и др.] слоистых сред, так и косвенные, основанные на идее использования теории подобия, как предла-гается в [17, С. 142–143]. Значения эквивалентных проницаемостей εe и μe рассчитываются как отноше-ние функций Грина в слоистой среде и свободном пространстве по единым для каждого слоя среды формулам:

εe r R( ) = 1

/ J r d00

( ) ( )λ λ λεΦ∞

∫ ;

µ λ λ λµe r R J r d( ) = ( )∞

∫ 00

( )Φ ,

(2)

где Φε λ( ) – полученная при решении уравнения Ла-пласа для электрического потенциала математиче-ская модель слоистой среды, которая соответствует конструкции электронного модуля [18]; Φµ λ( ) – по-лученная при решении магнитостатической задачи математическая модель той же среды; J0 – функция Бесселя первого рода нулевого порядка; несобствен-ные интегралы могут вычисляться по методике, опи-санной в [19].

Таким образом, метод ЭПР позволяет свести ре-шение волнового уравнения к решению уравнений Лапласа для электрического и магнитного потенциа-лов. Оценка степени адекватности предлагаемой ма-тематической модели (1) проведена в [12] на примере ряда задач, допускающих строгое решение волново-го уравнения; область корректного использования метода ЭПР по частоте оценена в [20]. Рассмотрим методы решения уравнения Лапласа.

Методы решения уравнения Лапласа Наиболее известными и широко применяемыми при решении уравнения Лапласа для плоскослоистой среды являются методы, основанные на вычислении функции Грина с помощью аппроксимации на интер-вале 0,∞[ ] функции F(l) отрезком ряда

ΦΥ

ι υυ

υ

λ( ) ≈=∑ D u

0,

где u=exp(-λτ), τ - масштабирующий множитель, D

u - коэффициенты аппроксимации. После использования тождества Вебера-Липшица

J r dr

02 2

0

1( ) ( )λ λ τ λ

τexp − =

+

∞

∫ (τ ≥ 0)

аналитическое выражение для функции Грина упро-щается и в любой плоскости z=z

0 оно имеет вид:

G r K Dr

( )( )

≈+=

∑ υ

υ υτ2 20

Υ

. (3)

Здесь K - коэффициент, зависящий от физической природы поля.

Обзор методов аппроксимации представлен в [21]. Однако, при любом ныне известном способе получения коэффициентов аппроксимирующего полинома приближенные выражения для функции Грина вида (3), полученные с использованием тож-дества Вебера-Липшица, обладают тремя неустра-нимыми недостатками [19]. Главным из этих недо-статков является то, что при заданном конечном U погрешность расчета функции Грина существенно зависит от азимутального расстояния r и при его увеличении быстро растет по абсолютной величи-не. Более того, на достаточно большом расстоянии r значение функции Грина, рассчитанное по форму-ле (3), меняет знак и перестает монотонно убывать с увеличением r. Следовательно, на больших рас-стояниях формула (3) нефизична. Для того, чтобы обеспечить приемлемый уровень погрешности при больших значениях r, число слагаемых суммы в (3) приходится выбирать слишком большим и возни-кает необходимость оперировать с многочленами Чебышева высоких порядков, из-за чего экономич-ность метода падает; кроме того, требуется обо-сновать необходимое и достаточное значение U старшей степени аппроксимирующего полинома. С целью устранения указанных недостатков в [22] был предложен метод вычисления функции Грина, основанный не на использовании тождества Вебера-Липшица, а на использовании свойств тета-функ-ции. В дальнейшем этот метод был развит в [21] применительно к большим азимутальным расстоя-ниям и в [23] была произведена табуляция значений специальных функций, которые необходимы для вычисления функции Грина. Тем не менее, вопросы выбора надлежащего значения масштабирующего множителя и его влияние на погрешность вычисле-ния функции Грина к настоящему времени изучены недостаточно. Кроме того, известные методы вы-числения функции Грина (в том числе метод ЭПР) имеют резерв точности, который может оказаться весьма полезным при расчетах поля как на малых, так и на больших расстояниях, когда подынтеграль-ная функция становится быстро осциллирующей.



Метод разностной математической моделиПрименительно к методу ЭПР упомянутый резерв точности относится к методике расчета значений функции Грина в слоистой среде и значений εe и μe по формуле (2) и реализуется в случае использования разностной математической модели (РММ) слоистой среды, принятой в качестве эквивалента реального физического объекта.

Основная идея метода РММ слоистой среды для ча-стот ω≥ 0 проста. Функция Грина для слоистой среды описывается несобственным интегралом вида

J r d00

( ) ( )λ λ λΦ∞

∫ . При расчете поля для реализации

метода РММ из функции Φ( )λ , которая используется как математическая модель слоистой среды [18], с по-мощью простейшего тождественного преобразования выделяется «главная» часть f ( )λ этой функции, при-чем выделяется таким образом, чтобы с возможно большей точностью выполнить на интервале 0,∞[ ] условие Φ( ) ( )λ λ≈ f и чтобы интеграл

J r f d00

( ) ( )λ λ λ∞

∫ мог быть вычислен точно (напри-

мер, имел первообразную, выраженную аналитически через известные функции7). Тогда парциальное значе-ние функции Грина, вычисленное с помощью указан-ного интеграла, тоже будет вычислено точно. Оставша-яся часть функции Грина («поправка») позволяет учесть влияние факторов, не учтенных «главной» со-ставляющей, и вычисляется известными приближен-ными методами (например, методом ЭПР) через инте-

грал вида J r f d00

( ) ( ) ( )λ λ λ λΦ −[ ]∞

∫ , т.е. с помощью

РММ Φ( ) ( )λ λ− f . Для того, чтобы парциальное зна-чение функции Грина, вычисляемое точно через инте-

грал J r f d00

( ) ( )λ λ λ∞

∫ , можно было считать «глав-

ным», оно должно вносить основной вклад в значения функции Грина (или, что то же самое, в значения εe и μe ), причем именно на расстояниях, требуемых по ус-ловиям решаемой задачи. Для оценки эффективности использования метода РММ слоистой среды необходи-мо знать, какой части функции Грина соответствует ис-пользуемая парциальная математическая модель среды f ( )λ , т.е. в какой степени она может считаться «глав-

7 При расчeте поля на частоте ω ≠ 0 функции Ф(λ) и f(λ) в общем случае зависят от ω.

ной». Необходимо выявить связь между погрешно-стью аппроксимации Φ( ) ( )λ λ− f при различных значениях переменной λ∈ ∞[ ]0, с одной стороны и погрешностью вычисления функции Грина и зависи-мостей εe (r) и μe(r) по формуле (2) с другой.

Как показали исследования [23], проведенные ме-тодами математического анализа, такая связь суще-ствует. Оказывается, что математические модели среды, для которых характерна малая ошибка Φ( ) ( )λ λ− f при больших λ , обеспечивают ма-

лую ошибку расчета функции Грина на малых рас-стояниях, а неточность задания функции Φ ( )λ на малых λ сказывается сильнее всего на больших рас-стояниях. Это открывает возможность использова-ния упрощенных математических моделей f ( )λ вместо точных Φ ( )λ в случае многослойных слои-стых сред сложной структуры, в том числе для рас-чета поля на малых расстояниях, что может оказать-ся весьма полезным в микроэлектронике. Кроме того, отмеченная закономерность позволяет доби-ваться повышения точности расчета поля в требуе-мом диапазоне расстояний без повышения вычисли-тельной емкости задачи, лишь меняя технику аппроксимации функции Φ ( )λ . При описании поля в слоистых средах S-интегралами (на частотах ω > 0) использование этой закономерности может оказаться весьма полезным для рационализации процесса вы-числения таких интегралов путем упрощения подын-тегральных выражений8, проводимого с ориентацией на рабочий диапазон расстояний.

Существование указанной закономерности по-казано аналитически [23], но не подтверждено экс-периментально. Ниже описан вычислительный экс-перимент, также подтверждающий наличие такой закономерности.

Формирование разностной математической моделиРММ слоистой среды можно формировать по-разному. От того, насколько рационально формиру-ется указанная модель, зависит эффективность мето-да РММ, цель использования которого – повышение точности расчетов поля (по сравнению с «базовы-ми» вариантами методов расчета поля, описанными выше и в [19]) в требуемом диапазоне расстояний и, в некоторых случаях, упрощение процесса полу-чения необходимой математической модели среды, адекватной условиям задачи. Более того, надлежа-щий выбор «главной» составляющей может позво-лить существенно снизить требования к точности расчета «поправки» и за счет этого снизить расход

8 Подобно тому, как это делается в [24].



машинного времени на ее вычисление, а при опреде-ленных условиях (например, на малых расстояниях) вообще пренебречь ею.

Для оценки эффективности метода РММ слои-стой среды необходимо знать, какой части функции Грина соответствует «главная» составляющая мате-матической модели среды.

Как один из возможных вариантов, в качестве «главной» парциальной математической модели сре-

ды f ( )λ можно использовать отрезок ряда a uνν

ν

=∑

0

Ν

по степеням переменной u = −exp( )λτ0 , в котором τ0 − значение одного из коэффициентов аппрокси-мации (а именно – масштабирующего множителя [19]), минимизирующее ошибку аппроксимации ма-тематической модели Φ( )λ или, что предпочтитель-но, ошибку аппроксимации зависимости G(r) в тре-буемом диапазоне значений r. Коэффициенты аппроксимации aν рассчитываются через коэффици-

енты bν отрезка ряда Тэйлора b u Uνν

ν

=∑ −( )

00

Ν

, в кото-

ром ± ≤ ≤0 10U . Для Ν >1 используется формула Ньютона для возведения бинома в степень [25]. По-сле приведения подобных членов аналитическое вы-ражение для функции f ( )λ приводится к виду

a uνν

ν

=∑

0

Ν

и интеграл J r f d00

( ) ( )λ λ λ∞

∫ вычисляется с

помощью тождества Вебера-Липшица. Влияние зна-чения U0 на погрешность расчета функции Грина рассмотрено в ходе вычислительного эксперимента, результаты которого представлены ниже, однако ме-тодика оптимизации значения U0 для достижения наибольшей точности в требуемом диапазоне значе-ний азимутального расстояния подробно не рассмо-трена; она является предметом отдельного исследо-вания и выходит за рамки данной работы.

Иные способы аппроксимации функции Φ( )λ для случая ω = 0 описаны в [19, 21]. Примеры ис-пользования метода РММ для частот ω>0 представ-лены в [26, 27].

Описание вычислительного экспериментаЦель проведения вычислительного эксперимента – оценка и сравнение различных вариантов формирова-ния РММ плоскослоистой среды и выявление области корректного использования упрощенной математиче-ской модели, адекватной двум полупространствам с плоской границей раздела, вместо точных моделей, адекватных гибридной интегральной микросхеме с

металлическим корпусом и металлизированной пе-чатной плате. Кроме того, требовалось проверить сформулированное в [23] положение о том, что неточ-ность задания математической модели среды Φ ( )λ при больших λ проявляется, в основном, как погреш-ность расчета функции Грина на малых расстояниях, а неточность задания функции Φ ( )λ на малых λ ска-зывается сильнее всего на больших расстояниях.

Для среды в виде двух диэлектрических слоев постоянной толщины, которая ограничена сверху и снизу идеально проводящими параллельными пло-скостями, ее математическая модель, полученная по описанной в [18] классической методике,

ΦΩ

( )( )/ ( )/

λε

ε ε τ τ=− +

−+

− −

2 1

1

1

1

1

2 1

2 2u uh H H h , (4)

где u = exp(-λτ); Ω =+ −− +

−

−

( )[ ]

( )[ ]

/ ( )/

/ ( )/

1 1

1 1

2 2

2 2

u uu u

h h H

h h H

τ τ

τ τ ;

limu→→∞0

λ

Φ( )λ = 2 1

2 1

εε ε+

.

Такая модель может быть принята, например, при расчете поля в гибридной интегральной микросхеме с металлическим корпусом внутренней высотой H и с диэлектрической подложкой толщиной h; относи-тельные диэлектрические проницаемости слоев - ε2 (подложки) и ε1 (слоя над подложкой).

Для металлизированной печатной платы (для по-лупространства относительной диэлектрической проницаемостью ε1 на диэлектрическом слое, кото-рый имеет толщину h и относительную диэлектриче-скую проницаемость ε2 , слой располагается на иде-ально проводящей плоскости) математическая модель, полученная по классической методике [18],

Φ( )( )

( ) ( )

/

/ /λ

εε ε

τ

τ τ=−

+ + −2 1

1 1

1

2

2

2

1

2

uu u

h

h h ;

limu→→∞0

λ

Φ( )λ = 2 1

2 1

εε ε+

.

(5)

Для двух полупространств с плоской границей раздела

Φ( )λ = 2 1

2 1

εε ε+

.

Границы слоев и полупространств считались плоскопараллельными, а сами слои и полупро-странства считались непроводящими, изотропными, однородными и неограниченными в азимутальном направлении.



РИС. 1 • Зависимость относительной погрешности расчета функ-ции Грина от масштабирующего множителя при фиксированном значении нормированного азимутального расстояния r h/ = 0.2:

1 – диэлектрический слой толщиной h=1 мм относительной диэлектрической проницаемостью ε2 =2. 5 на идеально проводящей плоскости под верхним идеальным экраном (диэлектрическая подложка в металлическом корпусе внутренней высотой H = 5 мм);

2 – диэлектрическая подложка h = 1 мм ε2 = 10.5 в металли-ческом корпусе внутренней высотой H = 3 мм;

3 – диэлектрический слой h = 3.5 мм ε2 = 5.5 на идеально проводящей плоскости (металлизированная печатная плата без верхнего экрана, H = ∞).

Для снижения влияния погрешности окру-гления все основные вычисления проводились с учетом 32 десятичных знаков мантиссы каж-дого операнда.

Рассмотрение результатов экспериментаНа рисунке 1 представлена зависимость по-грешности расчета функции Грина от масшта-бирующего множителя τ , нормированного от-носительно толщины диэлектрического слоя (толщины платы h). Полагается, что погреш-ность обусловлена заменой точной математи-ческой модели плоскослоистой среды отрезком

степенного ряда a uνν

ν

=∑0

2

, u = exp(-λτ), получен-

ного аппроксимацией функции Φ( )λ в базисе функций Чебышева первого рода переменной u на интервале [0, 1] с ненулевой погрешностью на обеих границах указанного интервала. Из рисунка 1 видно, что указанная зависимость носит немонотонный характер и при фиксиро-ванных значениях параметров r, h, H, ε1 и ε2 может существовать более одного значения масштабирующего множителя τ , обращающе-го погрешность расчета функции Грина в нуль. При изменении значений параметров в широ-ком диапазоне характер зависимости сохраня-ется; для обеих исследованных конструкций зависимости также однотипны. Дальнейшее исследование зависимости погрешности рас-чета функции Грина от масштабирующего множителя и расстояния проводилось для сло-истой среды, которая является физической мо-делью металлизированной печатной платы9.

Таблица • Зависимость оптимального значения масштабирующего

множителя от расстояния

r / h τ0 /h

0.1 0.988626

0.25 0.988574

0.5 0.988391

1 0.987722

1.5 0.986791

2 0.985768

3 0.983891

4 0.982506

9 Если иная конструкция не оговорена особо.

В таблице представлена зависимость оптимального значения масштабирующего множителя τ0 , нормирован-ного относительно толщины платы h, от нормированного расстояния r/h для случая аппроксимации математиче-ской модели плоскослоистой среды отрезком ряда Ма-

клорена a uνν

ν

=∑0

2

(при U0 = 0). Из таблицы видно, что за-

висимость значения τ0 /h, при котором обращается в нуль погрешность расчета функции Грина, от расстояния при U0 = 0 выражена, на первый взгляд, слабо. Однако, из рисунка 2 видно, что в случае аппроксимации математи-ческой модели плоскослоистой среды по Тэйлору (U0 = 0) полиномом второго порядка зависимость погрешности от τ /h очень сильная и даже малое изменение значения параметра r, приводящее к малому изменению оптималь-ного значения масштабирующего множителя τ0 и отно-шения τ0 /h, ведет к весьма значительному изменению указанной погрешности вследствие того, что для нового значения r прежнее значение масштабирующего множи-теля не является оптимальным, т.е. обращающим в нуль



погрешность расчета функции Грина. Так, изменение значения τ /h всего лишь на 10–2 % может привести к возрас-танию погрешности приблизительно на 3×106 %. Столь сильная зависимость по-грешности расчета поля от τ приводит к неустойчивости вычислительного про-цесса при расчете поля даже в очень не-большом интервале расстояний; при U0 = 0 прагматичный подход исключает оптимизацию рабочего значения мас-штабирующего множителя по миниму-му ошибки вычисления функции Грина в случае необходимости расчета поля не при одном, строго фиксированном значении расстояния, а на множестве значений r.

При U0 = 1 зависимость погрешности расчета поля от τ выражена не столь сильно (см. рис. 3), явление неустойчиво-сти вычислений при переходе от одного значения r к другому практически отсут-ствует. Более того, рисунок 3 показывает, что имеется некоторое значение масшта-бирующего множителя τ ≈ 1.75h, при ко-тором погрешность расчета функции Грина не зависит от азимутального рас-стояния в довольно широком интервале его значений, при этом обеспечивается погрешность порядка 6 %; при некото-рых значениях масштабирующего мно-жителя погрешность расчета функции Грина обращается в ноль.

Зависимость относительной погреш-ности расчета функции Грина от значе-ния масштабирующего множителя при фиксированном значении нормирован-ного азимутального расстояния для слу-чая аппроксимации математической мо-дели плоскослоистой среды по Чебыше-ву полиномом второго порядка, пред-ставленная на рисунке 4, показывает, что вблизи значения τ ≈ 1.85h имеется некоторый интервал значений масшта-бирующего множителя, минимизирую-щий погрешность расчета функции Гри-на в довольно широком интервале значе-ний азимутального расстояния, причем при некоторых значениях нормирован-ного расстояния r h/ имеется одно или два значения масштабирующего множи-теля, обеспечивающих малую или даже нулевую погрешность. Представленная

РИС. 2 • Зависимость относительной погрешности расчета функции Грина от масштабирующего множителя при фиксированном значе-нии расстояния (r/h=0.2). Металлизированная печатная плата без верхнего экрана h=3.5мм, ε =5.5.

РИС. 3 • Зависимость относительной погрешности расчета функции Грина от нормированного значения масштабирующего множителя при фиксированном значении расстояния. Металлизированная пе-чатная плата без верхнего экрана

h = 3.5 мм, ε2 = 5. 5, U0 = 1.1 – r h/ = 0.5; 2 – r h/ = 0.55; 3 – r h/ = 0.6; 4 – r h/ = 0.7.



на рисунке 4 зависимость репрезентативна: выяв-ленные ее особенности имеют место не только для средних расстояний r h/ ∈ [1.5, 2.6] и могут быть экстраполированы в область меньших и больших значений расстояний.

Из рисунка 5 следует, что при аппроксимации ма-тематической модели плоскослоистой среды отрез-

ком ряда Тэйлора b u Uνν

ν

=∑ −( )

00

Ν

выбор значения τ0

в значительной степени влияет на погрешность рас-чета функции Грина, даже если используемое значе-ние τ0 является оптимальным для аппроксимации по Чебышеву, т.е. обеспечивает нулевую погрешность при заданном азимутальном расстоянии r. Так на-пример, при r h/ .=1 3 имеется два значения τ0 , обе-спечивающих нулевую погрешность расчета функ-ции Грина при аппроксимации математической модели плоскослоистой среды по Чебышеву полино-мом второго порядка, но их использование для ап-проксимации по Тэйлору дает совсем не равноцен-

ные по точности расчета поля результаты (см. кривые 3 и 4 на рис. 5).

