Зміст

НАЙМЕНШЕ СПІЛЬНЕ КРАТНЕ 2

ОЗНАЧЕННЯ. [1] 2

ВЛАСТИВОСТІ. [2] 2

РЕАЛІЗАЦІЯ ЗНАХОДЖЕННЯ НСК(LCM) НА C++. 2

ОБЧИСЛЕННЯ НСК МЕТОДОМ РОЗКЛАДУ НА ПРОСТІ МНОЖНИКИ. [3] 3

Приклади. 3

ОЗНАКИ ПОДІЛЬНОСТІ (ОП). [4] 6

УРОК. 7

СПИСОК ІЛЮСТРАЦІЙ 13

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 14

НАЙМЕНШЕ СПІЛЬНЕ КРАТНЕ

Означення. [1]

((ННССКК)) ддввоохх ццііллиихх ччииссеелл aa,, bb ннааззииввааєєммоо

ннааййммеенншшее натуральне число,, яяккее єє ккррааттнниимм ооббоохх цциихх

ччииссеелл.. ППооззннааччааєєммоо ННССКК((aa,, bb)),, вв ааннггллооммооввнніійй ллііттееррааттуурріі

LLCCMM((aa,, bb)).. ООттжжее ННССКК((aa,, bb)) єє ннааййммеенншшиимм ннааттууррааллььнниимм

ччииссллоомм,, яяккее ддііллииттььссяя ббеезз ззааллиишшккуу ннаа ооббииддвваа ччииссллаа aa,, bb..

ООззннааччеенннняя ммоожжннаа –– ооччееввиидднниимм ссппооссооббоомм –– ууззааггааллььннииттии ннаа

ддооввііллььннуу ккііллььккііссттьь ааррггууммееннттіівв..

Рисунок 1(Означення НСК)

Властивості. [2]

НСК(a, b)= НСК(b, a) (перестановка аргументів не змінює НСК).

НСК(a, b, c, d) = НСК(НСК(a, b), НСК(c, d) ).

НСК(a, b)=|ab|/НСД(a, b), де НСД(a, b) найбільший спільний дільник чисел

a,b.

Реалізація знаходження НСК(lcm) на C++.

int lcm(int a, int b)

{

return a / gcd(a, b) * b;

}

gcd — НСД.

Обчислення НСК методом розкладу на прості множники.

[3]

Нехай розклад чисел на прості множники:

Тоді

HCK

Рисунок 2(Алгоритм знаходження НСК)

Приклади.

ППррииккллаадд 11.. Визначимо НСК(840,396). Розклад на прості множники:

,

,

або, подаючи для наочності нульові степені,

,

,

Отже,

НСК

НСК можна теж обчислити за допомогою рівності НСК(a, b)

=|ab|/НСД(a, b), використавши для обчислення НСД ефективний алгоритм

Евкліда.

Означення. ННааййммеенншшиимм ссппііллььнниимм ккррааттнниимм ((ННССКК))

ннааттууррааллььнниихх ччииссеелл іі ннааззииввааююттьь ннааттууррааллььннее ччииссллоо зз

ттааккииммии ввллаассттииввооссттяяммии..

єє ддііллььннииккоомм ,, єє ддііллььннииккоомм ттооббттоо —— ссппііллььннее

ккррааттннее ччииссеелл іі ..

яяккщщоо ддііллььнниикк іі ддііллььнниикк ,, ттоо ддііллььнниикк ..

Методи знаходження

найменшого спільного кратного чисел A i B

Розклад чисел на прості множники.

За формулою

, де — найбільший спільник

дільник чисел та , який знаходиться за алгоритмом Евкліда.

Найбільший спільний дільник та методи його знаходження

Будь-які два числа і b мають спільні дільники, наприклад, 1 і – 1.

Нехай хоча б одне з чисел і відмінне від нуля. Виявляється, що в

цьому випадку числа і мають такий додатний спільний дільник який

ділиться на будь-який спільник дільник цих чисел. Його називають

найбільшим спільним дільником чисел і . Числа і мають тільки один

найбільший спільний дільник.

Оскільки протилежні числа мають однакові дільники, то задачу про

знаходження найбільшого спільного дільника досить вміти розв’язувати для

додатних чисел. Ще давньогрецькі математики знали, що найбільший

спільний дільник двох чисел можна знайти, виконавши кілька разів ділення з

остачею. Пізніше цей метод відшукування найбільшого спільного дільника

почали називати алгоритмом Евкліда.

ППррииккллаадд.. Знайти найбільший спільний дільник чисел 4171 і 18527 за

алгоритмом Евкліда.

Розв’язок.

1 крок: 1852716684

1843

4171

4остача

2 крок: 41713686

485

1843

2остача

3 крок: 18431455

388

485

3остача

4 крок: 485388

97

388

1остача

5 крок: 388388

0

97

4остача !!!