Кроме того, ход кривых на рисунке 5 показыва-ет, что область значений U0, обеспечивающих малые значения погрешности в достаточно широком диапа-зоне значений r, не включает в себя края интервала (0, 1); значения U0 вблизи середины интервала (0, 1) предпочтительны.

Анализ и обобщение результатов вычислительно-го эксперимента, частично представленных на ри-сунке 5, показывает, что при больших фиксирован-ных значениях U0 > 0.5 точность расчета функции Грина увеличивается с ростом азимутального рассто-яния, причем по мере роста значения U0 эта зависи-мость становится выраженной все сильнее; при меньших значениях U0 вблизи левого края интервала (0,1) погрешность снижается с уменьшением рассто-яния r, причем при меньших расстояниях эта зависи-мость выражена сильнее. Учитывая соотношение u = exp(-λτ), можно сделать вывод, что повышение точности аппроксимации математической модели

РИС. 4 • Зависимость относительной погрешности рас-чета функции Грина от значения масштабирующего множителя:

1 – r h/ = 1.5; 2 – r h/ = 2; 3 – r h/ = 2.2; 4 – r h/ = 2.4; 5 – r h/ = 2.6.Металлизированная печатная плата без верхнего экрана h=3.5 мм, H = ∞, ε =5. 5, U0=1.

РИС. 5 • Зависимость погрешности расчета функции Грина от параметра ряда Тэйлора U0 для металлизиро-ванной печатной платы h = 3.5 мм, H = ∞, ε2 = 5.5.

1 – r/h = 0.2, τ0 / h = 1.908335; 2 – r/h = 1, τ0 / h = 1.881199; 3 – r/h = 1.3, τ0 / h = 1.871571; 4 – r/h = 1.3, τ0 / h = 1.049122.



плоскослоистой среды при больших λ сильнее всего снижает погрешность расчета функции Грина на малых расстояниях, а повышение точ-ности аппроксимации на малых λ повышает точность расчета функции Грина на больших расстояниях.

Таким образом, этот вывод, сделанный ранее в [23] и обоснованный средствами математиче-ского анализа, можно считать эксперименталь-но подтвержденным. Зависимость погрешности расчета функции Грина от локальной погреш-ности аппроксимации математической модели плоскослоистой среды необходимо учитывать при разработке конкретной технологии вычис-лений для повышения точности расчета поля в требуемом интервале значений азимутального расстояния. Учет этой зависимости является принципиальным и позволяет выбирать метод аппроксимации, опираясь не только на личные предпочтения, традицию и интуицию, но и, в значительной степени, дискурсивно.

Особый интерес представляет использова-ние в качестве «главной» парциальной матема-тической модели среды функции f ( )λ =Φ( )∞ , когда оптимального значения τ0 для r > 0 не существует.

На рисунке 6 представлена зависимость от-носительной погрешности расчета функции Грина от нормированного азимутального рас-стояния, на рисунке 7 – зависимость указанной погрешности от диэлектрической проницаемо-сти платы. Считается, что в обоих случаях по-грешность вносится вследствие использования двух полупространств с плоской границей раз-дела вместо слоистых сред, соответствующих диэлектрической подложке в металлическом корпусе и металлизированной печатной платы без верхнего экрана.

Из рисунков 6 и 7 следует, что для рассмо-тренных конструкций при различных значениях диэлектрической проницаемости и толщин пла-ты (подложки) приближенную математическую модель конструкции вместо точной можно ис-пользовать для расчета поля с приемлемым уров-нем погрешности по крайней мере для расстоя-ний r ≤0 1. h, где зависимость погрешности от расстояния близка к линейной10. Следует особо отметить, что знак погрешности положитель-ный, т.е. приближенное значение функции Грина больше точного. Эти особенности зависимости погрешности от расстояния могут быть полезны-

10 На самом деле вторая производная ∂ ∂ <2 20∆/ r .

РИС. 6 • Зависимость относительной погрешности расчета функ-ции Грина от нормированного азимутального расстояния:

1 – для диэлектрической подложки h = 1 мм, ε2 = 10.5 в металли-ческом корпусе внутренней высотой H = 3 мм;

2 – для диэлектрической подложки h = 1.2 мм, ε2 = 8.5 в металли-ческом корпусе внутренней высотой H = 5 мм;

3 – для металлизированной печатной платы h = 4 мм, ε2 =5.5, H = ∞;

4 – для металлизированной печатной платы h = 1 мм, ε2 =2.5, H = ∞.

РИС. 7 • Зависимость относительной погрешности расчета функции Грина от относительной диэлектрической проница-емости h = 2 мм, H = ∞: 1 – r/h = 0.1; 2 – r/h = 0.05.



ми для проведения коррекции значения функции Гри-на. Зависимость погрешности от диэлектрической проницаемости для ε2 20≥ представлена для диэлек-трических подложек марок В20, В40, В80, В92 и В100 с высокими значениями относительной диэлектриче-ской проницаемости, предназначенных для использо-вания в гибридных интегральных схемах, микровол-новых фильтрах и линиях задержки [28].

Результаты эксперимента позволяют поставить под сомнение универсальность получившей в [19] эвристическое обоснование рекомендации по ап-проксимации функции Φ( )λ в базисе функций Че-бышева первого рода с нулевой погрешностью на обеих границах интервала и последующим преобра-зовании такой аппроксимирующей функции в отре-

зок степенного ряда a uνν

ν

=∑

0

Ν

, 0 < < ∞Ν , для полу-

чения рабочей математической модели конструкции. Формулы (4) и (5) показывают, что предельные

значения Φ( )λ при λ→∞ достаточно просто выра-жаются через значения диэлектрических проницаемо-стей слоев, поэтому неточность задания функции Φ( )λ при больших λ и u ≈ 0 можно трактовать как следствие неточности задания диэлектрических про-ницаемостей слоев, причем при расчете поля эти не-точности проявляются, в основном, на малых расстоя-ниях. Неточность задания функции Φ( )λ при малых λ (при u ≈ 1) имеет значение для расчета поля на от-носительно больших расстояниях r > 3h, т.е. там, где при решении задач микроэлектроники помехонесу-щее поле11 обычно считается пренебрежимо малым и его количественная оценка практического интереса, как правило, не представляет. Поэтому представляет-ся целесообразным в большинстве задач микроэлек-троники с целью выделения «главной» составляющей аппроксимировать математическую модель слоистой среды для значений u b b∈ <[ , ] 1при0 , делая ос-новной акцент на точность аппроксимации при малых и средних значениях переменной u. Тогда соответ-ствующая парциальная модель f ( )λ («главная» со-ставляющая) сможет обеспечить более высокую точ-ность расчета поля на небольших расстояниях. Для этого предпочтительной является описанная в [19, 22] техника аппроксимации в базисе функций Чебышева первого рода, адаптированная для интервала [с, 1] при с < 0 таким образом, чтобы при u = 0 погрешность ап-проксимации обращалась в нуль.

11 Подразумевается электромагнитное поле, которое обуслов-лено функционированием регламентированных принципи-альной схемой элементов и коммутационных проводников и реализует их взаимовлияние, не предусмотренное прин-ципиальной схемой.

При использовании для описания поля метода ЭПР сформулированные закономерности имеют место не только на постоянном токе, но и на ча-стотах ω>0 , по меньшей мере в области нижних (не значит низких!) частот, в области корректно-го использования метода ЭПР. При использова-нии в качестве математической модели поля ре-шения Зоммерфельда и S-интегралов, имеющих полюсы и точки ветвления подынтегральной функции, такая гипотеза кажется весьма правдо-подобной (во всяком случае – до частоты, соот-ветствующей первому полюсу подынтегральной функции) и основана на свойстве голоморфно-сти частотной зависимости функций Грина для электрического и магнитного потенциалов поля в области нижних частот.

ЗаключениеМатериалы данной работы могут быть полезны не только для совершенствования методов расчета поля на частотах ω ≥ 0 в задачах прикладной фи-зики, но и при проведении предпроектных иссле-дований, а также при разработке программного обеспечения, реализующего выбор значений пара-метров математической модели конструкции для расчета помехонесущего поля в проектируемом конструктиве.


1. Франк Ф.Р., Мизес М. Дифференциальные и ин-тегральные уравнения математической физики. Часть 2 / Л.: ОНТИ. Главная редакция общетехни-ческой литературы, 1937. 1000 с.

2. Ming-Ju Tsai, Chinglung Chen, Nicolaos Alexopou-los G. Sommerfeld integrals in modeling intercon-nects and micristrip elements in multi-layered media. Electromagnetics, 1998. Vol. 18. 3. PP. 267–288.

3. Jackson D.R., Alexopoulos N.G. An asymptotic ex-traction technique for evaluating Sommerfeld-type integrals. IEEE Transactions on Antenna Propaga-tion. 1986. v. AP-34. 12. PP. 1467–1470.

4. Yee K.S. Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell’s Equations in Isotropic Media. IEEE Transactions on Antennas and Propogation. May 1966. Vol. 14. 3. PP. 302–307.

5. Балюк Н.В., Зеленин А.Н. Метод расчета взаимо-действия импульсного электромагнитного поля с объектом сложной конфигурации // Технологии электромагнитной совместимости. 2006. 2 (17). С. 54–58.

6. Konefal T., Dawson J.F., Marvin A. Fast Multiple Mode Intermediate Level Circuit Model for the Pre-diction of Shielding Effectiveness of a Rectangu-lar Box Containing a Rectangular Aperture. IEEE



Transactions on Electromagnetic Compatibility, 2005. Vol. 47. 4. PP. 678–691.

7. Wallyn W., D.De Zutter, Rogier H. Prediction of the Shielding and Resonant Behaviour of Multisection Enclosures Based on Magnetic Currrent Modeling. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility. February 2002, Vol. 44. 1. PP. 130–138.

8. Williams D.F., Hayden L.A., Marks R.B. A Complete Multimode Equivalent-Circuit Theory for Electri-cal Design. Journal of Research of the National In-stitute of Standards and Technology, 1997. Vol. 102. 4. PP. 405–423.

9. Kochetov S.V., Wollenberg G. Stable and Effective Full-Wave PEEC Models by Full-Spectrum Convo-lution Macromodeling. IEEE Transactions on Elec-tromagnetic Compatibility. February 2007. Vol. 49. 1. PP. 25–34.

10. Antonini G., Deschrijver D., Dhaene T. Broadband Macromodels for Retarded Partial Element Equiva-lent Circuit (rPEEC) Method. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, 2007. Vol. 49. 1. PP. 35–48.

11. Ren K., Railton C.J. Modelling of Microstrip Cir-cuit Using a Hybrid PEEK/FDTD Approach. IEEE Transactions on Antennas and Propogation. October 2008. Vol. 56. 10. PP. 3253–3259.

12. Конников И.А. Метод расчета монохроматическо-го поля в слоистой среде // Журнал технической физики, 2013. 10. С. 8–12.

13. Конников И.А. Расчет перекрестных помех в элек-тронном модуле // Электромагнитные волны и электронные системы, 2013. 7. С. 53–60.

14. Конников И.А. Математическое моделирование перекрестной помехи в САПР // Информационные технологии, 2013. 4. С. 2–8.

15. Куфуд О. Зондирование методом сопротивлений / М.: Недра, 1984. 270 с.

16. Федоров А.И. Математическое моделирование электромагнитных полей в слоистых средах с на-клоном осей анизотропии электропроводности: Дис. ...канд. физ.-мат. наук: 25.00.10: Новосибирск, 2005. 87 c.

17. Говорков В.А. Электрические и магнитные поля / М., Л.: Госэнергоиздат, 1960. 464 с.

18. Конников И.А. Математическая модель конструк-ции микросхемы // Математическое моделирова-ние. 2007. 4. С. 37–44.

19. Конников И.А. Два способа вычисления функции Грина для уравнения Лапласа // Прикладная физи-ка, 2007. 2. С. 17–24.

20. Конников И.А. Приближенный метод вычисления функции Грина для волнового уравнения // Инже-нерная физика, 2013. 5. С.7–12.

21. Конников И.А. Метод вычисления функции Грина для уравнения Лапласа // Прикладная физика и ма-тематика, 2013. 6. С.75–83.

22. Конников И.А. Оценка точности вычисления функции Грина в слоистой среде // Вычислитель-ные технологии, 2006. 5. С. 55–62.

23. Конников И.А. К расчету квазистационарного поля в задачах электроники. Метод расчета // Петербург-ский журнал электроники, 2013. 3. С. 97–104.

24. Лавров Г.А., Князев А.С. Приземные и подземные антенны. М.: Сов. радио, 1965. 260 с.

25. Handbook of mathematical functions. Edited by M. Abramowitz, I.A. Stegun. New York: National bu-reau of standards, 1964. См. русский перевод: Спра-вочник по специальным функциям // Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 830 с.

26. Конников, И.А. Вычислениe параметров переход-ного процесса в канале электромагнитной связи // Электромагнитные волны и электронные системы. 2007, 11, C. 52–60.

27. Конников И.А. Расчет взаимных помех выводов микросхемы // Вопросы радиоэлектроники, сер. ОТ. 2008, вып.1. C. 58–73.

28. Конников И.А. Область корректного использова-ния метода эквивалентной постоянной распростра-нения // Научная сессия ГУАП. Сборник докладов: В 3 ч. Ч.II. Технические науки / СПб ГУАП: СПб, 2008. С. 111–115.

References

1. Frank P., Mises R.V. Differential and Integral Equa-tions of Mathematical Physics (Dover, New York, 1961), Chap. 2 [in German].

2. Ming-Ju Tsai, Chinglung Chen, Alexopoulos N.G. Sommerfeld integrals in modeling interconnects and micristrip elements in multi-layered media. Electro-magnetics. 1998. Vol. 18. 3. PP. 267–288.

3. Jackson D.R., Alexopoulos N.G. An asymptotic ex-traction technique for evaluating Sommerfeld-type integrals. IEEE Transactions on Antenna Propagation. 1986, v. AP-34. 12. PP. 1467–1470.

4. Yee K.S. Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell’s Equations in Isotropic Media. IEEE Transactions on Antennas and Propoga-tion. May 1966. Vol. 14. 3. PP. 302–307.

5. Balyuk N.V., Zelenin А.N. Metod Raschota Elektro-magnitnogo Polya s Ob’ekton Slozhnoi Konfiguratsii [Меthod for computation of interaction of the impulse electromagnetic field with an object of a compound shape]. Tekhnologii electromagnitnoi sovmestimosty [Technologies of electromagnetic compatibility], 2006. 2 (17). PP. 54–58.

6. Konefal T., Dawson J.F., Marvin A. Fast Multiple Mode Intermediate Level Circuit Model for the Predic-tion of Shielding Effectiveness of a Rectangular Box Containing a Rectangular Aperture. IEEE Transac-tions on Electromagnetic Compatibility, 2005. Vol. 47. 4. PP. 678–691.

7. W. Wallyn, D.De Zutter, H. Rogier. Prediction of the Shielding and Resonant Behaviour of Multisection



Enclosures Based on Magnetic Currrent Modeling. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility. February 2002. Vol. 44. 1. PP. 130–138.

8. Williams D.F., Hayden L.A., Marks R.B. A Complete Multimode Equivalent-Circuit Theory for Electri-cal Design. Journal of Research of the National In-stitute of Standards and Technology, 1997. Vol. 102. 4. PP. 405–423.

9. Kochetov S.V., Wollenberg G. Stable and Effective Full-Wave PEEC Models by Full-Spectrum Convo-lution Macromodeling. IEEE Transactions on Elec-tromagnetic Compatibility. February, 2007. Vol. 49. 1. PP. 25–34.

10. Antonini G., Deschrijver D., Dhaene T. Broadband Macromodels for Retarded Partial Element Equiva-lent Circuit (rPEEC) Method. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, 2007. Vol. 49. 1. PP. 35–48.

11. Ren K., Railton C.J. Modelling of Microstrip Cir-cuit Using a Hybrid PEEK/FDTD Approach. IEEE Transactions on Antennas and Propogation. October 2008. Vol. 56. 10. PP. 3253–3259.

12. Konnikov I.А. Method for Calculating the Monochro-matic Field in a Layered Medium. Technical Physics, 2013. Vol. 58. 10. PP. 1404–1408.

13. Konnikov I.А. Raschot perekrestnykh pomekh v elek-tronnom module [Computation of the crosstalk in the electronic unit]. Electromagnitniye Polya i electron-niye systemy [Electromagnetic fields and electronic systems], 2013. 7. PP. 53–60.

14. Konnikov I.А. Mathematicheskoye modelirovaniye perekryostnoi pomekhi v SAPR [Mathematical mod-elling the crosstalk in CAD systems]. Informatsion-niye Tekhnologii [Informaion Technologies], 2013. 4. PP. 2–8.

15. Кufud О. Zondirovanie metodom soprotivleniy [Sounding resistivity method]. М.: Nеdrа [Moscow: Publishing House «Subsoil»], 1984. 270 p.

16. Fedorov A.I. Matematicheskoe modelirovanie elek-tromagnitnykh poley v sloistykh sredakh s naclonom osey anizotropii elektroprovodnosti: Dis. ... kand. fiz.-mat. nauk: 25.00.10 [Mathematical modeling of electromagnetic fields in layered media with tilt axis conductivity anisotropy. Cand. Phys.-math. sci. diss.]. Novosibirsk, 2005. 87 p.

17. Govorkov V.А. Elektricheskie i magnitnye polya [Electric and magnetic fields]. Мoscow, Leningrad: Gosenergoizdat [Moscow, Leningrad: Publishing House «Gosenergoizdat»], 1960. 464 p.

18. Konnikov I.А. Matematicheskaya model’ konstruktsii mikroskhemy [A mathematical model for the integrat-

ed circuit structure]. Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical Modeling]. 2007. 4. PP. 37–44.

19. Konnikov I.А. Dva sposoba vychisleniya funkt-sii Greena dlya uravneniya Laplasa [Two ways of calculating Green’s function for the Laplace equa-tion]. Prikladnaya fizika [Applied Physics], 2007. 2. PP. 17–24.

20. Konnikov I.А. Priblizhonny metod vychisleniya funkt-sii Grina dlya volnovogo uravneniya [An approximate method of computation of Green function for the wave equation]. Engineering Physics. 2013. 5. PP. 7–12.

21. Konnikov I.А. [A Method of computation of the Green function for the Laplace equation]. Prikladnaya fizika I matematika [Applied Physics and Mathematics], 2013. 6. PP. 75–83.

22. Konnikov I.А. An estimation of precision of com-puting Green’s function in a layered medium. Vychislitel’niye tekhnologii [Computational technolo-gies], 2006. 5. PP. 55–62.

23. Konnikov I.А. К raschotu kvazistatsionarnogo polya v zadachah elektroniki. Меtod raschota [To the Com-putation of the quasi-static field in problems of elec-tronics]. Peterburgskiy zhurnal electroniki [Petersburg journal of electronics], 2013. 3. PP. 97–104.

24. Lavrov G.А., Knyazev А.S. Prizemniye i podzemniye antenny [Onground and underground antennae]. М.: Sovetskoye Radio [Moscow: Publishing House «So-viet Radio»], 1965. 260 p.

25. Handbook of mathematical functions. Edited by M. Abramowitz, Stegun I.A. New York: National bu-reau of standards, 1964. 830 p.

26. Konnikov I.А. Vychisleniye parametrov perekhod-nogo protsessa v kanale electromagnitnoi cvyazi [Computation of the parameters of а transient re-sponse in a channel of electromagnetic coupling]. Electromagnetic fields and electronic systems. 2007. 11. PP. 52–60.

27. Konnikov I.А. Raschot vzaimnykh pomekh vyvodov mikrockhemy [Computation of the crosstalk between the IC’s outlets]. Voprosy radioelectroniki (seriya Obshchetekhnicheskaya) [Topics in Radioelectronics (General technical issue)], 2008. 1. PP. 58–73.

28. Konnikov I.А. Oblast’ korrektnogo ispolzovaniya metoda ekvivalentnoy postoyannoy rasprostraneniya [The domain of correct employment of the Method of the equevalent propagation Constant]. Nauchnaya ses-siya GUAP [Scientific session of the SAC]. Collection of reports: In 3 parts P. II. Engineering. St. Petersburg, 2008. PP. 111–115.

Сведения об авторе information about the author

конников Игорь аркадьевичдоктор техн. наук

Санкт-Петербург, Российская ФедерацияE-mail: [email protected]

Konnikov igor' Arkad'evichDoctor of Techn. Science Saint Petersburg, Russian FederationE-mail: [email protected]



И.В. ИгНАтушИНА – канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математикиоренбургский государственный педагогический университет оренбург, Российская Федерация, E-mail: [email protected]

ПРеПодаванИе дИФФеРенЦИальной ГеометРИИ в отечеСтвенных ПедаГоГИчеСкИх вУзах хх СтолетИя

В статье рассматриваются основные моменты в развитии дифференциальной геометрии как учебного предмета в России XX столетия. Рассказывается о том, как строился курс «Дифференциальная геометрия» в отечественных педагоги-ческих вузах, как изменялось его содержание, а также о тех

ученых, которые сыграли важную роль в его формировании. При этом рассматриваются особенности преподавания этой дисциплины для будущих учителей математики.Ключевые слова: дифференциальная геометрия, история математики и математического образования в России

I.V. IgNAtushINA – cand. of Phys.-Math. Sciences Associate Professor Department of Mathematical Analysis and Methods of Teaching MathematicsOrenburg State Pedagogical University Orenburg, Russian Federation, E-mail: [email protected]

TEAcHiNG DiFFERENTiAL GEOMETRY iN THE NATiONAL EDUcATiONAL UNiVERSiTiES XX cENTURY

The article discusses the main aspects in the development of dif-ferential geometry as an academic subject in Russia XX century. De-scribes how to build a course in «Differential Geometry» in domestic pedagogical institutions as varied its contents, as well as those schol-

ars who played an important role in its formation. Here we consider especially teaching of this discipline for future mathematics teachers. Keywords: differential geometry, history of mathematics and mathematics education in Russia

В России до 1917 г. существовало 150 учительских се-минарий, готовивших учителей начальных школ, 19 учительских институтов, выпускники которых имели право работать в городских училищах, и только два высших педагогических института для подготовки учителей средней школы. Поэтому после Октябрьской революции в стране, где развертывалась сеть школ, возникла острая потребность в педагогических кадрах.

Поначалу вся работа по преобразованию учитель-ских институтов в высшие учебные заведения и по организации новых высших педагогических учебных заведений проводилась непосредственно на местах, стихийно и без учета местных возможностей. Но уже в середине 1919 г. этот процесс взял под свой контроль Народный комиссариат просвещения РСФСР.

В августе 1919 г. Второй Всероссийский съезд по просвещению вынес решение об организации сети единых высших педагогических учебных заве-дений – институтов народного образования. К кон-цу 1920 г. в РСФСР было уже 59 таких институтов, и в большинстве из них имелись математические и физические отделения. Учителей готовили также университеты, в которых были организованы педа-гогические факультеты с физико-математическими отделениями. Существовали также практические ин-ституты народного образования, которые в дальней-шем были реорганизованы в педагогические техни-кумы, затем в педучилища, в настоящее время – это педагогические колледжи.

В 20-е годы прошлого века в педагогических ин-ститутах широко применялся бригадно-лаборатор-

ный метод. Практика показала всю несостоятель-ность этого метода, и в 1932 г. он был отменен.

В феврале 1924 г. в Москве состоялась первая Всероссийская конференция по педагогическому образованию, на которой были определены направ-ления и содержание подготовки учителей и принят примерный учебный план педагогического вуза. Следует отметить, что в этом плане очень мало вни-мания уделялось специальным научным дисципли-нам – они занимали всего 38 % общего времени.

В 1927 г. были утверждены новые учебные пла-ны высших педагогических учебных заведений, в которых специальные предметы были представлены гораздо шире. Срок обучения на физико-математиче-ском факультете увеличился до пяти лет.

Согласно этому плану, специальная математи-ческая подготовка включала курс математического анализа, в котором излагались и вопросы дифферен-циальной геометрии. Так на физико-математическом отделении педагогического факультета Северо-Кав-казского государственного университета дифферен-циальная геометрия изучалась на третьем курсе как раздел математического анализа. Этот факт отражен в сборнике программ педагогического факультета на 1927–1928 учебный год [1]. В данном разделе осве-щалась теория кривых на плоскости и в простран-стве, а также теория поверхностей в достаточно полном объеме. В заключение рассматривались про-блемы построения географических карт. При этом использовались только средства математического анализа без привлечения векторного и тензорного



исчислений. В качестве учебных пособий рекомен-довалось использовать «Дифференциальную геоме-трию» Д.Ф. Егорова [2] и «Курс дифференциального и интегрального исчисления» К.А. Поссе [3].

В начале 30-х годов дифференциальную геоме-трию в Северо-Кавказском университете вел вы-пускник Киевского университета, профессор Влади-мир Петрович Вельмин (1885–1974), который сыграл большую роль в становлении ростовской математи-ческой школы. Лекции он читал искусно, с элемента-ми историзма и глубокого анализа проблемы.

Растущая сеть средних и высших школ остро нуждалась в преподавателях-математиках. В связи с этим в 1932 г. повсеместно начинается организация физико-математических факультетов в педагогиче-ских институтах.

В 1934 г. были изданы первые программы по ма-тематическим дисциплинам для педагогических ин-ститутов. Согласно этой программе дифференциаль-ная геометрия изучалась как раздел математического анализа. Помимо векторной алгебры и векторного анализа, с которыми студенты здесь знакомились впервые, в него входили, главным образом, вопросы, относящиеся к изучению плоских и пространствен-ных кривых. Учение о поверхностях было пред-ставлено лишь одним пунктом, освещающим такие вопросы, как касательная плоскость и нормаль к по-верхности, квадрат линейного элемента.

С середины 30-х годов начинают издаваться учеб-ники по математике, специально предназначенные для студентов педагогических институтов. К таким учебным пособиям относится «Дифференциальная геометрия» (1936 г.) [4] Сергея Павловича Финикова (1883–1964) – известного исследователя в этой обла-сти, профессора МГУ.

Научная общественность постоянно проявляла интерес к учебной деятельности в педагогических институтах. Так профессор МГУ Александр Яков-левич Хинчин (1894–1959) в докладе 1939 г. на за-седании Московского математического общества, посвященном преподаванию математики в школе, предложил в педагогических институтах широко развивать сеть факультативных курсов, семинаров и кружков. Семинары, указывал он, играют важную роль в подготовке будущих учителей к творческой деятельности; специальные курсы позволяют студен-там познакомиться с проблемами современной мате-матики. Во многих педагогических высших учебных заведениях на семинарах и спецкурсах рассматрива-лись вопросы дифференциальной геометрии.

В 1938 г. дифференциальная геометрия в педаго-гических институтах становится уже самостоятель-ной дисциплиной. Она изучалась в четвертом или

пятом семестре. 2 ноября 1938 г. Всесоюзным Коми-тетом по делам высшей школы при СНК СССР была утверждена программа по дифференциальной гео-метрии, разработанная С.П. Финиковым специально для физико-математических факультетов педагоги-ческих институтов [5].

Согласно этой программе свойства кривых на пло-скости изучались только методами математического анализа, векторное исчисление начинали применять при исследовании пространственных кривых и по-верхностей. Рекомендовалось при изложении про-странственных кривых принимать за параметр длину дуги, а изложение теории поверхностей вести в орто-гональной системе координат. Все это позволяло вы-яснить геометрические свойства рассматриваемых об-разов, используя более простой аппарат формул.

Обязательным пунктом рассматриваемой учеб-ной программы был исторический обзор дифферен-циальной геометрии. Он знакомил студентов с про-исхождением каждого из ее разделов, причинами их возникновения и особенностями развития, а также с деятельностью ученых, сыгравших важную роль в ее развитии. Это, с одной стороны, способствовало лучшему усвоению данной дисциплины, с другой стороны, позволяло продемонстрировать студентам на примере изучения дифференциальной геометрии эффективный методический прием использования элементов историзма в обучении математики.

На практических занятиях при решении задач студентов знакомили с кривыми и поверхностями, имеющими приложения в технике. Программа была обязательна по объему, но по усмотрению препода-вателя отдельные ее вопросы могли быть изложены в измененном порядке. В качестве учебных пособий использовались курсы дифференциальной геоме-трии Финикова С.П. [4], Нордена А.П.[6], Бюшген-са С.С. [7], Рашевского П.К. [8] и задачники Милин-ского В.И. [9], Моденова П.С. [10], Гюнтера Н.М. и Кузьмина Р.О. [11].

Программа по дифференциальной геометрии С.П. Финикова с некоторыми изменениями и допол-нениями использовалась в большинстве педагогиче-ских вузах вплоть до 60-х годов XX века. Наряду с ней разрабатывались и другие учебные программы по данной дисциплине. Так, в Московском област-ном педагогическом институте, основанном в 1931 г., дифференциальную геометрию преподавали в соот-ветствии с учебной программой [12], составленной в 1947 г. заведующим кафедры геометрии, профес-сором Сергеем Владимировичем Бахваловым (1898–1963), который являлся учеником С.П. Финикова.

Отличительной особенностью этой учебной про-граммы является то, что в ней исключен раздел о



плоских кривых. Предлагалось вопросы учения о плоских кривых рассматривать как частные случаи учения о пространственных кривых (например, дли-на дуги, кривизна, понятие об особых точках и т.п.). Построение плоских кривых и анализ их формы по уравнениям производилось на основе прочитанного материала на практических занятиях. Такой подход позволял сэкономить 1/3 бюджета времени и пере-распределить оставшиеся часы на более основатель-ное изучение других разделов.

Особое внимание было уделено учению о поверх-ностях, как наиболее способствующему геометри-ческому развитию и эрудиции будущих учителей, в частности доступным вопросам о построении геоме-трии на поверхности. Для изложения материала ис-пользовалось векторное исчисление.

Расчет времени по основным разделам програм-мы был следующим:

Название темы или раздела Рекомен.число часов

Из них

лекции практ. зан.

1. Учение о кривых 30 21 9

2. Учение о поверхностях 38 30 8

Итого 68 51 17

Рекомендовалось использовать в качестве основ-ной учебной литературы курс Финикова С.П. [4] и задачник Милинского В.И. [9], в качестве допол-нительной – учебники Бюшгенса С.С. [7] и Рашев-ского П.К. [8].

В Ленинградском педагогическом институте им. А.И. Герцена дифференциальную геометрию в 1957 г. ввели в состав курса высшей геометрии, включавше-го, помимо этого, проективную геометрию и основа-ния геометрии. Программа этого курса была разрабо-тана профессором Ильей Яковлевичем Бакельманом (1928–1992), возглавлявшим кафедру геометрии. В соответствии с этой программой И.Я. Бакельман издал учебник «Высшая геометрия» для студентов педагогических институтов [13]. В нем освещались следующие разделы дифференциальной геометрии: основы теории кривых, основы теории поверхно-стей, внутренняя геометрия поверхности. Краткий и четкий язык изложения, достаточное число иллю-страций позволили сделать эту книгу полезным и до-ступным пособием для студентов как очных, так и заочных отделений педагогических институтов.

В 1954 г. Министерство высшего образования СССР утвердило новые учебные планы по специ-альности «математика» для педагогических инсти-тутов с четырехлетним сроком обучения (квали-фикация – «учитель математики и физики средней школы», «учитель математики средней школы»). Согласно этим планам было сделано некоторое пере-

распределение часов на математические курсы. Так, в учебном плане, по которому осуществлялась под-готовка учителей математики и физики, прежде обя-зательный курс дифференциальной геометрии был переведен в разряд факультативных курсов. В учеб-ном плане для специальности «учитель математики средней школы» курс дифференциальной геометрии остался обязательным.

Для студентов-заочников физико-математических факультетов педагогических институтов к курсу «Дифференциальная геометрия» разрабатывались специальные методические указания, которые позво-ляли организовать самостоятельную работу по его изучению. В них описывался порядок знакомства с данной дисциплиной, указывалась соответствующая учебная литература, приводились решения базовых задач, а также список вопросов для самоконтроля и задачи для самостоятельного решения. Одно из таких методических пособий было разработано в 1954 г. П.С. Моденовым [14]. Изложение материала автор начинает с указания роли и значения диффе-ренциальной геометрии. Он отмечает, что диффе-ренциальная геометрия имеет большое значение для понимания теории относительности в физике и не-обходим для освоения теоретической механики и фи-зики. Курс, который будет изучен, поможет студенту хорошо понять геометрию Н.И. Лобачевского и со-временную проблему о геометрической структуре нашего реального пространства.

Отметим, что в 40-х годах XX в. значительная часть преподавателей готовилась в стенах учительских ин-ститутов. В 50-х годах эти институты, как правило, были преобразованы в педагогические с четырехлет-ним сроком обучения, что привело к качественному изменению высшего педагогического образования. Начавшаяся в середине 50-х годов научно-техническая революция поставила перед отечественной педагоги-ческой высшей школой новые, более сложные задачи.

Развитие математики существенным образом влияло на содержание учебных планов и программ. Новые разделы математики появлялись сначала в виде специальных и факультативных курсов, а затем переносились в основной курс. Применение новых методов позволяло изложить старый программный материал в более сжатые сроки и высвободить время для изучения новых разделов. Это влекло за собой перераспределение часов и изменение программ. С середины 50-х годов этот процесс происходит на фи-зико-математических отделениях тех педагогических вузов, которые получили право работать по учебным планам, разработанным своими математическими кафедрами. Такая картина наблюдалась в Москов-ском педагогическом институте им. В.И. Ленина,



Московском областном педагогическом институте им. Н.К. Крупской, Ленинградском педагогическом институте им. А.И. Герцена и в Ивановском педаго-гическим институте.

В 1954–1959 гг. Математическая комиссия при Министерстве просвещения под руководством про-фессоров Московского государственного педагогиче-ского института им. В.И. Ленина Алексея Ивановича Марукшевича (1908–1979) и Виктора Иосифовича Левина (1909–1986) разработала учебный план и про-граммы для математических факультетов и отделений педагогических институтов. В этих документах в зна-чительной степени нашла отражение практика упо-мянутых четырех институтов. В учебный план был введен ряд математических предметов, отражавших особенности научно-технической революции.

Эти планы начали внедряться в 1962–63 уч. году, когда педагогические институты перешли на подготов-ку выпускников по специальности «учитель математи-ки средней школы» с четырехлетним сроком обучения. Наряду с этим во многих вузах сохранилась подготов-ка по специальности «учитель математики и физики средней школы» с пятилетним сроком обучения.

Были пересмотрены и усовершенствованы учеб-ные программы по математическим курсам. Так, в курс математического анализа из дифференциальной геометрии перенесен ряд геометрических приложе-ний (кривые на плоскости и в пространстве). Сам курс дифференциальной геометрии был объединен с курсами оснований геометрии и проективной гео-метрии в единую учебную дисциплину – высшую геометрию. Сюда же был включен новый раздел «Элементы топологии замкнутых поверхностей». Введение единого курса позволяло дать стройное ло-гическое изложение высшей геометрии.

В тех педагогических вузах, где учебный план был рассчитан на пять лет, дифференциальная геометрия продолжала читаться как самостоятельный курс. Под-тверждением этому служит программа для педагоги-ческих институтов по дифференциальной геометрии, вышедшая в 1962 г. под редакцией Левона Сергееви-ча Атанасяна (1921–1998) – профессора Московско-го государственного педагогического института им. В.И.Ленина [15]. Курс «Дифференциальная геоме-трия» велся в пятом семестре и содержал два раздела.

Первый раздел знакомил студентов с теорией кри-вых на плоскости и в пространстве. В этом разделе с помощью векторной функции скалярного аргумента изучались свойства кривых и вводились основные инварианты – кривизна и кручение. При изложении этого раздела рекомендовалось ознакомить учащих-ся с элементарными приложениями изучаемой тео-рии к некоторым разделам теоретической механики.

С этой целью использовали кинематический способ изложения теории кривых.

Второй раздел курса был посвящен общей теории поверхностей. Здесь рассматривались различные спо-собы задания поверхности, определялись касатель-ная плоскость и нормаль, вводились в рассмотрение первая и вторая кривизны поверхности, изучались кривые на поверхности, в частности, замечательные линии. Изложение теории поверхностей завершалось доказательством теоремы об определении поверхно-сти при помощи двух квадратичных форм.

Для сокращения вывода основных уравнений поверхности предлагалось использовать метод внешних форм, основы которого изложены в книге С.П. Финикова «Дифференциальная геометрия» [4].

В конце курса рекомендовалось дать историче-ский очерк развития дифференциальной геометрии, в котором следовало обратить внимание на роль от-ечественных ученых в развитии этой науки.

В связи с отсутствием практических занятий по данному курсу ведущая кафедра должна была разра-ботать систему заданий по основным его разделам, организовывать систематические консультации и прием заданий.

С переходом к всеобщему среднему образованию возросли требования к уровню подготовки учитель-ских кадров. В связи с этим Министерство просве-щения СССР при участии научно-педагогической общественности разработало новый учебный план по специальности «Математика» с четырехлетним сроком обучения. В плане нашли отражение совре-менные требования к учителю средней школы. Рабо-тать по нему педагогические вузы начали в 1970 г.

В основе указанного учебного плана лежала идея создания объединенных курсов по трем основным дисциплинам: математическому анализу, алгебре и теории чисел, геометрии. Обеспеченные достаточным количеством часов, они позволяют логически стройно изложить все разделы соответствующих дисциплин и привить студентам аналитическую, алгебраическую и геометрическую культуру. Кроме того, такое построе-ние учебного плана позволяло в случае необходимости вносить коррективы в те или иные разделы указанных дисциплин без изменения всего учебного плана.

Курс геометрии включал аналитическую, проек-тивную и дифференциальную геометрию, основания геометрии и элементы топологии. Постановка еди-ного курса геометрии в педвузе должна обеспечить будущему учителю достаточно широкий взгляд на геометрию и вооружить его конкретными знаниями, дающими ему возможность преподавать геометрию в средней школе по новой программе и квалифици-рованно вести факультативные курсы по геометрии.



Программа по геометрии была разработана профес-сором Московского государственного педагогиче-ского института им. В.И.Ленина Вячеславом Тимо-феевичем Базылевым (1919–1989) и профессором МГУ Владимиром Григорьевичем Болтянским (род. в 1925 г.). Редактором программы выступил профес-сор И.Я. Бакельман [16].