сигнал закінченняобчислень

Рисунок 3(Алгоритм Евкліда)

Число на яке ділили на останньому кроці — 97.

Це шуканий найбільший спільний дільник.

Порівняння за модулем

ЛЛееммаа.. ООссттаанннніі ввіідд ддііллеенннняя ччииссеелл іі ннаа ччииссллоо ооддннааккооввіі

ттооддіі йй ттііллььккии ттооддіі,, ккооллии єє ддііллььннииккоомм ..

ООззннааччеенннняя.. ЯЯккщщоо ччииссллаа іі ппррии ддііллеенннніі ннаа ддааююттьь

ооддннааккооввіі ооссттааччіі,, ттоо ввооннии ннааззииввааююттььссяя ррііввннииммии ззаа ммооддууллеемм

іі ппооззннааччааєєттььссяя:: ..

ТТееооррееммаа.. Нехай , .

Тоді: 1. ;

2. ;

3. .

ННаассллііддоокк 11.. Якщо , , то:

1. ;

2. ;

3. .

ННаассллііддоокк 22.. Знайти остачу від ділення на 7.

Розв’язок. Оскільки 9 і 95

, то . Далі маємо

; ;

. Відповідь: остача від ділення

числа на 7 дорівнює 4.

Ознаки подільності (ОП). [4]

ОП на 3 і 9. Число ділиться на 3 (на 9) тоді й тільки тоді, коли сума його

цифр ділиться на 3 (на 9).

ОП на 2, 5, 10. Число ділиться на 2 (на 5, на 10) тоді й тільки тоді, коли його

остання цифра ділиться на 2 (на 5, на 10).

ОП на числа типа 6, 12, 15 дає теорема:

ТТееооррееммаа:: Якщо числа і взаємно прості, -дільник і -дільник ,

то – дільник .

ЗЗааддааччаа.. Знайти остачу від ділення на 7 таких чисел: 1) 2135

; 2) 19791980

.

Розв’язок:

1. ; ;

.

2. ;

197914

5756

1914

5

7282

остача

Формула 1

;

;

.

Рисунок 4(Тема уроку)

Урок.

ТТееммаа:: Найменше спільне кратне кількох натуральних чисел. [5]

Рисунок 5( метод знаходження НСК)

ММееттаа:: на основі знань про кратне число сформувати уявлення учнів

про поняття спільного кратного кількох натуральних чисел, НСК, а також

навчити їх користуватися алгоритмом знаходження НСК двох (трьох і т.д.)

натуральних чисел.

ТТиипп ууррооккуу:: засвоєння нових знань.

ХХіідд ууррооккуу

І. Перевірка домашнього завдання

Для більш цікавого протікання Процесу перевірки домашнього зав-

дання на уроці можна запропонувати учням провести цю роботу в ігровій

формі, наприклад у вигляді гри «Знайди помилку». (Учитель заздалегідь

записує на дошці розв'язання вправ домашньої роботи, припустившись

кількох типових помилок. Учні, перевіряючи написане, повинні знайти

помилку; можна організувати змагання: хто знайде більшу кількість помилок

і зуміє їх пояснити.)

Для «слабких» учнів, домашнє завдання яких учитель перевіряє перед

уроком, у цей час можна запропонувати роботу з картками-

підказками.Таблица 1(Картка)

Картка 1

Знайди НСД чисел 20 і 16.

а) Розклади кожне з чисел на прості множники;

б) Підкресли в розкладах цих чисел однакові прості множники,

в) Знайди серед підкреслених однакових ті, що мають менший показник

степеня,

г) Знайди добуток цих степенів

Таблица 1(Картка)

II. Актуалізація опорних знань

Запитання до класу

Відомо, що а, b, с — натуральні числа і а = bс.

Як можна назвати число а по відношенню до b? по відношенню до а?

Назвіть найменші три натуральних числа, кратних 2; 5; а.

Рисунок 6(Таблиця НСК)

III. Формування нових знань.

Підходи до викладання теми НСК і НСД дуже схожі, тому цей етап

уроку проводиться аналогічно до відповідного етапу попереднього уроку.

Рисунок 7(Правило НСК)

1. Постановка проблеми

Задача. До кіоску завезли зошити. Якщо розкласти по 15 зошитів або по

20 зошитів в пачку, то в обох випадках зайвих зошитів не залишиться. Яку

(найменшу) кількість зошитів могли завезти до кіоску? Яка найменша

кількість зошитів могла бути завезена?

Аналіз умови приводить до висновку, що під час розв'язування задачі

треба знайти числа, які діляться (кратні) на 15 і на 20.