Сведения по дифференциальной геометрии со-общались в разделе «Линии и поверхности в евкли-довом пространстве. Элементы топологии», который читался в четвертом семестре по 2 часа в неделю. При определении линий, поверхностей, поверхно-стей с краем и т.д. использовались знания по тополо-гии. Плоские кривые рассматривались как частный случай пространственных, и вся теория излагалась сразу для пространственных кривых, что позволяло сократить время на изучение теории кривых. Изло-жение теоретического материала заканчивалось рас-смотрением внутренней геометрии поверхности и демонстрацией реализации в малом геометрии Лоба-чевского на поверхности постоянной отрицательной кривизны. На практические занятия отводилось 16 часов. По данному разделу предусматривалось про-ведение двух контрольных работ.

Следует отметить, что программа позволяла пре-подавателю выбирать метод для изложения матери-ала по своему усмотрению, исходя из уровня под-готовленности слушателей, а также переставлять отдельные темы курса.

В учебной программе тех же авторов 1977 г. [17] изложение вопросов дифференциальной геометрии предполагалось вести с применением векторного ис-числения. Для этого были введены следующие темы: «Векторные функции одного и двух скалярных аргу-ментов и их дифференцирование», «Понятие линии и гладкой кривой в евклидовом пространстве, их па-раметризация с помощью вектор-функции», «Глад-кие поверхности, их параметризация с помощью вектор-функции».

В качестве учебных пособий по данному разделу геометрии рекомендовалось использовать «Краткий курс дифференциальной геометрии» А.П. Нордена [18], «Лекции по дифференциальной геометрии» А.В. Погорелова [19], «Введение в дифференци-альную геометрию “в целом”» И.Я. Бакельмана, А.Л. Вернера, Б.Е. Кантора [20].

Указанная учебная программа по геометрии с не-большими изменениями использовалась до конца XX столетия почти во всех педагогических вузах для подготовки по специальностям «Математика», «Ма-тематика и физика». Отметим только, что в учебной программе 1987 г. из раздела, посвященного диффе-ренциальной геометрии, были исключены понятие о

натуральном уравнении кривой и вопрос о реализа-ции в малом геометрии Лобачевского на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Этот вопрос пе-ренесли в раздел «Основания геометрии с элементами геометрии Лобачевского», который изучался позднее.

Для подготовки по специальности «Физика и ма-тематика» использовали программу, составленную в 1982 г. профессорами Московского государственного педагогического института им. В.И. Ленина В.Т. Ба-зылевым и Константином Ивановичем Дуничевым [21]. По учебному плану для специальности «Физи-ка и математика» на изучение геометрии отводилось меньшее количество часов, чем для специальности «Математика». В связи с этим программа была не-сколько сокращена. Сокращение коснулось и раздела «Линии и поверхности в евклидовом пространстве», посвященного вопросам дифференциальной геоме-трии. Например, из программы был удален вопрос о второй квадратичной форме поверхности. Содержа-ние остальных вопросов было значительно упрощено.

Несмотря на то, что подавляющее большинство педагогических вузов нашей страны в XX столе-тии работало по государственному учебному плану и только немногие использовали индивидуальный учебный план, направления научной работы в каж-дом из них, а следовательно, и учебной деятельности были различными и зависели от преподавательско-го коллектива. Практически во всех педагогических вузах возникли научные школы по разным направле-ниям. Естественно, что это положительным образом повлияло на преподавание математики. В учебный план были введены специальные и факультативные курсы, а также специальные семинары, на которых студенты имели возможность узнать о современном состоянии некоторых отраслей науки. Во многих педагогических вузах вопросы дифференциальной геометрии были избраны для изложения на таких за-нятиях. Например, в Московском государственном педагогическом институте им В.И. Ленина (теория поверхностей, геометрия Римана и многомерные пространства, геометрия погруженных многообра-зий), в педагогическом институте им. А.И. Герцена (дифференциальная геометрия в целом, риманова геометрия), в Ивановском педагогическом институте (заполнения и покрытия пространств высших раз-мерностей, геометрия точечных решеток), в Куйбы-шевском педагогическом институте (дополнитель-ные вопросы теории поверхностей), в Горьковском педагогическом институте им. А.М. Горького (про-ективно-дифференциальная геометрия линейчатых пространств), в Ростовском педагогическом инсти-туте (теория поверхностей, дополнительные главы дифференциальной геометрии поверхностей).



Следует отметить, что между программами по ма-тематике, в том числе и по дифференциальной геоме-трии, классических университетов и педагогических институтов существовал значительный разрыв. Если в педагогических институтах вплоть до середины 50-х годов на семинары и спецкурсы отводилось 80 часов, то в университетах – в четыре раза больше. Это позволяло университетам при наличии соответ-ствующих преподавательских кадров поддерживать на достаточно высоком уровне творческую работу студентов в конкретных областях математики. Педа-гогические институты, за исключением некоторых, не имели в этом отношении больших возможностей. Однако со временем удельный вес этих форм учебной работы повышается и в педагогических институтах.

К концу XX столетия ряд педагогических инсти-тутов достиг университетского уровня преподавания математики. Доказательством этого является тот факт, что начиная с 90-х годов XX в. многие педагогические институты были преобразованы в педагогические университеты, первым из которых стал Московский государственный педагогический университет.

В настоящее время все вузы страны работают по индивидуальным учебным планам и программам, составленным на основе государственных стандар-тов высшего профессионального образования. Это позволяет не только преподавателям, но и вузам вы-строить индивидуальную траекторию образователь-ной и научной деятельности, исходя из запросов вре-мени и собственных возможностей.

В большинстве педагогических вузов вопросы дифференциальной геометрии излагаются в общем курсе геометрии. При этом для определения поня-тий «линия», «поверхность» и т.п. используется язык топологии.

Как видно из представленного материала, подго-товительная работа по знакомству с приложениями дифференциального исчисления к геометрии начи-налась еще в курсе математического анализа. В не-которых учебных программах даже предлагалось полностью перенести в курс математического анали-за раздел «Кривые на плоскости и в пространстве». Это, с одной стороны, позволяло показать одно из практических приложений дифференциального ис-числения, с другой стороны, подготавливало проч-ный фундамент для дальнейшего изучения курса «Дифференциальная геометрия». При этом изложе-ние указанного материала в курсе математического анализа велось в координатной форме, которая явля-ется наиболее простой и понятной для восприятия студентов, и только после его усвоения для даль-нейшего знакомства с дифференциальной геоме-трией использовалось векторное исчисление, метод

подвижного репера, квадратичные формы и другой аналитический аппарат. Однако, в настоящее время указанная пропедевтическая работа практически све-дена на нет, что создает определенные трудности для студентов при изучении данного раздела геометрии.

На всем протяжении XX столетия наблюдается кон-версия научных знаний из дифференциальной геоме-трии в соответствующий учебный предмет. Сначала о каком-либо новом научном факте сообщается на семи-наре или конференции по дифференциальной геоме-трии. Все присутствующие получают возможность по-знакомиться с указанным научным фактом и принять участие в обсуждении. Другой способ ознакомления с новыми научными результатами – это чтение специ-альной литературы. Носители нового научного знания в своей преподавательской деятельности используют его при составлении программ спецкурсов и спецсе-минаров. Далее при проведении спецкурсов и спецсе-минаров происходит поиск наиболее адаптированных приемов и методов ознакомления студентов с этим новым научным знанием. В конечном итоге выстра-ивается некий вариант изложения соответствующего учебного материала. Затем этот материал переносится в программу основного курса. При этом преподавате-ли продолжают вести работу по совершенствованию методики его изложения и формированию соответ-ствующего методического обеспечения обновленной учебной дисциплины. Этот процесс продолжается и в наше время. Разрабатываются конкретные методиче-ские системы по преподаванию курса «Дифференци-альная геометрия». Один из вариантов такой системы представлен в докторской диссертации В.И. Глизбург «Методическая система обучения топологии и диф-ференциальной геометрии при подготовке учителя математики в аспекте гуманитаризации непрерывного математического образования» (2009 г.) [22].


1. Сборник программ педагогического факультета на 1927–1928 уч. г. Ростов-на-Дону, 1928. Вып.1 Физико-техническое отделение. 78 с.

2. Егоров Д.Ф. Дифференциальная геометрия М. П., 1910.3. Поссе К.А. Курс дифференциального и интегрального

исчисления – СПб., 1908.4. Фиников С.П. Дифференциальная геометрия. М, 1936.

236 с.5. Фиников С.П. Программы педагогических институтов.

Дифференциальная геометрия. Для физико-математи-ческих факультетов. М., 1939. 3 с.

6. Норден А.П. Дифференциальная геометрия. М., 1948. 216с.

7. Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия. М., 1932. 304 с.

8. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М. Л., 1938. 336 с.



9. Милинский В.И., Житомирский О.К., Львовский В.Д. Задачи по высшей геометрии. Дифференциальная гео-метрия. Часть II. М. Л., 1937. 296 с.

10. Моденов П.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии. М., 1949. 240 с.

11. Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике. М., 1949.

12. Бахвалов С.В. Программа по курсу «Дифференциаль-ная геометрия» для физико-математического факульте-та педагогических институтов. М., 1947. 6 с.

13. Бакельман И.Я. Высшая геометрия. (Учеб. пособие для пед. ин-тов). М., 1967. 368 с.

14. Моденов П.С. Методические указания к курсу «Диффе-ренциальная геометрия» для студентов-заочников фи-зико-математических факультетов. М., 1954. 51с.

15. Программы педагогических институтов. Дифференци-альная геометрия / Ред. Л.С. Атанасян. М., 1962. 5с.

16. Базылев В.Т., Болтянский В.Г. Программы педагоги-ческих институтов. Геометрия (для специальности 2104. «Математика»). М., 1970. 14 с.

17. Базылев В.Т., Болтянский В.Г. Программы педагогиче-ских институтов для специальности 2104 «Математи-ка» и «Математика и физика». Геометрия. М., 1977.13 с.

18. Hорден А.П. Краткий курс дифференциальной геоме-трии. М., 1958. 244 с.

19. Погорелов А.В. Лекции по дифференциальной геоме-трии. Харьков, 1955. 148 с.

20. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в диф-ференциальную геометрию «в целом». М., 1973. 440 с.

21. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия // Программы пе-дагогических институтов. М., 1982. Сб. 4. 10 с.

22. Глизбург В.И. Методическая система обучения топо-логии и дифференциальной геометрии при подготовке учителя математики в аспекте гуманитаризации непре-рывного математического образования: Дис. д-ра пед. наук: 13.00.02. М., 2009. 437 с.

References

1. Sbornik programm pedagogicheskogo fakulteta na 1927–1928 uch. g. [Collection programs teaching faculty at the 1927–1928 academic year]. Rostov-on-Don, 1928. Vol. 1 Physico-technical department. 78 p.

2. Egorov D.F. Differentsialnaya geometriya [Differential ge-ometry]. M. P., 1910.

3. Posse K.A. Kurs differentsialnogo i integralnogo ischislen-iya [Course in differential and integral calculus]. St. Peters-burg, 1908.

4. Finikov S.P. Differentsialnaya geometriya [Differential ge-ometry]. Moscow, 1936. 236 p.

5. Finikov S.P. Programmy pedagogicheskikh institutov. Dif-ferentsialnaya geometriya. Dlya fiziko-matematicheskikh fakultetov. [Program pedagogical institutes. Differential Geometry. For physics and mathematics departments]. Moscow, 1939. 3 p.

6. Norden A.P. Differentsialnaya geometriya. [Differential ge-ometry]. Moscow, 1948. 216 p.

7. Byushgens S.S. Differentsialnaya geometriya. [Differential geometry]. Moscow, 1932. 304 p.

8. Rashevskiy P.K. Kurs differentsialnoy geometrii. [Course of Differential Geometry]. Leningrad, 1938. 336 p.

9. Milinskiy V.I., Zhitomirskiy O.K., Lvovskiy V.D. Zadachi po vysshey geometrii. Differentsialnaya geometriya. [Task of higher geometry. Differential Geometry] Part II Mos-cow–Leningrad, 1937. 296 p.

10. Modenov P.S. Sbornik zadach po differentsialnoy geometrii [Collection of problems in differential geometry]. Moscow, 1949. 240 p.

11. Gyunter N.M., Kuzmin R.O. Sbornik zadach po vysshey matematike [Collection of problems in higher mathemat-ics]. Moscow, 1949.

12. Bakhvalov S.V. Programma po kursu «Differentsialnaya geometriya» dlya fiziko-matematicheskogo fakulteta peda-gogicheskikh institutov.[The program for the course «Dif-ferential geometry» for the Physics and Mathematics Fac-ulty of pedagogical institutes]. Moscow, 1947. 6 p.

13. Bakelman I.Y. Vysshaya geometriya. (Ucheb. posobie dlya ped. in-tov). [Higher geometry. (Manual for the teacher training institutes)]. Moscow, 1967. 368 p.

14. Modenov P.S. Metodicheskie ukazaniya k kursu «Differ-entsialnaya geometriya» dlya studentov-zaochnikov fiziko-matematicheskikh fakultetov. [Methodical instructions for the course «Differential geometry» for part-time students of physical and mathematical faculties]. Moscow, 1954. 51 p.

15. Programmy pedagogicheskikh institutov. Differentsialnaya geometriya. Red. L.S. Atanasyan. [The Pedagogical Insti-tutes. differential geometry]. Moscow, 1962. 5 p.

16. Bazylev V.T., Boltyanskiy V.G. Programmy peda-gogicheskikh institutov. Geometriya (dlya spetsialnosti 2104 «Matematika») [Program pedagogical institutes. Geometry (number 2104 for the specialty «Mathematics»)]. Moscow, 1970. 14 p.

17. Bazylev V.T., Boltyanskiy V.G. Programmy pedagogicheskikh institutov dlya spetsialnosti. 2104. «Matematika» i «Ma-tematika i fizika». Geometriya. M., 1977.13p.

18. Norden A.P. Kratkiy kurs differentsialnoy geometrii. [Short course of differential geometry]. Moscow, 1958. 244 p.

19. Pogorelov A.V. Lektsii po differentsialnoy geometrii. [Lec-tures on differential geometry]. Kharkiv, 1955. 148 p.

20. Bakelman I.Ya., Verner A.L., Kantor B.Y. Vvedenie v dif-ferentsialnuyu geometriyu «v tselom». [Introduction to dif-ferential geometry «in the large»]. Moscow, 1973. 440 p.

21. Bazylev V.T., Dunichev K.I. Geometriya. Programmy peda-gogicheskikh institutov. [Geometry. Programs pedagogical institutes]. Moscow, 1982. Sb. 4. 10 p.

22. Glizburg V.I. Metodicheskaya sistema obucheniya topolo-gii i differentsialnoy geometrii pri podgotovke uchite-lya matematiki v aspekte gumanitarizatsii nepreryvnogo matematicheskogo obrazovaniya: Dis. d-ra ped. nauk: 13.00.02. [Methodical training system topology and differ-ential geometry in the preparation of teachers of mathemat-ics in terms of humanization for Continuous Mathematical Education]. Moscow, 2009. 437 p.

Сведения об авторе information about the author

Игнатушина Инесса васильевнадоцент кафедры математического анализа

и методики преподавания математикиОренбургский государственный

педагогический университет Оренбург, Российская Федерация, ул. Советская, 19

E-mail: [email protected]

ignatushina inessa Vasil'evnaCand. of Phys.-Math. SciencesAssociate Professor, Department of Mathematical Analysis and Methods of Teaching MathematicsOrenburg State Pedagogical UniversityOrenburg, Russian Federation, str. Sovietskaya, 19E-mail: [email protected]


Н.Ф. Лазарев – ветеран, бывший начальник лаборатории Сухумского физико-технического института МВД СССР Сухуми, территория санатория «Синоп», Е-mail: [email protected]

40 лЕт Работы по яДЕРной пРоблЕМЕ на СВЕРхСЕкРЕтноМ СоВЕтСко-нЕМЕцкоМ объЕктЕ

Автор очерка описывает реальную картину совместной работы немецких (в большинстве своем) и советских уче-ных, инженеров, конструкторов, искусных мастеров над выполнением различных заданий в рамках Атомного проекта СССР. Секреты этой работы и жизни в лаборато-риях Синоп и Агудзеры близ Сухуми только сейчас стали приоткрываться благодаря запискам очень немногих из оставшихся в живых участников этих работ. Советский ин-женер Н.Ф. Лазарев описывает свои встречи, разговоры, постановку экспериментов под руководством выдающих-

ся немецких инженеров-физиков Манфреда фон Арденне (руководителя Лаборатории А в Синопе), Макса Штеенбека и Гернота Циппе, добровольно предложивших свою по-мощь и оборудование Советскому правительству. Вместе они конструировали центрифугу для разделения изотопов урана-238 и 235, а затем вместе с советскими инженерами Демирхановым, Кварцхавой и др. добивались создания устойчивых плазменных образований из водорода и отри-цательных ионов. Последний цикл работ явился прологом на долгом пути устойчивого термоядерного синтеза.

N.F. Lazarev – Veteran of Sukhumi Physical-technical Institute of Ministery of Internal affairs, a chief of laboratory Sukhumi, the territory of the sanatorium «Sinop», Е-mail: [email protected]

40 yearS of work on the toP-Secret SoVIet-GerMan nucLear object

The author describes the real picture of joint work of German (mostly) and Soviet scientists, engineers, designers, skilled craftsmen on the different tasks for the Atomic project of the USSR. The secrets of this life and work in the laboratories of for-mer hotels «Sinop» and «Agudzera» near Sukhumi are only now beginning to open, thanks to the notes of the very few surviv-ing members of these works. A prominent Soviet engineer NF Lazarev describes his meetings, conversations, setting experi-ments under the guidance of the eminent German engineers, physicists: Manfred von Ardenne (the head of the Laboratory in

Sinop), Maks Steenbeck and Gernot Tsippe, who, in 1945, volun-tarily offered their assistance and equipment to the Soviet gov-ernment. In this institite was designed an original high-rotation-al centrifuge for separation isotopes uranium-238 and 235. Later on they created installations to research plasma of hydrogen, its isotopes and other element (together with Soviet engineers Kvarzhava, Demirkhanov, Gutkin et al.) They sought to create sustainable plasma formation especially with negative ions. The last cycle of works was, as we know now, the prologue on the long path of sustained nuclear fusion.

Предисловие от редакцииВ 1945 г. в СССР было организовано четыре объек-та-лаборатории для работы в них немецких ученых и специалистов по различным задачам в области исполь-зования атомной энергии: Лаборатории «А» и «Г» в г. Сухуми, Лаборатория «Б» – в районе г. Касли, на Урале, Лаборатория «В» вблизи станции «Обнинская» Калуж-ской области. Всего же по некоторым оценкам в СССР в работах так или иначе связанных с Атомным проек-том работало около 7 тысяч немцев. Из них – около 300 человек в Сухуми. Все эти объекты были подчинены НКВД СССР, в марте 1945 г. переименованного в МВД СССР. В структуре МВД было создано специальное атомное главное управление под номером 9 под нача-лом генерал-полковника А.П. Завенягина. Но Завеня-гин был замминистра МВД по строительству, поэтому

административно-хозяйственными делами 9-го управле-ния руководил первый заместитель Завенягина генерал-майор Александр Дмитриевич Зверев. В свою очередь все научно-организационные вопросы, решавшиеся в «9-ке» были возложены на академика АН Украинской ССР Александра Ильича Лейпунского, которому было присвоено звание полковника МВД с широкими поно-мочиями (см. например, [1, c. 98, с 268]. Кстати, в лич-ных разговорах А.И. Лейпунский не раз отмечал, что А.Д. Зверев был умным человеком, быстро входил в курс дела, и с ним было легко работать.

Объект «А» – научно-исследовательская Лаборатория «А», организованная в г. Сухуми, в помещении санатория «Синоп», для проведения работ по проблеме использова-ния атомной энергии с участием немецких специалистов. Находилась в ведении ПГУ (постановление СНК СССР от 27 октября 1945 г. 2755-776сс «Об использовании

историяФиЗиКи и МАтЕМАтиКи


ИСТОРИЯ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ

группы немецких специалистов, изъявивших жела-ние работать в СССР»). Постановлением СНК СССР от 19 декабря 1945 г. 3117-937сс «О 9-м Управлении НКВД СССР» Лаборатория «А» передана в 9-е Управле-ние НКВД СССР и переименована в Институт «А». <…> Директором института «А» был великолепный немецкий инженер и ученый, профессор Манфред фон Арденне. Директором Института «Г», размещенного в санатории «Агудзеры», был назначен немецкий ученый, лауреат Нобелевской премии Густав Герц.

Барон фон Арденне остался вместе со своей пре-красно оборудованной частной физической лаборато-рией в советской оккупационной зоне Германии. Чтобы проиллюстрировать уровень добровольности того, как часть немецких ученых и специалистов, оставшихся в нашей зоне, соглашалась работать теперь на Советский Союз в области физики и тонких технологий, приве-дем один знаковый документ. На следующий день по-сле Победы, 10 мая 1945 г., он пишет Сталину следую-щее письмо (в переводе с немецкого на русский язык Ал. Гумилёва) [2. т. I. книга 2, с. 288].

Организацию, а затем общее научное руководство и координацию НИОКР всех советско-немецких лаборато-рий и/или институтов осуществлял авторитетный совет-ский физик, академик АН Украинской ССР Александр

Ильич Лейпунский, который в чине полковника, в 1945–1949 гг. занимал пост заместителя начальника по научной работе 9-го Управления НКВД/МВД СССР. Он был учеником А.Ф. Иоффе и Э. Резерфорда. Хронологи-чески стал, по-видимому, первым физиком-ядерщиком в СССР, работая с начала 1930-х гг. в УФТИ. Являлся до-веренным лицом и личным другом И.В. Курчатова [1].

15 августа 1948 г. постановлением СМ СССР 3091-1248сс/оп Институты «А», «Г» и Лаборатории «Б» и «В» переданы из МВД СССР в ПГУ при СМ СССР. Это оз-начало ужесточение режима: охранять указанные объ-екты стали войска МГБ, вместо МВД СССР [АП. Т. II. Книга 4. С. 140]. С 6 мая 1949 г. Институты «А» и «Г» объединены в один институт НИИ-5, который постанов-лением СМ СССР от 1 июля 1950 г. был преобразован в Сухумский физико-технический институт (СФТИ). Немцы были освобождены и реэмигрировали в ФРГ и ГДР в 1955 г. Расцвет СФТИ пришелся на 1960–1980-е гг., когда он входил в систему Минсредмаша СССР (с 1953 г.). Численность его сотрудников достигала 6 тысяч человек, бюджет превышал весь бюджет АН Грузинской ССР. Постепенно СФТИ стал крупнейшим НИИ на Кавказе, его основными направлениями были: физика плазмы, циклотронные эффекты, управляе-мый термоядерный синтез, детектирование излучений,

Манфред фон Арденне Берлин-Лихтерфельде-ОстИсследовательская лаборатория Юнгфернштиг, 19

электронной физики 10 мая 1945 годаГ-ну председателю Совета народных комиссаров СССР, Москва, Кремль

Ссылаясь на сегодняшний осмотр моего исследовательского института (Берлин-Лихтерфельде-Ост, Юнгферштиг, 19) и до сих пор руководимого мною бывшего Института физики ядра при Имперской министерстве почт, я приношу уверения, что буду с особой радостью приветствовать совместную ра-боту моих, упомянутых выше и оставшихся вполне работоспособными институтов, с центральными научными учреждениями СССР.

Мои институты в настоящее время работают над следующими основными вопросами:1. сверхмикроскопические исследования с двумя наиболее мощными сверхмикроскопами в мире;2. исследования в области физики ядра, особенно индикаторным методом при помощи радиоак-

тивных и стабильных изотопов (атомо-преобразовательная установка в 1 млн.вольт*; лаборато-рия счетных аппаратов, магнитный разобщитель изотопов, масс-спектрометр;

3. регистрирующий масс-спектрометр для количественного химического анализа газообразных, жидких и твердых тел;

4. окончание изготовления 60-тонной циклотронной установки.Главные задачи:

− улучшение разрешающей силы у сверхмикроскопа с целью увидеть отдельные атомы; − разделение изотопов в количествах, поддающихся взвешиванию; − биохимические исследования по индикаторному методу; − соображения по радиолокации на больших расстояниях; − использование уже построенного большого стереоскопического аппарата с поляризованным

светом для обучения молодых научных кадров.С сегодняшнего дня я предоставляю в распоряжение Советского правительства мои институты и

самого себя.С совершенным почтением Манфред фон Арденне.

* Ускоритель Ван-деГраафа.



масс-спектрография, преобразование тепловой энергии ядерного реактора в электрическую.

Во время распада СССР и грузино-абхазской войны в 1992 г. численность сотрудников СФТИ сократилась до приблизительно 300 человек, которые в основном следили за порядком на территории института и со-хранностью аппаратуры. Многие покинули Сухуми. Некоторая часть бывших сотрудников организовала в Тбилиси дочерний институт с тем же названием.

1 апреля 2005 г. решением абхазского правительства основано Государственное Научно-производственное объединение «Сухумский физико-технический инсти-тут» (ГНПО «СФТИ»), создаваемое на базе собственно Сухумского физико-технического института, Гидрофи-зического института Академии наук Абхазии (ГИАНА), Государственного научно-производственного предпри-ятия «Касатка», Государственного предприятия «Ради-отехника-электроника-автоматика» (ЭРА) Разрабатыва-ются с финансовой и научной помощью России и РАН планы возрождения физико-технических исследований в этом некогда крупном центре советской науки.

— —Перечислим те тома книг из серии «Атомный проект

СССР» и страницы в них, в которых есть сведения о не-мецких ученых и специалистах, работавших в 1945–1955 гг. в СССР, где приведены их списки, типовые трудовые договоры с ними, нетиповые персональные договоры с их немецкими руководителями и прочее. (Оговоримся, что нижеследующий список, наверняка, неполный.)Том I, часть 1, с. 395, 396. Том I, часть 2, с. 280, 285, 287–289, 292, 314, 317–319, 323, 324, 336, 342, 343, 368, 369, 373, 418, 727.Том II, книга 3, с. 16, 22, 28, 38, 39, 49, 54, 61, 64, 66, 73, 88, 91, 95, 96, 126, 136, 150, 160, 233, 255, 260, 305, 376.Том II, книга 4, с. 140, 465, 578, 609–623, 656, 662, 672, 724.Том II, книга 5, с. 233, 235, 458, 476, 498, 614, 615.

Николай Федорович Лазарев родился в 1929 г. в по-селке Вача Горьковской области, окончил Сухумский педагогический институт (физико-техническое отделе-ние). В 1951–1992 гг., Н.Ф. Лазарев работал более 40 лет в СФТИ на должностях, начиная с лаборанта до начальника лаборатории. Во время грузино-абхазской войны, разрухи, прекращения всякого финансирования СФТИ он, как и большинство других сотрудников, по-кинул Сухуми. Автор ряда научных статей и полутора десятков изобретений, в основном по способам полу-чения отрицательных ионов и устройствам для анали-за и управления плазменными образованиями. Свои воспоминания о работе в СФТИ начального периода, когда там бок о бок трудились немецкие и советские специалисты, Н.Ф. Лазарев любезно предоставил для опубликования в настоящей книге.

(Вступление Б.С. Горобец)

Советско-немецкий институт «а» в Сухуми – взгляд изнутри.Объект п/я 0908По постановлению Правительства СССР в 1945 г. на юге страны были созданы два института на базе двух санаториев. Один – в границах г. Сухими, в дендропар-ке, в здании санатория ВЦИК. Он обозначался буквой «А»: это была начальная буква фамилии выдающегося немецкого инженера-физика Манфреда фон Арденне, который был его научным руководителем1. Другой ин-ститут размещался в здании санатория в поселке Гуль-рипш, находящемся на расстоянии 10–12 км от Сухуми. Он обозначался буквой «Г»: это была начальная буква фамилии другого выдающегося немецкого физика, лау-реата Нобелевской премии Густава Герца (впоследствии академика АН СССР); в первые годы он был научным руководителем этого института2. Эти институты были оснащены немецким оборудованием и приборами, вы-везенными из Германии (в основном из Кайзеровского института в Берлине и собственного института Арденне в Берлине-Лихтерфельде-Ост). В самом начале на объ-ектах «А» и «Г» работали немцы, которые приехали с семьями. Затем состав пополнялся специалистами из немецких военнопленных и советских граждан. После организационного объединения этих объектов им был дан номер почтового ящика п/я 0908.

Объект п/я 0908 был не какой-то «шарашкой» для немцев, а полноценным научно-исследовательским ин-ститутом. На двух площадках, Синоп и Агудзеры, почти поровну работало всего около 200 немецких специали-стов и ученых. Но это был институт строгого режима секретности. Обе площадки охранялись военными. На общей территории площадки Синоп находились: управление, медсанчасть, столовая, клуб, жилые дома, электростанция, производственная зона. В последнюю входили: главный корпус, дом «Л» дом «Б», газовая станция, механическая мастерская и склад. Вне террито-рии производственной зоны, на краю парка, за высоким забором на берегу речки «Дзигута» находился дом «Д».

Оба отдела «А» и «Г» управлялись из Синопа (г. Су-хуми), где находился директор предприятия п/я 0908. В 1951 г. директором СФТИ был генерал Кочлавашви-ли, а в 1951–1954 гг. – В.В. Мигулин. Мать последнего была немкой и Владимир Васильевич свободно владел немецким языком. Площадки и Синоп и Агудзеры были

1 В Институте «А» (СФТИ) он занимался проблемой электро-магнитного разделения изотопов и масс-спектрометрии, раз-работкой электронного микроскопа и масс-спектрометра. [2. т. 1, ч. 2. с. 596] (Прим. Б.Г.).

2 В Институте «Г» (СФТИ) занимался теорией и эксперимен-том по диффузионному разделению изотопов (см. Там же. с. 619).



расположены на землях, принадлежавших до револю-ции Смицкому, который создал на них дендропарки из редкостных растений, привезенных со всего мира. В условиях субтропиков они хорошо прижились. Это самые красивые места на Кавказском побережье Чер-ного моря. В дендропарке находилась и государствен-ная дача, где отдыхали государственные деятели СССР. Из наиболее известных немецких ученых в Синопе, наряду с фон Арденне, жил и работал Макс Стеенбек, а в Агудзерах, наряду с Г. Герцем, – профессор Петер Адольф Тиссен и д-р Шютце.

Основная тематика сводилась к способам получе-ния ядерного взрывчатого вещества для атомной бом-бы. Нужно было получить возможно более чистый изотоп урана-235. У нас изучались три способа: маг-нитный, диффузионный и центрифужный. Наиболее продуктивным был диффузионный способ, но в первых опытах он давал недостаточно чистый уран 2353. Этим занимался в основном Тиссен. В Синопе же разрабаты-вался способ с использованием центрифуги, этим за-нимался Стеенбек, и у нас этот способ давал уран-235 чище, чем диффузионный способ. Но были очень боль-шие трудности с проблемой устойчивого вращения ро-тора центрифуги при высоких скоростях.

Наряду с этим в Синопе были изготовлены два масс-спектрографа конструкции Арденне с секторными маг-нитами с углом 60°. Первый из них был с одинарной фо-кусировкой (ответственный исполнитель Лазарев Н.Ф.), а второй – с двойной фокусировкой (ответственный исполнитель Дорохов В.В.). Масс-спектрометр Арден-небыл был предназначен для самого точного в мире из-мерения масс ядер атомов и изотопов всех известных эле-ментов. В Агудзерах был только один масс-спектрограф конструкции Шютце с секторным магнитом с углом 90° (ответственный исполнитель был Отар Самадашвили).

Как известно, к концу войны немцы были близки к созданию ядерной бомбы. В 1951–1952 гг. Циппе мне говорил, что Арденне был на приеме у Гитлера по это-му вопросу и якобы Гитлер торопил, но немецкими учеными в расчетах была допущена ошибка в выборе основного материала, замедляющего нейтроны для за-пуска ядерной цепной реакции. Немцы неправильно определили сечения захвата и рассеяния нейтронов в

3 Позже были изобретены молекулярные фильтры, с помо-щью которых именно диффузионный способ стал на долгие годы основным для получения оружейного урана. Однако этот метод требовал колоссального расхода электроэнер-гии. С годами центрифуги были доведены до высочайше-го совершенства. Частоту вращения подняли от 10 тысяч оборотов в минуту, с которой начинались исследования, до сотен тысяч. Расход же энергии центрифужного завода при-мерно в десять раз меньше, чем завода по газовой диффу-зии. К настоящему времени во всем мире применяют только центрифуги, см. например, в кн. В.М. Жданова [3] (Прим. Б.Г.).

графите из-за того, что у них был недостаточно чистый графит. Они решили, что в графите невозможно полу-чить размножение нейтронов, переключили все внима-ние на тяжелую воду. Но все их запасы тяжелой воды, производимой в Норвегии, были уничтожены англий-скими бомбардировщикам. Поэтому немцы и «опозда-ли». Удивительно, что эта ошибка, возможно, уберегла мир от катастрофы. Оказалось, что бывает и так: ошиб-ка в эксперименте спасла мир.

Центрифуга СтеенбекаЯ поступил на работу на объект п/я 0908 12 января 1951 г. и был сразу направлен в отдел Макса Стеенбека (так у автора записок, см. замечание во вступлении – Б.Г.) в качестве лаборанта урано-разделительной установ-ки – центрифуги. Она располагалась в доме «L», в 20 ме-трах от основного здания. Он представлял собой двух-этажное здание с коридорами во всю длину дома.

Созданием центрифуги занимался зять Стеенбека доктор Гернот Циппе. Ему помогали три лаборанта: Па-вел Городниченко, Ушанги Николайшвили и я. В наши обязанности входило поочередное дежурство и поддер-жание центрифуги в рабочем состоянии. Это включало в себя контроль числа оборотов ротора, его устойчивого (от колебаний) состояния, отпайку стеклянных ампул с обогащенным ураном, разборку центрифуги при разры-вах ротора. Кроме того, мы с Циппе поочередно взвеши-вали ампулы с ураном до и после обогащения. Сборку же ротора проводил лично Циппе.

Под руководством Стеенбека в доме «L» работали советские научные сотрудники Хорошавцев, Джумбер Эристави, Ираклий Кервалидзе, Апет Муратович Ре-зикян. Для Стеенбека и Циппе была характерна неуто-мимая поглощенность работой. Они ночью приходили наблюдать за работой центрифуги и исполнением лабо-рантами своих обязанностей. При этом Стеенбек про-водил и воспитательные беседы. Так, он мне говорил: «Качество инженера не в том, что он помнит формулы и цифры, а в том, что он знает, где быстро найти в спра-вочниках то, что ему надо. Потому что память бывает и не абсолютно надежной, нерационально ее загружать формулами и цифрами».

Нашей группе принадлежали три комнаты на первом этаже и одна на втором этаже. Последняя была с прору-бленным полом: центрифуга была высотой в два этажа. Она состояла из высоковакуумной камеры, в которой вращался с огромной скоростью трубчатый ротор.

Еще была комната, где стоял стенд для опробования блоков центрифуги, там Циппе и Хорошавцев собирали также роторы. В соседней комнате работали Кервалидзе и Фунтов. Имелась механическая мастерская, в которой работали немец Гедике и Саша Жохов. На втором этаже помещался кабинет Стеенбека, в котором находились



шкаф, диван и аналитические весы, а на столе стояли два арифмометра. Там д-р Циппе, а затем и я, взвешива-ли ампулы с материалом до и после центрифугирования. Затем я относил ампулы в комнату в главном корпусе хи-микам. Там Вера Михайловна Сойфер восстанавливала уран из гексафторида в металл. После этого я относил новые ампулы для взвешивания в дом «L».

На втором этаже работали также радиоинженер Шеффель и механик Алексей Нагорный. И еще Иван Дурнев и Вера Коносова, которых я поначалу знал мало, но позже выяснил, что они-то и заполняли ампу-лы гексафторидом урана.

В своем кабинете Стеенбек проводил семинары с научными сотрудниками Хорошавцевым, Кервалидзе, Резикяном и Эристави. Циппе в них не участвовал. В этом кабинете он отдыхал и иногда ночевал. Но у Сте-енбека был и основной кабинет в главном корпусе, где он и находился большую часть времени. Вместе с тем, в ответственные периоды испытаний Стеенбек нахо-дился в доме «L», куда приходил на работу ежедневно, в тот же час, как и все работники института.

Когда д-р Циппе узнал, что я раньше занимался ре-монтом электродвигателей с заменой обмоток, он меня попросил сделать расчет числа витков и оптимального магнитного поля статора центрифуги. Я сделал такой расчет, в соответствие с которым г-н Флигнер намотал обмотку, а г-н Шеффель подобрал генератор. Это по-зволило быстрее проходить через точки критических скоростей резонансных колебаний ротора, опасных для его целостности. После получения удовлетворитель-ных результатов на центрифуге в доме «L» нами в доме «Б», в высоком зале был установлен промышленный стенд, на котором стояли две центрифуги. Циппе пере-вел меня на этот стенд в группу, состоявшую только из советских специалистов. Это были: Вознюк (конструк-тор), Д. Эристави, Ш. Гогичайшвили (научные сотруд-ники), У. Николайшвили, Кутхашвили (лаборанты) и я. Нашу группу курировал Хорошавцев, который нахо-дился в доме «L» на работающей центрифуге. Центри-фуга же, создаваемая под руководством И. Кервалидзе, так и не пошла.

Необычный случай произошел в тот период, когда вроде бы мы наладили стабильное вращение ротора. Начались проблемы с вакуумом: где то была течь. Мы обливали спиртом все соединения, но течь не обнару-живалась. То она появлялась, то уменьшалась так, что можно было снова запускать центрифугу. Однажды в мою смену я заметил нарушение уровня вакуума и остановил центрифугу. Затем перекрыл поступление уранового газа, выключил диффузионный насос, пу-стил воздух в камеру, снял ловушку, удалил из нее жид-кий кислород и стал, как обычно, обмывать тоненькой струйкой воды рабочую часть трубчатого стержня, на

котором конденсировались пары масла от насоса и немного уранового соединения из центрифуги. Этот стержень был покрыт слоем никеля. Когда я стал очи-щать его торец, то заметил тонкую трещинку в никеле. Надавил пальцем, и торец стал отваливаться. Я позво-нил д-ру Циппе и стал терзаться мыслью, что не дога-дался налить спирта внутрь ловушки, тогда течь была бы быстро обнаружена, и мы не потеряли бы столько времени.

Пришел Циппе, осмотрел ловушку, оторвал торце-вую заглушку в виде медной монетки. Она оказалась не припаянной к трубке, а держалась только на тонком слое никеля. После этого Циппе ходил мрачный несколько дней. Хорошавцев сказал мне, что все мы были на во-лосок от гибели. Тонкий слой никеля первоначально держал вакуумную плотность, но постепенно разъедал-ся фтором гексафт0рида урана, становился все тоньше и мог отвалиться в любую минуту. Тогда жидкий кислород из ловушки попал бы в кипящее масло насоса, от их со-единения (это знают все грамотные техники) произошел бы сильнейший взрыв. Возникли следующие вопросы:

1. Почему пайщик не запаял торцевую заглушку в рубке ловушки?