2. Розв'язання проблеми

Учні знайомляться з поняттями:

спільне кратне кількох натуральних чисел, найменше спільне кратне

(НСК);

алгоритм знаходження НСК кількох чисел. )(

15а

Короткі нотатки можна оформити у вигляді такого конспекту:Таблица

2(Конспект)

Конспект 5

НСК

1. Числа, кратні 15: 15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; 120;...

Числа, кратні 20: 20; 40; 60; 80; 100; 120;...

а

б)15 = 3 · 5, 20 = 22 · 5;

в) НСК(15; 20) = 22 · 3 · 5 = 60.

Зауваження. Спільні кратні )(

15а

і )(

20b

— це числа виду nНСКbа

);(

20;15 ,

де п — натуральне число

Таблица 2(Конспект)

Розв'язок задачі: НСК(15; 20) = 60, отже, найменша кількість зошитів

60; можливі варіанти 120, 180, 60п зошитів.

IV. Закріплення знань і формування вмінь

Рисунок 8(Розкладання на множники)

І рівень

Усні вправи

Яке число називають спільним кратним а і b?

Яке число називають НСК чисел а і b?

Знайдіть НСК(а; b), якщо:

а) а = 3·5; b = 1; б) а = 3·5; b = 5·7; в) а = 32·5; b = 3·5.

II рівень

Письмові вправи

Знайдіть найменше спільне кратне чисел а і b, якщо:

a) a = 22·3·5

2; b = 2·3

3·5; б) а = 3

2·7

2; b = 2·3·3·5·7·7;

в) а = 2·2·5·5·11; b = 2·2·3·5·11.

Знайдіть найменше спільне кратне чисел:

а) 6 і 8; б) 72 і 99; в) 396 і 180; г) 34; 51 і 68.

У портовому місті починаються три туристичних рейси, перший з яких

триває 15 діб, другий — 20, третій — 12 діб. Повернувшись до порту,

теплоходи того ж дня вирушають у новий рейс. Сьогодні з порту вийшли

теплоходи за всіма трьома маршрутами. Через скільки діб вони знову разом

вийдуть у плавання?

Число m кратне 12. Доведіть, що m ділиться на 4.

Знайдіть найбільше двоцифрове число, кратне числам 2 і 7.

Знайдіть НСД чисел: а) 12 і 24; б) 75 і 45; в) 81 і 243. Чи є серед них

взаємно прості?

Виконайте дії: (1,87 + 1, 955) : 0,85 – (2 · 1,75 – 3,5) · 4,62.

V. Підсумок уроку

Рисунок 9(Конспект)

Підбиваючи підсумки, слід наголосити, що основний зміст теми

«Подільність чисел» розглянуто і основні поняття і алгоритми можна знайти

в конспектах 1—5, тому основна мета наступного уроку — доопрацювати

теми НСД і НСК і показати розуміння вивченого матеріалу і вміння його

застосовувати для розв'язування відповідних вправ.

VI. Домашнє завдання

Знайдіть найменше спільне кратне чисел: а) 50 і 75; б) 120 і 180; в) 370 і

740.

На скільки НСК (80, 100) менше за НСК (7, 100)?

Яке найменше трицифрове число кратне числам 5 і 13?

Дано числа а = 23 · 5

2, b = 3

2 · 5 i c = 2 · 3

2. Обчисліть:

а) НСК (a, b); б) НСК (а, с); в) НСК (а, b, с).

ЗЗааддааччаа.. Дріт завдовжки 43 м розрізали на дві частини так, що одна з

них виявилась у 3 рази довшою за другу. Знайдіть довжину довшої частини.

Список ілюстрацій Рисунок 1(Означення НСК) ______________________________________________________________________ 2 Рисунок 2(Алгоритм знаходження НСК) __________________________________________________________ 3 Рисунок 3(Алгоритм Евкліда) ___________________________________________________________________ 5 Рисунок 4(Тема уроку) __________________________________________________________________________ 7 Рисунок 5( метод знаходження НСК) _____________________________________________________________ 7 Рисунок 6(Таблиця НСК) ________________________________________________________________________ 9 Рисунок 7(Правило НСК) ________________________________________________________________________ 9 Рисунок 8(Розкладання на множники) ___________________________________________________________ 11 Рисунок 9(Конспект) __________________________________________________________________________ 12

Список літератури

[

1]

Амелькин В., Задачи з параметром., Минск, 1994.

[

2]

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М., Збірник

задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп., Київ: Либідь, 1993.

[

3]

Г., Мордкович А., Набольшее и наименьше значения величин.,

Москва, 1995.

[

4]

О.Ф., Саушкін, Розв’язування алгебраїчних рівнянь, Київ, 2007.

[

5]

Чайковський М. А., Квадратні рівняння., Київ, 1970.