2. Почему никелировщик не обратил внимания на то, что заглушка не запаяна?

3. Почему эта ловушка оказалась именно на основ-ной, работающей центрифуге?

Такие же ловушки были и на других стендах, но они были нормально пропаяны. Было следствие, но дело закрыли, никого реально не наказали. Так мы и не зна-ем, было ли это совпадением ряда фактов халатности изготовителей, или же нечто другое. После этого ЧП старые ловушки заменили на новые, стержневые. Что-бы жидкий кислород не мог попасть в горячее масло, трубки в ловушках заменили на сплошной стержень.

В организации наших работ была велика роль Л.П. Берия. Его выдвигали в Почетный Президиум любого собрания института (тогда было принято так делать: «избирался» заочный Почетный Президиум, в который входили отсутствующие лица из государственного ру-ководства). Был такой случай. После очередного раз-рыва ротора центрифуги д-р Циппе находился в почти шоковом состоянии. В примерно таком же состоянии находился Хорошавцев. Я, как мог, их успокаивал, пе-ребирал варианты, что еще можно было бы попробо-вать, чтобы избежать разрушительной вибрации рото-ра. Ясно было, что ртутные демпферы не обеспечивали устойчивости ротора. Конструкторы предположили, что стоило бы испытать недавно появившийся в СССР тефлон (фторопласт). Это был очень дорогой материал, и его тогда было очень мало. Стенбек позвонил Берия, и небольшое количество тефлона было у нас на следу-ющий же день. Его доставили самолетом.



Об искусственном земном солнцеВ доме «Б» я проработал до принятия решения о передаче нашей центрифуги на завод4. После этого Стеенбек отвел меня к д-ру М.Арденне, там находился и д-р Фройлих, который меня отвел на новое место работы по созданию газоразрядного источника многозарядных ионов азота. В этой группе состояли: инженер Шмидт, лаборанты Пот-маер, Отар Кацибая и я, позже присоединился Ю.В. Кур-санов и В. Друин. Руководил группой д-р Фройлих.

С Николайшвили у меня всегда были дружествен-ные отношения. Иногда я помогал ему. Например, у него были трудности с источниками ионов: часто пере-горали как вольфрамовые, так и оксидные катоды. Я ему передал чертежи катодного узла, разработанного мной и опубликованного в журнале «ПТЭ». Этот ка-тод мог работать в агрессивной среде (газов и твердых веществ) неопределенно долго. Он был прост в изго-товлении и представлял собой трубку из нержавеющей стали длиной в 60–70 см, диаметром 12 мм. Механик их группы Юра Евгеньев восхищался простотой этого технического решения. На своих источниках ионов я применял только такой катодный узел.

В 1957 году у Демирханова и Гуткина появилась идея создать плазму в магнитом поле и «зажечь» в ней термоядерную реакцию путем впрыскивания в нее дей-терия D. Предполагалось получить высокотемператур-ный плазменный шар, висящий в магнитном поле и излучающий почти «дармовую» энергию. Главное, что по идее этот шар не должен соприкасаться со стенками магнита и камеры, которые не выдерживают такой тем-пературы5. Гуткин создал группу теоретиков, возгла-вил ее. Исследования решено было начинать на моем масс-пектрографе. Заговорили о Нобелевской премии.

4 Это был Кировский завод в Ленинграде. Вместе с центри-фугой в 1952 г. в Ленинград переехали Штеенбек, Циппе и Шеффель. Но центрифуга нуждалась в серьезных доработках и сходу в промышленное производство не пошла. Вместе с тем основным достижением группы Штеенбека была конструкция опорного узла для ротора в виде стальной иглы на подпятнике из сверхтвердого сплава в масяляной ванне, а также магнитная подвеска верхнего конца ротора. Репатриировавшись в ФРГ, Циппе запатентовал в 13 странах «центрифугу Циппе», присвоив себе коллективное изобретение своих немецких коллег при участии и советских конструкторов. Минсредмаш «решил на это никак не реагировать, чтобы не дать повода и каких-либо подозрений, что в СССР ведутся работы по новому прогрессивному методу обогащения урана» (Прим. Б.Г.) [3. с. 70].

По сообщении. Н.Ф. Лазарева, и Фройлих после отъезда в Германию запатентовал источник ионов, разработанный в СФТИ. Так что немцы «не терялись».

5 Ввиду сторогой секретности указанные физики ничего не могли знать о такой же идее А.Д. Сахарова и И.Е. Тамма, появившейся в конце 1940-х гг, на основе которой потом был построен токамак (Прим. Б.Г.).

Я получил срочное задание найти в масс-спектре ме-тастабильное состояние молекулы с массой 42 в виде размытой диффузной линии. Я установил массу 42 в центре экрана и позвал Демирханова и Гуткина. Но со-стояние 42-й массы было устойчивым, метастабильно-сти ненаблюдалось. Гуткин не верил, что это 42-я масса, пришлось при них пересчитать все линии спектра водо-рода, но 42 была на месте. Дело в том, что молекула при пролете в магнитном поле разваливается на фрагменты, которые закручиваются в поле в виде кольца или шара, образуя плазменное образование. Разочарованные Гут-кин и Демирханов ушли, но через несколько дней Гут-кин сказал: «Мы послали машину в Баку, завтра приве-зут два баллона, с пропаном и бутаном, встреть машину и ищи «метастабилы». Это – главное. Мы запустили в ионный источник масс-спектрографа бутан и увидели богатейший спектр всевозможных молекул на всем диа-пазоне масс. В том числе было много размытых диф-фузных линий, указывающих на метастабильные ионы: Гуткин и Демирханов, обрадованные таким успехом, активизировали работу теоретиков и инженеров. А я сфотографировал несколько масс-спектров, отдал не-гативы Гуткину и срочно стал заниматься получением пучка ионов дейтерия для впрыскивания их в предпо-лагаемую плазму. Принесли в колбочке тяжелую воду (D2О), из нее я получал D2, и я принялся за дело. Но вся эта идея стала обрастать трудноразрешимыми вопро-сами: появились сомнения у теоретиков, у инженеров. Гуткин окончательно запутался в молекулярных мета-стабильных состояниях и постепенно стал переходить к возможностям других способов получения управля-емой термоядерной реакции. После поездки Демирха-нова в Германию к Арденне, который занимался в том числе биофизическими проблемами рака, Демирханов предложил мне заняться определением масс биологи-ческих клеток и ее фрагментов. Я сделал специальный источник, получил масс-спектр куриного белка, сфо-тографировал и отдал Демирханову. На этом дело и кончилось, так как Демирханов перевел меня на стро-ительство новой установки по термоядерному синтезу, названной «Августина».

В 1960 г. я получил на масс-спектрометре 6 линий отрицательных ионов водорода Н1

–. То есть 6 групп Н1

–* (в возбужденном состоянии). Плазменный источ-ник был моей собственной конструкции. Этот спектр я показал Гуткину и Демирханову. Они посмотрели на спектр и сказали: «Такого не может быть. Это что-то с масс-спектрографом». А когда я еще раз им по-казал, что эти линии сдвигаются и раздвигаются, как гармошка в зависимости от давления газа в источнике, они заговорили о дифракции в приборе и утвердились в своей правоте. Сказали: «Проверь установку щелей на приборе! Но когда я набрал уже много фотопластин



с различным количеством линий, Демирханов спросил меня: «Как ты догадался получить такой спектр?»

Я ему рассказал, что это получается в результате «мучения» плазмы. Я специально создал ей трудности и она выдала такой эффект. Я пережал канал газового разряда в нескольких местах и в них появились зоны образования Н1

– . «Ну, а как до этого додумался?» Я ему рассказал историю о садоводах, которые, чтобы повы-сить урожайность дерева, надевают на его ствол кольцо, создавая трудности сокодвижению. Ствол выше кольца становится толще, а урожай – больше. Демирханов был обрадован таким объяснением, Он всем гостям, которые посещали нас, показывал эти спектры. Иногда он про-износил: «А нельзя ли помучить разряд в установках по термоядерному синтезу?» Но, в отличие от «нашего» разряда, в тех установках плазма сама себя мучила, она отвергала энергию, которую в нее вводили, не принима-ла «лишнего». Условия были другие.

А «свою» плазму я продолжал «мучить» и другим способом: мешал существовать одиночному плазменно-му образованию, приближая к нему другое, такое же6.

Я не понимал, какими силами и долго ли удержива-ется «лишний» электрон в нейтральном атоме водоро-да Н и дейтерия D2, как образуется Н1

–. Некоторые из этих вопросов я пытался разрешить исследованиями на масс-спектрографе, на котором проводил собственные эксперименты. Особенно было интересно образование Н1

– и D1– в газоразрядной плазме, в которой образование

и существование их казалось маловероятным. Однако эти ионы существовали в значительных количествах. Я выдвинул гипотезу о том, что резкие срывы силы тока в начальной стадии мощных разрядов в термоядерных установках «Августина» и «Зетта», так называемые «особенности», возникают по причине образования и рекомбинации отрицательных ионов. Часть сотрудников возражала, но теоретики Ткалич и Салтанов меня под-держали. Мы устроили несколько семинаров, против-ники настаивали, ссылались на известные процессы и сечения образования отрицательных ионов водорода. Я не соглашался, указывал на не достаточно чистые экс-перименты, на присутствие «футбольного» газа, вместо чистого водорода, на загрязнение стенок камеры пара-ми масла, проникающими в разряд из диффузионных насосов. Эти споры привели к тому, что водород и дей-терий стали чистить через накаливаемые палладиевые трубки, камеру дегазировать нагреванием, а пары масла из насосов отсекать улучшенными ловушками. Но за-тем эти «особенности» отложили как непонятное явле-ние, а всех стала интересовать главная часть газового

6 На оба эти способа я получил Авторские свидетельства на изобретения: 258476 (1970 г.) и 426595 (1981 г.). Один из оригинальных спектров был приведен в статье с моими соавторами в ЖТФ. 1970. Том. 40. 9. С. 1911.

разряда, следующая за «особенностями» – там, где и должна была нарастать температура, необходимая для термоядерной реакции. В это время, как снежный ком, стали появляться трудности: плазма никак не «хотела» принимать энергию для нагрева, ее шнур изворачивался, распадался, плазма дрожала, «выталкивала» вводимую энергию. Начали классифицировать неустойчивости, а их становилось все больше и больше. Надежда была на теоретиков. Разобраться во всем этом было очень труд-но. Я вспомнил разговор с Агрестом о том, что решения задач находятся рядом с нами, вокруг нас, но мы их не видим, и только в каком-то особом состоянии ума мы иногда прозреваем и удивляемся простоте и красоте ре-шения задачи.

Если отбирать для анализа частицы из газоразрядной плазмы, то открывается огромное количество продуктов плазмохимических реакций, например, вступают в реак-ции инертные газы. Я использовал эти свойства своего масс-спектрографа для изучения отрицательных ионов водорода и дейтерия. Еще одним из интересных направ-лений могли бы стать реакции распада кремнийсодержа-щих молекул с выделением энергии. Ведь соединений кремния на Земле на много порядков больше, чем нефти и газа. Однако эта тематика не вписывалась в задачи ин-ститута, а затем пришла «перестройка», война…

О научных связях с другими институтамиСвязи с ЛИПАНом, ныне Курчатовским институ-том, были давнишние, со времен урановой тематики. И.В. Курчатов постоянно был в курсе сухумских дел, от него у нас работали молодые ребята, которые называли Курчатова «Бородой». В последующем возникли свя-зи с МИФИ, МФТИ, МГУ, Харьковским, Тбилисским и Ереванским университетами, у нас работали их вы-пускники. У меня на масс-спектрографе шесть месяцев проходили стажировку три выпускника Батумского пе-динститута, аджарцы Хасан, Этери и Тимур. Среди на-ших ученых выделялись Демирханов, Розман, Агрест и Кварцхава. Демирханов находился в тесном кон-такте с украинскими учеными К.Д. Синельниковым, А.И. Ахиезером и другими.

По установкам «Августина», «Зетта» и «Бетта» мы консультировались с Л.А. Арцимовичем и Е.П. Велихо-вым. Демирханов любил и умел заводить связи в выс-ших научных кругах. С людьми и новым мышлением я познакомился в Москве на семинаре Председателей ПДПС предприятий нашего Министерства, на котором меня назначили Председателем этого семинара. Это мне помогло познакомиться с группой из ФЭИ (Обнинск), которая обладала знаниями в области алгоритмического решения задач (АРИЗ). Я с ними договорился о приез-де в Сухуми, чтобы обучить этому делу наших молодых



сотрудников. Наш директор Салуквадзе это одобрил, так как в институте возникло несколько трудно решаемых задач, которые тормозили выполнение главного задания. Из Обнинска приехали ректор Народного университета (так называли тогда курсы повышения квалификации) и декан факультета. Обучалась группа из 40 человек в объ-еме 80 часов. Впечатление было огромное! Это был, как луч света из другой цивилизации. Они оперировали 12-ю алгоритмами, решали на занятиях буквально за несколь-ко минут наши задачи по открытой и «полузакрытой» те-матике, те, которые лежали нерешенными по несколько лет. Но мне не удалось привлечь для обучения началь-ников отделов и завлабов. Молодой начальник нашего отдела мне говорил: «Ну что вы!. Мы же так и решаем наши задачи на семинарах». Я понял, что в науку при-шло новое поколение «начальников». Оставался бы Де-мирханов – тут же ухватился бы за ученых из Обнинска.

Эти люди из Обнинска устраивали для нас встречи со свободным общением у себя в гостевом номере с ви-дом на Сухумскую бухту, госдачу и СФТИ, утопающих в зелени дендропарка. Важно было то, что они пока-зывали пример общения без курения и алкоголя и при этом участники получали хорошее настроение, отдых и бодрость. Эти свободные общения в виде бесед, вопро-сов, обсуждений искусства, творчества, науки, развития событий и т.д., проходили с использованием нового, си-стемного мышления, которое помогало легко и быстро разбираться и понимать существенные и главные момен-ты в событиях действительности

Иногда в СФТИ происходили встречи с выдающи-мися учеными, на некоторых из них я присутствовал. Помню встречу с Л.Д. Ландау. Это был примерно 1956 год. В конференц-зале СФТИ он сидел на столике для проектора, а мы, молодые сотрудники, окружили его и задавали вопросы. Так, на вопрос, чем бы он занялся, если бы начал все сначала, Ландау ответил неожидан-но: «Биологией». Мне долго был не понятен его ответ, но теперь кажется вполне понятным: биологические процессы хранят огромное количество тайн, а потреб-ность в их раскрытии возрастает с каждым годом7.

Было несколько посещений Г.Н. Флерова, который произвел на всех очень приятное впечатление. Встречи с ним носили чисто деловой характер. Он привозил ам-пулы с различными изотопами для точных измерений масс ядер изотопов на втором масс-спектрографе, где руководителем был В.В. Дорохов

Однажды нас посетил и П.Л. Капица вместе с сы-ном. Я давал им пояснения результатов, полученных с

7 Думаю, что Ландау вкладывал в свои слова другой смысл: как физик он был вынужден работать над проблемами, связанными со страшным смертоносным оружием, а ему хотелось бы исследовать природу жизни (Комментарий автора книги).

помощью масс-спектрографа Арденне. Поскольку на масс-спектрографе проводились незасекреченные ра-боты, то нас посетило несколько иностранных делега-ций и отдельных иностранных ученых, имена которых я не помню. Еще довелось встречаться с членкором Н.В. Федоренко, причем не только в СФТИ, но и на конференции в Риге, где мы с ним обсудили результаты по отрицательным ионам.

О жилье и житьеПри поступлении на работу меня поселили в поселке Каштак в трех километрах от Синопа. Поселок состоял из примерно 30 финских деревянных домов, окружен горами с трех сторон и открытой частью к морю. На-звание Каштак было привезено с севера, где делают эти финские дома.

Мы с женой стали жить в доме 27, в маленькой комнате. Две других занимал начальник контрразведки батальона, грузинскую фамилию которого я забыл. По-выше жил начальник штаба Греков. Здесь же была мед-санчасть батальона, а левее у развалин стен древней кре-пости – небольшая гостиница с видом на долину реки Келасури. Выше в горах был лес. На работу в Синоп сотрудников перевозили на грузовой машине, укрытой брезентом, в кузове которой были укреплены несколько рядов досок, чтобы сидеть. В машине помещалось около 30 человек Этот грузовик почему-то прозвали «Россией».

Там я познакомился с известным математиком Мо-дестом Менделевичем Агрестом, который, пока жил в Каштаке, ходил к нам в гости на чай, а дружбу под-держивал потом постоянно. Во время войны он был на фронте. Затем работал на объекте у Ю.Б. Харитона в Арзамасе-16. Но его оттуда убрали, как это описал Г.Е. Горелик. Его отец был глубоко верующий иудей. Возможно, и М. Агрест был верующим, точно мне не известно. Однако он увлекался вопросами уфологии и, основываясь на Священном писании, развивал гипоте-зу о посещении Земли инопланетянами.

Затем, после отъезда начальника контрразведки, мы заняли и остальные две комнаты, у нас родился сын. Условия были хорошие, в доме была кухня, туалетная, бак для нагрева воды и маленький земельный участок у дома, который обрабатывали, сажали цветы С работы привозили меня прямо к дому в вечернее и ночное вре-мя, когда мы работали почти круглосуточно. Для этого на объекте была выделена трофейная легковая автома-шина, дежурившая круглосуточно. Были случаи, когда я настолько уставал, что не чувствовал, как меня поливает струйкой раскутавшийся на своей кроватке сынишка.

Жили мы тихо и спокойно. Происшествия случались крайне редко. Вспоминаю лишь одно ЧП. Как-то позд-но ночью водитель привез меня к дому. Когда я вышел из машины, меня окликнула некая женщина, но назвала



по имени и отчеству другого человека Я подумал, что зовут кого-то из соседей, зашел в свой дом, а женщи-на закричала: «Помогите! Помогите!». Я выбежал из дома, крикнул: «Иду! Иду!» и увидел, как от дома на-чальника штаба стал убегать какой-то человек, почему-то с доской. Я выбежал на дорогу, стал догонять его, кричал «Стой! Стрелять буду!», хотя стрелять было не-чем. Но он свернул в завал камней бывшей крепости. Я вернулся к дому. Там во дворе стояло несколько сол-дат из санчасти. Жена начальника штаба дрожала, она рассказала, что двое ломились к ним из подвального помещения. Оказалось, что это были два солдата. Они обрезали телефонную связь начальника штаба, знали, что он домой не приедет и решили украсть медсестру, которая жила в доме у начальника. Греков потом мне говорил, что их наказал, так как они могли напугать его детей. А жена его потом объяснила мне: она думала, что приехал врач медсанчасти и поэтому звала его по имени-отчеству, а меня не опознала в темноте.

Немцы жили в основном на «кукурузном поле», в ста метрах от института. У них было пять двухэтажных домов. Было еще штук пять спаренных финских доми-ков рядом с парком. В них проживали с семьями немцы более высокого должностного уровня. Арденне со сво-ей семьей занимал особняк в парке рядом со зданием института, но не в производственной зоне. Ранее это была резиденция Председателя Президиума Верховно-го Совета СССР М.И. Калинина

Они жили на охраняемой зоне, за высоким зеленым забором. В любое время суток немцы могли выйти из зоны с сопровождающим («бегляйтером»), которые де-журили круглосуточно в управлении. Они ездили в го-род, на рынок и в магазины, могли заходить в ресторан и т.д. Но всюду рядом находился сопровождающий.

Об отношениях с немцамиУсловия жизни у немецких специалистов были лучше, чем у советских, как по жилью, так и по оплате труда. Немцам позволяли гулять в горах, уходить в высокогор-ные села Псху, Местию (Сванетия), к озеру Рица, Авад-хара и т.д., однако в сопровождении «бегляйтера». Дей-ствовали теннисный корт, клуб, мы в парке устраивали танцы, совместно встречали Новый год.

Вначале у меня отношение к немцам было такое же, как и у многих сразу после войны (где у меня погибли два родных дяди). Но потом мы убедились, что среди этих немцев был только один истинный нацист, Эн-гельгард. На него нам указали сами немцы. Это сделал Франц Поттмайер. Он при свидетелях, спрятавшихся за колоннами в коридоре, вышел на встречу Энгельгарду и резко вскинул руку для приветствия. Тот автоматически ответил, так же выкинув руку со словом «Хайль!». Но затем он выругался в адрес Поттмайера, догадавшись,

что это была провокация. Большинство немцев относи-лись к советским специалистам благожелательно. У не-которых я даже видел «Краткий курс истории ВКП (б)» на немецком языке. Один из них, стеклодув Фюксель был коммунистом. Он работал больше всех, часто оста-вался вечерами, организовал после работы обучение нас, лаборантов стеклодувному делу, выучил Кислова и Оганяна, они стали отличными стеклодувами. Между тем многие немцы посмеивались над Фюкселем.

Ф. Шмидт, кроме основной работы, еще занимался в своей комнате созданием стоячих электромагнитных волн между электропроводами, а я в свободное время помогал ему обнаруживать их по свечению электро-лампочки: как только пучность волны обнаруживалась, он чрезвычайно радовался, а затем мы определяли ее параметры. В отделе Арденне разрешалось в свобод-ное от работы время «мастерить» что-либо по своему усмотрению. Так, например, Поттмайер сделал устрой-ство для охраны помещения, состоящее всего лишь из трехэлектродной лампочки, реле звонкового механизма от будильника и батарейки. Устройство срабатывало, если в помещении появлялся человек. Я сделал себе карманный авометр в котором смонтировал, вместо батарейки, фотоэлемент, который и обеспечивал элек-тропитание авометра от дневного света или электриче-ского освещения. Так сотрудники всегда были чем-то заняты. Поддерживалась атмосфера созидания. Когда на установке получался хороший результат, Арденне приходил в группу к установке и сам видел результат эксперимента. Когда немцы уезжали в Германию, они торжественно и красиво прощались с нами. Поттмайер подарил мне свое охранное устройство, а Фройлих – ра-диоприемник и аквариум с рыбками. Арденне подарил Демирханову телескоп. Подарки от немцев я хранил в доме у родителей, но во время грузино-абхазской во-йны от взрывной волны упавшего неподалеку снаряда повредилась часть одной стены дома, а ближайший со-сед воспользовался нашим отсутствием и снес дом, а земельный участок присоединил к своему. Так пропало наше имущество и подарки. А телескоп Арденне сохра-нен и находится у Демирхановых.

Д-р Циппе почему-то был со мной откровенен, по-казывал фотографии места, где он будет жить у озера в Австрии, когда его отпустят из СССР. Он доверял мне хранить спирт (а его любители имелись среди механи-ков в доме «L»). После признания хорошими результа-тов по обогащению урана и достижения устойчивой работы центрифуги д-р Циппе позволил себе «рассла-биться», увлекся теннисом.

Напротив нашей комнаты с центрифугой находи-лась комната с материалами, в т.ч. с растворителями и спиртом. Там же находились личные вещи д-ра Циппе. В первые дни, когда я начал работать на центрифуге, в



этой комнате размещался молодой немец (фамилию ко-торого я помнил долго, но сейчас уже забыл). Он пробыл там недели две, а затем его куда-то перевели. Тот немец плохо говорил по-русски, но в общем я его понимал. Я увидел на полке очки летчика и спросил его, чьи они. Он ответил, что это его очки и что он принимал участие в бомбежках Сухуми. Рассказал. Как это происходило, как в бухте потопили два корабля, куда именно бросали бомбы. Сначала я отнесся к этому с недоверием. Но он показал на бумаге схему, на ней точку, где был потоплен корабль, стоявший с ранеными. Я поверил. Он сказал, что тогда сбрасывал бомбы специально в море. Действитель-но, я был очевидцем этой бомбежки, некоторые бомбы падали в море далеко от корабля. Он мне сказал, что и д-р Циппе был летчиком. Но с Циппе я об этом не говорил.

Примечательно, как немцы относятся к значимости своей профессии. Поттмайер привел мне такой пример. Допустим, на дороге у водителя заглох двигатель, и он вызвал мастера. Мастер стукнул три раза, и двигатель заработал. Он попросил за работу пятьдесят пфеннигов и еще три пфеннига. А водитель отвечает: «За что же такая дорогая плата, да еще три пфенинга, ведь ты уда-рил молоточком всего три раза?» «Вот за эти три удара я и беру три пфеннига. А за то, что я знаю, где уда-рить, я беру пятьдесят пфенингов», – отвечает мастер. Вот почему немцы часто говорят: «Это сделал я», а не: «сделали мы».

Еще два примера на ту же тему. Рядом с нашими комнатами была маленькая мастер-

ская, где работал немец Рихтер. Он обслуживал оба масс-спектрографа, а в свободное время чинил часы. И когда он нам вручал какую-нибудь деталь или часы, то добродушно и значительно говорил: «Это сделал я!». Тем самым он подчеркивал гарантию качества. Такую же фразу я слышал и от других немецких спе-циалистов. Вручить неоконченную работу, как счита-ет немецкий мастер, невозможно. Если он с подобным сталкивается, то это его раздражает. И только когда он окончательно все обработал, все отшлифовал, тогда вручает со словами:«Это сделал я!». А наш Рихтер еще при этом начинает напевать: «Муттер Вольга, Муттер Вольга…», и сам веселит себя этим.

Таким же был и прецизионный механик Кляйн. Ему поручали самые точные и тонкие работы. Порядок у него в мастерской был для нас непривычным: кругом чистота и большое количество инструмента, каждый на своем видном месте. Он всегда был в работе. По-русски говорить почти не мог. Но было заметно, как он радует-ся своим изделиям. «Это сделал Кляйн», – говорил он по-немецки. Мы общались обычно посредством смеси русских и немецких слов и понимали друг друга. Но к Кляйну это не относилось, он только делал вид, что по-нял, и многозначительно восклицал: «Ах, зоо…».

Вебер был отличным радиоинженером, гордился этим. К нему часто обращались за консультациями. Он был не согласен с Арденне, что наш масс-спектрограф ( 1) конструкции Арденне пригоден для точного из-мерения масс элементов. Он мне говорил, что «он будет грызть веник в туалете», если он неправ. Позже, уже после отъезда немцев, я понял, что масс-спектрографу с одинарной фокусировкой было уготовано иное пред-назначение. На нем можно было измерять не только массы, но и энергии ионов и их фрагментов, возникших в результате химических реакций. Кроме этого можно фиксировать запуск реакций с выделением энергии из веществ, излучением различных возбужденных атомов и их соединений. Этого нельзя было сделать на спектро-графе 2 с двойной фокусировкой, который был пред-назначен именно для точных измерений масс.

Директор института в 1951―1954 гг. В.В. Мигулин (1911–2002)8, будущий академик, и старший научный сотрудник Прокудин на комсомольских и профсоюз-ных собраниях напутствовали нас перенимать опыт и умение работать у немецких специалистов. Они под-черкивали, что это наша главная задача, и многие сле-довали этим напутствиям. Однако с приходом нового директора Б.М. Исаева напутствия уже были другими. Наша большая делегация ездила проведать, как устро-ились в Дрездене бывшие наши немцы, большая часть которых осела именно в этом городе. После приезда из Германии Исаев на собрании, делясь впечатлениями, рассказал, что они зашли к механику, в мастерской ко-торого, «как в аптеке, разложены инструменты, а глав-ное, к станку проложена ковровая дорожка – противно смотреть, плюнуть негде». Многие слушали с недоуме-нием, но возражать на собрании не стали.

Вскоре Исаев поспособствовал переподчинению парторганизации института местному горкому партии и ввел в партком Сухумского жителя Кочанова, а затем и назначил его секретарем парторганизации. Тот в первый же год, пользуясь своим положением, получал дефи-цитные товары, помимо обычного у нас распределения. Кочанова досрочно освободили, а Исаева перевели на другую работу. Но вред они оба институту успели на-нести, прежде всего, с точки зрения воспитания. И все же те, кто вняли напутствиям Мигулина и немецким урокам, двигали институт к успехам, работали честно и добросовестно.

Немцы знали, что я разбираюсь в электрооборудо-вании, и, чтобы обеспечить замену господину Апичу, направили меня в ЦРП (Центральный распределитель-ный пульт), расположенный в бывшей столовой и кух-не санатория. Там было установлено до 20 различных

8 У В.В. Мигулина мать была немкой и он свободно говорил на немецком языке.



электрогенераторов, преобразователей переменного и постоянного тока, вывезенных из Германии. Герр Апич был пожилого возраста, очень квалифицированный ин-женер широкого профиля. Он разговаривал со мной с помощью словаря. Это ему было трудно, поэтому он большей частью молча наблюдал за мной – как я делаю наброски и составляю общую схему ЦРП. Но мы го-ворили с Апичем не только по техническим вопросам. Однажды он поделился со мной по одному бытовому моменту, который его взволновал. У него в квартире, в углу на потолке появилось маленькое пятно от протеч-ки крыши. Фрау Апич ему указала на это, и он пошел к коменданту, который сказал, что завтра придет мастер и отремонтирует. Герр Апич пришел домой и сказал фрау Апич: «Завтра будет ремонт». Но ни завтра, ни через месяц никакого ремонта не было, а пятно увеличилось. Апич пошел к главному инженеру объекта, который за-верил: завтра ремонт будет сделан. Но ни завтра, ни че-рез месяц ремонта опять не было. Уже загнила балка, и тогда герр Апич высказал несколько фраз, которые мне запомнились: «Warum? Почему? Когда ремонт вначале стоил 10 пфеннигов, его не сделали. Затем ремонт стал стоить 100 пфеннигов. Почему? Warum?». Он это гово-рил с удивлением. Почему?

«Вначале нужно было заменить только одну чере-пицу, а сейчас уже нужно менять балку и стропилину. Надо, чтобы было каждый день лучше, лучше und луч-ше, а каждый день у нас хуже, хуже und хуже. Warum? Почему?». Глубину этого вопроса я постиг позже.

— —В отделе фон Арденне был заведен порядок, при ко-

тором Арденне мог заниматься почти только научной работой, все остальное поручалось его секретарям фрау Зухланд и Максу Видту. Последний ежедневно обходил все подразделения, записывал, что кому надо, и приносил им в этот или следующий день. Всеми конструкторскими разработками руководил Егер, а прецизионные устрой-ства с микронной точностью изготовлял Кляйн. Всем создавались условия для максимальной трудовой отдачи. Арденне лично приходил смотреть на показания рабо-тающей установки. Это дисциплинировало всех сотруд-ников. Эксперименты проводились четко по командам Фройлиха. Сам Фройлих был увлечен своей работой и де-лал все возможное, чтобы разобраться в поведении газо-разрядной плазмы в источнике ионов. Он даже несколько раз приносил свой радиоприемник, чтобы зафиксировать радиоволны, исходящие при колебаниях плазмы.

Немцы называли эксперименты игрой (spielen) и действительно при этом возникал азарт ожидания неиз-вестного результата. Фройлих увлеченно выкрикивал команды всем участникам эксперимента, наблюдая за поведением плазмы в смотровое окно. Мы с Потмае-ром стояли у пульта управления и выполняли команды

Фройлиха, а остальные записывали параметры и то, что диктовал Фройлих. Я понял, зачем Фройлих старается создавать трудности для существования плазмы – экс-тремальные условия, при которых она проявит новые нужные качества в магнитном поле. И такие качества проявлялись.

Немцы ходили на собрания как на общие, так и на профсоюзные и открытые партийные собрания. На со-браниях мог выступить любой желающий по предва-рительной записи, а также по ходу собрания. К часто вступающим можно было отнести: Какобадзе, Проку-дина, Кочнева, Абжандадзе. Но Карло Цомая выступал на каждом собрании, когда он поднимался на трибуну, зал начинал ему аплодировать, ожидая необыкновенно эмоционального выступления. Всегда прилично оде-тый, невысокого роста, он эмоционально выступал, сопровождая свою речь жестикуляцией, но понять что он говорит, было невозможно. Поттмайер мне гово-рил: «Немцы говорят, что ему во рту мешает язык». Но главное было в том, что все думали, что он критикует начальство, а начальство думало, что он говорит в их пользу. И все были довольны и дружно аплодировали. После собрания к нему подходили с рукопожатиями, говорили, то ли в шутку то ли всерьез, что, мол, мо-лодец хорошо выступил, а он своим видом показывал, что – да, он на стороне справедливости.

режим, текущая работа, происшествия Режим проводил в жизнь 1-й отдел. Каждый сотрудник имел свою папку для хранения рабочего журнала и пе-чать для опечатывания папки и комнаты, где он работал. Папка ежедневно сдавалась под расписку в 1-й отдел. За-писи на листках категорически запрещались. Регулярно, раз в неделю, проводились проверки на рабочих местах и содержимого в папках. Это делалось в присутствии со-трудников. В 1-м отделе была специальная комната для работы с секретными документами, которые выдавались на ознакомление, происходившее под наблюдением со-трудника 1-го отдела. За время работы все это вошло в привычку, и неудобств не замечалось.

Лишь однажды мне было сделано замечание со стороны 1-гоотдела. Мы с д-ром Циппе попеременно взвешивали ампулы с ураном. Он записывал результа-ты в свой журнал, а я – в свой. Утром Циппе перепи-сывал данные из моего журнала в свой журнал, тогда как такая передача данных без регистрации в 1-м от-деле запрещалась. Однако Стеенбек урегулировал этот вопрос, и мы продолжали взвешивать ампулы, как и раньше. Претензий уже не было, а переписывать дан-ные Циппе официально разрешили.

Всем работавшим в помещении дома «L», в котором находилась центрифуга, надо было предъявлять пропуск



четырем часовым. Они стояли: перед входом в общую зону, далее, в зону зданий института, в дом «L» и, нако-нец, в те две комнаты. Которые занимала центрифуга. Са-мые плохие условия были у часового, стоявшего у входа двери в нашу лабораторию. Дело в том, что часто проис-ходили разрывы ротора центрифуги и, в случае если при этом лопались стеклянные ампулы с гексафторидом ура-на, мы включали вытяжную вентиляцию и тут же выхо-дили из комнаты на улицу. Но часовой оставался на посту в коридоре, куда попадало радиоактивное заражение. На все наши призывы выйти на улицу от отвечал отказом.

В отделе кадров я значился электромонтером элек-тростанции. Другие сотрудники были также приписаны к условным объектам, в названиях которых не должно было содержаться специальных засекреченных тер-минов. Нам не рекомендовалось заходить в соседние рабочие помещения, разрешалось находиться только в своих помещениях. Не рекомендовалось и вступать в разговоры с незнакомыми людьми, тем более рассказы-вать им о месте работы.

Между тем, фактов вербовки, доносительства, на-ушничества со стороны спецслужб я не наблюдал ни в отношении себя, ни кого-либо из нашей группы. Нам просто некогда было даже думать об этом. Поэтому взаимоотношения как между собой, так и с нашими немцами были одинаковые – уважительные, наполнен-ные взаимным деловым интересом. Главный интерес всех совпадал: быстрее выполнить задание. У немцев был естественный интерес – быстрее получить разре-шение уехать в Германию. У нас – качественно выпол-нить важное поручение, нас так и призывали: «Родина этого не забудет».

Из начальства так говорил Хорошавцев. Как я сейчас себе представляю, он совершал подвиг. Он был худой и бледный, работал с нами день и ночь. Мы промывали детали центрифуги в жестяной ванне с дихлорэтаном. После очередного разрушения роторов на их фраг-ментах оставались мелкие пылевые шарики ртути из демпферов и уран. Плюс пары дихлорэтана. И все это не должно было распространяться из нашей комнаты в том числе и по условиям секретности. Поэтому по-сле окончания цикла работ все работники довольно сильно переболели. У меня были странные проявления болезни – я несколько недель сильно потел, лежал в больнице. Потоотделение было столь обильным, что за день дважды меняли белье. До сих пор мне врачи не объяснили, что это за болезнь. В то время в институте не было службы охраны труда. Но нам выдавали моло-ко. Д-р Циппе рассказывал нам об основных правилах осторожности при работе с техникой и материалами. Однако в аварийных ситуациях ни он, ни мы с этими правилами не считались. У нас, кстати, почему-то не было не только противогазов, но даже респираторов.

Еще мне запомнился такое происшествие в инсти-туте. Однажды ко мне обратился обмотчик Германов Вася. Он обычно обращался по вопросам расчета об-мотки. Но на этот раз он сообщил, что в их мастерской, в ящике стола у старшего обмотчика Флигнера давно лежит металлический кусок, не похожий на известные металлы. Его попробовали поточить на наждачном станке – искры были необычного цвета. Я пошел по-смотреть на искры и посоветовал сходить к циклотрон-щикам, так как у них была дозиметрическая группа. Оказалось, что это кусок металлического урана, види-мо, завезенного из Германии при перевозке оборудова-ния. В мастерской сделали дезактивацию, а обмотчи-ков переселили в другое помещение.

Важный вопрос: знали ли сотрудники о том. что они работают на атомную бомбу? Отвечаю точно, что я знал. Знали и ведущие немцы: Арденне, Стеенбек, Циппе. Мы с Циппе работали в тесном контакте и упо-минали об атомной бомбе между собой. Но разгово-ров с сотрудниками других групп и отделов не было не только на тему о бомбе, но и вообще о проводимых работах – это строго запрещалось.

— —Однажды я стал свидетелем ссоры между Эристави и

Резикяном. Утром я поднимался по лестнице в дом «L». Перед входом стоял Стеенбек, за ним я, а Эристави стоял перед часовым. Вдруг сбоку, под локтем у высокого Сте-енбека мимо нас прошмыгнул маленький и щупленький Резикян. Стеенбек что-то недоуменно произнес и пожал плечами, пошел к себе в кабинет. А я снял ключ с доски и направился к себе в комнату к центрифуге. Смотрю: в коридоре у торца стоит часовой, а по коридору ходит разъяренный Резикян и ищет Эристави. Сильно минусо-вые очки усиливали свирепость вида Резикяна. Когда все пришли на работу, то выяснилось, что Эристави спрятал-ся в кладовке у Гедике, дверь которой не запиралась, а минутой раньше Резикян выхватил пропуск из рук Эри-стави, когда тот уже прошел через часового, и теперь со-бирается его бить. Рассказали. Что накануне Эристави и Кутхашвили встретили в городе Эристави и тот пригла-сил их в ресторан «Рица». Резикян сказал, что у него нет денег, на что Эристави ответил, что он угощает. Эриста-ви заказал много еды и выпивки, а когда потемнело, вро-де бы увидел через окно знакомых из Тбилиси, вскочил и ушел. Оставшиеся Кутхашвили и Резикян долго ждали Эристави. Затем Кутхашвили сказал: Пойду, посмотрю, наверно, задержали Эристави, сам знаешь наши обычаи. И ушел. Резикян остался один без денег, ночью, перед закрытием ресторана. Официантке, подошедшей со сче-том. Он показал паспорт и сообщил, что он «Синопский» (т.е. из санатория «Синоп», где размещался теперь ин-ститут). Предложил ей в залог часы, этого не хватало, и он оставил ей еще и пиджак. Ночью стало прохладно,



транспорта – никакого. К утру Резикян добрался до «са-натория», находившегося в пригороде… С неделю он не возвращал пропуск Эристави, и тому пришлось жить в доме «L». Здесь он спал на диване в кабинете Стенбе-ка. Еду ему носили Кутхашвили и Николайшвили. Затем приятель Эристави, начальник отдела кадров Носидзе заставил Резикяна вернуть пропуск Эристави. Но оба еще долго не разговаривали друг с другом.

— —В отдел Демирханова перевели Ю.П. Венедиктова из

Агудзер, его назначили на должность главного инженера. Он еженедельно, в точно назначенное время, собирал на-чальников групп. Одним из них был Давид Викторович Чкуасели. Это был видный, колоритный кавказский муж-чина, державшийся всегда с большим достоинством. Од-нажды Чкуасели пришел на совещание на 20 минут поз-же, вошел в кабинет главного инженера, поздоровался, а в ответ ему Венедиктов сказал: «Вы могли бы вообще не приходить». Чкуасели прошел к столу, сел. Я краем глаза видел, как побагровело его лицо, надулись сосуды на шее, и он медленно. С расстановкой сказал: Юрий Пе-трович!... Я кавказский человек!...» На что Венедиктов мгновенно парировал: «Но здесь не застолье». Вскоре со-вещание закончилось, все расходились молча. У меня до сих пор двойственный осадок: с одной стороны, дисци-плина, а с другой – природное достоинство, которое было задето. Важно и то, что Венедиктов был моложе нас.

С 1970 г. директором СФТИ был Реваз Георгиевич Салуквадзе, человек по натуре нестрогий. Но у него был принцип: «Шах на то и существует, чтобы рубить головы». Поэтому на совещаниях все внимательно слу-шали директора. Мы с председателем месткома сидели в конце длинного стола, и когда очередь лоходила до нас. То я старался очень кратко и четко изложить свой вопрос. Однажды, помню, Салуквадзе высказался по поводу одной из кандидатур для ответственного зада-ния: «Но ему же надо платить за каждый вздох и вы-дох». Фраза запомнилась.

То, чем занималась наша группа, очень долго дер-жалось в тайне от общегражданских государственных органов. И только при оформлении пенсии в конце 1980-х гг. я увидел запись: «С 12 января 1951 года рабо-тал на урано-разделительной установке “центрифуга”».

— —Несколько слов о Государственной даче 6, располо-

женной по соседству с СФТИ, в дендропарке Смицкого. Она входила в состав Сочинского управления госдач. На этой даче отдыхали руководители государства и видные военачальники. Бывая в Москве, я останавливался на даче в Подмосковье, по соседству с дачей маршала Со-ветского Союза Соколовского В.Д. Когда он узнал, что я из Сухуми, пригласил меня на семейный обед. Перед обедом мы гуляли по аллеям дачи, и он расспрашивал

меня о Сухуми, Абхазии и рассказывал, как он проводил свой отпуск на Сухумской Госдаче 6.

В конце 1950-х годов проходило сокращение со-трудников КГБ, которых, в частности, направляли на должности техников, помощников в СФТИ. Некоторые из них проходили службу на Госдаче 6 и рассказы-вали, как, отдыхая на даче, Сталин в своем окружении играл в биллиард. Правила игры были такими: каждый проигравший должен был залезать под стол и кукаре-кать. Так все проигравшие и делали, а когда Сталин проигрывал, то он тоже залезал под стол, несмотря на возражения и просьбы окружающих этого не делать, но при этом он не кукарекал.

Кроме того, рассказывали, что Сталин часто выска-зывал мысль, что добиться от людей любви к себе труд-но и ненадежно, а заставить бояться, проще и надежнее. Также они рассказывали различные случаи из жизни Сталина, Берии и других государственных деятелей во время их пребывания на отдыхе. Мои родители жили по соседству с госдачей, поэтому я был хорошо знаком с комендантом госдачи майором Кузьминым, который подтвердил эти рассказы.

Году в 1955-м, после сдачи источника и отчета по его параметрам, по распоряжению Арденне, меня пере-вели на масс-спектрограф. Это была установка с оди-нарной фокусировкой конструкции Арденне. На ней работал К.Г. Вебер, который уже собирался вернуться в Германию, и потому я должен был освоить ее и рабо-тать вместо Вебера.

Прибор с такими параметрами был единственный в СССР. Он позволял измерять с высокой точностью не только массы элементов, но и их энергии. После отъезда в 1955 г. фон Арденне и большинства немцев в Германию я принялся его модернизировать и затем приступил к исследованию процессов образования от-рицательных ионов в газоразрядной плазме.

После отъезда Арденне его место начальника отдела занял Р.А. Демирханов. Он благосклонно относился и к прибору как детищу Арденне, и к моим исследованиям. Полученные результаты по образованию отрицательных ионов водорода в водородной плазме не укладывались в известные схемы образования. Они были показаны видным ученым, посещающим СФТИ. Появилась идея создания термоядерной установки на основе кольцевого газового разряда, которую позже назвали «Августина». Началась спешка. Демирханов направил меня в Малый зал начинать строительство этой установки. Вместе с тем он мне оставил право иногда проводить экспе-рименты на масс-спектрографе. Мы вместе с Марком Стотландом начали строительство «Августины». Я обе-спечивал работу вакуумного стенда и электропитание, Марк сделал расчеты трансформатора, подобрал медные шины для испытаний. Начальство торопило, мечтали



получить Нобелевскую премию. Демирханов поручил руководство этой работой Т.И. Гуткину. Электропита-ние трансформатора мы испытали кольцом из медной шины, измерили токи, болтовые соединения выдержали. Смонтировали стеклянный тор внутри трансформатора, получили несколько разрядов, измерили силу тока в торе поясом Роговского. И я снова перешел работать на масс-спектрограф. Но ожидаемых результатов на «Августине» не получили, и Демирханов направил меня снова на соз-дание следующей тороидальной установки «Зетта». По-сле ее запуска я вернулся на масс-спектрограф. Однако и на «Зетте» не удалось достигнуть не только термоядер-ных условий, но и достаточно мощного газового разряда.

И снова Демирханов направляет меня уже началь-ником группы на новую установку «Бетта». И снова после довольно большой работы, после пуска и на-чальных экспериментов, я сдал ее уже подготовленным молодым физикам.

Все это время, пока я работал на указанных уста-новках, масс-спектрограф бездействовал. Но все-таки я ухитрялся самолично проводить на нем единичные эксперименты, поскольку у меня был очень большой интерес к возможностям этого прибора. Когда Демир-ханов стал это осознавать, то я получил разрешение полноценно работать на масс-спектрографе. У меня появились и лаборанты, и научные сотрудники…

— —…Но наступила «перестройка», институт начали

переводить на хозрачсчет. А тут и война Грузии с Абха-зией. Мы с женой, невесткой и внуками уехали из Су-хуми как беженцы. Как и сотни других специалистов из Синопа и Агудзер нас вывезли из Сухуми на военном корабле. Многие из наших испытали в этот период гра-бежи и предательство, лишение и уничтожение свое-го имущества. Было видно, что капитан опасался, что начнут стрелять и по кораблю. Но он принял на борт всех, кто толпился у траппа. Это был август 1992 года.Уехали кто куда, некоторые в дальнее зарубежье. А я остался в Москве у своих сыновей.

Много лет спустя Стеенбек посетил Сухуми. По каким-то соображениям Демирханов не пригласил на эту встречу ни меня, ни Николайшвили. Тем не менее, я видел Стеенбека из окна нашей компараторной ком-наты, когда он на лестнице перед парадным входом в институт фотографировался в окружении в основном молодых сотрудников. Их было около 30 человек.

Список литературы

1 Горобец Б.С.Секретные физики из Атомного про-екта СССР. Семья Лейпунских / Под ред. к.ф-м.н. И.О. Лейпунского. М.: Кн.дом. «ЛИБРОКОМ» УРСС. Изд. 2. испр. и доп. 2009. 312 с.

2. Атомный проект СССР. Документы и материалы: В 3 т. / Под общ. ред. Л.Д. Рябева. Т. I. 1938–1945: в 2 ч. Часть 1/ М-во РФ по атом. энергии; отв. сост. Л.И. Кудинова. М.: Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1998. 432 с. Часть 2: М.: Изд-во МФТИ. 2002. 800 с. Т. II в 7 кни-гах. Атомная бомба. 1945–1954: Книга 1, 1999. 719 с.; Книга 2, 2000; 640 с.; Книга 3, 2003. 896 с. Книга 4, 2003. 816 с.; Книга 5, 2005. 976 с.; Книга 6; 2006. 896 с.; Книга 7, 2007. 696 с. / Федеральное агентство РФ по атом. энергии; Отв.сост. Г.А. Гончаров. Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ; М.: ФИЗМАТЛИТ.

3. Жданов В.М. Тайны разделения изотопов. М.: МИФИ. 2003. 140 с.

References1. Gorobets B.S. Sekretnyie fiziki iz Atomnogo proekta

SSSR. Sem’ya Leipunskikh. Pod red. I.O. Leipunskogo. Predisl. Yu.N. Raniuka. Izd. 2-e. [Secret Physics of the USSR Atomic Project. Family Leipunskiis. Ed. I.O Leipunsky. Predisl. Yu.N. Raniuk. Ed. 2nd]. Knizhnyi dom «LIBROKOM» (URSS) M.: LIBROKOM [Moscow: Publishing house «LIBROKOM»], 2009. 312 p.

2. Atomnyi Proect SSSR. Dokumenty i Materialy: v 3-kh Tomakh. Pod obshchey red. L.D. Riabeva. Tom I. 1938–1945: v 2 chastiakh: Chast 1: Ministerstvo RF po atomnoy energii; otv. sost. Kudinova L.I. M.: Nauka, Physmatlit. 1998. 432 p.; Chast 2: М.: MFTI [Moscow: Publishing house «MFTI»], 2002. 800 p. [USSR Atomic Project. Documents and Materials. In 3 Vs Ed. L.D. Riabev. Vol. I. 1938–1945: in 2 parts. Part I. Min. of Atomic Energy RF, compiler Kudinova L.Y. M.: Nauka [Moscow: Publishing house «Sciences»]. Physmatlit; Part II: M.: MFTI, 2002. 800 p.]. Tom II v 7 knigakh. Atomnaya Bomba. 1945–1954, Kniga 1, 1999. 719 c., Kniga 2, 2000, 640 c., Kniga 3, 2003. 896 c., Kniga 4, 2003. 816 p., Kniga 5, 2005, 976 p., Kniga 6, 2006. 896 c., Kniga 7, 2007. 696 c. [Vol. II. Atomic Bomb. 1945–1954. In 7 Books. Book 1, 1999. 719 p.; Book 2, 2000; 640 p.; Book 3, 2003. 896 p.; Book 4. 2003. 816 p.; Book 5, 2005. 976 p.; Book 6, 2006. 896 p.; Book 7, 2007. 696 p. Federal Agency of Atomic Energy RF, compiler Goncharov G.A. Sarov. M.: Fizmalit [Moscow: Publishing house «Fizmalit»].

3. Zhdanov V.M. Tayny razdelenia izotopov [The Secretes of Separation of Izotopes]. M.: MIFI [Moscow: Publishing house of Russian Nuclear University «MIPhI»]. 2003. 140 p.

Сведения об авторе Information about the author

Лазарев Николай Федорович ветеран, бывший начальник лаборатории

Сухумского физико-технического института МВД СССР Сухуми, территория санатория «Синоп»

Е-mail: [email protected]

Lazarev Nikolaj Fedorovich Veteran of Sukhumi Physical-technical Institute of Ministery of Internal affairs, Chief of laboratorySukhumi, the territory of the sanatorium «Sinop»Е-mail: [email protected]

1. при направлении материалов для публикации в журнале необходи-мо заполнить карточку «Сведения об авторе» (на русском и англий-ском языках).

Фамилия...... Имя...... отчество...... Дата и место рождения......адрес регистрации (прописки) по паспорту с указанием почтового индекса.......адрес фактического проживания с указанием почтового индекса.......контактная информация (домашний, служебный и мобильный телефоны, электронный адрес).......название организации (место работы (учебы)) вместе с ведомством, к которому она принадлежит, занимаемая должность, адрес организации с указанием почтового индекса...Ученая степень и звание ( диплома, аттестата, кем и когда выдан).......

2. объем статьи не должен превышать 40 страниц машинописного текста. текст необходимо набирать в редакторе word шрифтом 12, times new roman; текст не форматируется, т.е. не имеет та-буляций, колонок и т.д. Статьи должны быть свободны от сложных и громоздких предложений, математических формул и особенно формульных таблиц, а также промежуточных математических вы-кладок. Все сокращения и условные обозначения в схемах и фор-мулах следует расшифровать, размерности физических величин давать в СИ, названия иностранных фирм и приборов – в транс-крипции первоисточника с указанием страны.

3. аннотация и ключевые слова должны быть на русском и английском языках. В аннотации полностью должна быть раскрыта содержатель-ная сторона публикации и полученные результаты (выводы). аннота-ция должна иметь объeм от 100 до 250 слов. после нее дается пере-чень ключевых слов – от 5 до 10.

4. Список использованной литературы (лишь необходимой и органи-чески связанной со статьей) составляется в порядке упоминания и дается в конце статьи. Ссылки на литературу в тексте отмечаются порядковыми цифрами в квадратных скобках, а именно: [1, 2]. Же-лательно, чтобы список литературы содержал не менее 10–12 источ-ников, в том числе как минимум – 3 зарубежные публикации (жела-тельно из трех стран) в данной области за последние 5–10 лет. после списка литературы приводится список литературы в романском ал-фавите, который озаглавливается references и является комбина-цией англоязычной [перевод источника информации на английский язык дается в квадратных скобках] и транслитерированной частей русскоязычных ссылок. В конце статьи приводится название статьи, фамилия, имя, отчество автора (ов), ученая степень, ученое звание, должность и место работы, электронный адрес хотя бы одного из ав-торов для связи и точный почтовый адрес организации (место рабо-ты автора) на русском и английском языках, при этом название ули-цы дается транслитерацией. Список литературы следует оформлять в соответствии с Международными стандартами.

ПрИМер ОФОрМЛеНИЯ ЛИТераТУрЫ

Баранов М.И., веселова Н.в. Основные достижения отече-ственных и зарубежных научных школ в области техники вы-соких напряжений. Часть 1: Московская, Ленинградская, Том-ская и Киевская школы ТвН // История науки и техники. 2012. Т. 2. 3. C. 38–52.Baranov M.I., veselova N.v. Osnovnye dostizheniya otechestven-nykh i zarubezhnykh nauchnykh shkol v oblasti tekhniki vysokikh napryazheniy. Chast 1: Moskovskaya, Leningradskaya, Tomskaya i Kievskaya shkoly TvN [The main achievements of russian and for-eign scientific schools in the art of high voltages. Part 1: Moscow, Leningrad, Tomsk and Kiev school TvN]. Istoriya nauki i tekhniki [History of science and engineering], 2012. vol. 2. 3. PP. 38–52.

Ищенко а.М. Отечественное приборостроение: становление и развитие. М.: Научтехлитиздат, 2011. 240 с.Ishchenko a.M. Otechestvennoe priborostroenie: stanovle-nie i razvitie [Domestic instrument: Development and evolution] M.: Nauchtekhlitizdat [Moscow: Publishing house «Nauchtehlitiz-dat»], 2011. 240 p.

название издательства «научтехлитиздат» на английский язык не пе-реводится, поэтому пишется латинскими буквами. Если книга и/или монография издана в издательстве название, которого переводится на английский, то сначала надо дать транслитерацию названия издатель-ства, а потом в квадратных скобках указать перевод этого названия на английский язык.

Иванов И.И. Проблемы разработки недр. М.: Наука, 2012. 320 с. Ivanov I.I. Problemy razrabotki nedr [Problems of deve lopment of mineral resources]. M.: Nauka [Moscow: Publishing house «Sciences»], 2012. 320 p.

особо обращаем внимание авторов, что если Вы ссылаетесь на статью, то обязательно надо указать страницы от и до, на которых она напеча-тана, при этом букву «с» надо ставить перед страницами. Если дается ссылка на монографию, то буква «с» ставится после указания количе-ства страниц.

ЭТаПЫ раССМОТреНИЯ И ПУБЛИКаЦИИ СТаТЬИ

Регистрация статьи и присвоение ей индивидуального номера. опреде-ление соответствия содержания статьи тематике журнала. Если содер-жание не совпадает с тематикой публикуемых статей в журнале, статья снимается с рассмотрения; об этом сообщается автору (или авторам). неопубликованный материал авторам не возвращается. направление статьи рецензенту, крупному специалисту в данной области. Рассмо-трение замечаний и пожеланий рецензента; при необходимости обра-щение к автору с просьбой учесть замечания и пожелания рецензента. при получении от рецензента отрицательной рецензии статья передает-ся другому рецензенту. при отрицательном результате повторного ре-цензирования статья снимается с рассмотрения. научное редактирова-ние. литературное редактирование. корректура статьи. Верстка статьи.

после прохождения вышеперечисленных этапов статья включается в список подготовленных для публикации статей и публикуется в по-рядке общей очереди.

ПравИЛа реЦеНзИрОваНИЯ СТаТеЙ

любая статья, поступающая в редакцию журнала, независимо от лич-ности автора(ов) направляется рецензенту, крупному специалисту в данной области. Статья рецензенту передается безличностно, т.е. без указания фамилии автора(ов), места работы, занимаемой должности и контактной информации (адреса, телефона и e-mail адреса).

Рецензент на основе ознакомления с текстом статьи обязан в разумный срок подготовить и в письменной форме передать в редакцию рецен-зию, в обязательном порядке содержащую оценку актуальности рас-смотренной темы, указать на степень обоснованности положений, вы-водов и заключения, изложенных в статье, их достоверность и новизну. В конце рецензии рецензент должен дать заключение о целесообраз-ности или нецелесообразности публикации статьи.

при получении от рецензента отрицательной рецензии статья пере-дается другому рецензенту. Второму рецензенту не сообщается о том, что статья была направлена рецензенту, и что от него поступил отрицательный отзыв. при отрицательном результате повторного ре-цензирования статья снимается с рассмотрения и об этом сообщается автору(ам). автору(ам) редакция направляет копии рецензии без ука-зания личности рецензента.

В исключительных случаях, по решению редакционной коллегии, при получении от двух рецензентов отрицательного отзыва, статья может быть опубликована. такими исключительными случаями являются: предвзятое отношение рецензентов к рассмотренному в статье новому направлению научного нововведения; несогласие и непризнание рецен-зентами установленных автором фактов на основе изучения и анализа экспериментальных данных, результатов научно-исследовательских, опытно-конструкторских и других работ, выполненных на основании и в рамках национальных и государственных программ и принятых заказ-чиком; архивных и археологических изысканий, при условии предостав-ления автором документальных доказательств и т.д.

ПрАВиЛА оФорМЛЕНия, рАссМотрЕНия,

ПУБЛиКАЦии и рЕЦЕНЗироВАНия стАтЕЙ


И МАТЕМАТИКА

APPLIED PHYSICS AND MATHEMATICS

3

∙ 2

01

4

ISSN 2307-1621